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高一数学《一元二次不等式的解法》知识点整理
高一数学《一元二次不等式的解法》知识点整理
1.整式不等式的解法
根轴法(零点分段法)
①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”;(为了统一方便)
②求根，并在数轴上表示出来;
③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点(为什么?);
④若不等式(x的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间;若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.
(自右向左正负相间)
则不等式的解可以根据各区间的符号确定.
特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论;
②一元二次不等式ax2+box>0(a>,高中语文;0)解的讨论.
2.分式不等式的解法
(1)标准化：移项通分化为 >0(或<0); ≥0(或≤0)的形式，
(2)转化为整式不等式(组)
3.含绝对值不等式的解法
(1)公式法： ,与型的不等式的解法.
(2)定义法：用“零点分区间法”分类讨论.
(3)几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.
4.一元二次方程根的分布
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
(1)根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.
(2)根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之。
考点二十二 一元二次不等式与简单分式不等式的解法知识梳理1．一元一次不等式的解法一元一次不等式ax ＞b (a ≠0)的解集为 (1)当a ＞0时，解集为{x |x ＞ba }.(2)当a ＜0时，解集为{x |x ＜ba }.2. 一元二次不等式的解法 判别式Δ＝b 2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0) 图象一元二次方程的根有两相异实根x 1＝－b －Δ2a ，x 2＝－b ＋Δ2a有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a无实根ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集 {x |x ＜x 1或x ＞x 2} {x |x ≠－b2a ，x ∈R } Rax 2＋bx ＋c <0(a ＞0){x |x 1＜x ＜x 2} ∅∅口诀：大于取两边，小于取中间． 3．分式不等式的解法 (1)f (x )g (x )＞0f (x )·g (x )＞0，f (x )g (x )＜0f (x )·g (x )＜0； (2) f (x )g (x )≥0⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x ) ≥0， g (x )≠0，， f (x )g (x )≤0⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x ) ≤0，g (x )≠0，； (3)f (x )g (x )＞m f (x )g (x )－m ＞0f (x )－m ·g (x )g (x )＞0．4．简单高次不等式解法对于简单高次不等式一般用序轴标根法求解，步骤是先求出各表达式为零时的根，再作图求解．作图口诀：“自右向左，自上向下，奇穿偶不穿”，其中“奇穿偶不穿”含义为，若对应根对应根为奇数个，则穿过该点，如果为偶数个，则作图时不穿过该点．例如解不等式x (x －1)2(x －2)3＞0，在作图时，由于0,2这两个根分别是1个、3个，有奇数个根，因此作图时应穿过；而1这个根有2个，也就是有偶数个，因此作图时不穿过，如下图所示：由图知不等式x (x －1)2(x －2)3＞0解集为{x |x ＜0或x ＞2}． 5．几点注意事项(1)对于不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或＞0)，若二次项含有字母参数时，不一定是二次不等式，要分a ＝0和a ≠0讨论．(2)解分式不等式f (x )g (x )＞m 时，不要直接在不等式两边同乘以分母，因为此时g (x )正负不确定．正确做法是移项将右边化为0，即化为f (x )g (x )－m ＞0，然后通分求解．典例剖析题型一 一元二次不等式解法 例1 解下列不等式 (1)－3x 2－2x ＋8≥0； (2) x 2－3x ＋2≥0；解析 (1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0.解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43. (2) 原不等式可化为(x －1)(x －2)≥0，解得x ≤1或x ≥2． 所以原不等式的解集为{x | x ≤1或x ≥2}． 变式训练 解不等式0＜x 2－x －2≤4解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3.解题要点 求解一元二次不等式时，一般先通过变形，将不等式右边化为0，左边x 2前系数化为正，求出根或因式分解后借助口诀“大于取两边，小于取中间”写出解集． 题型二 分式不等式解法例2 不等式x －3x －1≤0的解集为________．答案 {x |1<x ≤3}解析 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)(x －1)≤0，x ≠1，∴1<x ≤3.变式训练 函数f (x )＝ 1－xx ＋2的定义域为________． 答案 (－2,1]解析 1－x x ＋2≥0⇔x －1x ＋2≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)(x ＋2)≤0，x ＋2≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤1，x ≠－2⇔－2<x ≤1. 解题要点 求解分式不等式时，需要将各个因式x 前系数化为正，然后也可以借助口诀“大于取两边，小于取中间”写出解集．但应注意等号问题，分母不可为0． 题型三 一元二次不等式与一元二次方程根之间关系问题例3 关于x 的不等式x 2＋(a ＋1)x ＋ab >0的解集是{x |x <－1或x >4}，则a ＋b ＝________． 答案 －3解析 由题意知，－1，4为方程x 2＋(a ＋1)x ＋ab ＝0的两根，∴ a ＋1＝－3，ab ＝－4.∴ a ＝－4，b ＝1.∴ a ＋b ＝－3.变式训练 已知f (x )＝ax 2－x －c ，不等式f (x )＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则a ＝________，c ＝________． 答案 －1，－2解析 由根与系数的关系知1a ＝－2＋1，－ca＝－2，得a ＝－1，c ＝－2.解题要点 解决这类习题关键是理解三个二次之间的关系，一元二次函数与x 轴交点的横坐标即为对应一元二次方程的根，利用一元二次方程的根，结合函数图象就可以求出对应一元二次不等式．因此反过来，由一元二次不等式的解集，可以得到对应的一元二次方程的根，结合根与系数关系即可求出参数值．题型四 一元二次不等式恒成立问题例4 若不等式mx 2－2x －1<0恒成立，则m 的取值范围是________． 答案 (－∞，－1)解析 由⎩⎨⎧m <0（－2）2－4m （－1）<0，解得m <－1. 变式训练 已知不等式x 2－2x ＋k 2－1>0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围为______________．答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 由题意，知Δ＝4－4×1×(k 2－1)<0， 即k 2>2，∴k >2或k <－ 2.解题要点 一元二次不等式恒成立的条件(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.题型五 含参数一元二次不等式解法例5 解关于x 的不等式x 2－2ax －3a 2＞0(a ∈R ，a ≠0) 解析 由x 2－2ax －3a 2＞0知(x －3a )(x ＋a )＞0. 由于a ≠0故分a ＞0与a ＜0讨论． 当a ＜0时，x ＜3a 或x ＞－a ； 当a ＞0时，x ＜－a 或x ＞3a .综上，a ＜0时，解集为{}x |x ＜3a 或x ＞－a ； a ＞0时，解集为{}x |x ＞3a 或x ＜－a .解题要点 对含参数一元二次不等式主要分三种讨论： 讨论二次项系数、讨论Δ，讨论两根的大小，具体如下：(1)当二次项系数含有参数应讨论是系数等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)当确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．当堂练习1．（2015江苏）不等式2x 2－x ＜4的解集为________． 