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人教版数学九年级上册25.3《利用频率估计概率》教案一. 教材分析《人教版数学九年级上册》第25.3节“利用频率估计概率”是概率统计部分的一个重要内容。
本节课主要让学生掌握利用频率来估计概率的方法，理解频率与概率的关系，并能够运用这一方法解决一些简单的实际问题。
教材通过实例引入频率估计概率的概念，引导学生探究频率与概率的关系，并运用这一方法解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了概率的基本概念，了解了随机事件和必然事件。
但是，对于利用频率来估计概率的方法，学生可能比较陌生，需要通过实例和练习来理解和掌握。
此外，学生可能对于如何将频率与概率的关系应用到实际问题中，还需要进一步的引导和培养。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握利用频率来估计概率的方法，理解频率与概率的关系。
2.过程与方法目标：通过实例和练习，培养学生运用频率估计概率解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神和合作精神。
四. 教学重难点1.重点：利用频率来估计概率的方法，频率与概率的关系。
2.难点：如何将频率与概率的关系应用到实际问题中。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引入频率估计概率的概念，引导学生探究频率与概率的关系。
2.问题驱动法：通过设置问题，引导学生思考和探究，培养学生的解决问题的能力。
3.合作学习法：分组讨论和交流，培养学生的合作精神和团队意识。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示实例和练习题目。
2.练习题目：准备一些相关的练习题目，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过一个简单的实例引入频率估计概率的概念。
例如，抛硬币实验，抛掷一枚硬币，记录正面朝上的频率，然后引导学生思考：这个频率与硬币正反面朝上的概率有什么关系？呈现（10分钟）教师通过PPT呈现一些实例，让学生观察和分析频率与概率的关系。
例如，掷骰子实验，掷骰子100次，记录各个数字出现的频率，然后引导学生思考：这个频率与骰子各个数字出现的概率有什么关系？操练（10分钟）教师让学生分组讨论，每组选择一个实例，进行频率估计概率的实验。
25.3 利用频率估计概率
25.4 课题学习键盘上字母的排列规律
一览众山小
三维目标
1.借助试验，进一步体会随机事件在每次试验中发生与否具有不确定性.
2.认识随机事件的发生也会表现出规律，即随着相同试验次数的增加，其值逐渐趋于稳定，并认识到试验后得到的频率值确实可以作为随机事件每次发生的可能性(即概率)的估计值.
3.学会如何用频率估计概率的大小.
学法指导
本节主要内容是要体会“一个随机事件在每次试验中发生的概率可以用该事件在多次的重复试验中发生的频率来估计”这一结论，但这一结论仅靠现成的书面资料一般是不能办到的，这也是很多人学过统计和概率但不相信统计和概率的原因所在，因而整个学习要以自己动手试验和探索为主，就试验的设计、组织、数据的记录和解析与试验结果合理性等问题和同学展开讨论和交流，表达各自的观点和想法，共同提高，加深对概率的频率定义的理解与认识.只有这样，才能理解随机事件中隐含的确定性.
因为“空格”键出现的频率远远大于26个字母出现的频率，所以“空格”键设计在键盘的下方中央的位置.
生活中，为了尽可能使试验所得频率稳定于理论概率，并且用频率去估计理论概率，使这种估计尽可能精确，就需要尽可能多地增加调查对象，而这样做既费时又费力，于是为了节省时间和精力，用模拟试验代替实际调查，用计算器产生的随机数进行模拟试验.。
第二十五章 25.3用频率估计概率知识点1：利用频率估计概率一般地,在大量重复试验中,如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近,那么这个常数p就叫做事件A发生的概率,记作P(A)=p.频率估计概率的适用对象:当试验的可能结果不是有限个,或各种结果发生的可能性不相等时,可通过统计频率来估计概率.根据大量重复试验,某一事件发生的频率越来越稳定于某个常数,可将这个常数看作该事件发生的概率.关键提醒:概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定的值,即用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率,但大量试验反映的规律并非在每一次试验中一定存在,如抛硬币10次,并不一定是正面、反面各5次.