华东师范大学《数学分析》与《高等代数》考研真题(1997年-2013年)

华 中 师 范 大 学2004年研究生入学考试试题（高等代数）1（15）设12,,n a a a …是数域P 上n 个不同的数，解线形方程组12112222221122111111221n n n n n n n n n n n n n n x x x a x a x a x aa x a x a x a a x a x a x a ----+++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪⎪+++=⎩2、（15）设P 是数域，n nA P ⨯∈，3()21m x xx =++是A 的最小多项式，求1A -。

3、（20）设P 是数域，12()(,,,)n nij nA a P ααα⨯==∈，nn a 的代数余子式0nn A ≠， 1）证明12,,,n ααα线形无关；2）当|A|=0时，求线形方程组A*x=0的基础解系，其中A*是A 的伴随矩阵地。

4、（30）设P 是数域，12{|'},{|n n n n V A P A A V B P B ⨯⨯=∈==∈是上三角矩阵}，1） 证明12,V V 都是n n P ⨯的子空间；2） 证明1212,n n n nP V V P V V ⨯⨯=+≠⊕。

5、（30）设p(x)是数域P 上的不可约多项式，α是 p(x)的复根 1）证明p(x)的常数项不等于零；2）证明对任意正整数m,m(p(x),x )1=; 3)设3p(x)=x 22x -+,求51α6、（20）设n 元实二次型12(,,,)'n f x x x x Ax =经过正交线形替换x Qy =（其中Q 是正交矩阵）化为222212323n y y y ny ++++，证明： 1） A 的特征值是1，2，3,…，n;2） 存在正定矩阵B 使得2A B =。

7、（20）设A 是数域P 上n 维线形空间V 的线形变换，V α∈，1()0,0n n A A α-≠=，证明：1）21,(),(),,()n A A A αααα-是V 的基； 2）设W 是A 的不变子空间，121,,,,0n a a a P a ∈≠并且存在向量21123()()()n n a a A a A a A W βαααα-=++++∈，则W=V 。

