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第7 章 位移法计算超静定结构

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结构力学位移法

结构力学位移法

M AB
(a)
B M BA
M=1 A
(b)
1
(c)
A
1 B M=1
2）求图(2)中 φA2和φB2
3）叠加得到
A
l
l
3EIMAB6EIMBA
l
B
6El IMAB3Ei IMBA
l
变换式上式可得杆端内力的刚度方程（转角位移方程）：
MA
B
4iA
2iB
6i
l
MB
A
2iA
4iB
6i
l
由平衡条件得杆端剪力：见图（d)
M AB A
(d)
B M BA
F QAB
FQAB
FQBA
MAB
l
MBA
6i l
A
6i l
B
12i l2
F QBA
1.两端固定单元，在A端发生一个顺时针的转角 A。
A MAB A
由力法求得
B MBA
2i
M
AB
4
EI L
A
4i A
M
BA
2
EI L
A
2i A
4i
M
2.两端固定单元，在B端发生一个顺时针的转角 B。
MAB A
B
由力法求得
B MBA
M
BA
4
EI L
B
4i B
M
AB
2
EI L
B
2i B
3.两端固定单元，在B端发生一个向下的位移 。
A MAB
B MBA
由力法求得
△
M
AB
6EI L2
6i L
M
BA

7七章位移法

7七章位移法

代回（2）MA 代回（ ）
1 ∴ = θA l 2
（4） ）
∆
∆
M A = ( θ A )i M B = −( θ A )i
矩阵形式
4i M A M = 2i B Q 6i − l
2i 4i 6i − l
6i l 6i − l 12i − l −
θ A ⋅ θ B ∆
（刚度方程） 刚度方程）
§3 无侧移刚架
位移法中,刚架可分为 位移法中 刚架可分为 无侧移刚架 无侧移刚架 有侧移刚架 有侧移刚架
仅有结点转角θ 无侧移刚架 仅有结点转角 ，无 ∆ ——无侧移刚架 无侧移 有结点线位移 ∆ 每一刚结点有一θ ——有侧移刚架 有侧移刚架 有侧移
A
αi
Ni A P
A1
（基本未知量） ∆ 基本未知量）
2.结点 平衡 结点A平衡 结点
Σ N i sin α i = P
P
∆ ∆ l1
N i=
EAi sin 2 α i （基本方程） ∴( Σ )∆ = P 基本方程） li
∆=
=L
P EAi sin 2 α i Σ li
求出∆ 求出
3. ∆代回刚度方程 代回刚度方程
8.4
C
○ 4 16.8
M B 2 = 4i2θ B + 2i2θ C + M = 4θ B + 2θ C − 32 （－20.2） （－ ）
F M C 2 = 4i2θ C + 2i2θ B + M C 2 = 4θ C + 2θ B + 32 （25.2） ）
D
10.1
8.4

结构力学 位移法计算超静定结构

结构力学 位移法计算超静定结构

情景一 位移法的基本原理和典型方程 知识链接
（2）等截面直杆的转角位移方程 常见的单跨超静定梁根据支座情况的不同，可分为如图 3 – 45 所示三种。
情景一 位移法的基本原理和典型方程
知识链接
下面介绍常见的单跨超静定梁在杆端的位移和荷载作用下杆端弯矩的计 算公式，即等截面直杆的转角位移方程。为方便计算，可参照表 3 – 2 和表 3 – 3 查出杆端位移所引起的杆端弯矩及荷载作用下引起的杆端弯 矩进行叠加计算。 ① 两端固定。超静定结构中，凡两端与刚结点或固定支座（固定端） 连接的杆件，均可看作是两端固定梁。
2．位移法的基本未知量和基本结构的确定 位移法的基本未知量为结点角位移和独立结点线位移。结点角位移未知量
的数目等于刚结点的数目。确定独立结点线位移未知量的数目时，假定受弯 直杆两端之间的距离在变形后仍保持不变，具体方法是“铰化结点，增设链 杆”，即将结构各刚性结点改为铰结点，并将固定支座改为固定铰支座，使 原结构变成铰结体系，使该铰结体系成为几何不变体系，所需增加的最少链 杆数就等于原结构独立结点线位移数目。位移法的基本未知量确定后，在每 个结点角位移处加入附加刚臂，沿每个独立结点线位移方向加入附加链杆， 所形成的单跨超静定梁的组合体即为位移法的基本结构。
计算：
① 单位位移 Δ1=1 单独作用于基本结构引起相应的约束反力为 k11 和 k21， 其相应弯矩图为M1 图（图 3 – 43a）。
② 单位位移 Δ2=1 单独作用于基本结构引起相应的约束反力为 k12 和 k22， 其相应弯矩图为M2 图（图 3 – 43b）。 ③ 荷载单独作用于基本结构引起相应的约束反力为 F1P 和 F2P，其相应弯 矩图为 MP 图（图3 – 43c）。
情景一 位移法的基本原理和典型方程

