高中数学(人教B版 选修2-1)教师用书第2章 圆锥曲线与方程 2.2.1

第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程 2.1.2求曲线的轨迹方程一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．(二)能力训练点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力．(三)学科渗透点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础．二、教材分析1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．(解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．)2．难点：作相关点法求动点的轨迹方法．(解决办法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解．)教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．三、教学过程学生探究过程：(一)复习引入大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，研究平面曲线的性质．我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析．(二)几种常见求轨迹方程的方法1．直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．对(1)分析：动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R 或|OP|=0．解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．即x2+y2=4R2或x2+y2=0．故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0．对(2)分析：题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：设弦的中点为M(x，y)，连结OM，。

数学①必修第一章集合1.1 集合与集合的表示方法1.1.1 集合的概念1.1.2 集合的表示方法1.2 集合之间的关系与运算1.2.1 集合之间的关系1.2.2 集合的运算第二章函数2.1 函数2.1.1 函数2.1.2 函数的表示方法2.1.3 函数的单调性2.1.4 函数的奇偶性2.1.5 用计算机作函数的图像（选学）2.2 一次函数和二次函数2.2.1 一次函数的性质和图像2.2.2 二次函数的性质和图像2.2.3 待定系数法2.3 函数的应用（I）2.4 函数与方程2.4.1 函数的零点2.4.2 求函数零点近似解的一种近似方法——二分法第三章基本初等函数（I）3.1 指数与指数函数3.1.1 有理指数幂及其运算3.1.2 指数函数3.2 对数与对数函数3.2.1 对数及其运算3.2.2 对数函数3.2.3 指数函数与对数函数的关系3.3 幂函数3.2 函数的应用（II）数学②必修第一章立体几何初步1.1 空间几何体1.1.1 构成空间几何体的基本元素1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球1.1.4 投影与直观图1.1.5 三视图1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7 柱、锥、台和球的体积1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质与推论1.2.2 空间中的平行关系1.2.3 空间中的垂直关系第二章平面解析几何初步2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.1.1 数轴上的基本公式2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式2.2 直线的方程2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率2.2.2 直线方程的集中形式2.2.3 两条直线的位置关系2.2.4 点到直线的距离2.3 圆的方程2.3.1 圆的标准方程2.3.2 圆的一般方程2.3.3 直线与圆的位置关系2.3.4 圆与圆的位置关系2.4 空间直角坐标系2.4.1 空间直角坐标系2.4.2 空间两点的距离公式数学③必修第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念1.1.2 程序框图1.1.3 算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2 基本算法语句1.2.1 赋值、输入和输出语句1.2.2 条件语句1.2.3 循环语句1.3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2.1 随机抽样2.1.1 简单随机抽样2.1.2 系统抽样2.1.3 分层抽样2.1.4 数据的收集2.2 用样本估计总体2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3 变量的相关性2.3.1 变量间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关第三章概率3.1 事件与概率3.1.1 随机现象3.1.2 事件与基本事件空间3.1.3 频率与概率3.1.4 概率的加法公式3.2 古典概型3.2.1 古典概型3.2.2 概率的一般加法公式（选学）3.3 随机数的含义与应用3.3.1 几何概型3.3.2 随机数的含义与应用3.4 概率的应用数学④必修第一章基本初等函数（II）1.1 任意角的概念与弧度制1.1.1 角的概念的推广1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1.2 任意角的三角函数1.2.1 三角函数的定义1.2.2 单位圆与三角函数线1.2.3 同角三角函数的基本关系式1.2.4 诱导公式1.3 三角函数的图像与性质1.3.1 正弦函数的图像与性质1.3.2 余弦函数、正切函数的图像与性质1.3.3 已知三角函数值求角第二章平面向量2.1 向量的线性运算2.1.1 向量的概念2.1.2 向量的加法2.1.3 向量的减法2.1.4 向量的数乘2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算2.2 向量的分解与向量的坐标运算2.2.1 平面向量基本定理2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件2.3 平面向量的数量积2.3.1 向量数量积的物理背景与定义2.3.2 向量数量积的运算律2.3.2 向量数量积的坐标运算与度量公式2.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用2.4.2 向量在物理中的应用第三章三角恒等变换3.1 和角公式3.1.1 两角和与差的余弦3.1.2 两角和与差的正弦3.1.3 两角和与差的正切3.2 倍角公式和半角公式3.2.1 倍角公式3.2.2 半角的正弦、余弦和正切3.3 三角函数的积化和差与和差化积数学⑤必修第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理1.1.2 余弦定理1.2 应用举例第二章数列2.1 数列2.1.1 数列2.1.2 数列的递推公式（选学）2.2 等差数列2.2.1 等差数列2.2.2 等差数列的前n项和2.3 等比数列2.3.1 等比数列2.3.2 等比数列的前n项和第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系与不等式3.1.2 不等式的性质3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法3.4 不等式的实际应用3.5 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1 二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2 简单线性规划数学选修1-1第一章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.1.1 命题1.1.2 量词1.2 基本逻辑关联词1.2.1 “且”与“或”1.2.2 “非”（否定）1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1 推出与充分条件、必要条件1.3.2 命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.1.1 椭圆及其标准方程2.1.2 椭圆的几何性质2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程2.2.2 双曲线的几何性质2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程2.3.2 抛物线的几何性质第三章导数及其应用3.1 导数3.1.1 函数的平均变化率3.1.2 瞬时速度与导数3.1.3 导数的几何意义3.2 导数的运算3.2.1 常数与幂函数的导数3.2.2 导数公式表3.2.3 导数的四则运算法则3.3 导数的应用3.3.1 利用导数判断函数的单调性3.3.2 利用导数研究函数的极值3.3.3 导数的实际应用数学选修1-2第一章统计案例1.1 独立性检验1.2 回归分析第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的引入3.1.1 实数系3.1.2 复数的引入3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法和减法3.2.2 复数的乘法和除法第四章框图4.1 流程图4.2 结构图数学选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.1.1 命题1.1.2 量词1.2 基本逻辑关联词1.2.1 “且”与“或”1.2.2 “非”（否定）1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1 推出与充分条件、必要条件1.3.2 命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程的概念2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质2.2 椭圆2.2.1 椭圆的标准方程2.2.2 椭圆的几何性质2.3 双曲线2.3.1 双曲线的标准方程2.3.2 双曲线的几何性质2.4 抛物线2.4.1 抛物线的标准方程2.4.2 抛物线的几何性质2.5 直线与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量的线性运算3.1.2 空间向量的基本定理3.1.3 空间向量的数量积3.1.4 空间向量的直角坐标运算3.2 空间向量在立体几何中的应用3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示3.2.3 直线与平面的夹角3.2.4 二面角及其度量3.2.5 距离（选学）数学选修2-2第一章导数及其应用1.1 导数1.1.1 函数的平均变化率1.1.2 瞬时速度与导数1.1.3 导数的几何意义1.2 导数的运算1.2.1 常数函数与幂函数的导数1.2.2 导数公式表及数学软件的应用1.2.3 导数的四则运算法则1.3 导数的应用1.3.1 利用导数判断函数的单调性1.3.2 利用导数研究函数的极值1.3.3 导数的实际应用1.4 定积分与微积分基本定理1.4.1 曲边梯形面积与定积分1.4.2 微积分基本定理第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法 2.3.1 数学归纳法2.3.2 数学归纳法应用举例第三章数系的扩充与复数3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.1 实数系3.1.2 复数的概念3.1.3 复数的几何意义3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法与减法3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法数学选修2-3第一章计数原理1.1 基本计数原理1.2 排列与组合1.2.1 排列1.2.2 组合1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理1.3.2 杨辉三角第二章概率2.1 离散型随机变量及其分布列2.1.1 离散型随机变量2.1.2 离散型随机变量的分布列2.1.3 超几何分布2.2 条件概率与事件的独立性2.2.1 条件概率2.2.2 事件的独立性2.2.3 独立重复试验与二项分布2.3 随机变量的数字特征2.3.1 离散型随机变量的数学期望2.3.2 离散型随机变量的方差2.4 正态分布第三章统计案例3.1 独立性检验3.2 回归分析数学选修4-5不等式选讲第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.1.1 不等式的基本性质1.1.2 一元一次不等式和一元二次不等式的解法1.2 基本不等式1.3 绝对值不等式的解法1.3.1 |ax+b|≤c、|ax+b|≥c型不等式的解法1.3.2 |x-a|+|x-b|≥c、|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法1.4 绝对值的三角不等式1.5 不等式证明的基本方法1.5.1 比较法1.5.2 综合法和分析法1.5.3 反证法和放缩法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.1 柯西不等式2.1.1 平面上的柯西不等式的代数和向量形式2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配置方法的证明2.2 排序不等式2.3 平均值不等式（选学）2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1 数学归纳法原理3.1.1 数学归纳法原理3.1.2 数学归纳法应用举例3.2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式3.2.1 用数学归纳法证明不等式3.2.2 用数学归纳法证明贝努利不等式。

