人教a版必修5学案：3.2一元二次不等式及其解法(1)(含答案)

课时训练16一元二次不等式及其解法一、一元二次不等式的解法1.不等式-x2-5x+6≤0的解集为()A.{x|x≥6或x≤-1}B.{x|-1≤x≤6}C.{x|-6≤x≤1}D.{x|x≤-6或x≥1}答案:D解析:由-x2-5x+6≤0得x2+5x-6≥0,即(x+6)(x-1)≥0,∴x≥1或x≤-6.2.(2015福建厦门高二期末,12)不等式-的解集是.答案:{x|x<2或x>3}解析:因为指数函数y=2x是增函数,所以-化为x2-5x+5>-1,即x2-5x+6>0,解得x<2或x>3.所以不等式的解集为{x|x<2或x>3}.3.解不等式:-2<x2-3x≤10.解:原不等式等价于不等式组---①②不等式①为x2-3x+2>0,解得x>2或x<1.不等式②为x2-3x-10≤0,解得-2≤x≤5.故原不等式的解集为[-2,1)∪(2,5].二、三个二次之间的关系4.(2015山东威海高二期中,8)不等式ax2+bx+2>0的解集是-,则a-b的值为()A.14B.-14C.10D.-10答案:D解析:不等式ax 2+bx+2>0的解集是 - ,可得- 是一元二次方程ax 2+bx+2=0的两个实数根,∴- =- ,- ,解得a=-12,b=-2. ∴a-b=-12-(-2)=-10.故选D .5.如果ax 2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4},那么对于函数f (x )=ax 2+bx+c ,f (-1),f (2),f (5)的大小关系是 .答案:f (2)<f (-1)<f (5)解析:由ax 2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4}知a>0,且-2,4是方程ax 2+bx+c=0的两实根,所以 - - - 可得 - -所以f (x )=ax 2-2ax-8a=a (x+2)(x-4).因为a>0,所以f (x )的图象开口向上.又对称轴方程为x=1,f (x )的大致图象如图所示,由图可得f (2)<f (-1)<f (5).6.(2015山东潍坊四县联考,11)不等式x 2-ax-b<0的解集是(2,3),则不等式bx 2-ax-1>0的解集是 .答案: - -解析:∵不等式x 2-ax-b<0的解集为(2,3), ∴一元二次方程x 2-ax-b=0的根为x 1=2,x 2=3.根据根与系数的关系可得: -所以a=5,b=-6.不等式bx 2-ax-1>0,即不等式-6x 2-5x-1>0,整理,得6x 2+5x+1<0,即(2x+1)(3x+1)<0,解之得- <x<-. ∴不等式bx 2-ax-1>0的解集是 - - .三、含参不等式的解法7.不等式(x+1)(x-a )<0的解集为{x|-1<x<2},则不等式- >1的解集为 .答案:{x|x<-2或x>1}解析:由已知不等式(x+1)(x-a )<0的解集为{x|-1<x<2}得x=2是(x+1)(x-a )=0的一个根, ∴a=2.∴不等式 - >1可化为 - >1,移项通分得 ->0, ∴(x+2)(x-1)>0,解得x<-2或x>1.∴所求解集为{x|x<-2或x>1}.8.解关于x 的不等式2x 2+ax+2>0.解:对于方程2x 2+ax+2=0,其判别式Δ=a 2-16=(a+4)(a-4).①当a>4或a<-4时,Δ>0,方程2x 2+ax+2=0的两根为:x 1= (-a- - ),x 2= (-a+ - ).∴原不等式的解集为- - - 或 - - . ②当a=4时,Δ=0,方程有两个相等实根,x 1=x 2=-1;当a=-4时,Δ=0,方程有两个相等实根,x 1=x 2=1.∴原不等式的解集为{x|x ≠±1}.四、不等式恒成立问题9.若一元二次不等式x 2-ax+1>0恒成立,则a 的取值范围是 .答案:-2<a<2解析:由Δ=a 2-4<0,解得-2<a<2.10.已知关于x 的不等式(m 2+4m-5)x 2-4(m-1)x+3>0对一切实数x 恒成立,求实数m 的取值范围. 解:(1)当m 2+4m-5=0,即m=1或m=-5时,显然m=1符合条件,m=-5不符合条件;(2)当m 2+4m-5≠0时,由二次函数对一切实数x 恒为正数,得 - - - -解得1<m<19.综合(1)(2)得,实数m的取值范围为[1,19).(建议用时:30分钟)1.不等式-6x2-x+2≤0的解集是()A.-B.-或C.D.-答案:B解析:原不等式等价于6x2+x-2≥0.方程6x2+x-2=0的两根为-,可得原不等式的解集为-,或x≥.2.函数y=--+log2(x+2)的定义域为()A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-∞,-1]∪[3,+∞)C.(-2,-1]D.(-2,-1]∪[3,+∞)答案:D解析:要使函数有意义,x的取值需满足解得-2<x≤-1或x≥3.3.已知0<a<1,关于x的不等式(x-a)->0的解集为()A.或B.{x|x>a}C.或D.答案:A解析:∵0<a<1,∴>1,即a<,∴不等式的解集为或.4.在R上定义运算=ad-bc,若-成立,则x的取值范围是()A.{x|x<-4或x>1}B.{x|-4<x<1}C.{x|x<-1或x>4}D.{x|-1<x<4}答案:B解析:由已知-=x2+3x,=4,∴x2+3x<4,即x2+3x-4<0,解得-4<x<1.5.若关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),则关于x的不等式->0的解集为()A.(-1,2)B.(-∞,-1)∪(2,+∞)C.(1,2)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)答案:B解析:因为关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),所以a>0,且=1,即a=b,所以关于x的不等式->0可化为->0,其解集是(-∞,-1)∪(2,+∞).6.已知二次方程ax2+bx+c=0的两个根是-2,3,若a>0,那么ax2-bx+c>0的解集是. 答案:{x|x<-3或x>2}解析:由题意知---∴b=-a,c=-6a.∴不等式ax2-bx+c>0,化为ax2+ax-6a>0,又∵a>0,∴x2+x-6>0,而方程x2+x-6=0的根为-3和2,∴不等式的解集是{x|x<-3或x>2}.7.已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立,则实数a的取值范围是. 答案:(0,8)解析:由题意得,Δ=(-a)2-4×2a<0.即a2-8a<0,∴0<a<8.8.设0≤α≤π,不等式8x2-(8sin α)x+sin α≥0的解集为R,则α的取值范围是. 答案:πππ解析:由已知不等式的解集为R,∴Δ=64sin2α-32sin α≤0,解得0≤sin α≤.∴由y=sin x的图象知,当0≤α≤π时,解得0≤α≤π或π≤α≤π.9.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+4x-5<0的解集为B,(1)求A∪B;(2)若不等式x2+ax+b<0的解集是A∪B,求ax2+x+b<0的解集.解:(1)解不等式x2-2x-3<0,得A={x|-1<x<3}.解不等式x2+4x-5<0,得B={x|-5<x<1}.∴A∪B={x|-5<x<3}.(2)由x2+ax+b<0的解集为{x|-5<x<3},∴-解得-∴2x2+x-15<0.∴不等式解集为-.。

课题：3.2一元二次不等式及其解法 (1)班级： 组名： 姓名： 设计人：赵帅军 审核人：魏帅举 领导审批：一．：自主学习，明确目标1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；教学重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。

教学难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

教学方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；二．研讨互动，问题生成从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：互联网的收费问题一元二次不等式模型：250x x -<1）一元二次不等式的定义象250x x -<这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式2）探究一元二次不等式250x x -<的解集怎样求不等式（1）的解集呢？ 探究：（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道：二次方程的有两个实数根：120,5x x ==二次函数有两个零点：120,5x x ==于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。

（2）观察图象，获得解集画出二次函数25y x x =-的图象，如图，观察函数图象，可知： 当 x<0，或x>5时，函数图象位于x 轴上方，此时，y>0,即250x x ->； 当0<x<5时，函数图象位于x 轴下方，此时，y<0,即250x x -<；所以，不等式250x x -<的解集是{}|05x x <<，从而解决了本节开始时提出的问题。

3.2一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式及其解法学习目标核心素养1.掌握一元二次不等式的解法．(重点)2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点) 通过一元二次不等式解法的学习，培养数学运算素养．1．一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0).(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0).(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0).(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0).思考：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？[提示]此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．3．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．思考：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？[提示]不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．4．三个“二次”的关系设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式Δ＞0Δ＝0Δ＜0解不等式f(x)＞0或f(x)＜0的步骤求方程f(x)＝0的解有两个不等的实数解x1，x2有两个相等的实数解x1＝x2没有实数解画函数y＝f(x)的示意图得等的集不式解f(x)＞0{x|x＜x1或x＞x2}⎩⎨⎧x⎪⎪⎪⎭⎬⎫x≠－b2a Rf(x)＜0{x|x1＜x＜x2}∅∅思考：若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？[提示]结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则⎩⎨⎧a>0，1＋4a<0，解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R.1．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为()A．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪x＞3或x＜－12B．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪－12≤x≤3C．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪x≥3或x≤－12D．RC[3＋5x－2x2≤0⇒2x2－5x－3≥0⇒(x－3)(2x＋1)≥0⇒x≥3或x≤－12.]2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集为()A．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪－1＜x＜13B．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪13＜x＜1C．∅D．RD[因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R.]3．不等式x2－2x－5>2x的解集是．{x|x>5或x<－1}[由x2－2x－5>2x，得x2－4x－5>0，因为x2－4x－5＝0的两根为－1，5，故x 2－4x －5>0的解集为{x |x <－1或x >5}．] 