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第七章 位移法(学生)

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结构力学I-第7章 位移法

结构力学I-第7章 位移法
4
Page
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§7-1位移法基本概念
位移法基本方程：

i 1 5
EAi sin 2 i FP li
FP EAi sin 2 i i 1 li
5

关键的一步！
将杆数由5减少为2，这时的结 构是静定的；如果杆数大于 （或等于）3时，结构是超静 定的。
以上两种情况都可以用上述 方法计算！
(2) 杆件转角以顺时针为正 , 反之为负。杆件两端在垂直 于杆轴方向上的相对线位移 ΔAB （侧移）以使杆件顺时针转 动为正,反之为负。 B A B A θB
θ
A
AB
2015-12-21
Page
14
浙江大学海洋学院 Tel : Email：
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§7-2 单跨超静定梁的形常数与载常数
ΔAB F M AB l
Page
23
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§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
3. 一端固定、一端定向的等截面直杆
MAB A A
A
β AB
F EI
B
B
AB
FQBA=0,ΔAB是θA 和θB的函 数，转角位移方程为
F M AB i AB A i AB B M AB F M BA i AB A i AB B M BA
2015-12-21
LOGO
§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
2. 一端固定、一端铰支的等截面直杆
MAB A A FS BA l FS BA
A
F EI
B
AB
MBA=0,θB 是θA 和ΔAB的函数，转角位移方程为
M AB 3i AB A 3i AB M BA 0

第七章-位移法

第七章-位移法
10
q
q
A
BA
B
M
F AB


ql 2 8
M
F AB

M
F BA

ql 2 12
A i EI /l
A
BA
MBA 4iA MBA 2iA
i EI /l B
A
M AB 3iA
5、位移法的基本结构可看作为单跨超静定梁 的组合体系。为顺利求解，必须首先讨论单跨超静 定梁在荷载及杆端位移作用下的求解问题。
C
M
F BA

0
M
F BC

ql 2 8
3、此令时B结AB点、产B生C杆转类角似于B ()B端。为固端且产生转角 B
的单跨超静定梁。
A
A
BiC
i
B
i

B
B3iB
B
3iB
B
i
i EI l
C
13
4、杆端弯矩表达式（两种情况叠加）
M BA 3iB
M BC

3iB

ql 2 8
A
D BH
8
习题7-1 确定用位移法计算时结构的基本未知量个
数。(a) EI
EA
(b)

(1) 当EI、EA为无穷大时，
(3)
(2) (当c)EI、EA为有限值时， (6)
(1) 当0时，(10) (2) 当=0时，(9)
(d)

(1) 当不考虑轴向变形时，
(1) 当0时，
(4)
(3)
(2) 当考虑轴向变形时，(9)
(2) 当=0时，
9
小结： 1、位移法的基本未知量是结构内部结点（ 不 包括支座结点）的转角或线位移。

第7章位移法

第7章位移法
A A
MAB
B
MBA
QAB= QBA
θ=1
B
4i
1
2i
- 6i l
12i
l
- 6i
3i
l
- 6i
0
l2
A A
θ=1
B B
- 3i
3i l
l
2
1 θ=1
B
- 3i
i
l
0
A
－i
0
3、载常数:由跨中荷载引 起的固端力 Δ1=δ11X1 + Δ1P=0 1 l 2 2l l 3 11 EI 2 3 3 EI 1 1 ql 2 3l ql 4 1P - l EI 3 2 4 8 EI X1=－Δ1P / δ11 =3ql/8 各种单跨超静定梁在各 种荷载作用下的杆端力均可 按力法计算出来，这就制成 了载常数表
X1
1 2
X X X2 X X
11 1 12 2 1C 21 1 22 2 2C
用力法求解单跨超静定梁
θA
X1
A
θB
B
Δ
Δ
X2
几种不同远端支座的刚度方程 （1）远端为固定支座
M AB 4i A 2i B - 6i l (1) M BA 2i A 4i B - 6i l
根据两图结点平衡
可得附加约束反力
利用“载常数”可作 利用“形常数”可作 图示荷载弯矩图 图示单位弯矩图
典型方程法
以位移为基本未知量,先“固定”（不产 生任何位移） 考虑外因作用，由“载常数”得各杆受 力,作弯矩图。 令结点产生单位位移（无其他外因）， 由“形常数” 得各杆受力,作弯矩图。 两者联合原结构无约束，应无附加约束 反力（平衡）. 列方程可求位移。