第2章圆锥曲线与方程2．1 圆锥曲线二、预习指导1．预习目标(1)认识用平面截圆锥面得到的各种曲线；(2)掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义；(3)会根据不同的已知条件，利用圆锥曲线的定义判断动点的轨迹．2．预习提纲(1)查找有关轨迹的概念，回答下列问题：①平面内到线段两端点距离相等的点的轨迹是____________；②平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是____________；③空间中到定点的距离等于定长的点的轨迹是____________．(2)阅读教材选修4－1的71页到78页，教材选修2－1的25页到27页写下列空格：①一个平面截一个圆锥面，改变平面的位置，可得到如下图形____________，____________，____________，____________，____________；②平面内到两个定点F1，F2的距离_____等于常数(__________)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的__________；③平面内到两个定点F1，F2的距离____________等于常数(______________)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距；④平面内到一个定点F和一条定直线l(________________)的距离________的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的_________．(3)阅读课本例1，动手实践借助细绳画椭圆，结合课本27页习题2．1第3题，动手实践借助拉链画双曲线，并说明理由，以此加深对椭圆、双曲线定义的认识．3．典型例题例1 动点P(x，y)与两个定点A(－2，0)、B(2，0)构成的三角形周长为10．(1)试证：动点P在一个椭圆上运动；(2)写出这个椭圆的焦点坐标．分析：找动点P满足的条件，利用圆锥曲线的定义．解：(1)由题意得：PA+PB+AB=10，AB=4，故PA+PB=6>4．由椭圆的定义得：动点P在以A(－2，0)、B(2，0)为焦点的椭圆上运动．(2)由(1)得：这个椭圆的两个焦点坐标为A(－2，0)、B(2，0)．点评：在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义中，条件都有特定的限制，如在具体问题中不加以判断，会造成错解．如本题中PA+PB=6>4是十分必要的．在椭圆的定义中，PF1+PF2等于常数，常数大于F1F2的判断是必不可少的．若常数等于F 1F 2，则轨迹是线段F 1F 2；若常数小于F 1F 2，则不表示任何图形．在双曲线的定义中，注意两个限制：一是常数小于F 1F 2，二是差的绝对值，两者缺一不可．若PF 1－PF 2是正常数且常数小于F 1F 2，则点的轨迹是双曲线以F 2为焦点的一支；若PF 2－PF 1是正常数且常数小于F 1F 2，则点的轨迹是双曲线以F 1为焦点的一支；若|PF 1－PF 2|是常数且等于F 1F 2，则点的轨迹是两条射线；若PF 1－PF 2是常数且等于F 1F 2，则点的轨迹是以F 2为端点与F 1F 2同向的射线；若PF 2－PF 1是常数且等于F 1F 2，则点的轨迹是以F 1为端点与F 1F 2反向的射线． 在抛物线的定义中，当点F 在直线l 上时，则点P 的轨迹是过点F 与直线l 垂直的直线．例2 已知圆()221:31C x y ++=和圆()222:39C x y -+=，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，试问动圆圆心M 在怎样的曲线上运动?分析：两圆外切，则圆心距等于半径之和．解： 设动圆的半径为R ，则由动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切得：1213MC R MC R =+⎧⎨=+⎩ 消去R 得：MC 2－MC 1=2，故可知动点M 到两定点C 1，C 2的距离之差是常数2．由双曲线的定义得：动圆圆心M 在双曲线的一支(左边的一支)上运动．点评：本题由于动点M 到两定点C 1，C 2的距离之差是常数，而不是差的绝对值为常数，因此其轨迹只能是双曲线的一支．这一点在应用过程中要特别注意．4．自我检测(1)已知点A (1，0)、B (－1，0)，动点P 满足：PA +PB =4，则动点P 的轨迹是__ ．(2)已知点A (－2，0)、B (2，0)，动点M 满足：|MA －MB |=2，则动点M 的轨迹是 ____ ，其两个焦点分别为 ．(3)已知定点A (1，0)和定直线l ：x = －3，若点N 到定点A 与到定直线l 的距离相等，则点N 的轨迹是 ，其焦点为 ，准线为 ．(4)已知点A (－2，0)、B (2，0)，动点M 满足：|MA －MB |=4，则动点M 的轨迹是 _．(5)在△ABC 中，B (0，－3)，C (0，3)，且AB ，BC ，AC 成等差数列，试证：点A 在以B 、C 为焦点的椭圆上运动．三、课后巩固练习A 组1．用合适的选项填写下列轨迹 ( 要求只填写序号 )①直线；②圆；③椭圆；④双曲线；⑤双曲线的一支；⑥抛物线；⑦线段(1)动点P 到两定点F 1(－4，0)、F 2(4，0)的距离和是8，则动点P 的轨迹为_______； (2)已知椭圆的焦点为F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得PQ =PF 2，那么动点Q 的轨迹是_________；(3)动点P 到直线x +4=0的距离减去它到M (2，0)的距离之差等于2，则动点P 的轨迹是___________；(4)经过定圆外一定点，并且与定圆外切的动圆圆心的轨迹是__________．2．已知O (0，0)、A0)为平面内两个定点，动点P 满足：PO +PA =2，求动点P 的轨迹．3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且b ，a ，c 成等差数列，b ≥c ．已知顶点B 、C 的坐标为B (－1，0)，C (－1，0)．试证：点A 在以B 、C 为焦点的左半椭圆上运动．4．在△ABC 中，A 为动点，(,0)(,0)(0)22a a B C a ->、为定点，且满足：1s i n s i n s i n 2C B A -=，试问动点A 在怎样的曲线上运动?B 组5．圆O 1与圆O 2的半径分别为1和2，O 1O 2=4，动圆与圆O 1内切而与圆O 2外切，则动圆圆心的轨迹是_____________________．6．已知定点A (－3，3)和定直线l ：x =－3，若点N 到定点A 与到定直线l 的距离相等，则点N 的轨迹是 ．7．已知圆的方程为22100x y +=，点A 的坐标为(－6，0)，M 是圆O 上的任意一点，AM 的垂直平分线交OM 于点P ，试证明：点P 在以A 、O 为焦点的椭圆上运动．C 组8．已知A(0，7)、B(0，－7)、C(12，2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，记椭圆的另一个焦点为F ，证明：点F 在以A(0，7)、B(0，－7)为焦点的双曲线的一支上运动．9．已知两个同心圆，其半径分别为R ，r (R >r )，AB 为小圆的一条定直径，求证：以大圆切线为准线，且过A 、B 两点的抛物线的焦点F 在以A 、B 为焦点的椭圆上．10．若一个动点P (x ，y )到定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)距离之和为定值m (m ≥0)，试讨论点P 的轨迹．题号我们身边的圆锥曲线圆锥曲线的发现确实是一个伟大的发现．在笛卡尔直角坐标系中，这些曲线的方程是二次方程，所以圆锥曲线又叫做二次曲线．对于二次曲线的价值大概还没有人会估计得过高．在我们的实际生活中处处都有圆锥曲线．例如，我们的地球绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳系的其他行星的运行轨道都是椭圆．这个事实是由开普勒第一定律确定的，之所以沿着椭圆轨道运动，是因为每一个行星在每一个瞬间都有不超过某一个值的速度．事实证明，假如这个速度过大了，运动就会沿着抛物线或双曲线轨道运行．相对于一个静止的物体，并按照万有引力定律受它吸引的物体运动，不可能有任何其他的轨道．因此，二次曲线实际上是以我们的宇宙为基础的．又如，如果让抛物线绕其轴旋转，就得到一个叫做旋转抛物面的曲面．在抛物面的轴上，有一个具有美妙性质的焦点，任何一条通过该点的直线由抛物面上反射出来之后，在指向上都平行于抛物面的轴．而这意味着如果把探照灯做成抛物面的形状，并且把灯泡放在焦点上，那么从抛物面上反射回来的所有光线就形成一束平行光束．这显然是一个很大的优点，因为正是这样一束光线在空间中，甚至于在离光源距离相当大的情况下，很少扩散．当然，实际上我们得不到理想的平行光束，因为灯泡不是一个点，但对于实用的目的来说，只要接近于这样的光束就够了．天文望远镜上的反射镜也是利用抛物面的形状制作的．它的作用刚好和探照灯的作用相反：探照灯的反射镜把光线反射到空间，天文望远镜的反射面则把来自宇宙的光线聚焦到自己的焦点上．只要用放大镜组瞄准这个焦点就行了，这样，我们就会得到聚焦到其光线的那个星球的信息，这比肉眼观察所能提供的信息要多得多．那条不穿过双曲线的对称轴叫做双曲线的虚轴．如果使双曲线绕这条轴旋转，那么，形成的曲面(这样的曲面称为单叶双曲面)也有许多实际用处．单叶双曲面是直纹曲面．上面有两组母直线族，各组内母线彼此不相交，而与另一组母线永远相交．正是这种性质在技术中得到了应用．例如，用直立木杆造水塔，如果把这些杆垂直地放置，那就只能得到一个很不牢固的建筑物，他会因为非常小的负荷而损坏．如果立杆时，使他们构成一个单叶双曲面(就是两组母线族)，并使他们的交点处连接在一起，就会得到一个非常轻巧而又非常坚固的建筑物．许多化工厂或热电厂的冷却塔就是利用了这个原理．在尝试解决古代名题的过程中，所发现的各种美妙曲线远不限于螺线，蚌线和圆锥曲线．可是，不管找到了多少美妙的曲线，他们还是解决不了古代名题．要知道，正像我们还记得的那样，要求不只是解出这些名题，而是除了直尺和圆规外，不准利用其他任何工具．而仅仅利用这两种工具能否解决其中任何一个问题呢?这个问题该如何回答呢?如果这个答案存在的话，对这个问题给与肯定的回答，原则上显得比给与否定的回答更容易，只不过需要尝试才能找到这个答案．经过或多或少接连不断的寻找，这种题解通常可以找到．在题解不存在的情况下，事情则难办的多．这时，只停留在普通的几何直观上，几乎不可能得到所需要的答案．在这种情况下，可以对问题进行精确的代数分析，以便归结为完成某些代数方程的不可能性证明解答这个问题的不可能性．这样，就要求助于代数！2．1 圆锥曲线自我检测(1)以A,B为焦点的椭圆 (2) 以A,B为焦点的双曲线，A(-2,0)、B(2,0) (3)抛物线，A(1,0) ，l：x= -3 (4) 以A,B为端点的两条射线(5)因为AB，BC，AC成等差数列，所以AB+AC =2BC=12>BC，因此点A在以B、C为焦点的椭圆上运动．课后巩固练习A组1．(1)⑦；(2)②；(3)⑥；(4)⑤ 2．以O,A为焦点的椭圆3．证明略 4．点A在以B，C为焦点的双曲线的右支上B组5．以O1，O2为焦点的双曲线的一支 6．过点A且垂直于l的直线7．8．证明略C组9．证明略10．当m<2时，轨迹不存在；当m=2是，轨迹是以F1F2为端点的线段；当m>2时，轨迹是以F1F2为焦点的椭圆。

