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数学分析考研试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)在点x=a处可导，则下列说法正确的是：A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处不一定连续D. f(x)在x=a处可微答案：A2. 极限lim(x→0)(sinx/x)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点为：A. 1B. 2C. 3D. 1和2答案：D4. 若函数f(x)在区间(a,b)上连续，则下列说法错误的是：A. f(x)在(a,b)上必有最大值B. f(x)在(a,b)上必有最小值C. f(x)在(a,b)上可以没有最大值D. f(x)在(a,b)上可以没有最小值答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2+3x+2，则f'(x)=_________。
答案：2x+32. 函数y=x^3-3x+1在x=1处的切线斜率为_________。
答案：13. 设函数f(x)=ln(x)，则f'(x)=_________。
答案：1/x4. 若函数f(x)=x^2-4x+c在x=2处取得极小值，则c=_________。
答案：4三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。
答案：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-12x+11。
令f'(x)>0，解得x<1或x>3；令f'(x)<0，解得1<x<3。
因此，函数f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减。
2. 求极限lim(x→0)(x^2sinx/x^3)。
答案：lim(x→0)(x^2sinx/x^3) = lim(x→0)(sinx/x^2) = 0。
3. 证明函数f(x)=x^3+3x^2-9x+1在x=-3处取得极小值。
考研数学分析试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) = f(b) = 0，若f(x)在区间(a, b)内至少有一个最大值点，则下列说法正确的是（）。
A. f(x)在[a, b]上必有最大值B. f(x)在[a, b]上必有最小值C. 函数f(x)在[a, b]上单调递增D. 函数f(x)在[a, b]上单调递减2. 下列级数中，发散的是（）。
A. ∑(-1)^n / nB. ∑1/n^2C. ∑(1/n - 1/(n+1))D. ∑sin(n)3. 已知函数F(x)在点x=c处可导，且F'(c)≠0，那么下列说法中正确的是（）。
A. F(x)在x=c处连续B. 函数F(x)在x=c处一定取得最大值或最小值C. 可导性不能保证函数的连续性D. F(x)在x=c处取得极值4. 对于函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5，其在区间[1, 5]上的最大值是（）。
A. 5B. 10C. 15D. 205. 设f(x)在[a, b]上可积，若∫[a, b] f(x) dx = 10，则下列说法中错误的是（）。
A. f(x)在[a, b]上非负B. 存在x₀∈[a, b]，使得f(x₀) > 0C. 存在x₀∈[a, b]，使得f(x₀) = 10/b - aD. f(x)可以是负函数6. 函数f(x) = e^x / (1 + e^x)的值域是（）。
A. (-∞, 0)B. (0, 1/2)C. (0, 1)D. (1/2, +∞)7. 下列选项中，不是有界函数的是（）。
A. y = sin xB. y = e^xC. y = x^2D. y = 1/x8. 设函数f(x)在点x=1处可导，且f'(1) = 2，那么f(1 + h) - f(1)在h趋近于0时的表达式是（）。
A. 2hB. 2h + o(h)C. h^2D. o(h)9. 对于函数f(x) = x^2，其在区间[-1, 1]上满足拉格朗日中值定理的条件，且存在ξ∈(-1, 1)，使得（）。
2000年华南师范大学数学分析一、填空题（3*10=30分） 1.设_______lim _______,lim ,,2,1,4sin )1(===+-=∞→∞→n n n n nn a a n n a 则 π；2.设处连续；在则为无理数为有理数____)(, , ,)(=∈⎩⎨⎧-=x x f R x x x x x x f 3._____;1lim 10=+⎰∞→dx xx n n4._________;)cos (sin lim 10=+→xx x x5.