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第八章 弹塑性接触_PartII

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弹塑性接触分析

弹塑性接触分析

题1：表面光滑的刚性圆柱体与弹性平面的接触问题。

有以下假设：接触体材料均匀连续，各向同性，在接触区内只产生服从虎克定律的弹性变形，接触区相比接触体表面很小且在其附近的表面是光滑的，压力垂直于物体接触面，接触面上的摩擦力忽略不计。

各参数为：计算区域宽度为L=0.128mm，圆柱体半径R=0.5mm，弹性模量E=210GPa，泊松比，平面应变问题，P=50N/m,μ=0.31) 用有限元法求弹性平面应力分布；2) 用有限元法求的弹性平面表面接触压力分布曲线，并与Hertz理论解作对比。

解：1、使用有限元方法求解（1）建立有限元模型图1 有限元模型如图1有限元模型，刚性圆弧半径为0.5mm，AB边长为0.128mm。

可变形体采用PLANE42μ=。

单元，如图2设置为处理平面应变问题。

材料参数为：弹性模量E=210000M Pa，泊松比0.3图2 PLANE42的单元设置（2）接触对设置按照图3所示的各图完成接触对的设置；在接触对的设置过程中，将圆弧线定义为刚体，同时在坐标原点y方向上0.1mm处定义刚体的控制节点，利用此节点施加刚体的边界条件；选择图1所示的AB边作为可变形体的接触区域；最后使用翻转法线方向的命令，保证两接触对的法线方向相对。

最后进行模型检测，看间隙是否过大，在接触单元Options中选择cnof/icont中选闭合Gap。

接触算法采用软件默认的设置，不定义摩擦系数。

图3 设置接触对（3）施加边界条件如图4所示施加边界条件。

约束可变形平面底边的所有自由度，约束刚体控制点x方向的位移，并在刚体控制点上施加负y方向50N的压力。

图4 施加边界条件（4）计算结果进行求解，获得的两接触对的接触压力如图5所示，最大接触压力值为2685MPa，位于加载的中心。

可变形体内部的Mises应力分布如图6所示，最大Mises应力值为1665MPa，位于接触区域以下。

（中间变细，弹性模量变成平面应变模量。

contact presure2853.von mises1742）应力是内部材料抵抗变形而产生能量的反映，压力是作为力传递的外载在表面材料上的分布图6 Mises 应力图（单位：MPa ）2、使用解析法求解（选用mm 、MPa 计算结果与选用m 、Pa 计算的结果不同）根据Hertz 接触理论，接触半宽的计算公式为：a =其中：a 为接触半宽；P 为外载荷；R 为刚性圆弧的半径；E *是可变形体的等效弹性模量。

弹塑性力学 (2)

弹塑性力学 (2)
2 Et 1 ln K r K r 1 t 2 21 ln K K 1
周向热应力
2 ln K K E t t r r 1 径向热应力 r 2 21 ln K K 1 Et 1 2 ln K r 2 t 轴向热应力 z 2 21 ln K K 1
温度变化引起的弹性热应力
1.热应力 因温度变化引起的自由膨胀或收缩受到约束，在弹 性体内所引起的应力，称为热应力。
（a）自由膨胀 图2-18热应变
1 返回
2、厚壁圆筒的热应力
厚壁圆筒中的热应力由平衡方程、几何方程和物理方程， 结合边界条件求解。 当厚壁圆筒处于对称于中心轴且沿轴向不变的温度场时， 稳态传热状态下，三向热应力的表达式为：
（Self- balancing stress）
c. 热应力具有自限性，屈服流动或高温蠕变 可使热应力降低 d. 热应力在构件内是变化的
13
5
表2-2 厚壁圆筒中的热应力
热应力 任意半径 r 处
圆筒内壁 Kr K 处 圆筒外壁 Kr 1处