位移法

位移法

• 在位移法典型方程中，每个系数都是单位 结点位移所引起的附加约束的反力，它的 大小与结构刚度有关，刚度愈大则反力也 愈大。故把系数称为结构的刚度系数，把 典型方程称为刚度方程，把位移法也叫刚 度法。 无论刚架、连续梁、铰接排架还是组合结 构，也无论结构形式有多大差异，也不管基 本未知量的类型有什么不同，只要结构的位 移法基本未知量数目相同，位移法方程形式 都是相同的。
Z2 l
EI l P
R2
Z1
r21
3i/l
Z1=1
2EI
R1
12i/l
12i/l
3i/l
r11
M1
l R2=0 R1 r11 Z1 r12 Z 2 R1 P 0 Z2=1
R2 r21 Z1 r22 Z 2 R2 P 0
r22 r12 P
M2
R2P R1P
MP
M M 1 Z1 M 2 Z 2 M P
3i r11 30i / l 2 8i 3i / l r12 r21 9i / l r21 4i R1 P P 3i / l 2 12i / l r22 11i 3i r22 24i / l 2 R2 P 0 3i / l Z1 0.044Pl 2 / i 8i 12i / l Z 2 0.036Pl / i R2P P
二、杆端内力的正负号规定 杆端弯矩M：对杆件而言，当杆端弯矩绕杆件 顺时针方向旋转为正，反之为负。对结点而言，当 杆端弯矩绕结点（或支座）逆时针方向旋转为正， 反之为负 杆端剪力Q：正负号的规定，同材料力学和本 书中前面的规定。
三、等截面直杆的刚度系数和固端力
形常数:：是指使单跨超静定杆件在杆端沿某位移方向 发生单位位移时，所需要施加的杆端力。又称为刚度 系数 载常数：单跨超静杆件在荷载等外部因素作用下引起 的杆端内力，常称为固端内力（包括固端弯矩和固端 剪力）。

第七章 位移法

第七章 位移法
第 七 章 位移法
1
抓住问题的关键，方能破解问题
§ 7 —1 概
述
力法和位移法是求解超静定结构的两种基本方法
力法：普遍适用，随着混凝土结构的发展，高次
超静定刚架出现，计算过于麻烦。
结构在外力作用下，内力和位移存在对应关系。
力法——多余未知力作为基本未知量，列位移协调方程，求出 内力——最后求出位移。 位移法——某些结点位移作为基本未知量，列静力平衡方程， 求出结点位移——最后求出内力。
1
△
2
△
3
△
4
5
6
(a)
事实上，图 (a)( 所示结构的独立线位 将刚结点 包括固定支座)都变成 移数目，与图(b)所示铰结体系的线 铰结点 ,则使其成为几何不变添加的 位移数目是相同的。因此，实用上 最少链杆数，即为原结构的独立线位 为了能简捷地确定出结构的独立线 18 位移数目，可以 移数目。
(b)
两端固定梁杆端弯矩的一般公式，称为转角位移方程。 其转角位移方程 对于一端固定另一端简支的等截面梁(见图)， 可由上式导出，B端铰支，则: F t1 B MBA= 4i B +2i A__ A =0
EI
可见，B=f (A、△AB), 不独立, 代入第一式: MAB=3iA 式中 （转角位移方程） （固端弯矩）
同时,在有线位移的结点上加一个附加链杆(阻止结点移动)。
例
1 2 3
杆14, 36: 两端固定
4 5 6
基本未知量3个。
杆12, 23, 25: 一端固定 一端铰结
23
又例:
m m
原结构
（4次超静定）
基本结构
（6个独立位移）
24
§7—4 位移法的典型方程及计算步骤