答案 {x |－1＜x ＜2}解析 ∵2x 2－x ＜4＝22，∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，解得－1<x <2.2．不等式x －2x 2－1<0的解集为________．答案 {x |x <－1或1<x <2} 解析 (x －2)(x 2－1)<0， (x ＋1)(x －1)(x －2)<0，数轴标根可得，x <－1或1<x <2． 3. 不等式x －1x ＋2<0的解集为________．答案 (－2,1)解析 原不等式化为(x －1)(x ＋2)<0，解得－2<x <1，∴原不等式的解集为(－2,1)．4．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是________． 答案 (2,3)解析 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a ，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a，解得a ＝－6，b ＝5， 不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3).5．若关于x 的不等式12x 2＋(2－m )x <0的解集是{x |0<x <2}，则实数m ＝________.答案 3解析 由题知x ＝0或x ＝2是方程12x 2＋(2－m )x ＝0的根，可得m ＝3.课后作业一、 填空题1．不等式x －12x ＋1≤0的解集为________．答案 ⎝⎛⎦⎤－12，1 解析 不等式x －12x ＋1≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(2x ＋1)≤0，2x ＋1≠0⇒－12<x ≤1.2．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集为________． 答案 {x |x ≥1或x ＝－2}解析 由(x －1)x ＋2≥0，可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，x －1≥0或x ＋2＝0，解得x ≥1或x ＝－2.3．若0＜m ＜1，则不等式(x －m )(x －1m )＜0的解集为________．答案 {x |m ＜x ＜1m }解析 当0<m <1时，m <1m.4．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为________． 答案 {x |－1<x <12}解析 由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根．由韦达定理⎩⎨⎧－1＋2＝－b a，(－1)×2＝2a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. ∴不等式2x 2＋bx ＋a <0，即2x 2＋x －1<0.可知x ＝－1，x ＝12是对应方程的根，∴不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为{x |－1<x <12}.5．若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是(－4,1)，则不等式b (x 2－1)＋a (x ＋3)＋c ＞0的解集为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－43，1 解析 由不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－4,1)知a ＜0，－4和1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以－4＋1＝－b a ，－4×1＝ca ，即b ＝3a ，c ＝－4a .故所求解的不等式为3a (x 2－1)＋a (x ＋3)－4a ＞0，即3x 2＋x －4＜0，解得－43＜x ＜1.6．不等式－3<4x －4x 2≤0的解集为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x ≤0或1≤x <32 解析 原不等式可化为：4x －4x 2>－3，① 且4x －4x 2≤0，② 解①得：－12<x <32，解②得：x ≤0或x ≥1，①，②取交集得：－12<x ≤0或1≤x <32，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x ≤0或1≤x <32. 7．函数f (x )＝x －2－13x －x 2的定义域是________． 答案 {x |2≤x <3}解析 要使函数有意义，应有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，3x －x 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，0<x <3，所以2≤x <3，即函数的定义域为{x |2≤x <3}．8．若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象恒在x 轴上方，则a 的取值范围是________． 答案 [1,19)解析 函数图象恒在x 轴上方，即不等式(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3＞0对于一切x ∈R 恒成立． (1)当a 2＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1. 若a ＝－5，不等式化为24x ＋3＞0，不满足题意； 若a ＝1，不等式化为3＞0，满足题意． (2)当a 2＋4a －5≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5＞0，16(a －1)2－12(a 2＋4a －5)＜0，解得1＜a ＜19. 综上可知，a 的取值范围是1≤a ＜19.9．（2015广东文）不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________(用区间表示)． 答案 (－4,1)解析 不等式－x 2－3x ＋4>0，即x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1.10．若不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围是________． 答案 a ≥－5解析 由题意，分离参数后得，a ≥－(x ＋4x )，设f (x )＝－(x ＋4x)，x ∈(0,1]，则只要a ≥[f (x )]max 即可，由于函数f (x )在(0,1]上单调递增，所以[f (x )]max ＝f (1)＝－5， 故a ≥－5.11．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}，则a 的值为______． 答案 3解析 ∵(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}， ∴1－a <0，即a >1.于是原不等式可化为(a －1)x 2＋4x －6<0，a －1>0， 其解集为{x |－3<x <1}．则方程(a －1)x 2＋4x －6＝0的两根为－3和1.由⎩⎪⎨⎪⎧a >1，－3＋1＝－4a －1，－3×1＝－6a －1，解得a ＝3.二、解答题12．二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值为8，试解不等式f (x )>－1. 解析 由于f (2)＝f (－1)＝－1，根据二次函数的对称性，则对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12，又知最大值为8.可设f (x )＝a (x －12)2＋8，将f (2)＝－1代入得，a ＝－4.∴f (x )＝－4(x －12)2＋8.由f (x )>－1，－4x 2＋4x ＋7>－1，即x 2－x －2<0，∴解集为{x |－1<x <2}．13．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围． 解析 由已知得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立， 令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，a ≤－1，g (－1)≥0，解得－3≤a ≤1.。
关于高中数学必修一的分类讨论
高中数学必修一包括以下几个方面：
一、代数：
1. 方程与不等式：求解一元二次方程，不等式的解法，求解多元一次方程，及其解法；
2. 函数与图像：函数的基本概念，函数的图像，函数的导数，函数的最大值与最小值；
3. 向量：向量的基本概念，向量的运算，向量的几何意义，向量的应用；
4. 线性代数：矩阵的基本概念，矩阵的运算，矩阵的几何意义，矩阵的应用；
二、几何：
1. 直角坐标系：直角坐标系的基本概念，直角坐标系的点，直角坐标系的线段，直角坐标系的圆；
2. 三角函数：正弦函数，余弦函数，正切函数，反正弦函数，反余弦函数，反正切函数；
3. 几何图形：正多边形，圆，椭圆，曲线，圆锥，抛物线；
4. 几何转换：平移，缩放，旋转，对称；
三、概率统计：
