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高中数学选修2-2精品课件ppt

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人教A版高中数学选修2-2课件2、2-1-1-1.pptx

人教A版高中数学选修2-2课件2、2-1-1-1.pptx

(2)由已知有 a1＝a， a2＝2－1a1＝2－1 a，a3＝2－1a2＝32－－2aa， a4＝2－1 a3＝34－ －23aa. 猜测出 an＝(n－n－1)(－n－(n1－)a2)a.(n≥2)
[点评] 以上归纳推出一般性结论的方法称作不完全 归纳法，由不完全归纳法推出的结论不一定正确，必须通 过证明才能最后得出正确的结论．
与ba之间的大小关系为 A．相等 B．前者大 C．后者大 D．不确定
()
[答案] B [解析] ∵170＝58＋＋22>58，191＝180＋＋11>180， 1235＝291＋＋44>291，…都成立， ∴猜想：若 a>b>0，m>0，则ab＋＋mm>ba，下面证明 ∵ba＋＋mm－ba＝ab＋aam(a－＋amb)－bm＝ma((aa＋－mb))>0， ∴ba＋＋mm>ba，故应选 B.
可以发现，它们的顶点数V，棱数E及面数F有共同的
关系式：
V＋F－E＝2.
[点评] 归纳常常从观察开始，通过观察、实验、对
有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，是数学
研究的基本方法之一．
一、选择题
1．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a33为( ) A．3 B．－3C．6D．－6
这样特征的全推部理对，象或者由
概个括别出事的实推理，称为归纳一推般理结(论简称归纳)．简言之，归纳
推理是由到、由
部分 整体
到个的别推理．一归般纳推理包括和
不完全归纳法
完全归纳法．
[例 1] 根据下列条件，写出数列中的前 4 项，并归 纳猜想它的通项公式．
(1)a1＝3，an＋1＝2an＋1； (2)a1＝a，an＋1＝2－1 an； (3)对一切的 n∈N*，an＞0，且 2 Sn＝an＋1.

高中数学选修2-2全册说课课件

高中数学选修2-2全册说课课件

三、课标要求
•
1．导数及其应用 （1）导数的概念 了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义，了解导数概念的实际背景；理解导 数的几何意义。 （2）导数的运算 理解导数的定义，能根据导数的定义，求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3， y=xn 的导数。 了解基本初等函数的导数公式；了解导数的四则运算法则；能利用导数公式表中的 导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；能求简单的复合函数（仅限于 形如f（ax+b））的导数。 （3）导数在研究函数中的应用 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过 三次的多项式函数的单调区间。 了解函数的极大（小）值、最大（小）值与导数的关系；会求不超过三次的多项式 函数的极大（小）值，以及在指定区间上不超过三次的多项式函数的最大（小）值。 （4）导数在实际生活中的应用 能用导数方法求解有关利润最大、用料最省、效率最高等最优化问题；体会导 数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分 了解定积分的实际背景；初步了解定积分的概念；会求简单的定积分。 直观了解微积分基本定理的含义。 • 2．推理与证明 （1）合情推理与演绎推理 ①了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合 情推理在数学发现中的作用.
二、说教材的编写意图及教材的体例
编写体例
1.按照《标准》和数学的逻辑线索组织各个模块内部的 内容。 2.每章结合具体内容设置“数学实验”、“问题探索”、 “思路与方法”、“数学建模”及“数学文化”等栏目。 3.课堂练习与课后作业形式多样，除传统形式的书面习 题外，安排讨论、写阅读心得、计算实习等。 4.兼顾趣味性与科学性，直观性与严谨性。 5.导数、复数用具体问题引入数学概念和方法，再回到 应用。
选修2-2知识树

