第1课时——函数的概念和图象(1)教师版

函数的概念和图象说课稿一．本课贯彻的教学理念老师作为课堂的支架，让同学学习函数的过程成为在老师指导下让同学在学习数学的过程中，用自己的体验，用自己的思维方式，重新制造函数概念的过程。

本堂课的教学过程是呈现同学学习行为的过程，是让同学的思维得到呈现的过程。

二．说教材1．教材分析函数一章在高中数学中，起着承上启下的作用，函数的思想贯穿高中数学的始终，学好这章不仅在学问方面，更重要的是在函数的思想、方法方面，将会让同学在今后的学习、工作和生活中受益无穷。

本小节介绍了函数概念和图象，我将本小节分为两课时，第一课时完成函数概念的教学，其次课时完成函数图象的教学。

这里我仅谈函数概念的教学。

函数的概念局部用三个实际例子设计数学情境，让同学探寻变量和变量的对应关系，结合学校学习的函数理论，在集合论的根底上，促使同学建构出函数的概念，体验结合旧学问，探究新学问，争辩新问题的欢快。

2．教学目标〔1〕学问目标1理解函数的概念，同学理解把怎样的对应关系才能称为函数；2理解函数定义域和值域的概念，并会求一些简洁函数的定义域。

〔2〕力量目标由实际问题动身，培育同学探究学问和抽象概括学问等方面的力量。

〔3〕情感目标通过对函数概念形成的探究过程培育同学发觉问题，探究问题，不断超越的创新品质3．教学重点和难点教学重点：对函数的概念的理解是重点。

本课通过同学对函数概念的建构过程和生疏稳固过程突出本课重点。

教学难点：从主观学问抽象成为客观概念是本课的难点。

本课通过老师创设多个教学情境，组织开展同学活动，老师作为同学活动的支架，解决本课的教学难点。

三．说教法曹一鸣博士认为：“突破教学模式，实现无模式教学，才是数学开展所追求的崇高境界。

〞在本课中，老师在教学过程中接受设问、引导、启发、发觉的方法，并机敏应用多媒体手段，以同学为主体，创设和谐、愉悦互动的环境，组织同学自主、合作的探究活动，引导同学探究新学问。

