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投影与直观图一、学习目标1、初步了解空间平行投影和中心投影的原理，初步了解平行投影的性质。
2、了解空间图形的不同表示形式，会运用斜二则画法的规则画出水平放置的简单空间图形的直观图。
二、课前预习1、平行投影的定义在一束光线照射下形成的投影，叫做平行投影，平行投影的投射线是的2、平行投影的性质（1）直线或线段的平行投影仍是或（2）平行直线的平行投影是或的直线。
（3）平行于投射面的线段，它的投影与这条线段（4）与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形（5）在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比这两条线段的比。
3、直观图（1）定义：用来表示空间图形的平面图形叫做（2）画直观图的标准是（3）斜二则画法画直观图的规则是：4、中心投影：一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是他在这个平面上的。
三、预习检测1、判断题（1）矩形的平行投影一定是矩形。
（2）梯形的平行投影一定是梯形。
（3）两条相交直线的投影可能平行。
（4）平行四边形的平行投影可能是正方形。
（5）正方形的平行投影一定是菱形。
（6）如果一个三角形的平行投影仍是三角形，那么它的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线。
2、用斜二则画法画出水平放置的正方形和等边三角形的直观图。
四、典型例题例一、画水平放置的正六边形的直观图变式训练：已知正三角形ABC 的边长为a ，那么三角形ABC 的直观图三角形111A B C 的面积是（ ）Ａ 24a Ｂ 28a Ｃ 28a Ｄ 216a 例二、直观图还原图形一个四边形的直观图是一个底角为45 ，腰和上边长均为1的等腰梯形，求原四边形的面积。
变式训练：一个四边形的直观图是一个边长为1的正方形则原图形的周长为（ ）Ａ 6 Ｂ 8 Ｃ 2+ Ｄ 2+五 、随堂检测1、若线段AB 平行于投影面，O 是AB 上一点，且AO ：OB=m:n ，则点O 的平行投影分线段AB 的平行投影的长度之比为2、已知三角形的平面直观图为边长为a 的正三角形，那么原三角形的面积为3、下列命题中正确的是（ ）A 等腰三角形的直观图仍为等腰三角形。
1.1.4投影与直观图【学习要求】1．了解中心投影、平行投影的概念，会画几何体的投影．2．会画常见几何体的直观图，理解直观图的斜二测画法规则．【学法指导】通过对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点；通过学习斜二测画法画出空间几何体的直观图，提高空间想象力与直观感受，感受几何作图在生产活动中的应用.填一填：知识要点、记下疑难点1．已知图形F，直线l与平面α相交(如图所示)，过F上任意一点M作直线MM′平行于l，交平面α于点M′，则点M′叫做点M在平面α内关于直线l的平行投影(或象) ．如果图形F上的所有点在平面α内关于直线l 的平行投影构成图形F′，则F′叫做图形F在α内关于直线l的平行投影．平面α叫做投射面，l叫做投射线 .2．平行投影的性质(图形中的直线或线段不平行于投射线)(1)直线或线段的平行投影仍是直线或线段；(2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线；(3)平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；(4)与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；(5)在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．3．直观图：当投射线和投射面成适当的角度或改变图形相对于投射面的位置时，一个空间图形在投射面上的平行投影 (平面图形)可以形象地表示这个空间图形．像这样用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图．4．中心投影：一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影，空间图形经中心投影后，直线变成直线，平行线可能变成了相交的直线.研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]空间几何体多用直观图来表示．空间图形能否在平面中画出来，使得既富有立感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系呢？这就是空间几何体的直观图．本节我们就来研究这个问题．探究点一平行投影问题1观察教材16页图1－27，太阳光线可以把一个矩形的窗框投射到地板上，影子是平行四边形，在影子中，框边的长度以及框边之间的夹角有所改变，你能观察出没有发生变化的是什么吗？问题2在立体几何中，一般都是根据平行投影的性质，用平面图形来表示空间图形，那么点和图形的平行投影是怎样定义的？