t r
pt

t
P
ln Kr ln K


Kr2 1 K 2 1
2 Kr 1 K 2 1
1 ln K r t ln K


0
P P
1 t ln K 1
0
2K 2 K 2 1

r r rt ,


t ,
z z zt
（2-39）
具体计算公式见表2-3，分布情况见图2-21。
10
表2-3 厚壁圆筒在内压与温差作用下的总应力

清华大学研究生弹塑性力学讲义 8弹塑性_塑性力学基本方程和解法

清华大学研究生弹塑性力学讲义 8弹塑性_塑性力学基本方程和解法

弹塑性力学第七章塑性力学的基本方程与解法一、非弹性本构关系的实验基础拿一根工程上最常用的低碳钢的试件，在拉伸试验机上就可得到如图7.1所示的应力应变曲线。

图中A为比例极限，当变形状态未超过A点时材料处于线弹性状态；B为弹性极限，AB段的变形虽然还是弹性的，即卸载时能按原来的加载曲线返回，但应力应变之间不再是线性关系。

C，D分别为上、下屈服极限，超过C点后材料进入塑性变形状态，卸载时不再按原来的加载曲线返回，而且当载荷完全卸除后还有残余变形。

由C到D是突然发生的，由于材料屈服引起应力突然下降，而应变继续增加。

由D到H是一接近水平的线段，称为塑性流动段。

对同一种材料D点的测量值比较稳定，而C点受试件截面尺寸、加载速率等影响较大。

如果载荷在使材料屈服之后还继续增加，则进入图中曲线右部的强化段。

即虽然材料已经屈服，但只有当应力继续增加时，应变才能继续增大。

在图中b点之后，试件产生颈缩现象，最后试件被拉断。

如果在塑性流动段的D′点，或强化段的H′点卸载，将能观测到沿着与OA平行的直线返回，当载荷为零是到达O′点或O′′点，即产生残余变形。

图7.1 低碳钢单向拉伸应力应变曲线有些高强度的合金钢并没有象低碳钢那样的屈服段，其单向拉伸的应力应变曲线如图7.2所示。

这种情况下屈服极限规定用产生0.2%塑性应变所对应的应力来表示，σ。

记为0.2图7.2 高强度合金钢单向拉伸应力应变曲线第七章 塑性力学的基本方程与解法如果以超过屈服极限的载荷循环加载，所得试验结果则象图7.3所示。

在实验中还发现，对于某些材料（图7.4），如果在加载（拉伸）屈服后完全卸载到O ′′点，然后接着反向加载（压缩），则其反向屈服点对应的应力绝对值s σ′′不仅小于s σ′，而且小于初始屈服应力的绝对值σ′。

这是德国的包辛格（Bauschinger, J.）最早发现的，称为包辛格效应。

图7.3 循环加载曲线示意图 图7.4 包辛格效应 当材料进入塑性状态后，如果不是单调加载，则应力和应变之间不仅不是单值函数的关系，而且当时的应变不仅和当时的应力有关，还和整个加载的历史有关。

8塑性力学基础详解

8塑性力学基础详解

（2）理想刚塑性模型：不考虑弹性 s
O
2. 强化塑性模型Βιβλιοθήκη 强化性质明显，分析中不能忽略。
s
（1）线性强化弹塑性模型：
E
s E1 s
s s
（2）线性强化刚塑性模型：
s E1 s
（3）幂强化模型：
A n
式中，0 n 1
当 n 0 时 A 若 A s， 刚塑性
由Drucker公设可证。
1(s1)
初始屈服曲线的性质可总结为封闭
性、唯一性、对称性和外凸性。
2(s2)
二. 常用屈服条件
1. Tresca屈服条件
1864 年法国工程师 Tresca 通过金属（铅）作了一系列挤压 实验，结果提出当最大剪应力达到一定数值时（k），材料进入 塑性状态。
即
max k
屈服曲面是弹塑性状态的分界面。系材料固有属性形成， 与荷载和物体某点的位置无关。
① 当某点应力状态在主应力空间中的点位于屈服曲面之上：
即 f (1,2,3, k) 0 某点处于屈服状态
② 当某点应力状态在主应力空间中的点位于屈服曲面之内：
即 f (1,2 ,3, k) 0 某点处于弹性状态 ③ 因系初始屈服函数，应力状态在主应力空间中的点不可能 位于屈服曲面之外，只可能在另一个屈服曲面（后继屈服曲面 或加载曲面）之上。
3. 主应力空间的力学意义 （1）等倾线
3 N
在主应力空间中，过O点以
n1 n2 n3
1 3
为方向余弦的直线
ON，称为等倾线。
1
等倾线线上任一点（如A 点）所代
表的应力状态为
1
2
3
m
1 3
(1
2

