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数学：1.2《平行线分线段成比例定理》课件(新人教版A选修4-1)

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《平行线分线段成比例》课件1(人教A版选修4-1)

《平行线分线段成比例》课件1(人教A版选修4-1)

AB BC
1 , = __
2 _, =__ =___,
1/2
EF FG EG GH
EF 1 可得 __=__ FG =___
AB BC
AC CD
2 可得 __=__ =___
AC CD
EG GH
BC BD
FG FH
1/2 =___
BC 可得 BD
__=__
FG FH
二、新知识：平行线分线段成比例定理
D、
AC CE BD DF
1、解： L1∥L2∥L3 ∵
∴ 即
AB DE BC EF
（平行线分线段成比例定理） ∴ DE=
Байду номын сангаас
2、证明：
∴
AB DE BC EF
a DE b c
ac b
∵ L1∥L2∥L3 （平行线分线段成比例定理）
AB BC AB DE EF DE
AB BC ∴ ∴ DE EF AB BC AC ∴ DE EF DF
AC DF BC EF
F
C (3)
L3
注：“对应线段”是指一条直线 被两条平行线截得的线段与另 一条直线被这两条平行线截得 的线段成对应线段。而“对应线 段成比例”是指同一条直线上的 两条线段的比等于与他们 对应 的另一条直线上的两条线段的比
例题解析：
例1、 已知：如图L1∥L2∥L3，AB=3，DE=2， EF=4，求BC A 分析：图形已具备什么定理的基本 图形？ 平行线分线段成比例定理 那么如何求线段BC的长呢？ （建立比例） C 解： ∵ L1∥L2∥L3 ∴
即
DF m n DE m
∴
DE m DF m n

《平行线分线段成比例》课件1(人教A版选修4-1)

《平行线分线段成比例》课件1(人教A版选修4-1)

问题1：若将图（1）中的直线L3擦掉得到图（2），仍
使L1∥L2 ∥ L4 不变，你能否发现在两直线a，b上截得 b 的线段有什么关系？ a E A 通过计算可以得到：
AB EF BD FH
AB EF AD EH
BD FH AD EH
B
D
F
L1 L2 L4
AD EH 等等 BD FH
H （2）
由此可得到：
1、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所
得的对应线段成比例。
说明： ①定理的条件是“三条平行线截两条直线” ②是“对应线段成比例”，注意“对应”两字。
a b A E L1 F L2 B
强化“对应“两字理解和记忆如图（2） D
AB EF 左上 右上 ( ) BD FH 左下 右下
AB DE BC EF
D E F
L1
B
L2
L3
（平行线分线段成比例定理）
3 2 即 BC 4
∴2BC=3×4 BC=6
AB m 例2：已知：如图（5），L1∥L2∥L3， BC n
求证：
DE m DF m n
D
A
F
L1 L2 C L3
分析：图形是平行线分线段成比例定理
的一个变式图形，由已知条件可以出现
D、
AC CE BD DF
1、解： L1∥L2∥L3 ∵
∴ 即
AB DE BC EF
（平行线分线段成比例定理） ∴ DE=
2、证明：
∴
AB DE BC EF
a DE b c
ac b
∵ L1∥L2∥L3 （平行线分线段成比例定理）
AB BC AB DE EF DE

《平行线分线段成比例》课件1(人教A版选修4-1)