第七章-位移法

第七章-位移法
10
q
q
A
BA
B
M
F AB


ql 2 8
M
F AB

M
F BA

ql 2 12
A i EI /l
A
BA
MBA 4iA MBA 2iA
i EI /l B
A
M AB 3iA
5、位移法的基本结构可看作为单跨超静定梁 的组合体系。为顺利求解，必须首先讨论单跨超静 定梁在荷载及杆端位移作用下的求解问题。
C
M
F BA

0
M
F BC

ql 2 8
3、此令时B结AB点、产B生C杆转类角似于B ()B端。为固端且产生转角 B
的单跨超静定梁。
A
A
BiC
i
B
i

B
B3iB
B
3iB
B
i
i EI l
C
13
4、杆端弯矩表达式（两种情况叠加）
M BA 3iB
M BC

3iB

ql 2 8
A
D BH
8
习题7-1 确定用位移法计算时结构的基本未知量个
数。(a) EI
EA
(b)

(1) 当EI、EA为无穷大时，
(3)
(2) (当c)EI、EA为有限值时， (6)
(1) 当0时，(10) (2) 当=0时，(9)
(d)

(1) 当不考虑轴向变形时，
(1) 当0时，
(4)
(3)
(2) 当考虑轴向变形时，(9)
(2) 当=0时，
9
小结： 1、位移法的基本未知量是结构内部结点（ 不 包括支座结点）的转角或线位移。

第7章静定结构的位移计算

第7章静定结构的位移计算

P
A
ql2/2
B
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
EI Pl/4
MP
q B
l/2
l/2
MP
A
l
m=1
l 3l/4
M
P=1
1/2
M
1 1 Pl 1 Pl 2 B l EI 2 4 2 16EI
1 1 ql 2 3 ql 4 B l l EI 3 2 4 8EI
⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理方法： a）曲杆或 EI=EI（x）时，只能用积 分法求位移； 35 b）当 EI 分段为常数或 M、MP 均非直线时，应分段图乘再叠加。
§3—3计算结构位移的虚力原理
3. 虚拟状态的设置
在应用单位荷载法计算时，应据所求位移不同，设置相应 的虚拟力状态。
例如:
求△
A
实际状态
AH
求
A
A
1
A
虚拟状态
1
虚拟状态
求△
A
AB
1
B
求
A
AB
B
1
广义力与 广义位移
25
1
虚拟状态
虚拟状态
1
4、静定结构在荷载作用下的位移计算 当结构只受到荷载作用时，求K点沿指定方向的位移△KP， 此时没有支座位移，故式（7—15）为
3. 计算位移的目的 （1）为了校核结构的刚度。
（2）结构制造和施工的需要。
（3）为分析超静定结构打下基础。 另外，结构的稳定和动力计算也以位移为基础。
起拱高度
△
结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为 基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论 静定结构的位移计算。

第7章位移法

第7章位移法
A A
MAB
B
MBA
QAB= QBA
θ=1
B
4i
1
2i
- 6i l
12i
l
- 6i
3i
l
- 6i
0
l2
A A
θ=1
B B
- 3i
3i l
l
2
1 θ=1
B
- 3i
i
l
0
A
－i
0
3、载常数:由跨中荷载引 起的固端力 Δ1=δ11X1 + Δ1P=0 1 l 2 2l l 3 11 EI 2 3 3 EI 1 1 ql 2 3l ql 4 1P - l EI 3 2 4 8 EI X1=－Δ1P / δ11 =3ql/8 各种单跨超静定梁在各 种荷载作用下的杆端力均可 按力法计算出来，这就制成 了载常数表
X1
1 2
X X X2 X X
11 1 12 2 1C 21 1 22 2 2C
用力法求解单跨超静定梁
θA
X1
A
θB
B
Δ
Δ
X2
几种不同远端支座的刚度方程 （1）远端为固定支座
M AB 4i A 2i B - 6i l (1) M BA 2i A 4i B - 6i l
根据两图结点平衡
可得附加约束反力
利用“载常数”可作 利用“形常数”可作 图示荷载弯矩图 图示单位弯矩图
典型方程法
以位移为基本未知量,先“固定”（不产 生任何位移） 考虑外因作用，由“载常数”得各杆受 力,作弯矩图。 令结点产生单位位移（无其他外因）， 由“形常数” 得各杆受力,作弯矩图。 两者联合原结构无约束，应无附加约束 反力（平衡）. 列方程可求位移。

