4.3 一次函数的图象(第1课时)北师大版八年级上

北师大版八年级数学上册：4.3《一次函数的图象》教学设计1一. 教材分析《一次函数的图象》是北师大版八年级数学上册第4.3节的内容。

本节课主要让学生了解一次函数的图象特点，学会如何绘制一次函数的图象，并能够分析一次函数图象与系数之间的关系。

教材通过具体的例子引导学生探究一次函数图象的性质，从而培养学生的动手操作能力和数学思维能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了函数的概念、一次函数的定义和性质。

他们对函数有一定的认识，但对于一次函数的图象特点和绘制方法还不够了解。

此外，学生对于实际问题与数学模型的转化能力有待提高。

三. 教学目标1.让学生了解一次函数的图象特点，学会绘制一次函数的图象。

2.培养学生动手操作能力和数学思维能力。

3.使学生能够运用一次函数的图象解决实际问题。

四. 教学重难点1.一次函数图象的性质。

2.一次函数图象的绘制方法。

3.一次函数图象与系数之间的关系。

五. 教学方法1.采用探究式教学法，让学生通过动手操作、观察、思考、讨论等方式自主学习。

2.运用多媒体辅助教学，展示一次函数图象的动态变化过程。

3.结合具体例子，引导学生将实际问题转化为数学模型。

六. 教学准备1.准备多媒体教学课件。

2.准备一次函数图象的示例和练习题。

3.准备学生分组讨论的材料和工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入一次函数的概念，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）利用多媒体展示一次函数的图象，让学生观察并描述一次函数图象的特点。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个一次函数，绘制出它的图象，并分析图象与系数之间的关系。

4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成，检验他们对一次函数图象的理解。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：在一次函数中，系数发生变化时，图象会有什么变化？让学生举例说明。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调一次函数图象的性质和绘制方法。

教学设计4.3 一次函数的图象（第1课时）教材的地位和作用《一次函数的图象》是义务教育课程标准北师大版八年级（上）第四章《一次函数》的第三节．在学习本节课之前，学生已学习了平面直角坐标系、变量与函数、以及一次函数与正比例函数的概念等相关的知识。

学生能在平面直角坐标系中熟练的表示一个点，为画图像做好的充分铺垫作用。

本节课也是后续学习反比例函数、二次函数图像和性质的重要基础。

数形结合的思想是本节课的主要数学思想。

教学目标知识与技能：了解正比例函数的图象是一条直线，能熟练画出正比例函数的图像。

理解正比例函数表达式与图象之间的一一对应关系。

过程与方法：经历正比例函数图像画法的探索过程，体会“数”“形”结合的数学思想在问题解决中的作用，并能运用图像及数形结合的思想解决相关函数问题。

情感态度与价值观：在动手画图过程中，培养学生的合作意识和大胆猜想、乐于探索的学习意志。

体验“数”与“形”的转化过程，让学生感受函数图像的美妙，激发学生学数学的兴趣。

教学重、难点：重点：初步了解作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线．会画出正比例函数的图像，正比例函数的图像是一条直线。

难点：理解一次函数的代数表达式与图象之间的一一对应关系，正比例函数的性质以及|k|的大小对正比例函数的影响。

教学过程：一、温故知新1、一次函数和正比例函数的定义是什么？2、表示函数的方法有哪几种？二、探究新知1、函数的图像（1）用图象表示的函数关系举例：摩天轮上一点的高度h与旋转时间t之间函数关系的图像。

（2）函数的图像定义把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。

（3）举例正比例函数y=2x当自变量x=1时，相应的函数值y=2,我们把1作为点的横坐标，相应y 的值2作为纵坐标，从而得到一个点（1，2）再取一组，当自变量x=2时，相应的函数值y=4,我们把2作为点的横坐标，相应y的值4作为纵坐标，从而得到另一个点（2，4）……这样我们能得到很多的点，所有这些点组成的图形就叫做该函数的图象。

八年级数学上册4.3一次函数的图象第1课时正比例函数的图象和性质教案新版北师大版一. 教材分析《新版北师大版八年级数学上册》第四章第三节主要讲述了一次函数的图象，其中第一课时为正比例函数的图象和性质。

本节课内容是学生在学习了直线方程、函数概念等基础知识后的进一步拓展，是对一次函数图象和性质的系统学习。

通过本节课的学习，使学生能够掌握正比例函数的图象特征，理解正比例函数的性质，并能运用其解决实际问题。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直线方程、函数概念等知识有了初步的了解。