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第2页目录1华中师范大学2009年研究生入学考试试题高等代数4 2华中师范大学2010年研究生入学考试试题高等代数5 3华中师范大学2011年研究生入学考试试题高等代数6 4华中师范大学2012年研究生入学考试试题高等代数7 5华中师范大学2013年研究生入学考试试题高等代数9 6华中师范大学2014年研究生入学考试试题高等代数11 7华中师范大学2015年研究生入学考试试题高等代数12 8华中师范大学2016年研究生入学考试试题高等代数13 9华中师范大学2017年研究生入学考试试题高等代数15 10华中师范大学2009年研究生入学考试试题数学分析17 11华中师范大学2010年研究生入学考试试题数学分析19 12华中师范大学2011年研究生入学考试试题数学分析21 13华中师范大学2012年研究生入学考试试题数学分析23 14华中师范大学2013年研究生入学考试试题数学分析25 15华中师范大学2014年研究生入学考试试题数学分析27 16华中师范大学2015年研究生入学考试试题数学分析29 17华中师范大学2016年研究生入学考试试题数学分析31 18华中师范大学2017年研究生入学考试试题数学分析331.(20分)设a1,¨¨¨,a n是n个复数,x是复变元.求解:x取哪些复数值时下述等式(等式左边是n`1阶行列式)成立:ˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇ111¨¨¨1x a1a2¨¨¨a nx2a21a22¨¨¨a2n............x n a n1a n2¨¨¨a n nˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇ“0.2.(20分)设f p x q是n次实系数多项式,ną1.设f1p x q是f p x q的导数多项式.证明:(1)如果r是f p x q的m重根,mą0,则r是f1p x q的m´1重根(若r是f p x q的零重根则表示r不是f1p x q的根).(2)如果f p x q的根都是实数,则f1p x q的根也都是实数.3.(20分)设A是秩为r的mˆn阶矩阵,B是非零的mˆ1阶矩阵.考虑线性方程组AX“B,其中X是变元x1,¨¨¨,x n的列向量.证明:(1)线性方程组AX“B的任意有限个解向量X1,¨¨¨,X k的向量组的秩ďn´r`1.(2)若线性方程组AX“B有解,则它有n´r`1个解向量是线性无关的.4.(30分)设A,B,C都是n阶方阵,令˜A BC0¸是分块构成的2n阶方阵,其中右下块0表示n阶零方阵.(1)证明:rank ˜A BC0¸ěrank p B q`rank p C q.这里rank p B q表示矩阵B的秩.(2)举例说明:p1q中的等号和不等号都可能成立.5.(30分)设V是有限维向量空间,设U,W是V的两个子空间.(1)什么是U与W的和子空间U`W?请叙述关于U`W的维数公式.(2)证明关于和子空间的维数公式.6.(30分)设A为n阶实矩阵,λi“r`si是A的特征根,其中r,s是实数,i是虚数单位.(1)证明:12p A`A1q的特征根都是实数,令µ1﨨¨ďµn是12p A`A1q的全部特征根.(2)证明:µ1ďrďµn.(3)你有类似的估计s的办法吗?1.(20分)设F是任意数域,p p x q P F r x s.证明:p p x q是不可约多项式当且仅当p p x q是素多项式.2.(20分)(1)设A是n阶方阵,E是单位矩阵,k‰0.证明:A2“kA当且仅当rank p A q`rank p A´kE q“n.(2)证明:任意方阵可以表示为满秩矩阵和幂等矩阵的乘积.3.(20分)设R表示实数域,V“M3p R q表示所有3ˆ3实矩阵构成的向量空间.对给定的A P M3p R q,定义V上的线性变换A:VÑV为A pB q“AB´BA,对任意的B P M3p R q.设A“¨˚˝000010002˛‹‚.求A的特征值和相应的特征子空间;并求此时A的极小多项式.4.(30分)设有三元实二次型f p x,y,z q“x2`3y2`z2`4xz.并设x,y,z满足x2`y2`z2“1.试求f的最大值和最小值,并求当x,y,z取什么值时,f分别达到最大值和最小值.5.(30分)设R是实数域,V“C1r0,1s是闭区间r0,1s上的实连续可微函数的集合.V在函数的加法和数乘函数的运算下是一个向量空间.(1)证明函数f p x q“cos x,g p x q“2x,h p x q“e x在V中线性无关.(2)任意给定ną0,在V中找出n`1个线性无关的元素,并证明你的结论.(3)对某个m,是否有V和R m同构,如果是,给出证明;如果不是,说明理由.6.(30分)(1)设A和B均为n阶复方阵,证明:A与B相似当且仅当作为λ´矩阵,有λE´A等价于λE´B.(2)设A,B都是3阶幂零矩阵,证明:A相似于B当且仅当A与B有相同的极小多项式.(3)试说明上述结论p2q对4阶幂零矩阵是否成立,为什么?。

华东师范大学2000年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：数学分析一．（24分）计算题： （1）011lim();ln(1)x x x→-+（2）32cos sin ;1cos x xdx x⨯+⎰ （3）设(,)z z x y =是由方程222(,)0F xyz x y z ++=,所确定的可微隐函数，试求grad Z.二．（14分）二、设 n n ne )11(+=，*N n ∈；1)11(++=n n nE ，*N n ∈；证明： （1）}{n e 是严格递增的;（2）}{n E 是严格递减的; （3）用对数函数x ln 的严格递增性质证明：111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，对一切n ∈N *成立. 三．（12分）设f 在[],a b 中任意两点之间都具有介值性，而且f在(),a b 内可导，'|()|f x K ≤（正常数）, (,).x a b ∈证明f 在点a 右连续（同理在点b 左连续）. 四．（14分）设12(1).nn I x dx =-⎰证明:（1）1221n n nI I n -=+,n=2,3…;（2）2,3n I n≥n=1,2,3….五（12分）设S 为一旋转曲面，由平面光滑曲线{(),[,](()0)z y f x x a b f x ==∈≥饶x 轴旋转而成。