1. 概率：概率的基本概念，概率的计算，概率的应用；
2. 统计：统计的基本概念，统计的描述，统计的推断；
3. 抽样：抽样的基本概念，抽样的方法，抽样的应用；
4. 假设检验：假设检验的基本概念，假设检验的方法，假设检验的应用。
高中数学一元二次不等式与二元一次不等式组的解法一、一元二次不等式与分式不等式1、一元二次不等式的解集端点→一元二次方程的解→二次函数的零点。
2、解一元二次不等式的步骤：二次项系数化为正→因式分解（求根）→判断符号（大于0，两根之外，小于0，两根之外）3、分式不等式：转化成整式不等式求解二、二元一次不等式解法1、可行域的判断依据：y 的系数by 与不等号，同号，直线上方；异号，直线下方。
2、目标函数平移规律：y 的系数b 为正，往上平移变大；y 的系数b 为负，往上平移变小三、典型例题1、解含参一元二次不等式与分式不等式例题1：已知0 a 1，则关于x 的不等式（x - a）（x - 1/a）0 的解集为？解：根据不等式的性质可得故而可得解集为变式：解析：将不等式因式分解可得例题2：若a 0，则不等式解析：将不等式化简可得2、不等式中的参数求解例题3：函数的定义域为R，则实数k 的取值范围为( )解析：函数的定义域为R，故而可得故而变式：若不等式则实数m的取值范围为________。
解析：化简可得例题4：设不等式mx －2x－m＋1＜0 对于满足|m| ≤ 2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围。
解析：将不等式化简可得故而将m 当作自变量，这是一个一次函数，故而可得3、二元一次不等式组的基础解法例题5：（2017年课标1卷13题）设x，y 满足约束条件则z = 3x - 2y 的最小值为________。
解析：根据约束条件可画出可行域如图所示，y 的系数为负，故而可得当初始函数平移经过点A 时函数取最小值，联立4、含参二元一次不等式组的解法例题6：已知x , y 满足约束条件目标函数z = 2x - 3y 的最大值是2，则实数a = （A ）解析：根据约束条件可以发现，可行域必然在直线x - y - 2 = 0 的上方和直线x - 2y + 3 = 0 的下方，直线y = 4 - ax 是恒过点（0 , 4）的一条直线。
人教版高一数学必修一第2单元一元二次函数、方程与不等式（讲解和习题）基础知识讲解一．不等式定理【基础知识】①对任意的a，b，有a＞b①a﹣b＞0；a＝b①a﹣b＝0；a＜b①a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．①如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．①如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．①如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．二．不等式大小比较【技巧方法】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．三．基本不等式【基础知识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．四、基本不等式的应用【基础知识】1、求最值2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【技巧方法】技巧一：凑项需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数遇到无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离技巧四：换元一般，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f （x ）＝x +的单调性．技巧六：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错． 技巧七：取平方两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造条件．总结我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式． 五．二次函数的性质 【基础知识】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y ＝ax 2+bx +c （a ≠0） 【技巧方法】①开口、对称轴、最值与x 轴交点个数，当a ＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x ＝a b 2-；最值为：f （ab2-）；判别式①＝b 2﹣4ac ，当①＝0时，函数与x 轴只有一个交点；①＞0时，与x 轴有两个交点；当①＜0时无交点．①根与系数的关系．若①≥0，且x 1、x 2为方程y ＝ax 2+bx +c 的两根，则有x 1+x 2＝ab-， x 1•x 2＝ac ； ①二次函数其实也就是抛物线，所以x 2＝2py 的焦点为（0，2p ），准线方程为y ＝2p -，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．①平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；六．一元二次不等式【基础知识】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0 或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．【技巧方法】（1）当①＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）（2）当①＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．（3）当①＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．二.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）．步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．特例：①一元一次不等式ax＞b解的讨论；①一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，．（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．（4）指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式 （6）含绝对值不等式①应用分类讨论思想去绝对值； ①应用数形思想； ①应用化归思想等价转化． 七．一元二次方程根与系数的关系 【基础知识】一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有解时，不妨设它的解为x 1，x 2，那么这个方程可以写成ax 2﹣a （x 1+x 2）x +ax 1•x 2＝0．即x 2﹣（x 1+x 2）x +x 1•x 2＝0．它表示根与系数有如下关系：x 1+x 2＝﹣a b ，x 1•x 2＝ac ．习题演练一．选择题（共12小题）1．若a ，b ，c 是是实数，则下列选项正确的是（ ） A ．若22ac bc >，则a b >B ．若a bc c>，则a b > C ．若22a b >，则a b > D ．若a b >，则a b >2．下列不等式中，正确的是 A ．若,a b c d >>，则a c b d +>+B ．若a b >，则a c b c +<+C ．若,a b c d >>，则ac bd >D ．若,a b c d >>，则a b c d> 3．如果实数,a b 满足：0a b <<，则下列不等式中不成立的是 （ ）A ．0a b +>B ．11a b> C ．330a b -<D ．11a b a>- 4．下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则11b a> B ．若22a b <，则a b <C ．若a b >，c d >则a d b c ->-D ．若a b >，则22ac bc >5．函数()2222y x x x =+>-的最小值是（ ） A ．4B ．6C ．8D ．106．函数()2222y x x x =+>-的最小值是（ ） A ．4B ．6C ．8D ．107．已知0x >，0y >，93x y +=，则11x y+的最小值为（ ） A ．16 B ．4C ．163D ．2038．不等式01xx <-的解集是（ ） A ．(),0-∞B ．()0,1C ．()(),01,-∞⋃+∞D ．()1,+∞9．已知不等式240x ax ++<的解集为空集，则实数a 的取值范围是（） A ．[4,4]-B ．(4,4)-C ．(,4][4,)-∞-+∞D ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞10．若不等式222424ax ax x x +-<+ 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,2- B ．()(),22,-∞-⋃+∞C ．(]2,2-D ．(],2-∞11．已知集合{}3M x x =≥，{}23100N x x x =--≤，则M N ⋃=（ ）A ．