高中人教版（B）教材目录介绍必修一第一章集合1．1 集合与集合的表示方法1．2 集合之间的关系与运算第二章函数2．1 函数2．2 一次函数和二次函数2．3 函数的应用（Ⅰ）2．4 函数与方程第三章基本初等函数（Ⅰ）3．1 指数与指数函数3．2 对数与对数函数3．3 幂函数3．4 函数的应用（Ⅱ）必修二第一章立体几何初步1．1 空间几何体1．2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步2．1 平面真角坐标系中的基本公式 2．2 直线方程2．3 圆的方程2．4 空间直角坐标系必修三第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体2．3 变量的相关性第三章概率3．1 随机现象3．2 古典概型3．3 随机数的含义与应用3．4 概率的应用必修四第一章基本初等函(Ⅱ)1．1 任意角的概念与弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的图象与性质第二章平面向量2．1 向量的线性运算2．2 向量的分解与向量的坐标运算2．3 平面向量的数量积2．4 向量的应用第三章三角恒等变换3．1 和角公式3．2 倍角公式和半角公式3．3 三角函数的积化和差与和差化积必修五第一章解直角三角形1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例第二章数列2．1 数列2．2 等差数列2．3 等比数列第三章不等式3．1 不等关系与不等式3．2 均值不等式3．3 一元二次不等式及其解法3．4 不等式的实际应用3．5 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题选修1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题与量词1．2 基本逻辑联结词1．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线第三章导数及其应用3．1 导数3．2 导数的运算3．3 导数的应用选修1－2第一章统计案例第二章推理与证明第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.2 立体几何中的向量方法选修2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2 排列与组合1.3 二项式定理第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用选修3-1第一讲早期的算术与几何第二讲古希腊数学第三讲中国古代数学瑰宝第四讲平面解析几何的产生第五讲微积分的诞生第六讲近代数学两巨星第七讲千古谜题第八讲对无穷的深入思考第九讲中国现代数学的开拓与发展选修3-2选修3-3第一讲从欧氏几何看球面第二讲球面上的距离和角第三讲球面上的基本图形第四讲球面三角形第五讲球面三角形的全等第六讲球面多边形与欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系第八讲欧氏几何与非欧几何选修3-4第一讲平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念第三讲对称与群的故事选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质第二讲直线与圆的位置关系第三讲圆锥曲线性质的探讨选修4-2第一讲线性变换与二阶矩阵第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法第三讲逆变换与逆矩阵第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量选修4-3选修4-4第一讲坐标系第二讲参数方程选修4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2 基本不等式1．3 绝对值不等式的解法1．4 绝对值的三角不等式1．5 不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用 2．1 柯西不等式2．2 排序不等式2．3 平均值不等式(选学)2．4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3．1 数学归纳法原理3．2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式选修4-6第一讲整数的整除第二讲同余与同余方程第三讲一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用选修4-7第一讲优选法第二讲试验设计初步选修4-8选修4-9第一讲风险与决策的基本概念第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介。

2．2.1 双曲线的定义与标准方程[读教材·填要点]1．双曲线的定义的点的轨迹叫|)2F 1F |小于(的定值0的绝对值为大于距离之差的2F ，1F 平面上到两个定点焦距．叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的2F ，1F 定点作双曲线．这两个2．双曲线的标准方程[小问题·大思维]1．双曲线的定义中，为什么要规定定值小于|F 1F 2|？若定值等于|F 1F 2|或等于0或大于|F 1F 2|，点的轨迹又是怎样的曲线？提示：(1)如果定义中定值改为等于|F 1F 2|，此时动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线(包括端点)．(2)如果定义中定值为0，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线．(3)如果定义中定值改为大于|F 1F 2|，此时动点轨迹不存在．2．在双曲线的定义中，如果将“差的绝对值”改为“差”，那么点的轨迹还是双曲线吗？提示：不是．是双曲线的一支．3．若方程x2m －y2n＝1表示双曲线，m ，n 应满足什么条件？提示：若方程x2m －y2n＝1表示双曲线，则m ·n >0.在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足sin B －sin A ＝12sin C ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程，并指明表示什么曲线．[自主解答] 如图所示，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理得sin A ＝a2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .∵sin B －sin A ＝12sin C ，∴b －a ＝c2.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22＜|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支． ∵a ＝2，c ＝22， ∴b 2＝c 2－a 2＝6.∴顶点C 的轨迹方程为x22－y26＝1(x ＞2)．故C 点的轨迹为双曲线的右支且除去点(2，0)．解答此类问题要注意定义中的两个关键性条件：(1)差的绝对值是定值，(2)常数大于0小于两定点间的距离．同时具备这两个条件才是双曲线．1．已知F 1，F 2分别是双曲线x29－y216＝1的左、右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32.试求△F 1PF 2的面积．解：因为P 是双曲线左支上的点，所以|PF 2|－|PF 1|＝6，两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝100－1002|PF1|·|PF2|＝0，所以∠F 1PF 2＝90°，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上；(2)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5且焦点在坐标轴上．[自主解答] (1)∵焦点在x 轴上，c ＝6， ∴设所求双曲线方程为x2λ－y26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1. ∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线方程是x25－y 2＝1.(2)设双曲线的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，∵双曲线过P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116，n ＝19.∴所求双曲线方程为y29－x216＝1.1．双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a ，b ，c ，再写出双曲线的标准方程．(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程y2a2－x2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a ，b 均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． 2．求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)定量：“定量”是指确定a 2，b 2的具体数值，常根据条件列方程求解．2．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a ＝4，经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4103；(2)经过点(3,0)，(－6，－3)．解：(1)当焦点在x 轴上时，设所求标准方程为x216－y2b2＝1(b >0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝－1615×1609<0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为y216－x2b2＝1(b >0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9，∴所求双曲线的标准方程为y216－x29＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝－13，∴所求双曲线的标准方程为x29－y23＝1.设P 为双曲线x 2－y212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．24[自主解答] 如图所示，∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝4. 又∵|F 1F 2|＝2c ＝213， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6×4＝12.[答案] B在解决与焦点三角形有关的问题的时候，首先要注意定义条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用．其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算．在运算过程中要注意整体思想的应用和一些变形技巧的应用．若本例中的|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2改为PF ―→1·PF ―→2＝0，求△PF 1F 2的面积．解：由题意PF ―→1·PF ―→2＝0，则PF 1⊥PF 2，∴△PF 1F 2为直角三角形． ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2，又∵||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，|F 1F 2|2＝4c 2＝4(a 2＋b 2)＝4(1＋12)＝52，∴4＋2|PF 1|·|PF 2|＝52，∴|PF 1|·|PF 2|＝24，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12.3．双曲线x29－y216＝1的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，求点P 的坐标．解：由双曲线的方程知：a ＝3，b ＝4，c ＝5，不妨设点P 在第一象限，坐标为(x ，y )，F 1为左焦点，那么：⎩⎪⎨⎪⎧|PF1|－|PF2|＝6， ①|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100. ②由①得：(|PF 1|－|PF 2|)2＝36.所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝36.∴|PF 1||PF 2|＝32.在直角三角形PF 1F 2中，|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|·y ＝32，所以y ＝165，代入双曲线的方程得：x ＝3415，即点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫3415，165，再根据双曲线的对称性得点P 的坐标还可以是⎝⎛⎭⎪⎫－3415，165，⎝ ⎛⎭⎪⎫3415，－165，⎝⎛⎭⎪⎫－3415，－165.解题高手多解题条条大路通罗马，换一个思路试一试设双曲线与椭圆x227＋y236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的方程．[解] 法一：∵椭圆的焦点在y 轴上，由题意可设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧42a2－15b2＝1，a2＋b2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝4，b2＝5.所以双曲线方程为y24－x25＝1.法二：将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (±15，4)， 又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)．所以2a ＝|15－＋＋－15－＋－|＝4，a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线方程为y24－x25＝1.法三：由题意设双曲线方程为x227－λ＋y236－λ＝1(27＜λ＜36)，将A (±15，4)代入得1527－λ＋1636－λ＝1.解得λ＝32或λ＝0(舍去)．∴所求双曲线的方程为y24－x25＝1.1．若双曲线E ：x29－y216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3解析：由双曲线的定义有||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，∴|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)． 答案：B2．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0B.⎝⎛⎭⎪⎫52，0C.⎝⎛⎭⎪⎫62，0 D.()3，0解析：将双曲线方程化为标准方程为x 2－y212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12.∴c ＝a2＋b2＝62，故右焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0.答案：C3．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( )A.x216－y29＝1(x ≤－4) B.x29－y216＝1(x ≤－3)C.x216－y29＝1(x ≥4) D.x29－y216＝1(x ≥3)解析：由题意，得c ＝5，a ＝3，∴b ＝4， ∴P 点的轨迹方程是x29－y216＝1(x ≥3)．答案：D4．若方程x21＋k －y21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________． 解析：由题意知，(1＋k )(1－k )>0，即－1<k <1.答案：(－1,1)5．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3)，则实数k 的值为________．解析：由8kx 2－ky 2＝8，得x21k －y28k＝1.又∵焦点在y 轴上，∴a 2＝－8k ，b 2＝－1k.∵c ＝3，由c 2＝a 2＋b 2得9＝－8k －1k，∴k ＝－1.答案：－16．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a ＝5，c ＝7；(2)以椭圆x225＋y29＝1的长轴端点为焦点，且经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，94.解：(1)由题设知a ＝5，c ＝7，则b 2＝c 2－a 2＝24.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程是x225－y224＝1 或y225－x224＝1.(2)因为椭圆x225＋y29＝1的长轴端点为A 1(－5,0)，A 2(5，0)，所以所求双曲线的焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．由双曲线的定义知，||PF 1|－|PF 2||＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ＋＋⎝ ⎛⎭⎪⎫94－02－ －＋⎝ ⎛⎭⎪⎫94－02＝8，即2a ＝8，则a ＝4.又c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝9，故所求双曲线的标准方程为x216－y29＝1.一、选择题1．双曲线x2m2＋12－y24－m2＝1的焦距是( )A ．4B ．22C ．8D ．与m 有关解析：c 2＝m 2＋12＋4－m 2＝16，∴c ＝4,2c ＝8.答案：C2．已知方程x2m2＋n －y23m2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)解析：由题意得(m 2＋n )(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1<n <3.答案：A3．已知点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2.当点P 的纵坐标是12时，点P 到坐标原点的距离是( )A.62B.32C.3D ．2解析：因为动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2为定值，又2<22，所以P 点的轨迹为双曲线的一支．因为2a ＝2，所以a ＝1.又因为c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝1.所以P 点轨迹为x 2－y 2＝1的一支．当y ＝12时，x 2＝1＋y 2＝54，则P 点到原点的距离为|PO |＝x2＋y2＝54＋14＝62.答案：A4．已知双曲线C ：x29－y216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 右支上的一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 1的面积等于( )A ．24B ．36C ．48D ．96解析：依题意得|PF 2|＝|F 1F 2|＝10，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝6，|PF 1|＝16，因此△PF 1F 2的面积等于12×16×102－⎝ ⎛⎭⎪⎫1622＝48.答案：C 二、填空题5．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y2m －x29＝1的一个焦点，则m ＝________.解析：由点F (0,5)可知该双曲线y2m －x29＝1的焦点落在y 轴上，所以m >0，且m ＋9＝52，解得m ＝16. 答案：166．已知双曲线的两个焦点分别为F 1(－3,0)和F 2(3,0)，且P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，1在双曲线右支上，则该双曲线的方程是______________． 解析：法一：利用双曲线定义．2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝1214＋1－ 14＋1＝552－52＝25，∴a ＝5，b 2＝c 2－a 2＝4. 故所求方程为x25－y24＝1.法二：待定系数法．设双曲线方程为x2a2－y29－a2＝1，则有254a2－19－a2＝1，∴4a 4－65a 2＋225＝0.∴a 2＝5或a 2＝454>9(舍去)．∴双曲线方程为x25－y24＝1.答案：x25－y24＝17．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x24－y212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：48．已知F 是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．解析：设右焦点为F 1，依题意，|PF |＝|PF 1|＋4，∴|PF |＋|PA |＝|PF 1|＋4＋|PA |＝|PF 1|＋|PA |＋4≥|AF 1|＋4＝5＋4＝9.答案：9三、解答题9．若方程x25－m ＋y2m2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，求实数m 的取值范围．解：∵方程x25－m ＋y2m2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，∴⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＜0，m2－2m －3＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞5，m ＞3或m ＜－1.∴m ＞5.即m 的取值范围是(5，＋∞)．10．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．解：(1)椭圆的方程可化为x29＋y24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝ 5.故可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧9a2－4b2＝1，a2＋b2＝5.解得a 2＝3，b 2＝2.故双曲线的标准方程为x23－y22＝1.(2)不妨设M 在双曲线的右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2 3.又|MF1|＋|MF2|＝63，解得|MF1|＝43，|MF2|＝2 3.又|F1F2|＝2c＝25，因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，由余弦定理可得cos∠MF2F1＝|MF2|2＋|F1F2|2－|MF1|2 2|MF2|·|F1F2|＝3＋5－32×23×25＝－215<0.所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2是钝角三角形．。