第7章位移法

第7章位移法
二、两端固定梁的转角位移方程
φA P q MAB A φA βAB QAB QBA l t1˚C βAB EI t2˚C φB B ΔAB
B'
MBA
EI EI EI f M AB 4 A 2 B 6 2 Δ M AB l l l M 2 EI 4 EI 6 EI Δ M f A b BA BA l l l2 Q 6EI 6EI 12EI Δ Q f a b AB AB l2 l2 l3 6EI 6EI 12EI f Q AB 2 a 2 b 3 Δ QBA l l l
EI 4EI (2i)
E
2kN/m
C
ø B
B
ø B
所以： k11 △ 1 +F1P=0
△ 1= ø B
△ 1=－ F1P／ k11
C A C
△ 1= １
(c)
A
ø B
F11 ø B B F1P q
ø B
k11
B
ø B
C
(d)
A
B
观察3位移法基本思路
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
F1
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ql2/12
第7章
4、解方程，求得
8i1 2i 2 22 .5 0 2i1 7i 2 45 0
1 4.76i 2 7.79i
5、按M=M1X1+ M2X2+ MP绘弯矩图
例7-2 用位移法求图示刚架的M图，各杆EI 相同。 解： 8kN/m B
i
D
i
E
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结构力学-第7章-位移法习题答案

结构力学-第7章-位移法习题答案

EA=∞ E
EA=∞ F
EI
2EI EI
A
B
C
6m
6m
解：（1）确定基本未知量 一个线位移未知量，各种 M 图如下
7- 34
（2）位移法典型方程
r11Z1 R1p 0
（3）确定系数并解方程
r11

4 243
EI , R1p

Fp
4 243
EIZ1

Fp

0
Z1

243 4EI
（4）画 M 图
(d)
E
F
EA
EA
A
B
FP aa
C EI1=∞
2a
D
FP a
解：（1）确定基本未知量 一个线位移未知量，各种 M 图如下
2a
7- 35
（2）位移法典型方程
r11Z1 R1p 0
（3）确定系数并解方程
r11

2 5
EA / a, R1p


6 5
Fp
2 5
EA a
Z1

6 5
Fp

0
Z1

3a EA
（4）求最终弯矩图
7- 41
(d)
l
E q
GB
D
ql F
EI=常数
A
C
l 2
l
l
l
解：（1）确定基本未知量 两个位移未知量，各种 M 图如下
7- 42
（2）位移法典型方程
r11Z1 r12Z2 R1 p 0 r21Z1 r22Z2 R2 p 0
（3）确定系数并解方程
r11

07★结构力学A上★第七章★位移法

07★结构力学A上★第七章★位移法
31
例：作图示刚架弯矩图。忽略横梁的 轴向变形。 解:（1）基本未知量：各柱顶水平 位移相等，只有一个独立线位移Δ。 （2）各柱的杆端弯矩和剪力为：
EI1 i1 h1 EI 2 i2 h2 EI 3 i3 h3
32
M BA 3i1 M DC 3i2 M FE 3i3


FP i1 i2 i3 3 2 2 2 h1 h2 h3 FP 3 i h2
列出水平投影方程：
X 0
33
（4）各柱最终杆端弯矩，画弯矩图：
i1 2 h1 FP i 2 h i3 2 h3 FP i 2 h i2 2 h2 i 2 h
转角位移方程。因此，不能利用刚性杆两端的刚结点力矩平
衡条件。应建立弹性杆端的剪力平衡方程。 刚性杆虽然没有变形，但是可存在内力。
30
2. 基本方程的建立
B= 0.737/ i (1) 基本未知量 B = 7.58/i
(2) 杆端弯矩
1 AB：M AB 2i B 6i 3 42 4 12 1 M BA 4iB 6i 3 42 4 12
M E 0, FQBE
M F 0, FQCF
1 (M EB M BE ) 4
1 M FC M CF 6
1 1 (M EB M BE ) M FC M CF 0 4 6
（4）解方程组
1.125 B 0.5C 0.728 0
得 B= 0.94 C= -4.94 = -1.94
10 B 2C 1.125 1.7 0 2 B 9C 0.5 41.7 0 1.125 B 0.5C 0.728 0