{}35M x x =≤≤ B ．{}3M x x =≥C ．{}2x x ≥-D ．{}5x x ≤12．已知集合{}{}2|230,|10A x Z x x B x x =∈--≤=->，则集合AB =（ ）A ．{2,3}B ．{1,1}-C ．{1,2,3}D ．∅二．填空题（共6小题）13．不等式2320x x -++>的解集为____________．14．已知0x >，0y >，且182x y+=，则2x y +的最小值为_____. 15．已知21,32a b -<<--<<-，则-a b 的取值范围是________．16．已知正数a ，b 满足2a b +=，则2238a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为__________． 17．已知0a >，0b >，且24ab a b =++，则ab 的最小值为______.18．关于x 的不等式20x bx c ++>的解集是()1,2,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭，则b c +=______． 三．解析题（共6小题）19．已知不等式2520ax x +->的解集是M ． （1）若2M ∈，求a 的取值范围；（2）若1|22M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，求不等式22510ax x a -+->的解集． 20．已知函数2()()=-++f x x a b x a ．（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为{12}xx <<∣，求,a b 的值； （2）当1b =时，解关于x 的不等式()0f x >．21．已知关于x 的不等式：2230kx kx +-<（1）若不等式的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，求k 的值；（2）若不等式的解集为R ，求k 的取值范围． 22．设函数()()()2230f x ax b x a =+-+≠．（1）若不等式()0f x >的解集为()1,3-，求,a b 的值;（2）若()12f =，0a >，0b >，求14a b+的最小值． 23．已知()()233f x x a x a =-++．（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）解关于x 的不等式()0f x ≥．24．已知函数()()f x x x m =-，其中0m >．（1）若12m =，求不等式()0f x <的解集； （2）求2(2)f m-+的最小值．人教版高一数学必修一第2单元 一元二次函数、方程与不等式（讲解和习题）习题演练三．选择题（共12小题）1．若a ，b ，c 是是实数，则下列选项正确的是（ ） A ．若22ac bc >，则a b >B ．若a bc c>，则a b > C ．若22a b >，则a b > D ．若a b >，则a b >【答案】A 【解析】对于A ，若22ac bc >，则20c >，a b >，故A 正确；对于B ，若a bc c>，0c <，则a b <，故B 错误； 对于C ，若1a =-，0b =，则满足22a b >，但此时a b <，故C 错误； 对于D ，若1a =-，0b =，则满足a b >，但此时a b <，故D 错误. 故选：A.2．下列不等式中，正确的是 A ．若,a b c d >>，则a c b d +>+B ．若a b >，则a c b c +<+C ．若,a b c d >>，则ac bd >D ．若,a b c d >>，则a b c d> 【答案】A 【解析】若a b >，则a c b c +>+,故B 错， 设a 3,b 1,c 1,d 2===-=-,则ac bd <，a bc d<所以C 、D 错，故选A 3．如果实数,a b 满足：0a b <<，则下列不等式中不成立的是 （ ）A ．0a b +>B ．11a b> C ．330a b -<D ．11a b a>- 【答案】D 【解析】0a b <<，则0a b ->->，0a b a b +=-+>，A 正确；由0a b <<两边同除以ab 得11a b>，B 正确；由a b <得33a b <，C 正确；0a b <<，则0a a b <-<，11a a b>-，D 错误． 故选：D ．4．下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则11b a> B ．若22a b <，则a b <C ．若a b >，c d >则a d b c ->-D ．若a b >，则22ac bc >【答案】C 【解析】当1,2a b ==-时，满足a b >，但11b a>不成立，所以A 错； 当1,2a b ==-时，满足22a b <，但a b <不成立，所以B 错；当1,2,0a b c ==-=时，满足a b >，但22ac bc >不成立，所以D 错；因为c d >所以d c ->-，又a b >，因此同向不等式相加得a d b c ->-，即C 对； 故选：C 5．函数()2222y x x x =+>-的最小值是（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．10【答案】C 【解析】 因为22(2)2y x x x =+>-，所以()2222244822y x x x x =+=-++≥=--， 取等号时()2222x x -=-，即3x =， 所以min 8y =. 故选：C. 6．函数()2222y x x x =+>-的最小值是（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．10【答案】C 【解析】 解：因为()2222y x x x =+>-，所以()2222244822y x x x x =+=-++≥=--， 取等号时()2222x x -=-，即3x =， 所以min 8y =. 故选：C7．已知0x >，0y >，93x y +=，则11x y+的最小值为（ ）A ．16B ．4C ．163D ．203【答案】C 【解析】因为0x >，0y >，93x y +=，则()()11111191169101063333y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++⨯=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当9y x x y =且93x y +=即14y =，34x =时取等号． 故选：C ． 8．不等式01xx <-的解集是（ ） A ．(),0-∞ B ．()0,1C ．()(),01,-∞⋃+∞D ．()1,+∞【答案】B 【解析】解：不等式01xx <-，即(1)0x x -<， 求得01x <<，所以原不等式的解集为()0,1故选：B ．9．已知不等式240x ax ++<的解集为空集，则实数a 的取值范围是（） A ．[4,4]-B ．(4,4)-C ．(,4][4,)-∞-+∞D ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】欲使不等式240x ax ++<的解集为空集，即函数24y x ax =++的图像与x 轴无交点或只有一个交点，则2160a ∆=-， 解得44a -， 故选A 项.10．若不等式222424ax ax x x +-<+ 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,2- B ．()(),22,-∞-⋃+∞C ．(]2,2-D ．(],2-∞【答案】C 【解析】由题意，不等式222424ax ax x x +-<+，可化为2(2)2(2)40a x a x -+--<， 当20a -=，即2a =时，不等式恒成立，符合题意；当20a -≠时，要使不等式恒成立，需()2204244(2)0a a a -<⎧⎪⎨∆=-+⨯-<⎪⎩ ， 解得22a -<<，综上所述，所以a 的取值范围为(]2,2-， 故选：C .11．已知集合{}3M x x =≥，{}23100N x x x =--≤，则M N ⋃=（ ）A ．{}35M x x =≤≤ B ．{}3M x x =≥C ．{}2x x ≥-D ．{}5x x ≤【答案】C 【解析】集合{}3M x x =≥，{}()(){}{}2310052025N x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤则M N ⋃={}2x x ≥- 故选：C12．已知集合{}{}2|230,|10A x Z x x B x x =∈--≤=->，则集合AB =（ ）A ．{2,3}B ．{1,1}-C ．{1,2,3}D ．∅【答案】A 【解析】由()()223310x x x x --=-+≤，解得13x -≤≤，所以{}1,0,1,2,3A =-.{}|1B x x =>.，所以{2,3}A B =.故选：A四．填空题（共6小题）13．不等式2320x x -++>的解集为____________．【答案】2,13⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】由2320x x -++>得()()2321320x x x x --=-+<，所以不等式2320x x -++>的解集为2,13⎛⎫-⎪⎝⎭． 故答案为：2,13⎛⎫-⎪⎝⎭. 14．