结构力学I第7章 位移法

结构力学I第7章 位移法

2015-12-21
Page 25
LOGO §7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
2015-12-21
Page 26
LOGO
§7-3 位移法解无侧移刚架
如果刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架 称为无侧移刚架。
位移法计算：
为什么不选结点C？
取结点角位移 ������������ 作为基本位置量。 C为支座结点！

6i 6i
/ /
l l

2015-12-21
A
=
1 3i
M
AB

1 6i
M
BA

l
M BA =0
B
=

1 6i
M
AB
+
1 3i
M
BA

l


M AB 3iA 3i / l
B 0

FQAB FQBA 0
M AB M BA

第七章 位移法
结构力学 I
浙江大学海洋学院 Tel : Email：
LOGO
§7-1 位移法基本概念
位移法是计算超静定结构的基本方法之一。
P
力法计算太困难了！
用力法计算，9个未知量 如果用位移法计算, 1个基本未知量
1个什么样的基本未知量?
Page 2
LOGO
§7-1位移法基本概念
一、位移法的提出（Displacement Method）


Page 20
LOGO §7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
用位移法进行结构分析的基础是杆件分析。位移法的基 本结构为以下三种单跨超静定梁:

位移法例题

位移法例题

第7章 位移法习 题7-1：用位移法计算图示超静定梁，画出弯矩图，杆件EI 为常数。

题7-1图7-2：用位移法计算图示刚架，画出弯矩图，杆件EI 为常数。

题7-2图.7-3：用位移法计算图示刚架，画出弯矩图，杆件EI 为常数。

题7-3图7-4：用位移法计算图示超静定梁，画出弯矩图。

.q2题7-4图7-5：用位移法计算图示刚架，画出弯矩图，杆件EI 为常数。

题7-5图7-6：用位移法计算图示排架，画出弯矩图。

题7-6图#7-7：用典型方程法计算7-2题，画出弯矩图。

7-8：用典型方程法计算7-3题，画出弯矩图。

7-9：用典型方程法计算7-5题，画出弯矩图。

7-10：用典型方程法计算图示桁架，求出方程中的系数和自由项。

10kN4E题7-10图7-11：用典型方程法计算图示刚架，求出方程中的系数和自由项。

题7-11图;7-12：用位移法计算图示结构，杆件EI 为常数（只需做到建立好位移法方程即可）。

题7-12图7-13：用位移法计算图示结构，并画出弯矩图。

;}10kNF题7-13图7-14：用位移法计算图示结构，并画出弯矩图。

！题7-14图7-15：用位移法计算图示刚架,画出弯矩图。

题7-15图7-16：用位移法计算图示结构，并画出弯矩图。

F题7-16图7-17：用位移法计算图示结构，并绘弯矩图，所有杆件的EI 均相同。

题7-17图7-18：确定图示结构用位移法求解的最少未知量个数，并画出基本体系。

$（c ）}（b ）Aqq题7-18图7-19：利用对称性画出图示结构的半刚架，并在图上标出未知量，除GD 杆外，其它杆件的EI 均为常数。

.题7-19图7-20：请求出图示刚架位移法方程中的系数和自由项。

题7-20图7-21：利用对称性对图示结构进行简化，画出半刚架，并确定未知量，杆件的 EI 为常数。

￥原结构基本体系。

题7-21图7-22：对图示结构请用位移法进行计算，只要做到建立好位移法方程即可。

位移法求解超静定结构

位移法求解超静定结构

位移法求解超静定结构一、引言超静定结构是指在静力学条件下，其内力和位移无法通过平衡方程和变形方程求解的结构。

由于超静定结构的内力和位移无法直接求解，因此需要采用特殊的方法进行计算。

其中，位移法是一种经典的求解超静定结构的方法。

二、位移法基本原理位移法是一种基于能量原理的方法，其基本思想是将结构中各个部分的变形看作独立自由度，然后通过能量平衡原理得到各个自由度之间的关系，最终求解出整个结构的内力和位移。