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返回
四、小结:
1、本节课介绍了平行线分线段成比例定理 及应用；
2、在运用平行线分线段成比例定理时要 注意弄清三条平行线截两条直线，所得 哪条线段与哪条线段是对应线段，同时 要根据需要写出正确的比例式。
五、布置作业
课外作业： 如图7，已知L1∥L2 ∥ L3 ∥ L4，求X，Y的值
L1
3 5 3.5 y 4 L3 L4 x L2
AB BC
1 , = __
2 _, =__ =___,
1/2
EF FG EG GH
EF 1 可得 __=__ FG =___
AB BC
AC CD
2 可得 __=__ =___
AC CD
EG GH
BC BD
FG FH
1/2 =___
BC 可得 BD
__=__
FG FH
二、新知识：平行线分线段成比例定理
问题1：若将图（1）中的直线L3擦掉得到图（2），仍
使L1∥L2 ∥ L4 不变，你能否发现在两直线a，b上截得 b 的线段有什么关系？ a E A 通过计算可以得到：
AB EF BD FH
AB EF AD EH
BD FH AD EH
B
D
F
L1 L2 L4
AD EH 等等 BD FH
AC DF BC EF
F
C (3)
L3
注：“对应线段”是指一条直线 被两条平行线截得的线段与另 一条直线被这两条平行线截得 的线段成对应线段。而“对应线 段成比例”是指同一条直线上的 两条线段的比等于与他们 对应 的另一条直线上的两条线段的比
例题解析：
例1、 已知：如图L1∥L2∥L3，AB=3，DE=2， EF=4，求BC A 分析：图形已具备什么定理的基本 图形？ 平行线分线段成比例定理 那么如何求线段BC的长呢？ （建立比例） C 解： ∵ L1∥L2∥L3 ∴

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H （2）
由此可得到：
1、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所
得的对应线段成比例。
说明： ①定理的条件是“三条平行线截两条直线” ②是“对应线段成比例”，注意“对应”两字。
a b A E L1 F L2 B
强化“对应“两字理解和记忆如图（2） D
AB EF 左上 右上 ( ) BD FH 左下 右下
AB DE BC EF
D E F
ห้องสมุดไป่ตู้L1
B
L2
L3
（平行线分线段成比例定理）
3 2 即 BC 4
∴2BC=3×4 BC=6
AB m 例2：已知：如图（5），L1∥L2∥L3， BC n
求证：
DE m DF m n
D
A
F
L1 L2 C L3
分析：图形是平行线分线段成比例定理
的一个变式图形，由已知条件可以出现
AC DF BC EF
F
C (3)
L3
注：“对应线段”是指一条直线 被两条平行线截得的线段与另 一条直线被这两条平行线截得 的线段成对应线段。而“对应线 段成比例”是指同一条直线上的 两条线段的比等于与他们 对应 的另一条直线上的两条线段的比
例题解析：
例1、 已知：如图L1∥L2∥L3，AB=3，DE=2， EF=4，求BC A 分析：图形已具备什么定理的基本 图形？ 平行线分线段成比例定理 那么如何求线段BC的长呢？ （建立比例） C 解： ∵ L1∥L2∥L3 ∴
BD FH 左下 右下 ( ) AB EF 左上 右上
H L4 （2）
练一练：如图（3） L1∥L2 ∥ L3 ，试根据图形写出 b a 成比例线段。 D A

1.2 平行线分线段成比例定理 课件(人教A选修4-1)(2)

1.2 平行线分线段成比例定理 课件(人教A选修4-1)(2)

提示：仍然成立．
返回
[例 1] AB m BC＝ n .
[研一题] 已知：如图，l1∥l2∥l3，
DE m 求证：DF＝ . m＋n 分析：本题考查平行线分线段成比例定理及比例的
DE AB 基本性质．解答本题需要利用定理证得 ＝ ，然后利 EF BC DE 用比例的有关性质求出 即可． DF
返回
证明：∵l1∥l2∥l3， AB DE m ∴ ＝ ＝ . BC EF n EF n EF＋DE n＋m ∴ ＝ ， ＝ ， DE m DE m DF m＋n DE m 即 ＝ ，∴ ＝ . DE m DF m＋n
返回
[悟一法]
解决此类问题要结合几何直观，合理地利用比例的性 质，常见的性质有： (1)比例的基本性质： a c ＝ (bd≠0)⇔ad＝bc； b d a b ＝ (bc≠0)⇔b2＝ac； b c a c b d ＝ (abcd≠0)⇔ ＝ . b d a c
返回
a c a± c± b d (2)合分比性质：如果 ＝ ，那么 ＝ . b d b d a c m (3)等比性质： 如果 ＝ ＝„＝ (bd„n≠0， b＋d＋„ b d n a＋c＋„＋m a ＋n≠0)，那么 ＝ . b＋d＋„＋n b
返回
[通一类]
1． 如图， 已知在△ABC 中， ∠BAC＝120° ， AD 平分∠BAC 交 BC 于 D. 1 1 1 求证： ＝ ＋ . AD AB AC
证明：过 D 点作 DE∥AB 交 AC 于 E 点， ∵∠BAC＝120° ，AD 平分∠BAC， ∴∠DAE＝60° ，∠BAD＝60° ， ∵DE∥AB，∴∠ADE＝60° ， ∴AD＝DE＝AE，
AD AE (2)符号语言表示：如图，若a∥b∥c，则 AB ＝AC＝ DE BC .

