湖南省邵阳市隆回二中人教数学必修四3.2《简单的三角恒等变换》导学案(3)

3. 2 简单的三角恒等变换三维目标1.通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高推理能力.2.理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用.3.通过例题的解答，引导对变换对象目标进行对比、分析，形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高推理能力.重点难点教学重点：1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.2.三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点. 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力.教学过程引言：三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台.应用：例1、 试以cos α表示sin 22a ,cos 22a , tan 22a . 例2、 练习：求证tan 2a =ααααsin cos 1cos 1sin -=+。

例2、证明(1)sin αcos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)]; (2)sin θ+sin φ=2sin 2cos 2ϕθϕθ-+. 练习：课后练习2（2）、3（2）、题例3、 求函数x x y cos 3sin +=的周期，最大值和最小值。

练习：求下列函数的最小正周期，递增区间及最大值。

（！）x x y 2cos 2sin = （2）12cos 22+=x y （3）x x y 4sin 4cos 3+= 阅读内容： 函数y=asinx+bcosx 的变形与应用（辅助角公式）函数y=asinx+bcosx=22b a +（2222sin b a b x b a a +++cosx ）, ∵(sin ,cos 1)()(2222222222=+=+=+++b a b b a a b a b b a a ϕ从而可令φ, 则有asinx+bcosx=22b a +（sinxcos φ+cosxsin φ） =22b a +sin （x+φ）.因此，我们有如下结论：asinx+bcosx=22b a +sin （x+φ），其中tan φ=ab . 例4、 如图,已知OPQ 是半径为1,圆心角为3π的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的内接矩形.记∠COP=α,求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积.课堂小结 1、回顾前面学习的数学知识:和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用,半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系.积化和差与和差化积公式及其推导,三角恒等式与条件等式的证明.2、本节课还研究了通过三角恒等变形,把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的,充分体现出生活的数学和“活”的数学.作业课本习题3.2 A 组1（2） （4）、3、5、题。

3. 2简单的三角恒等变换学习目标、细解考纲1.引导学生以已有的公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式作为基本训练.2.学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点.3.培养学生化归和整体转化思想，注重方程思想和消元思想的培养．4．通过简单的三角恒等变换的学习，提升学生逻辑推理和运算求解的核心素养.一、自主学习—————（素养催化剂）1．预习学习半角公式2．预习学习积化和差、和差化积公式二、探究应用,“三会培养”-------(素养生长剂)例1、已知,31cos =αα是第四象限角，求2tan ,2cos ,2sin ααα的值变式1：(教材改编）已知α是第四象限角，,51cos sin =+αα求2tan α的值例2、求证：()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin变式2：求证：2cos 2sin2sin sin βαβαβα-+=+变式3：求证：αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+=例3、如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，记α=∠COP ，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大值变式4：(教材改编）如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为2π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，记α=∠COP ，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大值三、拓展延伸、智慧发展--------（素养强壮剂）例4、设(){}*,2|,cos sin N k k n n x x f x ∈=∈+=ααα，利用三角变换，估计()αf 在6,4,2=x 时的取值情况，进而对x 取一般值时()αf 的取值范围作出一个猜想.四、本课总结、感悟思考--------（素养升华剂）。