已知0x >，0y >，且182x y+=，则2x y +的最小值为_____. 【答案】9 【解析】1816162(2)(2)2810218x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++++= ⎪⎝⎭，29x y ∴+≥，等号成立时32x =，6y =. 故答案为：9.15．已知21,32a b -<<--<<-，则-a b 的取值范围是________．【答案】(0,2)【解析】因为32b -<<-，则23b <-<，又由21a -<<-，根据不等式的基本性质，可得02a b <-<， 所以-a b 的取值范围是(0,2).16．已知正数a ，b 满足2a b +=，则2238a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为__________． 【答案】49 【解析】因为正数a ，b 满足2a b +=，所以229438493749b a b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当64,55a b ==时，等号成立． 故答案为：4917．已知0a >，0b >，且24ab a b =++，则ab 的最小值为______. 【答案】4 【解析】0a >，0b >，，可得24ab ≥，当且仅当a b =时取等号．)120∴≥，∴2≥1≤-（舍去），4ab ∴≥．故ab 的最小值为4. 故答案为：4．18．关于x 的不等式20x bx c ++>的解集是()1,2,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭，则b c +=______． 【答案】72【解析】因为关于x 的不等式20x bx c ++>的解集是()1,2,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭， 所以关于x 的方程20x bx c ++=的解是12,2x x =-=-， 由根与系数的关系得122122b c ⎧--=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得521b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以72b c +=. 三．解析题（共6小题）19．已知不等式2520ax x +->的解集是M ． （1）若2M ∈，求a 的取值范围；（2）若1|22M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，求不等式22510ax x a -+->的解集．【答案】（1）2a >-；（2）1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭． 【解析】试题分析：（1）由2是解集中的元素可知其满足不等式，代入可得a 的取值范围；（2）结合三个二次关系可得到a 值，代入不等式22510ax x a -+->可求解其解集试题解析：（1）①2M ∈，①225220a ⨯+⨯->，①2a >-（2）①1|22M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，①1,22是方程2520ax x +-=的两个根， ①由韦达定理得1522{1222aa+=-⋅=-解得2a =-①不等式22510ax x a -+->即为：22530x x --+>其解集为1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭． 20．已知函数2()()=-++f x x a b x a ．（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为{12}xx <<∣，求,a b 的值； （2）当1b =时，解关于x 的不等式()0f x >．【答案】（1）21a b =⎧⎨=⎩；（2）当1a <时，不等式的解集为(,)(1,)a -∞+∞；当1a ≥时，不等式的解集为(,1)(,)a -∞+∞．【解析】（1）由条件知，关于x 的方程2()0-++=x a b x a 的两个根为1和2，所以1212a b a +=+⎧⎨=⨯⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩．（2）当1b =时，2()(1)0=-++>f x x a x a ，即()(1)0x a x -->，当1a <时，解得x a <或1x >；当1a =时，解得1x ≠；当1a >时，解得1x <或x a >．综上可知，当1a <时，不等式的解集为(,)(1,)a -∞+∞；当1a ≥时，不等式的解集为(,1)(,)a -∞+∞．21．已知关于x 的不等式：2230kx kx +-<（1）若不等式的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，求k 的值；（2）若不等式的解集为R ，求k 的取值范围． 【答案】（1）1k =；（2）(]24,0-. 【解析】（1）因为关于x 的不等式：2230kx kx +-<的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以32-和1是方程2230kx kx +-=的两个实数根， 由韦达定理可得:33122k--⨯=，得1k =． （2）因为关于x 的不等式2230kx kx +-<的解集为R ． 当0k =时，-3<0恒成立.当0k ≠时，由220,240k k k <⎧⎨∆=+<⎩，解得：240k -<< 故k 的取值范围为(]24,0-．22．设函数()()()2230f x ax b x a =+-+≠．（1）若不等式()0f x >的解集为()1,3-，求,a b 的值; （2）若()12f =，0a >，0b >，求14a b+的最小值． 【答案】（1）14a b =-=，（2）9．【解析】（1）因为不等式()0f x >的解集为()1,3-，所以1x =-和3x =是方程()0f x =的两实根， 从而有()()()()1230393230f a b f a b ⎧-=--+=⎪⎨=+-+=⎪⎩，即50310a b a b -+=⎧⎨+-=⎩， 解得14a b =-⎧⎨=⎩． （2）由()12f =，得1a b +=．因为0a >，0b >，所以()14144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当4b a a b =，即223b a ==时等号成立． 所以14a b+的最小值为9． 23．已知()()233f x x a x a =-++．（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）解关于x 的不等式()0f x ≥．【答案】（1）()1,3；（2）答案见解析.【解析】（1）1a =时，不等式()0f x <化为()()130x x --<， 解得13x <<，∴不等式的解集为()1,3（2）关于x 的不等式()0f x >，即()()30x a x --≥； 当3a =时，不等式化为()230x -≥，解得R ；当3a >时，解不等式()()30x a x --≥，得3x ≤或x a ≥； 当3a <时，解不等式()()30x a x --≥，得x a ≤或3x ≥； 综上所述，当3a =时，不等式解集为R ；当3a >时，不等式的解集为(][),3,a -∞⋃+∞； 当3a <时，不等式的解集为(][),3,a -∞⋃+∞． 24．已知函数()()f x x x m =-，其中0m >．（1）若12m =，求不等式()0f x <的解集； （2）求2(2)f m-+的最小值． 【答案】（1）1|02x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）最小值为8. 【解析】（1）当12m =时， ()1()02f x x x =-<，解得102x <<， 不等式()0f x <的解集为1|02x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）()()2222424822f m m m m m +=-⨯--+=++≥+=- (0)m > 当且仅当22m m =，即1m =时取等号. 故()22+f m -的最小值为8.。