弹塑性力学接触问题课件

弹塑性力学接触问题课件

cos r
,

0, r
0 ，作为平面应力状态时，利用广义胡克定律
面上 时，则
可得
可将
r

1 E
( r
)
2P E
cos r



1 E
(
r )


2P E
cos r

r
r G

2(1 E
)
r
0


y
r
sin2


2P cos r(2 sin 2 )
xy 2 x2 y2 2


xy

1 2

r
sin
2


2P cos r(2 sin 2 )
x2 y
x2 y2
2
（9-6） （9-7）
7
（2）当 90 时，得
我们也可以引进应力函数Φ ，但是它是 r 与θ 的函数，所以我们应该将平面问题的基本方程
9-1 半无限楔形体受集中力作用
2 ( x 2

2 y 2
2 )( x2

2 y2 )

4

0
转换成极坐标的形式。 极坐标与直角坐标之间的关系为
x r cos , y r sin , r 2 x2 y2 , tg 1 y x
所以极坐标表示的双调和方程可写成
4


2 r 2

1 r
r

1 r2
2 2

2 r 2

1 r
r

第八章塑性加工

第八章塑性加工

第八章塑性加工※8·1 锻造成形8·2 板料冲压成形8·3 挤压、轧制、拉拔成形8·4 特种塑性加工方法8·5 塑性加工零件的结构工艺性8·6 塑性加工技术新进展本章小结塑性加工的基本知识塑性变形的主要形式：滑移、孪晶。

滑移的实质是位错的运动。

金属经过塑性变形后将使其强度、硬度升高，塑性、韧性降低。

即产生形变强化。

此外，还将形成纤维组织。

塑性加工特点：1·塑性加工产品的力学性能好。

2·精密塑性加工的产品可以直接达到使用要求，不须进行机械加工就可以使用。

实现少、无切削加工。

3·塑性加工生产率高，易于实现机械化、自动化。

4·加工面广（几克~几百吨）。

常用的塑性加工方法：锻造、板料冲压、轧制、挤压、拉拔等。

8·1 锻造成形8·1·1 自由锻定义、手工自由锻、机器自由锻设备（锻锤和液压机）1·自由锻工序（基本工序、辅助工序、精整工序）基本工序：镦粗、拔长、弯曲、冲孔、切割、扭转、错移辅助工序：压钳口、压钢锭棱边、切肩各种典型锻件的锻造2·自由锻工艺规程的制订（举例）8·1·2 模锻定义、特点（生产率高、尺寸精度高、加工余量小、节约材料，减少切削、形状比自由锻的复杂、生产批量大但质量不能大）1·锤上模锻2·压力机上模锻8章塑性加工拔长29使坯料横截面减小而长度增加的锻造工序称为拔长。