《平行线分线段成比例定理》课件(新人教版A选修

《平行线分线段成比例定理》课件(新人教版A选修
总结词
通过建立坐标系，利用坐标点的位置关系和距离公式，推导出平行线分线段成比例的结 论。
详细描述
首先，建立坐标系，并设定一些关键点的坐标。然后，利用两点之间的距离公式计算线 段的长度，并根据平行线的性质确定这些线段之间的关系。最后，通过数学推导，我们
可以得出平行线分线段成比例的结论。
平行线分线段成比
证明方法二：利用向量分解
总结词
通过将线段向量的分解与平行线的性质相结合，推导出平行线分线段成比例的 结论。
详细描述
首先，将线段向量的起点设在一条平行线上，并根据平行线的性质将该向量分 解为两个部分。然后，证明这两部分向量与另一条平行线上的向量成比例。由 此，我们可以得出平行线分线段成比例的结论。
证明方法三：利用坐标几何
定理的图形表述
总结词：直观形象
详细描述：通过绘制两条平行线和一条横截线，将对应点连接形成线段，可以清晰地展示线段之间的比例关系。图形中应标 明各点的位置和线段的长度，以帮助理解。
定理的数学公式表述
总结词：严谨准确
详细描述：使用数学符号表示定理，设两平行线为AB和CD，横截线为EF，交点分别为A、B、C、D ，则有AB/BC = AD/CD，或者表示为：AB:BC = AD:CD。
与其他几何定理的交叉
该定理可以与其他几何定理结合使用，例如 与勾股定理、射影定理等结合，解决复杂的
几何问题。
在数学竞赛中的应用
要点一
解决几何证明题
在数学竞赛中，利用平行线分线段成比例定理可以证明一 些复杂的几何命题，例如关于三角形、四边形、多边形的 性质和定理。
要点二
构造特殊图形
利用该定理可以构造一些特殊的图形，例如等腰三角形、 黄金分割线等，这些图形在数学竞赛中常被用来解决一些 难题。

《平行线分线段成比例》课件1(人教A版选修4-1)


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四、小结:
1、本节课介绍了平行线分线段成比例定理 及应用；
2、在运用平行线分线段成比例定理时要 注意弄清三条平行线截两条直线，所得 哪条线段与哪条线段是对应线段，同时 要根据需要写出正确的比例式。
五、布置作业
课外作业： 如图7，已知L1∥L2 ∥ L3 ∥ L4，求X，Y的值
L1
3 5 3.5 y 4 L3 L4 x L2
AC DF BC EF
F
C (3)
L3
注：“对应线段”是指一条直线 被两条平行线截得的线段与另 一条直线被这两条平行线截得 的线段成对应线段。而“对应线 段成比例”是指同一条直线上的 两条线段的比等于与他们 对应 的另一条直线上的两条线段的比
例题解析：
例1、 已知：如图L1∥L2∥L3，AB=3，DE=2， EF=4，求BC A 分析：图形已具备什么定理的基本 图形？ 平行线分线段成比例定理 那么如何求线段BC的长呢？ （建立比例） C 解： ∵ L1∥L2∥L3 ∴
BD FH 左下 右下 ( ) AB EF 左上 右上
H L4 （2）
练一练：如图（3） L1∥L2 ∥ L3 ，试根据图形写出 b a 成比例线段。 D A
AB DE BC EF BC EF AB DE AB DE AC DF
L1
L2
E B
AC DF AB DE
BC EF AC DF
E B
AB m ， DE AB AB 由 BC n DF AC AB BC AB m 由比例性质发现
AB BC mn
（图5） (平行线分 线段成比 例定理)
证明：
∵ L1∥L2∥L3
EF n , ∴ DE m