具体来说，位移法包括以下几个步骤：1. 将超静定结构中每一个部分看作一个独立自由度，并为每个自由度引入一个未知位移；2. 根据平衡条件列出各部分之间相互制约的方程组；3. 根据能量平衡原理列出总势能和总应变能之间的关系式，并将其转化为未知位移之间的关系式；4. 将各个方程组联立起来，得到未知位移之间的关系式；5. 利用已知边界条件解出未知位移，并进而求解出整个结构的内力和位移。

三、位移法的应用范围位移法适用于各种类型的超静定结构，包括梁、柱、框架等。

此外，位移法还可以用于求解复杂的结构体系，如悬索桥、拱桥等。

四、位移法的优点和缺点1. 优点：（1）能够求解各种类型的超静定结构；（2）计算精度高，适用于复杂结构；（3）计算过程简单明了，易于理解和掌握。

2. 缺点：（1）只能求解超静定结构，不能求解不静定和半静定结构；（2）需要将每个部分看作独立自由度，因此对于复杂结构需要引入大量自由度，计算量较大；（3）需要具备一定的数学基础和结构力学知识。

五、位移法的实例以一根简支梁为例进行说明。

假设梁长为L，截面为矩形截面，宽度为b，高度为h。

在中间加一集中荷载F，则该梁为超静定结构。

采用位移法进行求解：1. 将梁分成两段，并引入两个未知位移u1和u2；2. 根据平衡条件，得到以下方程组：（1）在x=0处：F = R1 + R2（2）在x=L处：R1u1 + R2u2 = FL/43. 根据能量平衡原理，得到以下关系式：（1）总势能：V = (R1u1 + R2u2)hL/2（2）总应变能：T = F^2L^3/48EI4. 将以上方程组和关系式联立起来，得到：（1）F = (3EI/h^3L^3)(u1 - u2)（2）R1 = F/2 - EI/h^3L^3(u1 + u2)（3）R2 = F/2 + EI/h^3L^3(u1 + u2)5. 利用已知边界条件，即梁两端的位移为0，解出未知位移：（1）u1 = FL^3/(48EIh)；（2）u2 = -FL^3/(48EIh)；6. 最终求解出内力和位移：（1）R1 = F/4；（2）R2 = F/4；（3）Mmax = FL/8；（4）umax = FL^3/(48EIh)。

超静定结构-位移法(平衡方程法)

超静定结构-位移法(平衡方程法)

例１：用位移法求解图示刚架
15kN/m 1 8kN
基本体系
原结构位移 =Δ1引起的位移 +荷载引起的位移 原结构内力 =Δ1引起的内力 +荷载引起的内力
基本方程:（外因和未知位移共同作用时,附加约束没有反力 ——实质为平衡方程。）
F1 F11 F1P 0
例１：用位移法求解图示刚架 基本方程:
FP
D
2FPL
A
B
E
L
L
L C
L
作业： 1、当考虑一个未知数时，分别用两种方法分析计算； 2、当考虑两个未知数时，如何计算？
MDB iB 4
(5)作内力图 :
53 67.5
29
21 12
8
4
M图(kN.m)
用平衡方程法求解超静定结构的步骤：
1. 确定基本未知量； 2. 建立各杆转角位移方程
用基本未知量和荷载表示杆端力； 3. 利用弯矩平衡或剪力平衡建立位移法方程； 4. 解方程求位移；
5. 回代求杆端弯矩； 6. 做内力图。
利用“载常数”可作 图示荷载弯矩图
利用“形常数”可作 图示单位弯矩图
第 七 章 位移法
§7-5 位移法求解无侧移刚架
详见教学视频“7.7 荷载作用下的无侧移刚架计算”
例１：用位移法求解图示刚架
设：
i

6EI 6
A
则 iBA iBC i iBD 0.5i 6m
方法一：平衡方程法
基本未知量为 B
优点:很规范。 但:对于杆件很多的结构,容易出错或发生遗漏。
例１：用位移法求解图示刚架
方法二：典型方程法
15kN/m 1 8kN
A 6m

