高中数学人选修1-2第二章2.1.2演绎推理课件

第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.2 演绎推理学习目标1 .理解演绎推理的意义.（重点）2. 掌握演绎推理的基本模式，并 能运用它们进行一些简单推 理.（难点）3. 了解合情推理和演绎推理之间 的区别和联系.（易混点）通过学习演绎推理及利用演绎推 理证明数学问题，提升学生的逻辑 推理素养.知1^嘗L匚新知初探口一'演绎推理1.含义由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，叫做演绎推理.2 •特点当前提为真时，结论必然为真.二\三段论匚初试身手二1.判断(正确的打“J”，错误的打“X”)⑴演绎推理一般模式是“三段论”形式.(2)演绎推理的结论是一定正确的.(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理.［解析］(1)正确.演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提、小前提利结论.(2)错误.在演绎推理中，只有“大前提” “小前提”及推理形式都正确的情况下，其结论才是正确的.(3)错误.演绎推理是由一般到特殊的推理.［答案］(1)7 ⑵ X (3)X2（锐角三角形ABC 中，求证sinA+sin B+sin C>cos A+cos B +cos C.［证明］V MBC为锐角三角形,71.)?=sinx在0,亍上是增函数,.\sinA>sin^-5 =cos B.& )司理可得sin B>cos C, sin C>cos A, •: sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C.F严严护\类型\J把演绎推理写成三段论的形式【例1】将下列演绎推理写成三段论的形式.⑴一切奇数都不能被2整除,75不能被2整除，所以75是奇数.(2)三角形的内角和为180°, RtAABC的内角和为180°.(3)菱形的对角线互相平分.(4)通项公式为偽=3〃+2(心)的数列｛偽｝为等差数列.［思路探究］三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果冃C, 5,则Qc・”其中，冃C为大前提,提供了已知的 -般性原理；刊为小前提，提供了-个特殊情况；Kc为大前提和小前提联合产生的逻辑结果.［解］⑴一切奇数都不能被2整除.（大前提）75不能被2整除.（小前提）75是奇数.（结论）是三角形.（小前提）（3）平行四边形的对角线互相平分・（大前提）菱形是平行四边形.（小前提）菱形的对角线互相平分.（结论）（4）数列｛酣中，如果当论2时，偽-如为常数，则｛偽｝为等差数列.（大前提）通项公式偽=3"+2, “22时’a厂偽一i=3"+2—[3（〃_1）+2]=3（常数）.（小刖提）通项公式为偽=3〃+2Q2）的数列｛偽｝为等差数列.（结论）规律方袪1.三段论推理的根据，从集合的观点来讲，若集合M的所有元素都具有性质P, S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.2.演绎推理最常用的模式是三段论，在大前提和小前提正确，推理形式也正确时，其结论一定是正确的.1. (1)三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，② 这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的”中的“小前提”是()A.①B.②C.①②D.③(2)将推断“若两个角是对顶角，则这两个角相等，所以若上1和上2是对顶角，则上1和上2相等”改写三段论的形式.［解析］（1）大前提为①，小前提为③，结论为②.［答案］D（2）两个角是对顶角，则这两个角相等，（大前提）上1和Z2是对顶角，（小前提）上1和Z2相等.（结论）【例2】证明»=%3+x在R上为增函数，并指岀证明过程中所运用的“三段论” •［思路探究］可利用函数单调性定义证明.［解］在R 上任取q,匕，且QS ，则兀2一浙＞0・即他)和)，所以yw=『+x 在R 上是增函数.+卷+1>0,所以加2)-加1)>0,因为 »=x 3+x, =（%2一%1）（X ；+兀2%1+#+ 1） =（%2一%1）・在证明过程中所用到的“三段论”：大前提是“增函数的定义”，小前提是“题中的血）经过正确的推理满足增函数的定义”，结论是“/⑴是增函数”.规律方袪1.应用二段论解决冋题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略.2.数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提.2.如图所示，D, E, F分别是BC, CA, AB 边上的点，ZBFD二ZA, DE//BA,求证: DE二AF.写岀“三段论”形式的演绎推理.