第7章 位移法

第7章 位移法

两端为固定结点
3i M AB 3i A AB l
c
一端为固定结点，一端铰支
c M AB i A c M BA i A
一端为固定结点，一端滑动支承
§7-2 杆件单元的形常数和载常数——位移法的前期工作
力法方程：
2、由荷载求固端内力——载常数 两端固定梁
F M AB F M BA
ui sini
几何条件
EAi sin i li FNi FP EAi 2 sin i li
FNi sin i FP
综合各杆件，得平衡条件
EAi 2 sin i FP li
FP EA i sin 2 i li
§7-1 位移法的基本概念
（2）杆端弯矩Mi j
3I0 E
4m 5m
F
4m
2m
4m
D
2 2 ql 20 4 F M BA 40 8 8
F M BC
ql 2 41.7 12
F M CB 41.7
计算线性刚度i，设EI0=1，则
E 4I 0 EI iAB AB 1 l AB 4
iBC 1, iCD 1, iBE
C
P
基本未知量 （如图所示刚架有几个
独立结点位移参数？） 在刚架分析中，通常只考虑弯曲变形， 忽略剪切和拉伸变形。 因此，取独立节点位移参数A和作为基本未知量。
A
B A

M AB
建立基本方程分两步
A
B
A
M AB
P C
A
（1）单元分析（拆分）确 定单杆的杆端内力与杆端 位移及杆件上荷载的关系；
力法方程：

结构力学 第七章 位移法

结构力学 第七章 位移法

表示等截面直杆杆端力与杆端位移及杆上荷载间关系的表达式
B A
Δ
6i F M AB l 6i F M BA 2i A 4i B M BA l 6i 6i 12i F F QAB A B 2 FAB l l l M AB 4i A 2i B
B
4i
1
2i
6i l
12i
l
6i
3i
l
6i
0
l2
θ =1
B B
3i
3i l
l
2
1 θ =1
B
3i
i
l
0
A
－i
0
三 等截面直杆的载常数 由荷载作用所引起的杆端力（固端力）
单跨超静定梁简图
q A
↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓
mAB
B
mBA
ql 2 12
Pl 8
ql 2 12
Pl 8
位移法方程实质上平衡方程
Z1
D i A 2i E
Z2
C 2i
i EI l
4m
EI
i B
A
B
4m
2m
2m
位移法基本体系
解：1 确定位移法基本体系 2 列位移法方程 k11Z1+ k12Z2+ F1P=0 k21Z1+ k22Z2+ F2P=0
３ 计算系数和自由项 Z1=1
4i 4i D i8i A 2i 8i 2i E 2i i B C
M AB 2i B
M BC ql 2 4i B 12
ql 2 ql 2 ql 2 4i 96i 12 24

第7章 位移法

第7章 位移法

A
M
F AB

MF BA

0
⑤
B
l
A
A i=EI/l M AB 4iA
MBA 2iA
⑥
BD
l i=EI/l A
M
AB

M BA


6i l
D
⑦
B
D
l
i=EI/l A
M AB M BA 0
14
四、说明：
⑴杆件的线刚度 i 应为杆件的抗弯刚度EI 除以杆件长度l，即： i=EI/l 。
⑵转角位移方程中杆端位移若为负应以负值代入以获得杆端弯矩.
⑶固端弯矩表在应用时，应随实际杆件所受荷载，其固端弯矩
作相应变化。
q
q
M
F AB


ql 2 8
A
BA
l
l
B
B
B
M
F BA

ql 2 8
q
q
A
M
F AB


ql 2 8
A
M
F AB

ql 2 8
固端弯矩表 P230表7-1
15
⑷补充固端弯矩表
l
l
3ql2/32
C
中点
方法二 基本体系解法(附加约束法)
6
Ex:位移法作图示连续梁的M图。
A
方法二 附加约束法
⑴构造基本结构确定基本未知量B=D1
⑵建立位移法方程
A
F1 k11D1 F1P 0
⑶作 M1, M图P
⑷求系数和自由项
A
k11 6i,F1P
⑸解方程
D1