《平行线分线段成比例》课件1(人教A版选修4-1)


即
DF m n DE m
∴
DE m DF m n
（三）巩固练习：
1、课本P21 3 ，练习1、2
2、如图（6）AB∥CD∥EF，则在图中下列关系式 一定成立的是（ D ） A AC DF A、 B、 AC DF C
CE BD
BD CE
B D
E
F
（6）
AC DF C、 AE BF
问题1：若将图（1）中的直线L3擦掉得到图（2），仍
使L1∥L2 ∥ L4 不变，你能否发现在两直线a，b上截得 b 的线段有什么关系？ a E A 通过计算可以得到：
AB EF BD FH
AB EF AD EH
BD FH AD EH
B
D
F
L1 L2 L4
AD EH 等等 BD FH
E B
AB m ， DE AB AB 由 BC n DF AC AB BC AB m 由比例性质发现
AB BC mn
（图5） (平行线分 线段成比 例定理)
证明：
∵ L1∥L2∥L3EF n Fra bibliotek ∴ DE m
∴
DE AB m EF BC n
EF DE n m DE m
H （2）
由此可得到：
1、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所
得的对应线段成比例。
说明： ①定理的条件是“三条平行线截两条直线” ②是“对应线段成比例”，注意“对应”两字。
a b A E L1 F L2 B
强化“对应“两字理解和记忆如图（2） D
AB EF 左上 右上 ( ) BD FH 左下 右下
平行线分线段成比例定理

1.2 平行线分线段成比例定理 课件(人教A选修4-1)


2. 如图，已知AE∥CF∥DG，AB∶BC∶ CD＝1∶2∶3， CF＝12 cm，求AE，DG的长．
解：∵AE∥CF， AE AB ∴CF＝BC. AB ∴AE＝BC· CF. ∵AB∶BC＝1∶2，CF＝12 cm， 1 ∴AE＝ ×12＝6 (cm)． 2 BC CF ∵CF∥DG，∴BD＝DG. BC 2 BC 2 ∵CD＝ ，∴BD＝ . 3 5 BD 5 ∴DG＝ BC· CF＝ ×12＝30(cm). 2
DE AB EG 在此题中，DF是AC与FH的公共比，公共比大多是两个 或两个以上的比例式都具有的一个公共比，通常是两个图形 中公共边的比．当要证的结论不是比例式(通常是等积式)时， 常转化为比例式来突破题设的条件，其中公共比是常用的转 化方法．
3．已知：如图，四边形ABCD是正方
形，延长BC到点E，连接AE交CD于F，
“借图解题”．
1．已知：如图所示，l1∥l2∥l3， AB m BC＝ n . DE m 求证：DF＝ . m＋n
证明：∵l1∥l2∥l3， AB DE m ∴BC＝ EF＝ n . EF＋DE n＋m EF n ∴DE＝m，则 DE ＝ m ， DF m＋n DE m 即DE＝ m .∴DF＝ . m＋n
证明：(1)∵CD∥AE， DG CG ∴GE ＝AG. GF CG 又∵AD∥CF，∴DG＝AG. DG GF ∴GE ＝DG，即 DG2＝GE· GF. AB DF (2)∵BF∥AD，∴AE＝DE. CF DF 又∵CD∥BE，∴CB＝DE. CF AB ∴CB＝AE.
[例 3] 如图，在△ABC 中，CD⊥AB 于 D， E 为 BC 中点，延长 AC、DE 相交于点 F， AC AF 求证：BC＝DF. [思路点拨] 由已知条件，结合图形特点，可添加平行 线，构造出能够运用平行线分线段成比例定理或推论的基本 图形，再结合直角三角形的性质，找出公共比，得证．