课 题：1.5一元二次不等式（二）――高次不等式、分式不等式解法教学目的：1．巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握掌握简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法；2．培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力； 3．激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想教学重点：简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法教学难点：正确串根（根轴法的使用）授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 容分析：1．本小节首先对照学生已经了解的一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的图象，找出一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进而得到利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法说明一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组，由此引出简单的分式不等式的解法 2．本节课学习简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法，这是这小节的重点，关键是弄清简单的分式不等式和特殊的高次不等式解法的根轴法的使用 教学过程：一、复习引入：1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系2．一元二次不等式的解法步骤一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：(课本第19页)一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根ab x x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅引言：今天我们来研究一元二次不等式的另外解法，以及特殊的高次不等式、分式不等式的解法二、讲解新课：⒈ 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法 例1 解不等式0)1)(4(<-+x x . 分析一：利用前节的方法求解；分析二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，∴原不等式的解集是下面两个不等式组：⎩⎨⎧<+>-0401x x 与⎩⎨⎧>+<-0401x x 的解集的并集，即{x|⎩⎨⎧<+>-0401x x }∪⎩⎨⎧>+<-0401|{x x x }=φ∪{x|-4<x<1}={x|-4<x<1}.书写时可按下列格式：解二：∵(x-1)(x+4)<0⇔⎩⎨⎧<+>-0401x x 或⎩⎨⎧>+<-0401x x⇔x ∈φ或-4<x<1⇔-4<x<1，∴原不等式的解集是{x|-4<x<1}. 小结：一元二次不等式)0()0(022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的代数解法：设一元二次不等式)0(02≠>++a c bx ax 相应的方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，则0))((0212>--⇔>++x x x x a c bx ax ； ①若⎩⎨⎧>>⎩⎨⎧<<⇒⎩⎨⎧>->-⎩⎨⎧<-<->.,,,.0,0,0,0,021212121x x x x x x x x x x x x x x x x a 或或则得 当21x x <时，得1x x <或2x x >；当21x x =时，得1,x x R x ≠∈且.②若⎩⎨⎧><⎩⎨⎧><⇒⎩⎨⎧>-<-⎩⎨⎧>-<-<.,,,.0,0,0,0,021212121x x x x x x x x x x x x x x x x a 或或则得 当21x x <时，得21x x x <<；当21x x =时，得∅∈x .分析三：由于不等式的解与相应方程的根有关系，因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集.解：①求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x （从小到大排列）分别为-4，1，这两根将x 轴分为三部分：（-∞，-4）（-4，1）（1，+∞）； ②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号③由上表可知，原不等式的解集是{x|-4<x<1}.例2：解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0； 解：①检查各因式中x 的符号均正； ②求得相应方程的根为：-2，1，3； ③列表如下：④由上表可知，原不等式的解集为：{x|-2<x<1或x>3}. 小结：此法叫列表法，解题步骤是：例2图练习图①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式（各项x的符号化“+”），令(x-x1)(x-x2)…(x-xn)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n个分界点把数轴分成n+1部分……；②按各根把实数分成的n+1部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；③计算各区间各因式的符号，下面是乘积的符号；④看下面积的符号写出不等式的解集.练习：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0. {x|-1<x<0或2<x<3}.思考：由函数、方程、不等式的关系，能否作出函数图像求解直接写出解集：{x|-2<x<1或x>3}. {x|-1<x<0或2<x<3}在没有技术的情况下：可大致画出函数图形求解，称之为根轴法（零点分段法）①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.注意：奇过偶不过例3解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.解：①检查各因式中x的符号均正；②求得相应方程的根为：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始奇过偶不过），如下图：④∴原不等式的解集为：{x|-1<x<2或2<x<3}.说明：∵3是三重根，∴在C处过三次，2是二重根，∴在B处过两次，结果相当于没过.由此看出，当左侧f(x)有相同因式(x-x1)n时，n为奇数时，曲线在x1点处穿过数轴；n为偶数时，曲线在x1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇过偶不过”.练习：解不等式：(x-3)(x+1)(x2+4x+4)≤0.解：①将原不等式化为：(x-3)(x+1)(x+2)2≤0；②求得相应方程的根为：-2（二重），-1，3； ③在数轴上表示各根并穿线，如图：④∴原不等式的解集是{x|-1≤x ≤3或x=-2}.说明：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿过-2点，但x=-2满足“=”的条件，不能漏掉. 2．分式不等式的解法例4 解不等式：073<+-x x . 错解：去分母得03<-x ∴原不等式的解集是{}3|<x x .解法1：化为两个不等式组来解： ∵073<+-x x ⇔⎩⎨⎧>+<-⎩⎨⎧<+>-07030703x x x x 或⇔x ∈φ或37<<-x ⇔37<<-x ， ∴原不等式的解集是{}37|<<-x x . 解法2：化为二次不等式来解：∵073<+-x x ⇔⎩⎨⎧≠+<+-070)7)(3(x x x ⇔37<<-x ， ∴原不等式的解集是{}37|<<-x x说明：若本题带“=”，即(x-3)(x+7)≤0，则不等式解集中应注意x ≠-7的条件，解集应是{x| -7<x ≤3}.小结：由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数x ，不等式两边同乘以一个含x 的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂.因此，解分式不等式，切忌去分母. 解法是：移项，通分，右边化为0，左边化为)()(x g x f 的形式. 例5 解不等式：0322322≤--+-x x x x . 解法1：化为不等式组来解较繁.解法2：∵0322322≤--+-x x x x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠--≤--+-0320)32)(23(222x x x x x x ⇔⎩⎨⎧≠+-≤+---0)1)(3(0)1)(3)(2)(1(x x x x x x ，∴原不等式的解集为{x| -1<x ≤1或2≤x<3}.也可以直接用根轴法（零点分段法）求解：练习：1.课本P21练习：3⑴⑵；2.解不等式253>+-x x . 答案：1.⑴{x|-5<x<8}；⑵{x|x<-4,或x>-1/2}；2.{x|-13<x<-5}.2解不等式：123422+≥+--x x x x.（答：{x|x ≤0或1<x<2}）三、小结：1．特殊的高次不等式即右边化为0，左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式，一般用区间法解，注意：①左边各因式中x 的系数化为“+”，若有因式为二次的（不能再分解了）二次项系数也化为“+”，再按我们总结的规律作；②注意边界点（数轴上表示时是“0”还是“.”）.2．分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0)的形式，转化为：)0)(0)()((0)(0)()(⎩⎨⎧≠<⎩⎨⎧≠>x g x g x f x g x g x f 或，即转化为一次、二次或特殊高次不等式形式 . 也可以直接用根轴法（零点分段法）求解3．一次不等式，二次不等式，特殊的高次不等式及分式不等式，我们称之为有理不等式.4．注意必要的讨论.5．一次、二次不等式组成的不等式组仍要借助于数轴. 四、、布置作业 五、思考题：1． 解关于x 的不等式：(x-x 2+12)(x+a)<0. 解：①将二次项系数化“+”为：(x 2-x-12)(x+a)>0，②相应方程的根为：-3，4，-a ，现a 的位置不定，应如何解？ ③讨论：ⅰ当-a>4，即a<-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x| -3<x<4或x>-a}.ⅱ当-3<-a<4，即-4<a<3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x| -3<x<-a 或x>4}.ⅲ当-a<-3，即a>3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x| -a<x<-3或x>4}.ⅳ当-a=4，即a=-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x| x>-3}.ⅴ当-a=-3，即a=3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x| x>4}.2．若不等式13642222<++++x x kkx x 对于x 取任何实数均成立，求k 的取值围.(提示：4x 2+6x+3恒正)（答：1<k<3） 六、板书设计（略） 七、课后记：。