4．不等式－3x 2＋5x －4>0的解集为 ． ∅ [原不等式变形为3x 2－5x ＋4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以3x 2－5x ＋4＝0无解． 由函数y ＝3x 2－5x ＋4的图象可知，3x 2－5x ＋4<0的解集为∅.]一元二次不等式的解法 【例1】 解下列不等式： (1)2x 2＋7x ＋3>0； (2)－4x 2＋18x －814≥0；(3)－2x 2＋3x －2<0.[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12.又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >－12或x <－3.(2)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝94.(3)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R .解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； (4)根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集．[跟进训练] 1．解下列不等式 (1)2x 2－3x －2>0； (2)x 2－4x ＋4>0； (3)－x 2＋2x －3<0； (4)－3x 2＋5x －2>0.[解] (1)∵Δ>0，方程2x 2－3x －2＝0的根是x 1＝ －12，x 2＝2，∴不等式2x 2－3x －2>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－12或x >2.(2)∵Δ＝0，方程x 2－4x ＋4＝0的根是x 1＝x 2＝2， ∴不等式x 2－4x ＋4>0的解集为{}x |x ≠2. (3)原不等式可化为x 2－2x ＋3>0， 由于Δ<0，方程x 2－2x ＋3＝0无解， ∴不等式－x 2＋2x －3<0的解集为R . (4)原不等式可化为3x 2－5x ＋2<0，由于Δ>0，方程3x 2－5x ＋2＝0的两根为x 1＝23，x 2＝1， ∴不等式－3x 2＋5x －2>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪23<x <1.含参数的一元二次不等式的解法【例2】 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.思路探究：①对于二次项的系数a 是否分a ＝0，a <0，a >0三类进行讨论？②当a ≠0时，是否还要比较两根的大小？[解] 当a ＝0时，原不等式可化为x >1. 当a ≠0时，原不等式可化为(ax －1)(x －1)<0. 当a <0时，不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，∵1a <1，∴x <1a 或x >1.当a >0时，原不等式可化为(x －1a )·(x －1)<0. 若1a <1，即a >1，则1a <x <1； 若1a ＝1，即a ＝1，则x ∈∅； 若1a >1，即0<a <1，则1<x <1a .综上所述，当a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <1a 或x >1；当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ；当a ＝1时，原不等式的解集为∅；当a >1时，原不等式的解集为{x ⎪⎪⎪1a <x <1}．解含参数的一元二次不等式时的注意点(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．[跟进训练]2．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a <0). [解] 原不等式移项得ax 2＋(a －2)x －2≥0， 化简为(x ＋1)(ax －2)≥0.∵a <0，∴(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ≤0.当－2<a <0时，2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时，x ＝－1； 当a <－2时，－1≤x ≤2a . 综上所述， 当－2<a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时， 解集为{x |x ＝－1}； 当a <－2时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤2a .一元二次不等式、二次方程、二次函数的关系 [探究问题]1．利用函数y ＝x 2－2x －3的图象说明当y >0、y <0、y ＝0时x 的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？[提示] y ＝x 2－2x －3的图象如图所示．函数y ＝x 2－2x －3的值满足y >0时自变量x 组成的集合，亦即二次函数y ＝x 2－2x －3的图象在x 轴上方时点的横坐标x 的集合{x |x <－1或x >3}；同理，满足y <0时x 的取值集合为{x |－1<x <3}，满足y ＝0时x 的取值集合，亦即y ＝x 2－2x －3图象与x 轴交点横坐标组成的集合{－1，3}．这说明：方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)是函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)就转化为方程，当y >0或y <0时，就转化为一元二次不等式．2．方程x 2－2x －3＝0与不等式x 2－2x －3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？[提示] 方程x 2－2x －3＝0的解集为{－1，3}．不等式x 2－2x －3>0的解集为{x |x <－1或x >3}，观察发现不等式x 2－2x －3>0解集的端点值恰好是方程x 2－2x －3＝0的根．3．设一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)和ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集分别为{x |x <x 1或x >x 2}，{x |x 1<x <x 2}(x 1<x 2)，则x 1＋x 2，x 1x 2为何值？[提示] 一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)和ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集分别为{x |x <x 1或x >x 2}，{x |x 1<x <x 2}(x 1<x 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－ba ，x 1x 2＝ca ，即不等式的解集的端点值是相应方程的根．【例3】 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．思路探究：由给定不等式的解集形式→确定a <0及关于a ，b ，c 的方程组→用a 表示b ，c →代入所求不等式→求解cx 2＋bx ＋a <0的解集[解] 法一：由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系可知b a ＝－5，ca ＝6.由a <0知c <0，bc ＝－56，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即x 2＋b c x ＋a c >0，即x 2－56x ＋16>0，解得x <13或x >12，所以不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12. 法二：由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以ax 2＋bx ＋c ＝a (x －2)(x －3)＝ax 2－5ax ＋6a ⇒b ＝－5a ，c ＝6a ，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即6ax 2－5ax ＋a <0⇒6a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12.1．(变结论)本例中的条件不变，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集． [解] 由根与系数的关系知b a ＝－5，ca ＝6且a <0. ∴c <0，bc ＝－56，故不等式cx 2－bx ＋a >0， 即x 2－b c x ＋ac <0，即x 2＋56x ＋16<0.解之得⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <－13. 2．(变条件)若将本例中的条件“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}变为“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤2.求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．[解] 法一：由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－13≤x ≤2知a ＜0.又⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝c a ＜0，则c ＞0. 又－13，2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，∴－b a ＝53，∴b a ＝－53. 又c a ＝－23，∴b ＝－53a ，c ＝－23a ，∴所求不等式变为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－53a x ＋a ＜0，即2ax 2＋5ax －3a ＞0.又∵a ＜0，∴2x 2＋5x －3＜0， 所求不等式的解集为{x ⎪⎪⎪－3＜x ＜12}．法二：由已知得a ＜0 且⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋2＝－b a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝c a 知c ＞0，设方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两根分别为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝－b c ，x 1·x 2＝ac ， 其中a c＝1⎝⎛⎭⎪⎫－13×2＝－32， －b c ＝－b ac a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋12＝－52，∴x 1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－3，x 2＝12. ∴不等式cx 2＋bx ＋a ＜0(c ＞0)的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－3＜x ＜12.已知以a ，b ，c 为参数的不等式(如ax 2＋bx ＋c ＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：(1)根据解集来判断二次项系数的符号；(2)根据根与系数的关系把b ，c 用a 表示出来并代入所要解的不等式； (3)约去 a, 将不等式化为具体的一元二次不等式求解．1．解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)或ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)； ②求方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的根，并画出对应函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的简图；③由图象得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解． 当m <n 时，若(x －m )(x －n )＞0，则可得{x |x ＞n 或x ＜m }； 若(x －m )(x －n )＜0，则可得{x |m ＜x ＜n }． 有口诀如下：大于取两边，小于取中间． 2．含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a ＞0，a ＜0，a ＝0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0). (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x 1＞x 2， x 1＝x 2，x 1＜x 2.3．