试用二重积分计算曲面面积的方法，导出S 的面积公式为'22()1()baA f x fx dx π=+⎰（提示：据空间解几知道S 的方程为222()y z f x +=）六（24分）级数问题：（1）设sin ,0()1,0xx f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,求()(0)k f。

（2）设1nn n a =∑收敛，lim 0n n na →∞=证明:111()nnn n n n n n a a a +==-=∑∑。

（3）设{()}n f x 为[],a b 上的连续函数序列，且()(),[,]n f x f x x a b ⇒∈证明：若()f x 在[],a b 上无零点。

华东师范大学数学分析历年考研真题（1997年-2010年）华东师范大学1997年攻读硕士学位研究生入学试题一（一（1212分）设f(x)f(x)是区间是区间I 上的连续函数。

证明：若f(x)f(x)为一一映射，则为一一映射，则f(x)在区间I 上严格单调。

二（二（1212分）设1,()0x D x x ì=íî为有理数，为无理数证明：若f(x), D(x)f(x) f(x), D(x)f(x) 在点在点x=0处都可导，且f(0)=0,f(0)=0,则则'(0)0f =三（三（1616分）考察函数f(x)=xlnx f(x)=xlnx 的凸性，并由此证明不等式：的凸性，并由此证明不等式：2()(0,0)a b a ba b ab a b +³>>四（四（1616分）设级数1nn an ¥=å收敛，试就1n n d ¥=å为正项级数和一般项级数两种情况分别证明1nn an n¥=+å也收敛。

五（五（2020分）设方程(,)0F x y =满足隐函数定理条件，并由此确定了隐函数y=f(x)y=f(x)。

又设。

又设(,)Fx y 具有连续的二阶偏导数。

（1） 求''()f x（2）若0000(,)0,()F x y y f x ==为f(x)f(x)的一个极值，试证明：的一个极值，试证明：当00(,)y F x y 与00(,)xx F x y 同号时，0()f x 为极大值； 当00(,)y F x y 与00(,)xx F x y 异号时，0()f x 为极小值。

（3） 对方程2227xxy y ++=，在隐函数形式下（不解出y ）求y=f(x)的极值，并用（的极值，并用（22）的结论判别极大或极小。

六（六（1212分）改变累次积分4204842(4)x x xI dxy dy --=-òò的积分次序，并求其值。

数学分析参考书目：1．邓东皋、尹小玲，数学分析简明教程，高等教育出版社/20022．华东师范大学数学系，数学分析（第3版），高等教育出版社/2003基本要求：数列极限、函数极限、函数的连续性、一元函数微分学（导数与微分、微分学基本定理及其应用）、多元函数微分学（偏导数与全微分、隐函数定理与多元微分的应用）、一元函数积分学（不定积分、定积分、广义积分、定积分的应用）、多元函数积分学（重积分与含参量积分、曲线积分与曲面积分）、级数（数项级数、函数项级数、幂级数、Fourier级数）.高等代数与空间解析几何参考书目：1.《高等代数》（第3版）北京大学数学系高等教育出版社/20032.《解析几何》（第3版）吕林根、许子道高等教育出版社/2001基本要求：多项式：多项式的整除性，带余除法；多项式的因式分解，最大公因式和重因式；不可约多项式的判定和性质；多项式函数和多项式的根；实数域、复数域和有理数域上的多项式。