第七章位移法

第七章位移法

二. 荷载作用下求固端弯矩 单跨超静定梁仅由荷载作用产生的杆端弯矩和杆端力，叫固 F F F F 端弯矩和固端剪力 M AB , M BA和FQAB , FQBA 只与荷载形式有关的常数，叫载常数。为了便于运用，将其 数值列于表7-1中。 在已知荷载和支座位移作用下，杆端内力的一般公式： 1） 两端固定梁的杆端弯矩和杆端剪力：
+ 12
∆ l2
2）列平衡方程：
∑M ∑F
θA =
3FP l 25FP l ,∆ = 16i 96i
2
A
= 0, M AB + M AC + M AD + M AE = 0
x
= 0, FQAC = 2 FP
∆ F l 11iθ A − 6i − P = 0 l 2 − 6i θ A + 12i ∆ = 2 F P l l2
θ3
△7
θ4
θ5 △8
θ6
θ1 △5 θ3
θ2 EA θ4
△7 △6
△1 △2
等截面杆件杆端内力（ §7-2 等截面杆件杆端内力（M和FQ）
方向规定: ●1 方向规定: 杆端M和杆端FQ, 都以对杆端顺时针转向为正；对结点或支座 而言，弯矩以逆时针为正。 结点转角θA、θB以顺时针转向为正，杆件两端相对线位移也 以顺时针转向为正。
3FPl/28 FQBA
M AB + M BA FQAB = FQBA = − l 3 FP l FP + 328 l 9 56 =− = − FP l 56
FQBC = M BC FP 3FP FP 17 + = + = FP l 2 28 2 28
3FPl/28 FQBC

结构力学第七章位移法

结构力学第七章位移法

结构力学第七章位移法1.引言结构力学是研究结构受力、变形和稳定性的力学分支。

在结构力学中，位移法是一种重要的分析方法，用于求解结构的变形和应力分布。

2.位移法的基本原理位移法是基于以下两个基本原理：（1）弹性体的受力状态可通过满足平衡条件来确定；（2）位移场的连续性条件，即位移场在结构内部要处处连续，边界上要满足给定的边界条件。

3.位移法的基本步骤位移法的基本步骤如下：（1）建立结构的受力模型，包括结构的材料性质、几何形状和边界条件等；（2）选取适当的位移函数形式，以确定位移场；（3）利用平衡方程和满足位移场连续性条件的边界条件，求解未知的位移和受力分布；（4）利用位移和受力分布计算结构的变形和应力分布。

4.位移法的应用位移法广泛应用于各种结构的力学分析，特别是对于复杂的非线性和不规则结构，位移法是一种常用的分析方法。

以下是一些常见的应用：（1）梁的挠曲分析：位移法可以用来求解梁的挠曲问题，通过选取合适的位移函数形式，可以得到梁的弯曲形状和弯矩分布。

（2）柱的稳定性分析：位移法可以用来求解柱的稳定性问题，通过选取合适的位移函数形式，可以得到柱的稳定性临界载荷和稳定形状。

（3）桁架结构的分析：位移法可以用来求解桁架结构的强度和刚度，通过选取合适的位移函数形式，可以得到桁架结构的内力和变形。

（4）地基基础的分析：位移法可以用来求解地基基础的变形和应力分布，通过选取合适的位移函数形式，可以得到地基基础的沉降和周边土体的应力分布。

5.位移法的优缺点位移法作为一种结构力学的分析方法，具有以下优点：（1）位移法适用于各种结构的力学分析，可以求解复杂的非线性和不规则结构问题；（2）位移法具有较强的适用性和灵活性，可以根据实际情况选取不同的位移函数形式；（3）位移法的计算步骤相对简单，易于实现。

然而，位移法也存在一些缺点：（1）位移法需要选取适当的位移函数形式，这对分析结果的准确性有较大影响；（2）位移法的计算过程较为繁琐，需要手动推导和求解方程组，耗费时间和精力。

第七章 位移法

第七章 位移法
位移法基本概念可知，如果结构的每根杆件的杆端 位移已知，即可求出杆件内力。又由于汇交于刚结 点处各杆端位移相等，且等于结点位移，位移法把 结构的独立结点位移作为基本未知量。 结点位移 由结点角位移和结点线位移两部分组成，则基本未 知量由结点角位移和结点线位移两部分组成。同时 位移法引入变形假设： 假设结构变形是微小的；忽 略受弯直杆（件）的轴向变形和剪切变形对结点位 移的影响。
位移，编号为Z1；另
外结点A、B、C有一
个独立水平线位移，编
号为Z2，基本未知量
a图
和基本结构见图（b）。
b图
基本结构在外荷载q单
独作用下引起的弯矩
图，记为MP图，见图
（C）。它引起附加 刚臂和附加链杆的反
c图
力矩和反力，分别用
R1P、R2P（图C）
基本结构在Z1=1及
d图
Z2=1单独作用下产
生的弯矩图，称为
因此位移法分析中应解决的问题有以下几方面：
1、确定杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系
2、确定结构中哪些结点位移作为基本未知量。
3、如何建立求解基本未知量的位移法方程式。
7.2等截面直杆的形常数和载常数
对单跨超静定杆件分析是位移法分析的基础。通 常有三种基本杆件类型：两端固定杆件；一端固定、 另一端铰支座杆件；一端固定、另一端定向支座杆件。
对于具有n个独立结点位移的结构则可建立n个方程如下
r11Z1 r12 Z 2 r1n Z n R1P 0 r21Z1 r22Z 2 r2n Z n R2P 0 rn1Z1 rn2 Z 2 rnn Z n RnP 0
第七章
超静定结构的解法
——位移法 (Displacement Method)
7.1位移法基本概念
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12
2
位移法