3.2《简单的三角恒等变换》导学案【学习目标】1．会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆），2．使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力. 【导入新课】 习引入：复习倍角公式2S α、2C α、2Tα先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意2C α.既然能用单角表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？ 新授课阶段半角公式的推导及理解 ： 例1、 试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα．解析： 解：点评：⑴以上结果还可以表示为：1cos sin221cos cos22αααα-=+=1cos tan 21cos ααα-=+并称之为半角公式（不要求记忆），符号由2α角的象限决定.⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明.⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点.例2 求证：（１）()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）sin sin 2sin cos22θϕθϕθϕ+-+=． 解析： 证明：点评：在例２证明中用到了换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３ 求函数sin 3cos y x x =+的周期，最大值和最小值． 解析： 解： 课堂小结用和（差）角公式、倍角公式进行简单的恒等变换.我们要对三角恒等变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业课本p143 习题3.2 A 组1、（1）（5） 3 、5 拓展提升1．已知cos （α+β）cos （α－β）=31，则cos 2α－sin 2β的值为（ ）A ．－32B ．－31C ．31D ．32 2．在△ABC 中，若sin A sin B =cos 22C，则△ABC 是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形3．sin α+sin β=33（cos β－cos α），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（ ）A ．－3π2 B ．－3π C ．3πD ．3π2 4．已知cos （α+β）cos （α－β）=31，则cos 2α－sin 2β的值为（ ）A ．－32B ．－31C ．31D ．32 5．在△ABC 中，若sin A sin B =cos 22C，则△ABC 是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形6．sin α+sin β=33（cos β－cos α），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（ ）A ．－3π2 B ．－3πC ．3πD ．3π2 7．已知sin （α+β）sin （β－α）=m ，则cos 2α－cos 2β等于（ ） A ．－m B ．m C ．－4m D ．4m二、填空题8．sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________． 9．已知α－β=3π2，且cos α+cos β=31，则cos （α+β）等于_________． 三、解答题10．已知f （x ）=－21+2sin 225sinxx，x ∈（0，π）． （1）将f （x ）表示成cos x 的多项式； （2）求f （x ）的最小值．12．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A +C =2B ，B C A cos 2cos 1cos 1-=+，求cos 2CA -的值．13． 已知sin A +sin3A +sin5A =a ，cos A +cos3A +cos5A =b ， 求证：（2cos2A +1）2=a 2+b 2．14． 求证：cos 2x +cos 2（x +α）－2cos x cos αcos （x +α）=sin 2α．15． 求函数y =cos3x ·cos x 的最值．参考答案 例1解析：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．（二倍角公式中以α代2α，2α代α） 解：因为2cos 12sin2αα=-，可以得到21cos sin22αα-=；因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 两式相除可以得到222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+．点评：⑴以上结果还可以表示为：sin2cos2αα==tan 2α=并称之为半角公式（不要求记忆），符号由2α角的象限决定.⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明. ⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点.例2：解析：回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式，观察公式与所证式子的联系. 证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-；即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．点评：在例２证明中用到了换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、解析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值. 解： 13sin 3cos 2sin cos 2sin 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．拓展提升一、选择题：1．C 2． B 3． D 4．C 5． B 6． D 7． B 二、填空题：8．41 9．－97三、解答题10．解：（1）f （x ）=2cos 23cos 22sin 2sin 23cos 22sin 22sin 25sinx x x xxx x x ==-=cos2x +cos x =2cos 2x +cos x－1．（2）∵f （x ）=2（cos x +41）2－89，且－1≤cos x ≤1， ∴当cos x =－41时，f （x ）取得最小值－89． 11 分析：本小题考查三角函数的基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力． 解：由题设条件知B =60°，A +C =120°， ∵－︒60cos 2=－22，∴CA cos 1cos 1+=－22． 将上式化简为cos A +cos C =－22cos A cos C ， 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为 2cos2C A +cos 2CA -=－2［cos （A +C ）+cos （A －C ）］， 将cos2C A +=cos60°=21，cos （A +C ）=cos120°=－21代入上式得cos 2CA -=22－2cos （A －C ）， 将cos （A －C ）=2cos 2（2C A -）－1代入上式并整理得42cos 2（2C A -）+2cos 2C A -－32=0，即［2cos2C A -－2］［22cos 2CA -+3］=0． ∵22cos 2C A -+3≠0，∴2cos 2CA -－2=0． ∴cos 2C A -=22．12．证明：由已知得 ⎩⎨⎧=+=+，，b A A A a A A A 3cos 2cos 3cos 23sin 2cos 3sin 2 ∴⎩⎨⎧=+=+.)12cos 2(3cos )12cos 2(3sin b A A a A A ，两式平方相加得（2cos2A +1）2=a 2+b 2． 13．证明：左边=21（1+cos2x ）+21［1+cos （2x +2α）］－2cos x cos αcos （x +α） =1+21［cos2x +cos （2x +2α）］－2cos x cos αcos （x +α） =1+cos （2x +α）cos α－cos α［cos （2x +α）+cos α］ =1+cos （2x +α）cos α－cos αcos （2x +α）－cos 2α =1－cos 2α=sin 2α =右边，∴原不等式成立． 14．解：y =cos3x ·cos x=21（cos4x +cos2x ） =21（2cos 22x －1+cos2x ） =cos 22x +21cos2x －21 =（cos2x +41）2－169． ∵cos2x ∈［－1，1］， ∴当cos2x =－41时，y 取得最小值－169； 当cos2x =1时，y 取得最大值1．。