知识点2：设计模拟试验通过试验预测某事件的概率时,当试验的所有可能不是有限个,或各种可能结果发生的可能性不相等时,要通过频率来估计概率,也就是说,要借助试验法得到相应的概率,如试验遇到找不到相应的实物或用实物进行试验困难较大的情况下,其有效方法是:(1)寻找满足条件的替代物做模拟试验;(2)用计算器产生随机整数的方法进行模拟试验.知识点3：用统计频(概)率解决实际问题实际问题中的试验一般不属于各种结果发生的可能性相等的类型,所以先用频率去估计概率,然后根据估计的概率解决相关问题.归纳整理:(1)在随机试验中,由于众多微小的偶然因素的影响,每次测得的结果不尽相同(具有偶然性),但大量重复试验所得结果却能反映规律.(2)在做大量重复试验时,可以根据概率要达到的精度来确定数据表中频率保留的数位.一般用频率估计出来的概率要比数据表中的频率保留的数位要少.芽种子粒数05苗苗记录了她做这个游戏的情况,并绘制了如下的表格:你能设计一个模拟试验吗?从而估计出任意抽取这些球除颜色外没有其他区点拨:本题涉及用频率估计概率及模拟试验的设计.(1)解答时表格中的频率可以直接求得,估计概率要注意随着试验次数的增多,频率稳定在哪个常数附近;(2)模拟试验的方法很多,关键是注意试验的条件要相同.考点3：利用频率求概率解决实际问题【例2】某工厂封装圆珠笔的箱子,每箱只装2000枝,在一次封装时,误把一些已作标记的不合格的圆珠笔也装入箱里,若随机拿出100枝圆珠笔,共做10次试验,100枝中不合格的圆珠笔的平均数是5,你能估计箱子里混入多少不合格的圆珠笔吗?若每枝合格圆珠笔的利润为0.05元,而发现不合格品要退货并每枝赔偿商店1.00元,你能根据你的估计推算出这箱圆珠笔是亏损还是盈利?亏损,损失多少元?盈利,利润是多少?解:因为每100枝平均有5枝不合格,所以有2000÷100×5=100,故可估计整箱平均有100枝不合格,1900枝合格.赔偿100×1=100(元),利润1900×0.5=950(元),总的盈利950-100=850(元),所以这箱圆珠笔盈利,共盈利850元.点拨:利用平均概率可估计出共有多少枝不合格的商品,即可推算出亏损还是盈利.。
25.3 用频率估计概率1．当试验的可能结果不是有限个,或各种结果发生的可能性不相等时,一般用统计频率的方法来估计概率．2．会设计模拟试验,能应用模拟试验求概率．重点对利用频率估计概率的理解和应用．难点对利用频率估计概率的理解．一、情境引入某篮球运动员在最近的几场大赛中罚球投篮的结果如下:投篮次数n 8 10 12 9 16 10进球次数m 6 8 9 7 12 7进球频率错误!(1)(2)这位运动员投篮一次,进球的概率约为多少？解答:(1)0.75,0.8,0.75,0.78,0.75,0.7；(2)0.75.二、自主探究利用频率估计概率1．试验要求:(1)把全班分成10或12组,每组中有一名学生投掷硬币,另一名同学做记录,其余同学观察试验,计算结果,各组必须在同样条件下进行．(2)明确任务,每组掷币50次,认真统计“正面朝上”的频数,算出“正面朝上”的频率,整理试验的数据,并记录下来．2．各组汇报试验结果:把各组试验数据汇报给教师,教师积累后填入表格,板书,学生计算出累加后的频率．(由于试验次数较小,有可能有些组的最后结果和自己的猜想有出入)3．根据列表填在教材第142页图中,观察频率变化情况,小组交流后阐述所得结论．4．思考:教材第143页“思考”．5．问题1:教材第144页问题1.分析:幼树的成活率是实际问题中的概率,在这个实验过程中,移植总数无限,每一棵小苗成活的可能性不相等,所以不能用列举法求概率,只能用频率估计概率．解:教师引导学生完成方法总结:(1)先计算出每次试验的频率；(2)观察频率活动情况,选择最接近且围绕波动的频率数作为概率．用频率估计概率的应用教材第145页问题2分析:学生阅读表25－6提供的信息:(1)估测出损坏率．(实质也是概率问题)(2)算出完好柑橘的质量．(3)计算出实际成本,再确定定价．三、巩固练习教材第147页练习．四、课堂小结(1)利用频率估计概率,建立在大量重复试验的基础上．(2)利用频率估计概率,得到的概率是近似值．五、作业布置教材第147～148页习题1,2,5.。