人教版高中数学选修2-2全套课件

人教版高中数学选修2-2全套课件

(2)根据导数的定义
f′(x0)＝Δlixm→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2x0＋Δx2＋4x0＋Δx－2x20＋4x0 Δx
＝ lim Δx→0
4x0·Δx＋2Δx2＋4Δx Δx
＝ lim Δx→0
(4x0＋2Δx＋4)
＝4x0＋4，
∴f′(x0)＝4x0＋4＝12，解得 x0＝2.
(1)函数f(x)在x1处有定义． (2)Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点， 即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负． (3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1， 则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．
解析： (1)由已知∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝2Δx(2x0＋Δx)， ∴ΔΔyx＝2Δx2Δx0x＋Δx＝4x0＋2Δx. (2)由(1)可知：ΔΔxy＝4x0＋2Δx，当 x0＝2，Δx＝0.01 时， ΔΔyx＝4×2＋2×0.01＝8.02.
(3)在 x＝2 处取自变量的增量 Δx，得一区间[2,2＋Δx]． ∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋ 8Δx. ∴ΔΔyx＝2Δx＋8，当 Δx→0 时，ΔΔxy→8.
1.求瞬时变化率时要首先明确求哪个点处的瞬时
变化率，然后，以此点为一端点取一区间计算平均变化率，并逐步
已知f(x)＝x2＋3.
(1)求f(x)在x＝1处的导数；
(2)求f(x)在x＝a处的导数．
[思路点拨]
确定函数 的增量

课件4：1.1.2导数的概念

课件4：1.1.2导数的概念

(3)ΔS＝S(0.5)－S(0) ＝3×0.5－0.52－0＝1.25， Δt＝0.5－0＝0.5. ∴－v ＝ΔΔSt ＝10.2.55＝2.5. ∴从 t＝0 到 t＝0.5 的平均速度为 2.5.
(4)物体在 t＝0 的平均变化率
ΔΔSt ＝SΔtΔ－t S0＝3×ΔtΔ－t Δt2＝3－Δt.
∴lim
Δt→0
ΔΔSt ＝Δlit→m0
(3－Δt)＝3.
即物体在 t＝0 的瞬时速度为 3.
[规律技巧] 物体在 t＝0 时的瞬时速度也叫做物体的初 速度，当 t＝0 时，初速度 v0 不一定为 0.
【变式训练1】 求函数y＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上
的平均变化率，并分别求函数在x0＝1,2,3，附近Δx取
(3)取极限，得导数：f′(x0)＝ lim Δx→0
Δy Δx.
典例剖析
题型一 平均变化率与瞬时速度 【例1】 一物体做直线运动，其路程与时间t的关系是S ＝3t－t2. (1)求此物体的初速度； (2)求t＝0到t＝1的平均速度； (3)求t＝0到t＝0.5的平均速度； (4)求在t＝0时的瞬时速度．
当这段时间很短，即 Δt 很小时，这个平均速度就接近时
刻 t0 的速度．Δt 越小，v 就越接近于时刻 t0 的速度，当 Δt→0
时，这个平均速度的极限
v＝lim Δt→0
ΔΔSt ＝Δlit→m0
St0＋ΔΔtt－St0就
是物体在时刻 t0 的速度即为________．
3．一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 lim Δx→0
当 x0＝2，Δx＝12时，函数在[2,2.5]上的平均变化率为 k2 ＝6×2＋3×0.5＝13.5；

高中数学选修2-2课件2.2.2《反证法》课件

高中数学选修2-2课件2.2.2《反证法》课件
反证法的思维方法：
正难则反
反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成------立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 -----论正确 归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
应用反证法的情形：
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷 多个” ---类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；
例1：用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a > b 证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
若 a = b，则a = b,与已知a > b矛盾,
例4 如图2.2 2,AB,CD为圆
的两条相交弦,且不全为直径. A
D
求证 AB,CD不能互相平分.
动画演示.
C
B
证明 假设AB,CD互相平分,
图2.2 2
则ACBD为平行四边形,故ACB ADB,
CAD CBD. 因为ABCD为圆内接四边形,所以
ACB ADB 180 0,CAD CBD 180 0.
指有面额的那面.
上述现 象可以用直 接证明的方 法解释, 但是, 我们这 里采用反证法.
假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上. 由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上,都需要 翻转奇数次,所以3枚硬币全部反面朝上时,需要
翻转3个奇数之和次,即要翻转奇数次.
但由于每次用双手同时翻转2枚硬币,3枚硬币被
翻转的次数只能是2 的倍数,即偶数次.这个矛盾
说明假设错误,原结论正确,即无论怎样翻转都不