三角恒等变换（三）一、两角和与差的正弦、余弦与正切公式1．两角和的余弦公式（简记C （α+β））：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-． 2．两角差的余弦公式（简记C （α－β））：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．3．两角和（差）余弦公式的公式特征：①左加号，右减号；②同名函数之积的和与差；③α、β叫单角，α±β叫复角，通过单角的正、余弦求和（差）的余弦值；④“正用”、“逆用”、“变用”． 4．两角和的正弦公式（简记S （α+β））：()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+． 5．两角差的正弦公式（简记S （α－β））：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．6．两角和（差）正弦公式的公式特征及用途：①左右运算符号相同；②右方是异名函数之积的和与差，且正弦值在前，余弦值在后．用途：可以由单角的三角函数值求复角（和角与差角）的三角函数值． 7．两角和的正切公式（简记T （α+β））：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-．8．两角差的正切公式（简记T （α－β））：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+．9．两角和（差）正切公式的公式特征及公式变形：①左边的运算符号与右边分子的运算符号相同，右边分子分母运算符号相反； ②,,()222k k k k πππαπβπαβπ≠+≠++≠+∈Z ．公式变形：①tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ-=-+； ②tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-．）．A ．－32B ．－12C ．12D ．32答案：C解析：∵sin47°＝sin （30°＋17°）＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°，∴原式＝sin30°cos17°＋sin17°cos30°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°＝12．例2已知sin α＝1517，cos β＝－513，α∈（π2，π），β∈（π2，π），求sin （α＋β），sin （α－β）的值．解：∵sin α＝1517，α∈（π2，π），∴cos α＝－1－(1517)2＝－817．∵cos β＝－513，β∈（π2，π），∴sin β＝1－(－513)2＝1213，∴sin （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β＝1517×（－513）＋（－817）×1213＝－75＋96221＝－171221，sin （α－β）＝sin αcos β－cos αsin β＝1517×（－513）－（－817）×1213＝21221．例3求值：（1）（tan10°－3）•cos10°sin50°；（2）[2sin50°＋sin10°（1＋3tan10°）]•2sin 280°． 解：（1）（tan10°－3）•cos10°sin50°＝（tan10°－tan60°）•cos10°sin50°＝⎝⎛⎭⎫sin10°cos10°－sin60°cos60°•cos10°sin50° ＝sin10°·cos60°－cos10°·sin60°cos10°·cos60°•cos10°sin50°＝sin (－50°)cos60°•1sin50°＝－2．（2）[2sin50°＋sin10°（1＋3tan10°）]•2sin 280°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin50°＋sin10°⎝ ⎛⎭⎪⎫cos10°＋3sin10°cos10°•2cos 210° ＝⎝⎛⎭⎫2sin50°＋2sin10°·cos50°cos10°•2cos10° ＝22（sin50°cos10°＋sin10°•cos50°） ＝22sin60°＝6．例4 已知函数f （x ）＝3sin （ωx ＋φ）（ω＞0，－π2≤φ＜π2）的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π． （1）求ω和φ的值；（2）若f （α2）＝34（π6＜α＜2π3），求cos （α＋3π2）的值．解：（1）因为f （x ）的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f （x ）的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2，又因为f （x ）的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…，因－π2≤φ＜π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6．（2）由（1）得f （α2）＝3sin （2•α2－π6）＝34．所以sin （α－π6）＝14．由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2． 所以cos （α－π6）＝1－sin 2(α－π6)＝1－(14)2＝154．因此cos （α＋3π2）＝sin α＝sin[（α－π6）＋π6]＝sin （α－π6）cos π6＋cos （α－π6）sin π6＝14×32＋154×12 ＝3＋158． 二、二倍角公式二倍角的正弦（简记S 2α）、余弦（简记C 2α）、正切（简记T 2α）公式（升幂公式）： •cos 2αcos2α＝（ ）．A ．tan αB ．tan2αC ．1D ．12答案：B解析：原式＝2sin2α2cos 2α•cos 2αcos2α＝sin2αcos2α＝tan2α．例2若tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin2θ＝________．