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数图象的开口及与x 轴的交点坐标．1．判断正误(1)mx 2－5x <0是一元二次不等式．( ) (2)若a >0，则一元二次不等式ax 2＋1>0无解．( )(3)若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，则一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x 1<x <x 2}．( ) (4)不等式x 2－2x ＋3>0的解集为R . ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√[提示] (1)错误．当m ＝0时，是一元一次不等式；当m ≠0时，是一元二次不等式．(2)错误．因为a >0，所以不等式ax 2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R .(3)错误．当a >0时，ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x 1<x <x 2}，否则不成立．(4)正确．因为Δ＝(－2)2－12<0，所以不等式x 2－2x ＋3>0的解集为R . 2．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0的解集为 ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <a 或x >1a[因为a <－1，所以a (x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0⇔(x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0.又a <－- 11 - 1，所以1a >a ，所以x >1a 或x <a .]3．若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，则a ＋b 的值为 ．－14 [由已知得，ax 2＋bx ＋2＝0的解为－12，13，且a <0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12＋13，2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×13，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝－2， ∴a ＋b ＝－14.]4．解下列不等式：(1)x (7－x )≥12；(2)x 2>2(x －1).[解] (1)原不等式可化为x 2－7x ＋12≤0，因为方程x 2－7x ＋12＝0的两根为x 1＝3，x 2＝4，所以原不等式的解集为{x |3≤x ≤4}．(2)原不等式可以化为x 2－2x ＋2>0，因为判别式Δ＝4－8＝－4<0，方程x 2－2x ＋2＝0无实根，而抛物线y ＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R .。

3.2 一元二次不等式及其解法-----学案一、学习目标1．掌握一元二次不等式的解法．(重点)2．能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点)二、自主学习教材整理1一元二次不等式的概念阅读教材P76第一行～P76倒数第四行，完成下列问题．1．一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．3．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．做一做1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．()(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．()(3)x2－x>0为一元二次不等式．()【解析】(1)×.当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式．(2)×.因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R.(3)×.因为一元二次不等式是整式不等式，而不等式中含有x，故该说法错误．【答案】(1)×(2)×(3)×教材整理2一元二次不等式、二次函数、二次方程间的关系阅读教材P76倒数第三行～P78例2，完成下列问题．三个“二次”的关系：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ＞0Δ＝0Δ＜0解不等式求方程f(x)＝0的解有两个不等的实数解x1，有两个相等的实数解没有实数解f (x )＞0或f (x )＜0的步骤x 2x 1＝x 2画函数y ＝f (x )的示意图得等的集不式解f (x )＞0 {x |x ＜x 1_或x ＞x 2} ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－b 2aR f (x )＜0{x |x 1＜x ＜x 2}∅∅:三、合作探究探究1：解一元二次不等式例1： 求下列一元二次不等式的解集．(1)x 2－5x >6； (2)4x 2－4x ＋1≤0； (3)－x 2＋7x >6. 【精彩点拨】【自主解答】 (1)由x 2－5x >6，得x 2－5x －6>0. ∵x 2－5x －6＝0的两根是x ＝－1或6， ∴原不等式的解集为{x |x <－1或x >6}．(2)4x 2－4x ＋1≤0，即(2x －1)2≤0，方程(2x －1)2＝0的根为x ＝12，∴4x 2－4x ＋1≤0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝12. (3)由－x 2＋7x >6，得x 2－7x ＋6<0，而x 2－7x ＋6＝0的两个根是x ＝1或6， ∴不等式x 2－7x ＋6<0的解集为{x |1<x <6}．归纳总结：解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． (2)判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． (3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． (4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)写解集．根据图象写出不等式的解集．探究2：解含参数的一元二次不等式例2：解关于x 的不等式x 2－ax －2a 2<0(a ∈R )． 【精彩点拨】【自主解答】原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0.对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.(1)当a>0时，x1>x2，不等式的解集为{x|－a<x<2a}；(2)当a＝0时，原不等式化为x2<0，无解；(3)当a<0时，x1<x2，不等式的解集为{x|2a<x<－a}．综上所述，原不等式的解集为：a>0时，{x|－a<x<2a}；a＝0时，x∈∅；a<0时，{x|2a<x<－a}．归纳总结：解含参数的一元二次不等式的一般步骤注：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．探究3：一元二次不等式、二次方程、二次函数的关系探究1利用函数y＝x2－2x－3的图象说明当y>0、y<0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？【提示】y＝x2－2x－3的图象如图所示．函数y＝x2－2x－3的值满足y>0时自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝x2－2x－3的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合{x|x<－1或x>3}；同理，满足y<0时x的取值集合为{x|－1<x<3}，满足y＝0时x 的取值集合，亦即y＝x2－2x－3图象与x轴交点横坐标组成的集合{－1,3}．这说明：方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就转化为方程，当y>0或y<0时，就转化为一元二次不等式．探究2 方程x 2－2x －3＝0与不等式x 2－2x －3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？【提示】 方程x 2－2x －3＝0的解集为{－1,3}．不等式x 2－2x －3>0的解集为{x |x <－1或x >3}，观察发现不等式x 2－2x －3>0 解集的端点值恰好是方程x 2－2x －3＝0的根．这说明： 一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)和ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集分别为{x |x <x 1或x >x 2}，{x |x 1<x <x 2}(x 1<x 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－ba ，x 1x 2＝ca ，即不等式的解集的端点值是相应方程的根．例3： 若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13≤x ≤2，求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集． 【精彩点拨】 一元二次不等式解集的两个端点值是一元二次方程的两个根．【自主解答】 法一：由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－13≤x ≤2，知a ＜0, 又⎝⎛⎭⎫－13×2＝ca ＜0，则c ＞0. 又－13，2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，∴－b a ＝53，∴b a ＝－53.又c a ＝－23，∴b ＝－53a ，c ＝－23a ，∴不等式变为⎝⎛⎭⎫－23a x 2＋⎝⎛⎭⎫－53a x ＋a ＜0， 即2ax 2＋5ax －3a ＞0.又∵a ＜0，∴2x 2＋5x －3＜0， 所求不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－3＜x ＜12. 法二：由已知得a ＜0 且⎝⎛⎭⎫－13＋2＝－b a ，⎝⎛⎭⎫－13×2＝c a ，知c ＞0， 设方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b c ，x 1·x 2＝ac ，其中a c ＝1⎝⎛⎭⎫－13×2，－b c ＝－b a c a ＝⎝⎛⎭⎫－13＋2⎝⎛⎭⎫－13×2＝1⎝⎛⎭⎫－13＋12，∴x 1＝－3，x 2＝12.∴不等式cx 2＋bx ＋a ＜0(c ＞0)的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－3＜x ＜12. 归纳总结：已知以a ，b ，c 为参数的不等式(如ax 2＋bx ＋c ＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循： (1)根据解集来判断二次项系数的符号；(2)根据根与系数的关系把b ，c 用a 表示出来并代入所要解的不等式；(3)约去 a, 将不等式化为具体的一元二次不等式求解． 四、学以致用 1．解下列不等式：(1)2x 2－x ＋6>0； (2)(5－x )(x ＋1)≥0.【解】 (1)∵方程2x 2－x ＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0， ∴函数y ＝2x 2－x ＋6的图象开口向上， 与x 轴无交点，∴原不等式的解集为R .(2)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0，∴原不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}． 2．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a <0).【解】 原不等式移项得ax 2＋(a －2)x －2≥0， 化简为(x ＋1)(ax －2)≥0.∵a <0，∴(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x －2a ≤0. 当－2<a <0时，2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，x ＝－1；当a <－2时，－1≤x ≤2a.综上所述，当－2<a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时，解集为{x |x ＝－1}；当a <－2时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x ≤2a . 