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第7章位移法一. 教学目的掌握位移法的基本概念；正确的判断位移法基本未知量的个数；熟悉等截面杆件的转角位移方程；熟练掌握用位移法计算荷载作用下的刚架的方法了解位移法基本体系与典型方程的物理概念和解法。
二. 主要章节§7-1 位移法的基本概念§7-2 杆件单元的形常数和载常数—位移法的前期工作§7-3 位移法解无侧移刚架§7-4 位移法解有侧移刚架§7-5 位移法的基本体系§7-6 对称结构的计算＊§7-7支座位移和温度改变时的位移法分析（选学内容）§7-8小结§7-9思考与讨论三. 学习指导位移法解超静定结构的基础是确定结构的基本未知量以及各个杆件的转角位移方程，它不仅可以解超静定结构，同时还可以求解静定结构，另外，要注意杆端弯矩的正负号有新规定。
四. 参考资料《结构力学(Ⅰ)-基本教程第3版》P224～P257第六章我们学习了力法，力法和位移法是计算超静定结构的两个基本方法，力法发展较早，位移法稍晚一些。
力法把结构的多余力作为基本未知量，将超静定结构转变为将定结构，按照位移条件建立力法方程求解的；而我们今天开始学的这一章位移法则是以结构的某些位移作为未知量，先设法求出他们，在据以求出结构的内力和其他位移。
由位移法的基本原理可以衍生出其他几种在工程实际中应用十分普遍的计算方法，例如力矩分配法和迭代法等。
因此学习本章内容，不仅为了掌握位移法的基本原理，还未以后学习其他的计算方法打下良好的基础。
此外，应用微机计算所用的直接刚度法也是由位移法而来的，所以本章的内容也是学习电算应用的一个基础。
本章讨论位移法的原理和应用位移法计算刚架，取刚架的结点位移做为基本未知量，由结点的平衡条件建立位移法方程。
位移法方程有两种表现形式：①直接写平衡返程的形式（便于了解和计算）② 基本体系典型方程的形式（利于与力法及后面的计算机计算为基础的矩阵位移法相对比，加深理解）§7-1 位移法的基本概念1.关于位移法的简例为了具体的了解位移法的基本思路，我们先看一个简单的桁架的例子：课本P225。
位移法复习要点位移法需要掌握的知识点有：直接平衡法：1. 以结点位移为基本未知量（转角或线位移）；2. 以结点作为端点，将结构分解为简单杆件；3. 将杆端内力分为外力单独作用部分（限制位移=加刚臂或链杆）+ 位移单独作用部分，最终结点平衡求位移；外力单独作用部分→载常数；位移单独作用部分→形常数；4. 载常数和形常数都由前一章力法求得，用时可查表。
典型方程法：1. 先锁：基本体系=单跨超静定梁的组合（增加刚臂或链杆来限制位移）；2. 后松：将基本结构还原成原结构，依次放松每一个刚臂或链杆；3. 建立位移法典型方程→矩阵位移法求解基本未知量；Δi为基本未知量，即结点位移；kij为刚度系数，第j个结点发生单位位移Δ=1 时第i个结点位移方向所需要的反力；kij=kji →反力互等定理；Fj p基本体系中外荷载引起的结点力；下标i 代表基本未知量方向； j 代表产生力的原因；4. 叠加法求内力：解题步骤（直接平衡法）：① 确定结点位移数量和类型（特别是有无侧移）；② 拆解杆件，写出杆端力与杆端位移表达式；③ 由结点平衡建立平衡方程；④ 解方程求解结点位移；⑤ 结点位移回代求解杆端力；⑥ 将杆件综合为结构，求最终内力。
Tips：1. 本方法基于以下三个假设：① 忽略杆件轴向变形，即EA→∞；② 变形后的曲杆长度与其弦等长；③ 适用于等截面直杆；2. 注意载常数和形常数形式，若与表中单跨梁的支座或加载方向相反，别忘×负号；3. 拆解的杆件中，端部内力顺时针为正；杆件综合为结构，结点内力逆时针为正；4. 尤其注意每根杆件线刚度的变化；5. 对静定结构求解同样适用。
例1 采用直接平衡法建立位移法方程，计算图1-(a) 所示刚架，绘制结构的弯矩图。
各杆EI为常数1-(a)分析：该刚架共有两个基本未知量，即刚结点B的转角φB和结点B、C的水平位移Δ。
令Δ1=φB，Δ2=Δ，并设Δ1顺时针方向转动，Δ2向右移动。
位移法复习题位移法复习题位移法是力学中的一种重要方法，用于求解物体在受力作用下的运动情况。
它通过分析物体的位移来推导出物体的速度和加速度等运动参数。
在学习位移法时，我们需要掌握一些基本的概念和方法，并通过练习题来加深理解。
下面，我们将通过一些典型的位移法复习题来巩固知识。
1. 一辆汽车以20 m/s的速度匀速行驶了5秒钟，求汽车的位移。
解析：根据位移的定义，位移等于速度乘以时间。
所以汽车的位移等于20 m/s × 5 s = 100 m。
2. 一个物体以2 m/s²的加速度匀加速运动了10秒钟，求物体的位移。
解析：根据匀加速运动的位移公式，位移等于初速度乘以时间加上加速度乘以时间的平方的一半。
