结构力学课后解答：第7章__位移法

习题7-1 试确定图示结构的位移法基本未知量数目，并绘出基本结构。

(a) (b) (c)1个角位移3个角位移，1个线位移4个角位移，3个线位移(d) (e) (f)3个角位移，1个线位移2个线位移3个角位移，2个线位移(g) (h)(i)一个角位移，一个线位移一个角位移，一个线位移三个角位移，一个线位移7-2 试回答：位移法基本未知量选取的原则是什么？为何将这些基本未知位移称为关键位移？是否可以将静定部分的结点位移也选作位移法未知量？7-3 试说出位移法方程的物理意义，并说明位移法中是如何运用变形协调条件的。

7-4 试回答：若考虑刚架杆件的轴向变形，位移法基本未知量的数目有无变化？如何变化？7-5 试用位移法计算图示结构，并绘出其内力图。

(a)解：（1）确定基本未知量和基本结构有一个角位移未知量，基本结构见图。

l7- 32Z 1M 图（2）位移法典型方程11110p r Z R +=（3）确定系数并解方程iql Z ql iZ ql R i r p 24031831,821212111==-∴-==（4）画M 图M 图(b)解：（1）确定基本未知量1个角位移未知量，各弯矩图如下4m 4m4m7- 341Z =1M 图3EIp M 图（2）位移法典型方程11110p r Z R +=（3）确定系数并解方程1115,352p r EI R ==- 153502EIZ -=114Z EI=（4）画M 图()KN mM ⋅图(c)解：（1）确定基本未知量一个线位移未知量，各种M 图如下6m 6m 9m1M 图243EI 243EI 1243EI p M 图F R（2）位移法典型方程11110p r Z R +=（3）确定系数并解方程1114,243p p r EI R F ==- 140243p EIZ F -=12434Z EI=（4）画M 图94M 图(d)解：（1）确定基本未知量一个线位移未知量，各种M 图如下a 2aa2aaF P7- 3611Z=1111r 252/25EA a 简化图1pR pp M（2）位移法典型方程11110p r Z R +=（3）确定系数并解方程11126/,55p p r EA a R F ==- 126055p EA Z F a -=13a Z EA=（4）画M 图图M(e)解：（1）确定基本未知量两个线位移未知量，各种M 图如下l图1=11211 EA r l r ⎛⇒=⎝⎭1M221EA r l ⎛=⎝⎭图12 0p p p R F R ⇒=-=p M pF（2）位移法典型方程1111221211222200p p r Z r Z R r Z r Z R ++=++= （3）确定系数并解方程11122122121,1,0p p p EA r r r l EA r l R F R ⎛=== ⎝⎭⎛=⎝⎭=-=代入，解得7- 3812p p lZ F EAlZ F EA=⋅=⋅（4）画M 图图M p7-6 试用位移法计算图示结构，并绘出M 图。

(a)解：（1）确定基本未知量两个角位移未知量，各种M 图如下23EI 23EI 112121 3r EI r EI⇒==图1M23EI 22116r EI ⇒=6m6m 6m1130 0p p R R ⇒==图p M（2）位移法典型方程1111221211222200p p r Z r Z R r Z r Z R ++=++= （3）确定系数并解方程111221221212,311630,0p p r EI r r EI r EI R R ======代入，解得1215.47, 2.81Z Z =-=（4）画最终弯矩图图M(b)解：（1）确定基本未知量两个位移未知量，各种M 图如下图1MCED 6m6m7- 40图2M图p M（2）位移法典型方程1111221211222200p p r Z r Z R r Z r Z R ++=++= （3）确定系数并解方程 111221221211,03430,30p p r i r r ir R KN R KN====-==-代入，解得123011,4011Z Z i i=-⋅=⋅ （4）画最终弯矩图图M 29.09(c)2m2m解：（1）确定基本未知量两个位移未知量，各种M 图如下图p M（2）位移法典型方程1111221211222200p p r Z r Z R r Z r Z R ++=++= （3）确定系数并解方程1112212212311,2640,30p p i r i r r i r R R KN===-===-代入，解得126.31646.316,Z Z EI EI==（4）求最终弯矩图7- 42图M(d)解：（1）确定基本未知量两个位移未知量，各种M 图如下1llpM（2）位移法典型方程1111221211222200p p r Z r Z R r Z r Z R ++=++= （3）确定系数并解方程1112212222212133,181,16p p EI EI r r r l l EI r l R ql R ql======-代入，解得341266211,36003600ql ql Z Z EI EI=-⋅=⋅（4）求最终弯矩图图M(e)解：（1）确定基本未知量两个角位移未知量，各种M 图如下8m4m 4m 4m 4m7- 442EI 1M 图p M 图（2）位移法典型方程1111221211222200p p r Z r Z R r Z r Z R ++=++= （3）确定系数并解方程111221221251,447845,0p p r EI r r EI r EIR KN m R =====⋅= 代入，解得1238.18,10.91Z Z =-=（4）求最终弯矩图M 图7-7 试分析以下结构内力的特点，并说明原因。