拔长主要用于轴杆类锻件成形，其作用是改善锻件内部质量。

(1)拔长的种类。

有平砥铁拔长、芯轴拔长、芯轴扩孔等。

8章塑性加工30芯轴拔长8章塑性加工芯轴扩孔型砧拔长圆形断面坯料冲孔采用冲子将坯料冲出透孔或不透孔的锻造工序叫冲孔。

其方法有实心冲子双面冲孔、空心冲子冲孔、垫环冲孔等。

8章塑性加工各种典型锻件的锻造1、圆轴类锻件的自由锻2、盘套类锻件的自由锻3、叉杆类锻件的自由锻4、全纤维锻件的自由锻8章塑性加工典型锻件的自由锻工艺示例43锻件名称工艺类别锻造温度范围设备材料加热火次齿轮坯自由锻1200～800℃65kg空气锤45钢1锻件图坯料图序号工序名称工序简图使用工具操作要点1局部镦粗火钳镦粗漏盘控制镦粗后的高度为45mm序号工序名称工序简图使用工具操作要点2冲孔火钳镦粗漏盘冲子冲孔漏盘（1）注意冲子对中（2）采用双面冲孔3修整外圆火钳冲子边轻打边修整，消除外圆鼓形，并达到φ92±1 mm续表序号工序名称工序简图使用工具操作要点4修整平面火钳镦粗漏盘轻打使锻件厚度达到45±1 mm续表自由锻工艺规程的制订（1）绘制锻件图（敷料或余块、锻件余量、锻件公差）※锻件图上用双点画线画出零件主要轮廓形状，并在锻件尺寸线下面用括号标出零件尺寸。

工程弹塑性力学-第八章-2015[CompatibilityMode]详解

第八章理想刚塑性的平面应变问题8.5 典型的滑移线场8.6 滑移线场的数值求解8.7 楔体的单边受压8.8 刚性压模的冲压问题8.9圆形切口板条的极限拉力8.10板条的抽拉拉利用非线性的塑性本构关系求解问题，而是在研究了平面应变状态下塑性变形的一些特点后，将问题转为建立研究了滑移线的某些性质研究了滑移线的某些性质，建立了滑移线与塑性变形规律之间的联系，从而为求解工程实际问题提供了必要的依据。

解决塑性加工工艺中的题提供了有用的参考数据并为等课题的研究提供了有利的条件。

(4)与变形平面相平行的各层之间没有相对错动物体的各点位移发生在xoy 平面内：(,)(,u u x y v v x y ==,x u x εε∂=∂xy v x γ∂∂=+∂∂由(8.1)得应变分量:3中间主应力01(2z x σσσ==+因此，在平面塑性应变条件下，垂直于变形平面的法向应力等于平均应力。

min z σσσσ==任意一点的应力状态都可以用平均应力τ来表示，最大剪应力所作用的面与应力主平面成453sk σ=(σσ−x y 使用Tresa(特雷斯卡)屈服条件时，主应力表达式为：121(22x y σσσσσ+=±2sk σ=(σσ−x y 可见在塑性平面应变问题中，两种屈服条件的形式是相同的，只是σs 前面的系数不同。

eασnayστxσx σO 1σ3σ1σ2滑移线法的原理及应用3. 不同应力状态下莫尔圆的圆心坐标不同：0z σσσ==τ3σkkσo大圆的直径为2k ，圆心的横坐标为σ。

