2021年秋九年级数学上册人教版习题课件：第二十四章检测卷

单元卷圆提高卷一、单选题（共12小题）1.Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，内切圆半径为1，则三角形的周长为（）A．12B．13C．14D．15【解答】解：如图，设内切圆⊙O与△ABC三边的切点分别为D、E、F，连接OE、OF，∵∠C＝90°，∴四边形OECF是正方形，∴CE＝CF＝1，由切线长定理得，AD＝AF，BD＝BE，∴AF+BE＝AD+BD＝AB＝5，∴三角形的周长＝5+5+1+1＝12．故选：A．【知识点】三角形的内切圆与内心2.一根水平放置的圆柱形输水管横截面如图所示，其中有水部分水面宽8米，最深处水深2米，则此输水管道的半径是（）A．8米B．6米C．5米D．4米【解答】解：连接OA，作OC⊥AB交AB于C，交圆于D，由题意得，AB＝8，CD＝2，∵OC⊥AB，∴AC＝AB＝4，设圆的半径为r，则OC＝r﹣2，由勾股定理得，OA2＝OC2+AC2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得，r＝5，即此输水管道的半径是5米，故选：C．【知识点】垂径定理的应用3.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE＝85°，∠F＝28°，则∠E的度数为（）A．38°B．48°C．58°D．68°【解答】解：∠B＝∠DCE﹣∠F＝57°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠EDC＝∠B＝57°，∴∠E＝180°﹣∠DCE﹣∠EDC＝38°，故选：A．【知识点】圆内接四边形的性质、圆周角定理4.如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6，将扇形OAB沿过点A的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点O'处，折痕交OB于点C，则弧O'B的长是（）A．πB．πC．2πD．3π【解答】解：连接OO′，∴OO′＝OA，∵将扇形OAB沿过点A的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点O'处，∴OA＝O′A，∴△AOO′是等边三角形，∴∠AOO′＝60°，∵∠AOB＝90°，∴∠BOO′＝30°，∴的长＝＝π，故选：B．【知识点】翻折变换（折叠问题）、圆周角定理、弧长的计算、垂径定理5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则OD的长是（）A．B．2C．3D．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，设⊙O与△ABC的三边的切点为E、F、G，连接OE、OF、OG，得正方形CGOF设OF＝OE＝OG＝CG＝CF＝x，则AG＝AE＝6﹣x，BE＝BF＝8﹣x，∴6﹣x+8﹣x＝10，解得x＝2，∴AE＝6﹣x＝4，∵点D是斜边AB的中点，∴AD＝5，∴DE＝AD﹣AE＝1，在Rt△ODE中，根据勾股定理，得OD＝＝＝．故选：A．【知识点】三角形的内切圆与内心、直角三角形斜边上的中线6.如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°至矩形AEFG，点D的旋转路径为，若AB＝2，BC＝4，则阴影部分的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设与EF交于H，连接AH，∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，∴AH＝AD＝BC＝4，∴∠AHE＝∠GAH＝30°，∵AE＝AB＝2，∴HE＝2，∴阴影部分的面积＝S扇形AHG+S△AHE＝+×2×2＝+2，故选：D．【知识点】扇形面积的计算、矩形的性质、旋转的性质7.如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（）A．10B．13C．15D．16【解答】解：如图，连接OF．∵DE⊥AB，∴DE＝EF，＝，∵点D是弧AC的中点，∴＝，∴＝，∴AC＝DF＝12，∴EF＝DF＝6，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，则有x2＝62+（x﹣3）2，解得x＝，∴AB＝2x＝15，故选：C．【知识点】勾股定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系8.如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PBC＝∠PCA，则线段AP长的最小值为（）A．0.5B．﹣1C．2﹣D．【解答】解：∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°，即∠PCB+∠PCA＝45°，∵∠PBC＝∠PCA，∴∠PBC+∠PCB＝45°，∴∠BPC＝135°，∴点P在以BC为弦的⊙O上，如图，连接OA交于P′，作所对的圆周角∠BQC，则∠BCQ＝180°﹣∠BPC＝45°，∴∠BOC＝2∠BQC＝90°，∴△OBC为等腰直角三角形，∴四边形ABOC为正方形，∴OA＝BC＝2，∴OB＝BC＝，∵AP≥OA﹣OP（当且仅当A、P、O共线时取等号，即P点在P′位置），∴AP的最小值为2﹣．故选：C．【知识点】旋转的性质、勾股定理、三角形三边关系、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、圆周角定理9.