等截面直杆的转角位移方程

位移法的基本概念 位移法的基本未知量和基本结构 等截面直杆的转角位移方程 位移法原理与位移法方程 位移法解超静定结构 对称性的利用 支座位移、温度变化等下的位移法计算
位移法原理（超静定刚架而言）
附加刚臂约束结点转角
原结构
附加链杆约束结点线位移
7
A
E
F

刚度无穷的影响——E、H转角为零 变截面杆的影响——截面突变处有角位移和线位移 如BD杆上移高于变截面处，如何？ 增2个未知量
8
位移法的基本未知量和基本结构

位移法的基本未知量和基本结构

刚度无穷的影响
C B EI EI1＝ B EI D
1个位移法基本未知量
C
D C B D

桁架位移法未知量 6个位移法基本未知量 一般结点有2个独立线位移 支座结点只有未被约束的线位移 结论：未知量数＝2×结点总数－支座链杆数 注意：静定部分排除在外
M BA M BC M BD
F
3
Nyi
FP 0
的函数，一个未知量
的函数，一个未知量
4
位移法的基本未知量和基本结构

位移法的基本未知量和基本结构

位移法的基本未知量：结构关键位移 结构关键位移：对确定内力而言充分、必要、独立 结点独立位移：角位移、线位移 注意：刚架杆无轴向变形；静定部分无关键位移
16
i
EI l Δ AB l
固端弯矩
杆件线刚度
弦转角
杆端剪力由平衡方程求出
一固一铰等截面直杆的转角位移方程

一固一定向铰等截面直杆的转角位移方程

用力法导出杆端弯矩的一般公式
MAB
用力法导出杆端弯矩的一般公式
MAB
=AB/l A
q B
q
MBA
A
A
A
B
A
B
FQAB
AB
B
FQAB
MAB
用力法导出杆端弯矩的一般公式
MAB
=AB/l A
q B
A
A
MBA
FQAB
B
FQBA
B
AB
=AB/l A
q B
A
A
MBA
M AB 4i A 2i B 6i
AB

FQAB
B
FQBA
15
B
M BA
ΔAB F M AB l Δ F 4i B 2i A 6i AB M BA l
24i r33 2 l

副系数可正、负、零 反力互等 rij＝rji

外荷载及位移法各未知量同时作用，利用转角位移 方程列出各杆件的杆端力，根据结点和截面平衡条 件列出位移法方程 q
Z1
自由项 位移法方程
R3 P FP
q 2i
Z2 Z3 Z1
Z1
Z2
自由项可正 负 零 自由项可正、负、零
M DB
6i Z3 l 6i 4iZ 2 Z 3 l
A FP C
FQCA MCD MCA
28
位移法的典型方程（r13、r23、r33）
r13 6i /l C 0 6i /l D r23 C
r13 Z3=1 6i/l r23 r33
位移法的典型方程（R1P、R2P、R3P）
R1
P
R2P ql2/12 ql2/12 D
R1P
ql2/12
q
R2P R3P
D
FP C D
6i/l
C
r13
31
B A
MCD MCA MDC MDB
32
l
B FP C
FQCA
q D
FQDB
D
倾角变位法－转角位移方程