但学生在学习过程中，对于函数图象和性质的理解还有一定的困难，需要通过具体的实例和操作来加深理解。

此外，学生对于解决实际问题的能力还需加强，需要通过课堂练习和拓展环节来提高。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生能够掌握正比例函数的图象特征，理解正比例函数的性质。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生分析问题、解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学在生活中的应用。

四. 教学重难点1.重点：正比例函数的图象特征，正比例函数的性质。

2.难点：正比例函数性质的理解和应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等多种教学方法，引导学生观察、操作、思考、交流，从而达到对正比例函数图象和性质的理解。

六. 教学准备1.准备相关的一次函数图象和性质的案例。

2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。

3.准备练习题和拓展题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，引导学生对正比例函数的图象和性质产生兴趣，激发学生的学习欲望。

2.呈现（10分钟）用多媒体展示正比例函数的图象，引导学生观察、分析，从而总结出正比例函数的图象特征。

然后，通过具体案例，讲解正比例函数的性质。

3.操练（10分钟）让学生分组进行讨论，每组选择一个案例，分析其图象和性质。

北师大版八年级数学上册：4.3《一次函数的图象》教学设计一. 教材分析《一次函数的图象》是北师大版八年级数学上册第4.3节的内容，本节课主要让学生了解一次函数的图象特征，学会如何绘制一次函数的图象，并能够分析一次函数图象与系数的关系。

教材通过具体的例子引导学生探究一次函数图象的性质，为学生提供丰富的操作、思考、交流的活动机会，从而提高他们的数学素养。

二. 学情分析学生在七年级已经学习了直线、射线、线段等基础知识，对图形的性质有一定的了解。

但他们对一次函数图象的认识还比较模糊，需要通过具体的活动和实例来加深理解。

此外，学生需要进一步掌握如何利用函数图象解决实际问题，提高他们的应用能力。

三. 教学目标1.理解一次函数图象的性质，能够绘制一次函数的图象。

2.学会分析一次函数图象与系数的关系。

3.培养学生的观察能力、操作能力、思考能力及合作交流能力。

4.提高学生解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.一次函数图象的性质。

2.一次函数图象与系数的关系。

3.利用一次函数图象解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究一次函数图象的性质。

2.利用数形结合法，让学生直观地理解一次函数图象与系数的关系。

3.采用实例分析法，培养学生解决实际问题的能力。

4.小组讨论，提高学生的合作交流能力。

六. 教学准备1.准备相关的一次函数图象素材，用于引导学生观察和分析。

2.准备一次函数图象的软件工具，如GeoGebra等，让学生实际操作。

3.准备一些实际问题，让学生尝试解决。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题，如“某商店进行打折活动，原价100元的商品打8折后售价是多少？”引导学生思考如何用数学知识解决这个问题。