《平行线分线段成比例》课件1(人教A版选修4-1)


H （2）
由此可得到：
1、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所
得的对应线段成比例。
说明： ①定理的条件是“三条平行线截两条直线” ②是“对应线段成比例”，注意“对应”两字。
a b A E L1 F L2 B
强化“对应“两字理解和记忆如图（2） DAB EF 左上 右源自 ( ) BD FH 左下 右下
E B
AB m ， DE AB AB 由 BC n DF AC AB BC AB m 由比例性质发现
AB BC mn
（图5） (平行线分 线段成比 例定理)
证明：
∵ L1∥L2∥L3
EF n , ∴ DE m
∴
DE AB m EF BC n
EF DE n m DE m
返回
四、小结:
1、本节课介绍了平行线分线段成比例定理 及应用；
2、在运用平行线分线段成比例定理时要 注意弄清三条平行线截两条直线，所得 哪条线段与哪条线段是对应线段，同时 要根据需要写出正确的比例式。
五、布置作业
课外作业： 如图7，已知L1∥L2 ∥ L3 ∥ L4，求X，Y的值
L1
3 5 3.5 y 4 L3 L4 x L2
平行线分线段成比例定理
一、复习提问
1、说出平行线等分线段定理 2、观察图（1）已知L1∥L2 ∥ L3 ∥ L4 ， AB=BC=CD A (1)你能推出怎样的结论？ B ∵ L1∥L2 ∥ L3 ∥ L4 C
AB=BC=CD
∴EF=FG=GH
E F G H
L1 L2 L3 L4
D （1）
(2).计算下面各比的值,并填空
AC DF BC EF
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∴AD//EF//BC AE DF a c ∴ = , 即 = EB CF b CF bc ∴CF = (米 ) a
20102010-9-7
b B
?
C
用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线 截三角形, 截三角形,所截得的三角形的三边与原三角形 的三边对应成比例. 的三边对应成比例. 已知:如图,DE//BC,DE分别交AB、AC于点D、E A AD AE DE 求证： = = AB AC BC E D AD AE = DE//BC AB AC C B F AE BF = EF//AB AD AE DE AC BC = = AB AC BC DE=BF
2 AB 2 DE 若 = ,那 ， =？ 么 BC 3 EF 3C
3 AB 3 DE 若 = ， 那么, =？ BC 4 EF 4
的相 行
l3
20102010-9-7
AB 2 考察 = BC 3
A
P1
l
l′ D
Q1
B E 设线段AB的中点为 设线段AB的中点为P1，线 的中点为P l2 Q2 P2 BC的三等分点为 的三等分点为P 段BC的三等分点为P2、P3. a1 P3 Q3 a3 AP1=P1B=BP2= P2P3= P3C C F l3 分别过点P 分别过点P1,P2, P3作直线 a1,a2,a3平行于l1,与l′ 的交 平行于l 这时你想到了什么？ 这时你想到了什么？ 点分别为Q 点分别为Q1,Q2,Q3. DQ1=Q1E=EQ2=Q2Q3=Q3F 平行线等分线段定理 E=EQ
20102010-9-7
探究 如图 直线 1,l2被三个平行平面α,β,γ所截 如图,直线 被三个平行平面α β γ所截, 直线l 直线l 与它们的交点分别为 直线l 直线 1与它们的交点分别为A,B,C,直线 2分别为 直线 D,E,F AB 与 DE 相等吗?
BC EF
20102010-9-7
小结 平行线分线段成比例定理： 一、平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段 三条平行线截两条直线，所得的对应线段 成比例. 关键要能熟练地找出对应线段 对应线段） 成比例. （关键要能熟练地找出对应线段） 二、要熟悉该定理的几种基本图形
A B C
20102010-9-7
D E F C
F
