高中数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程教学课件

PF1 PF2 16(2 3),
S
F1PF2
1 2
PF1
PF2 sin30 8 4
3.
巩固练习
例3:已知△ABC的一边BC长为8,周长为20,求顶点A的轨迹方程. 解:以BC边所在直线为x轴,BC中点为原点,建立如右图所示的直角坐标系,则B､C两点的坐标分
别为(-4,0)､(4,0).
|PA|,由于圆P与圆C相内切, ∴|PC|=r-|PA|, 即|PA|+|PC|=r=6. 因此,动点P到两定点A(0,2)､C(0,-2)的距离之和为6, ∴P的轨迹是以A､C为焦点的椭圆,且2a=6,2c=4,即a=3,c=2,∴b2=5.
∴所求动圆圆心P的轨迹方程为 x2 y2 1. 59
巩固练习
例3.如图，已知点A（-5，0），B（5，0）.直线AM，BM交于点M,且它们的斜率之积是- 4/9，求 点M的轨迹方程.
y M
直译法
A
O
B
x
巩固练习
练习：已知x轴上一定点A 1, 0, Q为椭圆 x2 y2 1
4 上任一点, 求AQ的中点M的轨迹方程.
[解]设中点M的坐标为x, y,点Q的坐标为x0, y0 ,
人教版高中数学选修2-1
第2章 圆锥曲线与方程
2.2.1椭圆及其标准方程第二课时
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-1
讲解人：XXX 时间：2020.6.1
课前导入
定义
图形 方程 焦点 a,b,c之间的关系
椭圆的标准方程
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)

【示例】已知 x2sin α－y2cos α＝1(0≤α≤π)表示焦点在 y
轴上的椭圆，求 α 的取值范围．
【错解】将已知方程化为
x2 1
sin
α＋－cyo21s
＝1. α
∴s－in1cαo1s>0α，>0
⇔sin α>0， cos α<0.
∴π2<α<π.
【错因分析】忘记考虑在椭圆中存在关系a2>b2>0.
应用椭圆的定义解题 【例 1】 如图所示，已知椭圆的方程为x42＋y32＝1，若点 P 是椭圆上第二象限内的点且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2 的面积．
【解题探究】由椭圆定义和余弦定理可求得三角形边长 ．
【解析】由已知 a＝2，b＝ 3， 所以 c＝ a2－b2＝ 4－3＝1，|F1F2|＝2c＝2. 在△PF1F2 中，由余弦定理，得 |PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 120°，即|PF2|2＝ |PF1|2＋4＋2|PF1|.①
1．求椭圆方程的方法： (1)曲线形状明确或易于判断且便于用标准形式时，用 待定系数法或定义法求得． (2)曲线形状不明确或不便于用标准形式表示时，一般 可用直接法、相关点法、参数法，或根据平面几何知识等求方 程．
2．重视数学思想、方法的运用，优化解题思维，简化 解题过程．
(1)数形结合思想：根据平面几何知识，通过观察发现 各量之间的关系，将位置关系转化为代数数量关系进而转化为 坐标关系，从而建立关系式．
2．求经过点 A(3， 3)，B(2,3)的椭圆的标准方程． 【解析】设所求椭圆方程为xm2＋yn2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
将 A(3， 3)，B(2,3)代入，得mm94 ＋＋3n9n＝＝11，，

7．已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一动
点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点
（3）在画椭圆的过程中，绳子长度与两
定点距离大小有怎样的关系？
2a>2c
若2a<2c，则轨迹为＿不＿存＿在＿。 若2a=2c，则轨迹为＿线＿段＿＿。
椭圆的定义
• 平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常 数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．
• 这两个定点叫做椭圆的焦点，
M
• 两焦点的距离叫做焦距．
（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值； （4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在
哪一个轴上 .
2．椭圆标准方程的特点 (1)a、b、c三个基本量满足a2＝b2＋c2且 a>b>0，其中2a表示椭圆上的点到两焦点 的距离之和，可借助如图所示的几何特征 理解并记忆． (2)利用标准方程判断焦点的位置的方法是 看大小，即看x2，y2的分母的大小，哪个 分母大，焦点就在哪个坐标轴上．较大的 分母是a2，较小的分母是b2.
y
P
M•
0D
x
方法归纳: 寻找要求的点M的坐标x,y与中间变量x0 , y0之间的关 系,然后消去x0 , y0,得到点M的轨迹的方程.-------
叫代入法求轨迹(解析几何中求点的轨迹的常用方法)
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课本 42页 习题 4
高中数学人教A版选修2-1第二章 圆锥曲线与方程2.2 椭圆——椭圆及其标准方程课件【精品 】