作课类别示范课课题25.3利用频率估计概率课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1.知道当事件的试验结果不是有限个或结果发生的可能性不相等时，可以用频率来估计概率.2.通过试验，理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率，进一步发展概率观念.过程方法通过实验及分析试验结果、收集数据、处理数据、得出结论的试验过程，体会频率与概率的联系与区别，发展学生根据频率的集中趋势估计概率的能力.情感态度通过具体情境使学生体会到概率是描述不确定事件规律的有效数学模型，在解决问题中学会用数学的思维方式思考生活中的实际问题的习惯，发展合作交流的意识和能力.教学重点理解当试验次数较大时，试验频率稳定于理论概率教学难点理解利用频率估计概率教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、引入上节课学习了列举法求事件的概率的方法，还可以利用多次重复试验，通过统计试验结果去估计概率.二、探索新知（一）用频率估计概率课本第140页试验1.教师布置试验任务.（1）明确规则.把全班分成10组，每组中有一名学生投掷硬币，另一名同学作记录，其余同学观察试验必须在同样条件下进行.（2）明确任务，每组掷币50次，以实事求是的态度，认真统计“正面朝上”的频数及“正面朝上”的频率，整理试验的数据,并记录下来..2. 各组汇报实验结果.由于试验次数较少，所以有可能有些组试验获得的“正面朝上”的频率与先前的计算得到的概率有出入，引导学生分析讨论产生差异的原因.解决的办法是增加试验的次数，鉴于课堂时间有限，引导学生进行全班交流合作.3. 全班交流.把各组测得数据一一汇报，教师将各组数据记录在黑板上.全班同学对数据进行累计，按照书上P140要求填好25-3.并根据所整理的数据，在图上标注出对应的点,完成统计图.抛掷次数n 50 100 150 200 250 300 350 400 450500“正面向上”频数m“正面向上”频率m/n.思考：1.观察统计表与统计图，你发现“正面向上”的频率有什么规律？2.随着抛掷次数增加，“正面向上”的频率变化趋势有何规律？得到：每次试验中随机事件发生的频率具有不确定性，也有规律性.在试验次数较少时，“正面朝上”的频率起伏较大，而随着试验次数的逐渐增加，一般地，频率会趋于稳定，“正面朝上”的频率越来越接近0.5. 这也与我们教师直接点出课题学生根据教师布置试验任务，分组实验，作好记录，教师适当启发，组织学生小组交流，讨论，根据所作试验小组内汇总数据，计算出频率，绘制频率统计图，之后教师汇总各组试验数据，累加填表，引导学生观察随试验次数的增加频率的变化.学生结合统计表和统计图思考开门见山，直入主题培养学生解决问题的条理性.通过实践探究活动，让学生真实地感受到、清楚地观察到试验所体现的规律，即大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率）.通过绘制统计表和统计图感受数形结合的数学思想.。
庖丁巧解牛
知识·巧学·升华
一、利用频率估计概率
随机事件概率的定义，实际上也是求一个事件的概率的基本方法：进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率.当试验次数较大时，试验频率稳定于理论概率，并可据此估计某一事件发生的概率.试验次数越大，估计值越接近真实值. 误区警示
要注意，不是所有的不确定事件都可以用前面介绍的方法计算.采用前面介绍的计算方法的条件是在等可能性与随机性的基础上的，如生活中的抛瓶盖的游戏盖面着地与盖面朝上的概率只能通过试验的方法估计，利用频率估计概率. 二、在用频率估计概率时应注意的问题
(1)频率估计概率时必须做足够多的试验，随着试验次数的增多，频率会逐渐稳定到概率，但不能认为频率就等于概率.
(2)有些事件可以根据均匀性或对称性，直接求它们发生的概率，但大量的事件需要通过试验来估计它们发生的概率，这需要通过足够多的试验，才能使频率逐渐稳定在概率附近.误区警示
天气预报中降水概率较大的日子不一定降水，因为未来某天是否降水是一个随机事件，降水概率较大只能说明降水的可能性大，并不代表一定降水. 问题·自主·探究
问题1 做投掷骰子的试验时，掷得“6”的概率等于
6
1
是什么意思？ 探究：做投掷骰子试验（或模拟试验），一旦掷到“6”，就算完成了一次试验，然后数一数投掷了几次才得到“6”的.试验结果如下表所示，在十次试验中，有时很迟才掷得“6”，有时很早就掷得“6”，平均一下的话，平均每5.4次掷得一个“6”.从试验中，可以看出“6”的概率等于
1
表示：如果掷很多次的话，那么平均每6次有1次掷出“6”.
（1）已知掷得“6”的概率等于
6
1
，那么不是“6”（也就是1～5）的概率等于多少呢？ （2）我们知道，掷得“6”的概率等于
6
1
也表示：如果重复投掷骰子很多次的话，那么试验
中掷得“6”的频率会逐渐稳定到
6
1
附近.这与“平均每6次有1次掷出‘6’”互相矛盾吗 探究：（1）由重复投掷骰子的试验，我们可以看出，不是“6”的情况是“6”的5倍，所以不是“6”（也就是1～5）的概率等于
6
5
. （2）由重复投掷骰子的试验可知：如果掷很多次的话，那么平均每6次有5次掷出不是“6”，没有矛盾.