四．说学法首先，同学通过争辩老师在课堂上供应的实例和提出的问题，开放分析和争辩，发表个人的见解，接下来接受同学评价同学的方法提炼问题的中心思想。

初等函数知识梳理1．函数的基本概念(1)函数定义设A，B是非空的_________，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的一个数x，在集合B中都有_________的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作_________.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的_________；与x 的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的_________显然，值域是集合B的子集．(4)相等函数：如果两个函数的_________和_________完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的表示法表示函数的常用方法有：_________、_________、_________.3．映射的概念两个集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的_________，记作f：A→B.4．映射与函数的关系由映射的定义可以看出，映射是_________概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A，B必须是_________.5．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因_________不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是_________函数.6.需掌握的基本初等函数有：常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数.典型例题例1 设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，则在映射f下，象3的原象是()A．1 B．3 C．9 D．11答案：A解析：在这个映射中，B中的元素2n＋n是A中的元素n的象．∴2n＋n＝3.∵n∈N，∴f(n)＝2n＋n单调递增，∴2n＋n＝3只有惟一解n＝1.故答案为A. 例2 下列各组函数中表示同一函数的是()A ．f (x )＝x 与g (x )＝(x )2B ．f (x )＝|x |与g (x )＝3x 3C ．f (x )＝x |x |与g (x )＝⎩⎨⎧x 2x >0 －x 2x <0D ．f (x )＝x 2－1x －1与g (t )＝t ＋1(t ≠1)答案：D解析：A 中定义域不同，B 中解析式不同，C 中定义域不同． 例3 下列对应法则f 为A 上的函数的个数是( ) ①A ＝Z ，B ＝N ＋，f ：x →y ＝x2②A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x ③A ＝[－1,1]，B ＝{0}，f ：x →y ＝0A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B解析：对于①，当0∈A 时，y ＝0∉B ，故①所给的对应法则不是A 到B 的映射，当然它不是A 上的函数关系；对于②，当2∈A 时，y ＝2∉B ，故②所给的对应法则不是A 到B 的映射，当然它不是A 上的函数关系；对于③，对于A 中的任一个数，按照对应法则，在B 中都有唯一元素0和它对应，故③所给的对应法则是A 到B 的映射，这两个数集之间的关系是集合A 上的函数关系．例4 .若函数⎩⎨⎧>≤+=1,lg 1,1)(2x x x x x f ，则f(f(10)= （ ）A.lg101B.2C.1D.0 答案：B解析：本题考查分段函数的概念和求值110lg )10(==f ， 所以211)1())10((2=+==f f f ，选B. 例5 已知x=lnπ，y=log 52，21-=ez ，则（ ）A.＜y ＜zB.z ＜x ＜yC.z ＜y ＜xD.y ＜z ＜x 答案：D解析：1ln >=πx ，215log12log25<==y ，eez 121==-，1121<<e，选D.例6 下列函数中，不满足：(2)2()f x f x =的是（ ）A.()f x x =B.()f x x x =-C.()f x x =+1D.()f x x =- 答案：C解析：本题考查函数的概念与解析式的判断()f x kx =与()f x k x =均满足：(2)2()f x f x =得：,,A B D 满足条件．例7反馈训练1.设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{－2，－1,0,1,2}，如果从M 到N 的映射f 满足条件：对M 中的每个元素x 与它在N 中的象f (x )的和都为奇数，则映射f 的个数是( ) A ．8个 B ．12个 C ．16个 D ．18个 答案：D解析：∵x ＋f(x)为奇数，∴当x 为奇数－1,1时，它们在N 的象只能为偶数－2、0或2，对应方法有32＝9种；而当x ＝0时，它在N 中的象为奇数－1或1，共2种对应方法，共有9×2＝18个.2.下列函数中，与函数31xy =定义域相同的函数为（ ）A ．xy sin 1= B. xx y ln =C.y=xe xD. xx y sin =答案：D解析：本题考查函数的概念和函数的性质定义域.函数31xy =的定义域为}0{≠x x .xy sin 1=的定义域为},{}0sin {Z k k x x x x ∈≠=≠π,xx y ln =的定义域为}0{>x x ，函数xx y sin =的定义域为}0{≠x x ，所以定义域相同的是D.3．已知f (x )＝π(x ∈R)，则f (π2)等于( )A ．π2B ．π C.π D ．不确定 答案：B解析： f (x )＝π为常数函数，所以f (π2)＝π.解：(1)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1±2. (2)若f (x )为正比例函数，则2211120m m m m m ⎧+-=⇒=⎨+≠⎩ (3)若f (x )为反比例函数，则2211m= 1.20m m m m ⎧+-=-⇒-⎨+≠⎩ (4)若f (x )为二次函数，则22121m=220m m m m ⎧+-=-⇒⎨+≠⎩4.下列各组函数中是同一函数的是 ( )A ．y ＝|x |x 与y ＝1B ．y ＝xx与y ＝x 0C ．y ＝|x －1|与y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1 x >11－x x <1 D ．y ＝|x |＋|x －1|与y ＝2x －1答案：B解析：当两个函数的解析式和定义域完全相同时，这两个函数为同一函数．同时满足这两个条件的只有B ，A 中第一个函数x≠0，第二个函数x ∈R ，C 中第二函数x≠1，第一个函数x ∈R ，D 当x<0时，第一个函数为y ＝－2x ＋1，显然与第二函数不是同一函数．5.（ ）答案：C6.设c b a ,,均为正数，且122l o g aa =，121log 2b b 骣÷ç=÷ç÷ç桫，21log 2cc 骣÷ç=÷ç÷ç桫.则（ ） A.a b c << B. c b a << C. c a b << D.b a c << 答案：A解析：依题意,0,0,0,a b c >>>故1121,01,01,22bca ⎛⎫⎛⎫><<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以11222log 1,0log 1,0log 1,a b c ><<<<即110,1,12,22a b c <<<<<<a b c ∴<<. 7.在给定的映射f ：(x ，y)→(2x ＋y ，xy)(x ，y ∈R)作用下，点(16，－16)的原象是 .答案：(13，－12)或(－14，23)8.已知函数f (x )、g (x )分别由下表给出则f [g (1)]的值为________；满足f [g (x )]>g [f (x )]的x 的值是________． 答案：2；2解析：f [g (1)]＝f (3)＝2.故f [g 9. 试判断以下各组函数是否表示同一函数？(1)f (x )＝x 2，g (x )＝3x 3； (2)f (x )＝|x |x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0；(3)f (x )＝2n ＋1x2n ＋1，g (x )＝(2n －1x )2n －1(n ∈N ＋)； (4)f (x )＝x x ＋1，g (x )＝x 2＋x .解析： (1)由于f (x )＝x 2＝|x |，g (x )＝3x 3＝x ，故它们的对应关系不相同，所以它们不是同一函数；(2)由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域为R ，所以它们不是同一函数；(3)由于当n ∈N ＋时，2n ±1为奇数，∴f (x )＝2n ＋1x2n ＋1＝x ，g (x )＝(2n －1x )2n －1＝x ，它们的定义域、值域及对应关系都相同，所以它们是同一函数；(4)由于函数f (x )＝x x ＋1的定义域为{x |x ≥0}，而g (x )＝x 2＋x 的定义域为{x |x ≤－1或x ≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数．10.已知函数211(10)()2(0)x x x f x e x -ìïï+-<<ï=íïï³ïî，若f (1)＋f (a )＝2，求a 的值． 解析：∵f (1)＝e 1－1＝1，又f (1)＋f (a )＝2，∴f (a )＝1，若－1<a <0，则f (a )＝a 2＋12＝1，此时a 2＝12，又－1<a <0，∴a ＝－22.若a ≥0，则f (a )＝e a －1＝1，∴a ＝1.综上所述，a 的值是1或－22. 11.(1)求函数2()f x =(2)已知函数f (x )的定义域为[0,1]，求下列函数的定义域：①f (x 2)；②f (x －1)． (3)已知函数f [lg(x ＋1)]的定义域是[0,9]，求函数f (2x )的定义域．解析：(1)要使函数有意义，则只需⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x >0，9－x 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <0，－3<x <3，解得－3<x <0或2<x <3. 故函数的定义域是(－3,0)∪(2,3)．(2)①∵f (x )的定义域是[0,1]，∴要使f (x 2)有意义，则必有0≤x 2≤1，解得－1≤x ≤1.∴f (x 2)的定义域为[－1,1]． ②由0≤x －1≤1，得1≤x ≤2. ∴1≤x ≤4.(x ≥0时，x 才有意义) ∴函数f (x －1)的定义域为[1,4]．。