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，点P为矩形内一动点，且满足∠PBC＝∠PCD，则线段PD的最小值为（）A．5B．1C．2D．3【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD＝90°，∵∠PBC＝∠PCD，∴∠PBC+∠PCB＝90°，∴∠BPC＝90°，∴点P在以BC为直径的⊙O上，连接OD交⊙O于P′，连接OP、PD，如图，∵PD≥OD﹣OP（当且仅当O、P、D共线时，取等号），即P点运动到P′位置时，PD的值最小，最小值为DP′，在Rt△OCD中，OC＝BC＝4，CD＝AB＝3，∴OD＝＝5，∴DP′＝OD﹣OP′＝5﹣4＝1，∴线段PD的最小值为1．故选：B．【知识点】矩形的性质、圆周角定理10.如图，在平面直角坐标系中，⊙P与y轴相切，直线y＝x被⊙P截得的弦AB长为，若点P的坐标为（4，p），则p的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，作PF⊥x轴于F，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，∵⊙P与y轴相切于点C，⊙P的半径是4，∴OF＝4，把x＝4代入y＝x得y＝4，∴D点坐标为（4，4），∴DF＝4，∴△ODF为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝×4＝2，在Rt△PBE中，PB＝4，∴PE＝＝2，∴PD＝PE＝2，∴PF＝PD+DF＝4+2，∴p＝4+2，故选：B．【知识点】切线的性质、一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质、垂径定理11.如图1、2、3中，点E、D分别是正△ABC、正方形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE＝CD，DB交AE于P点，∠APD的度数分别为60°，90°，108°．若其余条件不变，在正九边形ABCFGHIMN中，∠APD的度数是（）A．120°B．135°C．140°D．144°【解答】解：正△ABC时，∠APD＝∠ABC＝＝60°，正方形ABCM时，∠APD＝∠ABC＝＝90°，正五边形时，∠APD＝∠ABC＝＝108°，正六边形时，∠APD＝∠ABC＝＝120°，依此类推得出正n边形时，∠APD＝∠ABC＝．当n＝9时，∠APD＝∠ABC＝＝140°，故选：C．【知识点】正多边形和圆、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质12.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，点P是AB边上的一个动点，以BP为直径的圆交CP于点Q，若线段AQ长度的最小值是4，则△ABC的面积为（）A．32B．36C．40D．48【解答】解：如图，取BC的中点T，连接AT，QT．∵PB是⊙O的直径，∴∠PQB＝∠CQB＝90°，∴QT＝BC＝定值，AT是定值，∵AQ≥AT﹣TQ，∴当A，Q，T共线时，AQ的值最小，设BT＝TQ＝x，在Rt△ABT中，则有（4+x）2＝x2+82，解得x＝6，∴BC＝2x＝12，∴S△ABC＝•AB•BC＝×8×12＝48，故选：D．【知识点】圆周角定理、勾股定理二、填空题（共4小题）13.如图，⊙O的半径为2，AB是⊙O的切线，A为切点．若半径OC∥AB，则阴影部分的面积为．【解答】解：∵AB是⊙O的切线，∴OA⊥AB，∵OC∥AB，∴OA⊥OC，即∠AOC＝90°，∴阴影部分的面积＝＝3π，故答案为：3π．【知识点】扇形面积的计算、切线的性质14.如图，已知圆锥的母线长为2，高所在直线与母线的夹角为30°，则圆锥的全面积．【解答】解：∵AO⊥BC，∠BAO＝30°，∴OB＝AB＝1，∴圆锥的侧面积＝×2π×1×2＝2π，底面积为π，∴全面积为3π．故答案为：3π．【知识点】圆锥的计算15.如图，正方形ABCD边长为4，点O为对角线BD上一点，以点O为圆心，BO长为半径的圆与AD相切于F，则⊙O的半径为﹣．【解答】解：连接OF，设⊙O的半径为R，∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝90°，∠ADB＝45°，∴DF＝OF＝R，BD＝＝＝4，∵AD为⊙O的切线，∴OF⊥AD，∴OD＝＝R，则R+R＝4，解得，R＝8﹣4，故答案为：8﹣4．【知识点】切线的性质、正方形的性质16.在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（0，2）、（4，0），点E是△ABC的外接圆上一点，BE交线段AC于点D，若∠DBC＝45°，则点D的坐标为．【解答】解：连接CE，过E作EF⊥AC于F，∵点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（0，2）、（4，0），∴OA＝OB＝2，OC＝4，∴△OBA是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，∴∠BEC＝∠BAC＝45°，∵∠DBC＝45°，∴∠BCE＝90°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴BC＝CE，∵∠CBO+∠BCO＝∠BOC+∠ECF＝90°，∴∠OBC＝∠FCE，在△OBC与△FCE中，，∴△OBC≌△FCE（AAS），∴CF＝OB＝2，EF＝OC＝4，∴OF＝2，∴E（2，﹣4），设直线BE的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴直线BE的解析式为y＝﹣3x+2，当y＝0时，x＝，∴D（，0），故答案为：（，0）．