不等式的解法高中数学高中数学：不等式与不等式组的解法1.一元一次不等式的解法任何一个一元一次不等式经过变形后都可以化为ax>b或axb而言，当a>0时，其解集为(ab，+∞)，当a<0时，其解集为(-∞，ba)，当a=0时，b<0时，期解集为R，当a=0，b≥0时，其解集为空集。
例1：解关于x的不等式ax-2>b+2x解：原不等式化为(a-2)x>b+2①当a>2时，其解集为(b+2a-2，+∞)②当a<2时，其解集为(-∞，b+2a-2)③当a=2，b≥-2时，其解集为φ④当a=2且b<-2时，其解集为R.2.一元二次不等式的解法任何一个一元二次不等式都可化为ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的形式，然后用判别式法来判断解集的各种情形(空集，全体实数，部分实数)，如果是空集或实数集，那么不等式已经解出，如果是部分实数，则根据“大于号取两根之外，小于号取两根中间”分别写出解集就可以了。
例2：解不等式ax2+4x+4>0(a>0)解：△=16-16a①当a>1时，△<0，其解集为R②当a=1时，△=0，则x≠-2，故其解集(-∞，-2)∪(-2，+∞)③当a<1时，△>0，其解集(-∞，-2-21-aa)∪(-2+21-aa，+∞)3.不等式组的解法将不等式中每个不等式求得解集，然后求交集即可.例3：解不等式组m2+4m-5>0(1)m2+4m-12<0(2)解：由①得m<-5或m>1由②得-6，故原不等式组的解集为(-6，-5)∪(1，2)4.分式不等式的解法任何一个分式不等都可化为f(x)g(x)>0(≥0)或f(x)g(x)<0(≤0)的形式，然后讨论分子分母的符号，得两个不等式组，求得这两个不等式组的解集的并集便是原不等式的解集.例4：解不等式x2-x-6-x2-1>2解：原不等式化为：3x2-x-4-x2-1>0它等价于(I)3x2-x-4>0-x2-1>0和(II)3x2-x-4<0-x2-1<0解(I)得解集空集，解(II)得解集(-1，43).故原不等式的解集为(-1，43).5.含有绝对值不等式的解法去绝对值号的主要依据是：根据绝对值的定义或性质，先将含有绝对值的不等式中的绝对值号去掉，化为不含绝对值的不等式，然后求出其解集即可。
高一数学必修一基本不等式高一数学必修一中的基本不等式是指在数学中常见且重要的一类不等式，它们在解决实际问题和证明数学定理时起着重要的作用。
本文将对高一数学必修一中的基本不等式进行介绍和解析，帮助读者更好地理解和掌握这一内容。
我们来讨论一元一次不等式。
一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次函数不等式。
对于一元一次不等式的解法，我们可以使用逆向思维，将不等式转化为等式，再根据等式的性质进行分析。
例如，对于不等式2x + 3 > 7，我们可以将其转化为2x + 3 = 7，然后解得x = 2。
由于不等式的解集包括等号的解和不包括等号的解，因此不等式的解集为x > 2。
接下来，我们来讨论一元二次不等式。
一元二次不等式是指只含有一个未知数的二次函数不等式。
对于一元二次不等式的解法，我们可以使用图像法、配方法、因式分解法等多种方法。
其中，图像法是最直观和易于理解的方法。
我们可以将二次函数的图像绘制出来，通过观察图像的形状和位置来确定不等式的解集。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以将其对应的二次函数y = x^2 - 4x + 3的图像绘制出来，然后观察图像在哪些区间上大于0，从而确定不等式的解集为x < 1或x > 3。
除了一元一次不等式和一元二次不等式，高一数学必修一中还有其他类型的不等式，如绝对值不等式、分式不等式等。
对于绝对值不等式，我们需要根据绝对值的定义和性质进行分析。
例如，对于不等式|2x - 3| ≤ 5，我们可以将其分为两种情况进行讨论，即2x - 3 ≥ 0和2x - 3 < 0。
对于分式不等式，我们需要注意分母不等于0的条件，并根据分式的性质进行分析。
例如，对于不等式(2x - 1)/(x + 2) > 0，我们需要考虑x + 2 ≠ 0的条件，并根据分式的正负性进行讨论。
除了以上介绍的基本不等式，高一数学必修一中还包括一些常见的不等式定理和不等式性质。
第5讲一元二次不等式与分式不等式的解法【知识要点】1、一元二次不等式的概念：我们把只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的不等式,称为一元二次不式.2、一元二次不等式的解法步骤■:一元二次不等式ax2 bx c 。
或ax2 bx c 0 a 0的解集：设相应的一元二次方程ax2成c 0 a 0的两根为x1、x2且x1 x2 ,3、解一元二次不等式的基本步骤：(1) 整理系数，使最高次项的系数为正数;(2) 尝试用“十字相乘法”分解因式；(3) 计算b24ac4、对于分式不等式：f(x) g(x )0,它等价于f(x) g(x )f(x) g(x )0, 它等价于 f(x)0 且 g(x) 0f(x) g(x ) 【典型例题】例1、 求卜列不等式的解集0, 它等价于 f(x) g(x)2(1) 4x 4x 1(2)x 2 2x 3 0(1) y 3x 2 6x 2例2、已知 x 23x0的解集是 {xx 1｝，求不等式ax 2 10x 12例3、解不等式(1) (2)例4、自变量x 在什么取值范围时，下列函数的值等于0 ?大于0 ?小于0 ?25 x 2例5、函数f(x) ax2a2x 2b a3，当x ( 2,6), f(x) 0,当x ( , 2) (6, ), f (x) 0, 求f(x)的解析式；一…2x 2 .. o例6、集合A {x------------ 1) B {xx 4x 5 0} , C {x m 1 x m 1, m R}x 2(1)求A B (2)若A B C,求m的取值范围.例7、求不等式(x2 2x 1) (2x2 3x 5) 0的解集【经典练习】1、如果Jx 2 x 6有意义，那么 x 的取值范围是2、若ax 2 bx 1 0的解集为3、解下列一元二次不等式 (x 1)(3 x) v 5 2x x(x 11) > 3(x 1)2(4)4、 已知关于x 的不等式 2ax2x0的解集为（1,1）,求cx 2 2x a 0的解集3 25、不等式ax 2 4x a 2 . .2x 对一切 x R 恒成立，则实数a 的取值范围【课后作业】 若0 a 1,那么不等式 (x a)(x1 1A. a x —B. —x aa a若关于 、一 2 . x 的万程x （m 1)x m 1、 2、 1、—）0的解是aC. x a 或x 3、 不等式(x 2x 2)(x 2 D.4、0有两个不相等的实数根，那么1）。
一元二次不等式与简单分式不等式的解法知识梳理1．一元一次不等式的解法一元一次不等式ax＞b(a≠0)的解集为(1)当a＞0时，解集为{x|x＞b a}.(2)当a＜0时，解集为{x|x＜b a}.2. 一元二次不等式的解法判别式Δ＝b2－4acΔ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 图象一元二次方程的根有两相异实根x1＝－b－Δ2a，x2＝－b＋Δ2a有两相等实根x1＝x2＝－b2a无实根ax2＋bx＋c＞{x|x＜x1或x{x|x≠－b2a，x R0(a＞0)的解集＞x2} ∈R}ax2＋bx＋c<0(a＞0){x|x1＜x＜x2} ∅∅口诀：大于取两边，小于取中间．3．分式不等式的解法(1)f(x)g(x)＞0f(x)·g(x)＞0，f(x)g(x)＜0f(x)·g(x)＜0；(2)f(x)g(x)≥0⎩⎪⎨⎪⎧f(x)·g(x) ≥0，g(x)≠0，，f(x)g(x)≤0⎩⎪⎨⎪⎧f(x)·g(x) ≤0，g(x)≠0，；(3)f(x)g(x)＞mf(x)g(x)－m＞0f(x)－m·g(x)g(x)＞0．4．简单高次不等式解法对于简单高次不等式一般用序轴标根法求解，步骤是先求出各表达式为零时的根，再作图求解．作图口诀：“自右向左，自上向下，奇穿偶不穿”，其中“奇穿偶不穿”含义为，若对应根对应根为奇数个，则穿过该点，如果为偶数个，则作图时不穿过该点．