1.2 二次函数的图象与性质第1课时二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质【知识与技能】1.会用描点法画函数y=ax2(a＞0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质.2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a＞0)的图象和性质解决简单的实际问题.【过程与方法】经历探索二次函数y=ax2(a＞0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数y=ax2(a＞0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性.【教学重点】1.会画y=ax2(a＞0)的图象.2.理解,掌握图象的性质.【教学难点】二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程.一、情境导入，初步认识问题1请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么形状呢?问题2如何用描点法画一个函数图象呢?【教学说明】①略；②列表、描点、连线.二、思考探究，获取新知探究1画二次函数y=ax2(a＞0)的图象.画二次函数y=ax2的图象.【教学说明】①要求同学们人人动手,按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x2的图象，同学们画好后相互交流、展示，表扬画得比较规范的同学.②从列表和描点中,体会图象关于y轴对称的特征.③强调画抛物线的三个误区.误区一:用直线连结,而非光滑的曲线连结,不符合函数的变化规律和发展趋势.如图(1)就是y=x2的图象的错误画法.误区二：并非对称点,存在漏点现象,导致抛物线变形.如图(2)就是漏掉点(0,0)的y=x 2的图象的错误画法.误区三:忽视自变量的取值范围,抛物线要求用平滑曲线连点的同时,还需要向两旁无限延伸,而并非到某些点停止.如图(3),就是到点(-2,4),(2,4)停住的y=x 2图象的错误画法.探究2 y=ax 2(a ＞0)图象的性质在同一坐标系中，画出y=x 2, 212y x =,y=2x 2的图象. 【教学说明】要求同学们独立完成图象,教师帮助引导,强调画图时注意每一个函数图象的对称性.动脑筋观察上述图象的特征(共同点),从而归纳二次函数y=ax2(a ＞0)的图象和性质.【教学说明】教师引导学生观察图象,从开口方向,对称轴,顶点,y 随x 的增大时的变化情况等几个方面让学生归纳，教师整理讲评、强调.y=ax 2(a ＞0)图象的性质1.图象开口向上.2.对称轴是y 轴，顶点是坐标原点，函数有最低点.3.当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，简称右升；当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，简称左降.三、典例精析，掌握新知例 已知函数24(2)kk y k x +-=+是关于x 的二次函数. (1)求k 的值.(2)k 为何值时，抛物线有最低点，最低点是什么？在此前提下，当x 在哪个范围内取值时，y 随x 的增大而增大？【分析】此题是考查二次函数y=ax 2的定义、图象与性质的，由二次函数定义列出关于k 的方程，进而求出k 的值，然后根据k+2＞0，求出k 的取值范围，最后由y 随x 的增大而增大，求出x 的取值范围. 解:(1)由已知得22042k k k +≠+-=⎧⎨⎩ ,解得k=2或k=-3. 所以当k=2或k=-3时，函数24(2)k k y k x +-=+是关于x 的二次函数.(2)若抛物线有最低点,则抛物线开口向上,所以k+2＞0.由（1）知k=2，最低点是（0,0),当x ≥0时，y 随x 的增大而增大.四、运用新知，深化理解1.（广东广州中考）下列函数中，当x ＞0时，y 值随x 值增大而减小的是（ ）A.y=x 2B.y=x-1C. 34y x =D.y=1x 2.已知点（-1,y 1),(2,y 2),(-3,y 3)都在函数y=x 2的图象上，则（ ）A.y 1＜y 2＜y 3B.y 1＜y 3＜y 2C.y 3＜y 2＜y 1D.y 2＜y 1＜y 33.抛物线y=13x 2的开口向 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ，当x=-2时，y= ；当y=3时，x= ,当x ≤0时，y 随x 的增大而 ；当x ＞0时，y 随x 的增大而 .4.如图，抛物线y=ax2上的点B，C与x轴上的点A（-5，0），D（3，0）构成平行四边形ABCD，BC与y轴交于点E（0，6），求常数a的值.【教学说明】学生自主完成,加深对新知识的理解和掌握,当学生疑惑时，教师及时指导.【答案】1.D 2.A 3.上,(0,0),y轴，43，±3,减小，增大4.解：依题意得：BC=AD=8，BC∥x轴，且抛物线y=ax2上的点B，C关于y轴对称，又∵BC 与y轴交于点E（0，6），∴B点为（-4，6），C点为（4，6），将（4，6）代入y=ax2得：a=38.五、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾二次函数y=ax2(a＞0)图象的画法及其性质.2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?请与同伴交流.1.教材P7第1、2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课是从学生画y=x2的图象，从而掌握二次函数y=ax2(a＞0)图象的画法，再由图象观察、探究二次函数y=ax2(a＞0)的性质，培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力.。