例 1 如图，P 为圆 B：(x＋2)2＋y2＝36 上一动
点，点 A 坐标为(2,0)，线段 AP 的垂直平分
线交直线 BP 于点 Q，求点 Q 的轨迹方程.
跟踪训练 1
2.1.1(二）
已知圆 A：(x＋3)2＋y2＝100，圆 A 内一定点 B(3，0)，
圆 P 过 B 且与圆 A 内切，求圆心 P 的轨迹方程.
例 2 如图，在圆 x2＋y2＝4 上任取一点2.1P.1，(二）过 点 P 作 x 轴的垂线段 PD，D 为垂足.当点 P 在圆上运动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹是 什么？为什么？
相关点法求轨迹方程
问题 从例 2 你能发现椭圆与圆之间的关系吗？
答案 圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆.
直接法求轨迹方程
小结 通过例 3 的学习，体会椭圆的另一种生成方法： 一个动点到两个定点连线的斜率之积是一个负常数 (不等于－1)，轨迹即为椭圆， 但要注意除去不符合题意的点.
1.解答与椭圆有关的求轨迹问题的一般思路是 2.注意题目要求中求轨迹和求轨迹方程的区别.x2 来自21ab
0
F(±c，0)
F(0，±c)
a2=b2+c2
特点1：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上， 中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
特点2：焦点在x轴的椭圆 焦点在y轴的椭圆
x2 y2
项分母较大. 项分母较大.
谁的分母大，焦点就在谁的轴上
定义法求轨迹方程
2.1.1(二）
跟踪训练 2
2.1.1(二）
如图，设 P 是圆 x2＋y2＝25 上的动点，
点 D 是 P 在 x 轴上的投影，M 为 PD 上一点， 且|MD|＝45|PD|.当 P 在圆上运动时，

A．(±4,0) B．(0，±4) C．(±3,0)
解析：由方程知 a2＝25，b2＝16，
∴c2＝9，故焦点坐标为(0，±3)．
答案：D
D．(0，±3)1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距
离为 3，到另一焦点距离为 7，则 m 等于( )
A．10
B．5
(3)解关于椭圆的问题时应先定位，在定量(首先确定焦点所在的坐标轴，然
后在确定 a b c 的大小）
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12
谢谢大家
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13
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11
利用椭圆的定义解决焦点三角形问题
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点 M 的轨迹是椭 圆；反之，椭圆上任意一点 M 到两焦点的距离之和必为 2a. (2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到 涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．
2.1 椭圆及其标准方程
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1
动手试一试
探究 ：椭圆有什么几何特征？
M
F1
F2
数学史：
K12课件
2
一教学目标
1. 了解椭圆的实际背景，经历从具 体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆
标准方程的推导与化简过程． 2. 掌握椭圆的定义、标准方程及几
何图形.
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3
二 重点，难点
重点：能够根据条件熟练求出椭圆 的标准方程．
D.2y02 ＋1x22＝1
解析：由条件知 c＝8,2a＝20，∴a＝10，
∴b2＝36，故方程为1y020＋3x62 ＝1.
答案：C
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是q的( B )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
巩固练习
1.椭圆 x2 y2 1的焦点坐标为C
25 9
A.5, 0,5, 0 B.9, 0,9, 0 C.4, 0,4, 0 D.0, 4,0, 4
2.椭圆的焦点坐标为(4,0),(-4,0),椭圆上一点到两焦点的距离之和为10,则椭圆的标准方程为( B )
x2 y2 A. 1
16 9 C. x2 y2 1
9 25
x2 y2 B. 1
25 9 D. x2 y2 1
25 16
巩固练习
3.焦点在x轴上的椭圆 x2 y2 1的焦距等于2,则m B
m4 A.8 B.5 C.5或3 D.6
4.已知a=4,c=3,焦点在y轴上的椭圆的标准方程为_x7_2___1y6_2 __1.
变式：p36页练习第1,2题（P42页）
课堂练习
目标检测：
x2 (1)已知椭圆的方程为：4
y2 5
1,则
a=___5__，b=____2___，c=___1____，
焦点坐标为： (0,-1)、(0,1) ，焦距
等于__2___;
若曲线上一点M到左焦点F1的距离为3，则
点M到另一个焦点F2的距离等于_2___5____3_， 则∆F1MF2的周长为___2___5____2_ |MF1|+|MF2|=2a
∵|AB|+|BC|+|CA|=20且|BC|=8,
∴|AB|+|AC|=12>|BC|,
∴点A的轨迹是以B､C为焦点的椭圆(除去与x 轴的交点).
且2a=12,2c=8,及a2=b2+c2得a2=36,b2=20.