问题3观察教材17页图1－28，你能归纳出平行投影有怎样的性质(图形中的直线或线段不平行于投射线)?问题4如何画一个图形F的平行投影？探究点二斜二测画法问题1阅读教材17页下半部分，你能说出什么叫空间图形的直观图吗？问题2阅读教材17页下半部分，你能说出什么是斜二测画法吗？问题3阅读教材17页最后一段及18页最上面一段，你能感悟出用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，关键点是什么吗？问题4画水平放置的直观图时，要把握怎样的原则？问题5画水平放置的直角梯形的直观图时应如何操作？问题6画空间多面体的直观图，是按怎样的顺序进行的？问题7如何画出圆柱、圆锥的直观图？例1画水平放置的正六边形的直观图．小结：在画出水平放置的正六边形的直观图后，依照斜二测画法规则，平行于z轴的线段在直观图中保持长度不变，就很容易画出六棱柱和六棱锥的直观图．所以画空间多面体的步骤可简单总结为：画轴→画底面→画侧棱→成图跟踪训练1用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD—A′B′C′D′的直观图．探究点三中心投影问题1不同的光源发出的光线是有差异的，其中灯泡发出的光线与手电筒发出的光线有什么不同？问题2一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影．那么用灯泡照射物体和用手电筒照射物体形成的投影分别是哪种投影？问题3用灯泡照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系？当物体与灯泡的距离发生变化时，影子的大小会有什么不同？练一练：当堂检测、目标达成落实处1．当图形中的直线或线段不平行于投射线时，关于平行投影的性质，下列说法中不正确的是()A．直线或线段的平行投影仍是直线或线段B．平行直线的平行投影仍是平行的直线C．与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等D．在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比2．图中是水平放置的三角形的直观图，已知AB∥y轴，则△ABC是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形3．画水平放置的正三角形的直观图.课堂小结：1．画水平放置的平面图形的直观图时，平行于x轴的线段，在直观图中保持其长度不变；平行于y轴的线段，在直观图中长度减半．画直观图，关键是确定各顶点(或其它有代表性的点)的位置；而确定顶点的位置，需要选取有关的两个坐标系，并在两个坐标系之间，建立一定的对应关系，其中以平行投影的性质为主要依据．2．圆的直观图是椭圆，由于画圆的直观图比较复杂，通常使用不同尺寸的椭圆模板来画，会画圆的直观图，就能画出圆柱、圆锥、圆台的直观图．3．中心投影的投射线相交于一点，中心投影后，图形与原图形相比虽然相差较大，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致．若一个平面图形所在的平面与投射面平行，则中心投影后得到的图形与原图形相似．。
1.1.4投影与直观图教学目标：1、了解表示空间图形的投影方法原理2、掌握斜二测画法3、了解中心投影方法教学重点：掌握斜二测画法教学过程：一、投影法物体在光线的照射下，就会在地面或墙壁上产生影子。
人们将这种自然现象加以科学的抽象，总结其中的规律，提出了投影的方法。
如图1—1所示，以不在投影面上的定点S为投影中心，由S射出投影线，该投影线通过空间点A与投影面P相交于点ɑ，点ɑ就是空间点A在投影面P上的投影。
同理，点b则是空间点B在投影面P上的投影。
这种使物体在投影面上产生图像的方法叫投影法。
工程上常用各种投影法来绘制用途不同的工程图样。
二、投影法分类1.中心投影法投影线均通过投影中心的投影法称为中心投影法(图1—2)。
其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化，所以其投影不能反映物体的实形。
图1—1 投影法图1—2 中心投影法2.平行投影法投影线相互平行的投影法称为平行投影法(图1—3)。
其中，投影线倾斜于投影面叫平行斜投影法〔图1—3(ɑ)〕；投影线垂直于投影面叫平行正投影法简称正投影法〔图1—3(b)〕。
(ɑ)平行斜投影 (b)平行正投影图1—3 平行投影法应用正投影法，能在投影面上反映物体某些面的真实形状及大小，且与物体到投影面的距离无关，因而作图方便，故在工程中得到广泛的应用。
工程图样就是用正投影法绘制的。
三、平行投影的基本特性平行投影的基本特性，是指空间几何要素——点、线、面经过平行投影后的特性。
1.点的投影仍为点如图1—4所示，空间A点的投影为点ɑ。
2.直线的投影一般仍为直线如图1—5所示，AB直线的投影为直线ɑb。
图1—4 点的投影图1—5 直线的投影3.一点在某直线上，则点的投影一定在该直线的投影上如图1—6所示，点M在直线AB上，那么点M的投影m也一定在直线AB的投影ɑb上。
4.直线上两线段之比，等于其投影之比从图1—6中可以看出，点M分直线AB为AM和MB，而其投影为ɑm和mb，则AM∶MB=ɑm∶ mb。
