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新人教版必修五一元二次不等式及其解法(PPT)

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高中数学 一元二次不等式及解法 PPT课件 图文

高中数学 一元二次不等式及解法 PPT课件 图文

y<0
O x1
x
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
有两相等实根 b
x1=x2= 2 a
{x|x<x1,或 x>x2}
b {x|x≠ 2 a }
{x|x1< x <x2 }
Φ
△<0 y
y>0
x O 没有实根
R Φ
函数 、方程、不等式的关系
a<0时如何求解呢？
自主练习
1．下列是关于x的一元二次不等式化为(x＋2a)(x－a)＜0 对应的一元二次方程的根为x1＝a，x2＝－2a， (1)当a＞－2a，即a＞0时，－2a＜x＜a， (2)当a＝－2a，即a = 0时，原不等式化为x^2＜0，无解, (3)当a＜－2a, 即a＜0时, a＜x＜－2a. 综上所述，原不等式的解集为： 当a＞0时，{x|－2a＜x＜a} 当a＝0时， ∅ 当a＜0时，{x|a＜x＜－2a}
A．(－3,2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－3)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(3，＋∞) 解析：不等式的解集是(－∞，－3)∪(2，＋∞)，故
选C. 答案： C
课堂 讲 义
求解一元二次不等式
例一 求下列一元二次不等式的解集:
(1)－x2＋5x＜－6
解：原不等式可化为 x2－5x－6>0
集。
变式训练
求下列不等式的解集:
(1)－2x2＋3x＋2 ≤ 0；
{ x|x2或 x 2 }
y x1 O x2 x
变式训练
(2)4x2＋4x＋1>0
{x
|x


1} 2
y
O x1
x
变式训练

一元二次不等式及其解法(优质)(课堂PPT)

一元二次不等式及其解法(优质)(课堂PPT)

15
Come on
采撷成果 判 根 求 根 图 像 标 穿 根 根 解 不 等 式
解 不 等 式 - 2 x 2 x 3 .
16
Come on
采撷成果 判 根 求 根 图 像 标 穿 根 根 解 不 等 式
解 不 等 式 3 x 2 5 x 0 .
17
Come on
采撷成果 判 根 求 根 图 像 标 穿 根 根 解 不 等 式
采撷成果 判 根 求 根 图 像 标 穿 根 根 解 不 等 式
解 不 等 式 3 x 2 7 x 1 0 .
12
Come on
知识梳理
求不等式的解集的一般步骤：
不等式的一
求相应方
结合图像，写出
端看 是零 否为 0 判判 断方根 程 求 程的根 根 作图 相应像 函 标 穿 根 根 不解 等不 式的等 解式 集
只含有一个未知数，并且未知数最高 次数是1的不等式。
一元一次不等式的一般形式：
ax b 0(a 0), ax b 0(a 0) ax b 0(a 0), ax b 0(a 0)
3
领悟小结 自主探究
请同学们解决以下问题： (1)解方程2x-7=0的根；
(2)画出一次函数 fx2x7的图像； (3)解不等式 2x70和2x-70。y
3)当x
时, y < 0;
;01
6
x
即x2-7x 6 0的解集为
;
x27x60有 两 个实数根,即:
yx27x6有 两 个零点,即:
方程的根 就是 函数的零点 6
Come on
新知探究
一元二次方程：ax2bxc0(a0)一般式
x b b2 4ac 求根公式 2a

高中数学人教A版必修五：3.2一元二次不等式及解法(一)(共14张PPT)

高中数学人教A版必修五：3.2一元二次不等式及解法(一)(共14张PPT)

ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
{x|x1< x <x2 }
△=0 y
O x1
x
{x|x≠
b 2a
}
Φ
△<0 y
x O
R Φ
例1.解不等式 2x2－3x－2 > 0
解:因为△ =(-3)2-4×2×(-2)>0,
方程的解2x2－3x－2 =0的解是
x1
1 2
,
x2
2
所以,原不等式的解集是
x
|
x
1 2
, 或x
2.
变式:解不等式 - 2x2+3x+2 < 0
先求方程的根 然后想像图象形状
注:开口向上,大于0 解集是大于大根,小 于小根(两边飞)
求一元二次不等式ax2 bx c 0(a 0)解集的一般步骤 :
①判断△的符号 ； ②若△<0,则不等式的解集为R;
③若 0，求出方程ax2 bx c 0的两根；
x -3 x 4，求不等式bx2 2ax c 3b 0的解集.
例6：解关于x的不等式ax2 (1 a)x 1 0.
④结合y=ax2+bx+c的图象，写出不等式解集
若a<0时,先变形!
例2：求不等式4x2 4x 1 0的解集
解:因为△ =0,方程4x2－4x＋1 =0的解是
x1
x2
1 2，
所以,原不等式的解集是
x
|
x
1
2
例3：解不等式 －x2 ＋2x－3 > 0
x2 2x 3 0
△ =-8<0
所以,原不等式的解集是Φ