［证明］①因为同位角相等，两直线平行，（大前提）/BFD和Z4是同位角，且ZBFD=ZA,（小前提）所以DF 〃血（结论）②因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（大前提）DE//BA且DF〃胡，（小前提）所以四边形AFDE为平行四边形.（结论）DE和肚为平行四边形的对边, 所以DE=AF.（结论）（大前提）（小前提）合情推理与演绎推理的综合应用［探究问题］1.我们己经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢？类比“等比数列”，请你给岀“等积数列”的定义.［提示］如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积合情推理与演绎推理的综合应用是同一个常数,那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积.2-若｛加是等积数列,1首项0=2,公积为6,试写岀阀的通项公式及前〃项和公式.［提示］由于｛偽｝是等积数列,且首项0=2,公积为6,所以© =3,偽=2,偽=3,岛=2,佻=3,・•・，即｛偽｝的所有奇数项都等于2, 所有偶数项都等于3,因此血｝的通项公式为偽』嘗$3, 〃为偶数.S/7罗，〃为偶数,其前诃和公式S占弓+2二丁〃为奇数.3.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A, B, C三个城市时, 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为A, B, C三个城市中的哪一个？［提示］由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多, 而丙说“三人去过同一城市”,说明甲去过A, C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A,由此可知，乙去过的城市为A.【例3］如图所示，三棱锥人-BCD 的三条 侧棱AB, AC, AD 两两互相垂直，0为点人在 底面BCD 上的射影.⑴求证：0为△BCD 的垂心；⑵类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的A C个关系，并给岀证明.［思路探究］⑴利用线面垂直与线线垂直的转化证明0为△BCD的重心.(2)先利用类比推理猜想岀一个结论，再用演绎推理给出证明.［解］(1)证明:TAB丄AD, AC丄AD, ABHAC=A,・・・AD丄平面ABC.又TBCU平面ABC, :.ADLBC,又TAO丄平面BCD, ：・AO丄BC,,：ADM0=A,・・・BC丄平面AOD,・：BC丄DO,同理可证CD丄BO,・：O为ABCD的垂A证明如下: 连接DO 并延长交BC 于E, 连接AE, BO, CO, 由⑴知AD 丄平面ABC, AEU 平面 ABC, :.ADLAE,又AO 丄ED, :.AE —EOED,⑵猜想:二S1BCD-2S^ABD = S 5B0D・ SABCD-• r 2I c 2 I c 2 _• • J AABC I J AACD I J AABD —S/XBCD\S^BOC +S HOD +S^BOD)即处ABC=S5B0C S/\BCD・同理可证: SL ICD=S 乂0卩SABCD ‘S HBCD S'BCD= S 纟BCZ)・规律方进一A JMC L _ I J BB L I iE合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真•但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确（前提和推理形式都正确的前提下）.3.已知命题：“若数列｛偽｝是等比数列，且為＞0,则数列九=S0GN+）也是等比数列” •类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论.［解］类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是： 若数列｛©｝是等差数列，则数列九/+葺…+偽也是等差数列. 证明如下： 设等差数列也｝的公差为d,则你/+叮…+偽=所以数列血｝是以0为首项，辛为公差的等差数列.,n(n~l)d〃山+ 2nd_十 2（" 一1.演绎推理中的“一般性原理”包括（）①已有的事实；②定义、定理、公理等；③个人积累的经验.A.①②B.①③C.②③D.①②③［解析］演绎推理中的“一般性原理”包括“已有的事实” “定义、定理、公理等” •［笞案］A2.下面几种推理过程是演绎推理的是()A.两条直线平行，同旁内角互补，如果ZA与是两条平行直线的同旁内角，则ZA+Z5=180°B.某校高三⑴班有55人，(2)班有54人,(3)班有52人,由此得岀高三所有班级中的人数都超过50人C.由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质, 1( 1 ] 、D.在数列｛偽冲，偽=1,偽1+ —(〃$2),通过计算°2,企偽-1丿〃3，猜想岀偽的通项公式。