《函数的概念》教学设计人教版《普通高中课程标准实验教科书数学Ⅰ必修本（A 版）》第一章概述：《函数的概念》的教学需要两课时，本节课是第一课时，是一节函数的概念课.如何上好一节概念课，概念不是由老师讲出，而是让学生去发现，并归纳概括出概念呢？从而让学生更好的理解概念，熟练的去应用概念解决问题.在本节课的教学中，我以学生作为活动的主体，创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，大胆探索，从而去发现问题、提出问题和解决问题.注重培养他们的观察、分析和解决问题的能力，培养他们的逻辑思维能力及抽象概括能力.运用新课标的理念，我从以下几个方面加以说明：教材内容分析、教学目标分析、教法学法分析、教学过程分析、教学评价分析【教材内容分析】1.教材的地位及作用函数的概念是人教版数学必修①第一章第二节的内容，它不仅对前面研究的集合作了巩固和发展，而且是学好后继知识的基础和工具．本节的主要内容就是函数的概念和函数的三个要素，研究了本小节后，为以后研究其他类型的函数打下扎实的基础。

由于函数反映出的数学思想渗透到数学的各个领域并且它在物理﹑化学及生物等其他领域也有广泛的应用．因此，函数概念是中学数学最重要的基本概念之一。

2.学情分析在学生研究用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经会把函数看成变量之间的依赖关系，且比较惯的用解析式表示函数，但这是对函数很不全面的认识。

由于函数的概念比较抽象，学生思维不成熟、不严密，故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，培养他们的逻辑思维能力。

【教学目标分析】根据上述教材内容分析，并结合学生的研究心理和认知结构，我将教学目标分成三部分进行说明：知识与技能：1、从集合与对应的观点动身，加深对函数观点的理解2、理解函数的三要素：定义域、值域和对应法则3、理解函数符号的含义。

过程与方法：在丰富的实例中，通过关键词的强调和引导，使学生发现、概括出它们的共同特征，在此基础上再用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。

一次函数的图象教学设计（第一课时）一、教学设计思想本节课共两课时，第1课时本节交代了函数图象的概念和作图的一般步骤，目的是为后继学习反比例函数、二次函数的图像作必要的知识准备。