答案：65解析：cos 2θ＋12sin2θ＝cos 2θ＋sin θcos θ＝cos 2θ＋sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝1＋131＋19＝43×910＝65．例3已知cos α＝－1213，α∈（π，3π2），求sin2α，cos2α，tan2α的值．解：∵cos α＝－1213，α∈（π，3π2），∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－(－1213)2＝－513，∴sin2α＝2sin αcos α＝2×（－513）×（－1213）＝120169，cos2α＝2cos 2α－1＝2×（－1213）2－1＝119169，tan2α＝sin2αcos2α＝120119．例4 已知函数f （x ）＝cos x •sin （x ＋π3）－3cos 2x ＋34，x ∈R ．（1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在闭区间[－π4，π4]上的最大值和最小值．解：（1）由已知，有f （x ）＝cos x •（12sin x ＋32cos x ）－3cos 2x ＋34＝12sin x •cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin2x －34（1＋cos2x ）＋34 ＝14sin2x －34cos2x ＝12sin （2x －π3）． 所以f （x ）的最小正周期T ＝2π2＝π．（2）因为f （x ）在区间[－π4，－π12]上是减函数，在区间[－π12，π4]上是增函数，f （－π4）＝－14，f （－π12）＝－12，f （π4）＝14，所以，函数f （x ）在闭区间[－π4，π4]上的最大值为14，最小值为－12．三、半角公式（这类公式不要求记忆）半角的正弦（简记2S α）、余弦（简记2C α）、正切（简记2T α）公式：2221cos cos 221cos sin 221cos tan 21cos ααααααα+=-=-=+，，，cos 2sin 2tan 2ααα===sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+． 例1 cos θ＝－15，5π2＜θ＜3π，则sin θ2＝（ ）．A ．105B ．－105C ．155D ．－155答案：D解析：∵5π2＜θ＜3π，∴5π4＜θ2＜3π2，∴θ2是第三象限角，∴sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋152＝－155． 例2 化简：(1＋sin α＋cos α)(sin α2－cos α2)2＋2cos α（0＜α＜π）．解：∵0＜α＜π，∴0＜α2＜π2，∴原式＝(2cos 2α2＋2sin α2cos α2)(sin α2－cos α2)2·2cos 2α2＝2cos α2(cos α2＋sin α2)(sin α2－cos α2)2cosα2＝sin 2α2－cos 2α2＝－cos α．四、公式的变形与应用1．合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 sin()y A x B ωφ=++形式．辅助角公式：cos sin )a x b x x x +=+令22sin a a bθ=+，22cos b a bθ=+，∴22cos sin sin()a x b x a b x θ+=++， 其中θ为辅助角，tan a bθ=． 2．三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简、求值、证明中，表达式往往会出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解．对角进行变形，如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4α的二倍； ②o ooooo3015453060452=-=-=，问：=12sin π，=12cos π；③ββαα-+=)(，④)4(24αππαπ--=+， ⑤)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=等等．（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数．如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名．（3）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：22o o 1sin cos tan cot sin90tan 45αααα=+===．（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法．常用降幂公式有：2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式，常用升幂公式有：2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-，1cos 22x x +=±1cos 22x x -=±．（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形应用． 请尝试完成下列变形， 如：221sin 2(sin cos )1sin 2(sin cos )θθθθθθ+=+-=-_______________tan 1tan 1=-+αα； ______________tan 1tan 1=+-αα；____________tan tan =+βα；___________tan tan 1=-βα；____________tan tan =-βα；___________tan tan 1=+βα；=αtan 2；=-α2tan 1；o o o o tan 20tan 403tan 20tan 40++=；=+ααcos sin =； =+αcos 1；=-αcos 1；若4A B π+=或54π，则(1tan )(1tan )2A B +⋅+=． （6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化．如：o osin 50(13tan10)+=；=-ααcot tan ．本章整合：。