【知识点】坐标与图形性质、三角形的外接圆与外心三、解答题（共6小题）17.如图，AB为⊙O的直径，弦AC的长为8cm．（1）尺规作图：过圆心O作弦AC的垂线DE，交弦AC于点D，交优弧于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）若DE的长为8cm，求直径AB的长．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵DE⊥AC，∴AD＝CD＝4cm，∵AO2＝DO2+AD2，∴AO2＝（DE﹣AO）2+16，∴AO＝5，∴AB＝2AO＝10cm．【知识点】圆周角定理、作图—复杂作图18.如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的点，且0D⊥AC于点E，连接BE，BC，若AC＝8，DE＝2．（1）求半圆的半径长；（2）求BE的长．【解答】解：（1）∵OD⊥AC于点E且AC＝8，∴，设半径为r，则OE＝r﹣2在Rt△AOE中有r2＝42+（r﹣2）2解得：r＝5即半圆O的半径为5；（2）∵AB为半圆O的直径，∴∠C＝90°，AB＝10，则在Rt△BCE中有BE＝＝＝2．【知识点】圆周角定理19.如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12．（1）求BF的长；（2）求⊙O的半径r．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，∴AC＝＝＝5，∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴BD＝BF，AD＝AE，CF＝CE，设BF＝BD＝x，则AD＝AE＝13﹣x，CFCE＝12﹣x，∵AE+EC＝5，∴13﹣x+12﹣x＝5，∴x＝10，∴BF＝10．（2）连接OE，OF，∵OE⊥AC，OF⊥BC，∴∠OEC＝∠C＝∠OFC＝90°，∴四边形OECF是矩形，∴OE＝CF＝BC﹣BF＝12﹣10＝2．即r＝2．【知识点】切线的性质、三角形的内切圆与内心、勾股定理20.如图，已知AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，过点B作BC⊥PO于点D，交⊙O于点C，连接AC、PC（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠BPC＝60°，PB＝3，求阴影部分面积．【解答】（1）证明：连接OC，如图：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，∴AB⊥PB，∠PBO＝∠OBC+∠PBC＝90°，∵BC⊥PO，∴BD＝CD，∴PO是BC的垂直平分线，∴PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB，∴∠OCB+∠PCB＝∠OBC+∠PBC＝90°，即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；（2）解：由（1）知，PB、PC为⊙O的切线，∴PB＝PC，∵∠BPC＝60°，PB＝3，∴△PBC是等边三角形，∴BC＝PB＝3，∠PBC＝60°，∴∠OBC＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝OC＝OB＝PB＝，∴扇形OAC的面积＝＝，△OAC的面积＝×（）2＝，∴阴影部分面积＝﹣．【知识点】圆周角定理、扇形面积的计算、含30度角的直角三角形、切线的判定与性质21.如图，在直角坐标系中，以点C（2，0）为圆心，以3为半径的圆分别交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，过点B的直线交x轴负半轴于点D（﹣，0）．（1）求A、B两点的坐标；（2）求证：直线BD是⊙C的切线．【解答】解：（1）∵点C（2，0），圆的半径为3，∴OC＝2，AC＝3，∴OA＝OC+CA＝5，∴A（5，0），连接CB，在Rt△OCB中，∵OB＝＝＝，∴B（0，）；（2）∵点D（﹣，0），∴OD＝．在Rt△DBO中，∵DB2＝BO2+DO2＝5+＝，又∵DC＝DO+OC＝，CB＝3，∴在△DBC中，DB2+CB2＝+9＝＝DC2，∴△DBC是直角三角形，∴BC⊥DB于点B．∵BC是⊙C半径，∴直线BD是⊙C的切线．【知识点】坐标与图形性质、切线的判定22.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠B＝30°，AC＝6，OA＝2，直接写出阴影部分的面积．【解答】解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OD，∵OD＝OA，∴∠A＝∠ODA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠ODA+∠EDB＝90°，∴∠ODE＝180°﹣90°＝90°，即OD⊥DE，又∵OD为⊙O的半径，∴直线DE与⊙O相切；（2）连接OE，∵∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠A＝60°，∴AD＝AO＝DO＝2，∠MOD＝120°，∵AC＝6，∠B＝30°，∴AB＝12，∴BD＝10，∵EF是BD的垂直平分线，∴BF＝DF＝5，∴EF＝，BE＝DE＝，∴CE＝BC﹣BE＝，∴阴影部分的面积＝四边形CEDO﹣扇形DOM的面积＝××4+××2﹣＝．【知识点】扇形面积的计算、直线与圆的位置关系、含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质。