根据教学目标，结合学生心理特点，这节课采用在教师引导下，学生主动探索发现的教学方法.即教师创设问题情景，引导学生观察、比较、自学、思考并展开讨论，使学生作为学习主体参与知识发生、发展的全过程，体验揭示规律，发现真理的乐趣，从而产生巨大的内驱力，提高课堂教学效率，充分发挥教师主导作用和学生的主体作用.二、教学目标知识与技能1．总结作一次函数图像的一般步骤，能熟练作出一次函数图像．2．总结归纳出一次函数的性质———k>0或k<0时图像变化的情况．过程与方法经历作图过程，归纳总结作作函数图像的一般步骤，发展总结概括能力，培养数形结合的意识．情感态度与价值观加强新旧知识的联系，促进新的认知结构的建构．三、教学重点1．能熟练地作出一次函数的图象．2．归纳作函数图象的一般步骤．3．理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系．四、教学难点理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系．五、教学方法讲、议结合法．六、教具准备投影片两张：第一张：补充练习（§6．3．1 A ）；第二张：补充练习（§6．3．1 B）．七、教学过程Ⅰ．导入新课［师］上节课我们学习了一次函数及正比例函数的概念，正比例函数与一次函数的关系，并能根据已知信息列出x 与y 的函数关系式，本节课我们来研究一下一次函数的图象及性质．Ⅱ．讲授新课 一、函数图象的概念［师］要研究一次函数的图象，首先应知道什么叫图象？把一个函数的自变量x 与对应的因变量y 的值作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象（graph ）． 假设在代数表达式y =2x 中，自变量x 取1时，对应的因变量y =2，则我们可在直角坐标系内或描出表示（1，2）的点，再给x 的另一个值，对应又一个y ，又可知直角坐标系内描出一个点，所有这些点组成的图形叫该函数y =2x 的图象．由此看来，函数图象是满足函数表达式的所有点的集合．那么应如何作函数的图象呢？ 二、作一次函数的图象 ［例1］作出一次函数y =21x +1的图象． ［师］根据图象的定义，需要先找点．所以要先列表，找满足条件的点，再描点，连线． 解：列表描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点． 连线：把这些点依次连接起来，得到y =21x +1的图象如下，它是一条直线．［师］从刚才我们作图的情况来总结一下，作一次函数的图象有哪些步骤呢？［生］①列表；②描点；③连线．三、做一做（1）作出一次函数y=－2x+5的图象．（2）在所作的图象上取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否满足关系式y=－2x+5．［生］列表描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点．连线：把这些点依次连接起来，得到y=－2x+5的图象，它是一条直线．图象如下：在图象上找点A（3，－1），B（4，－3）当x=3时，y=－2×3+5=－1．当x=4时，y=－2×4+5=－3．∴（3，－1），（4，－3）满足关系式y=－2x+5．四、议一议（1）满足关系式y=－2x+5的x、y所对应的点（x，y）都在一次函数y=－2x+5的图象上吗？（2）一次函数y=－2x+5的图象上的点（x，y）都满足关系式y=－2x+5吗？（3）一次函数y=kx+b的图象有什么特点？［师］请大家分组讨论，然后回答．［生］满足关系式y=－2x+5的x，y所对应的点（x，y）都在一次函数y=－2x+5的图象上．（2）一次函数y =－2x +5的图象上的点（x ，y ）都满足关系式y =－2x +5．［师］由此看来，满足函数关系式y =－2x +5的x ，y 所对应的点（x ，y ）都在一次函数y = －2x +5的图象上；反过来，一次函数y =－2x +5的图象上的点（x ，y ）都满足关系式y =－2x +5．所以，一次函数的代数表达式与图象是一一对应的．即满足一次函数的代数表达式的点在图象上，图象上的每一点的横坐标x ，纵坐标y 都满足一次函数的代数表达式．（3）［生］一次函数的图象是一条直线． ［师］非常正确．一次函数的图象是一条直线．由直线的公理可知：两点确定一条直线，所以作一次函数的图象时，只要确定两个点，再过这两个点作直线就可以了，一次函数y =kx +b 的图象也称为直线y =kx +b ．Ⅲ．课堂练习 分别作出一次函数y =31x 与y =－3x +9的图象． ［师］根据刚才的讨论可知，我们在画一次函数的图象时，只要确定两个点就可以了． ［生］作函数y =31x 的图象时，找点（3，1），（6，2）图象如下．作函数y =－3x +9的图象时，找点（1，6），（2，3） 图象如下：补充练习投影片（§6．3．1A ）［生］（1）作一次函数y =－x +21的图象时，取点（0， 21）和（1，－21），然后过这两点作直线即可．图象如下：（2）在图象上取点A （23，－1），B （－1，23） 当x =23时，y =－23+ 21=－1 当x =－1时，y =1+21=23∴A 、B 两点的坐标都满足关系式y =－x +21． 投影片（§6．3．1 B ）［生］解：（1）作一次函数y =4x +3的图象时，找点（0，3），（1，7），然后过这两点作直线即可．图象如下：（2）当x =0时，y =4×0+3=3; 当x =－1时，y =4×（－1）+3=－1; 当x =21时，y =4×21+3=5; 当x =1时，y =4×1+3=7; 当x =－23时，y =4×（－23）+3=－3． ∴每对数都满足关系式y =4x +3．由前面的议一议可知，以这些数对为坐标的点在所作的函数图象上． Ⅳ．课时小结本节课主要学习了以下内容： 1．函数图象的概念；2．作一次函数图象的步骤以及熟练地作出一次函数的图象，并能验证某些数对是否在函数图象上．3．明确一次函数的图象是一条直线，因此在作一次函数的图象时，不需要列表，只要确定两点就可以了．Ⅴ．课后作业 习题6．3 Ⅵ．活动与探究1．已知函数y =（m －2）x 552+-m m+m －4，问当m 为何值时，它是一次函数？解：根据一次函数的定义，有⎩⎨⎧≠-=+-021552m m m解得⎩⎨⎧≠==241m m m 或∴m =1或m =42．如果y +3与x +2成正比例，且x =3时，y =7． ①写出y 与x 之间的函数关系式； ②求当x =－1时，y 的值； ③求当y =0时，x 的值．分析：①y +3与x +2成正比例，就是y +3=k ·（x +2），根据x =3时，y =7，求k 的值，从而确定y 与x 之间的函数关系式．②把x =－1代入所求函数关系式，求出y 的值． ③把y =0代入函数关系式，求出x 的值． 解：①∵y +3与x +2成正比例 ∴y +3=k （x +2）把x =3，y =7代入得：7+3=k （3+2） ∴k =2，∴y =2x +1②把x =－1代入y =2x +1中，得y =－2+1=－1③把y =0代入y =2x +1中，得 0=2x +1，∴x =－21． 说明：若y 与x 成一次函数关系式，那么函数关系式要写成y =kx +b （k ≠0）的形式． 3．如果y =mx 82-m是正比例函数，而且对于它的每一组非零的对应值（x ，y ）有xy ＜0，求m 的值．分析：按正比例函数y =kx （k ≠0）中对于k 及x 的指数的要求决定m 的值． 解：根据题意得，y =mx 82-m 是正比例函数，故有：m 2－8=1且m ≠0即m =3或m =－3又∵xy ＜0，∴x ，y 是异号．∴m =xy＜0 ∴m =3不合题意，舍去． ∴m =－3．常见错误：忽略m ≠0的要求，在解题过程不写这一条件． 4．已知y +b 与x +a （a ，b 是常数）成正比例． 求证：y 是x 的一次函数．分析：由y +b 与x +a 成正比例，设立解析式，分析此解析式为x 的一次函数． 解：∵y +b 与x +a 成正比例 ∴可设y +b =k （x +a ）（k ≠0） 整理，得y =kx +ka －b =kx +（ka －b ） ∵k ，a ，b 都是常数． ∴ka －b 也是常数． 又∵k ≠0∴y 是x 的一次函数．常见错误：整理得到y =kx +ka －b 时不会把ka －b 看作一个整式．说明：在叙述函数的，一定要说清楚谁是谁的什么名称函数，否则容易发生混淆现象．如本题中，y +b 是x +a 的正比例这个说法是正确的，同时，y 是x 的一次函数的说法也是正确的．八、板书设计。