3.2简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．五、学法与教学用具学法：讲授式教学六、教学设想：学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容．例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα． 解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例２、求证：（１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦；（２）、sin sin 2sincos 22θϕθϕθϕ+-+=． 证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手． ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-． 两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-；即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦；（２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、求函数sin y x x =的周期，最大值和最小值．解：sin y x x =这种形式我们在前面见过，1sin 2sin 2sin 23y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用． 小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业：157158P P - 14T T -。

3.2简单的三角恒等变换教学目的：能运用和（差）角公式、倍角公式进行简单的恒等变换，包括浓度导出积 化和差、和差化积、半角公式，但不要求记住公式。

教学重点：用和（差）角公式、倍角公式进行简单的恒等变换。

教学难点： 例4的教学是本课的难点。

教学过程一、复习提问二倍角公式的正弦、余弦、正切。

二、新课在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的例1、求证：α+α-=αα+=αα-=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin 222证明：1︒在 α-=α2sin 212cos 中，以α代2α，2α代α 即得： 2sin 21cos 2α-=α ∴2cos 12sin 2α-=α 2︒在 1cos 22cos 2-α=α 中，以α代2α，2α代α 即得： 12cos 2cos 2-α=α ∴2cos 12cos 2α+=α 3︒以上结果相除得：α+α-=αcos 1cos 12tan 2 注意：1︒左边是平方形式，只要知道2α角终边所在象限，就可以开平方。

2︒公式的“本质”是用α角的余弦表示2α角的正弦、余弦、正切 3︒上述公式称之谓半角公式（大纲规定这套公式不必记忆） α+α-±=αα+±=αα-±=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin补充：万能公式：求证：2tan 12tan 2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan2sin 2222α-α=αα+α-=αα+α=α 例2、求证： （1）sin αcos β＝21［sin （α＋β）+sin （α－β）］ （2）sin θ＋sin ϕ＝22cos 2sin ϕθφθ-+ 例3、求函数y ＝sinx ＋3cosx 的周期，最大值和最小值。

解：y ＝sinx ＋3cosx＝2（x x cos 23sin 21+） ＝2（3sin cos 3cossin ππx x +） ＝2)3sin(π+x所以，所求函数的周期为2π，最大值为2，最小值为－2。