问题3如果班上有48人，那么至少有两人生日相同的概率是多少呢？ 探究：设想有365只盒子，盒子上分别标有“1月1日”“1月2日”……“12月31日”；另有48颗小球，上面分别写有班上每个同学的姓名.然后，把球随意地抛进盒子中去，如果标着“张三”的球抛进写着“2月5日”的盒子里，那么意味着“张三的生日是2月5日”；如果标着“李四”的球抛入写着“11月11日”的盒子里，那么意味着“李四生于11月11日”；如果标着“赵五”和“王六”的球同时落在写着“8月7日”的盒子里，那么就意味着“赵五和王六的生日相同，都是8月7日”.于是，看有没有同学生日相同，只要看有没有两颗以上的球落在同一盒子里.因此，求“48人中至少有两人生日相同”的概率，只需求“48颗球中，至少有两颗落在同一盒中”的概率.
但是“48颗球中至少有两颗落在同一盒中”的概率不容易求，而它的对立事件“48颗球分别落在不同的盒中”的概率却比较容易求得，因此我们可以先求出它的对立事件的概率，然后再根据上节所述的公式求出它的概率.
“48颗球分别落在不同的盒中”的概率仍可利用树形图求出.不过这个树形图画起来太繁，不妨把树形图默记在心中.
抛第一颗球，有365种可能，抛第二颗球，又有365种可能……因此，这张树形图，最终应有 个
48365365365365⨯∙∙∙⨯⨯⨯个分叉点.
其中，有多少种情况是“分别落在不同的盒子中”的呢?
抛第一颗球，有365种可能.抛第二颗球时，当然仍有365种可能，但其中只有364种可能是与第一颗球不落在同一盒中的.抛第三颗球时，仍应有365种可能，但其中只有363种是与前两颗球不重复的……因此，这张树形图中，只有365×364× 363× …×318个分叉点符合“不落入同一盒”的要求.所以，“48颗球分别落在不同的盒中”的概率是
个
48365364365318
364365∙∙∙⨯⨯⨯∙∙∙⨯⨯＝0.0394.
把事件“48颗球中至少有两颗落在同一盒中”记作A.它的对立事件“48颗球分别落在不同的盒中”可记作
，于是P (A )＝1-P (
)＝1-0.039 4＝0.960 6.
既“48个人中至少有两人生日相同”的概率是0.960 6.其余情况，可类似地进行计算. 典题·热题·新题
例1某商场在一次促销活动中，广告上写着购物每满50元可抽奖一次，中奖率高达50 %，其中一等奖是一台29寸彩电，中奖率为0.1%. 小明和妈妈在该商场买了价值89元的服装和56元的学习用品，小明想这次一定能中奖，因为他可以抽两次.他兴冲冲地来到抽奖处，服务员告诉他，从活动开始到现在已经抽了1 500多张奖券，但仍然没有人抽到一等奖.小明一听，感觉商场在骗人，一等奖的中奖率为0.1 % ，也就是每1 000张奖券里就有一台彩电，现在都抽了1 500张了，怎么还没有抽到彩电？可是服务员说没有骗人，现在据登记抽奖的结果，已有781份奖品被领走了，只是没有人中一等奖罢了.
根据以上这段话，请你评价一下小明和服务员的说法.
思路解析：中奖的频率不等于中奖的概率，试验的次数越多，频率越稳定到概率附近.小明的想法没有正确理解频率和概率之间的关系.
答案：小明的说法是错误的，他片面地理解了 “中奖率”的意义.一等奖的中奖率为0.1%可以认为在所有奖券中，中一等奖的概率是0.1%，相当于大约1 000张中就有1张一等奖，但并不是均匀地分配到每1 000张中，对于这样的中奖率来说，抽取 1 500次 还不能算“试验足够多”，频率不够稳定，不能用来估计概率.服务员的说法是有道理的，对中奖率为50%来说，大约100张中就有50张中奖，那么现在抽了1 500次，有781份奖品被领走了，领奖的频率大约是52%（试验次数足够多了），接近50%，所以没有骗人.
例2（四川内江中考）以下说法合理的是( )
A.小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是30%
B.抛掷一枚普通的正六面体骰子，出现6的概率是16的意思是每6次就有1次掷得6
C.某彩票的中奖机会是2 % ，那么如果买100张彩票一定会有2张中奖
D.在一次课堂进行的试验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的概率分别为
0.48和0.51
思路解析：抛图钉的试验中钉尖朝上和朝下的概率都为50%,因此A项不对.抛掷一枚普通的正六面体骰子，出现6的概率是16,并不是每6次就有1次掷得6,因此B项不对.某彩票的中奖机会是2%，那么如果买100张彩票不一定会有2张中奖,因此C项不对.
答案：D。