高中数学选修2-2函数的极值与导数课件

高中数学选修2-2函数的极值与导数课件

B. y=cos2x
C. y=tanx-x
课堂练习
2.曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1，0)处的切线的斜率为( B )
A. –5
B. –6
C. –7
D. –8
课堂练习 3. 下列说法正确的是 （ C ）
A. 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大 B. 函数在闭区间上的最大值一定是极大值 C. 对于f(x)=x3+px2+2x+1，若|p|<√6，则f(x)无极值 D. 函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值
一般地，求函数y=f(x)的极值的方法是:解方程 f ' x 0 .当 f ' x0 0 时：
x （1）如果在 0 附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么
2如果在x0附近的左侧f ' x 0,右侧 f ' x 0, 那么f x0 是极小值.
f x0
是极大值；
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大.
例题讲解
求函数y＝(x2－1)3＋1的极值． 解：定义域为R，y ’＝6x(x2－1)2.由y ’＝0可得x1＝－1，x2＝0，x3＝1 当x变化时，y ’ ，y的变化情况如下表：
当x＝0时，y有极小值，并且y极小值＝0．
课堂练习
1 . 下列函数中，x=0是极值点的函数是（ B )
A. y=-x3 D. y=1/x
人教版高中数学选修2-2
第1章 导数及其应用
函数的极值与导数
课前导入
一般地，函数的单调性与导数的关系： 在某个区间a, b内, 如果f ' x > 0, 那么 函数y = f x在这个区间内单调递增; 如果 f ' x < 0,那么函数 y = f x在这个区间内

高中数学选修2-2微积分基本定理课件

高中数学选修2-2微积分基本定理课件

3 dx
-1 1 + x2
= arctanx
3 -1
= arctan 3 - arctan -1
=
π 3
-
-
π 4
=
7 12
π
新知探究
例2. 计算
3 1
2x
-
1 x2
dx
解: 因为x2来自'=2x,
1 x
'
=
-
1 x2
,
由微积分基本定理得：
3
1
2x
-
1 x2
dx
=
3
2xdx -
课前导入
学习微积分，数学和思维水平都将进入一个新的阶段，能切实地训练学生的辨证思维.毫不夸张地 说，不学或未学懂微积分，思维难以达到较高的水平，难以适应21世纪对高中学生素质的要求. 利用本节学习的微积分基本定理，我们就能轻松解决首页的问题.
课前导入
学习微积分的意义 微积分是研究各种科学的工具，在中学数学中是研究初等函数最有效的工具.恩格斯称之为“17 世纪自然科学的三大发明之一”. 微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明产生的关键事件之一，它引入了若干极其成功的、对 以后许多数学的发展起决定性作用的思想.” 微积分的建立，无论是对数学还是对其他科学以至于技术的发展都产生了巨大的影响，充分显示 了数学对于人的认识发展、改造世界的能力的巨大促进作用.
新知探究
变速直线运动
如图，一个作变速直线运动的物体的运动规律是y=y(t).由导数的概念的可知，它在任意时刻t的
速度
v t = y' t .设这个物体在时间段[a,b]内的位移为s，你能分别用y(t),v(t)表示s吗？

(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.1.3

(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.1.3
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
1.1.3 导数的几何意义
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
自主学习 新知突破
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
[思路点拨]
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
求曲线上某点(x0，y0)处切线方程的步骤： 求出f′x0即切线斜率 ↓ 写出切线的点斜式方程 ↓ 化简切线方程
时，割线 PQ 逼近点 P 的切线 l，从而割线的斜率逼近切线 l 的
斜率．因此，函数 f(x)在 x＝x0 处的导数就是切线 l 的斜率 k， 即
k＝ lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0＝f′(x0)．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
1 ． 设 f′(x0) ＝ 0 ， 则 曲 线 y ＝ f(x) 在 点 (x0 ， f(x0)) 处 的 切 线
()
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴相交
解析： 在点(x0，f(x0))处切线斜率为0的直线与x轴平行或 重合，故选B.
答案： B
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用

人教版高中数学选修2-2全套课件

人教版高中数学选修2-2全套课件

1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的 值为( ) A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44 解析： Δy＝f(2.1)－f(2)＝0.41. 答案： B
2．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速 度为( ) A．6 B．18 C．54 D．81
1＋1＋1Δx＝2，
从而y′|x＝1＝2.
合作探究 课堂互动
求函数的平均变化率
求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平
均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．
[思路点拨] 先求自变量的增量和函数值的增量，然后代
入公式计算．
平均变化率为
函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δx]上的
fxx0＋0＋ΔΔxx－－fxx00＝[3x0＋Δx2＋Δx2]－3x20＋2 ＝6x0·ΔxΔ＋x3Δx2＝6x0＋3Δx.
当 x0＝2，Δx＝0.1 时， 函数 y＝3x2＋2 在区间[2,2.1]上的平均变化率为
6×2＋3×0.1＝12.3.
求平均变化率的步骤： 通常用“两步”法，一作差，二作商，即： ①先求出Δx＝x2－x1，再计算Δy＝f(x2)－f(x1)； ②对所求得的差作商，即得 ΔΔyx＝fxx22－－xf1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1.
(1)函数f(x)在x1处有定义． (2)Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点， 即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负． (3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1， 则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．
我们用比值yxCC－－yxBB近似地量化 B，C 这一段曲线的陡峭程 度，并称该比值为[32,34]上的平均变化率．