所以物体的位移等于0 m/s × 10 s + 2 m/s² × (10 s)² / 2 = 100 m。
3. 一个自由落体物体从静止开始下落，求物体下落5秒钟后的位移。
解析：自由落体物体的加速度等于重力加速度，即9.8 m/s²。
根据自由落体运动的位移公式，位移等于初速度乘以时间加上加速度乘以时间的平方的一半。
由于物体从静止开始下落，所以初速度为0 m/s。
所以物体的位移等于0 m/s × 5 s + 9.8 m/s² × (5 s)² / 2 = 122.5 m。
4. 一个物体以10 m/s的速度向上抛出，求物体到达最高点时的位移。
解析：当物体到达最高点时，它的速度为0 m/s。
根据物体的运动规律，物体到达最高点时的位移等于它的初速度乘以时间。
所以物体到达最高点时的位移等于10 m/s × (10 m/s / 9.8 m/s²) = 10.2 m。
5. 一个物体以5 m/s的速度向上抛出，求物体落地时的位移。
解析：当物体落地时，它的位移等于它的初速度乘以时间加上加速度乘以时间的平方的一半。
结构力学第七章位移法1.引言结构力学是研究结构受力、变形和稳定性的力学分支。
在结构力学中，位移法是一种重要的分析方法，用于求解结构的变形和应力分布。
2.位移法的基本原理位移法是基于以下两个基本原理：（1）弹性体的受力状态可通过满足平衡条件来确定；（2）位移场的连续性条件，即位移场在结构内部要处处连续，边界上要满足给定的边界条件。
3.位移法的基本步骤位移法的基本步骤如下：（1）建立结构的受力模型，包括结构的材料性质、几何形状和边界条件等；（2）选取适当的位移函数形式，以确定位移场；（3）利用平衡方程和满足位移场连续性条件的边界条件，求解未知的位移和受力分布；（4）利用位移和受力分布计算结构的变形和应力分布。
4.位移法的应用位移法广泛应用于各种结构的力学分析，特别是对于复杂的非线性和不规则结构，位移法是一种常用的分析方法。
以下是一些常见的应用：（1）梁的挠曲分析：位移法可以用来求解梁的挠曲问题，通过选取合适的位移函数形式，可以得到梁的弯曲形状和弯矩分布。
（2）柱的稳定性分析：位移法可以用来求解柱的稳定性问题，通过选取合适的位移函数形式，可以得到柱的稳定性临界载荷和稳定形状。
（3）桁架结构的分析：位移法可以用来求解桁架结构的强度和刚度，通过选取合适的位移函数形式，可以得到桁架结构的内力和变形。
（4）地基基础的分析：位移法可以用来求解地基基础的变形和应力分布，通过选取合适的位移函数形式，可以得到地基基础的沉降和周边土体的应力分布。
5.位移法的优缺点位移法作为一种结构力学的分析方法，具有以下优点：（1）位移法适用于各种结构的力学分析，可以求解复杂的非线性和不规则结构问题；（2）位移法具有较强的适用性和灵活性，可以根据实际情况选取不同的位移函数形式；（3）位移法的计算步骤相对简单，易于实现。
然而，位移法也存在一些缺点：（1）位移法需要选取适当的位移函数形式，这对分析结果的准确性有较大影响；（2）位移法的计算过程较为繁琐，需要手动推导和求解方程组，耗费时间和精力。
第七章位移法【练习题】7-1是非题：1、位移法未知量的数目与结构的超静定次数有关。
2、位移法的基本结构可以是静定的，也可以是超静定的。
3、位移法典型方程的物理意义反映了原结构的位移协调条件。
4、结构按位移法计算时，其典型方程的数目与结点位移数目相等。
5、位移法求解结构内力时如果M P图为零，则自由项R IP一定为零。
6、超静定结构中杆端弯矩只取决于杆端位移。
7、位移法可解超静定结构，也可解静定结构。
8、图示梁之EI =常数，当两端发生图示角位移时引起梁中点C之竖直位移为（3/8）1 （向下）。
l /2l /29、图示梁之EI=常数，固定端A发生顺时针方向之角位移，由此引起铰支端B之转角（以顺时针方向为正）是-/210、用位移法可求得图示梁B端的竖向位移为ql3/24EI。
| H I八H M H仏A ELB -11、图示超静定结构，D为D点转角（顺时针为正），杆长均为I , i为常数。
此结构.. 2可写出位移法方程11i D ql /12 0 。
7-2选择题:1、位移法中，将铰接端的角位移、滑动支承端的线位移作为基本未知量：A、绝对不可；B、必须；C、可以，但不必；D、一定条件下可以。
2、AB杆变形如图中虚线所示，则A端的杆端弯矩为：A. M AB 4i A 2i B 6i AB/I ;B. M AB 4i A 2i B 6i AB /1 ;C.M AB 4i A 2i B 6i AB / | ;D. M AB 4i A 2i B 6i AB /1。
A3、图示连续梁，已知P ,l， B , C ,贝U:A M BC4i B4i C；B M BC4i B2i C・C . M BC4i B PI / 8；D . M BC4i B PI /8 。