第7章 位移法

第7章 位移法

两端为固定结点
3i M AB 3i A AB l
c
一端为固定结点，一端铰支
c M AB i A c M BA i A
一端为固定结点，一端滑动支承
§7-2 杆件单元的形常数和载常数——位移法的前期工作
力法方程：
2、由荷载求固端内力——载常数 两端固定梁
F M AB F M BA
ui sini
几何条件
EAi sin i li FNi FP EAi 2 sin i li
FNi sin i FP
综合各杆件，得平衡条件
EAi 2 sin i FP li
FP EA i sin 2 i li
§7-1 位移法的基本概念
（2）杆端弯矩Mi j
3I0 E
4m 5m
F
4m
2m
4m
D
2 2 ql 20 4 F M BA 40 8 8
F M BC
ql 2 41.7 12
F M CB 41.7
计算线性刚度i，设EI0=1，则
E 4I 0 EI iAB AB 1 l AB 4
iBC 1, iCD 1, iBE
C
P
基本未知量 （如图所示刚架有几个
独立结点位移参数？） 在刚架分析中，通常只考虑弯曲变形， 忽略剪切和拉伸变形。 因此，取独立节点位移参数A和作为基本未知量。
A
B A

M AB
建立基本方程分两步
A
B
A
M AB
P C
A
（1）单元分析（拆分）确 定单杆的杆端内力与杆端 位移及杆件上荷载的关系；
力法方程：

结构力学作业参考-知识归纳整理

结构力学作业参考-知识归纳整理

知识归纳整理结构力学课程作业答案第一章 绪论1、按照不同的构造特征和受力特点，平面杆件结构可分为哪几类？平面杆件结构根据其组成特征和受理特点可以分成如下几种类型梁、(刚架) 、( 桁架)、拱以及组合结构。

2、何为静定结构和超静定结构？从几何构造分析的角度看，结构必须是几何不变体系。

根据多余约束 n ，几何不变体系又分为： 有多余约束( n > 0)的几何不变体系——超静定结构；无多余约束( n = 0)的几何不变体系——静定结构。

从求解内力和反力的想法也可以以为：静定结构：凡只需要利用静力平衡条件就能计算出结构的全部支座反力和杆件内力的结构。

超静定结构：若结构的全部支座反力和杆件内力，不能惟独静力平衡条件来确定的结构。

3、土建、水利等工程中的荷载，根据其不同的特征，主要有哪些分类？第二章 平面结构的几何组成分析作业题：1、何为平面体系的几何组成分析？按照机械运动及几何学的观点，对平面结构或体系的组成事情举行分析，称为平面体 系的几何组成分析。

2、何为几何不变体系？何为几何可变体系？几何不变体系—若不思量材料的应变，体系的位置和形状不会改变。

几何可变体系—若不思量材料的应变，体系的位置和形状是可以改变的。

3、几何组成分析的目的是什么？1）保证结构的几何不变性,以确保结构能承受荷载和维持体系平衡.2）判别某一体系是否为几何不变,从而决定它能否作为结构.3）研究几何不变体系的组成规则,以保证所设计的结构是几何不变体系,从而能承受荷载而维持平衡.4）根据体系的几何组成分析,正确区分静定结构和超静定结构,从而挑选适当的计算想法进行结构的反力和内力计算.5）经过几何组成分析,明确结构的构成特点,从而挑选结构受力分析的顺序以简化计算.4、何为一具体系的自由度？知悉体系计算自由度的公式。

求知若饥，虚心若愚。

5、试对下图所示体系举行几何组成分析。

1图图3图4 6、试求图示各体系的计算自由度数W。

千里之行，始于足下。

第7章 位移法

第7章 位移法

A
M
F AB

MF BA

0
⑤
B
l
A
A i=EI/l M AB 4iA
MBA 2iA
⑥
BD
l i=EI/l A
M
AB

M BA


6i l
D
⑦
B
D
l
i=EI/l A
M AB M BA 0
14
四、说明：
⑴杆件的线刚度 i 应为杆件的抗弯刚度EI 除以杆件长度l，即： i=EI/l 。
⑵转角位移方程中杆端位移若为负应以负值代入以获得杆端弯矩.
⑶固端弯矩表在应用时，应随实际杆件所受荷载，其固端弯矩
作相应变化。
q
q
M
F AB


ql 2 8
A
BA
l
l
B
B
B
M
F BA

ql 2 8
q
q
A
M
F AB


ql 2 8
A
M
F AB

ql 2 8
固端弯矩表 P230表7-1
15
⑷补充固端弯矩表
l
l
3ql2/32
C
中点
方法二 基本体系解法(附加约束法)
6
Ex:位移法作图示连续梁的M图。
A
方法二 附加约束法
⑴构造基本结构确定基本未知量B=D1
⑵建立位移法方程
A
F1 k11D1 F1P 0
⑶作 M1, M图P
⑷求系数和自由项
A
k11 6i,F1P
⑸解方程
D1