例如解不等式x (x－1)2(x－2)3＞0，在作图时，由于0,2这两个根分别是1个、3个，有奇数个根，因此作图时应穿过；而1这个根有2个，也就是有偶数个，因此作图时不穿过，如下图所示：由图知不等式x (x －1)2(x －2)3＞0解集为{x |x ＜0或x ＞2}．5．几点注意事项(1)对于不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或＞0)，若二次项含有字母参数时，不一定是二次不等式，要分a ＝0和a ≠0讨论．(2)解分式不等式f (x )g (x )＞m 时，不要直接在不等式两边同乘以分母，因为此时g (x )正负不确定．正确做法是移项将右边化为0，即化为f (x )g (x )－m ＞0，然后通分求解． 典例剖析题型一 一元二次不等式解法例1 解下列不等式(1)－3x 2－2x ＋8≥0；(2) x 2－3x ＋2≥0；解析 (1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0.解得－2≤x ≤43， 所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －2≤x ≤43. (2) 原不等式可化为(x －1)(x －2)≥0，解得x ≤1或x ≥2． 所以原不等式的解集为{x | x ≤1或x ≥2}．变式训练 解不等式0＜x 2－x －2≤4解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3.解题要点 求解一元二次不等式时，一般先通过变形，将不等式右边化为0，左边x 2前系数化为正，求出根或因式分解后借助口诀“大于取两边，小于取中间”写出解集．题型二 分式不等式解法例2 不等式x －3x －1≤0的解集为________． 答案 {x |1<x ≤3}解析 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ (x －3)(x －1)≤0，x ≠1，∴1<x ≤3.变式训练 函数f (x )＝ 1－x x ＋2的定义域为________． 答案 (－2,1]解析 1－x x ＋2≥0⇔x －1x ＋2≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)(x ＋2)≤0，x ＋2≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤x ≤1，x ≠－2⇔－2<x ≤1.解题要点 求解分式不等式时，需要将各个因式x 前系数化为正，然后也可以借助口诀“大于取两边，小于取中间”写出解集．但应注意等号问题，分母不可为0．题型三 一元二次不等式与一元二次方程根之间关系问题 例3 关于x 的不等式x 2＋(a ＋1)x ＋ab >0的解集是{x |x <－1或x >4}，则a ＋b ＝________．答案 －3解析 由题意知，－1，4为方程x 2＋(a ＋1)x ＋ab ＝0的两根，∴ a ＋1＝－3，ab ＝－4.∴ a ＝－4，b ＝1.∴ a ＋b ＝－3.变式训练 已知f (x )＝ax 2－x －c ，不等式f (x )＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则a ＝________，c ＝________．答案 －1，－2 解析 由根与系数的关系知1a ＝－2＋1，－c a＝－2，得a ＝－1，c ＝－2.解题要点 解决这类习题关键是理解三个二次之间的关系，一元二次函数与x 轴交点的横坐标即为对应一元二次方程的根，利用一元二次方程的根，结合函数图象就可以求出对应一元二次不等式．因此反过来，由一元二次不等式的解集，可以得到对应的一元二次方程的根，结合根与系数关系即可求出参数值． 题型四 一元二次不等式恒成立问题例4 若不等式mx 2－2x －1<0恒成立，则m 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧m <0（－2）2－4m （－1）<0，解得m <－1.变式训练 已知不等式x 2－2x ＋k 2－1>0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围为______________．答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 由题意，知Δ＝4－4×1×(k 2－1)<0，即k 2>2，∴k >2或k <－ 2.解题要点 一元二次不等式恒成立的条件(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，Δ<0.题型五 含参数一元二次不等式解法例5 解关于x 的不等式x 2－2ax －3a 2＞0(a ∈R ，a ≠0) 解析 由x 2－2ax －3a 2＞0知(x －3a )(x ＋a )＞0.由于a ≠0故分a ＞0与a ＜0讨论．当a ＜0时，x ＜3a 或x ＞－a ；当a ＞0时，x ＜－a 或x ＞3a .综上，a ＜0时，解集为{}x |x ＜3a 或x ＞－a ；a ＞0时，解集为{}x |x ＞3a 或x ＜－a .解题要点 对含参数一元二次不等式主要分三种讨论： 讨论二次项系数、讨论Δ，讨论两根的大小，具体如下：(1)当二次项系数含有参数应讨论是系数等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)当确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．当堂练习1．（2015江苏）不等式2x 2－x ＜4的解集为________．答案 {x |－1＜x ＜2}解析 ∵2x 2－x ＜4＝22，∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，解得－1<x <2.2．不等式x －2x 2－1<0的解集为________． 答案 {x |x <－1或1<x <2}解析 (x －2)(x 2－1)<0，(x ＋1)(x －1)(x －2)<0，数轴标根可得，x <－1或1<x <2．3. 不等式x －1x ＋2<0的解集为________． 答案 (－2,1)解析 原不等式化为(x －1)(x ＋2)<0，解得－2<x <1，∴原不等式的解集为(－2,1)．4．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是________．答案 (2,3)解析 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3).5．若关于x 的不等式12x 2＋(2－m )x <0的解集是{x |0<x <2}，则实数m ＝________.答案 3解析 由题知x ＝0或x ＝2是方程12x 2＋(2－m )x ＝0的根，可得m ＝3.课后作业一、 填空题1．不等式x －12x ＋1≤0的解集为________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 解析 不等式x －12x ＋1≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(2x ＋1)≤0，2x ＋1≠0⇒－12<x ≤1. 2．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集为________．答案 {x |x ≥1或x ＝－2}解析 由(x －1)x ＋2≥0，可知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2>0，x －1≥0或x ＋2＝0，解得x ≥1或x ＝－2.3．若0＜m ＜1，则不等式(x －m )(x －1m)＜0的解集为________． 答案 {x |m ＜x ＜1m }解析 当0<m <1时，m <1m. 4．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为________．答案 {x |－1<x <12} 解析 由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根．由韦达定理⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2＝－b a ，(－1)×2＝2a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1.∴不等式2x 2＋bx ＋a <0，即2x 2＋x －1<0.可知x ＝－1，x ＝12是对应方程的根，∴不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为{x |－1<x <12}. 5．若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是(－4,1)，则不等式b (x 2－1)＋a (x ＋3)＋c ＞0的解集为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，1 解析 由不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－4,1)知a ＜0，－4和1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以－4＋1＝－b a ，－4×1＝c a ，即b ＝3a ，c ＝－4a .故所求解的不等式为3a (x 2－1)＋a (x ＋3)－4a ＞0，即3x 2＋x －4＜0，解得－43＜x ＜1.。