倾角变位法－转角位移方程
Z1
转角位移方程
M AC 2iZ 1 M CA M BD M DB 6i Z3 l 6i 4iZ 1 Z 3 l 6i 2iZ 2 Z 3 l 6i 4iZ 2 Z 3 l
A 2i
－
r12 4i r21
r32 D FQCA＝-6i /l
r22 4i 8i 12i
A
－
B 2i
M1图 C FQCA＝-6i /l
M2图
r31
C FQDB＝0
r32
4i 2i 6i r23 l l
附加约束力与关键位移方向一致为正
27
附加约束力与关键位移方向一致为正
r21 r22 r23
R2 P
r31 r32 r33
R3 P
Z1＝1 产生的各附加约束力 Z2＝1 产生的各附加约束力 Z3＝1 产生的各附加约束力 外载产生的各附加约束力
26
系数项

位移法方程的物理意义？ 变形协调方程何处体现？
25
自由项
位移法的典型方程（r11、r21、r31）
r11 4i C 8i 4i D 0 r21

FP C i A l C D i
C
Z3
D
Z2
C
Z3
D
12iZ 1 4iZ 2
6i ql 2 0 Z3 M Mi Zi MP 12 l Z1 、 Z2 、 Z3 2 6i ql F Q FQi Z i FQP 4iZ 1 12iZ 2 Z 3 0 12 l FN FNi Z i FNP 6i 6i 24i Z 1 Z 2 2 Z 3 FP 0 l l l
ql 2 12 ql 2 4iZ 1 8iZ 2 12
33
q C
Z2

转角位移方程
FQCA FQDB 6i 12i Z1 2 Z 3 l l 6i 12i Z2 2 Z3 l l
Z1
Z1
q C
Z2
Z1
D
C
Z3
Z2
Z3
D
D
C
Z3
Z2
Z3
D
A
B
M CA 4iZ 1
6i r31 l
r23
r33 D
6i r32 l r33 2
6i/l
A
－
6i/l
B
M3图
R1P
ql 2 12
R3
R2 P
ql 2 12
A MP图
B
C FQDB＝6=12i /l2
FQCA＝-12i /l2
6i 6i 24i 2 l2 l
FP C 0 D 0
位移法

位移法的基本概念

位移法的基本概念 位移法的基本未知量和基本结构 等截面直杆的转角位移方程 位移法原理与位移法方程 位移法解超静定结构 对称性的利用 支座位移、温度变化等下的位移法计算
解超静定结构的两种基本方法 力法 未知量 方程 系数 特点 多余约束力 变形协调 柔度系数 超静定变静定 位移法 结点独立位移 平衡条件 刚度系数 原结构变三类基本杆件
r11 r12 r13
R1P
Z1
q 2i
Z2 Z3
FP C i A 基本结构 D i B
附加刚臂、链杆 锁住关键位移

各 Mi MP 图
－
结点弯矩平衡 截面力内外平衡
位移法方程
转角位移方程：外载和全部关键位移同时发生 用转角位移方程 写出杆端内力
结点弯矩平衡 截面力内外平衡
位移法方程 平衡方程 设定关键位移时
F M AB i A i B M AB F M BA i A i B M BA
M AB

Δ F 3i A 3i AB M AB l

FQAB
式中B端转角不出现 杆端剪力由平衡方程求出
17
式中B端线位移不出现 杆端剪力
F FQAB FQ AB
C B D G
6个位移法基本未知量
C B D G
刚架位移法基本未知量
E B D EA＝ EI C EI EI1＝ H EI G 2EI F
5个位移法基本未知量
E B D H G
A
E
F
A
E
F A
2EI
A
C
F

4 刚结点加刚臂 独立线位移处加链杆 2
C B D G

铰接图要成为几何不变体系 时所需加的链杆数
21
22
位移法原理与位移法方程

位移法原理与位移法方程（刚架）
q FP
Z1
位移法原理
附加刚臂、链杆 约束关键位移 满足平衡条件
q 2i
Z2 Z3
R1P
ql2/12
q
R2P R3P
FP C i A 2i D i l
4i
FP C D
以关键位移为基本未知量
基本结构
C
D i
=
i A 基本结构
=
B A MP图
=1
6i/l
=AB/l A
q B
=1
A 3i B
3i/l A
A
A
MBA
B
=1 =1
A i
19
FQAB
B
FQBA
B
AB
B
EI i l
M AB 4i A 2i B 6i M BA
ΔAB F M AB l Δ F 4i B 2i A 6i AB M BA l

三类基本构件＋静定部分 基本结构