2.3第1课时 一元二次不等式及其解法PPT课件(人教版)

2.3第1课时 一元二次不等式及其解法PPT课件(人教版)
31
3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 分别为{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，则x1＋x2，x1x2为何值？
提示：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解
集分别为{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，则xx11＋x2＝x2＝ac，－ba，
＜0 c(a＞0)的图象
的步 得等的集 骤 不式解
y＞0 y＜0
{_x_|_x_＜__x_1_或___x_＞__x_2_} ___x__x_≠__－__2b_a__
__{__x|_x_1＜___x＜___x_2}___
___∅_
__R__ __∅__
9
思考 3：若一元二次不等式 ax2＋x－1>0 的解集为 R，则实数 a 应满 足什么条件？
16
[解] (1)因为 Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程 2x2＋7x＋3＝0 有两
个不等实根 x1＝－3，x2＝－12.又二次函数 y＝2x2＋7x＋3 的图象开口向上，
所以原不等式的解集为xx>－12或x<－3
.
(2)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式的解集为xx＝94
.
(3)原不等式可化为 2x2－3x＋2>0，因为 Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所
∅ [原不等式变形为3x2－5x＋
集为________．
4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－
23<0，所以3x2－5x＋4＝0无解．

高二数学必修五 一元二次不等式的解法一 ppt课件

高二数学必修五 一元二次不等式的解法一 ppt课件

出
ax b
0
的解集为
x
x
b a
如一次不等式 2x 7 0解集与一次函数 y 2x 7 的图象观察:
由左边的图象填空：
当 x=3.5 时,y = 0,即 2x－7 = 0;
当 x<3.5 时,y < 0, 即 2x－7 < 0;
当 x>3.5 时,y > 0, 即 2x－7 > 0;
∴可知 2x 7 0 的解集为x x 3.5
(2) 不等式2x-7<0的解集即函数图象在x 轴下方的图象上的点对应的x的取值范围;
(3)不等式2x-7>0的解集即函数图象在x轴 上方的图象上的点对应的x的取值范围.
8
一元二次方程的解即一元二次函数图象与x轴 交点的横标，一元二次不等式的解集即一元二次 函数图象在x轴下方或上方图象所对应x的范围。
∵方程的解3x2－6x+2 =0的解是
x1 1
3 3 ,x2
1
3. 3
所以,原不等式的解集是
x|1
3x1 3
3
3
14
例3.解不等式 4x2－4x＋1 > 0
解:因为△ =0,方程4x2－4x＋1 =0的解是
x1
x2
1 2，
所以,原不等式的解集是
x
|
x
1
2
注:4x2－4x＋1 <0
无解
15
解:因为△ =(-3)2-4×2×(-2)>0,
先求方程的根
方程的解2x2－3x－2 =0的解
ห้องสมุดไป่ตู้x1
1是, 2
x2
2.
然后想像图象形状
所以,原不等式的解集是

高中数学必修5《一元二次不等式及其解法》PPT

高中数学必修5《一元二次不等式及其解法》PPT
§3.2 一元二次不等式 及其解法
创设情景 引入新课
学校要在长为8,宽为6 的 一块长方形地面上进行绿化, 计划四周种花卉,花卉带的宽
x x
x x
度相同,中间种植草坪(图中
阴影部分)为了美观,现要求
草坪的种植面积超过总面积 的一半,此时花卉带的宽度的
x x
x x
取值范围是什么?
设:花卉带的宽为x(0 x 3) ,则依题意有
(8
2x)(6
整2理x)得
1 2
86
整理得
x2 7x60
一元二次不等式的定义：
只含有一个未知数，并且未知数最高次 数是2 的不等式叫做一元二次不等式.
一元二次不等式的一般形式： ax2 bx c 0 或 ax2 bx c （0 a 0)
互动探究 发现规律
探究一元二次不等式 x2 7x6 0的解集
y>0
oo
01 y<0
y>0 x
o