人教版数学九年级上册第25章测试题一、选择题1．在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有（）。

A．16个B．15个C．13个D．12个2．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（）。

A．频率就是概率B．频率与试验次数无关C．概率是随机的，与频率无关D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率3．在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球（）。

A．12个B．16个C．20个D．30个二、填空题4．一个不透明的盒子里装有除颜色外无其他差别的白珠子6颗和黑珠子若干颗，每次随机摸出一颗珠子，放回摇匀后再摸，通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在0.3左右，则盒子中黑珠子可能有颗。

5．在一个不透明的袋子中有10个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球实验后，发现摸到白球的频率约为40%，估计袋中白球有个。

6．在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中有5个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球，以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表：摸球试验次数100100050001000050000100000摸出黑球次数46487250650082499650007根据列表，可以估计出n的值是。

7．某林业部门统计某种幼树在一定条件下的移植成活率，结果如下表所示：移植总数（n）400750150035007000900014000成活数（m）369662133532036335807312628成活的频率0.9230.8830.8900.9150.9050.8970.902根据表中数据，估计这种幼树移植成活率的概率为（精确到0.1）．8．在一个不透明的口袋中，有3个完全相同的小球，他们的标号分别是2，3，4，从袋中随机地摸取一个小球然后放回，再随机的摸取一个小球，则两次摸取的小球标号之和为5的概率是．9．已知a、b可以取﹣2、﹣1、1、2中任意一个值（a≠b），则直线y=ax+b的图象不经过第四象限的概率是．三、解答题10．在一只不透明的袋中，装着标有数字3，4，5，7的质地、大小均相同的小球，小明和小东同时从袋中随机各摸出1个球，并计算这两个球上的数字之和，当和小于9时小明获胜，反之小东获胜．（1）请用树状图或列表的方法，求小明获胜的概率；（2）这个游戏公平吗？请说明理由．11．甲乙两人玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，洗匀后甲从中任意抽取一张，记下数字后放回；又将卡片洗匀，乙也从中任意抽取一张，计算甲乙两人抽得的两个数字之积，如果积为奇数则甲胜，若积为偶数则乙胜．（1）用列表或画树状图等方法，列出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况；（2）请判断该游戏对甲乙双方是否公平？并说明理由．12．现有一个六面分别标有数字1，2，3，4，5，6且质地均匀的正方形骰子，另有三张正面分别标有数字1，2，3的卡片（卡片除数字外，其他都相同），先由小明投骰子一次，记下骰子向上一面出现的数字，然后由小王从三张背面朝上放置在桌面上的卡片中随机抽取一张，记下卡片上的数字．（1）请用列表或画树形图（树状图）的方法，求出骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积为6的概率；（2）小明和小王做游戏，约定游戏规则如下：若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积大于7，则小明赢；若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积小于7，则小王赢，问小明和小王谁赢的可能性更大？请说明理由．13．在一个不透明的袋子中，装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同。

人教版2021年初三上册数学第25章概率初步检测题含答案人教版2021年初三上册数学第25章概率初步检测题含答案第25章单元测试题(时间：120分钟满分：120分)一、多项选择题（每个子题3分，共30分）1.(2021武汉元调)事件①：射击运动员射击一次，命中靶心；事件②：购买一张彩票，没中奖．则(c)a、事件① 是一个不可避免的事件② 这是一个随机事件。

B.活动① 是一个随机事件和事件② 这是不可避免的事情c．事件①和②都是随机事件d．事件①和②都是必然事件2．下列说法正确的是(d)a．“任意画出一个圆，它是中心对称图形”是随机事件b．为了解我省中学生的体能情况，应采用普查的方式c．天气预报明天下雨的概率是99%，说明明天一定会下雨d、随意投掷质地均匀的硬币10次，正面朝上的次数不一定是5次3．一个不透明的布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球，3个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出红球的概率是(c)1223a。

b、公元2355年4．从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个自然数中任取一个，是2的倍数的概率为p1，是3的倍数的概率为p2，则(b)a、 P1＜P2b。

P1＞P2C。

P1=P2D。

无把握5．(株洲中考)三名初三学生坐在仅有的三个座位上，起身后重新就坐，恰好有两名同学没有坐回原座位的概率为(d)1111a。

b、公元9642年6．现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为9的概率是(c)1111a。

b、公元36912年7．已知在一个不透明的口袋中有4个只有颜色不相同的球，其中1个红色球，3个黄色球．从口袋中随机取出一个球(不放回)，接着再取出一个球，则取出的两个都是黄色球的概率为(d)3291a。

b、公元43162年8．某人把50粒黄豆染色后与一袋黄豆充分混匀，接着抓出100粒黄豆，数出其中有10粒黄豆被染色，则这袋黄豆原来有(c)a、 10粒b.160粒c.450粒d.500粒9．如图，小明、小刚利用两个转盘进行游戏；规则为小明将两个转盘各转一次，如配一成紫色(红与蓝)得5分，否则小刚得3分，此规则对小明和小刚(a)a、 B.对小明有利C.对小刚有利D.不可预测10．已知一次函数y＝kx＋b，现分别从装有1，－2两张数字卡片的甲口袋和装有－1，2，3三张数字卡片的乙口袋中随机抽一张，甲口袋的卡片上的数字作k，乙口袋的卡片上的数字作b，则该一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率是(d)1111a。