由图中可见，最大切应力平面上正应力等于平均压力σ，即在塑性平面应变情况下，应力由σ和k 确定。

由于k 对于理想塑性材料是常数，因此只要找到平均应力σ，一点的应力状态便可以确定。

1σ滑移线法的原理及应用4. 用平均应力σ与最大剪应力和x 轴夹角θ表示应力状态：xσ根据单元法线方向的平衡条件：1σ2σϕτϕϕ22121212121cos 21cos 2cos sin 2211()()cos 2cos 222x ϕϕσσϕσϕσσσσσσϕστϕ+−=+=+=++−=+由垂直于法线方向上力的平衡条件得：12cos sin cos sin ϕτσϕϕσϕϕ=−121()sin 2sin 2σσϕτ=−=上述两式平方相加得：22()x ϕσστ−+=cos2x σσκ=+cos 2y σσκϕ=−i 上述两式平方相加得：22()x ϕσστ−+=sin 2xy τκϕ=cos 2xy τκθ=1σσκ=+2σσκ=−z σσ=X方向是主应力方向位移分量：(,)u u x y v ==,x u x εε∂=∂xy v x γ∂∂=+∂∂几何分量：(20ij y ε=⎢∂∂⎢⎢&⎢⎣由塑性增量理论的Levy—Mises 关系得：(),(x x y ελσσελσ=−=&&&&ij ijελε=&&y x∂∂x v ∂∂+x ∂由材料的体积不可压缩性可得：在塑性区由5个方程求5两个平衡方程(8.8)，屈服条件(8.10)，位移速度表示的本构方程将塑性区内各点最大剪应力的方向连接起来并绘成连续的曲线，则可以得到两族正交的曲线，这两族正交的曲线称为方向不同，一族曲线称为αα线β顺时针逆时针(3)若应力场不同，则滑移线场亦不同。

弹塑性力学基础与有限元分析-接触分析实例


06
结论与展望
结论
1
本文通过理论分析和有限元模拟，深入研究了弹 塑性力学基础与有限元分析在接触分析中的应用。
2
研究结果表明，弹塑性力学基础与有限元分析在 接触分析中具有较高的精度和可靠性，能够有效 地模拟复杂接触问题。
3
本文所采用的有限元分析方法在处理接触问题时 具有较好的通用性和扩展性，为进一步研究复杂 接触问题提供了有力支持。
弹塑性本构模型
弹塑性本构模型的定义
弹塑性本构模型是描述弹塑性材料力学行为的数学模型，它通过应力应变关系来描述材料的弹塑性行 为。
常见的弹塑性本构模型
常见的弹塑性本构模型包括Mohr-Coulomb模型、Drucker-Prager模型、Cam-Clay模型等。这些模 型在描述材料的弹塑性行为方面各有特点，适用于不同的材料和工程问题。
接触面完全贴合，无相对运动。
滑动状态
接触面部分贴合，存在相对运动。
混合状态
接触面同时存在分离、粘结和滑动。
接触检测与跟踪
初始接触检测
确定初始状态下接触面的位置和状态。
接触状态跟踪
实时监测接触面的运动状态和相互作用。
接触面更新
根据接触状态调整接触面的几何形状和参数。
接触刚度与阻尼
1 2
接触刚度
描述接触面间的相互作用力与相对位移的关系。
求解阶段主要进行有限元 方程的求解，得到各节点 的位移和应力等结果。
ABCD
前处理阶段主要完成有限元 模型的建立和网格划分，为 求解阶段提供输入数据。
后处理阶段主要对求解结果进 行可视化、分析和评估，为工 程设计和优化提供依据。
04
接触分析原理
接触状态描述
分离状态

弹塑性力学PPT课件精选全文

◆ 体力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之负。
.
*
⑾.静力边界条件
◆ 一个客观的弹塑性力学问题，在物体边界上 任意一点的应力分量和面力分量必定满足这 组方程。
◆ 面力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之 取负。
.
*
◆ 当边界面与某一坐标轴相垂直时，应力分量 与相应的面力分量直接对应相等。
.
*
2、几何假设——小变形条件
（1）在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时，可以 不考虑因变形而引起的力作用线方向的改变；
从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。
（2）在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二 次以上的高阶微量；
假定物体在受力以后，体内的位移和变形是微小 的，即体内各点位移都远远小于物体的原始尺寸，而 且应变( 包括线应变与角应变 )均远远小于1。根据 这一假定：
.
*
五、 弹塑性力学的基本假设
（1）连续性假设：假定物质充满了物体所占有的 全部空间，不留下任何空隙。
（2）均匀性与各向同性的假设：假定物体内部各点 处，以及每一点处各个方向上的物理性质相同。
1、物理假设:
（3）力学模型的简化假设： （A）完全弹性假设 ；（B）弹塑性假设。
可归纳为以下几点： 1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的 基本方程和理论； 2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法， 以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3．确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力， 提高经济效益； 4．为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定 性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。
理论上可证明：当一点的应力状态确定时，经推导 必可求出三个实根，即为主应力，且主应力彼此正交。
.