高中数学人教版必修4：：3.2《简单的三角恒等变换》导学案【学习目标】1．会用三角函数的有关公式进行解题.2．能将前面所掌握的公式应用到三角函数式化简、求值、证明中.【重点难点】1．重点：三角函数有关公式的记忆.2. 难点：公式灵活运用.【学法指导】1． 采用观察、赋值、探究的学习方法，以已有的公式为依据，推导半角公式，提升逻辑推理能力.【知识链接】二倍角公式【学习过程】阅读课本第139页例1的内容，尝试回答以下问题：知识点1:半角公式（A 级）问题1：半角公式也可以理解为倍角公式，可视为α是2α的二倍角，尝试写出下列半角公式： 由2cos 12sin2αα=-得2sin 2α= . 由2cos 2cos 12αα=-得2cos 2α= . 由222sin 2tan 2cos 2ααα=得2tan 2α= . （B 级）问题2：已知3cos 5θ=，且532πθπ<<，求sin ,cos ,tan 222θθθ的值.（B 级）问题3：已知3cos 5θ=-，且180270θ︒<<︒，求tan 2θ.阅读课本第140页例2的内容，尝试回答以下问题：知识点2:积化和差公式与和差化积公式（A 级）问题1：观察例2中这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同？（B 级）问题2：在下列4个积化和差公式中任选一个完成证明.1sin cos [sin()sin()]21cos sin [sin()sin()]21cos cos [cos()cos()]21sin sin [cos()cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=-+--（B 级）问题3：在下列4个和差化积公式中任选一个完成证明.sin sin 2sin cos 22sin sin 2cos sin 22cos cos 2cos cos 22cos cos 2sin sin 22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=（B 级）问题4：化简: cos cos(120)cos(120)sin sin(120)sin(120)A B B B A A +︒++︒-+︒+-︒-阅读课本第140页例3、例4的内容的内容，尝试回答以下问题：知识点3:公式的综合运用温馨提示：辅助角公式为sin cos )a x b x x ϕ+=+，即将含有同角的正弦、余弦的两项和化为一个角的一种三角函数形式，这样方便研究三角函数的性质.例1：已知函数2())2sin ()612f x x x ππ=-+-()x R ∈（A 级）问题1：请将函数解析式利用二倍角公式和辅助公式整理化成sin()y A x b ϖϕ=++形式？（B 级）问题2：请尝试求解函数()y f x =的单调区间？（B 级）问题3：求使函数()f x 取得最大值的自变量x 的集合？（C 级）问题4：尝试归纳解这种类型的题的一般方法.【基础达标】A1.化简：sin 4cos 2cos 1cos 41cos 21cos x xxx x x ∙∙+++.B2.求值sin15cos15sin15cos15︒+︒︒-︒.（尝试用多种方法）B3.求值22sin 20cos 50sin 20cos50.︒+︒+︒︒B4.求函数21sin 2sin ,2y x x x R =+∈的值域.C5.已知函数22()sin 2sin cos 3cos ,f x x x x x x R =++∈求: ①函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合. ②函数()f x 的单调增区间.③函数()f x 的对称轴.【小结】【当堂检测】B1.求函数2()6cos 2f x x x =，[0,]2x π∈的最值.。

3・2《简单的三角恒等变换》导学案【学习目标】会用己学公式进行三角函数式的化简、求值和证明；会推导半角公式，积化和差、和差化积公式(公式不要求记忆)，进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。

［重点难点】学习云点:''以己冇公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。

学习难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断捉高从整体上把握变换过程的能力【学法指导】复习倍角公式S A J T IL先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意c*。

既然能用单角，玄示倍遍，那么能否用倍角表示单角呢？•回顾复习两角和与差的正眩、余弦和丘切公式及二倍角公式，预习简单的三角恒等变换。

【知识链接】：1、回顾复习以下公式并填空：Cos( a + B )= Cos( a - P )=sin( a + B )= . sin( a ・ P )=tan( a + B )= tan( a ・ B )=・ sin2 a = tan2 a =cos2 a =2、阅看课本P139—141 例1、2、3。

三、提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格屮【学习过程】：探究一：半角公式的推导(例1)请同学们阅看例1,思考以下问题，并进行小组讨论。

1、2a与ci冇什么关系？「与a/2冇什么关系？进一步体会二倍角公式和半角公式的应用。

2、半角公式中的符号如何确定？3、二倍角公式和半角公式有什么联系?4、代数变换与三角变换冇什么不同？探究二：半角公式的推导(例2)请同学们阅看例2,思考以下问题，并进行小组讨论。

1、两角和与差的正弦、余弦公式两边冇什么特点？它们与例2在结构形式上冇什么联系?2、在例2证明过程屮，如果不用(1)的结果，如何证明(2) ?3、在例2证明过程中，体现了什么数学思想方法?探究三：三角函数式的变换（例3）,请同学们阅看例1,思考以下问题，并进行小组讨论。

高中数学第三章三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换问题导学案新人教A版必修4编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（高中数学第三章三角恒等变换３.2 简单的三角恒等变换问题导学案新人教A版必修４)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉,前进的动力。