考点讲义第24章圆知识点1：圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.细节剖析①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等.细节剖析在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）3．两圆的性质(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.4．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 细节剖析(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.知识点2：与圆有关的位置关系1．判定一个点P 是否在⊙O 上 设⊙O 的半径为，OP=，则有点P 在⊙O 外；点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内.细节剖析点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点12n A A A 、、在同一个圆上的方法当时，在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R ，点O 到直线的距离为.(1)直线和⊙O 没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O 有唯一公共点直线和⊙O 相切. (3)直线和⊙O 有两个公共点直线和⊙O 相交.4．切线的判定、性质 (1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5．圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.知识点3：三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.细节剖析(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角. (2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.知识点4：圆中有关计算1．圆中有关计算 圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R 的弧长. 圆心角为，半径为R ，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R ，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R ，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.细节剖析(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S 、扇形半径R 、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.考点1：圆的认识【例题1】（2018秋•南岗区期末）一个压路机的前轮直径是1.7米，如果前轮每分钟转动6周，那么这台压路机10分钟前进( )米． A ．51πB ．102πC ．153πD ．204π【解答】解：前轮的底面圆周长： 1.7 1.7ππ⨯=（米），1.7610102ππ⨯⨯=（米） 故选：B ．【变式1-1】（2019秋•仪征市期末）如图，O 的半径为6，OAB ∆的面积为18，点P 为弦AB 上一动点，当OP 长为整数时，P 点有 个．【解答】解：解法一：过O 作OC AB ⊥于C ，则AC BC =，设OC x =，AC y =，AB 是O 的一条弦，O 的半径为6，12AB ∴，OAB ∆的面积为18，∴223612182x y y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 则18y x=， ∴2218()36x x+=，解得x =或-，4OC ∴=，46OP ∴<，点P 为弦AB 上一动点，当OP 长为整数时，5OP =或6，P 点有4个． 解法二：设AOB ∆中OA 边上的高为h ， 则1182OAh ⨯=，即16182h ⨯=， 6h ∴=， 6OB =，OA OB ∴⊥，即90AOB ∠=︒，AB ∴=OC =同理得：点P 为弦AB 上一动点，当OP 长为整数时，5OP =或6，P 点有4个． 故答案为：4．【变式1-2】（2010秋•灌云县期末）如图，直线AB 经过O 的圆心，与O 相交于点A 、B ，点C 在O 上，且30AOC ∠=︒，点P 是直线AB 上的一个动点（与O 不重合），直线PC 与O 相交于点Q ，问：点P 在直线AB 的什么位置上时，QP QO =？这样的点P 共有几个？并相应地求出OCP ∠的度数．【解答】解：①根据题意，画出图①， 在QOC ∆中，OC OQ =， OQC OCQ ∴∠=∠，在OPQ ∆中，QP QO =， QOP QPO ∴∠=∠，又QPO OCQ AOC ∠=∠+∠，30AOC ∠=︒，180QOP QPO OQC ∠+∠+∠=︒， 3120OCP ∴∠=︒， 40OCP ∴∠=︒．②当P 在线段OA 的延长线上（如图②） OC OQ =，1802QOCOQP ︒-∠∴∠=①，OQ PQ =， 1802OQPOPQ ︒-∠∴∠=②，在OQP ∆中，30180QOC OQP OPQ ︒+∠+∠+∠=︒③， 把①②代入③得20QOC ∠=︒，则80OQP ∠=︒ 100OCP ∴∠=︒；③当P 在线段OA 的反向延长线上（如图③）， OC OQ =， 1802COQOCP OQC ︒-∠∴∠=∠=①，OQ PQ =， 1802OQPP ︒-∠∴∠=②，30AOC ∠=︒，150COQ POQ ∴∠+∠=︒③，P POQ ∠=∠，2P OCP OQC ∠=∠=∠④，①②③④联立得 10P ∠=︒，综上所述，1801501020OCP ∠=︒-︒-︒=︒．考点2：垂径定理【例题2】（2019秋•兴国县期末）如图，O 的弦AB OC ⊥，且2OD DC =，AB =O 的半径为( )A ．