人教A版高中数学选修2-2课件2、2-1-1-1

人教A版高中数学选修2-2课件2、2-1-1-1

1 4 x x 4 3． 已知 x>0， 由不等式 x＋x ≥2， x＋x2＝2＋2＋x2≥3， …， a 启发我们可以得到推广结论：x＋xn≥n＋1(n∈N＋)，则 a 等 于 A．n2 C．2n－1 B．nn D．(2n)2 ( )
[答案] B
[解析] 1 4 x x 4 由 x＋x≥2，x＋x2＝2＋2＋x2≥3，
B．前者大 C．后者大 D．不确定
[答案] B
[解析] 7 5＋2 5 9 8＋1 8 ∵10＝ > ， ＝ > ， 8＋2 8 11 10＋1 10
13 9＋4 9 25＝21＋4>21，…都成立， b＋m b ∴猜想：若 a>b>0，m>0，则 >a，下面证明 a＋m b＋m b ab＋am－ab－bm m(a－b) ∵ － ＝ ＝ >0， a＋m a a(a＋m) a(a＋m) b＋m b ∴ > ，故应选 B. a＋m a
过证明才能最后得出正确的结论．
[例2] 数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱 数E，然后用归纳推理得出它们之间的关系．
[ 分析 ]
仔细观察，通过几何图形的构造特征，找出
三者之间的关系．
[解析] 各多面体的面数F、顶点数V、棱数E如下表所 示.
多面体
三棱锥
四棱锥 三棱柱 五棱锥
面数(F) 4 5 5 6
2．1 合情推理与演绎推理 2．1.1 合情推理
1．理解合情推理的概念，掌握归纳推理的方法．
2．掌握归纳法的步骤，体会归纳推理在数学发现中的
作用．
本节重点：合情推理、归纳推理概念的理解． 本节难点：运用归纳推理进行一些简单的推理．
由某类事物的具有某些特征，推出该类事物的都具有 部分对象 这样特征的推理，或者由 全部对象

人教版高中数学选修2-2 函数的导数与极值 PPT课件

人教版高中数学选修2-2 函数的导数与极值 PPT课件
注2：极大值可能小于极小值,极小值可能大于 极大值.
2015-1-4 5
三、函数极值点的必要与充分条件
由费马定理易得函数取得极值的必要条件，
1、(必要条件) 设 f ( x ) 在点 x 处具有导数, 且 0 在 x0 处取得极值,那末必定 f ' ( x0 ) 0 .
(即 方程 f ( x ) 0 的 实根 )叫 注1: 使 导数 为 零的 点 做 函数 f ( x ) 的 驻点 .
点, 注2: 可导函数 f ( x ) 的极值点必定是它的驻 但函数的驻点却不一定 是极值点.
例如,
2015-1-4
y x ,
3
y x 0 0, 但x 0不是极值点.
6
y
f ( x ) 0
f ( x ) 0
y f ( x ) 0
f ( x ) 0
o
x0
x
o
x0
因此，存在着点 x 1的一个去心邻域，对此 去心邻域内的 任何点 x, f ( x ) f (1)均成立 ; 存在着点 x 2的一个去心邻域，对此 去心邻域内的 任何点 x, f ( x ) f (2)均成立 ;
2015-1-4 2
一般地
y
y f ( x)
ax
y
1
o
x2
x3
x4
必有最大值和最小值呢？ 已知下面两个函数和它们的图象． 1 x (0 x 1), （2） g( x ) x , x (0,1). （ 1） f ( x ) 0 ( x 1);
ห้องสมุดไป่ตู้
函数 f ( x )定义在闭区间 a, b 上且在 a, b上连续是使得 f ( x ) 有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．

高中数学选修2-2：1.2.1-1.2.2第1课时导数公式课件 (共31张PPT)

高中数学选修2-2：1.2.1-1.2.2第1课时导数公式课件 (共31张PPT)