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３。

2 简单的三角恒等变换问题导学一、求值问题活动与探究1已知ｓin α＝－错误!且π<α<错误!π,求ｓin错误!,ｃｏs错误!,ｔａn错误!的值.迁移与应用若θ∈错误!,ｓｉn 2θ＝错误!，则ｓｉn θ=( )Ａ.＼f(3，５）Ｂ.错误! C.错误! D.错误!1．解给值求值问题,其关键是找岀已知式与所求式之间的角、运算及函数的差异,一般可以适当变换已知式或变换所求式．2．给值求值的重要思想是建立已知式与所求式之间的联系,应注意“配角"方法的应用.二、三角函数式的化简活动与探究2已知π<α<错误!,化简:1＋sｉn α＋错误!．＼r(1+ｃos α)－＼ｒ(1-coｓα)迁移与应用化简错误!得（）Ａ.ｓin 2αＢ．cｏs 2α C．sｉn αＤ.cos α(１)对于三角函数式的化简有下面的要求:①能求岀值的应求岀值；②使三角函数种数尽量少；③使三角函数式中的项数尽量少；④尽量使分母不含有三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．（２)化简的方法:①弦切互化，异名化同名,异角化同角;②降幂或升幂．三、三角恒等变换的综合应用活动与探究3已知函数ｆ（x)＝cos2错误!-siｎ错误!coｓ错误!-错误!.(１)求函数f（x)的最小正周期和值域；(2)若f（α）＝错误!,求ｓiｎ 2α的值．迁移与应用已知函数f(ｘ）=4ｃoｓx sin错误!-1．(1)求f(x）的最小正周期；（2)求f（x）在区间错误!上的最大值和最小值.解决关于三角函数的综合应用题,首先运用三角恒等变换将函数化成一个角的三角函数式，而后结合三角函数的图象与性质进一步求周期、最值、单调性、奇偶性、对称性或图象的平移、伸缩变换等.解决此类问题的关键在于灵活地选取公式进行三角变换，化成一个角的三角函数．当堂检测1.已知cｏｓθ=－错误!,错误!＜θ<3π，那么sin 错误!=( )A．＼ｆ(１0,5) Ｂ．-＼f(＼r(１0)，5) C．错误! D.－错误!2.设f(ｔan ｘ）＝ｔan 2x,则ｆ(2）=（ )A.45B．－＼f（4，3) C．－＼ｆ(2,3) D．43.已知α∈错误!,且cｏs α＝-错误!，则tan错误!等于（)Ａ．2 B．－2 C．错误!Ｄ．－错误!4.在△ABC中，若cｏs A=错误!，则sin2错误!+ｃoｓ 2A等于________．５．化简:sｉn２2ｘ+2cｏs2x cos 2x＝＿＿___＿＿_．答案:课前预习导学【预习导引】1.错误!±错误!错误!±错误!错误!±错误!预习交流1提示:符号由＼ｆ(α,2)所在象限决定.２.a2＋ｂ2错误!sｉn(α+φ) 错误!错误!预习交流2提示：可以由siｎφ和cｏs φ的符号来确定φ所在象限，由sin φ或cos φ的值确定角φ的大小.课堂合作探究【问题导学】活动与探究１思路分析：已知条件中的角α与所求结论中的角α２成二倍关系,解答本题可根据半角公式求值．解:∵sin α=-错误!，π<α＜错误!π,∴cosα＝-错误!．又错误!＜错误!<错误!π，∴ｓiｎ错误!=错误!=错误!=错误!,cos错误!=－错误!=-错误!＝-错误!,ｔａn错误!＝错误!＝-4.迁移与应用Ｄ解析：由θ∈错误!,得2θ∈错误!，ｃos ２θ=-错误!=-错误!，∴sｉn θ=错误!＝错误!.