行列式：行列式的性质和计算；范德蒙行列式、常用计算技巧；行列式按行按列展开、拉普拉斯展开；克莱姆法则。

矩阵：矩阵运算；初等矩阵与初等变换；可逆矩阵；分块矩阵；矩阵的秩；矩阵的等价，合同，相似。

线性方程组：线性方程组的求解和讨论；线性方程组有解判别定理；线性方程组的解结构及其解空间的讨论。

二次型：二次型的标准形与合同变换；复数域和实数域上二次型的标准形，规范型；正定二次型及其讨论。

线性空间：线性空间的定义和性质；向量的线性相关性讨论、极大线性无关组；基，维数和坐标；基变换和坐标变换；线性子空间及相关理论。

线性变换：线性变换的概念和性质，运算；线性变换的矩阵，值域和核；线性变换（矩阵）的特征多项式，特征值与特征向量；不变子空间。

欧氏空间：向量内积；标准正交基（组）和度量矩阵；正交变换和正交矩阵，对称变换。

向量代数与方程,直线：矢量的数性积、矢量积、混合积和运算规律，空间曲线、曲面方程的各种不同形式，球面、柱面参数方程，平面与空间直线的各种形式的方程。

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考研《高等代数》考研考点与考研真题详解第1章多项式1.1考点归纳一、一元多项式1．数环与数域（1）数环设S是由一些复数组成的一个非空集合，如果对任何a，b∈S，总有a＋b，a －b，a·b∈S，则称S是一个数环．整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集C都是数环．（2）数域设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1，如果P中任意两个数（这两个数也可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P中的数，那么P 就称为一个数域．有理数集Q，实数集R，复数集C是最重要的三个数域．2．一元多项式设x是一个符号（或称文字），n是一非负整数，形式表达式…，其中a0，a1，…，an全属于数域P，称为系数在数域P中的一元多项式，或者简称为数域P上的一元多项式．n称为多项式的系数，f（x）的次数记为．3．一元多项式环所有系数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式环，记为P[x]，P称为P[x]的系数域．二、整除的概念1．带余除法定义对于P[x]中任意两个多项式f（x）与g（x），其中g（x）≠0，一定有P[x]中的多项式q（x），r（x）存在，使f（x）＝q（x）g（x）＋r（x）成立，其中或者r（x）＝0，并且这样的q（x），r（x）是惟一决定的．带余除法中所得的q（x）通常称为g（x）除f（x）的商，r（x）称为g（x）除f（x）的余式．2．整除定义如果数域P上的多项式h（x）使等式f（x）＝g（x）h（x）成立，就称数域P 上的多项式g（x）整除f（x），用“g（x）丨f（x）”表示；用g（x）不能整除f（x）则用“g（x）f（x）”表示．当g（x）丨f（x）时，g（x）就称为f（x）的因式，f（x）称为g（x）的倍式．3．整除性的判别对于数域P上的任意两个多项式f（x），g（x），其中g（x）≠0，g（x）丨f （x）的充分必要条件是g（x）除f（x）的余式为零．注意：任一个多项式f（x）一定整除它自身；任一个多项式f（x）都整除零多项式；零次多项式，也就是非零常数，能整除任一个多项式．4．整除性的常用性质（1）如果f（x）丨g（x），g（x）丨f（x），那么f（x）＝cg（x），其中c 为非零常数；（2）如果f（x）丨g（x），g（x）丨h（x），那么f（x）丨h（x）（整除的传递性）；（3）如果f（x）丨gi（x），i＝1，2，…，r，那么f（x）丨（u1（x）gl（x）＋u2（x）g2（x）＋…＋ur（x）gr（x）），其中ui（x）是常数域P上任意的多项式．三、最大公因式1．公因式定义如果多项式既是f（x）的因式，又是g（x）的因式，那么就称为f（x）与g（x）的一个公因式．2．最大公因式（1）定义设f（x），g（x）是P[x]中两个多项式，若P[x]中多项式d（x）是f（x），g （x）的公因式且f（x），g（x）的公因式全是d（x）的因式，则称d（x）称为f（x），g（x）的一个最大公因式．两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是惟一确定的．（2）引理如果有等式f（x）＝q（x）g（x）＋r（x），成立，那么f（x），g（x）和g（x），r（x）有相同的公因式．（2）定理对于P[x]中任意两个多项式f（x），g（x），在P[x]中存在一个最大公因式d（x），且d（x）可以表成f（x），g（x）的一个组合，即有P[x]中多项式u（x），υ（x）使d（x）＝u（x）f（x）＋υ（x）g（x）可用辗转相除法来求最大公因式．3．多项式互素（1）定义P[x]中两个多项式f（x），g（x）满足（f（x），g（x））＝1，则称f（x）和g （x）互素（也称互质）．（2）性质①P[x]中两个多项式f（x），g（x）互素的充分必要条件是有P[x]中的多项式u （x），v（x）使u（x）f（x）＋υ（x）g（x）＝1；②如果（f（x），g（x））＝1，且f（x）丨g（x）h（x），那么f（x）丨h（x）；③如果f1（x）丨g（x），f2（x）丨g（x），且（f1（x），f2（x））＝1，那么f1（x）f2（x）丨g（x）；④如果（f（x），g（x））＝（f（x），h（x））＝1，则（f（x）g（x），h（x））＝1．四、因式分解定理1．不可约多项式（1）定义数域P上次数≥l的多项式p（x）如果不能表成该数域上的两个次数比p（x）的次数低的多项式的乘积，则称p（x）为域P上的不可约多项式．按照定义，一次多项式总是不可约多项式．（2）性质①如果p（x）是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式f（x），g（x），由p（x）丨f（x）g（x）一定推出p（x）丨f（x）或者p（x）丨g（x）．②如果不可约多项式p（x）整除一些多项式f1（x），f2（x），…，fs（x）的乘积f1（x），f2（x），…，fs（x），那么p（x）一定整除这些多项式之中的一个．2．因式分解及惟一性定理（1）惟一性定理数域P上每一个次数≥1的多项式f（x）都可以惟一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积．惟一性是指，如果有两个分解式f（x）＝p1（x）p2（x）…ps （x）＝q1（x）q2（x）…qt（x），那么必有s＝t，并且适当排列因式的次序后有pi（x）＝ciqi（x），i＝1，2，…，s，其中c（i＝1，2，…，s）是一些非零常数．（2）因式分解在多项式f（x）的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使它们成为首项系数为1的多项式，再把相同的不可约因式合并，于是f（x）的分解式成为其中c是f（x）的首项系数，p1（x），p2（x），…，ps（x）是不同的首项系数为1的不可约多项式，而r1，r2，…，rs是正整数，这种分解式称为多项式的标准分解式．五、重因式与多项式的根1．重因式定义如果不可约多项式p（x）满足（k≠0），而，则称p（x）为f（x）的k重因式，其中，若k＝1，那么p（x）称为f（x）的单因式．如果k＝0，那么p（x）根本不是f（x）。