《函数的概念及其表示（第一课时）》教学设计1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，教学重点：体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念．教学难点：函数概念及符号“y＝f(x)，x∈A”的理解．PPT课件．一、整体概览问题1：阅读课本第60页，回答下列问题：（1）本章将要研究哪类问题？（2）本章要研究的对象在高中的地位是怎样的？（3）本章研究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结章引言的内容．预设的答案：（1）本章将要研究函数的概念、性质及其应用；（2）函数是高中数学的核心内容，也是学习其他学科的重要基础；（3）起点是函数的概念，目标是通过研究函数的性质把握客观世界中各种各样的运动变化规律．设计意图：通过章引言的学习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．二、问题导入问题2：在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具．例如，正方形的周长l与边长x的对应关系是l＝4x．（1）l是x的函数吗？（2）这个函数与正比例函数y＝4x是同一个函数吗？师生活动：学生先回忆初中所学的函数概念，分析：在这个变化过程中，有两个变量x 与l，并且对于x的每一个确定的值，l都有唯一确定的值与其对应，那么l是x的函数．预设的答案：问题（1）的答案是肯定的．问题（2）的争议较大，答案悬而未决．设计意图：用学生熟悉的例子导入，唤醒学生已有的知识经验—基于变量关系的函数定义，但是用初中的定义又不能清晰地解决问题（2），制造一种熟悉又陌生的感觉，激起学生的疑惑，激发学生的兴趣．引语：要解决这个问题，就需要进一步学习函数概念．（板书：函数的概念）三、新知探究1．分析实际问题，感知函数的共同特征，逐步发现构成函数的要素问题3：阅读材料，回答问题：某“复兴号”高速列车加速到350 km/h后保持匀速运行半小时．这段时间内，列车行进的路程S（单位：h）的关系可以表示为S＝350t．（1）S＝350t是函数吗？为什么？（2）有人说：“根据对应关系S＝350t，这趟列车加速到350 km/h后，运行1 h就前进了350 km．”你认为这个说法正确吗？师生活动：问题（1），学生判断并说明理由，因为t和S是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是t的函数；问题（2），学生可能会出错，老师应该引导学生关注时间t的变化范围．追问1：能否根据现有条件回答“24h时对应的距离是多少？”为什么？（不能，因为半小时之后列车的运行状况未知．）追问2：这个说法犯了什么错误？（忽略了时间t的变化范围．）追问3：你认为如何描述才能准确反映实际问题？（在S＝350t的基础上，给时间t备注上范围．）教师点拨：学生的回答可能不够严谨，老师用精确的语言描述问题2中S与t的对应关系．为学生做示范：列车行进的路程S与运行时间t的对应关系是S＝350t．①其中，t的变化范围是数集A1＝{t|0≤t≤0.5}，S的变化范围是数集B1＝{S|0≤S≤175}．对于数集A1中的任一时刻t，按照对应关系①，在数集B1中都有唯一确定的路程S 和它对应．设计意图：通过创设问题情境，让学生意识到除了关注对应关系之外，还必须明确自变量的取值范围也是函数的一个重要构成要素，提升了对函数概念的认识．问题4：阅读材料，回答问题：某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天．如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资．（1）你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？（2）问题3与问题4中函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？（3）请同学们模仿问题3给出的精确描述，准确地反映实际问题．师生活动：（1）学生直接回答：w＝350d，w是工作天数d的函数．（2）学生判断并说明理由．不是同一个函数．因为在函数S＝350t中，0≤t≤0.5；在函数w＝350d中，d∈{1，2，3，4，5，6}，虽然两个函数的对应关系相同，但是自变量的取值范围不同．（3）学生描述：工资w与一周工作天数d的对应关系：w＝350d．②其中，d的变化范围是数集A2＝{1，2，3，4，5，6}，w的变化范围是数集B2＝{350，700，1050，1400，1750，2100}．对于数集A2中的任一个工作天数d，按照对应关系②，在数集B2中都有唯一确定的工资w与它对应．设计意图：问题4与问题3的解析式相同但是定义域不同，是离散型函数．让学生模仿问题3给出描述，并且对两者进行比较，使学生进一步体会关注自变量的取值范围的重要性．问题5：阅读材料，回答问题：图1图1是北京市2016年11月23日空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）变化图．（1）I是t的函数吗？为什么？（2）模仿前两个问题，用精确的集合语言和对应关系描述这个实际问题．