1B ．2C ．3D ．9【解答】解：设2OD a =，则CD a =，3OA a =， AB OC ⊥，OC 为半径，12AD BD AB ∴==在Rt ODA ∆中，由勾股定理得：222(3)(2)a a =+， 1a =（负数舍去）， 313OA =⨯=，故选：C ．【变式2-1】（2019秋•玄武区期末）如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点M ，若8CD cm =，2MB cm =，则直径AB 的长为( )A ．9 cmB ．10 cmC ．11 cmD ．12 cm【解答】解：如图，连接OC ．设OA OB OC r ===．AB CD ⊥，142CM MD CD cm ∴===， 在Rt OCM ∆中，222OC CM OM =+，2224(2)r r ∴=+-，解得5r =，210AB OA ∴==，故选：B ．【变式2-2】（2019秋•黄岩区期末）如图，O 的直径CD 长为6，点E 是直径CD 上一点，且1CE =，过点E 作弦AB CD ⊥，则弦AB 长为 ．【解答】解：连接OA ，AB CD ⊥，AE BE ∴=1CE =，3OA OC ==312OE ∴=-=，在Rt AOE ∆中，AE ==AB ∴=故答案为【变式2-3】（2019秋•建水县期末）如图，AB 是O 的直径，BC 是弦，OD BC ⊥于E ，交BC 于D ．若8BC =，2ED =，求O 的半径．【解答】解：连接OC ， AB 是O 的直径，BC 是弦，OD BC ⊥于E ，OD ∴垂直平分BC ，8BC =，2ED =设半径为R ，则4CE =，2OE R =-，222(2)4R R ∴=-+5R ∴=．答：O 的半径是5．考点3：圆心角、弧、弦的关系【例题3】（2019秋•建水县期末）如图，O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120︒，那么圆心O 到弦AB 的距离等于( )A ．1BC ．2D ．【解答】解：如图，圆心角120AOB ∠=︒，OA OB =，OAB ∴∆是等腰三角形，OC AB ⊥，90ACO ∴∠=︒，30A ∠=︒，122OC OA ∴==． 故选：C ．【变式3-1】（2019秋•鄞州区期末）如图，AB 为O 的直径，点D 是弧AC 的中点，过点D 作DE AB ⊥于点E ，延长DE 交O 于点F ，若12AC =，3AE =，则O 的直径长为( )A ．10B ．13C ．15D ．16【解答】解：如图，连接OF ．DE AB ⊥，DE EF ∴=，AD AF =，点D 是弧AC 的中点，∴AD CD =，∴AC DF =，12AC DF ∴==，162EF DF ∴==，设OA OF x ==， 在Rt OEF ∆中，则有2226(3)x x =+-， 解得152x =， 215AB x ∴==，故选：C ．【变式3-2】（2019秋•镇江期末）有一块三角板ABC ，C ∠为直角，30ABC ∠=︒，将它放置在O 中，如图，点A 、B 在圆上，边BC 经过圆心O ，劣弧AB 的度数等于 ︒【解答】解：如图，连接OA ．.OA OB =，30OAB B ∴∠=∠=︒，120AOB ∴∠=︒，∴弧AC 的度数为120︒．故答案为120．【变式3-3】（2017秋•建昌县期末）已知：如图，MN 、PQ 是O 的两条弦，且QN MP =，求证：MN PQ =．【解答】证明：QN MP =，∴QN MP =∴QN NP MP NP +=+，即QP MN =MN PQ ∴=．考点4：圆周角定理【例题4】（2019秋•永吉县期末）如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上的两个点(C ，D 两点分别在直径AB 的两侧），连接BD ，AD ，AC ，CD ．若56BAD ∠=︒，则C ∠的度数为( )A ．56︒B ．55︒C ．35︒D ．34︒ 【解答】解：AB 是直径，90ADB ∴∠=︒，90905634ABD DAB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，34ACD ABD ∴∠=∠=︒，故选：D ．【变式4-1】（2019秋•登封市期末）已知：如图AB 是O 的直径，点C 是圆上一点，连接CA ，CO ，BC ，若28ACO ∠=︒，则(ABC ∠= )A ．56︒B ．72︒C ．28︒D ．62︒【解答】解：OA OC =，28A OCA ∴∠=∠=︒， AB 是直径，90ACB ∴∠=︒，902862ABC ∴∠=︒-︒=︒，故选：D ．【变式4-2】（2019秋•海陵区校级期末）A 、B 为O 上两点，C 为O 上一点（与A 、B 不重合），若100ACB ∠=︒，则AOB ∠的度数为 ︒．【解答】解：如图，在优弧AB 上取一点D ，连接AD ，BD ．180ADB ACB ∠+∠=︒，180********ADB ACB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，2160AOB ADB ∴∠=∠=︒．故答案为160．【变式4-3】（2019秋•伊通县期末）已知：如图，AB 为O 的直径，CE AB ⊥于E ，//BF OC ，连接BC ，CF ．求证：OCF ECB ∠=∠．【解答】证明：延长CE交O于点G．AB为O的直径，CE AB⊥于E，∴=，BC BG∴∠=∠，2GBF OC，//∴∠=∠，1F又G F∠=∠，12∴∠=∠．即OCF ECB∠=∠．考点5：三角形的外接圆与外心【例题5】（2020春•江州区期末）A、B、C分别表示三个村庄，1700AC=BC=米，1500AB=米，800米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在( )A．AB的中点B．BC的中点C．AC的中点D．C∠的平分线与AB的交点【解答】解：1700AB=米，800BC=米，1500AC=米，222BC AC AB∴+=，90C∴∠=︒，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出活动中心P的位置应为斜边AB的中点，故选：A．【变式5-1】（2019秋•西湖区期末）如图，ABC∆是O的内接正三角形，弦EF经过BC边的中点D，且//EF AB，若6AB=，则EF=．