3．已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．【解】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝－b a，2×3＝c a，a <0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5a ，c ＝6a ，a <0，代入不等式cx 2－bx ＋a >0，得6ax 2＋5ax ＋a >0(a <0)， 即6x 2＋5x ＋1<0，解得－12<x <－13，所以所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <－13 五、自主小测1．不等式6x 2＋x －2≤0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －23≤x ≤12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≥12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－23 2．设集合S ＝{x |x ＞－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( ) A ．(－2,1]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)3．二次函数y ＝x 2－4x ＋3在y <0时x 的取值范围是________.4．若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则实数a ＝________，实数b ＝________. 5．解下列不等式：(1)x (7－x )≥12； (2)x 2>2(x －1)．参考答案1.【解析】 因为6x 2＋x －2≤0⇔(2x －1)·(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－23≤x ≤12. 【答案】 A2.【解析】 T ＝{x |－4≤x ≤1}，根据补集定义，∁R S ＝{x |x ≤－2}，所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤1}，选C. 【答案】 C3.【解析】 由y <0，得x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3. 【答案】 (1,3)4.【解析】 由题意可知－1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根．由根与系数的关系得⎩⎨⎧－1＋2＝－ba ，－1×2＝2a，解得a ＝－1，b ＝1.【答案】 －1 15.【解】 (1)原不等式可化为x 2－7x ＋12≤0，因为方程x 2－7x ＋12＝0的两根为x 1＝3，x 2＝4， 所以原不等式的解集为{x |3≤x ≤4}． (2)原不等式可以化为x 2－2x ＋2>0，因为判别式Δ＝4－8＝－4<0，方程x 2－2x ＋2＝0无实根，而抛物线y ＝x 2－2x ＋2的图象开口向上， 所以原不等式的解集为R.。

第2课时一元二次不等式及其解法内 容 标 准学 科 素 养1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式．2.会对含参数的一元二次不等式分类讨论．3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.提升数学运算 发展逻辑思维 应用直观想象[基础认识]知识点一分式不等式的解法 思考并完成以下问题(1)若a ，b ∈R ，b a ＞0与ab ＞0，b a ＜0与ab ＜0是否等价？b a ≥0与ab ≥0，ba ≤0与ab ≤0呢？提示：b a ＞0⇔ab ＞0，ba＜0⇔ab ＜0.b a ≥0与ab ≥0不等价，ba≤0与ab ≤0不等价． (2)x －3x ＋2＞0与(x －3)(x ＋2)＞0等价吗？将x －3x ＋2＞0变形为(x －3)(x ＋2)＞0，有什么好处？ 提示：x －3x ＋2＞0⇔(x －3)(x ＋2)＞0⇔x ＞3或x ＜－2.知识梳理解分式不等式的同解变形法则 (1)f (x )g (x )＞0⇔f (x )g (x )＞0； (2)f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≤0g (x )≠0； (3)f (x )g (x )≥a ⇔f (x )－ag (x )g (x )≥0. 知识点二不等式恒成立知识梳理不等式x 2＋x ＋1＞0的解集为R ，即x 2＋x ＋1＞0在R 上恒成立． (1)一元二次不等式恒成立的情况： ①ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＜0；②ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0Δ≤0.(2)一般地，若函数y ＝f (x )，x ∈D 既存在最大值，也存在最小值，则： ①a ＞f (x )，x ∈D 恒成立⇔a ＞f (x )max ； ②a ＜f (x )，x ∈D 恒成立⇔a ＜f (x )min .[自我检测]1．不等式xx －1＞0的解集为________．答案：(－∞，0)∪(1，＋∞)2．不等式x 2＋ax ＋4＞0对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为________． 答案：(－4,4)授课提示：对应学生用书第58页 探究一简单的分式不等式[例1] (1)不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1＜2的解集为( )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x ＜－2或x ＞2}[解析]因为x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34＞0， 所以原不等式可化为x 2－2x －2＜2(x 2＋x ＋1)，化简得x 2＋4x ＋4＞0， 即(x ＋2)2＞0，所以原不等式的解集为{x |x ≠－2}． [答案]A(2)求下列不等式的解集 ①1－2x x ＋3≥0；②2－xx ＋3＞1. [解析]①原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(x ＋3)≤0，x ＋3≠0.解得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤x ≤12，x ≠－3，所以－3＜x ≤12，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －3＜x ≤12.②原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＞0，2－x ＞x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＜0，2－x ＜x ＋3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞－3，x ＜－12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－3，x ＞－12，所以－3＜x ＜－12，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －3＜x ＜－12.方法技巧(1)对于f (x )g (x )＞0，若已知g (x )的正、负可直接去分母g (x )．如本例(1)若不知正负，可转化为f (x )·g (x )＞0. (2)对于f (x )g (x )≥a ，可转化f (x )g (x )－a ≥0求解．跟踪探究 1.已知关于x 的不等式ax －1x ＋1＞0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞，则a ＝________.解析：ax －1x ＋1＞0等价于(ax －1)(x ＋1)＞0，由题意得a ＞0，且－1和12是方程的两个根，所以⎝⎛⎭⎫a 2－1⎝⎛⎭⎫12＋1＝0，所以a ＝2. 答案：22．解不等式x ＋1x －2≤2，解析：法一：移项，得x ＋1x －2－2≤0，左边通分并化简，得－x ＋5x －2≤0，即x －5x －2≥0，它的同解不等式为⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x －5)≥0，x －2≠0，∴x ＜2或x ≥5.原不等式的解集为{x |x ＜2或x ≥5}． 法二：原不等式可化为x －5x －2≥0.此不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －5≥0，x －2＞0，①或⎩⎪⎨⎪⎧x －5≤0，x －2＜0.②解①，得x ≥5. 解②，得x ＜2.∴原不等式的解集为{x |x ＜2或x ≥5}． 探究二解含参数的一元二次不等式[例2]解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0.[解析] (1)当a ＝0时，不等式化为－x ＋1＜0，∴x ＞1. 当a ≠0时，不等式化为(x －1)(ax －1)＜0 (2)若a ＞0，不等式化为(x －1)(x －1a )＜0①当a ＞1时，1a ＜1得1a ＜x ＜1②当a ＝1时，不等式无解 ③当0＜a ＜1时，1a ＞1得1＜x ＜1a(3)若a ＜0，不等式化为(x －1)(x －1a )＞01a ＜1得x ＞1或x ＜1a. 综上，当a ＜0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＜1a 或x ＞1；当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}； 当0＜a ＜1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 1＜x ＜1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 1a ＜x ＜1.延伸探究1.将本例的不等式变为：解关于x 的不等式(a ∈R )：x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＞0. 解析：将不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＞0变形为(x －a )(x －a 2)＞0.当a ＜0时，有a ＜a 2，所以不等式的解集为{x |x ＜a 或x ＞a 2}； 当a ＝0时，a ＝a 2＝0，所以不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}； 当0＜a ＜1时，有a ＞a 2，所以不等式的解集为{x |x ＜a 2或x ＞a }； 当a ＝1时，a ＝a 2＝1，所以不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠1}； 当a ＞1时，有a ＜a 2，所以不等式的解集为{x |x ＜a 或x ＞a 2}． 方法技巧解含参数的一元二次不等式的步骤 探究三不等式恒成立问题[教材P 103 A 组第3题]当k 取什么值时，一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立？探究：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0， ①Δ＝k 2－4×2k ×(－38)＜0，② 由②得－3＜k ＜0，∴－3＜k ＜0. [例3]设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )＜0恒成立，求m 的取值范围． (2)对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． [解析] (1)要使mx 2－mx －1＜0恒成立， 若m ＝0，显然－1＜0，满足题意；若m ≠0，⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇒－4＜m ＜0.所以－4＜m ≤0.(2)要使f (x )＜－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立． 就要使m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立． 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0，所以0＜m ＜67；当m ＝0时，－6＜0恒成立；当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数；所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0，得m ＜6，所以m ＜0. 综上∴m ＜67.