位移

位移

第七章 位移法第一节 位移法的基本概念力法和位移法是超静定结构受力分析的两种基本方法。

力法是分析超静定结构的最基本且历史悠久的一种方法，早在19世纪末就已在各种超静定结构的分析中得到应用，随着钢筋混凝土结构的问世，大量高次超静定刚架的出现，用力法计算时，由于其基本未知量的增多，计算起来十分麻烦。

于是，20世纪初又在力法计算的基础上建立了位移法。

一、位移法的基本概念在力法计算中，我们是取结构的多余约束反力作为基本未知量，并按照位移相等的条件首先将他们求解出来，然后再利用静力平衡条件进一步求出结构中的其它的内力、反力和位移。

然而，结构在一定的外因作用下，结构的内力与位移之间，具有恒定的关系，即：确定的内力只与确定的位移相对应。

因此，在分析超静定结构时，也可以把结构中的某些位移作为基本未知量，首先将这些位移求解出来，然后，再据此计算结构的内力。

这种以某些结点位移作为基本未知量而进行超静定结构求解的方法，便称为是位移法。

这就是力法和位移法则的基本区别之一。

下面先用一个简例来说明位移法的基本概念与解题要点。

如图7-la 所示超静定刚架，在荷载F 作用下，刚架将发生图中虚线所示的变形，刚结点1处的两端均发生相同的转角位移Z 1。

虽然在结点1处还有微小的线位移，但是，对于受弯杆件来说，通常都略去杆件轴向变形和剪切变形的影响，且认为弯曲变形是微小的，因而可假定结构中各杆两端之间的距离在变形前后仍保持不变，因而结点1处没有线位移（结构分析中常常引用这一假定）。

在图示刚架中，由于固定支座2和固定铰支座3处都不能产生移动，而1结点与2、3两结点之间的距离又保持不变，因此，1结点处没有线位移而只有角位移Z 1。

图7-1图中所示刚架，是由两根杆件组成的，现在我们先对每根杆件进行研究。

如果我们将刚结点1看作为固定支座，则12杆可视为是一根两端固定的单跨超静定梁，其上除了受到荷载F 的作用外，在固定支座1处还发生了转角位移Z 1(图7-lb)；同理，13杆则可视为是一端固定一端铰支的单跨超静定梁，而在固定端1处发生了转角Z 1(图7-lc)。

力法、位移法求解超静定结构讲解

力法、位移法求解超静定结构讲解

力法、位移法求解超静定结构讲解超静定结构是指在静力学计算中具有过多约束的结构体系，其问题在于不能通过传统的静力学方法直接计算出结构体系的内力以及位移的分布情况，需要利用力法或者位移法来求解超静定结构。

力法是指将结构体系的内力分配给各个构件，然后根据各个构件的受力情况和变形情况，逐步推导出结构体系的内力和位移分布情况的一种方法。

其基本思想是通过外部荷载作用下的内力分配，将超静定结构分解成多个静定结构分析，同时通过协调各个分析时的界面条件，进行内力和位移的匹配，最终得到了超静定结构的内力和位移分布情况。