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2．２椭圆周长和面积计算公式椭圆定理（又名:椭圆猜想)ﻫﻫ椭圆定理易亚苏ﻫﻫ(关键词:椭圆周长公式、椭圆周长定理、椭圆面积公式、椭圆面积定理等。

)ﻫ圆完美的和谐,椭圆和谐的完美.ﻫﻫ一、椭圆第一定义ﻫ椭圆第一定义:平面内与两个定点Ｆ1、Ｆ２的距离的和等于常数（大于Ｆ1F２)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

椭圆第一定义的数学表达式：MF1+ＭＦ2＝２a〉F1F２（由于网上发文的遗憾,公式和符号略有缺陷,相信您能够看懂.）M为动点，Ｆ1、F2为定点，a为常数。

在椭圆中,用a表示长半轴的长,b表示短半轴的长，且a＞b＞0；２c表示焦距。

二、椭圆定理(一）椭圆定理Ⅰ(椭圆焦距定理）ﻫ椭圆定理Ⅰ:任意同心圆,小圆任意切线与大圆形成的弦等于以大圆半径为长半轴长、小圆半径为短半轴长的椭圆焦距。

该椭圆中心在同心圆圆心，焦点在圆心以焦距一半为半径的圆上。

附图：椭圆的奥秘图解之一（焦距定理)（略)ﻫ(二)椭圆定理Ⅱ（椭圆第一常数定理)ﻫ定义1:K１=2/（π—2),K1为椭圆第一常数。

定义2:f=b/a,f为椭圆向心率(a〉ｂ〉０)。

定义3:T=K１＋f,Ｔ为椭圆周率.ﻫ椭圆定理Ⅱ：椭圆是同心圆依照勾股定理和谐组合,椭圆第一常数Ｋ1的数值加上椭圆向心率f的数值等于椭圆周率T的数值。

2.1 曲线与方程2.1.1曲线与方程的概念2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质1．结合已学过的曲线与方程的实例，了解曲线与方程的对应关系．(了解)2．理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．(重点)3．通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程．(难点)[基础·初探]教材整理1 曲线的方程与方程的曲线阅读教材P33～P35，完成下列问题．在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；(2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．那么，曲线C叫做方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0叫做曲线C的方程．设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是( )A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B．曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0【解析】本题考查命题形式的等价转换，所给命题不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故选项A、C错，选项B显然错．【答案】 D教材整理2 求曲线方程的步骤阅读教材P36～P37，完成下列问题．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小组合作型](1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．【精彩点拨】 曲线上点的坐标都是方程的解吗？以方程的解为坐标的点是否都在曲线上？【自主解答】 (1)过点A (2,0)平行于y 轴的直线上的点的坐标都是方程|x |＝2的解，但以方程|x |＝2的解为坐标的点不一定都在过点A (2,0)且平行于y 轴的直线上．因此|x |＝2不是过点A (2,0)平行于y 轴的直线的方程．(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy ＝5，但以方程xy ＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy ＝5.(3)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x ＋y ＝0，反之，以方程x ＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上．因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x ＋y ＝0.1．分析此类问题要严格按照曲线的方程与方程的曲线的定义．2．定义中有两个条件，这两个条件必须同时满足，缺一不可．条件(1)保证了曲线上所有的点都适合条件f (x ，y )＝0；条件(2)保证了适合条件的所有点都在曲线上，前者是说这样的轨迹具有纯粹性，后者是说轨迹具有完备性．两个条件同时成立说明曲线上符合条件的点既不多也不少，才能保证曲线与方程间的相互转化．[再练一题]1．已知方程x 2＋(y －1)2＝10. (1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求实数m 的值．【解】 (1)因为12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，所以点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．(2)因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，所以x ＝m2，y ＝－m 适合方程x 2＋(y －1)2＝10，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10. 解得m ＝2或m ＝－185.故实数m 的值为2或－185.(1)2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0； (2)(x －2)2＋y2－4＝0.【精彩点拨】 (1)在研究形如Ax 2＋By 2＋Cx ＋Dy ＋E ＝0的方程时常采用什么方法？ (2)由两个非负数的和为零，我们会想到什么？【自主解答】 (1)对方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0. ∵2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0， ∴错误!解得错误!从而方程表示的图形是一个点(1，－1)． (2)由(x －2)2＋y2－4＝0，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.因此，原方程表示两个点(2,2)和(2，－2)．1．判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有：配方法、因式分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式，然后根据方程、等式的性质作出准确判定．2．方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常借助分类讨论的思想．[再练一题]2．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线( )【导学号：15460021】A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于x－y＝0对称【解析】同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称．【答案】 C[探究共研型]探究1【提示】建立坐标系的基本原则：(1)让尽量多的点落在坐标轴上；(2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴．建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等．探究 2 求曲线方程时，有些点的条件比较明显，也有些点的条件要通过变形或转化才能看清，有些点的运动依赖于另外的动点，请你归纳一下求曲线方程的常用方法？【提示】一般有三种方法：一直接法；二定义法；三相关点法，又称为代入法．在解题中，我们可以根据实际题目选择最合适的方法．求解曲线方程过程中，要特别注意题目内在的限制条件．在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程．【精彩点拨】(1)如何建立坐标系？(2)根据题意列出怎样的等量关系？(3)化简出的方程是否为所求轨迹方程？【自主解答】取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)，设动点C为(x，y)．由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以(错误!)2＋(错误!)2＝4a2，整理得x2＋y2＝a2.由于当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a.所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．1．求曲线方程的一般步骤(1)建系设点；(2)写几何点集；(3)翻译列式；(4)化简方程；(5)查漏排杂：即证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点．2．一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程．3．没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立适当的坐标系，由于建立的坐标系不同，同一曲线在坐标系的位置不同，其对应的方程也不同，因此要建立适当的坐标系．[再练一题]3．已知一曲线在x轴上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．【解】设曲线上任一点的坐标为M(x，y)，作MB⊥x轴，B为垂足，则点M属于集合P＝{M||MA|－|MB|＝2}．由距离公式，点M适合的条件可表示为错误!－y＝2.化简得x2＝8y.∵曲线在x轴上方，∴y>0.∴(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线．∴所求曲线的方程为x2＝8y(y≠0)．[构建·体系]1．已知直线l ：x ＋y －3＝0及曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2，则点M (2,1)( ) A ．在直线l 上，但不在曲线C 上 B ．在直线l 上，也在曲线C 上 C ．不在直线l 上，也不在曲线C 上 D ．不在直线l 上，但在曲线C 上【解析】 将M (2,1)代入直线l 和曲线C 的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M 既在直线l 上，又在曲线C 上．【答案】 B2．在直角坐标系中，方程|x |·y ＝1的曲线是( )【解析】 当x ＞0时，方程为xy ＝1， ∴y ＞0，故在第一象限有一支图象； 当x ＜0时，方程为－xy ＝1， ∴y ＞0，故在第二象限有一支图象． 【答案】 C3．如果方程ax 2＋by 2＝4的曲线过点A (0，－2)，B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，3，则a ＝________，b ＝________.【答案】 4 14．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM →·PN →＝4，则点P 的轨迹方程为________.【导学号：15460022】【解析】 设点P 的坐标为P (x ，y )，由PM →·PN →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝4，得x 2＋y 2＝8，则点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝8.【答案】 x 2＋y 2＝85．设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程． 【解】 法一 如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，连接CP ，则CP ⊥OQ .OC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，0，连接MP ，则|MP |＝12|OC |＝12，得方程⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －122＋y 2＝14.由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.法二 如图所示，由垂径定理，知∠OPC ＝90°， 所以动点P 在以M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上．由圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －122＋y 2＝14，由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.我还有这些不足：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________________(2)________________________________________________________学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0与x 轴的交点坐标是( ) A ．(4,0)和(－1,0) B ．(4,0)和(－2,0) C ．(4,0)和(1,0)D ．(4,0)和(2,0)【解析】 在曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0中，令y ＝0，则x 2－3x －4＝0，∴x ＝－1或x ＝4.∴交点坐标为(－1,0)和(4,0)． 【答案】 A2．方程(x 2－4)(y 2－4)＝0表示的图形是( ) A ．两条直线 B ．四条直线 C ．两个点D ．四个点【解析】 由(x 2－4)(y 2－4)＝0得(x ＋2)(x －2)(y ＋2)·(y －2)＝0，所以x ＋2＝0或x －2＝0或y ＋2＝0或y －2＝0，表示四条直线．【答案】 B3．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP→·OA→＝4，则点P 的轨迹方程是( )A ．x ＋y ＝4B ．2x ＋y ＝4C ．x ＋2y ＝4D ．x ＋2y ＝1【解析】 由OP →＝(x ，y )，OA →＝(1,2)得OP →·OA →＝(x ，y )·(1,2)＝x ＋2y ＝4，则x ＋2y ＝4即为所求的轨迹方程，故选C.【答案】 C4．方程(2x －y ＋2)·x2＋y2－1＝0表示的曲线是( )【导学号：15460023】A ．一个点与一条直线B ．两个点C ．两条射线或一个圆D ．两个点或一条直线或一个圆【解析】 原方程等价于x 2＋y 2－1＝0，即x 2＋y 2＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x2＋y2－1≥0，故选C.【答案】 C5．已知方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a ＞0)所确定的两条曲线有两个交点，则a 的取值范围是( )A ．a ＞1B ．0＜a ＜1C ．0＜a ＜1或a ＞1D ．a ∈∅【答案】 A 二、填空题6．“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程”的________条件．【解析】 “方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程 ”⇒“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，反之不成立．【答案】 必要不充分 7．方程x －3·(x ＋y ＋1)＝0表示的几何图形是________________．【解析】 由方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x －3≥0，或x －3＝0，即x ＋y ＋1＝0(x ≥3)或x ＝3. 【答案】 一条射线和一条直线 8．x 轴上，且PM→·PF→＝0，延长MP 到点N ，使得|PM→|＝|PN→|，则点N 的轨迹方程是________．【解析】 由于|PM →|＝|PN →|，则P 为MN 的中点．设N (x ，y )，则M (－x,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，y 2，由PM →·PF→＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－x ，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，－y 2＝0，所以(－x )·1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－y 2＝0，则y 2＝4x ，即点N 的轨迹方程是y2＝4x.【答案】y2＝4x三、解答题9．如图2-1-1，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线P M，PN(M，N分别为切点)，使得|PM|＝2 |PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．图2-1-1【解】以O1O2的中点为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，得O1(－2,0)，O2(2,0)．连接PO1，O1M，PO2，O2N.由已知|PM|＝2|PN|，得|PM|2＝2|PN|2，又在Rt△PO1M中，|PM|2＝|PO1|2－|MO1|2，在Rt△PO2N中，|PN|2＝|PO2|2－|NO2|2，即得|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)．设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，化简得(x－6)2＋y2＝33.因此所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.10．△ABC的三边长分别为|AC|＝3，|BC|＝4，|AB|＝5，点P是△ABC内切圆上一点，求|P A|2＋|PB|2＋|PC|2的最小值与最大值．【解】因为|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，所以∠ACB＝90°.以C为原点O，CB，CA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由于|AC|＝3，|BC|＝4，得C(0,0)，A(0,3)，B(4,0)．设△ABC内切圆的圆心为(r，r)，由△ABC的面积＝12×3×4＝32r＋2r＋52r，得r＝1，于是内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1⇒x2＋y2＝2x＋2y－1，由(x－1)2≤1⇒0≤x≤2.设P(x，y)，那么|P A|2＋|PB|2＋|PC|2＝x2＋(y－3)2＋(x－4)2＋y2＋x2＋y2＝3(x2＋y2)－8x－6y ＋25＝3(2x＋2y－1)－8x－6y＋25＝22－2x，所以当x＝0时，|P A|2＋|PB|2＋|PC|2取最大值为22，当x＝2时取最小值为18.[能力提升]1．到点A(0,0)，B(－3,4)的距离之和为5的轨迹方程是( )A．y＝－43x(－3≤x≤0)B．y＝－43x(0≤x≤4)C．y＝－43x(－3≤x≤4)D．y＝－43x(0≤x≤5)【解析】注意到|AB|＝5，则满足到点A(0,0)，B(－3,4)的距离之和为5的点必在线段AB上，因此，方程为y＝－43x(－3≤x≤0)，故选A.【答案】 A2．已知动点P到定点(1,0)和定直线x＝3的距离之和为4，则点P的轨迹方程为( )【导学号：15460024】A．y2＝4xB ．y 2＝－12(x －4)C ．y 2＝4x (x ≥3)或y 2＝－12(x －4)(x <3)D ．y 2＝4x (x ≤3)或y 2＝－12(x －4)(x >3)【解析】 设P (x ，y )，由题意得错误!＋|x －3|＝4.若x ≤3，则y 2＝4x ；若x >3，则y 2＝－12(x －4)，故选D.【答案】 D3．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于________．【解析】 设动点P (x ，y )，依题意|P A |＝2|PB |，∴错误!＝2错误!，化简得(x －2)2＋y 2＝4，方程表示半径为2的圆，因此图形的面积S ＝π·22＝4π.【答案】 4π4．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．【解】 法一 设点M 的坐标为(x ，y )，∵M 为线段AB 的中点，∴A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y )．∵l 1⊥l 2，且l 1，l 2过点P (2,4)，∴P A ⊥PB ，即k P A ·k PB ＝－1，而k P A ＝4－02－2x ＝21－x (x ≠1)， k PB ＝4－2y 2－0＝2－y 1，∴21－x·2－y1＝－1(x≠1)，整理得x＋2y－5＝0(x≠1)．∵当x＝1时，A，B的坐标分别为(2,0)，(0,4)，∴线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x＋2y－5＝0.综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.法二设点M的坐标为(x，y)，则A，B两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连接PM. ∵l1⊥l2，∴2|PM|＝|AB|.而|PM|＝错误!，|AB|＝错误!，∴2错误!＝错误!，化简得x＋2y－5＝0，即为所求的点M的轨迹方程.。