AD AE D AD AC 在ADC中∴EF//CD, , = AF AE B AB AD = AD AF
A
E C
∴AD2=ABAF,即AD是AB和AF的比例中项
20102010-9-7
如图，有一块形状为直角梯形的草地， 如图，有一块形状为直角梯形的草地，周围均 为水泥直道，两个拐角A、 处均为直角 处均为直角， 为水泥直道，两个拐角 、B处均为直角，草地 中间另有一条水泥直道EF垂直于 垂直于AB，垂足为E. 中间另有一条水泥直道 垂直于 ，垂足为 已知AE长 米 已知 长a米，EB长b米，DF长c米.求CF. 长 米 长 米求 A 解 ：由 题 由 意 ： 题 D a c ∠A = ∠B = 900，EF ⊥ AB E F
D B
A E F
三、注意该定理在三角形中的应用
20102010-9-7
作业
课本第10页习题1.2 题1,2,4
20102010-9-7
A
AB 2 则 = BC 3
B
C
20102010-9-7
平行线等分线段定理的条件 相邻的两条平行线间的距离相等
20102010-9-7
三条距离不相等 三条距离不相等的平行线 距离不相等的平行线 截两条直线会有什么结果 有什么结果? 截两条直线会有什么结果?
A B
l
l′ D E F
l1 l2
猜 想 ：
E C
l2
A B C
l2
l3
l3
平行线分线段成比例定理与平行线等分线段 定理有何联系？
A B D E
AB =1 当 BC
F
A B
D E
C
AB ≠1 当 BC
C
F
结论：后者是前者的一种特殊情况！
20102010-9-7
例 如图,△ABC中,DE//BC,DF//AC,AE=4,EC=2, BC=8.求BF和CF的长. 分析:运用平行线分线段成比例定理的推论分 A 别列出比例式求解. 解 ∵DE//BC
?
20102010-9-7
AB BC AC = = DE EF DF
平行线等分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
20102010-9-7
推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的 延长线)所得的对应线段成比例. l l′ l′ l A D l E l
1 1
D B
20102010-9-7
20102010-9-7
20102010-9-7
复习 平行线等分线段定理 推论1 推论2
பைடு நூலகம்
平行线等分线段定理的应用 平行线等分线段定理的应用 把线段n等分 证明同一直线上的线段相等
20102010-9-7
如何不通过测量 运用所学知识，快速将一 如何不通过测量，运用所学知识，快速将一 不通过测量， 条长5厘米的细线分成两部分，使这两部分 条长5厘米的细线分成两部分，使这两部分 之比是2:3? 之比是2:3?
l1 a1
20102010-9-7
AB DE 2 则： = = . BC EF 3
我们 们已 得到 经 AB 2 l = ， 若 1//l2 //l3, BC 3 AB DE DE 2 即： = 则 = BC EF EF 3
A B C
l
l′ D E F
l1 l2
l3
除此之外，还有其它对应线段成比例吗？ 除此之外，还有其它对应线段成比例吗？
AD AE 4 2 = = = ∴ AB AC 6 3
D
B F
E
C
∵DF//AC
AD CF ∴ = AB CB
2 CF 16 ∴ = , 即CF = 3 8 3
20102010-9-7
16 8 ∴ BF = 8 - = 3 3
例 如图,△ABC中,DE//BC,EF//CD. 求证:AD是AB和AF的比例中项. 分析: 分别在△ABC及△ADC中利 用平行线分线段成比例定理的推论 证明 在ABC中∴DE//BC , AB = AC ,
AB DE = 怎样由 得到其它比例式？ BC EF
20102010-9-7
AB DE = BC EF
反 比
BC EF = AB DE
合比
AC DF = AB DE
合比 AC DF AB BC = = DE EF BC EF 反 比
BC EF = AC DF
BC AC = EF DF
合比
AB DE = AC DF