方法技巧处理不等式恒成立问题的常用方法 (1)一元二次不等式恒成立的情况： ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0；Δ＜0；ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0；Δ≤0.(2)若函数y ＝f (x )，x ∈D 既存在最大值，也存在最小值，则： a ＞f (x )，x ∈D 恒成立⇔a ＞f (x )max ； a ＜f (x )，x ∈D 恒成立⇔a ＜f (x )min .(3)a ＞0时，f (x )＜0在区间[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (α)＜0，f (β)＜0.(4)a ＜0时，f (x )＞0在区间[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (α)＞0，f (β)＞0.延伸探究2.例3(1)中改为“对于一切实数x ，f (x )＝mx 2－mx ＋1＞0恒成立”，则m 的取值范围是________．解析：当m ＝0时，1＞0恒成立．当m ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ＝m 2－4m ＜0得0＜m ＜4综上0≤m ＜43．例3(1)中“函数f (x )＝mx 2－mx －1”改为“f (x )＝mx 2－mx －1，x ∈[2，＋∞)”，结论又是什么？解析：要使m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6＜0在[2，＋∞)上恒成立． 当m ＝0时，－6＜0恒成立；当m ＜0时，g (x )＝m (x －12)2＋34m －6＜0恒成立；当m ＞0时，g (x )在[2，＋∞)时为增函数，无最大值． 综上m ≤0.授课提示：对应学生用书第59页[课后小结]1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．当不等式含有等号时，分母不为零．2．对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然，这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到以下简单结论：(1)若f (x )有最大值f (x )max ，则a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max ；(2)若f (x )有最小值f (x )min ，则a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min .3．含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a ＞0，a ＜0，a ＝0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两个不等实数根(Δ＞0)，两个相等实数根(Δ＝0)，无根(Δ＜0)．(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x 1＞x 2，x 1＝x 2，x 1＜x 2.[素养培优]1．忽视二次项系数为零的情况致误关于x 的不等式(1＋m )x 2＋mx ＋m ＜x 2＋1对x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围． 易错分析错解中，忽视了对二次项次系数m ＝0是否符合题意的讨论，导致错误． 自我纠正原不等式可化为mx 2＋mx ＋(m －1)＜0， 若m ＝0，则不等式化为－1＜0，符合题意；若m ≠0，则应有⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2－4m (m －1)＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，3m 2－4m ＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ＜0或m ＞43⇔m ＜0. 综上，m 的取值范围为m ≤0.2．忽视对参数的分类讨论致误解关于x 的不等式x 2－2ax ＋3≥0(a ∈R )．易错分析错解中，没有考虑到方程没有实数根和只有一个实数根的情况，导致错误． 自我纠正当Δ＝4a 2－12＞0，即a ＞3或a ＜－3时， 方程x 2－2ax ＋3＝0有两个不相等的实数根， 即x 1＝2a －4a 2－122＝a －a 2－3，x 2＝2a ＋4a 2－122＝a ＋a 2－3，且x 1＜x 2，所以不等式的解集为 {x |x ≤a －a 2－3或x ≥a ＋a 2－3}；当Δ＝4a 2－12＜0，即－3＜a ＜3时，方程x 2－2ax ＋3＝0没有实数根，所以不等式的解集为R ；当Δ＝4a 2－12＝0，即a ＝±3时，方程x 2－2ax ＋3＝0有两个相等的实数根，所以不等式的解集为R .综上所述，当a ＞3或a ＜－3时，不等式的解集为{x |x ≤a －a 2－3或x ≥a ＋a 2－3}；当－3≤a ≤3时，不等式的解集为R .。

3.2 一元二次不等式及其解法(二)自主学习知识梳理1．解分式不等式的同解变形法则： (1)f (x )g (x )>0⇔____________； (2)f (x )g (x )≤0⇔________________； (3)f (x )g (x )≥a ⇔f (x )－ag (x )g (x )≥0. 2．处理不等式恒成立问题的常用方法： (1)一元二次不等式恒成立的情况：ax 2＋bx ＋c>0 (a ≠0)恒成立⇔____________； ax 2＋bx ＋c ≤0 (a ≠0)恒成立⇔____________.(2)一般地，若函数y ＝f(x)，x ∈D 既存在最大值，也存在最小值，则： a>f(x)，x ∈D 恒成立⇔____________； a<f(x)，x ∈D 恒成立⇔____________.自主探究对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠0)，你能借助二次函数的图象，探求两根满足下列特征的等价条件吗？(1)两个正根⇔____________； (2)两个负根⇔____________； (3)一正一负根⇔____________； (4)两根都小于k ⇔____________；(5)一根大于k ，一根小于k ⇔____________. (注：答案不唯一)对点讲练知识点一 分式不等式的解法例1 解分式不等式： (1)x ＋12－x ≥－2；(2)x 2＋2x －3－x 2＋x ＋6<0.总结 简单的分式不等式在求解时多化为f (x )g (x )>0，f (x )g (x )<0的形式，在变形的过程中，要注意等价性，同时要注意不等号是否含有等号，如f (x )g (x )≥0应⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )≥0g (x )>0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )≤0，g (x )<0但不等价于f(x)g(x)≥0，要注意这一点．变式训练1解不等式：x＋2x2＋x＋1>1.知识点二恒成立问题例2设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；(2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．总结含参数的二次不等式在某区间内恒成立，常有两种处理方法：方法一是利用二次函数在区间上的最值来处理；方法二是分离出参数再去求函数的最值．变式训练2若不等式2x－1>m(x2－1)对满足|m|≤2的所有实数都成立，求x的取值范围．知识点三一元二次方程根的分布例3 设a ∈R ，关于x 的一元二次方程7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0有两实根x 1，x 2，且0<x 1<1<x 2<2，求a 的取值范围．总结 解二次方程根的分布问题，首先要分清对应的二次函数的开口方向，及根所在的区间范围，列出有关的不等式及不等式组，进而求解．变式训练3 若方程4x ＋(m －3)·2x ＋m ＝0有两个不相同的实根，求m 的取值范围．1．解分式不等式时一定要等价变形为一边为零的形式，再化归成整式不等式(组)或高次不等式．若不等式含有等号时，分母不为零．2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .3．解有关一元二次方程根的分布及其他综合问题，要注意结合对应的二次函数图象特征，使问题更简单、直观.课时作业一、选择题1．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( ) A ．{x |x >1} B ．{x |x ≥1} C ．{x |x ≥1或x ＝－2} D ．{x |x ≥－2或x ＝1}2．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2}3．若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 等价于( )A ．－1b <x <0或0<x <1aB ．－1a <x <1bC ．x <－1a 或x >1bD ．x <－1b 或x >1a4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)．5．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．1<x <3B ．x <1或x >3C ．1<x <2D ．x <1或x >2题 号1 2 3 4 5 答 案二、填空题6．如果A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围为________．7．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是________．8．已知关于x 的不等式axx －1<1的解集为{x |x <1或x >3}，则a 的值是________．三、解答题9．已知函数f (x )＝x 2ax ＋b(a ，b 为常数)，且方程f (x )－x ＋12＝0有两个实根为x 1＝3，x 2＝4.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设k >1，解关于x 的不等式：f (x )<(k ＋1)x －k2－x.10．已知函数f (x )＝lg[(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]．(1)若f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为(－∞，＋∞)，求实数a 的取值范围．§3.2 一元二次不等式及其解法(二)知识梳理1．(1)f (x )·g (x )>0 (2)⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≤0g (x )≠0 2．(1)⎩⎨⎧ a >0Δ<0 ⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ≤0(2)a >f (x )max a <f (x )min自主探究(1)⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0x 1＋x 2>0x 1x 2>0 (2)⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1＋x 2<0x 1x 2>0(3)⎩⎨⎧Δ>0x 1x 2<0(4)⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1＋x 2<2k (x 1－k )(x 2－k )>0 (5)⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0(x 1－k )(x 2－k )<0对点讲练例1 解 (1)x ＋12－x ≥－2⇔x ＋12－x ＋2≥0⇔5－x2－x ≥0⇔x －5x －2≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x －5)≥0x －2≠0 ∴x <2或x ≥5.∴原不等式的解集为{x |x <2或x ≥5}．(2)原不等式的解集由下面两个不等式组的解集的并集构成．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3>0 ①x 2－x －6>0 ② ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3<0 ③x 2－x －6<0 ④由①解得{x |x <－3或x >1}； 由②解得{x |x <－2或x >3}．∴不等式组(1)的解集是{x |x <－3或x >3}． 由③解得{x |－3<x <1}； 由④解得{x |－2<x <3}．∴不等式组(2)的解集是{x |－2<x <1}．综上，原不等式的解集是{x |x <－3或－2<x <1或x >3}． 