高中数学必修5一元二次不等式及其解法精选题目(附答案)

高中数学必修5一元二次不等式及其解法精选题目（附答案）1．一元二次不等式

我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．

2．一元二次不等式的解与解集

使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．

3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系表

题型一：一元二次不等式解法

1.解下列不等式：

(1)2x2＋5x－3<0；

(2)－3x2＋6x≤2；

(3)4x2＋4x＋1>0；

(4)－x2＋6x－10>0.

题型二：三个“二次”关系的应用

2.若不等式ax 2

＋bx ＋2>0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪⎪⎪

－12

3

，则a ＋b 的值为( )

A ．14

B ．－10

C ．10

D ．－14

3.已知一元二次不等式x 2

＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪⎪⎪

－12＜x ＜13，求不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集．

题型三：解含参数的一元二次不等式

4.解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a ＜0.

巩固练习：

1．不等式6x 2＋x －2≤0的解集为( )

A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪⎪⎪

－23≤x ≤1

2

B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪⎪⎪

x ≤－23或x ≥1

2 C.⎩

⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪⎪⎪

x ≥12

D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪⎪⎪

x ≤－2

3 2．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x －1a <0的解集为( )

A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪

x 1a B ．{x |x >a } C.⎩

⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪

⎪⎪

x >a 或x <1a

D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪

⎪⎪

x <1

a 3．在R 上定义运算⊙：a ⊙

b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )

A ．(0,2)

B ．(－2,1)

C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

D ．(－1,2)

4．不等式mx 2－ax －1>0(m >0)的解集可能是( )

A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪⎪⎪

x <－1或x >1

4 B ．R C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫x ⎪

⎪⎪

－13

5．函数y ＝1

7－6x －x 2

的定义域为( )

A ．[－7,1]

B ．(－7,1)

C ．(－∞，－7]∪[1，＋∞)

D ．(－∞，－7)∪(1，＋∞)

6．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－1≥0}，则∁U A ＝________.

7．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的图象与x 轴的两个交点为(－1,0)和(3,0)，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是________．

8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x <0.若f (a )≤3，则a 的取值范围是________．

9．解关于x 的不等式x 2－3ax －18a 2>0. 10．若函数f (x )＝

2 018

ax 2＋2ax ＋2

的定义域是R ，求实数a 的取值范围．

参考答案：

1.[解] (1)Δ＝49>0，方程2x 2＋5x －3＝0的两根为x 1＝－3，x 2＝1

2， 作出函数y ＝2x 2＋5x －3的图象，如图①所示．

由图可得原不等式的解集为⎩

⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪⎪⎪

－3

2

.

(2)原不等式等价于3x 2－6x ＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x 2－6x ＋2＝0，得x 1＝3－33，x 2＝3＋3

3，

作出函数y ＝3x 2－6x ＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪⎪

x ≤3－33或x ≥

3＋33. (3)∵Δ＝0，∴方程4x 2＋4x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝－1

2.作出函数y ＝4x 2＋4x ＋1的图象如图所示．

由图可得原不等式的解集为

⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪

⎪⎪

x ≠－1

2，x ∈R

.

(4)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，∵Δ＝－4<0， ∴方程x 2－6x ＋10＝0无实根，∴原不等式的解集为∅. 2.解：由已知得，

ax 2＋bx ＋2＝0的解为－12，1

3，且a <0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧

－b a ＝－12＋13，2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×1

3，解得⎩

⎨⎧

a ＝－12，

b ＝－2，

∴a ＋b ＝－14.

3.解：因为x 2

＋px ＋q ＜0

的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪

－12＜x ＜13

，所以x 1＝－12与x 2＝1

3是

方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实数根，

由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧

13－1

2＝－p ，

13×⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－12＝q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧

p ＝1

6，q ＝－1

6 .

所以不等式qx 2

＋px ＋1＞0即为－16x 2＋1

6x ＋1＞0，整理得x 2－x －6＜0，解得－2＜x ＜3.

即不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集为{x |－2＜x ＜3}．

4.[解] 方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a ，函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，则当a ＜－1时，原不等式解集为{x |a ＜x ＜－1}；

当a ＝－1时，原不等式解集为∅；

当a ＞－1时，原不等式解集为{x |－1＜x ＜a }． 5.设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0.

5.解：(1)当a ＝0时， 不等式可化为x －2>0，解得x >2，即原不等式的解集为{x |x >2}．

(2)当a ≠0时，方程ax 2＋(1－2a )x －2＝0的两根分别为2和－1a .

①当a <－12时，解不等式得－1

a

⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪

－1a