数学分析考研华东师大《626数学分析》考研真题集一、配套浙江大学819数学分析考研真题1、浙江大学2013年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：数学分析（A）（819）考生注意：1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟；2．答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上均无效。

一、（40分，每小题10分）（1）；（2）；（3）设，表示不超过的最大整数，计算二重积分；（4）设.求.二、（10分）论证是否存在定义在上的连续函数使得.三、（15分）讨论函数项级数的收敛性与一致收敛性.四、（15分）设均为上的连续函数，且为单调递增的，，同时对于任意，有.证明：对于任意的，都有.五、（5分）；（10分）.六、（5分）构造一个在闭区间上处处可微的函数，使得它的导函数在上无界；（15分）设函数在内可导，证明存在，使得在内有界.七、（15分）设二元函数的两个混合偏导数在附近存在，且在处连续.证明：.八、（20分）已知对于实数，有公式，其中求和是对所有不超过的素数求和.求证：，其中求和也是对所有不超过的素数求和，是某个与无关的常数.二、华东师范大学数学系《数学分析》2一、判断题1设级数收敛，则收敛。

[华东师范大学2008年研]【答案】对查看答案【解析】设b n＝1/n，则{b n}单调有界；收敛，由Abel判别法，知收敛，或者设b n＝1/n，则{b n}单调递减趋于0，收敛，有界，由Dirichlet判别法，知收敛。

2设f（x，y）在（x0，y0）的某个邻域内有定义且则f（x，y）在（x0，y0）处连续。

（）[华东师范大学2008年研] 【答案】错查看答案【解析】反例设显然有但是即是否为0还要取决于θ的值，所以f（x，y）在点（0，0）处不连续。