弹塑性力学最全课件2

18
2.全量应力-应变简化模型
二、弹性-线性强化模型 （材料有显著强化率）
s
E
E
加载
d 0
E
s
1 E
1 E
sign
卸载
d 0 d d E
0 s
s E
19
2.全量应力-应变简化模型
三、弹性-幂次强化模型
k n 0
E
1
0
E k n
0 0
0
k 0
E
n
20
2.全量应力-应变简化模型
(1)塑性应变增量的方向与主应力轴的方向一致；
(2)
d
p ij
d
g
ij
, d 为一非负的比例常数，称为塑性因子。
则称 g( ij ) 为塑性势函数。
Drucker塑性共设
34
3.塑性理论基础
二、流动法则
1、Druker塑性公设，必然得出 f g
2、 f g 即屈服函数与塑性势函数相等，称为相关联流动法则； f g 即屈服函数与塑性势函数相等，称为非关联流动法则。
35
3.塑性理论基础
三、硬化法则 1、各向同性强化(各向同性后继屈服准则) 2、随动强化(随动后继屈服准则) 3、混合强化(混合后继屈服准则)
36
3.塑性理论基础
三、硬化法则
1、各向同性强化(各向同性后继屈服准则)
f ij , k f0 ij K k 0
K k 是一个强化函数或增函数，用来确定屈服面的大小。k 是一个强化
T
T
2、随动后继屈服准则：材料进入塑性后，弹性
0T
范围的大小保持不变，而弹性范围的中心移动。
2 0T
C
C
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RI
2 x2 x1 x1
x 2 x3 x 3
2
2
)2 ( x2 x2 )2 ( x3 x3 )2 R ( x1 x1
Harmonic potentials
2) S. Liu & Q. Wang’s solution (JAM 2005)
) R ( x3 x3
User-defined variables
3) S. Liu et al., recent development (IJP 2012)
Extension of the theory by Liu & Wang (2005) Explicitly shows convolution correlation in the depth direction Four 3D-FFT
i j ( x ) Fk , k m m i j Fk , k i j (1 )( Fi ,k k j F j , k k i )
3) Stresses inside :
i j ( x ) Fk ,k m m i j Fk ,k i j (1 )( Fi ,k k j F j ,k k i )
2 ei j ek k i j
Displacement and stress induced by eigenstrains
Yu, H. Y., and Sanday, S. C., 1991, Proc. R. Soc. London, Ser. A, 434(1892), pp.521-530.
Surface displacement
u = k·p+D·εp
3D FFT for the four terms
1. Conjugate Gradient Method (CGM) is applied to minimize the quadratic function with inequality constrain 2. Fast Fourier Transform (FFT) is used to calculate ue、up and subsurface stresses and residual stress.
王战江 授课 11
Cuboidal inclusion in half-space
ui 1 8H
王战江 授课 12
In the half space, the Galerkin vectors include two parts, one is induced by the infinite space, and the other by the mirror domain. Finally the displacements and stresses can be expressed as (Liu et all., 2012), 1 Out Θij [e]dx ui Ui [e]dx ij 8H 4H where i and j represent the six components (11, 22, 33, 12, 13, 23) and,
2) Stresses outside :
求解流程： 1 共轭梯度法求解互补问题得到压力分布 2 基于半解析法求解压力引起的应力 3 基于半解析法求解残余应力 ( σ＝ σ p+ σ r ) 4 径向返回算法求解塑性应变 5 根据体内塑性应变计算表面残余位移。 6 将残余变形叠加到表面形貌
残余应力求解方案
A cuboidal inclusion in an elastic half-space
R R,11 ; R, 22 ; R,33 ; R, 23 ; R,13 ; R,12
Half space model
H 1
D 1 2
Cuboidal inclusion in half-space
统计模型不能得到局部接触信息，粗糙峰之间的相互作用没有考虑。 FEM求解粗糙表面接触需要划分大量网格，效率低。 SAM仅需要在关心的区域划分网格，计算速度快。