活动与探究2思路分析:先用二倍角公式“升幂”，再根据错误!的范围开方化简.解:原式＝错误!+错误!，∵π＜α<错误!,∴错误!<错误!<错误!,∴cｏs错误!<0，siｎ错误!＞0.∴原式＝错误!+错误!=－错误!＋错误!=-2cｏｓ错误!．迁移与应用 A 解析：4ｓｉｎ2错误!ｔan错误!=４ｃos2错误!tａn错误!=4ｃos错误!sin错误!＝2sin错误!＝2cos 2α,原式＝错误!＝错误!=错误!=ｓin ２α.活动与探究3思路分析:(１)先利用余弦的二倍角公式和辅助角公式将ｆ（x)化成f （x)=A sin（ωx＋φ)形式．再求解.（2）利用同角间三角函数关系与二倍角正弦公式求值.解:（１）由已知f（x)=coｓ２错误!－sin错误!ｃoｓ错误!-错误!＝错误!（1＋cos ｘ)-错误!sin ｘ-错误!＝错误!cos错误!.所以函数f(x）的最小正周期为2π,值域为错误!.（2)由(1)知,ｆ(x）=错误!cos错误!=错误!,∴ｃos错误!=错误!.∴cos α-sin α=错误!，平方得1-sin ２α=错误!．∴sin 2α=错误!．迁移与应用解:(1)因为ｆ（x）=4ｃos x siｎ错误!-1=4cos x错误!-1＝＼r(3）sin 2x＋2cos2x－1＝错误!ｓin 2x+coｓ 2x＝2sin错误!,所以f(x)的最小正周期为π.(2)因为－π6≤ｘ≤＼f(π,4）,所以-错误!≤２x+错误!≤错误!．于是,当２x＋错误!=错误!，即ｘ＝错误!时,ｆ（ｘ)取得最大值２；当2x+错误!＝－错误!，即ｘ＝－错误!时，f(ｘ)取得最小值-1.【当堂检测】1．D 解析：∵错误!＜θ<3π，∴错误!<错误!<错误!.∴sin θ2<0.由cos θ＝1-2ｓin2错误!,得ｓin 错误!=-错误!=-错误!＝-错误!．2．B 解析：由f(taｎｘ）＝tan 2x=错误!,知f（x)＝错误!,∴f(2）=错误!=－错误!．3．A 解析:∵α∈错误!,∴错误!∈错误!,∴sin α2＝错误!=错误!,cｏs错误!＝错误!＝错误!．∴tan错误!＝错误!＝2．4．－错误!解析：在△AＢC中，错误!=错误!－错误!,ｓｉｎ2错误!＋cｏs 2A=sｉn２错误!+cos ２A=cos2错误!+cｏs ２Ａ＝错误!+2coｓ2A－1＝-错误!.5.2coｓ２x解析:原式=4ｓin２x coｓ2x+2cos2x cｏs 2ｘ＝２cｏｓ2x（2sin２x＋cｏs 2x)＝2cos2x（２ｓin2x＋1－2sｉｎ2x）=2cos2x．以上就是本文的全部内容,可以编辑修改。

3.2 简单的三角恒等变换
（－）教学目标
1 知识目标：会推导半角的正弦，余弦和正切并会用半角公式进行证明，求值和化简
2 能力目标：会灵活运用公式进行推导变形
3 情感目标灵活运用公式化繁为简
（二）教学重点，难点
重点半角公式的推导方法和结构特征及应用公式求值，化简，证明
难点是用公式求值
（三）教学方法
引导学生复习二倍角公式，按课本知识结构设置提问引导学生动手推导出半角公式，课堂上在老师引导下，以学生为主体，分析公式的结构特征，会根据公式特点得出公式的应用，用公式来进行化简证明和求值，老师为学生创设问题情景，鼓励学生积极探究。

反思：
重视新旧知识的联系，新知识在旧知识基础上形成并得到引申和发展，形成新知识的同时提升了学生的能力。

在教学过程中，注重培养学生的观察能力，分析问题及解决问题的能力，及分情况讨论的思想，和化归的思想使学生的数学素养的到提高。