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解 任意两个ｎ维向量的和仍是一个ｎ维向量； 任意ｎ维向量乘以一个数仍是一个ｎ维向量．
易知 该集合对加法封闭，对数乘也封闭， 所以，所有ｎ维向量的集合构成一个向量空间.
2、结构
解析几何
向量
(n 3)
线性代数
坐
既有大小又有方向的量
有次序的实数组成的数组
几何形象：可 随 意 平行移动的有向线段
标
代数形象：向 量 的
为数域 F 上的向量.
2) 运算规律
k ( + ) =k + k , (k + l ) = k + l , k ( l ) = ( kl ) , 1 = , 0 = 0 , (-1) = - , k 0 = 0 . 如果 k 0, 0, 那么
k0.
3、向量与矩阵的关系
2. 向量的加法
1) 定义 定义 2 . 4 向量
= ( a1 + b1 , a2 + b2 , … , an + bn )T
称为向量
= ( a1 , a2 , … , an)T, = (b1 , b2 , … , bn )T
的和，记为
=+.
2) 运算规律
交换律 + = + .
结合律 + ( + ) = ( + ) + . 3) 运算规律的几何验证
矩阵与向量的关系中 注意什么是向量的个 数、什么是向量的维 数，二者必须分清.
三、向量组、矩阵、线性方程组
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所 组成的集合叫做向量组．
记作： A : 1,2 ,L ,s .or. i
例如 对于一个 m 矩n 阵有ｎ个ｍ维列向量.
1 2
j
n
a11 a12 a1 j a1n
n xn b
方程组的解x1=c1, x2=c2,…., xn=cn,可以用n维列向量：
x=（c1,c2,…., cn)T
来表示。此时称为方程组的一个解向量。（P78）
五、向量空间
1、定义 设Ｖ为ｎ维非空向量组，且满足 ①对加法封闭 if V , V V; ②对数乘封闭 if V , R V . 那么就称向量组Ｖ为向量空间（Vector Space）． 例３ ｎ维向量的集合是一个向量空间,记作 Rn.
A
a21
a22
a2 j a2n
am1 am2 amj amn
向量组 A : 1,2 ,L ,n 称为矩阵Ａ的列向量组.
类似的，矩阵有ｍ个ｎ维行向量.
a11 a12 a1n
T 1
a21 a22
a2n
T 2
A
ai1 ai2
ain
T i
am1 am2 amn
T m
向量组
A :
m
四、线性方程组AX=b的向量表示
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1,
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 ,
am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
x x
11
22
下4面) 用 负向3 维 量向量来验证向量加法的交换律 合律. 定义 向量 ( - a1 , - a2 , … , - an )T 称为向量
=用(a1几, a何 2, …的, 方 an)法的求负两 向个 量向 ，记量为-，. 的和向量
+ 的步骤是：把 的起点移到 的终点，然
显然，对于所有的 ，都有 +0=， +(-)=0.
以后我们用小写希腊字母 ，， 等来代表向
量.
三、n 维向量的运算 1. 两个向量相等 定义 2 . 3 如果 n 维向量
= ( a1 , a2 , … , an)T, = (b1 , b2 , … , bn )T
的对应分量都相等，即 ai = bi ( i = 1, 2, … , n ) ,
就称这两个向量是相等的，记作 = .
ｎ维向量写成一列，称为列矩阵，也就是列向量，
记作α,β,γ.
如：
a1
a2
M
an
（Column Vector）
注意 １、行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；
２、当没有明确说明时，都当作实的列向量.
几何上的向量可以认为是它的特殊情形，即 n = 2, 3 且 F 为实数域的情形. 在 n > 3 时，n 维向 量就没有直观的几何意义了. 我们所以仍称它为向 量，一方面固然是由于它包括通常的向量作为特殊 情形， 另一方面也由于它与通常的向量一样可以定 义运算，并且有许多运算性质是共同的，因而采取 这样一个几何的名词有好处.
5) 向量减法运算
定义 - = + ( - ) .
3. 数量乘积
1) 定义 定义 2 . 5 设 k 为数域 F 中的数，向量
( ka1 , ka2 , … , kan )
称为向量 = ( a1, a2, …, an ) 与数 k 的数量乘积， 记为 k .
向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运 算. 显然，数域 F 上的向量经过线性运算后，仍
a ( x, y, z, , , )
２、定义 ｎ个数 a1,a2 ,L ,an 组成的有序数组
a1 a2 L an
称为一个ｎ维向量，其中 ai 称为第 i 个分量. ｎ维向量写成一行，称为行矩阵，也就是行向量，
记作 T , T , T .
如： T a1 a2 L an
（Row Vector）
a11
A
a21
M
a12 L a22 L M
am1
am1
L
a1n
a2n
M
amn
按行分块
A
1T
T 2
M
T m
ｍ个ｎ维行向量.
按列分块
A 1 2 L n
其第ｉ个行向量记作
iT ai1 ai2 L ain
ｎ个ｍ维列向量.
a1 j
其第ｊ个列向量记作
j
a2 j
M
amj
坐标表示式
系
aT a1 a2 L an
解析几何
空间
(n 3)
线性代数
点空间：点的集合
几 何 形 象： 空间直线、曲线、 空间平面或曲面
线性代数向量及其线性运算
注意：集中精力，仔细理解
一、ｎ维向量（Vector）
１、引入 确定飞机的状态，需
要以下6个参数：
机身的仰角 机翼的转角
( ) (2 2 )
机身的水平转角 (0 2 )
飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)
所以，确定飞机的状态，会产生一个有序数组