§2.5直线与圆锥曲线学习目标 1.通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系.2.会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题．知识点一直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2＋bx＋c＝0.方程特征交点个数位置关系直线与椭圆a≠0，Δ>02相交a≠0，Δ＝1相切a≠0，Δ<00相离直线与双曲线a＝01直线与双曲线的渐近线平行且两者相交a≠0，Δ>02相交a≠0，Δ＝1相切a≠0，Δ<00相离直线与抛物线a＝01直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者相交a≠0，Δ>02相交a≠0，Δ＝1相切a≠0，Δ<00相离知识点二 弦长公式若直线l ：y ＝kx ＋b 与圆锥曲线交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2].1．直线与圆锥曲线有且只有一个公共点时，直线与圆锥曲线相切．( × ) 2．直线与圆锥曲线交点的个数就是它们的方程联立方程组的解的个数．( √ )题型一 直线与圆锥曲线的位置关系判定例1 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点？ 解 直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，①x 24＋y22＝1，②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0，③ 这个关于x 的一元二次方程的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)由Δ>0，得－32<m <3 2.于是，当－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不同的公共点． (2)由Δ＝0，得m ＝±3 2.也就是当m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点． (3)由Δ<0，得m <－32或m >3 2.从而当m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C 没有公共点．反思感悟 在讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，要先讨论得到的方程二次项系数为零的情况，再考虑Δ的情况，而且不要忽略直线斜率不存在的情形．跟踪训练1 已知双曲线C ：x 2－y 22＝1，直线l 的斜率为k 且直线l 过点P (1,1)，当k 为何值时，直线l 与双曲线C ：(1)有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)无公共点？ 解 设直线l ：y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋(1－k )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(k 2－2)x 2－2k (k －1)x ＋k 2－2k ＋3＝0.(*)当k 2－2＝0，即k ＝±2时，(*)式只有一解，直线l 与双曲线相交，只有一个公共点． 当k 2－2≠0时，Δ＝24－16k ，若Δ＝0，即k ＝32，方程(*)只有一解，直线与双曲线相切，只有一个公共点；若Δ>0，即k <32且k ≠±2，方程(*)有两解，直线与双曲线相交，有两个公共点；若Δ<0，即k >32，方程(*)无解，直线与双曲线无公共点．综上，(1)当k ＝±2或k ＝32时，直线l 与双曲线只有一个公共点；(2)当k <32且k ≠±2时，直线l 与双曲线有两个公共点；(3)当k >32时，直线l 与双曲线无公共点．题型二 中点弦及弦长问题例2 已知点A (－1,0)，B (1,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且k MA ·k MB ＝－2. (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过定点(0,1)作直线PQ 与曲线C 交于P ，Q 两点，且|PQ |＝322，求直线PQ 的方程．解 (1)设M (x ，y )，则k MA ＝y x ＋1，k MB ＝yx －1(x ≠±1)， ∴yx ＋1×yx －1＝－2，∴x 2＋y 22＝1(x ≠±1)． (2)当直线PQ 的斜率不存在，即PQ 是椭圆的长轴时，其长为22，显然不合题意，即直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程是y ＝kx ＋1，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则y 1－y 2＝k (x 1－x 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，消去y 得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0.∵Δ＝4k 2＋4(k 2＋2)＝8(k 2＋1)>0，∴k ∈R ，x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2， ∴|PQ |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝22·k 2＋1k 2＋2，∴|PQ |＝322＝22·k 2＋1k 2＋2，k 2＝2，k ＝±2，∴直线PQ 的方程是y ±2x －1＝0.反思感悟 直线和圆锥曲线相交问题的通法就是利用两个方程联立得到的一元二次方程，利用弦长公式和根与系数的关系解决(要考虑特殊情形)；对于中点弦问题可采用点差法，但要验证得到的直线是否适合题意．跟踪训练2 中心在原点、对称轴为坐标轴的椭圆与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B ，C 是AB 中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 解 设椭圆方程为ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0，a ≠b )． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差得，a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22， 代入上式可得b ＝2a ， 再由|AB |＝2|x 2－x 1|＝22，其中x 1，x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根， 故⎝⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4，将b ＝2a 代入得a ＝13，∴b ＝23.∴所求椭圆的方程是x 2＋2y 2＝3. 题型三 圆锥曲线中的最值及范围问题例3 已知△AOB 的一个顶点为抛物线y 2＝2x 的顶点O ，A ，B 两点都在抛物线上，且∠AOB ＝90°.(1)求证：直线AB 必过一定点； (2)求△AOB 面积的最小值．(1)证明 设OA 所在直线的方程为y ＝kx (易知k ≠0)，则直线OB 的方程为y ＝－1kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2x ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k2，2k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，y 2＝2x ，得B (2k 2，－2k )．∴直线AB 所在直线方程为(y ＋2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－2k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k (x －2k 2)，化简得x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －k y －2＝0，∴直线过定点P (2,0)．(2)解 由于直线AB 所在直线方程过定点P (2,0)， ∴可设直线AB 的方程为x ＝my ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x ，得y 2－2my －4＝0.∴|y 1－y 2|＝2m 2＋16＝4m 2＋16.∴S △AOB ＝12|y 1|·|OP |＋12|y 2|·|OP |＝12|OP |·|y 1－y 2|＝|y 1－y 2|＝4m 2＋16≥4.∴△AOB 面积的最小值为4. 反思感悟 (1)求参数范围的方法根据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围． (2)求最值问题的方法 ①几何法题目中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图象来解决． ②代数法题目中给出的条件和结论几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值，求最值的常见方法是均值不等式法，单调性法等． 跟踪训练3 如图，过抛物线y 2＝x 上一点A (4，2)作倾斜角互补的两条直线AB ，AC 交抛物线于B ，C 两点，求证：直线BC 的斜率是定值．证明 设k AB ＝k (k ≠0)， ∵直线AB ，AC 的倾斜角互补，∴k AC ＝－k (k ≠0)，∴AB 的方程是y ＝k (x －4)＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －4＋2，y 2＝x ，消去y 后，整理得k 2x 2＋(－8k 2＋4k －1)x ＋16k 2－16k ＋4＝0.∵A (4,2)，B (x B ，y B )是上述方程组的解． ∴4·x B ＝16k 2－16k ＋4k 2，即x B ＝4k 2－4k ＋1k2， 设C (x C ，y C )，以－k 代换x B 中的k ，得x C ＝4k 2＋4k ＋1k2， ∴k BC ＝y B －y C x B －x C ＝k x B －4＋2－[－k x C －4＋2]x B －x C＝k x B ＋x C －8x B －x C＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2＋2k 2－8－8kk 2＝－14.∴直线BC 的斜率为定值．1．过点P (0,1)与抛物线y 2＝x 有且只有一个交点的直线有( ) A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条考点 直线与抛物线的位置关系 题点 直线与抛物线公共点个数问题 答案 B解析 当直线垂直于x 轴时，满足条件的直线有1条； 当直线不垂直于x 轴时，满足条件的直线有2条，故选B.2．若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m ≥1或0<m <1C ．0<m <5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠5答案 D解析 ∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点，若5>m ，则m ≥1， 若5<m ，则必有公共点，∴m ≥1且m ≠5.3．抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点坐标为( )A ．(1,2)B ．(0,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D ．(1,4) 答案 C解析 因为y ＝4x 2与y ＝4x －5不相交， 设与y ＝4x －5平行的直线方程为y ＝4x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x 2，y ＝4x ＋m ，得4x 2－4x －m ＝0.(*)设此直线与抛物线相切，有Δ＝0， 即Δ＝16＋16m ＝0，∴m ＝－1. 将m ＝－1代入(*)式，得x ＝12，y ＝1，所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 4．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________． 答案 53解析 由已知可得直线方程为y ＝2x －2，联立方程得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43.∴S △AOB ＝12|OF ||y A －y B |＝53.5．过点A (6,1)作直线l 与双曲线x 216－y 24＝1相交于两点B ，C ，且A 为线段BC 的中点，则直线l 的方程为________________． 答案 3x －2y －16＝0解析 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2116－y 214＝1，x 2216－y224＝1，∴x 21－x 2216－y 21－y 224＝0.∴y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24y 1＋y 2＝124×2＝32. 即k BC ＝32，∴直线l 的方程是y －1＝32(x －6)．即3x －2y －16＝0，经验证符合题意．1．解决直线与圆锥曲线的交点问题时，主要方法是构建一元二次方程，判断其解的个数．确定斜率与直线的倾斜角时，应特别注意斜率为0和斜率不存在的两种情形，以及在双曲线和抛物线中，直线和圆锥曲线有一个公共点并不一定相切． 2．与弦中点有关的问题，求解的方法有两种：(1)一般方法：利用根与系数的关系及中点坐标公式来求解；(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入曲线方程，然后作差构造出中点坐标和斜率的关系．3．在探求最值时，常结合几何图形的直观性，充分利用平面几何结论，借助于函数的单调性、均值不等式等使问题获解．同时，要注意未知数的取值范围、最值存在的条件．一、选择题1．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1，F 是其右焦点，过F 的直线l 只与双曲线的右支有唯一的交点，则直线l 的斜率等于( ) A ．1B ．