2.呈现（10分钟）呈现一次函数的图象，让学生观察并描述图象的性质。

引导学生发现一次函数图象是一条直线，且具有斜率和截距等特征。

3.操练（10分钟）让学生利用软件工具，如GeoGebra，自己绘制一次函数的图象，并观察图象与系数的关系。

一次函数的图象第1课时【教材训练】 5分钟1.画函数图象的一般步骤:列表、描点、连线.2.正比例函数y=kx的图象是一条经过原点(0,0)的直线.3.满足关系式y=kx的x,y所对应的点(x,y)都在正比例函数y=kx的图象上;正比例函数y=kx 的图象上的点(x,y)都满足关系式y=kx.4.在正比例函数y=kx中当k>0时,y的值随着x值的增大而增大;当k<0时,y的值随着x值的增大而减小.5.判断训练(打“√”或“×”)(1)函数y=x的图象必经过点(1,2). (×)(2)正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(0,0)和(1,k).(√)(3)函数y=k2x(k≠0)中的y值随x值的增大而增大. (√)(4)函数y=5x(x>1)的图象是一条直线. (×)【课堂达标】 20分钟训练点一:正比例函数的图象1.(2分)当k>0时,正比例函数y=kx的图象大致是( )【解析】选A.正比例函数的图象是一条经过原点的直线,且当k>0时,经过一、三象限. 2.(2分)已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象如图所示,则在下列选项中k值可能是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.观察图象可以看出,当x=2时y大约等于4,因此k可能等于2.3.(2分)一次函数y=-x的图象经过________象限.【解析】因为k=-1<0,所以一次函数y=-x的图象经过二、四象限.答案:二、四4.(6分)在同一直角坐标系中,画出函数y=0.2x,y=x,y=5x的图象,然后比较哪一个与x轴正方向所成的锐角最大,由此你得到什么猜想?再选几个图象验证你的猜想.【解析】如图所示:由以上三个函数的图象可知函数y=5x与x轴正方向所成的锐角最大,由此可知正比例函数y=kx(k>0)中,k越小图象与x轴正方向所成的锐角越小.再画出函数y=0.5x与函数y=2x的图象进行比较,结论仍然正确.训练点二:正比例函数的性质1.(2分)已知函数y=kx的函数值随x的增大而增大,则函数的图象经过( )A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限D.第二、四象限【解析】选B.根据题意,函数值随x的增大而增大,k值大于0,图象经过第一、三象限.2.(2分)关于函数y=-x,下列结论正确的是( )A.函数图象必经过点(-1,2)B.函数图象经过一、三象限C.y随x的增大而减小D.y随x的增大而增大【解析】选C.因为k=-<0,所以y随x的增大而减小.3.(2分)在正比例函数y=-3mx中,函数y的值随x值的增大而增大,则P(m,5)在第________象限.【解析】因为函数y的值随x值的增大而增大,所以-3m>0,所以m<0;点P的横坐标小于0,纵坐标大于0,所以点P在第二象限内.答案:二4.(6分)已知函数y=(k-1),当k为何值时,正比例函数y随x的增大而减小?【解析】因为此函数是正比例函数,所以k-1≠0,k2-3=1,解得k=±2,因为此正比例函数y随x的增大而减小,所以k-1<0,所以k=-2.5.(6分)若正方形ABCD的边长为2,P为DC上一动点,设DP=x,请写出△APD的面积y与x的函数关系式;它是正比例函数吗?说明理由.【解析】根据三角形的面积公式得:y=×2x=x(0<x<2).它形如y=kx(k≠0,k为常数),故它是正比例函数.【课后作业】 30分钟一、选择题(每小题4分,共12分)1.在直角坐标系中,既是正比例函数y=kx,又满足y的值随x值的增大而减小的图象是( )【解析】选C.根据正比例函数的图象必过原点,排除A,D;y的值随x值的增大而减小,图象自左至右是下降的趋势,排除B.2.下面各点在函数y=-2x的图象上的是( )A.(2,-1)B.(-1,2)C.(1,2)D.(2,1)【解析】选B.把A,B,C,D各点的坐标依次代入y=-2x中进行验证,只有x=-1,y=2能使y=-2x成立.3.如图所示,在同一直角坐标系中,一次函数y=k1x,y=k2x,y=k3x,y=k4x的图象分别是l1,l2,l3,l4,则下列关系正确的是( )A.k1<k2<k3<k4B.k2<k1<k4<k3C.k1<k2<k4<k3D.k4<k1<k3<k2【解析】选B.由正比例函数的性质知k3>0,k4>0,k1<0,k2<0,排除D;又由当k>0时,k的值越大,直线与x轴正半轴的夹角越大,所以k4<k3,排除A;当k<0时,k的值越大,直线与x轴负半轴所成的夹角越小,所以k2<k1,排除C.故选B.二、填空题(每小题4分,共12分)4.写出一个正比例函数,使其图象经过第二、四象限:__________________.【解析】答案不唯一,要使函数y=kx的图象经过第二、四象限,只需使k<0即可.例如:y=-x,y=-x等.答案:答案不唯一:y=-x(或y=-x等)5.已知点P1(x1,y1)和点P2(x2,y2)是正比例函数y=-kx(k≠0)图象上的两点,且当x1<x2时,y1<y2,则k的取值范围是________.【解析】当x1<x2时,y1<y2,即y随x增大而增大,所以-k>0,所以k<0.答案:k<06.正比例函数的图象经过点P(-2,1),则这个函数的图象经过________象限.【解析】因为点P(-2,1)在第二象限内,所以正比例函数图象经过二、四象限.答案:二、四三、解答题(共26分)7.(8分)已知正比例函数图象经过点(-1,2),(1)求此正比例函数表达式.(2)点(2,-5)是否在此函数图象上?【解析】(1)正比例函数图象经过点(-1,2),所以当x=-1时,y=2,因此k=-2,故可得出正比例函数关系式为:y=-2x.(2)将点(2,-5)代入,左边=-5,右边=-2×2=-4,左边≠右边,故点(2,-5)不在此函数图象上.8.(8分)(1)在同一直角坐标系内画出正比例函数y1=-2x与y2=x的图象.(2)请你用量角器度量一下这两条直线所成的角,你会发现什么?写出你的猜想.【解析】(1)如图:(2)两条直线所成的角等于90°.当两个正比例函数两系数之积为-1时,两条直线所成的角为90度,即垂直.9.(10分)(能力拔高题)正比例函数y=kx的图象经过A(a,b),B(b,c)两点,且b>a.(1)试说明b2=ac.(2)如果A,B两点都在第一象限内,过点A作x轴的垂线,垂足为点C,过点B作x轴的垂线,垂足为点D,四边形ABDC的面积等于12,c-a=8,求b的值.【解析】(1)因为正比例函数y=kx的图象经过A(a,b),B(b,c)两点,所以b=ka,c=kb,所以=,所以b2=ac.(2)由题干图可知:AC=b,BD=c,CD=b-a,因为四边形ABDC的面积等于12,所以(b+c)(b-a)=12,所以b2-ab+bc-ac=24,因为b2=ac,所以bc-ab=24,即b(c-a)=24,因为c-a=8,所以b=3.。