方程)(032为实常数c c x x =+-在区间[0,1]中至多有_________个根； 6._______;__________),1()(1122=>+=++⎰n n n n I I n n a x dxI 的递推公式，写出为自然数设_;__________)(,)(),(cos sin 0==⎰+du t f dt t f y x u y x 是可微函数，则8.),(y x f 设在P 0(2,0)处可微，且在P 0处指向P 1(2,2)的方向导数是1，指向原点的方向导数是-3，则在P 0处指向P 2(1,2)的方向导数是_____________;9.写出函数在x=0处的幂级数展开式：____;____________________sin 2=x 10.曲线π20,sin ,cos 33≤≤==t t a y t a x 的弧长s=___________________.二、(12分)设f(x)在[0,+∞)上连续，)(lim x f x +∞→存在，证明：f(x)在[0,+∞)上可取得最大值或最小值.三、(12分)设函数z=z(x,y),由方程)(222yzyf z y x =++所确定，其中f 是可微函数，试证：xz yz xy x z z y x 22)(222=∂∂+∂∂--.四、（12分）求极限：)22211(lim 222nn nn n n n n ++++++++∞→ .五、（12分）已知a,b 为实数，且1<a<b,证明不等式：ab b a ln ln )1(1+>+）（.六、(12分)计算曲面积分：.32dxdy z dzdx y xdydz I S++=⎰⎰其中S 是球面1222=++z y x 的外侧.七、(10分)设0)(≥x u n ,在[a,b]上连续，n=1,2,…,∑∞=1)(n nx u在[a,b]上收敛于连续函数f(x),证明：∑∞=1)(n nx u在[a,b]上一致收敛于f(x).一、(12分)求极限).)12)(12(1531311(lim +-++⋅+⋅∞→n n n 二、(12分)设{}.,11,11:),(2dxdy x y y x y x D D⎰⎰-≤≤-≤≤-=求积分三、(12分)证明∑∞=+1331n xn nx在[a,b]上一致收敛(其中，0<a<b<+∞);在(0,+∞)上不一致收敛；并证明：函数S(x)=∑∞=+1331n x n nx在(0,+∞)上连续.四、(12分)求第二型曲线积分dy x dx y L 333132+-⎰，其中，12:22=+y x L ，取逆时针方向。
2000年华南师大学数学分析一、填空题（3*10=30分） 1.设_______lim _______,lim ,,2,1,4sin)1(===+-=∞→∞→n n n n nn a a n n a 则 π；2.设处连续；在则为无理数为有理数____)(, , ,)(=∈⎩⎨⎧-=x x f R x x x x x x f 3._____;1lim 10=+⎰∞→dx xx n n4._________;)cos (sin lim 10=+→xx x x5.方程)(032为实常数c c x x =+-在区间[0,1]中至多有_________个根； 6._______;__________),1()(1122=>+=++⎰n n n n I I n n a x dxI 的递推公式，写出为自然数设7.设_;__________)(,)(),(cos sin 0==⎰+du t f dt t f y x u yx 是可微函数，则8.),(y x f 设在P 0(2,0)处可微，且在P 0处指向P 1(2,2)的方向导数是1，指向原点的方向导数是-3，则在P 0处指向P 2(1,2)的方向导数是_____________;9.写出函数在x=0处的幂级数展开式：____;____________________sin 2=x 10.曲线π20,sin ,cos 33≤≤==t t a y t a x 的弧长s=___________________.二、(12分)设f(x)在[0,+∞)上连续，)(lim x f x +∞→存在，证明：f(x)在[0,+∞)上可取得最大值或最小值.三、(12分)设函数z=z(x,y),由方程)(222yzyf z y x =++所确定，其中f 是可微函数，试证：xz yz xy x z z y x 22)(222=∂∂+∂∂--.四、（12分）求极限：)22211(lim 222nn nn n n n n ++++++++∞→ .五、（12分）已知a,b 为实数，且1<a<b,证明不等式：ab b a ln ln )1(1+>+）（.六、(12分)计算曲面积分：.32dxdy z dzdx y xdydz I S++=⎰⎰其中S 是球面1222=++z y x 的外侧.七、(10分)设0)(≥x u n ,在[a,b]上连续，n=1,2,…,∑∞=1)(n nx u在[a,b]上收敛于连续函数f(x),证明：∑∞=1)(n nx u在[a,b]上一致收敛于f(x).2003年华南师大学数学分析一、(12分)求极限).)12)(12(1531311(lim +-++⋅+⋅∞→n n n 二、(12分)设{}.,11,11:),(2dxdy x y y x y x D D⎰⎰-≤≤-≤≤-=求积分三、(12分)证明∑∞=+1331n x n nx在[a,b]上一致收敛(其中，0<a<b<+∞);在(0,+∞)上不一致收敛；并证明：函数S(x)=∑∞=+1331n xn nx在(0,+∞)上连续.四、(12分)求第二型曲线积分dy x dx y L 333132+-⎰，其中，12:22=+y x L ，取逆时针方向。