－1C ．±1D．±2 答案 C解析 结合题意，F (2，0)，且渐近线为y ＝±x ，欲使直线l 与其右支有唯一交点，只需其斜率与渐近线斜率相等．2．已知双曲线x 2－y 23＝1，过P (2,1)点作一直线交双曲线于A ，B 两点，并使P 为AB 的中点，则直线AB 的斜率为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由x 21－y 213＝1与x 22－y 223＝1得k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝3x 1＋x 2y 1＋y 2＝6.3．对于抛物线C ：y 2＝4x ，我们称满足y 20<4x 0的点M (x 0，y 0)在抛物线的内部，若点M (x 0，y 0)在抛物线的内部，则直线l ：y 0y ＝2(x ＋x 0)与拋物线C ( )A ．恰有一个公共点B ．恰有两个公共点C ．可能有一个公共点也可能有两个公共点D ．没有公共点 答案 D解析 C 与l 联立得y 0y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 24＋x 0，即y 2－2y 0y ＋4x 0＝0，Δ＝4y 20－16x 0， 由题意y 20<4x 0，∴Δ<0，没有公共点．4．已知M (a,2)是抛物线y 2＝2x 上的一定点，直线MP ，MQ 的倾斜角之和为π，且分别与抛物线交于P ，Q 两点，则直线PQ 的斜率为( ) A ．－14B ．－12C.14D.12答案 B解析 由题意得M (2,2)．设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212，y 1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222，y 2， 由k MP ＝－k MQ ， 得y 1－2y 212－2＝－y 2－2y 222－2， 则y 1＋y 2＝－4，故k PQ ＝2y 1＋y 2＝－12. 5．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A.2B.3C.3＋12 D.5＋12答案 D解析 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y ＝bax ，而k BF ＝－bc.∴b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c＝－1，整理得b 2＝ac .∴c 2－a 2－ac ＝0.两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0， 解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故选D.6．直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积为( ) A ．48B ．56C ．64D ．72 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3，y 2＝4x ，得x 2－10x ＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝6.设|AP |＝10，|BQ |＝2，又|PQ |＝8， ∴梯形APQB 的面积为S ＝12(|AP |＋|BQ |)×|PQ |＝12(10＋2)×8＝48.7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( ) A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1 答案 D解析 ∵椭圆的离心率为32，∴c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴a ＝2b .∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝4b 2.∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝⎛⎭⎪⎫255b ，255b ，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，∴b 2＝5，∴a 2＝4b 2＝20.∴椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1. 8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)被抛物线y 2＝4x 的准线截得的弦长为3，以坐标原点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋22相切，则椭圆的离心率为( ) A.12B.22C.23D.24 答案 A解析 由题意得抛物线准线方程为x ＝－1，且椭圆被抛物线截得的弦长为3， 故椭圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，将该点代入椭圆方程，得1a 2＋94b2＝1，① 又点(0,0)到x －y ＋22＝0的距离为a ， 即|0－0＋22|12＋－12＝a ，②由②得a ＝2，代入①得b ＝ 3. 故c ＝a 2－b 2＝1，所以其离心率e ＝c a ＝12.二、填空题9．椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263解析 设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )， 则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y )． ∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →<0， 即x 2－3＋y 2<0，(*)∵y 2＝1－x 24，代入(*)式得x 2－3＋1－x 24<0，34x 2<2，∴x 2<83. 解得－263<x <263，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263.10．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A ，B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M (2,2)，则△ABF 的面积为________． 答案 2解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2. ∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)． ∵x 1≠x 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1. ∴直线AB 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x . 将其代入y 2＝4x ，得A (0,0)，B (4,4)． ∴|AB |＝4 2.又F (1,0)到y ＝x 的距离为22， ∴S △ABF ＝12×22×42＝2.11．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中所有正确结论的序号是__________． 答案 ②③ 解析设曲线C 上任一点P (x ，y )，由|PF 1|·|PF 2|＝a 2，可得x ＋12＋y 2·x －12＋y 2＝a 2(a >1)，将原点(0,0)代入，等式不成立，故①不正确．∵点P (x ，y )在曲线C 上，∴点P 关于原点的对称点为P ′(－x ，－y )，将P ′代入曲线C 的方程，等式成立，故②正确．设∠F 1PF 2＝θ，则12F PF S＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝12a 2sin θ≤12a 2，故③正确．三、解答题12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，其中左焦点为F (－2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B 且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m ，消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0，Δ＝96－8m 2＞0，∴－23＜m ＜23，∵x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，∴y 0＝x 0＋m ＝m3，∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32＝1，∴m ＝±355.13．已知直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线y 2＝－x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点． (1)若△OAB 的面积为10，求k 的值； (2)求证：以弦AB 为直径的圆必过原点.(1)解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，原点O 到直线AB 的距离为d ，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，y 2＝－x ，化简整理得k 2x 2＋(2k 2＋1)x ＋k 2＝0，由题意知k ≠0， 由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－2k 2＋1k2，x 1x 2＝1.由弦长公式，得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·1k4＋4k2，由点到直线距离公式得d ＝|k |1＋k2，得S △OAB ＝12|AB |·d ＝121k 2＋4＝10，解得k ＝±16.(2)证明 ∵k OA ＝y 1x 1，k OB ＝y 2x 2，∴k OA ·k OB ＝y 1y 2x 1x 2. ∵y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，∴x 1x 2＝(y 1y 2)2， ∴k OA ·k OB ＝1y 1y 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，y 2＝－x ，得ky 2＋y －k ＝0，∴y 1y 2＝－1， 即k OA ·k OB ＝－1，∴OA ⊥OB ， ∴以弦AB 为直径的圆必过原点．14．有一动圆P 恒过定点F (a,0)(a ＞0)且与y 轴相交于点A ，B ，若△ABP 为正三角形，则点P 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 答案 D解析 设P (x ，y )，动圆P 的半径为R ，由于△ABP 为正三角形． ∴P 到y 轴的距离d ＝32R ，即|x |＝32R . 而R ＝|PF |＝x －a 2＋y 2， ∴|x |＝32·x －a2＋y 2.整理得(x ＋3a )2－3y 2＝12a 2，即x ＋3a212a2－y 24a2＝1. ∴点P 的轨迹为双曲线．15．在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B 为短轴的一个端点，E 为椭圆C 上的一点，满足OE →＝OF 1→＋22OB →，且△EF 1F 2的周长为2(2＋1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M 是线段OF 2上的一点，过点F 2且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，若△MPQ 是以M 为顶点的等腰三角形，求点M 到直线l 的距离的取值范围． 解 (1)由已知得F 1(－c,0)，不妨设B (0，b )， 则OF 1→＝(－c,0)，OB →＝(0，b )， 所以OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，22b ，即E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，22b .又点E 在椭圆C 上，所以c 2a 2＋12b 2b2＝1，得c a ＝22.① 又△EF 1F 2的周长为2(2＋1)， 所以2a ＋2c ＝2＋22.②由①②，得c ＝1，a ＝2，所以b ＝1. 所以所求椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设点M (m,0)(0<m <1)，直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 2＋2y 2＝2，消去y ，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 中点为N (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－2k1＋2k2， 所以x 0＝x 1＋x 22＝2k 21＋2k2， y 0＝y 1＋y 22＝－k 1＋2k2，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2. 因为△MPQ 是以M 为顶点的等腰三角形， 所以MN ⊥PQ ，即k 2m 1＋2k 2－2k 2＝－1. 所以m ＝k 21＋2k2＝12＋1k 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 设点M 到直线l ：kx －y －k ＝0的距离为d ，则d 2＝k2m －12k 2＋1＝k 2k 2＋11＋2k 22<14k 2＋k 2＋121＋2k22＝14， 所以d ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.(或k 2＝m 1－2m 且m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以d 2＝k 2m －12k 2＋1＝m (1－m )<14⇒d ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 即点M 到直线l 的距离的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.。