具体实现步骤如下：1. 选定一个自由图，并对该自由图进行划分，将超静定结构分成多个静定结构，其中每个静定结构的节点数均满足有一个自由度。

分割完毕后，确定每个静定结构的支座反力，然后由每个静定结构自己采用传统的静力学原理分析，并得到各自的内力和位移。

2. 对于静定结构之间的相互配合，需要根据结构体系的受力变形情况建立相互之间的协调关系。

最常用的协调方法是确定静定结构之间的界面条件，如节点位移和节点荷载的相等，以及弹簧刚度之和等于零。

3. 在确定了静定结构之间的界面条件后，就可以获得超静定结构的结构内力分布，接下来需要计算出结构的位移分布。

这一步可以通过位移影响系数法进行求解，具体来说，先在静定结构中确定一个位移分量，然后根据约束条件求得其余节点的位移分量，最终获得超静定结构的位移分布。

相比于力法，位移法的思路更加简洁明了，具体步骤如下：1. 建立超静定结构的初始刚度方程，包括构件中的整体刚度和节点位移自由度的边界条件等。

2. 将超静定结构受到的外载按照一定的规律进行分配，使得该结构从受力变形的点出发经过一系列刚度修正后，其总体刚度等于原结构的刚度。

这个修正过程是迭代的，一般采用迭代矩阵求逆的方式进行求解。

3. 当总体刚度修正后，结构的总位移就变为了一个已知量。

根据节点位移自由度的边界条件，可以直接解出各节点的位移分量。

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基本方程为力矩平衡方程。
P
C
A
B
2.对于附加链杆：
基本方程为链杆方向上力的平衡方程。 等截面直杆转角位移方程的重要性： 1.它是把基本未知量与杆端内力联系起来，是建立位 移法基本方程、求解基本未知量的基础。
2.求出基本未知量后，它又是求解杆端内力的依据。
三、位移法解题的一般步骤
（一） 确定基本结构 （二）求基本未知量
2. 变形过程中杆件两端之间的距离保持不变； 3. 仅研究等截面直杆的简单情况。
7.1 概述
五、位移法基本原理
P
q
把结构中的某些结点位移作为基本未知量， 根据平衡条件首先求出它们，然后再据以确定 结构的内力和变形的方法。
7.2 等截面直杆的转角位移方程 ——单跨超静定梁的力法计算结果
转角位移方程： 单跨等截面超静定梁在外荷载作用
g M AB
g M AB
——又称为载常数
1 Pl l 1 4 2 1 l 1
g M AB
q
EI
g M BA
A
B
P
l 2
EI
g M BA
A
l 2
B
l
三、荷载作用下单跨超静定梁的杆端内力：
（二）几种常见情况
M
g AB
——又称为载常数
g M AB
g M AB

q
B
EI
说明： 1.位移： q、Δ 均设为正； 2.q、Δ 所引起的杆端M与
i EI （线刚度）成正比。 l
3.当单跨梁同时受到多种作用时，利用叠加法求。
五、转角位移方程（刚度方程)
θA
A
l 2
Pq
EI
θB
B
叠加法：
AB
M AB 4 i θ A 2 i θ B 6
g M BA 2 i θ A 4 i θ B 6 i AB M BA l
Δ AB l
转角位移方程：
βAB称为弦转角。
AB g M AB M AB 3i A 3i l
五、转角位移方程（刚度方程)
熟记载常数 和形常数了吗 ?
P
q
M AB i A iB M
g AB g BA
M BA i A iB M
7.3 位移法解题的基本思路及基本概念
下以及杆端发生转动和移动时的杆端内力（弯矩、
剪力）的表达式。
一、单跨超静定梁的形式：
(a)
(b)
(c)
二、杆端内力、杆端位移：
（一）杆端内力 1.表示方法：仍采用双脚标。 2.正负号规定： 轴力N，剪力Q： 同前； 弯矩M：杆端弯矩：顺时针为正； 支座或结点的弯矩：逆时针为正。
支座 支座
A
B
M AB
4 M图（kN.m） 22 3
8 20
Q图（kN）
+
18
（2）利用平衡条件求Q
二、连续梁和无侧移刚架的计算示例（基本未知量 只有结点角位移） 例、用位移法求解图示结构：
q
B EI
Z1
C
B
q
C
P ql
A
EI
l 2 l 2
P ql
A
l
R1 Z1
B
M BC
解： 1.确定基本结构： 2.列基本方程 由 M B 0 ,
M AB A
Q AB
M BA B B
QBA
P M BC C B QBC
QCB
P A
9P 56
C
B
22 P 56
Q AB Q BA
QBC 34 P 56
9P 56
QCB 22 P 56
Q图 ( kN )
二、位移法基本概念：
（一）基本结构： 在原结构上增加一些附加约束（刚臂、支座
P1
A
A
B
MBA