[解析] (1)y′＝－5x－6.
(2)y′＝4xln 4.
111
7
(3)∵y＝x 2 ·x 4 ·x 8 ＝x 8 ，
∴y′＝78x
1 8
.
(4)y′＝xln1 3.
(5)∵y＝sinπ2＋x＝cos x， ∴y′＝－sin x.
(6)∵sinπ3为常数，∴y′＝0. (7)∵y＝cos(2π－x)＝cos x， ∴y′＝－sin x.
公式，并能进行简单的应用. 的导数公式.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
一、常用函数的导数
[自主梳理]
原函数 y＝c y＝x y＝x2 y＝1x
y＝ x
导函数
y′＝0
y′＝1
y′＝_2_x__
y′＝_－__x1_2 _
y′＝2
1 x
二、基本初等函数的导数公式
1 f′(x)＝__x_l_n__a_
1 f′(x)＝__x___
[双基自测]
1．下列结论正确的是( )
A．若 y＝cos x，则 y′＝sin x
B．若 y＝
x，则
y′＝
x 2
C．若 y＝ln 2，则 y′＝12 D．若 y＝3x，则 y′＝3xln 2
解析：A.y′＝－sin x，故 A 不正确；
用公式求函数导数的方法： (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解． (2)对于不能直接利用公式的类型，关键是合理转化函数的关系式为可以直接
应用公式的基本函数的模式，如 y＝x14可以写成 y＝x－4，y＝5 x3可以写成 y
3
＝x 5 等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出 现指数或系数的运算失误．

高中数学人教A版选修2-2 变化率问题 课件(20张)

高中数学人教A版选修2-2 变化率问题 课件(20张)

活动1：气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气 容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数 学的角度, 如何描述这种现象呢?
我们知道, 气球的体积V 单位 : L 与半径 r 4 3 (单位 : dm)之间的函数关系是V r r , 3
如果把半径r表示为体积V的函数, 3V 那么r V . 4
65 h( ) h(0) v 49 0( s / m) 65 0 49
O
65 65 t 98 49
t
练一练
一运动质点的位移S与时间t满足S(t)=t2,分别计算S(t) 在下列区间上的平均变化率.(位移单位为m,时间单位为s) （1）[1, 3]; 4 思考： （2）[1, 2]; 3 2.1 （3）[1, 1.1]; 如何刻画t=1这一时刻 （4）[1, 1.001]; 2.001 质点运动的快慢程度呢？ （5）[1, 1.0001]; 2.0001 2 （6）[0.999, 1]; 1.999 （7）[0.99, 1]; 1.99 （8）[0.9, 1]. 1.9
y元/m2 y
某小区近十年来的房价变化如下图所示
(13,11000) (12,11000)
11000
情境2 8000
5500 2400
(11,8000) 12
11, (10,5500)
(1,2400)
(1997)
1 1995
(2007) (2008)(2009)
11 20062007 12 13 2005
3
0.62>0.16 r 1 r 0 0.62cm , r 1 r 0 气球的平均膨胀率为 0.62dm / L . 10 （ 2） 类似地,当空气容量从1 L增加到2 L时, 气球半径 增加了r 2 r 1 0.16dm , r 2 r 1 气球的平均膨胀率为 0.16dm / L . 2 1

人教新课标A版高中数学选修2-2全册完整课件

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新课讲授
问题1 气球膨胀率 类似地，当空气容量V从1L增加到2L时， 气球半径增加了多少？
气球的平均膨胀率为多少？
新课讲授
问题1 气球膨胀率 类似地，当空气容量V从1L增加到2L时， 气球半径增加了多少？
r(2) r(1) 0.16(dm) 气球的平均膨胀率为多少？
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问题1 气球膨胀率 类似地，当空气容量V从1L增加到2L时， 气球半径增加了多少？
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平 均膨胀率逐渐变小了．
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思考
当空气容量从V1增加到V2时，气球的 平均膨胀率为多少？
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思考
当空气容量从V1增加到V2时，气球的 平均膨胀率为多少？
气球的平均膨胀率是：
r(V2 ) r(V1 )
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3V2
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3V1
4
V2 V1
V2 V1
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平均变化率 上述问题中的变化率可用式子 f ( x2 ) f ( x1 )
表示，称为函数f(x)从x1到x2的平均变化x2率.x1
对于函数y f ( x), 若设x x2 x1， y f ( x2 ) f ( x1 )，（x看作对于x1的一个 增量，可用x1 x替代x2）则平均变化率为
1.1.1 变化率问题
复习旧知
微积分主要与四类问题的处理相关: 一、已知物体运动的路程作为时间的函数，
求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等.
复习旧知
导数研究的问题
变化率问题
研究某个变量相对于另一个变量 变化的快慢程度．
气球的平均膨胀率为多少？
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t(d)
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C (34, 33.4)
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A (1, 3.5)
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问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义 是什么？（形与数两方面） 问题2：如何量化（数学化）曲线上升的陡峭程度？
T (℃ )
C (34, 33.4) B (32, 18.6)
1.1.2 导数的概念