【解答】解：ABC∆是O的内接正三角形，弦EF经过BC边的中点D，且//EF AB，6AB=，由相交弦定理可得9ED DF BD DC==，9EG FG AG GC==，132DG AB==，(3)9DE FG∴+=，(3)9FG DE+=，DE FG∴==，EF∴=，故答案为：【变式5-2】（2019秋•鼓楼区期末）如图，在ABC∆中，90BAC∠=︒，点F在BC边上，过A，B，F三点的O交AC于另一点D，作直径AE，连结EF并延长交AC于点G，连结BE，BD，四边形BDGE是平行四边形．（1）求证：AB BF=．（2）当F为BC的中点，且3AC=时，求O的直径长．【解答】解：（1）连接AF，AE是O的直径，AF EG ∴⊥，四边形BDGE 是平行四边形，//BD EG ∴，BD AF ∴⊥，90BAC ∠=︒，BD ∴是O 的直径，BD ∴垂直平分AF ，AB BF ∴=；（2）当F 为BC 的中点，12BF BC ∴=， AB BF =，12AB BC ∴=， 90BAC ∠=︒，30C ∴∠=︒，60ABC ∴∠=︒，AB AC == AB BF =，30ABD ∴∠=︒，2BD ∴=，O ∴的直径长为2．考点6：切线的性质【例题6】（2019秋•涪陵区期末）如图，A ，B ，C 都是O 上的点，OC 与AB 交于点E ，过点B 且与O 相切的直线与AC 的延长线交于点D ．45BAC ∠=︒，75D ∠=︒，则AEC ∠的大小为( )A ．60︒B ．75︒C ．45︒D ．30︒【解答】解：45BAC ∠=︒，75D ∠=︒，180457560ABD ∴∠=︒-︒-︒=︒，连接OB ， BD 是O 的切线，90OBD ∴∠=︒，45BAC ∠=︒，90BOC ∴∠=︒，180BOC OBD ∴∠+∠=︒，//OC BD ∴，60AEC ABD ∴∠=∠=︒，故选：A ．【变式6-1】（2019秋•凌源市期末）如图，PA 、PB 是O 的切线，A 、B 为切点，点C 、D 在O 上．若108P ∠=︒，则B D ∠+∠= ．【解答】解：连接AB ，PA 、PB 是O 的切线，A 、B 为切点，PA PB ∴=，PAB PBA ∴∠=∠，108APB ∠=︒，1(180)362PBA PAB APB ∴∠=∠=⨯︒-∠=︒， A 、D 、C 、B 四点共圆，180D CBA ∴∠+∠=︒，36180216PBC D PBA CBA D ∴∠+∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒，故答案为：216︒．【变式6-2】（2019秋•建邺区期末）如图，已知PA ，PB 是O 的两条切线，A ，B 为切点．C 是O 上一个动点，且不与A ，B 重合．若PAC α∠=，ABC β∠=，则α与β的关系是 ．【解答】解：连接OA ，OB ， PA ，PB 是O 的两条切线，90PAO PBO ∴∠=∠=︒，OA OB =，OAB OBA ∴∠=∠，分两种情况：①当C 在优弧AB 上时，如图1，PAC α∠=，ABC β∠=，PAC ABC αβ∴+=∠+∠，90OAC ABC =︒+∠+∠，90180OAC C BAC =︒+∠+︒-∠-∠，12702OAC AOB OAB OAC =︒+∠-∠-∠-∠， 12702AOB OAB =︒-∠-∠， OAB ∆中，180AOB OAB OBA ∠+∠+∠=︒， ∴1902AOB OAB ∠+∠=︒， 27090180αβ∴+=︒-︒=︒；②当C 在劣弧AB 上时，如图2，90PAO PBO ∠=∠=︒，OAB OBA ∠=∠，CBP CAB ∠=∠，PAC ABC ∴∠=∠，即αβ=，综上，α与β的关系是：180αβ+=︒或αβ=；故答案为：180αβ+=︒或αβ=．考点7：三角形的内切圆与内心【例题7】（2019秋•凌源市期末）如图，ABC ∆中，80A ∠=︒，点O 是ABC ∆的内心，则BOC ∠的度数为()A ．100︒B ．160︒C ．80︒D ．130︒【解答】解：80A ∠=︒，180100ABC ACB A ∴∠+∠=︒-∠=︒， 点O 是ABC ∆的内心，1()502OBC OCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠=︒， 18050130BOC ∴∠=︒-︒=︒．故选：D ．【变式7-1】（2019秋•斗门区期末）如图，已知点D 在O 的直径AB 延长线上，点C 为O 上，过D 作ED AD ⊥，与AC 的延长线相交于E ，CD 为O 的切线，2AB =，3AE =．（1）求证：CD DE =；（2）求BD 的长；（3）若ACB ∠的平分线与O 交于点F ，P 为ABC ∆的内心，求PF 的长．【解答】解：（1）证明：如图，连接OC ， CD 是O 的切线，OC CD ∴⊥，90ACO ECD ∴∠+∠=︒，ED AD ⊥，90A E ∴∠+∠=︒，OA OC =，A ACO ∴∠=∠，E DCE ∴∠=∠，CD DE ∴=．（2）方法一：2AB =，1OA OB OC ∴===，OC CD ⊥，∴由勾股定理可得，222(1)1CD BD =+-，ED AD ⊥，∴由勾股定理可得，2223(2)DE BD =-+，CD DE =，2222(1)13(2)BD BD ∴+-=-+，∴BD =（舍去）．方法二：由弦切角定理得DCB DAC ∠=∠，CDB ADC ∠=∠，CDB ADC ∴∆∆∽， ∴CDBDAD CD =，即2(2)CD AD BD BD BD ==+，ED AD ⊥，∴由勾股定理可得，2223(2)DE BD =-+，CD DE =，22(2)3(2)BD BD BD ∴+=-+，解得BD=（舍去）．（3）如图，连接BF，PB，AF，CF平分ACB∠，=，∴AF BF∴=，AF BFAB=，AB为直径，2==∴BF AFP为ABC∆的内心，∴∠=∠，CBP ABP12∠=∠，∠=∠，1323∴∠=∠，CBP ABP∴∠+∠=∠+∠，23∴∠=∠，FPB FBP==．