一、填空题（3*10=30分） 1.设_______lim _______,lim ,,2,1,4sin )1(===+-=∞→∞→n n n n nn a a n n a 则 π；2.设处连续；在则为无理数为有理数____)(, , ,)(=∈⎩⎨⎧-=x x f R x x x x x x f 3._____;1lim 10=+⎰∞→dx xx n n 4._________;)cos (sin lim 1=+→xx x x5.方程)(032为实常数c c x x =+-在区间[0,1]中至多有_________个根； 6._______;__________),1()(1122=>+=++⎰n n n n I I n n a x dxI 的递推公式，写出为自然数设7.设_;__________)(,)(),(cos sin 0==⎰+du t f dt t f y x u yx 是可微函数，则8.),(y x f 设在P 0(2,0)处可微，且在P 0处指向P 1(2,2)的方向导数是1，指向原点的方向导数是-3，则在P 0处指向P 2(1,2)的方向导数是_____________;9.写出函数在x=0处的幂级数展开式：____;____________________sin 2=x 10.曲线π20,sin ,cos 33≤≤==t t a y t a x 的弧长s=___________________.二、(12分)设f(x)在[0,+∞)上连续，)(lim x f x +∞→存在，证明：f(x)在[0,+∞)上可取得最大值或最小值.三、(12分)设函数z=z(x,y),由方程)(222yzyf z y x =++所确定，其中f 是可微函数，试证：xz yz xy x z z y x 22)(222=∂∂+∂∂--.四、（12分）求极限：)22211(lim 222nn nn n n n n ++++++++∞→ .五、（12分）已知a,b 为实数，且1<a<b,证明不等式：ab b a ln ln )1(1+>+）（.六、(12分)计算曲面积分：.32dxdy z dzdx y xdydz I S++=⎰⎰其中S 是球面1222=++z y x 的外侧.七、(10分)设0)(≥x u n ,在[a,b]上连续，n=1,2,…,∑∞=1)(n nx u在[a,b]上收敛于连续函数f(x),证明：∑∞=1)(n nx u在[a,b]上一致收敛于f(x).2003年华南师范大学数学分析一、(12分)求极限).)12)(12(1531311(lim +-++⋅+⋅∞→n n n 二、(12分)设{}.,11,11:),(2dxdy x y y x y x D D⎰⎰-≤≤-≤≤-=求积分三、(12分)证明∑∞=+1331n xn nx在[a,b]上一致收敛(其中，0<a<b<+∞);在(0,+∞)上不一致收敛；并证明：函数S(x)=∑∞=+1331n x n nx在(0,+∞)上连续.四、(12分)求第二型曲线积分dy x dx y L 333132+-⎰，其中，12:22=+y x L ，取逆时针方向。
五、(12分)f(x)是(a,+∞)上的连续函数，求证：如果)(lim x f ax +→和)(lim x f x +∞→都存在(有限)，那么，f(x)在(a,+∞)上一致连续。
问：逆命题是否成立如成立，请证明之；否则，请举反例。
六、(15分)设dx y x f a⎰+∞),(关于],[d c y ∈一致收敛，而且，对于每个固定的],[d c y ∈，f(x,y)关于x 在[a,+∞)上单调减少。
求证：当+∞→x 时，函数xf(x,y)和f(x,y)关于],[d c y ∈一致地收敛于0.2004年华南师范大学数学分析1.(12分)设,,2,1,)11( =+=n na nn 证明数列{}n a 严格单调增加且收敛。
2.(12分)求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f 的导函数，并讨论导函数的连续性。
3.(12分)求幂级数n n n n x n )21(])1(2[1--+∑∞=的收敛半径和收敛域。
4.(12分)求函数⎩⎨⎧<≤<≤-=ππx x x f 0,00,1)(的Fourier 级数，并由此求数列级数：++-+++-121)1(51311n n 的和。
5.(12分)设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(0<a<b)，f(a)≠f(b)，证明：存在),(b a ∈ηξ，，使得ab a b f f ln ln ))(()(--'='ηξξ。
6.(15分))(0M B r 是以),,(0000z y x M =为心，r 为半径的球，)(0M B r ∂是以M 0为心，r 为半径的球面，f(x,y,z)在R 3上连续，证明：dS z y x f dxdydz z y x f dr dM B M B r r ⎰⎰⎰⎰⎰∂=)()(00),,(),,(2005年华南师范大学数学分析一、计算题（4*8=32分）1.求x xx x 30sin cos )cos(sin lim -→.2.求dx x ⎰3sec .3.求2222)0,0(),(lim y x y x y x +→.4.求⎰+-L yx ydxxdy 224.其中10,)1(222≠<=-+R R y x L ：,取逆时针方向。