变式训练1 解 因为x 2＋x ＋1>0， 所以原不等式可化为x ＋2>x 2＋x ＋1， 即x 2－1<0，解得－1<x <1，所以原不等式的解集为{x |－1<x <1}． 例2 解 (1)要mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0.若m ≠0，⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0. ∴－4<m ≤0.(2)要f (x )<－m ＋5，就要使m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0，x ∈[1,3]． 方法一 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]， 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，∴g (x )max ＝g (3)，∴7m －6<0，得m <67.∴0<m <67.当m ＝0时，－6<0恒成立．当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数． ∴f (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6.∴m <0.综上所述，m <67.方法二 ∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又∵m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1.∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67.∴只需m <67即可．变式训练2 解 不等式变为m (x 2－1)－(2x －1)<0，即f (m )＝m (x 2－1)－(2x －1)<0在{m |－2≤m ≤2}上恒成立， 故⎩⎪⎨⎪⎧f (2)<0，f (－2)<0.解得7－12<x <1＋32，即x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12，1＋32. 例3 解 设f (x )＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2. 因为x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个实根， 且0<x 1<1,1<x 2<2，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2>0，7－(a ＋13)＋a 2－a －2<0，28－2(a ＋13)＋a 2－a －2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2>0，a 2－2a －8<0，a 2－3a >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <－1或a >2，－2<a <4，a <0或a >3⇒－2<a <－1或3<a <4.所以a 的取值范围是{a |－2<a <－1或3<a <4}．变式训练3 解 令2x ＝t ，则原方程变为t 2＋(m －3)t ＋m ＝0， ∵t >0.∴关于t 的二次方程有两不同正根的充要条件为：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －3)2－4m >0x 1＋x 2＝－(m －3)>0x 1·x 2＝m >0，解得0<m <1.∴所求m 的取值范围为(0,1)． 课时作业1．C [当x ＝－2时，0≥0成立．当x >－2时，原不等式变为x －1≥0，即x ≥1. ∴不等式的解集为{x |x ≥1或x ＝－2}．] 2．A [原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2 ⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2. ∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．]3．D [－b <1x <a ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x >01x <a 或⎩⎪⎨⎪⎧x <01x>－b⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >0x >1a或⎩⎪⎨⎪⎧x <0bx <－1⇔x >1a 或x <－1b .]4．A [f (1)＝12－4×1＋6＝3，当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1； 当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0.所以f (x )>f (1)的解集是x ∈(－3,1)∪(3，＋∞)．] 5．B [设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)g (a )>0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)＝x 2－3x ＋2>0g (－1)＝x 2－5x ＋6>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >2x <2或x >3 ⇔x <1或x >3.] 6．0≤a ≤4解析 a ＝0时，A ＝∅；当a ≠0时，A ＝∅⇔ax 2－ax ＋1≥0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ≤0⇔0<a ≤4，综上所述，实数a 的取值范围为0≤a ≤4.7．k ≤2或k ≥4解析 x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解， 把x ＝1代入不等式得k 2－6k ＋8≥0， 解得k ≥4或k ≤2. 8.23解析 原不等式化为axx －1－1＝(a －1)x ＋1x －1<0，其等价于(x －1)[(a －1)x ＋1]<0.∵不等式的解集为{x |x <1或x >3}，∴x ＝11－a＝3，解得a ＝23.9．解 (1)将x 1＝3，x 2＝4分别代入方程 x 2ax ＋b－x ＋12＝0 得⎩⎨⎧93a ＋b＝－9，164a ＋b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝2，所以f (x )＝x 22－x(x ≠2)．(2)不等式即为x 22－x <(k ＋1)x －k2－x ，可转化为x 2－(k ＋1)x ＋k2－x<0.即(x －2)(x －1)(x －k )>0.①当1<k <2时，原不等式的解集为{x |1<x <k 或x >2}；②当k ＝2时，不等式为(x －2)2(x －1)>0，原不等式的解集为{x |1<x <2或x >2}； ③当k >2时，原不等式的解集为{x |1<x <2或x >k }． 综上知，当1<k <2时，不等式的解集为{x |1<x <k 或x >2}； 当k ＝2时，不等式的解集为{x |1<x <2或x >2}； 当k >2时，不等式的解集为{x |1<x <2或x >k }． 10．解 (1)当a 2－1≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ＝(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 得a <－1或a >53.又a 2－1＝0时，得a ＝±1.a ＝－1时，满足题意．a ＝1时，不合题意．∴实数a 的取值范围为a ≤－1或a >53.(2)只要t ＝(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1能取到(0，＋∞)上的任何值，则f (x )的值域为R ， 故当a 2－1≠0时， 有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ≥0，得1<a ≤53.又当a 2－1＝0，即a ＝1时，t ＝2x ＋1符合题意．a ＝－1时不合题意．∴实数a 的取值范围为1≤a ≤53.。

3.2 一元二次不等式及其解法材拓展1．一元一次不等式通过同解变形，一元一次不等式可化为：ax >b .若a >0，则其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >b a .若a <0，则其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <b a .若a ＝0，b <0，解集为R ；b ≥0，解集为∅. 2．三个“二次”的关系通过同解变形，一元二次不等式可化为：ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)． 不妨设方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1、x 2且x 1<x 2.从函数观点来看，一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在x 轴上方部分的点的横坐标x 的集合；ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在x 轴下方部分的点的横坐标x 的集合．从方程观点来看，一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值．3．简单的高次不等式的解法——数轴穿根法数轴穿根法来源于实数积的符号法则，例如要解不等式(x －1)(x －2)(x －3)>0.我们可以列表如下：x 的区间x <1 1<x <2 2<x <3 x >3 x －1 － ＋ ＋ ＋ x －2 － － ＋ ＋ x －3 － － － ＋(x －3)(x －2)·(x －1) － ＋ － ＋把表格的信息“浓缩”在数轴得：据此，可写出不等式(x －1)(x －2)(x －3)>0的解集是{x |1<x <2或x >3}． 一般地，利用数轴穿根法解一元高次不等式的步骤是：(1)化成形如p (x )＝(x －x 1)(x －x 2)…(x －x n )>0 (或<0)的标准形式； (2)将每个因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每个点画曲线； (3)奇次根依次穿过，偶次根穿而不过(即不要改变符号)；(4)根据曲线显现出的p (x )的符号变化规律，标出p (x )的正值区间和负值区间； (5)写出不等式的解集，并检验零点是否在解集内． 4．分式不等式的解法 (1)f (x )g (x )>0⇔f (x )·g (x )>0. (2)f (x )g (x )<0⇔f (x )·g (x )<0. (3)f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≥0g (x )≠0. (4)f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≤0g (x )≠0. 注意：解不等式时，一般情况下不要在两边约去相同的因式．例如：解不等式：2x ＋1x －3>2x ＋13x －2.解 原不等式⇔2x ＋1x －3－2x ＋13x －2>0⇔(2x ＋1)2(x －3)(3x －2)>0⇔⎝⎛⎭⎫x ＋122(x －3)⎝⎛⎭⎫x －23>0⇔x <－12或－12<x <23或x >3.∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，23∪(3，＋∞)．5．恒成立问题(1)f (x )≥a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )min ≥a ，x ∈D 恒成立； f (x )≤a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )max ≤a ，x ∈D 恒成立；(2)ax 2＋bx ＋c >0恒成立⇔⎩⎨⎧ a >0Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c >0ax 2＋bx ＋c <0恒成立⇔⎩⎨⎧ a <0Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c <0. 6．一元二次方程根的分布我们以ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)为例，借助开口方向向上的二次函数的图象给出根的分布的充要条件.根的分布 二次函数的图象 充要条件x 1<k <x 2f (k )<0x 1<x 2<k⎩⎨⎧ f (k )>0－b2a <k Δ>0k <x 1<x 2⎩⎨⎧f (k )>0－b 2a >k Δ>0k 1<x 1 <x 2<k 2⎩⎨⎧f (k 1)>0f (k 2)>0k 1<－b 2a <k 2Δ>0k 1<x 1<k 2 <x 2<k 3⎩⎪⎨⎪⎧f (k 1)>0f (k 2)<0f (k 3)>0法突破一、分式不等式的解法方法链接：解分式不等式通常是移项通分再求解，切忌随意去分母(仅在分母恒大于零时可以去分母)．例1 解不等式：x 2＋2x －23＋2x －x 2≥x .