师生活动：学生独立完成有困难，教师通过追问帮助学生思考．追问1：①通过图形能确定唯一的I与之对应，怎么找？（在横轴上，过t0作垂线交曲线与点（t0，I0），I0就是与t0对应的值．）②从所给的图中确定11月24日12：00的AQI的值吗？为什么？（不能，因为时间不在图象覆盖的范围内．）预设的答案：从图1中的曲线可知，t的变化范围是数集A3＝{t|0≤t≤24}，AQI的值都在数集B3＝{I|0＜I＜150}．对于数集A3中的任一时刻t，按照图1中曲线所给的对应关系，在数集B3中都有唯一确定的AQI的值I与之对应．因此，这里的I是t的函数．设计意图：问题5是用图象表示的函数关系，通过这个例子强化学生对图象类型的对应关系的认识，并认识到不是所有的函数都能用解析式表示，为引入抽象符号表示函数做铺垫．问题6：阅读材料，回答问题：表 1 我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况设计意图：用新的方式阐述熟悉的函数，使学生熟悉新的语言，进一步体会集合—对应说函数定义的精确性和普适性．例1函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律．例如，正比例函数y＝kx（k ≠0）可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等．试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝x（10－x）来描述．师生活动：先让学生思考，展示其想到的不同情境．预设的答案：把y＝x（10－x）看成二次函数，那么它的定义域是R，值域是B＝{y|y≤25}．对应关系f把R中的任意一个数x，对应到B中唯一的数x（10－x）．如果对x的取值范围作出限制，例如x∈{x|0＜x＜10}，那么可以构建如下情境：长方形的周长为20，设其一边长为x，面积为y，那么y＝x（10－x）．其中，x的取值范围是A＝{x|0＜x＜10}，y的取值范围是B＝{y|0＜y≤25}．对应关系f把每一个长方形的周长x，对应到唯一确定的面积x（10－x）．设计意图：一个解析式对应多种问题情境，让学生感受函数能解决一类问题的作用，让学生感受函数是刻画客观世界变化规律的重要数学模型．四、归纳小结，布置作业问题8：本节课我们主要学习了函数的概念，为什么要重新学习函数的概念？用“集合—对应说”下的函数概念分析一个函数要关注哪几个要素？这些要素的特点是什么？与初中的函数概念相比，要特别注意哪个要素？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充．预设的答案：初中所学的函数概念主要关注的是变量之间的依赖关系，对自变量的变化范围缺乏约束，在应用中容易产生误判．采用“集合—对应说”之后，同时关注函数的定义域、对应关系和值域．其中对应关系是核心，有如下特征：对于定义域中任意实数在值域中都能找到唯一的实数与之对应．但对应关系的形式多样，除了解析式，还可以是图象，表格，文字语言等．与初中的函数概念相比，要特别注意定义域必须符合题目要求．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确“集合—对应说”的意义，更加深刻地认识到函数的内涵．作业布置：教科书习题3.1第1，3题．五、目标检测设计1．一枚炮弹发射后，经过26 s落到底面击中目标．炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）的关系为：h＝130t－5t2．①求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述．设计意图：考查函数的概念．2．2016年11月2日8时至次日8时（次日的时间前加0表示）北京的温度走势如图2所示．图2（1）函数的对应关系为图中曲线，求该函数的定义域与值域；（2）根据图象，求这一天12时所对应的温度．设计意图：考查对应关系是图象的函数的要素以及图象与解析式的互相转化．3．集合A，B与对应关系f如下图3所示：图3f：A→B是否为从集合A到集合B的函数？如果是，那么定义域、值域与对应关系各是什么？设计意图：考查对应关系是venn图的函数的要素，让学生明确函数的对应关系的多样性．4．构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式y＝x来描述．设计意图：考查用函数解决实际问题的能力．参考答案：1．定义域为A＝{t|0≤t≤26}，值域为B＝{h|0≤h≤845}．对应关系h＝130t－5t2把集合A中的任意一个数t，对应到集合B中唯一确定的数130t－5t2．2．（1）如果记2016年11月2日8时为0，依次下去，11月3日8时为24时，那么函数的定义域为A＝{t|0≤t≤24}，值域为B＝{S|2≤S≤12}．（2）约9.33 ℃．3．是函数，定义域为{1，2，3，4，5}，值域为{2，3，4，5}，对应关系f为问题中给出的图．4．那么可以构建如下情境：例如设正方形的面积为x，边长为y，那么y＝x．其中，x的取值范围是A＝{x|0＜x≤25}，y的取值范围是B＝{y|0＜y≤5}．对应关系f把每一个正方形的面积x，对应到唯一确定的边长y．。