二、证明题（3*9=27分） 1.证明：对)(21,,2b ab a e e eR b a +≤∈∀+； 2.设0lim =∞→n n a ，证明：0lim21=+++∞→na a a nn ；3.设f(x)在(0,1)上连续，-∞==-+→→)(lim )(lim 1x f x f x x ，证明:f(x)在(0,1)内取到最大值.三、讨论题（2*8=16分）1.讨论级数 +--++-+-+-31213121312131)2(1)12(161514131211n n 的敛散性。
2.设0,0>>βα，讨论dx x x ⎰∞+0sin αβ的敛散性（包括条件收敛和绝对收敛）。
2006年华南师范大学数学分析1.(15分)假设)(lim 30x f x →存在，试证明：)(lim )(lim 30x f x f x x →→=.2.(15分)假设f(x)在[a,b]上为单调函数，试证明：f(x)在[a,b]上可积。
3.(15分)假设),2,1)(( =n x u n 在[a,b]上连续，级数∑∞=1)(n n x u 在(a,b)上一致收敛，试证明：（i ）∑∞=1)(n n a u ,∑∞=1)(n n b u 收敛； (ii)∑∞=1)(n n x u 在[a,b]上一致收敛。
4.(15分)假设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=)0( 0)0( ),(2222222y x y x y x y x y x f ,试证明:f(x,y)在(0,0)连续，且偏导数存在，但此点不可微。
5.(15分)计算曲面积分dxdy z dzdx y dydz x I s222++=⎰⎰，其中s 为锥面)0(222h z z y x ≤≤=+所示部分，方向为外侧。
2007年华南师范大学数学分析1.(15分)证明数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n 2收敛，并求其极限.2.(15分)f(x)在x=0的邻域U(0)内有定义，且f(x)=f(-x). (1).(5分)如果f(x)在U(0)可导，证明0)0(='f ；(2).(10分)只假定)0(f '存在，证明0)0(='f .3.(15分)求积分： ,2,1,0,sin 20=⎰n dx x n π.4.(15分)判别函数列),(,1)(22+∞-∞∈+=x xn xx f n 的一致收敛性.5.(15分)设1222=++z y x ，求xz∂∂和22x z ∂∂.6.(15分)利用202π=⎰∞+-dx e x 和分部积分法求dx e xax )1(122-+∞-⎰，其中a>0.7.(20分)设L 是平面区域Ω的边界曲线，L 光滑。
u(x,y)在Ω上二阶连续可微，用格林公式证明：ds n udxdy y u x u L⎰⎰⎰∂∂=∂∂+∂∂Ω)(2222.其中n 是L 上的单位外法向量，n u ∂∂是u 沿n 方向的方向导数.8.(20分)设f(x)的导函数)(x f '在[0,1]上连续，且)0(f '>0，证明瑕积分)1(,)0()(1>-⎰p dx x f x f p.当1<p<2时收敛，p ≥2时发散.9.(20分)设f(x)在[0,+∞)上一致连续，且对任何]1,0[∈x ，有.0)(lim =+∞→n x f n 证明：.0)(lim =+∞→x f x2008年华南师范大学数学分析一.(15分)设.0lim ,10,lim ,01=<≤=>∞→+∞→n n nn n n u a a u u u 证明二.(15分)设R S ⊂为有界集，证明必存在数列{}.sup lim ,S x S x n n n =⊂∞→使三.(15分)设⎩⎨⎧+=为无理数为有理数x x x x x x f ,,)(2(1)证明若0≠x ，则f 在x 处不连续；(2)计算)0(f '.四.(15分)设n 为自然数，求不定积分xdx x I n n cos ⎰=的递推公式，并计算xdx x cos 3⎰.五.(20分)(1)设]23,0[,2sin2)(1∈=∑+∞=x x n x x s n n n π，证明).1(),1()(lim 1s s x s x 并求=→(2)证明函数项级数x x n n cos )cos 1(1∑+∞=-在x=0的邻域U(0)内不一致收敛.六.(15分)求函数)arctan(xyz =在位于圆)23,21(0222上一点=-+x y x 处沿这圆周切线方向的方向导数（切线倾斜角παα<≤0的范围是）。
七.(15分)设有n 个实数012)1(3,,,12121=--++--n a a a a a a n n n 满足，证明方程)2,0(0)12cos(3cos cos 21π在区间=-+++x n a x a x a n 中至少有一个根。
八.(20分)设dx x f ⎰+∞∞-)(收敛，证明函数),()cos()()(+∞-∞=⎰+∞∞-在dx x x f g αα上一致连续。
九.(20分)设{}222),(r y x y x D ≤+=，L 是D 的边界曲线，L 取逆时针方向为正向。