当x取 x<1 或 x>6 时，y>0？ 当x取 1 < x <6 时，y<0?
(3)由图象得：
不等式x2 -7x+6>0 的解集﹛为x|x<1或x>6﹜
。
不等式x2 -7x+6<0 的解集为﹛x| 1 <x <6﹜
。
大于0取两边，小于0取中间.
启发引导 形成结论
典例剖析 规范步骤
例3 解不等式 4x2 4x 1 0 .
解： 0，方程 4x2 4x 1 0
的解是
x1
x2
1 2
.
原不等式的解集是 x
x
1 2
.

《一元二次不等式及其解法》示范公开课教学PPT课件pptx

定义：含有一个未知数且未知数最高次数为2次的不等式叫做一元二次不等式。
重要性：一元二次不等式在数学中有着重要的地位，是解决许多实际问题的基础。 表达式：一般地，一元二次不等式可以表示为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，其 中a、b、c是常数且a≠0。
解法：求解一元二次不等式可以通过配方法、图像法、公式法等多种方法进行求解。
添加 标题
化学：在化学中，一元二次不等式可以用来描 述化学反应过程中各物质的浓度变化情况，也 可以用来进行化学分析、计算等。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法公式及步骤
公式：$ax^{2} + bx + c = 0$， 其中a、b、c为系数，$\Delta = b^{2} - 4ac$
步骤2：判断不等式的解集
一元二次不等式在数学中的地位
概念：一元二次 不等式是指形如 ax^2+bx+c>0
或 ax^2+bx+c<0
的不等式
重要性：一元二 次不等式是中学 数学中一个重要 的内容，它与一 元二次方程、二 次函数等有着密
切的联系
解题思路：通过 观察和计算，确 定不等式的解集， 掌握解一元二次
不等式的方法
实际应用：一元 二次不等式在实 际生活中有着广 泛的应用，如环 境保护、金融投
题目难度适中，适合不同层次的学 生
覆盖知识点全面，体现一元二次不 等式的重点和难点
添加标题
添加标题
题量适当，避免过多或过少
添加标题
添加标题
题目类型多样，包括填空题、选择 题、解答题等
学生自主练习与思考
练习一元二次不等 式，掌握解题步骤

3.一元二次不等式及其解法-人教A版高中数学必修五PPT全文课件


说明：数形结合要牢记心中，但书写过程可简化。 3.一元二次不等式及其解法-人教A版高中数学必修五PPT全文课件【完美课件】
例1、解不等式 2x2－3x－2>0 另解：
解:原不等式可化为：
(2x 1)( x 2) 0
x 2或x 1 2
所以,不等式的解集是
{ x | x 1 ，或x 2} 2
3.2.1一元二次不等式及其解法
1.一元二次不等式
观察下面含未知数x的不等式： 15x2+30x－1>0 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x2+6x－1≤0.
它们有什么共同特点：
(1)含有一个未知数x； (2)未知数的最高次数为2.
定义：一般地，把只含有一个未知数， 且未知数的最高次数为2的不等式， 叫做一元二次不等式。
即：ax 2 bx c 0或 ax 2 bx c 0 (a 0)
则实数a的取值范围是 _-_2_≤_a__≤_6_
课外作业：
练习：求函数 y lg( x 2 5x 14) 的定义域。
(,2) (7,)
变式：若 y lg( x 2 5x b) 的定义域为R,求 b范围。
b (, 25 ) 4
变式：若对于x∈R，不等式mx2+2mx+3>0恒成立， 求实数m的取值范围。
思考题：
1、若方程x 2 mx n 0无实数根，则不等式
x 2 mx n 0的解集是 ______R__
2、已知不等式ax 2 bx 2 0的解是 1 x 1
2
3
则a __-_1_2___；b ___-_2____ .
3、若不等式x 2 ax (a 3) 0的解集是，
（2）计算相应的判别式； （3）当△>0时，求出相应的一元二次方程的两个 根；