4、图示刚架，各杆线刚度i相同，则结点A的转角大小为:A . m o /(9i ) ;B . m °/(8i );C . m )/(11 i ) ;D . m o /(4 i ) o5、图示结构，其弯矩大小为：A . M AC ==Ph /4, M BD = =Ph /4 ;B . M AC = :Ph /2, M BD =Ph /4 ;C . M AC ==Ph /4, M BD = =Ph /2 ; D . M AC : =Ph /2, M BD = = Ph /2。
P C EI= m D6、图示两端固定梁，设AB 线刚度为i ,当A 、B 两端截面同时发生图示单位转角时， 则杆件A 端的杆端弯矩为：A. I ;B. 2 i ;C. 4i ; D . 6iA =1B = 1A ------------------------- 纟B(i )7、图示刚架用位移法计算时，自由项R IP 的值是：A. 10 ；B. 26 ；2h4 A □ : h BC. -10D. 148、用位移法求解图示结构时，独立的结点角位移和线位移未知数数目分别为：D . 3,2。
1、判断下列结构用位移法计算时基本未知量的数目。
2、图b 为图a 用位移法求解时的基本体系和基本未知量Z i , Z 2，其位移法典型方程 中的自由项,R IP =(1) (2) (3)(5) (6)P C EA= oo D ■ * e4m6kN/m3m 3m C . 4,2 ; 7-3填充题:EI 2El iEl =8（a ）3、图示刚架，各杆线刚度i 相同，不计轴向变形，用位移法求得M ADB = 0.717/ i （顺时针），C 点水平位移 C = 7.579/ i M DC = 6、图示排架，Q BA7-4用位移法计算图示结构并作M图，各杆线刚度均为i ,各杆长均为I 。
qI 1 H F] £1 1IC BA oM BA 4、图示刚架，欲使A /180，则M o 须等于 ----------- 1-------( EI 3EI hA C E EA=曲 EA= gB D F P5、图示刚架，已求得B 点转角Q FE (b ) AB4m7-6用位移法计算图示结构并作 M 图。
E I =常数。
7-7用位移法计算图示结构并作 M 图。
EI =常数。
2m 2m 7-8用位移法计算图示结构并作 M 图。
EI =常数。
7-9用位移法计算图示结构并作 M 图，横梁刚度 EA is,两柱线刚度i 相同。
2h 7-10 求对应的荷载集度q 。
图示结构横梁刚度无限大。
已知柱顶的水平位移为 二 EIEI EI512/( 3EI)q 8m 12m 12m20kN4m4m----------------------T3m丄3m 3m7-13用位移法计算图示结构并作M图。
6m7-14用位移法计算图示结构并作M图。
l7-15用位移法计算图示结构并作M图。
各杆El =常数，q = 20kN/m6m■D B6m 6m卜 + 37-16用位移法计算图示结构并作M图。
El =常数。
10 kN I 尸2m I- -------TTT460 kN/m rrn r rmr2EI EI 2EIEII I 亠I- ----------- - ■b ------------^-4 1 2I 2IT4qI7-21用位移法计算图示刚架并作 图。
已知各横梁EI 1 ，各柱EI 常数。
7-22用位移法计算图示结构并作 图。
q 「。
I y H 1 H u _______7-19用位移法计算图示结构并作图。
EI =常数。
7-20用位移法计算图示结构并作图。
I = 4m 。
6m30kN/m6m7-23用位移法计算图示结构并作M图，El =常数。
3m5mM图。
设各杆的EI相同。
I7-24用位移法计算图示结构并作7-25用位移法作图示结构图。
并求A B杆的轴力，E I 常数。
A EA= • aB & ------------------------------ a7-27P I图。
EI =常数。
I/2IE I =常数。
用位移法作图示结构M 图。
I /2 I /230KN/m4m4m7-29用位移法计算图示结构并作M图，E =常数。
4m 2m 2m 4m 2m4m4mM图。
E I =常数。
7-30用位移法计算图示结构并作7-31用位移法计算图示对称刚架并作M图。
各杆EI =常数。
7-32用位移法计算图示结构并作M图。
EI =常数。
P P11V < < 1丄-------------------------- Piiiib --------- -------------- -4 ---------- --------------1.5 l 7-34用位移法计算图示结构并作ii7-35用位移法计算图示结构并作图。
设各柱相对线刚度为2，其余各杆为1。
60kN3m 3m3m7-36用位移法计算图示结构并作图。