Elasto-plastic model
王战江 授课 3
Elasto-plastic model
p
王战江 授课 4
半解析法(SAM)：利用解析的方法得到影响系数，使用FFT计算 叠加效应，得到数值解。 本研究通过半解析法得到以下关系： 弹性接触中的应力－位移关系 弹塑性接触中的残余应力和表面残余位移 层状材料弹性接触中的应力－位移关系
The elastic field due to eigenstrains can be expressed in terms of Galerkin vectors, F (Yu and Sanday 1991): 1) Displacements:
2 ui (x ) 2(1 ) Fi , j j Fk , k i
2
2016/12/20
Cuboidal inclusion in half-space
Out ij
王战江 授课 13
Surface displacements due to Eigenstrain 王战江 授课
uis 1 U is [e]dx 2
2016/12/20
王战江 授课 1
Elasto-plastic model
接触模型介绍：
解析模型： 弹性点、线接触的解析解－Hertz理论
王战江 授课 2
接触力学
西南交通大学 王战江
统计模型：
Greenwood和Williamson (1966) GW模型 Persson B N Elasto-plastic model
求解线性互补问题：
弹性变形 残余变形
王战江 授课 7
互补算法推广到弹塑性接触的关键 －表面残余变形的计算 基于SAM实现了残余应力和残余变形 的求解
Cuboidal inclusion in half-space
王战江 授课 8
H = H0+C·P+D·εp Hi,j≥0, pi,j≥0 Hi,j· pi,j=0
Induced by elastic deformation K = the pressure-displacement influence coefficients
Induced by plastic strain D = the plastic-displacement influence coefficients
Liu, S. B., Jin, X. Q., Wang, Z. J., Keer, L. M., and Wang, Q., 2012, International journal of plasticity Liu, S. B., Jin, X. Q., Wang, Z. J., Keer, L. M., and Wang, Q., 2012, International journal of plasticity
确定性模型：有限元法(FEM) Wriggers (1995) Liu等 (2001) Pei等 (2005)
半解析法(SAM) 利用解析方法得到影响系数，使用快速傅里 叶变换(FFT)计算叠加效应，得到数值解
Kalker等 (1972) Nogi等 (1997) Polonsky等 (1999) Hu等 (1999)
Induced by the mirror domain
Half space model When solving multiple cubic eigenstrain problem, one can conduct combined 3D DCFFT for the first term, 3D DCR-FFT for the second term, take x3 out and do 3D DCRFFT for the third term and take x32 out and do 3D DCR-FFT for the forth term.


U i [e]dx

I 2 Ui ij 0,ij x3 1,ij x3 2,ij
I 2 Θij ij 0,ij x3 1,ij x3 2,ij
A cuboidal inclusion in an elastic half-space
Induced by the infinite space
Surface gap：h=h0+ue+up h0 - initial body separation between two surfaces ue - the surface displacement due to elastic effect up - the permanent deformation due to plastic effect
Explicit closed form solution In terms of elementary functions Shows convolution/correlation in half space solutions
1/ R
I 1/ RI
)] ln[ R ( x3 x3
共轭梯度法求互补问题 FFT算法加快弹性变形(ue)、塑性变形(up)和应力的计算速度
Cuboidal inclusion in half-space
1) Y. P. Chiu’s solution (JAM 1978)
王战江 授课 9
Cuboidal inclusion in half-space
Kuhn-Tucker complementarity conditions: • Contact regions: p≥0, h=0 • Non-contact regions: p=0, h>0