高中数学必修5精品课件3.2一元二次不等式及其解法-PPT

①{1,3}；②{x|1<x<3}；③{x|x<1 或 x>3}．
探究 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0，当 Δ＝b2－4ac>0 时， 有两个不等的实数根，记作 x1，x2，且 x1<x2.则当 a>0 时， 不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是_{_x_|x_<_x_1_或__x_>_x_2_}；不等式 ax2 ＋bx＋c<0 的解集是_{_x|_x_1<_x_<_x_2_}；当 a<0 时，不等式 ax2 ＋bx＋c>0 的解集是_{_x_|x_1<__x<__x2_}_；不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集是{_x_|_x<_x_1_或___x_>_x2_}_．
跟踪训练 2 已知 x2＋px＋q<0 的解集为x|－12<x<13，求不 等式 qx2＋px＋1>0 的解集．
解 ∵x2＋px＋q<0 的解集为x|－12<x<13，
∴－21，31是方程 x2＋px＋q＝0 的两实数根，
13－12＝－p 由根与系数的关系得13×－12＝q
，∴pq＝＝16－16
，
探究点二 三个“二次”之间的关系
问题 下表是二次函数图象、一元二次方程、一元二次不等
式解集之间的联系，请补充完整.
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数 y＝
ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
有两不等实数根
x1,2＝－b±
b2－4ac 2a
(x1<x2)

人教版数学必修五3.2《一元二次不等式的解法》课件 (共14张PPT)