解 原不等式⇔x 2＋2x －23＋2x －x 2－x ≥0⇔x 3－x 2－x －23＋2x －x 2≥0⇔(x 3－2x 2)＋(x 2－x －2)3＋2x －x 2≥0⇔(x －2)x 2＋(x －2)(x ＋1)x 2－2x －3≤0⇔(x －2)(x 2＋x ＋1)(x －3)(x ＋1)≤0⇔x －2(x ＋1)(x －3)≤0. 由图可知，原不等式的解集为{x |x <－1或2≤x <3}．二、含参数不等式的解法方法链接：对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行分类讨论，即要产生一个划分参数的标准．例2 解不等式：(x －k )(x ＋3)x ＋2<x ＋1 (k ∈R )．解 原不等式⇔kx ＋3k ＋2x ＋2>0⇔(x ＋2)(kx ＋3k ＋2)>0当k ＝0时，原不等式解集为{x |x >－2}； 当k >0时，(kx ＋3k ＋2)(x ＋2)>0，变形为⎝⎛⎭⎫x ＋3k ＋2k (x ＋2)>0.∵3k ＋2k ＝3＋2k >3>2，∴－3k ＋2k<－2.∴x <－3k ＋2k 或x >－2.故解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－2或x <－3k ＋2k . 当k <0时，原不等式⇔(x ＋2)⎝⎛⎭⎫x ＋3k ＋2k <0由(－2)－⎝⎛⎭⎫－3k ＋2k ＝k ＋2k .∴当－2<k <0时，k ＋2k <0，－2<－3k ＋2k ，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－3k ＋2k ； 当k ＝－2时，－3k ＋2k＝－2，原不等式⇔(x ＋2)2<0不等式的解集为∅；当k <－2时，k ＋2k >0，－2>－3k ＋2k .不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3k ＋2k <x <－2.综上所述，当k ＝0时，不等式的解集为{x |x >－2}； 当k >0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－3k ＋2k 或x >－2；当－2<k <0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－3k ＋2k ；当k ＝－2时，不等式的解集为∅； 当k <－2时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3k ＋2k <x <－2.三、恒成立问题的解法方法链接：在含参数的恒成立不等式问题中，参数(“客”)和未知数(“主”)是相互牵制、相互依赖的关系，在这里是已知参数a (“客”)的取值范围，反过来求x (“主”)的取值范围，若能转换“主”与“客”两者在问题中的地位：视参数a 为“主”，未知数x 为“客”，则关于x 的一元二次不等式就立即转化为关于a 的一元一次不等式，运用反“客”为“主”的方法，使问题迎刃而解．例3 已知不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围； (2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围．分析 题中不等式含有两个字母x ，p ，由(1)的条件可知，应视p 为变量，x 为常量，再求x 的范围；由(2)的条件可知，应视x 为变量，p 为常量，再求p 的范围．解 (1)不等式化为：(x －1)p ＋x 2－2x ＋1>0， 令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，则f (p )的图象是一条直线．又因为|p |≤2，所以－2≤p ≤2，于是得：⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)>0，f (2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)·(－2)＋x 2－2x ＋1>0，(x －1)·2＋x 2－2x ＋1>0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0. ∴x >3或x <－1. 故x 的取值范围是x >3或x <－1.(2)不等式可化为(x －1)p >－x 2＋2x －1， ∵2≤x ≤4，∴x －1>0.∴p >－x 2＋2x －1x －1＝1－x .由于不等式当2≤x ≤4时恒成立，所以p >(1－x )max .而2≤x ≤4，所以(1－x )max ＝－1， 于是p >－1.故p 的取值范围是p >－1. 四、一元二次方程根的分布 方法链接：一元二次方程根的分布一般要借助一元二次函数的图象加以分析，准确找到限制根的分布的充要条件．常常从以下几个关键点去限制，①判别式，②对称轴，③根所在区间端点函数值的符号．例4 已知关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围．解 设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，根据题意，画出示意图由图分析可得，m 满足不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2m ＋1<0f (－1)＝2>0f (1)＝4m ＋2<0f (2)＝6m ＋5>0解得：－56<m <－12.五、一元二次不等式的实际应用 方法链接：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，解出不等式后还应注意变量应具有的“实际含义”．例5 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m 吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点．即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x 个百分点，收购量能增加2x 个百分点．试确定x 的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.分析对比项 调整前 调整后税率 8% (8－x )%收购量 m (吨) (1＋2x %)m (吨)税收总收入 2 400m ×8%2 400(1＋2x %)m×(8－x)%解 设税率调低后的“税收总收入”为y 元． y ＝2 400m (1＋2x %)·(8－x )%＝－1225m (x 2＋42x －400) (0<x ≤8)．依题意，y ≥2 400m ×8%×78%即：－1225m (x 2＋42x －400)≥2 400m ×8%×78%整理得x 2＋42x －88≤0，解得－44≤x ≤2. 根据x 的实际意义，知0<x ≤8， 所以0<x ≤2为所求．区突破1．忽略判别式的适用范围而致错例1 若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围． [错解] 不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0， 对x ∈R 恒成立．⇔{ a －Δ<0 ⇔{ a(a －2)2－4(a －2)(－4)<0 ⇔－2<a <2.[点拨] 当a －2＝0时，原不等式不是一元二次不等式，不能应用根的判别式，应当单独检验不等式是否成立．[正解] 当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式为－4<0，所以a ＝2时成立． 当a －2≠0时，由题意得{ a －Δ<0， 即{ a(a －2)2－4(a －2)(－4)<0， 解得－2<a <2.综上所述，可知－2<a ≤2. 温馨点评 在中学阶段，“判别式”是与“二次”联系在一起的，对于一元一次不等式不能应用判别式法来判断．在处理形如ax 2＋bx ＋c 的问题时，要注意对x 2系数的讨论．2．混淆“定义域为R ”与“值域为R ”的区别而致错例2 若函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ，求a 的取值范围． [错解1] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴ax 2－2x ＋a >0对x ∈R 恒成立．∴{ aΔ<0， 即{ a－4a 2<0，∴a >1. [错解2] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴代数式ax 2－2x ＋a 能取遍一切正值． ∴Δ＝4－4a 2≥0， ∴－1≤a ≤1.[点拨] 上述解法1把值域为R 误解为定义域为R ；解法2虽然理解题意，解题方向正确，但是忽略了a <0时，代数式ax 2－2x ＋a 不可能取到所有正数，从而也是错误的．[正解] 当a ＝0时，y ＝lg(－2x )值域为R ， a ＝0适合．当a ≠0时，ax 2－2x ＋a ＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a 2＋⎝⎛⎭⎫a －1a 为使y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ， 代数式ax 2－2x ＋a 应取到所有正数．所以a 应满足⎩⎨⎧a a －1a ≤0，解得0<a ≤1. 综上所述，0≤a ≤1.题多解例 解不等式：lg x －1≤3－lg x . 解 方法一 lg x －1≤3－lg x⇔{ lg x －1≥－lg x ≥x －1≤(3－lg x )2 ⇔{ 1≤lg x ≤2x －7lg x ＋10≥0 ⇔{ 1≤lg x ≤x ≤2或lg x ≥5 ⇔1≤lg x ≤2⇔10≤x ≤100. 方法二 设lg x －1＝t ， 则lg x ＝t 2＋1 (t ≥0)．∴lg x －1≤3－lg x⇔{ t ≥t ≤2－t 2⇔0≤t ≤1⇔0≤lg x －1≤1 ⇔1≤lg x ≤2 ⇔10≤x ≤100.方法三 解方程lg x －1＝3－lg x ， 解得：x ＝100. 令f (x )＝lg x －1，易知f (x )在[10，＋∞)为增函数，g (x )＝3－lg x 在[10，＋∞)为减函数． 且f (100)＝g (100)＝1.为使f (x )≤g (x )， 则10≤x ≤100.方法四 令lg x ＝t ，f (t )＝t －1，g (t )＝3－t .在同一坐标系中画出它们的图象如图所示： 易知交点为(2,1)．当1≤t ≤2时，f (t )≤g (t )． 即lg x －1≤3－lg x 成立． 由1≤t ≤2，即1≤lg x ≤2， 解得：10≤x ≤100.题赏析1．(2009·江西)若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________.解析 令y 1＝9－x 2，y 2＝k (x ＋2)－2，在同一个坐标系中作出其图象，因9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为[a ，b ]且b －a ＝2.结合图象知b ＝3，a ＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,22)．∴k ＝22＋21＋2＝ 2.答案 2赏析 本题主要考查解不等式、直线过定点问题以及数形结合的数学方法． 2．(2009·天津)设0<b <1＋a ，若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数恰有3个，则( )A ．－1<a <0B ．0<a <1C ．1<a <3D ．3<a <6解析 (x －b )2>(ax )2，(a 2－1)x 2＋2bx －b 2<0，要使x 的解集中恰有3个整数，必须有a 2－1>0.又a ＋1>0，∴a >1.不等式变形为[(a －1)x ＋b ][(a ＋1)x －b ]<0.∵a >1，b >0，∴b a －1>0,0<ba ＋1<1，∴b 1－a <x <b a ＋1， 其中含三个整数，∴－3≤b 1－a <－2,2<ba －1≤3.∴2a －2<b ≤3a －3.∴{ 3a －3≥b >0，a －2<b <a ＋1，∴{ a >1，a <3，∴1<a <3. 答案 C赏析 本题考查了一元二次不等式知识灵活地运用．。