2.2.2椭圆的几何性质1．掌握椭圆的简单几何性质．(重点)2．掌握椭圆的离心率的求法，领会离心率是刻画椭圆“扁圆程度”的量．(难点)3．会用椭圆及性质处理一些实际问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1椭圆的简单几何性质阅读教材P34，完成下列问题.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的长轴长等于a.()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c.()(3)椭圆的长轴，短轴就是x轴和y轴．()(4)椭圆x22＋y2＝1中，变量x的范围是[－2,2]．()【解析】(1)x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长等于2a，故错误；(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c，最大值为a＋c，故正确；(3)椭圆的长轴和短轴是线段，而不是直线，故错误；(4)椭圆x22＋y2＝1中，a＝2，故x的范围是[－2，2]，故错误．【答案】(1)×(2)√(3)×(4)×教材整理2离心率阅读教材P34～P35例1以上部分，完成下列问题．1．定义：焦距与长轴长的比ca叫做椭圆的离心率．2．范围：e＝ca∈(0,1)．3．作用：当椭圆的离心率越接近于1时，则椭圆越扁；当椭圆的离心率越接近于0时，则椭圆越接近于圆．填空：(1)椭圆x24＋y23＝1的离心率是________．(2)两个椭圆x24＋y2＝1和x236＋y224＝1中，更接近于圆的是________．(3)椭圆x2a2＋y24＝1(a>2)的离心率e＝22，则实数a的值为________．【解析】(1)x24＋y23＝1中，a＝2，c＝4－3＝1，所以离心率e＝12.(2)椭圆x24＋y2＝1的离心率e1＝32，椭圆x236＋y224＝1的离心率e2＝33.因为e1>e2，所以椭圆x236＋y224＝1更接近于圆．(3)因为a>2，所以e＝a2－4a＝22，解得a＝2 2.【答案】(1)12(2)x236＋y224＝1(3)2 2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型](2)求椭圆81x2＋y2＝81的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标，离心率．【精彩点拨】分清椭圆的焦点所在的轴，确定a，b后研究性质．【自主解答】(1)把椭圆2x2＋3y2＝12化为标准方程，得x26＋y24＝1，易知a2＝6，b2＝4，∴c2＝a2－b2＝2，∴c＝2，故2c＝2 2.【答案】22(2)椭圆的方程可化为x2＋y281＝1，∴a＝9，b＝1，∴c ＝81－1＝80＝45， ∴椭圆的长轴和短轴长分别为18,2. ∵椭圆的焦点在y 轴上，故其焦点坐标为F 1(0，－45)，F 2(0,45)， 顶点坐标为A 1(0，－9)，A 2(0,9)， B 1(－1,0)，B 2(1,0)，e ＝c a ＝459.研究椭圆几何性质的方法求椭圆的几何性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a ，b 的数值，进而求出c ，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．[再练一题]1．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长，焦点坐标，顶点坐标. 【导学号：09390025】【解】 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2m m ＋3＝1(m >0)，因为m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，所以m >m m ＋3，所以焦点在x 轴上，即a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32，得e ＝ca ＝m ＋2m ＋3＝32，所以m ＝1. 所以椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1.所以a ＝1，b ＝12，c ＝32，所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0；四个顶点坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.(1)中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是6，离心率是23；(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，在x 轴上的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.【精彩点拨】 确定焦点位置→设标准方程→求出a 2，b 2→写出标准方程【自主解答】 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由已知得2a ＝6，∴a ＝3.又e ＝c a ＝23，∴c ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.∴椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1或y 29＋x 25＝1. (2)由题意知焦点在x 轴上，故可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且两焦点为F ′(－3，0)，F (3,0)． 如图所示，△A 1F A 2为等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18.∴椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1.由椭圆的几何性质求方程的方法步骤1．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．2．根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论．一般步骤是：①求出a 2，b 2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程．[再练一题]2．已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A (5,0)，求该椭圆的标准方程．【解】 法一：若椭圆的焦点在x 轴上，则设其标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝5×2b ，25a 2＋0b2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝1，故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上，则设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝25，b ＝5，故所求椭圆的标准方程为y 2625＋x 225＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1或y 2625＋x 225＝1. 法二：设椭圆的标准方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0，m ≠n )， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧25m ＋0n＝1，2m ＝5×2n或⎩⎪⎨⎪⎧25m ＋0n ＝1，2n ＝5×2m ，解得⎩⎨⎧ m ＝25，n ＝1或⎩⎨⎧m ＝25，n ＝625.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1或y 2625＋x 225＝1.(1)如图2-2-2，已知F 是椭圆x a 2＋y b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点， P 是椭圆上的一点，PF ⊥x 轴， OP ∥AB (O 为原点), 则该椭圆的离心率是______．图2-2-2(2)已知椭圆C 的中心在坐标原点，连接椭圆的长轴的一个端点A 和短轴的一个端点B ，∠OAB ＝30°，则椭圆的离心率为________．【精彩点拨】 (1)利用OP ∥AB 找到a ，c 或a ，b 的关系，可求离心率． (2)在直角三角形OAB 中，由∠OAB ＝30°，可得a ，b 的关系，利用这个a ，b 的关系可求离心率．【自主解答】 (1)由椭圆可知F (－c,0)， 故得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，∴k OP ＝－b 2ac ，又B (0，b )，A (a,0)，∴k AB ＝－b a .∵OP ∥AB ，∴－b 2ac ＝－b a ，得b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，即e 2＝c 2a 2＝12，∴e ＝22.(2)如图所示，不妨设椭圆的焦点在x 轴上，由条件得∠OAB ＝30°，OA ＝a ，OB ＝b ，∴b a ＝tan 30°＝33， ∴e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝1－13＝23，∴e ＝63.【答案】 (1)22 (2)63求椭圆的离心率，关键是寻找a 与c 的关系，一般地： (1)若已知a ，c ，则直接代入e ＝ca 求解； (2)若已知a ，b ，则由e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2求解； (3)若已知a ，b ，c 的关系，则可转化为a ，c 的齐次式，再转化为含e 的方程求解即可.[再练一题]3．A 为y 轴上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，△AF 1F 2为正三角形，且AF 1的中点B 恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率. 【导学号：09390026】【解】 如图，连接BF 2.∵△AF 1F 2为正三角形， 且B 为线段AF 1的中点， ∴F 2B ⊥BF 1.又∵∠BF 2F 1＝30°，|F 1F 2|＝2c ， ∴|BF 1|＝c ，|BF 2|＝3c . 据椭圆定义得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 即c ＋3c ＝2a ，∴ca ＝3－1. ∴椭圆的离心率e ＝3－1.[探究共研型]探究1 样判断吗？如何判断直线与椭圆的位置关系？【提示】 (1)直线与椭圆有相交、相切和相离三种位置关系，其几何特征分别是直线与椭圆有两个交点、有且只有一个交点、无公共点，并且二者互为充要条件．但不能像判断直线与圆的位置关系那样进行判断．(2)判断直线与椭圆的位置关系可使用代数法，即先将直线方程与椭圆的方程联立，消去一个未知数y (或x )，得到关于x (或y )的一个一元二次方程．利用一元二次方程根的判别式Δ，根据Δ>0，Δ<0还是Δ＝0即可判断方程组解的个数，从而得出直线与椭圆的交点情况．探究2 直线与椭圆相交时，若交点为A ，B ，则线段AB 是椭圆的弦，如何计算弦AB 的长呢？【提示】 将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x (或y )的一元二次方程，然后运用根与系数的关系，再求弦长．设直线y ＝kx ＋m 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则弦长公式为： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2， 或|AB |＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝1＋1k 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.探究3 与弦的中点有关的问题称为中点弦问题，若已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的弦AB 的中点坐标为(x 0，y 0)，能否确定直线AB 的斜率？【提示】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，所以1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0， 变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0， 即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.这种方法叫平方差法，也叫点差法．已知椭圆x 24＋y 2＝1.(1)当m 为何值时，直线y ＝x ＋m 与椭圆有两个不同的交点？(2)当m ＝2时，求直线y ＝x ＋m 被椭圆截得的线段长． 【精彩点拨】联立，消去y 得一元二次方程→Δ判别式→m 的范围→根与系数的关系→由弦长公式求弦长【自主解答】 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x ＋m消去y ，得5x 2＋8mx ＋4(m 2－1)＝0.(*)∵Δ＝64m 2－80(m 2－1)>0，∴－5<m <5，∴当－5<m <5时，直线与椭圆有两个不同的交点． (2)当m ＝2时，方程(*)化为5x 2＋16x ＋12＝0， 设线段端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由韦达定理得 x 1＋x 2＝－165，x 1x 2＝125，又k ＝1， ∴AB ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝45 2.直线与椭圆位置关系的判定及弦长公式1．直线与椭圆公共点个数问题，一般转化为方程根的问题，由判别式进行判断．2．求直线被圆锥曲线截得的弦长，一般用弦长公式AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2进行求解，也可利用AB ＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝1＋1k 2· (y 1＋y 2)2－4y 1y 2进行求解．[再练一题]4.如图2-2-3，已知一直线与椭圆4x 2＋9y 2＝36相交于A 、B 两点，弦AB 的中点坐标为M (1,1)，求直线AB 的方程．图2-2-3【解】 设通过点M (1,1)的直线AB 的方程为y ＝k (x －1)＋1，代入椭圆方程，整理得(9k 2＋4)x 2＋18k (1－k )x ＋9(1－k )2－36＝0. 设A ，B 的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－18k (1－k )2(9k 2＋4)＝1，解得k ＝－49. 故直线AB 的方程为y ＝－49(x －1)＋1，即4x ＋9y －13＝0.[构建·体系]1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴的端点坐标是________．【解析】 6x 2＋y 2＝6可变形为y 26＋x 2＝1，长轴在y 轴上，易知a ＝6，所以端点坐标为(0，±6)．【答案】 (0，±6)2．椭圆的长轴长为10，一个焦点坐标为(4,0)，则它的标准方程为________．【解析】 由条件可知，椭圆的焦点在x 轴上，且a ＝5，c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9，所以标准方程为x 225＋y 29＝1.【答案】 x 225＋y 29＝13．椭圆x 24＋y 2＝1被过右焦点且垂直于x 轴的直线所截得的弦长为________.【导学号：09390027】【解析】 右焦点为(3，0)，把x ＝3代入得34＋y 2＝1，解得y ＝±12，所以过焦点且垂直于x 轴的直线所截得的弦长为12×2＝1.【答案】 14．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为________．【解析】 如图，∵△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形， ∴∠PF 2A ＝60°，PF 2＝F 1F 2＝2c ，∴AF 2＝c ，∴2c ＝32a ，∴e ＝34.【答案】 345．已知点P (4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，求直线l 的方程．【解】 设直线l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴⎩⎨⎧x 21＋4y 21－36＝0，x 22＋4y 22－36＝0， 两式相减，有(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－12， 即k ＝－12，∴直线l 的方程为x ＋2y －8＝0.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。