一次函数的图象教学设计（第一课时）一、教学设计思想本节课共两课时，第1课时本节交代了函数图象的概念和作图的一般步骤，目的是为后继学习反比例函数、二次函数的图像作必要的知识准备。

根据教学目标，结合学生心理特点，这节课采用在教师引导下，学生主动探索发现的教学方法.即教师创设问题情景，引导学生观察、比较、自学、思考并展开讨论，使学生作为学习主体参与知识发生、发展的全过程，体验揭示规律，发现真理的乐趣，从而产生巨大的内驱力，提高课堂教学效率，充分发挥教师主导作用和学生的主体作用.二、教学目标知识与技能1．总结作一次函数图像的一般步骤，能熟练作出一次函数图像．2．总结归纳出一次函数的性质———k>0或k<0时图像变化的情况．过程与方法经历作图过程，归纳总结作作函数图像的一般步骤，发展总结概括能力，培养数形结合的意识．情感态度与价值观加强新旧知识的联系，促进新的认知结构的建构．三、教学重点1．能熟练地作出一次函数的图象．2．归纳作函数图象的一般步骤．3．理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系．四、教学难点理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系．五、教学方法讲、议结合法．六、教具准备投影片两张：第一张：补充练习（§6．3．1 A ）；第二张：补充练习（§6．3．1 B）．七、教学过程Ⅰ．导入新课［师］上节课我们学习了一次函数及正比例函数的概念，正比例函数与一次函数的关系，并能根据已知信息列出x 与y 的函数关系式，本节课我们来研究一下一次函数的图象及性质．Ⅱ．讲授新课 一、函数图象的概念［师］要研究一次函数的图象，首先应知道什么叫图象？把一个函数的自变量x 与对应的因变量y 的值作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象（graph ）． 假设在代数表达式y =2x 中，自变量x 取1时，对应的因变量y =2，则我们可在直角坐标系内或描出表示（1，2）的点，再给x 的另一个值，对应又一个y ，又可知直角坐标系内描出一个点，所有这些点组成的图形叫该函数y =2x 的图象．由此看来，函数图象是满足函数表达式的所有点的集合．那么应如何作函数的图象呢？ 二、作一次函数的图象 ［例1］作出一次函数y =21x +1的图象． ［师］根据图象的定义，需要先找点．所以要先列表，找满足条件的点，再描点，连线． 解：列表描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点． 连线：把这些点依次连接起来，得到y =21x +1的图象如下，它是一条直线．［师］从刚才我们作图的情况来总结一下，作一次函数的图象有哪些步骤呢？［生］①列表；②描点；③连线．三、做一做（1）作出一次函数y=－2x+5的图象．（2）在所作的图象上取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否满足关系式y=－2x+5．［生］列表描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点．连线：把这些点依次连接起来，得到y=－2x+5的图象，它是一条直线．图象如下：在图象上找点A（3，－1），B（4，－3）当x=3时，y=－2×3+5=－1．当x=4时，y=－2×4+5=－3．∴（3，－1），（4，－3）满足关系式y=－2x+5．四、议一议（1）满足关系式y=－2x+5的x、y所对应的点（x，y）都在一次函数y=－2x+5的图象上吗？（2）一次函数y=－2x+5的图象上的点（x，y）都满足关系式y=－2x+5吗？（3）一次函数y=kx+b的图象有什么特点？［师］请大家分组讨论，然后回答．［生］满足关系式y=－2x+5的x，y所对应的点（x，y）都在一次函数y=－2x+5的图象上．（2）一次函数y =－2x +5的图象上的点（x ，y ）都满足关系式y =－2x +5．［师］由此看来，满足函数关系式y =－2x +5的x ，y 所对应的点（x ，y ）都在一次函数y = －2x +5的图象上；反过来，一次函数y =－2x +5的图象上的点（x ，y ）都满足关系式y =－2x +5．所以，一次函数的代数表达式与图象是一一对应的．即满足一次函数的代数表达式的点在图象上，图象上的每一点的横坐标x ，纵坐标y 都满足一次函数的代数表达式．