一、知识与技能1.巩固一元二次不等式的解法和解法与二次函数的关系、一元二次不等式解法的步骤、解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系；2.能熟练地将分式不等式转化为整式不等式(组)，正确地求出分式不等式的解集；3.会用列表法,进一步用数轴标根法求解分式及高次不等式；4.会利用一元二次不等式，对给定的与一元二次不等式有关的问题，尝试用一元二次不等式解法与二次函数的有关知识解题.二、过程与方法1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析得出结论的方法进行启发式教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性教学；3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.三、情感态度与价值观1.进一步提高学生的运算能力和思维能力；2.培养学生分析问题和解决问题的能力；3.强化学生应用转化的数学思想和分类讨论的数学思想.1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.1.深入理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.练［例题剖析］ 例1解下列不等式 （1）022<--x x （2）01652<-+-x x（3）0122<-+-x x （4）0962≤+-x x（5）01062≤++x x （6）0222<---x x课本80页练习例2已知不等式022>++c x ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131|x x 试解不等式022>-+-a x cx变式：已知的大小）与（）比较（的值）求（的正负）确定（）的解集是（）（且)7(f 5f 3ab -c 2a 14,20f ,)(2-<++=x c bx ax x f——————————————————————注意事项————————————————————以上高中数学必修教学课程教案均为word 文字可编辑版，如果刚好符合你要求，欢迎下载使用。

第2课时一元二次不等式及其解法习题课学习目标1.会利用一元二次不等式的解法解分式不等式.(逻辑推理、数学运算)2.掌握含参数的一元二次不等式的解法.(逻辑推理、数学运算)3.会解决一元二次不等式恒成立问题.(逻辑推理、数学运算)【关键能力·合作学习】类型一分式不等式的简单应用(逻辑推理、数学运算)1.不等式≥-1的解集为( )A. B.C. D.【解析】选B.根据题意≥-1⇒≥0⇒(3x-2)(x-3)≥0,且x-3≠0,解得x≤或x>3,即原不等式的解集为.2.不等式>0的解集是.【解析】不等式>0等价于(x-2)(x+4)<0.解得-4<x<2.故解集为{x|-4<x<2}.答案:{x|-4<x<2}3.不等式≥5的解集是.【解析】原不等式⇔≥⇔≤0⇔解得0<x≤.答案:利用一元二次不等式解分式不等式(1)变形:移项使右侧为0,左侧通分成分式,x的系数为正;(2)等价转化:①>0⇔f(x)g(x)>0;<0⇔f(x)g(x)<0;②≥0⇔≤0⇔【补偿训练】1.不等式≤0的解集是( )A.0<x<3B.(-∞,1]∪(3,+∞)C.[1,3)D.[1,3]【解析】选C.不等式≤0,等价于,解得1≤x<3,所以不等式的解集是[1,3).2.不等式≥1的解集是( )A.[2,3]B.(2,3]C.(-∞,2)∪[3,+∞)D.(-∞,2]∪[3,+∞)【解析】选B.根据题意,≥1⇒≥0⇒≥0⇒(x-3)(x-2)≤0且x≠2,解得:2<x≤3,即不等式的解集为(2,3].3.若关于x 的不等式>0的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),则实数a=. 【解析】>0⇔(x+1)(x-a)>0⇔(x+1)(x-4)>0,所以a=4.答案:4类型二含参数的一元二次不等式的解法(逻辑推理、数学运算) 【典例】解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.四步内容理解题意条件: ax2-(a+1)x+1<0. 结论:解不等式.思路探求①对于二次项的系数a是否分a=0,a<0,a>0三类进行讨论?②当a≠0时,是否还要比较两根的大小?书写表达当a=0时,原不等式可化为x>1.当a≠0时,原不等式可化为(ax-1)(x-1)<0. 当a<0时,不等式可化为(x-1)>0,因为<1,所以x<或x>1.当a>0时,原不等式可化为(x-1)<0.若<1,即a>1,则<x<1;若=1,即a=1,则x∈⌀;若>1,即0<a<1,则1<x<.综上所述,当a<0时,原不等式的解集为;当a=0时,原不等式的解集为{x|x>1};当0<a<1时,原不等式的解集为;当a=1时,原不等式的解集为⌀;当a>1时,原不等式的解集为题后本题关键是找准讨论的切入点反思对于含参数的一元二次不等式常常要分情况讨论,分类讨论的标准有:(1)二次项系数(若二次项系数中含有字母);(2)判别式Δ;(3)两根x1,x2的大小关系.在解题时,要根据题目合理选择.解下列关于x的不等式.(1)x2-(a+2)x+2a>0;(2)x2+2x+a>0.【解析】(1)x2-(a+2)x+2a>0可化为(x-2)(x-a)>0.当a=2时,原不等式化为(x-2)2>0,得x≠2.当a>2时,不等式的解集为{x|x>a或x<2}.当a<2时,不等式的解集为{x|x<a或x>2}.综上所述,当a=2时,原不等式的解集为{x|x∈R且x≠2},当a>2时,原不等式的解集为{x|x<2或x>a},当a<2时,原不等式的解集为{x|x<a或x>2}.(2)因为x2+2x+a>0中的Δ=4-4a.当Δ=0,即a=1时,原不等式可化为(x+1)2>0,得x≠-1.当Δ=4-4a<0,即a>1时,x2+2x+a>0恒成立,原不等式的解集为R.当Δ=4-4a>0,即a<1时,因为x2+2x+a=0的两根x1=-1+,x2=-1-,所以原不等式的解集为{x|x>-1+或x<-1-}.综上所述,当a=1时,原不等式的解集为(-∞,-1)∪(-1,+∞),当a>1时,原不等式的解集为R,当a<1时,原不等式的解集为(-∞,-1-)∪(-1+,+∞).【拓展延伸】解含参数的一元二次不等式的一般步骤注:对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集,不能合并.【拓展训练】解关于x的不等式ax2-x-≥0(a∈R).【解析】当a=0时,-x-≥0,解得x≤-;当a≠0时,Δ=(-1)2-4a×=1+a;当a<-1时,Δ<0,不等式的解集为⌀;当a=-1时,Δ=0,不等式的解集为;当-1<a<0时,Δ>0,不等式的解集为;当a>0时,Δ>0,不等式的解集为.综上所述,当a<-1时,不等式的解集为⌀;当a=-1时,不等式的解集为;当-1<a<0时,不等式的解集为;当a=0时,不等式的解集为;当a>0时,不等式的解集为.【补偿训练】1.解关于x的不等式 x2-(a+a2)x+a3>0(a∈R).【解析】原不等式可化为(x-a)(x-a2)>0.所以当a<0时,a<a2,解集为{x|x<a或x>a2};当a=0时,a2=a,解集为{x|x≠0};当0<a<1时,a2<a,解集为{x|x<a2或x>a};当a=1时,a2=a,解集为{x|x≠1};当a>1时,a<a2,解集为{x|x<a或x>a2}.综上所述,当a<0或a>1时,解集为{x|x<a或x>a2};当0<a<1时,解集为{x|x<a2或x>a};当a=0时,解集为{x|x≠0};当a=1时,解集为{x|x≠1}.2.解关于x的不等式:(a+1)x2-(2a+3)x+2<0.【解析】(1)当a=-1时,原不等式变为-x+2<0,即x>2;(2)当a>-1时原不等式可转化为(x-2)<0,若-1<a<-,则>2,所以2<x<;若a=-,则=2,所以x∈⌀;若a>-,则<2,所以<x<2;(3)当a<-1时原不等式可转化为(x-2)>0;因为a<-1,所以<2,所以x<或x>2.综上可知原不等式的解集为当a>-时,解集为;当a=-时,解集为⌀;当-1<a<-时,解集为.当a=-1时,解集为{x|x>2}.当a<-1时,解集为.类型三不等式恒成立问题(逻辑推理、数学运算)角度1 在实数集R上的恒成立问题【典例】若不等式ax2-x+a>0对一切实数x都成立,则实数a的取值范围为( )A.a<-或a>B.a>或a<0C.a>D.-<a<【思路导引】转化为不等式的解集为R,列方程组求范围.【解析】选C.不等式ax2-x+a>0对一切实数x都成立,即不等式的解集为R,a=0时不满足;则,即,解得a>,所以实数a的取值范围是a>.将本例中的条件改为“ax2-x+a<0”,其他条件不变,试求实数a的范围.【解析】不等式ax2-x+a<0对一切实数x都成立,即不等式的解集为R,则即解得a<-.角度2 在定区间上的恒成立问题【典例】1.当x∈[1,4]时,不等式x2-4x-2-a≥0恒成立,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,-2] B.[-2,+∞)C.[-6,+∞)D.(-∞,-6]【思路导引】利用不等式对应函数的最值解题.【解析】选D.令f(x)=x2-4x-2-a,x∈[1,4],f(x)=x2-4x-2-a=(x-2)2-6-a,所以f(x)min=-6-a≥0,所以a≤-6.2.已知不等式x2+2(a-2)x-4<0在[-3,1]上恒成立.则实数a的取值范围是.【思路导引】转化为相应的函数图象解题.【解析】令f(x)=x2+2(a-2)x-4,若对任意x∈[-3,1]时,f(x)<0恒成立,f(x)的图象如图所示.由图象可知,此时a应该满足即解得<a<.答案:<a<处理恒成立问题的方法(1)转化为一元二次不等式的解集为Rax2+bx+c>0⇔ax2+bx+c<0⇔(2)利用函数的图象令f(x)=ax2+bx+c,区间D=[m,n],①a>0,ax2+bx+c<0在D上恒成立⇔②a<0,ax2+bx+c>0在D上恒成立⇔1.若函数f(x)=ax2+ax-1在R上满足f(x)<0恒成立,则实数a的取值范围是( ) A.a≤0 B.a<-4C.-4<a<0D.-4<a≤0【解析】选D.当a=0时f(x)=-1在R上满足f(x)<0恒成立;当a≠0时,因为f(x)在R上满足f(x)<0恒成立,所以解得-4<a<0.综上所述,实数a的取值范围是-4<a≤0.2.已知f(x)=x2+ax+3-a,若x∈[-2,2],f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.【解析】设函数f(x)=x2+ax+3-a在x∈[-2,2]时的最小值为g(a),则(1)当对称轴x=-<-2,即a>4时,g(a)=f(-2)=7-3a≥0,解得a≤,与a>4矛盾,不符合题意.(2)当-∈[-2,2],即-4≤a≤4时,g(a)=3-a-≥0,解得-6≤a≤2,此时-4≤a ≤2.(3)当->2,即a<-4时,g(a)=f(2)=7+a≥0,解得a≥-7,此时-7≤a<-4.综上,a的取值范围为-7≤a≤2.【拓展延伸】恒成立问题的解题技巧——分离参数法分离参数时,经常要用到以下简单结论(1)若f(x)有最大值f(x)max,则a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max;(2)若f(x)有最小值f(x)min,则a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min.【拓展训练】设x2-2x+a-8≤0对于任意x∈(1,3)恒成立,则a的取值范围是.【解析】原不等式x2-2x+a-8≤0转化为a≤-x2+2x+8对任意x∈(1,3)恒成立,设f(x)=-x2+2x+8,易知f(x)在[1,3]上的最小值为f(3)=5.所以a∈(-∞,5].答案: (-∞,5]【补偿训练】设函数f(x)=mx2-mx-1.(1)若对于一切实数x,f(x)<0恒成立,求m的取值范围;(2)对于任意x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.【解析】(1)要使mx2-mx-1<0恒成立,若m=0,显然-1<0,满足题意;若m≠0,⇒-4<m<0.所以-4<m≤0.(2)方法一:要使f(x)<-m+5在x∈[1,3]上恒成立.就要使m+m-6<0在x∈[1,3]上恒成立.令g(x)=m+m-6,x∈[1,3].当m>0时,g(x)在[1,3]上是增函数,所以g(x)max=g(3)=7m-6<0,所以0<m<;当m=0时-6<0恒成立;当m<0时,g(x)在[1,3]上是减函数,所以g(x)max=g(1)=m-6<0,得m<6,所以m<0.综上所述:m<.方法二:当x∈[1,3]时,f(x)<-m+5恒成立,即当x∈[1,3]时,m(x2-x+1)-6<0恒成立.因为x2-x+1=+>0,又m(x2-x+1)-6<0,所以m<.因为函数y==在[1,3]上的最小值为,所以只需m<即可.【课堂检测·素养达标】1.不等式>0的解集是( )A.(-3,2)B.(2,+∞)C.(-∞,-3)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(3,+∞)【解析】选C.不等式>0可化为(x-2)(x+3)>0得,x>2或x<-3.2.对任意的x∈R,x2-ax+1>0恒成立,则实数a的取值范围是( )A.(-2,2)B.(-∞,2)∪(2,+∞)C.[-2,2]D.(-∞,2]∪[2,+∞)【解析】选A.由题意可知Δ=a2-4<0,解得-2<a<2.3.不等式≤-2的解集为.【解析】原不等式可化为≤0,故(4x+5)(x+3)≤0且x≠-3,故解集为.答案:4.若不等式-x2+2x-a≤0恒成立,则实数a的取值范围是.【解析】由题意得Δ=4-4a≤0,所以a≥1.答案:a≥15.解下列不等式:(1)≥0;(2)>1.【解析】(1)原不等式可化为解得所以x<-或x≥,所以原不等式的解集为.(2)方法一:原不等式可化为或解得或所以-3<x<-,所以原不等式的解集为.方法二:原不等式可化为>0,化简得>0,即<0,所以(2x+1)(x+3)<0解得-3<x<-.所以原不等式的解集为.【新情境·新思维】若不等式x2+x+m2<0的解集不是空集,则实数m的取值范围为( ) A. B.C. D.【解析】选B.不等式x2+x+m2<0的解集不是空集,所以Δ=1-4m2>0,-<m<,所以实数m的取值范围是.。