椭圆的几何性质
．掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中、、的几何意义． (重点)
．会用椭圆的几何意义解决相关问题．(难点
)
[基础·初探]
教材整理 椭圆的简单几何性质 阅读教材～第自然段，完成下列问题.
原点
．椭圆＋＝的长轴长为( ) ．
．
．．
【解析】由标准方程知＝，故长轴长＝.
【答案】
．椭圆＋＝的焦点在轴上，长轴长是短轴长的倍，则的值为
( )
．
．．
【解析】方程化为＋＝，长轴长为，短轴长为，由题意，＝×，∴＝.
【答案】
教材整理离心率
阅读教材“离心率”～“例”，完成下列问题．
．定义：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的．
【答案】＝离心率
．性质：离心率的范围是．当越趋近于时，椭圆；当越趋近于时，椭圆就越趋近于圆．
【答案】() 越扁
．椭圆＋＝的离心率为．
【解析】∵＝，＝，
∴＝＝.
【答案】
．已知椭圆的两焦点为、，为椭圆上一点，且·＝，∠＝°，则该椭圆的离心率为．
【解析】∵·＝，
∴⊥，且∠＝°.
设＝，
∴＝，＝.
由椭圆定义知：＋＝，即(＋)＝.
∴＝＝＝－.
【答案】－
[质疑·手记]。

双曲线
双曲线的标准方程
．了解双曲线的定义及焦距的概念．
．了解双曲线的几何图形、标准方程．(重点)
．能利用双曲线的定义和待定系数法去求双曲线的标准方程．(重点)
[基础·初探]
教材整理双曲线的定义
阅读教材前自然段，完成下列问题．
平面内与两个定点，的距离的等于常数(小于且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这叫做双曲线的焦点，叫做双曲线的焦距．
【答案】差的绝对值两个定点两焦点的距离
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
()在双曲线标准方程中，，，之间的关系同椭圆中，，之间的关系相同．( )
()点()，(－)，若－＝，则点的轨迹是双曲线．( )
()在双曲线标准方程－＝中，＞，＞，且≠.( )
【答案】()×()×()×
教材整理双曲线的标准方程
阅读教材第自然段～“思考与讨论”，完成下列问题.
若方程－＝表示双曲线，则实数满足( )
．≠且≠－ ．＞ ．＜－或＞
．－＜＜
【解析】因为方程－＝表示双曲线，而＋＞恒成立，所以－＞，解得＜－或＞，故选.
【答案】
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问： 解惑： 疑问： 解惑： 疑问： 解惑：
[小组合作型]
已知双曲线的方程是
－
＝，点在双曲线上，且到其中一个焦点的距离为，点是的中点，求的大小(为坐
标原点)．
【精彩点拨】利用中位线定理，结合双曲线定义解题．。

抛物线
抛物线的标准方程
．掌握抛物线的定义及其标准方程．(重点、难点)
．会由抛物线方程求焦点坐标和准线方程．(易错点)
[基础·初探]
教材整理抛物线的定义
阅读教材前自然段，完成下列问题．
平面内与一个定点和一条定直线(∉)的距离相等的点的轨迹叫做．定点叫做抛物线的，定直线叫做抛物线的．
【答案】抛物线焦点准线
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
()到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线．( )
()抛物线的方程都是关于的二次函数．( )
()方程＝是表示开口向上的抛物线．( )
【答案】()×()×()×
教材整理抛物线的标准方程
阅读教材第自然段～，完成下列问题.
抛物线＝上的一点到焦点的距离为，则点的纵坐标是( )
．
．
【解析】抛物线＝化为标准方程为＝，如图所示，由抛物线定义可知，点到焦点的距离等于点到准线＝－的距离，
即＝，
∴＝.
【答案】
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
疑问：。