∴FP FB方法二：如图，连接AF，BF，AP，∠，CF平分ACB=，∴AF BFACF ABF BAF∴∠=∠=∠，∴=，AF BFAB 为直径，2AB =，∴BF AF = P 为ABC ∆的内心，AP ∴平分CAB ∠，CAP BAP ∴∠=∠，PAF BAP BAF ∠=∠+∠，APF CAP ACF ∠=∠+∠，PAF APF ∴∠=∠，∴PF AF ==考点8：正多边形和圆【例题8】（2020春•哈尔滨期末）下列说法中，正确的个数为( )①三角形的外角等于两个内角的和；②有两边和一角分别相等的两个三角形全等；③各边都相等的多边形是正多边形；④到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．A ．1B ．2C ．3D ．0【解答】解：①三角形的外角等于两个内角的和，错误，应该是三角形的外角等于和它不相邻两个内角的和． ②有两边和一角分别相等的两个三角形全等，错误，应该是有两边和夹角分别相等的两个三角形全等． ③各边都相等的多边形是正多边形，错误．缺少各个角相等这个条件．④到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．错误，这个点必须在这个角的内部．故选：D ．【变式8-1】（2019秋•三门县期末）如图，O 的外切正八边形ABCDEFGH 的边长2，则O 的半径为( )A ．2B ．1+C ．3D ．2【解答】解：设DE 与O 相切于点N ，连接OD 、OE 、ON ，作DM OE ⊥于M ，如图所示： 则ON DE ⊥，2DE =，OD OE =，360458DOE ︒∠==︒， DM OE ⊥， ODM ∴∆是等腰直角三角形，DM OM ∴=，OE OD ==，设OM DM x ==，则OD OE =，1)EM OE OM x =-=，在Rt DEM ∆中，由勾股定理得：22221)2x x +=，解得：22x =ODE ∆的面积1122DE ON OE DM =⨯=⨯，2122OE DM ON DE ⨯∴====，即O 的半径为：1+故选：B ．【变式8-2】（2019秋•天门期末）已知O 的内接正六边形的边心距为2．则该圆的内接正三角形的面积为 ．【解答】解：如图所示，连接OC 、OB ，过O 作ON CE ⊥于N ， 多边形ABCDEF 是正六边形，60COB ∴∠=︒，OC OB =，COB ∴∆是等边三角形，60OCM ∴∠=︒，sin OM OC OCM ∴=∠，sin 60OM OC ∴==︒． 30OCN ∠=︒，12ON OC ∴==2CN =， 24CE CN ∴==，∴该圆的内接正三角形ACE 的面积1342=⨯⨯=故答案为：【变式8-3】（2019秋•兴国县期末）如图，正六边形ABCDEF 中的边长为6，点P 为对角线BE 上一动点，则PC 的最小值为 ．【解答】解：当CP BE ⊥时，PC 的值最小，此时sin 606PC BC =︒==故答案为【变式8-4】（2017秋•余姚市期末）如图，正五边形ABCDE 的两条对角线AC ，BE 相交于点F ．（1）求证：AB EF =；（2）若2BF =，求正五边形ABCDE 的边长．【解答】解：（1）正五边形ABCDE ，AB AE ∴=，108BAE ∠=︒，36ABE AEB ∴∠=∠=︒，同理：36BAF BCA ∠=∠=︒，72FAE AFE ∴∠=∠=︒，AE EF ∴=，AB EF ∴=；（2）设AB x =，由（1）知；BAF AEB ∠=∠，ABF ABE ∠=∠，ABF EBA ∴∆∆∽， ∴AB BF EB BA=， 即22x x x =+，解得：1211x x ==，∴五边形ABCDE 的边长为1考点9：弧长的计算【例题9】（2019秋•香洲区期末）如图，四边形ABCD 内接于半径为9的O ，110ABC ∠=︒，则劣弧AC 的长为( )A ．7πB ．8πC ．9πD ．10π【解答】解：连接OA 、OC ，四边形ABCD 内接于O ，180D ABC ∴∠+∠=︒，110ABC ∠=︒，70D ∴∠=︒，∴由圆周角定理得：2140AOC D ∠=∠=︒，∴劣弧AC 的长为14097180ππ⨯=， 故选：A ．考点10：扇形面积的计算【例题10】（2019秋•下城区期末）如图，已知扇形BOD ，DE OB ⊥于点E ，若2ED OE ==，则阴影部分面积为( )A ．2B ．2π-C ．πD ．π【解答】解：DE OB ⊥， 90OED ∴∠=︒，2OE DE ==，OD ∴==12222ODE S S S π∆∴=-=-⨯⨯=-阴扇形， 故选：B ．【变式10-1】（2019秋•金平区期末）如图，在矩形ABCD 中，12AD =，以点C 为圆心，以CB 的长为半径画弧交AD 于E ，点E 恰好是AD 中点，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留)π【解答】解：如图，连接EC ．在Rt ECD ∆中，90D ∠=︒，2EC BC DE ==， 30ECD ∴∠=︒，90DCB ∠=︒，60ECB ∴∠=︒，12AD EC ==，6DE ∴=，DC =，2601216243602EDC BCE S S S ππ∆⋅∴=+=+⨯⨯=+阴扇形故答案为24π+【变式10-2】（2019秋•新乡期末）如图，将矩形ABCD 绕点B 顺时针旋转90︒得矩形BEFG ，若3AB =，2BC =，则图中阴影部分的面积为 ．【解答】解：如图，连接BD ，BF ．由题意290293604BEF BDC BDF BCE BDF BCES S S S S S S ππ∆∆⋅⋅=+-=-=-=阴扇形扇形扇形扇形， 故答案为94π． 【变式10-3】（2019秋•伊通县期末）如图，已知AB 是半圆O 的直径，点P 是半圆上一点，连结BP ，并延长BP 到点C ，使PC PB =，连结AC ．（1）求证：AB AC =．（2）若4AB =，30ABC ∠=︒．①求弦BP 的长．②求阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接AP ， AB 是半圆O 的直径，90APB ∴∠=︒，AP BC ∴⊥．PC PB =，ABC ∴∆是等腰三角形，即AB AC =；（2）解：①90APB ∠=︒，4AB =，30ABC ∠=︒， 122AP AB ∴==，BP ∴②连接OP ，30ABC ∠=︒，60PAB ∴∠=︒，120POB ∴∠=︒．点O 是AB 的中点，111122224POB PAB S S AP PB ∆∆∴==⨯=⨯⨯= POB BOP S S S ∆∴=-阴影扇形21202360π⨯=43π=。