x
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
2.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系： 判别式 △=b2- 4ac y=ax2+bx+c 的图象 △>0 y x1 O
y>0
化归 △ =0 转化 y 思想
y>0
△<0
y
y>0
x2 x
y<0
(a>0)
当a>0, △>0时 ax2+bx+c=0 “>” 有两相异实根 取根两边, 有两相等实根 b (a>0)的根 x , x ( x < x ) x1=x2= 2 1 2 . “<”1取根中间 2a ax2+bx+c>0 b {x|x<x1或 x>x2} {x|x≠ } (y>0)的解集 2a
例2.求不等式－3x2＋6x > 2的解集. 解: 因为－3x2＋6x > 2 所以3x2－6x＋2 < 0 化简变形
因为△ (6) 4 2 3 12 0 求判别式∆ 方程3x2－6x+2 =0的根是
2
若a<0，不等式两端同乘以 -1 求方程的根 3 3 x1 1 , x2 1 . （注意变不等号方向），变二次 3 3 项系数为正. 所以原不等式的解集是
1 x1 , x2 2. 2
所以原不等式的解集是
1 x 2 x 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
当a>0, △>0时，“<”取根中间.
归纳总结：
解一元二次不等式的步骤是: （1）求判别式Δ ； （2）求相应方程的根； （3）根据表格或图像写出不等式的解集.
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（1）作出函数y=2x－7的图像 （2）解方程2x－7=0 （3）解不等式2x－7>0
y
7
2
o
x
x 7 2
{x | x 7} 2
思考：“三个一次”的联系
by
a
●o
y
b
a
x
o● x
xb a
{x | x b} a
xb a
{x | x b} a
{x | x b} {x | x b}
【例4】已知不等式x2 － mx+2n<0的
解集是{ x| － 1＜x＜2 }。 求m － n的值。
解：由题意可得－ 1和2是方程x2 － mx+2n=0的两个根，由根与系数的关 系可得m= － 1+2=1,
2 n= － 1 x 2= － 2，所以n= － 1 ，
所以m － n=1 － （ － 1 ）=2
（3）根据图像写出Fra bibliotekx2－x－6>0的解集
y
{x|x3或 x-2 }
●
●
－2 o 3 x
小结：我们通过二次函数y＝x2 －x－6的图像不仅求得了的x2－ x－6>0解集，还可以求得x2－x －6<0解集.可见利用二次函数的
图像来解一元二次不等式是个 有效的方法.
下面我们再对一般的一元二次不等式 ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0来进行讨论.
即m －n 的值是2
演练反馈
1．解下列不等式： （1）3x2－7x+2<0 （2）－6x2－x+2≤0 （3）4x2+4x+1<0 （4）x2－3x+5>0 p80练习1 2 习题A1 B1
2.若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－3 ＜x＜4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b＜0的 解集．
作业布置： 课本P80 A组1 2 3 4
B组1
1、在春节图片和视频中重温春节生活 的欢快 和喜悦 ，激发 学生对 传统节 日、民 俗文化 的热爱 之情。 2、在送祝福的实践活动中对为社会服 务的劳 动者表 达感谢 之情 3、了解春节的相关习俗，感受春节的 热闹气 氛。 4、知道春节期间有很多人还在辛勤工 作，学 习用自 己的方 式表达 对他人 劳动的 感谢之 情。 5、每年从农历腊月二十三日起到除夕 止，我 国民间 把这段 时间叫 做“迎 春日”， 也叫“ 扫尘日” 。每逢 春节来 临，家 家户户 都要打 扫环境 。 6、 虽 然 有 课 件的展 示，但 重点内 容还是 需要在 板书上 体现， 板书设 计上需 要再思 考。 7.认识到科技的发展能促使人们更好 地利用 自然资 源和自 然规律 。
【思路点拨】 根据已知的解集和有关一元二次 不等式的解集结论逆向推出a，b，c满足的关系， 进而求解另一不等式．
参考答案：
(1){x| 1x2}
(2){x|3x1或x2}
2
3
(3)
(4) R
2【解】 ∵ax2＋bx＋c＞0 的解集为{x|－3＜x＜ 4}， ∴a＜0 且－3 和 4 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根，
2.确定对应方程 ax2bxc0的实
数根；
3.根据对应函数 yax2bxc的草
图得出不等式的解集。
知识应用与解题研究
【例1】解不等式2x2－3x－2>0
解：因为∆>0，方程2x2－3x－2＝0 的解是
b2 4ac 32 4 2 (2)
x1
(1x, 2
1)(x2)
2x2 2
25 0
所以不等式的解集是{x|
一元二次不等式的解法
学习目标：
学习目标: 1、熟练掌握一元二次不等式的解 法． 2、理解一元二次不等式、一元二次 方程 及二次函数之间的关系．
3、培养学生数形结合的数学思想。
重点难点:
一元二次不等式、一元二次方程 及 二次函数之间的关系．
一次函数
一元一次方程
一元一次不等式
它们之 间有怎 样的联 系？
或x
x2}
x
b} 2a
{ x | x1 x x2}
o
x
R
这张表是我们今后求解一 元二次不等式的主要工具， 必须熟练掌握，其关键是抓 住相应的二次函数的图像。
记忆口诀：
大于0取两边，小于0取中间.
求一元二次不等式解集的步骤
1.将一元二次不等式的二次项系数化 为正数的形式（若是负数，不等式 两边同时乘以-1）；
x1或x2}.
2
【2】 例 解不4等 x24x式 10.
解 ： 0， 方4 程 x24x10
的解 x1 是 x2 12 .
原不等式的解集是 x x12 .
【3】 例 解不等 x22x式 30.
解：整理，得 x22x30
0，方x2程 2x30无实数解
不等 x2 式 2x30的解集 . 是
原不等式的解集是 .
a
a
总结：要解一元一次不等 式，可以先画出一次函数 的图像，再解一元一次方 程，结合图像可得相应的 一元一次不等式的解集。
思考：
类似地，我们能不能将一元 二次不等式的求解与二次函 数以及一元二次方程联系起 来找到其求解方法呢？
试一试：解不等式 x2－x－6>0
（1）作出y=x2－x－6的图像
（2）写出x2－x－6=0的解
－3＋4＝－ba，
由 根 与 系 数 的 关 系 得 －3×4＝ac，
即
b＝－a， c＝－12a， ∴不等式 bx2＋2ax－c－3b＜0
可化为－ax2＋2ax＋15a＜0，即 x2－2x－15＜0，
故所求的不等式的解集为{x|－3＜x＜5}．
课堂小结
解一元二次不等式的“四部曲”： (1)把二次项的系数化为正数 (2)计算判别式Δ (3)解对应的一元二次方程 (4)根据一元二次方程的根，结合图像 (或口诀)，写出不等式的解集。概括 为：一化正→二算Δ→三求根→四写 解集
首先讨论a>0的情形.请思考下列问题：
（1）如果相应的一元二次方程分别有两 个实根、唯一实根、无实根的话，其相 应的二次函数的图像与轴的位置关系如 何？
（2）请观察表中的二次函数的图像，并 写出相应的一元二次不等式的解集.
y
y
y
o ●x1
● x2 x
o●
x
x1,2
b 2a
x1
x2
b 2a
{x | x x1 { x | x R ,