ii7-37用位移法计算图示结构，作图。
各柱线刚度为i横梁EI =。
7-38用位移法计算图示结构并作图。
EI =常数。
图。
E l =常数。
7-40用位移法计算图示刚架，作M 图。
除注明者外各杆 EI =常数。
7-41用位移法计算图示刚架，作M 图。
除注明者外各杆 EI =常数。
D|PET F丄El 1______ 1 JAB C 1/ C /El 1A DEC 两截面的相对角位移，各杆El 为常数。
kN. m7-44 确定下列图示结构基本未知量，并绘"基本结构”qiiq —I- j1—— q 72 T qi 7-39用位移法计算图示结构并作 M图。
1H HU Hc El= H 」 7-42用位移法计算图示刚架作M 图。
除注明者外各杆 EI =常数，El iEl；l8 kN8B1 C__i7-43求图示结构B ，丄3m3m-----------2m 2ml l/2 l/2 l■ --------- 1・7・-丨‘——7-45L题7-45图(f)一J EA - EA -题7-44图用位移法计算。
绘M图，E=常数。
(a)l A\D \ C1 I2II 1Bm7-46 7-47 用位移法计算图示结构，绘等截面连续梁B支座下沉图。
0.02m , C 支座下沉0.012m。
试绘图。
7-48 求图示刚架B截面的转角7-49 利用对称性计算，绘制M(a)（C）A2EI已知EI=420 x102kN m2,B及D截面的水平线位移△ D X。
图。
EI=常数。
A B . CL EI 1EI 1I5m 5m 110kN •m2EI3kN/ mI1JJ14m 4m 3m6m6m(b) D EA—4kN3EI3m题7-46图(d)8kN •mo B 3EI 16kN C 1 -q2EI3m 3m |【练习题参考答案】题7-47图题7-48图m10kN/m20kN/m(b)3m 6m | 6m 3m |题7-497-42(x ql /64 )7-6 7-7pl/4 69/10415104 21/104 14/104Pl 7-8ql+-----------17-917(X qh /40 )7-10 3kN/m7-11 3207E T("332821EI7-1210kN20/310/31—・Z2基本体系7-131 Z1 = ql/1 ■ 2卩-^ql規8 i )a-41~21 [ 218 ql'l号q「ql229 M图ql220/320/3M 图(kN m)3kN7-14 3 28qi7-15 61 - 7180 90DI-——' 60 I-------!BM 图(kN . m )C A 基本体系p p25M 图(kN m )7-17 7-184 M 图(kN m) 1434,2X ql7-19 基本体系378Z 2d-4l lA -73 58 18918伽6 18920 189 ■40 189M 图(x ql 2 )7-20 7-21基本体系（kN.m）M图7-227-23基本体系7-24 7-251/8-qi i/8.qi 1/53/10'1/10Pl7-26 7-27PI/4Pl/4\/ \ /\Pl/8Z/〈 \Pl/4 —Pl/4M 图7-28 7-2951.85\135/51.85丿//I/ 17.88 17.88 \/ 10.73 10.73’、5.36 I 5.3640\ 丿\1030 \ /3010—80'2C .'30 1 2030-1M 图(kN m) m)30 M 图(kN m)7-307-31qli ， 2 J\ \qt » 8 坛 £\ql 24M 图 qi 2 )7-32 7-337-341/24 5/241/8M 图(qf))5/241/87-35 M 图(kN . m )7-36 7-37M 图(kN -m)7-38 2qi )7-39 7-40基本结构1/87-417-43 7-45 7-46 7-47 7-48 7-49 8 21/2BC 8 / EI （）⑻MDB =6/11m （左侧受拉）,7-421/41/8 1/81/4/I1/41/4M 图X ql2（b） M BA=3PI/56（左侧受拉）（c） M cE=170/7=24.29kN m （上边受拉）,⑻ M AB=2.5kN m （上边受拉）,（c） M BA=54/26=2.08kN m （上边受拉）,M BA=50.41kN m （下侧受拉）P a2（逆时针转）,28 EIDx（a）MAB=3.75kN m （上边受拉）,M DA=10/7=1.43kN m （右侧受拉）（b） M AD =240kN m （左侧受拉）（d） MPa36F（J）（b）MBA=40kNBA=24kN m （右侧受拉）m （上边受拉）【自测题】一、是非题2 1、图示结构，D和B为位移法基本未知量，有M AB 6i B /1 ql / 8。