B
二、杆端内力、杆端位移：
（二）杆端位移：
假设： 在变形过程中，直杆两端之间距离保持不变。 杆端转角： 以顺时针方向转动为正
杆端线位移： 以使杆件作顺时针方向转动为正
AB
Δ AB l
βAB称为弦转角。
三、荷载作用下单跨超静定梁的杆端内力：
（一）命名 位移法中将单跨超静定梁仅由荷载作用产生的 的杆端内力叫固端内力（固端弯矩和固端剪力）。 用Mg表示。 （二）几种常见情况
一、基本思路
等截面直杆转角位移方程：
M AB 2 i AB Z1
3 M BC 3 i BC Z1 Pl 16
A
Z1
P
C
B
(e )
M BA 4 i AB Z1
M CB 0
3 Pl 2 Z1 112 EI
（四）将Z1回代到转角位移方程，得出杆端弯矩：
M AB
M BC 3 Pl 2i AB Z1 56 3 Pl 3 Pl 3i BC Z1 16 28 3 Pl M BA 4i AB Z1 28
M AB 3 i θ A
B
θA
EI
M AB i θ A M BA i θ A
l
—形常数 四、杆端位移所引起的杆端内力（续）：
A
EI
B
l
AB
i M AB 3 AB l i M AB 6 AB l i M BA 6 AB l
A
EI
B
l
AB
不动点原理：由两个不动点引出的两根不共线直 杆的交点是一个新的不动点。 方法一：使所有结点成为不动点所需增加的最少支 座链杆数目就是n2。
n2=2
（二）n2：独立的结点线位移数目： 方法二： 将所有刚结点、固端改为铰结点，然后将铰
结体系变为几何不变体系所需要增加的最少链杆数目。
例：
n2 0
EI EI
A
B
(e )
RB
Z1
B
M BA
M BC
3 Z1 4 i AB Z1 3 i BC Z1 Pl 0 16 A B
i AB i BC
Z1
3 Pl 112 EI
2
EI l
Z1
P
C
B
(d )
一、基本思路
位移法通过引入附加约束，把原 超静定结构转化为若干单跨梁的组合 体，从而把复杂结构的计算问题转化 为简单杆件的分析和综合问题。
(c )
P A
C
B
EI EI
C
l 2 l 2
B
l
(a )
Z1
A B
(d )
B
Z1
P
C
在（C图）上加上荷载，并使它 发生实际位移Z1 （即恢复原状） 变形一致 为了区别弯矩转向和力的方 向，在Z1方向上带两道竖杠， 以表示它是转角位移。
Z1
P
C
A
B
(e )
一、基本思路
（一）加上限制转动的约束（附加刚臂 ）； （图b） （二）加上荷载，并使基本结构发生实际位移（恢复 原状）。即图e。 （三）如何求Z1：
一、基本思路： 例：用位移法求解图示结构，并作M、Q图：
P A B
EI EI
C
l 2 l 2
B点
竖向和水平不能移动；
l
(a )
能转动 AB、BC在B端产生相同转角Z1 限制转动的约束称为刚臂， 用符号 表示。 原结构变为2个相对独立的 单跨超静定梁
A
B
( b)
C
A B
(c )
B
C
一、基本思路：
A B
1.列位移法方程（1） RB M BA M BC 0 2.写出各杆端弯矩表达式（转角位移方程）（2） 3.（2）代入（1）解方程，得实际位移（3）
（三）内力计算 1.求各杆端弯矩：（3）代入（2） 2.求Q
3.求N（有的结构N求不出）
7.4 位移法基本未知量的确定 一、位移法基本未知量类型
系数。 4. 固定端可以在左，也可以在右。 5. 同一杆端系数是3/2倍的关系。
三、荷载作用下单跨超静定梁的杆端内力：
——又称为载常数
（二）几种常见情况
1 g M AB ql2 3
A
q
EI
1 g M BA ql 2 6
B
l
3 g M AB Pl 8
A
l 2
EI
P
l 2
1 g M BA Pl 8
n n1 n2
（一）n1：表示刚结点数目：
注意： 1.包含组合结点； 2.不包含与EI=∞杆刚结的结点。 例、
EA EA
EI EI
n1=4
n1=2
n1=1
二、位移法基本未知量数目 （二）n2：独立的结点线位移数目：
认为变形前后杆件两端距离保持不变
n2：由不动点原理来确定； 不动点：无线位移的点。
（六）回代，并作弯矩图。
二、连续梁和无侧移刚架的计算示例（基本未知量 只有结点角位移） 解：BC=0
Z1
3、写出各杆端弯矩表达式 令EI/4=i，则iAB=i，iBC=2i
MAB=2iZ1
MBA
RB MBC
MBA=4iZ1 MBC=3 . 2iZ1 – 1/8 .10 .42=6iZ1 - 20
n2 2
n2 1
n2 3
二、位移法基本未知量确定示例：
n1=1 n2=1
n1=1 n2=0
n1=2 n2=1
n1=5
n2=3
n1=9
n2=3
7.5 应用平衡条件建立位移法方程的步骤和示例 一、应用平衡条件建立位移法方程的步骤