第二章 圆锥曲线与方程
[知识提炼·梳理]
1．椭圆的定义
(1)前提要素：平面内，一个动点 M，两个定点 F1， F2，一个常数 2a.
(2)满足关系：|MF1|＋|MF2|为常数． (3)限制条件：常数大于|F1F2|． (4)相关概念：两个定点 F1，F2 叫做椭圆的焦点，两 个定点之间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距．
(1)当 2a＞|F1F2|时，轨迹是椭圆； (2)当 2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段 F1F2； (3)当 2a＜|F1F2|时，轨迹不存在． 2．求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过 待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．
[变式训练] 如图，在圆 C：(x＋1)2 ＋y2＝25 内有一点 A(1，0)，Q 为圆 C 上 一点，AQ 的垂直平分线与 C，Q 的连线 交于点 M，求点 M 的轨迹方程．
解：由题意，知点 M 在线段 CQ 上，
所以|CQ|＝|MQ|＋|MC|.
因为点 M 在 AQ 的垂直平分线上，
1．平面内到两定点 F1，F2的距离之和为常数，即|MF1| ＋|MF2|＝2a.
类型 1 椭圆定义的应用(自主研析)
[典例 1] 椭圆2x52＋y92＝1 上一点 P 到一个焦点的距
离为 5，则点 P 到另一个焦点的距离为(
A．5B．6ຫໍສະໝຸດ C．4) D．10
类型 2 利用椭圆的定义求椭圆的标准方程 [典例 2] 已知 B，C 是两个定点，|BC|＝6，且△ABC 的周长等于 16，求顶点 A 的轨迹方程． 解：如图，建立平面直角坐标系，使 x 轴经过点 B， C，原点 O 与 BC 的中点重合． 由已知|AB|＋|AC|＋|BC|＝16， |BC|＝6，

14
式
定义
图形
方程 焦点 a,b,c之间的关系
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y
y
M
F2 M
F1 o F2 x
x2 a2
by22
1ab0
ox
F1
y2 a2
bx22
1ab0
F(±c，0)
F(0，±c)
c2=a2-b2
注:
共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上， 中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
x2 y2 1
a2
b2
(a＞b ＞0)由椭圆定
义知 2 a (5 2 )2 ( 3 )2(5 2 )2 ( 3 )2 210
2
22
2
所以 a 10 ,又因为 c2 ,所以 b 2 a 2 c 2 1 4 0 6
因此,椭圆的标准方程为
x2
y2
1
10 6
待定系数法
2021
21
练习、求满足下列条件的椭圆的标准方程：
定点F1、F2叫做椭圆 的焦点。
两焦点之间的距离叫
做焦距(2c)。
2021
M1FM2F2a
(2a>2c)
M
F2
F1
7
数学实验
• [1]在平面内，任取两个 定点F1、F2 ；
• [2]取一细绳并将细绳 （大于两定点的距离） 的两端分别固定在F1、 F2两点 ；
• [3]用笔尖（点M）把细 绳拉紧，慢慢移动笔尖 看看能画出什么图形？
演示1
演示2 2021
若改为小于或等于将 是什么情况？
M
F1
F2

当 1 < 1 ,即 B<A 时,表示焦点在 y 轴上的椭圆. AB
(4)椭圆的一般方程
当 ABC≠0 时,方程 Ax2+By2=C 可以变形为 x2 + y2 =1,由此可以看出方程 Ax2+By2=C CC AB
表示椭圆的充要条件是 ABC≠0,且 A,B,C 同号,A≠B.此时称方程 Ax2+By2=C 为椭圆 的一般方程. (5)共焦点的椭圆系方程
(3)椭圆两种标准方程的统一形式 椭圆的两种标准方程可以写成统一形式:Ax2+By2=1(其中 A>0,B>0,A≠B). 方程 Ax2+By2=1(其中 A>0,B>0,A≠B)包含椭圆的焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上两种
情况,方程可变形为 x2 + y2 =1, 11 AB
当 1 > 1 ,即 B>A 时,表示焦点在 x 轴上的椭圆; AB
(2)设
P
是椭圆 x2 + 25
y2 75
=1
上一点,F1,F2 是椭圆的焦点,若∠F1PF2=60°,则△F1PF2 的面积
4
为
.
解析:(2)由椭圆方程知,a2=25,b2= 75 ,所以 c2= 25 ,所以 c= 5 ,2c=5.
4
4
2
在△PF1F2 中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°, 即 25=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.①
由椭圆的定义得 10=|PF1|+|PF2|, 所以 100=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.②
②-①,得 3|PF1|·|PF2|=75,所以|PF1|·|PF2|=25,

人教高中数学选修2-1 第二章 2.2.1 椭圆及标准方程
想一想
生活中或是
自然界中有哪些 常见的椭圆图形？
观察以下几组图片
我们了解了生活中的椭圆后，再进一步学习数 学中的椭圆及其标准方程
椭圆定义：
第一定义：
平面内于两定点F1、F2距离之和等于 常数（大于F1F2 ）的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距 离叫做椭圆的焦距。
x2 a2
y2 a2 5
1
.
由点(－3,2)在椭圆上知
9 a2
4 a2 5
1，所以
a ＝2 15.所以所
求椭圆的标准方程为
x2 y2 1
15 10
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a
（1）+（2）得：
（xc)2 y2
=
xc a
+a
（3）
对（3）两边平方可得椭圆的标准方程。
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几何性质
椭圆方程 图形特征
范围
几何 性质
顶点
焦点
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12
12
e
c a
(0e1)
e
c a
(0e1)
|M 1| F ae0,x |M 2| F ae0x|M 1| a F e y 0 ,|M 2| a F e y 0
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