（3）［生］一次函数的图象是一条直线． ［师］非常正确．一次函数的图象是一条直线．由直线的公理可知：两点确定一条直线，所以作一次函数的图象时，只要确定两个点，再过这两个点作直线就可以了，一次函数y =kx +b 的图象也称为直线y =kx +b ．Ⅲ．课堂练习 分别作出一次函数y =31x 与y =－3x +9的图象． ［师］根据刚才的讨论可知，我们在画一次函数的图象时，只要确定两个点就可以了． ［生］作函数y =31x 的图象时，找点（3，1），（6，2）图象如下．作函数y =－3x +9的图象时，找点（1，6），（2，3） 图象如下：补充练习投影片（§6．3．1A ）［生］（1）作一次函数y =－x +21的图象时，取点（0， 21）和（1，－21），然后过这两点作直线即可．图象如下：（2）在图象上取点A （23，－1），B （－1，23） 当x =23时，y =－23+ 21=－1 当x =－1时，y =1+21=23∴A 、B 两点的坐标都满足关系式y =－x +21． 投影片（§6．3．1 B ）［生］解：（1）作一次函数y =4x +3的图象时，找点（0，3），（1，7），然后过这两点作直线即可．图象如下：（2）当x =0时，y =4×0+3=3; 当x =－1时，y =4×（－1）+3=－1; 当x =21时，y =4×21+3=5; 当x =1时，y =4×1+3=7; 当x =－23时，y =4×（－23）+3=－3． ∴每对数都满足关系式y =4x +3．由前面的议一议可知，以这些数对为坐标的点在所作的函数图象上． Ⅳ．课时小结本节课主要学习了以下内容： 1．函数图象的概念；2．作一次函数图象的步骤以及熟练地作出一次函数的图象，并能验证某些数对是否在函数图象上．3．明确一次函数的图象是一条直线，因此在作一次函数的图象时，不需要列表，只要确定两点就可以了．Ⅴ．课后作业 习题6．3 Ⅵ．活动与探究1．已知函数y =（m －2）x 552+-m m+m －4，问当m 为何值时，它是一次函数？解：根据一次函数的定义，有⎩⎨⎧≠-=+-021552m m m解得⎩⎨⎧≠==241m m m 或∴m =1或m =42．如果y +3与x +2成正比例，且x =3时，y =7． ①写出y 与x 之间的函数关系式； ②求当x =－1时，y 的值； ③求当y =0时，x 的值．分析：①y +3与x +2成正比例，就是y +3=k ·（x +2），根据x =3时，y =7，求k 的值，从而确定y 与x 之间的函数关系式．②把x =－1代入所求函数关系式，求出y 的值． ③把y =0代入函数关系式，求出x 的值． 解：①∵y +3与x +2成正比例 ∴y +3=k （x +2）把x =3，y =7代入得：7+3=k （3+2） ∴k =2，∴y =2x +1②把x =－1代入y =2x +1中，得y =－2+1=－1③把y =0代入y =2x +1中，得 0=2x +1，∴x =－21． 说明：若y 与x 成一次函数关系式，那么函数关系式要写成y =kx +b （k ≠0）的形式． 3．如果y =mx 82-m是正比例函数，而且对于它的每一组非零的对应值（x ，y ）有xy ＜0，求m 的值．分析：按正比例函数y =kx （k ≠0）中对于k 及x 的指数的要求决定m 的值． 解：根据题意得，y =mx 82-m 是正比例函数，故有：m 2－8=1且m ≠0即m =3或m =－3又∵xy ＜0，∴x ，y 是异号．∴m =xy＜0 ∴m =3不合题意，舍去． ∴m =－3．常见错误：忽略m ≠0的要求，在解题过程不写这一条件． 4．已知y +b 与x +a （a ，b 是常数）成正比例． 求证：y 是x 的一次函数．分析：由y +b 与x +a 成正比例，设立解析式，分析此解析式为x 的一次函数． 解：∵y +b 与x +a 成正比例 ∴可设y +b =k （x +a ）（k ≠0） 整理，得y =kx +ka －b =kx +（ka －b ） ∵k ，a ，b 都是常数． ∴ka －b 也是常数． 又∵k ≠0∴y 是x 的一次函数．常见错误：整理得到y =kx +ka －b 时不会把ka －b 看作一个整式．说明：在叙述函数的，一定要说清楚谁是谁的什么名称函数，否则容易发生混淆现象．如本题中，y +b 是x +a 的正比例这个说法是正确的，同时，y 是x 的一次函数的说法也是正确的．八、板书设计。