若考虑杆件的轴向变形，结构内力有何变化？ (a) (b) (c)(d) (e)(f)F PF PqEI 1=∞EI对称轴F PF P7-8 试计算图示具有牵连位移关系的结构，并绘出M 图。

(a)解：（1）画出p M M M ,,21图81EI 3EI 由图可得： 1112211124,813r EI r r EI ===1由图可知： 22149r EI= 图20KNp M20kN8m8m 6m3mACD EBFG EI 1=∞EI 1=∞ 3EI3EI3EIEI7- 4612200p p R KN R ⇒=-= （2）列方程及解方程组12121124200813414039EIZ EIZ EIZ EIZ ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得：121183.38,71.47Z Z EI EI==-（3）最终弯矩图图M(b)解：C 点绕D 点转动，由Cy=1知，45,43==⊥CD x C C 知EIEI EI r r EI EI EI r EIEI EI r r EI r r EI r 16027403323,1098410412833231289,4,3223221331211211-=--===+=-=-=====KN R R m KN R p p p 25.6,0,10321-==⋅= 求33r0=∑DM知4m 6m8m4m 10kN10kN B C ADEI=常数EI EI EI EI EI EI r 055.081481289128912834031602733=⨯⨯+-++=⎪⎩⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+--=-+=+-+EIZ EI Z EI Z EIZ Z EIZ EIZ Z EI Z EI EIZ Z EI EIZ /6.285/5.58/9.17025.6055.0160271283016027109401012834321321321321(c) 解：（1）作出各M 图26EI a 1M 图()1133113918018EI EIMr a a a a EI r a =⇒⨯=+⨯∴=∑F P EI 1=∞EIEI D CB Aa 2a 2a a7- 48图p M110022p p aM P R a PR =⇒⋅+⋅==-∑（2）列出位移法方程11110p r Z R +=解得：31Z =（3）最终M 图M 图(d)解：基本结构选取如图所示。

作出1M 及p M 图如下。

l 2l 2 ll2p M 图3222211292/2910810l EI l l EI l EI l l EI l EI r =⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ql l ql ql R p 127/1212121-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=由位移法方程得出： EIql Z R Z r p 34870411111=⇒=+作出最终M 图285348ql M 图7-9 试不经计算迅速画出图示结构的弯矩图形。

(a)(b)题7-9图7-10 试计算图示有剪力静定杆的刚架，并绘出M图。

y Baaa a7- 50解：（1）画出p M M M ,,21图1M 图2M 图p M 图由图可知，得到各系数：222122211211813,858,,7qa R qa R i r i r r i r p p -=-==-=== 求解得：5512,4405321==Z Z （2）求解最终弯矩图7-11 试利用对称性计算图示刚架，并绘出M 图。

(a)解：（1）利用对称性得：6mp M 图（2）由图可知：m KN R EI r p ⋅-==300,34111 0300341=-∴EIZ可得：EIEI Z 225433001=⨯= （3）求最终弯矩图M 图(b)解：（1）利用对称性，可得：5EI1M 图图p M（2）由图可知，各系数分别为： 02020212020215441111=-⋅-==+=EIZ m KN R EI EI EI r p 4m 3m4m7- 52解得：EIZ 214001=（3）求最终弯矩图如下M 图(c)解：（1）在D 下面加一支座，向上作用1个单位位移，由于BD 杆会在压力作用下缩短，所以先分析上半部分，如下图。

1M 图p M 图D 点向上作用1个单位，设B 向上移动x 个单位，则()x l EI x l EI -=112333，得54=x 个单位。

（2）同理可求出Mp 图。

Pl R l EI l EI x l EI r p 54,5132512121332311==+=可得：3331Pl Z -=（3）求最终弯矩图l llC DE图11Pl M(d)(e)解：（1）利用对称性，取左半结构4m 4m4m4m′′3m3m3m 3m′7- 541M 图2M 图149图p M（2）由图可知： KNR R EIr EI r r EI r p p 25,02720,94,382122122111======解得：EIZ EI Z 375,42521-==（3）求得最终弯矩图M 图(f)解：由于Ⅱ不产生弯矩，故不予考虑。