学科教师辅导讲义定义域：z k k x R x ∈≠∈,π且值域：R ，当z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈2,πππ时0>y ，当z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈πππ,2时0<y 周期：π=T奇偶性：奇函数单调性：在区间()()ππ1,+k k 上函数单调递减【典型例题分析】例1、比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫ ⎝⎛-517tan π的大小 解：tan 413tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πΘ4π，52tan 517tan ππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-， 又：⎪⎭⎫ ⎝⎛=<<2,0tan ,5240πππ在x y 内单调递增， ⎪⎭⎫ ⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan4tan 即 变式练习：不通过求值，比较tan135°与tan138°的大小解：∵90°＜135°＜138°＜270°又∵y ＝tan x 在x ∈(90°，270°)上是增函数∴tan135°＜tan138°例2、求函数tan(3)3y x π=-的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。

解析：令33t x π=-，则由,2t k ππ≠+得5()318k x k Z ππ≠+∈，4、函数y ＝sin x ＋tan x ，x ∈［－4π，4π］的值域为 5、函数y ＝cot x －tan x 的周期为6、函数y ＝xx 22tan 1tan 1+-的周期为 7、作出函数y ＝｜tan x ｜的图象，并观察函数的最小正周期和单调区间8、试证cot x ＝－tan （2π＋x ），并指出通过怎样的图象变换可由y ＝tan x 的图象得到y ＝cot x 的图象9、作出函数y ＝xx 2tan 1tan 2-的图象，并观察函数的周期参考答案： 1C 2B 3C 4［－122,122+-］ 5 2π 6π 7函数y ＝｜tan x ｜的图象如下图：函数y ＝｜tan x ｜的周期为π单调递增区间为［k π，2π＋k π］，k ∈Z 单调递减区间为(－2π＋k π，k π］，k ∈Z8(略)9函数y ＝xx 2tan 1tan 2-的图象如下图： 周期为π【课堂总结】本节课我们研究了正切函数和余切函数的图象和性质，并能在解题中应用【课后练习】1、正切函数在其定义域上有最值吗?答：没有，因为正切函数的值域为R 且不等于k π＋2π (k ∈Z )．2、在下列函数中，同时满足的是( )①在(0，2π)上递增；②以2π为周期；③是奇函数 A y ＝tan x B y ＝cos xC y ＝tan 21x D y ＝－tan x 答案：C3、函数y ＝tan(2x ＋4π)的图象被平行直线)(82Z ∈+=k k x ππ隔开，与x 轴交点的坐标是))(0,82(Z ∈-k k ππ与y 轴交点的坐标是(0，1)，周期是2π，定义域的集合是},82|{Z R ∈+≠∈k k x x x ππ且，值域的集合是R ，它是非奇非偶函数4、函数y ＝x sin -＋x tan 的定义域是( )A (2k ＋1)π≤x ≤(2k ＋1)π＋2π，k ∈Z B (2k ＋1)π＜x ＜(2k ＋1)π＋2π，k ∈Z C (2k ＋1)π≤x ＜(2k ＋1)π＋2π，k ∈Z D (2k ＋1)π＜x ＜(2k ＋1)π＋2π或x ＝k π，k ∈Z 解：由⎩⎨⎧≥≤0tan 0sin x x ，得(2k ＋1)π≤x ＜(2k ＋1)π＋2π 答案：C5、已知y ＝tan 2x －2tan x ＋3，求它的最小值解：y ＝(tan x －1)2＋2,当tan x ＝1时，y min ＝2。

《函数的概念及其表示》教案第一课时： 1.2.1 函数的概念（一）教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。

教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

教学过程：一、复习准备：1. 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2 .回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法.二、讲授新课：1.教学函数模型思想及函数概念：①给出三个实例：A .一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h （米）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-.B .近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.（见书P16页图）C .国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。

“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. （见书P17页表）②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：:f A B →③定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈.其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.④讨论：值域与B 的关系？构成函数的三要素？一次函数(0)y ax b a =+≠、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的定义域与值域？ ⑤练习：2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。

教案：函数的图像教学目标：1. 理解函数的概念，掌握函数的表示方法。

2. 学会绘制简单的函数图像，并能分析图像的性质。

3. 能够运用函数图像解决实际问题。

教学重点：1. 函数的概念和表示方法。

2. 函数图像的绘制和分析。

教学难点：1. 函数图像的绘制和分析。

教学准备：1. 教学课件或黑板。

2. 函数图像的示例。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入函数的概念，引导学生思考生活中的函数例子，如温度随时间的变化等。

2. 介绍函数的表示方法，如函数表格、解析式等。

二、新课（20分钟）1. 讲解函数图像的概念，引导学生理解函数图像是对函数值与自变量之间关系的直观表示。

2. 演示如何绘制一些简单的函数图像，如线性函数、二次函数等。

3. 引导学生通过观察函数图像，分析函数的性质，如单调性、奇偶性等。

三、练习（15分钟）1. 让学生独立完成一些函数图像的绘制，并分析其性质。

2. 引导学生运用函数图像解决实际问题，如找出函数的零点、最大值等。

四、总结（5分钟）1. 回顾本节课所学的内容，让学生总结函数图像的概念和性质。

2. 强调函数图像在实际问题中的应用价值。

教学延伸：1. 引导学生进一步学习复杂函数的图像，如三角函数、指数函数等。

2. 让学生尝试运用计算机软件绘制函数图像，提高作图能力。

教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生掌握了函数的概念和表示方法，学会了绘制和分析函数图像。

在教学过程中，要注意引导学生观察和思考函数图像的性质，培养学生的空间想象能力。

同时，结合实际问题，让学生体验函数图像在解决问题中的作用，提高学生的数学应用能力。