在高台跳水运动中,平均速度不一定能反映 运动员在某一时刻的运动状态，需要用瞬 时速度描述运动状态。我们把物体在某一 时刻的速度称为瞬时速度.
又如何求 瞬时速度呢?
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋
1.1.1 变化率问题
问题1 气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的 增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何 描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是 4 3 V(r ) r . 3 3 3V 随着 . 若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么 r (V) 4 气球体积 当空气容量V从0L增加到1L , 气球半径增加了 逐渐变大, r (1) r (0) 0.62(dm), 它的平均 r ( 1 ) r ( 0 ) 气球的平均膨胀率为 0.62(dm/L ), 膨胀率逐 1 0 当空气容量V从1L增加到2 L , 气球半径增加了 渐变小
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T (℃ )
C (34, 33.4)
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B (32, 18.6)
线的陡峭程度，并称该比值为【32，34】上的平 均变化率 (4)分别计算气温在区间【1，32】 【32，34】的平 均变化率 现在回答问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的 数学意义是什么？（形与数两方面）
f ( x2 ) f ( x1 ) y x2 x1 x
理解： y 1，式子中△x 、△ y 的值可正、可负，但 x 的△x值不能为0， △ y 的值可以为0 2，若函数f (x)为常函数时， △ y =0 3, 变式
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x) f ( x1 ) x2 x1 x
思考:

观察函数f(x)的图象
Y=f(x) x2-x1 f(x2)-f(x1) f(x1) A x O x1 x2
f(x2 ) f ( x1 ) 平均变化率 y x2 x1 f(x )
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B
表示什么?
直线AB的斜率
练习:
1.甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到2万 元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果? 2.已知函数 f (x) = 2 x +1, g (x) = – 2 x, 分别计算在
时间 日最高气温 3月18日 3.5℃ 4月18日 18.6℃ 4月20日 33.4℃
观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度 变化，用曲线图表示为：
T (℃ )
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C (34, 33.4) （注： 3月18日 为第一天） B (32, 18.6)

2、求y=x2在x=x0附近的平均变化率. 2x0+Δx
小结：

y f ( x2 ) f ( x1 ) 1.函数的平均变化率 x x2 x1
2.求函数的平均变化率的步骤:

(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率 y f ( x2 ) f ( x1 ) x x2 x1
t(d) yC yB (3)我们用比值 xC xB 近似地量化B、C这一段曲
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定义:
f ( x2 ) f ( x1 ) 称为函数 f (x)从x1到 x2 平均变化率:式子 x2 x1 的平均变化率.
令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则
h(t ) 4.9t 6.5t 10
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如果用运动员在某段时间内的平均速度 v 描述其运 动状态, 那么: h(0.5) h(0) 4.05(m/s ); 在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, v 0.5 0 在1≤ t ≤2这段时间里,
h(2) h(1) v 8.2(m/s ); 2 1
探 究:
65 计算运动员在 0 t 这段时间里的平均速度, 49 并思考下面的问题:
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，
需要用瞬时速度描述运动状态。
问题3：
现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载.
下列区间上 f (x) 及 g (x) 的平均变化率.
(1) [ –3 , –1] ; (2) [ 0 , 5 ] .
做两个题吧!
1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点 A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则 D Δy/Δx=( ) A、3 B、 3Δx-(Δx)2 C 、 3-(Δx)2 D 、3-Δx
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t(d) （1 ）曲线上BC之间一段几乎成了“直线”，由此联想 如何量化直线的倾斜程度。 （2）由点B上升到C点，必须考察yC—yB的大小，但仅仅注意 yC—yB的大小能否精确量化BC段陡峭程度，为什么？ 在考察yC—yB的同时必须考察xC—xB，函数的本质在于一个 量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变。
r (2) r (1) 气球的平均膨胀为 0.16(dm/L ), 2 1
r (2) r (1) 0.16(dm),
思考?

当空气容量从V1增加到V2时,气球的 平均膨胀率是多少?
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单 位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系