考研数学华东师大《626数学分析》考研真题解析

《数学分析选论》习题解答第 二 章 连 续 性１． 设ny x ℜ∈,，证明：)||||||||(2||||||||2222y x y x y x +=-++．证 由向量模的定义， ∑∑==-++=-++ni i i ni i i y x y x y x y x 121222)()(||||||||∑=+=+=ni i i y x y x 12222)||||||||(2)(2． □2*． 设nn x S ℜ∈ℜ⊂点,到集合S 的距离定义为),(inf ),(y x S x Sy ρ=ρ∈．证明：（１）若S 是闭集，S x ∉，则0),(>S x ρ；（２）若dS S S ⋃=( 称为S 的闭包 )，则{}0),(|=ρℜ∈=S x x S n ．证 （１）倘若0),(=S x ρ，则由),(S x ρ的定义，S y n ∈∃，使得,2,1,1),(=<ρn ny x n ． 因 S x ∉，故x y n ≠，于是x 必为S 的聚点；又因S 是闭集，故S x ∈，这就导致矛盾．所以证得0),(>S x ρ．（２）S x ∈∀．若S x ∈，则0),(=ρS x 显然成立．若S x ∉，则dS x ∈（即x为S 的聚点），由聚点定义，∅≠⋂ε>ε∀S x U );(,0 ，因此同样有0),(),(inf =ρ=ρ∈S x y x Sy ．反之，凡是满足0),(=ρS x 的点x ，不可能是S 的外点（ 若为外点，则存在正数0ε，使∅=⋂εS x U );(0，这导致0),(inf 0>ε≥ρ∈y x Sy ，与0),(=ρS x 相矛盾）．从而x 只能是S 的聚点或孤立点．若x 为聚点，则S S x ⊂∈d；若x 为孤立点，则S S x ⊂∈．所以这样的点x 必定属于S ．综上，证得 {}0),(|=ρℜ∈=S x x S n成立． □ ３．证明：对任何n S ℜ⊂，dS 必为闭集．证 如图所示，设0x 为dS 的任一聚点， 欲证∈0x dS ，即0x 亦为S 的聚点．这是因为由聚点定义，y ∃>ε∀,0，使得 d S x U y ⋂ε∈);(0．再由y 为S 的聚点，);();(0ε⊂δ∀x U y U ，有∅≠⋂δS y U );( ．于是又有∅≠⋂εS x U );(0，所以0x 为S 的聚点，即∈0x d S ，亦即dS 为闭集． □４．证明：对任何nS ℜ⊂，S ∂必为闭集．证 如图所示，设0x 为S ∂的任一聚点，欲证S x ∂∈0，即0x 亦为S 的界点． 由聚点定义，y ∃>ε∀,0，使S x U y ∂⋂ε∈);(0．再由y 为界点的定义，);();(0ε⊂δ∀x U y U ，在);(δy U 内既有S 的内点，又有S 的外点．由此证得在);(0εx U 内既有S 的内点，又有S 的外点，所以0x 为S 的界点，即S ∂必为闭集． □*５．设nS ℜ⊂，0x 为S 的任一内点，1x 为S 的任一外点．证明：联结0x 与1x 的直线段必与S ∂至少有一交点．0x);(δy U );(0εx US S∂);(δy U);(0εx USd S0x证 如图所示，把直线段10x x 置于一实轴上，并 为叙述方便起见，约定此实轴上的点与其坐标用同一字 母表示．下面用区间套方法来证明∅≠∂⋂S x x 10．记2,],[],[1111011b a c x x b a +==．若S c ∂∈1，则结论成立；若1c 为S 的内点，则取],[],[1122b c b a =；若1c 为S 的外点，则取],[],[1122c a b a =．一般地，用逐次二等分法构造区间套：记2nn n b a c +=（ 不妨设S c n ∂∉），并取,2,1,,],[,,],[],[11=⎩⎨⎧=++n S c c a S c b c b a n n n n n n n n 的外点为的内点为．此区间套的特征是：其中每个闭区间的左端点n a 恒为S 的内点，右端点n b 恒为S 的外点．现设y b a n n n n ==∞→∞→lim lim ，下面证明S y ∂∈．由区间套定理的推论，0>ε∀，当n 足够大时，);(],[ε⊂y U b a n n ，因此在);(εy U 中既含有S 的内点（例如n a )，又含有S 的外点（例如n b ），所以10x x 上的点y 必是S 的界点． □ ６．证明聚点定理的推论２和推论３．（１） 推论２ nℜ中的无限点集S 为有界集的充要条件是：S 的任一无限子集必有聚点．证 ［必要性］ 当S 为有界集时，S 的任一无限子集亦为有界集，由聚点定理直接 推知结论成立．［充分性］ 用反证法来证明．倘若S 为无界集，则必能求得一个点列{}S P k ⊂, 使得+∞=∞→||||lim k k P ．这个{}k P 作为S 的一个无限子集不存在聚点，与条件矛盾．故S为有界集． □（２）推论３ nℜ中的无限点集S 为有界闭集的充要条件是：S 为列紧集，即S的任一无限子集必有属于S 的聚点．证 ［必要性］ 因S 有界，故S 的任一无限子集亦有界，由聚点定理，这种无限子集必有聚点．又因子集的聚点也是S 的聚点，而S 为闭集，故子集的聚点必属于S ．［充分性］ 由上面（１）的充分性证明，已知S 必为有界集．下面用反证法再来证明S 为闭集．倘若S 的某一聚点S P ∉，则由聚点性质，存在各项互异的点列{}S P k ⊂，使 P P k k =∞→lim ．据题设条件，{}k P 的惟一聚点P 应属于S ，故又导致矛盾．所以S 的所有聚点都属于S ，即S 为闭集． □７．设X B A X f X mn ⊂ℜ→ℜ⊂,,,:．证明：（１）)()()(B f A f B A f ⋃=⋃； （２）)()()(B f A f B A f ⋂⊂⋂；（３）若f 为一一映射，则)()()(B f A f B A f ⋂=⋂．证 （１）)(,,)(x f y B A x B A f y =⋃∈∃⋃∈∀使．若)(,A f y A x ∈∈则； 若)(,B f y B x ∈∈则．所以，当)()()(,B f A f x f y B A x ⋃∈=⋃∈时．这表示)()()(B f A f B A f ⋃⊂⋃．反之，)(,,)()(x f y X x B f A f y =∈∃⋃∈∀使．若A x A f y ∈∈则,)(；若B x B f y ∈∈则,)(，于是B A x ⋃∈．这表示)()(B A f x f y ⋃∈=，亦即)()()(B f A f B A f ⋃⊃⋃．综上，结论)()()(B f A f B A f ⋃=⋃得证．（２）y x f B A x B A f y =⋂∈∃⋂∈∀)(,,)(使.因A x ∈且B x ∈，故)()()()(B f x f A f x f ∈∈且，即 )()()(B f A f x f y ⋂∈=,亦即 )()()(B f A f B A f ⋂⊂⋂．然而此式反过来不一定成立．例如]2,1[,]1,2[,)(2-=-==B A x x f ，则有]4,0[)()()()(=⋂==B f A f B f A f ； ]1,0[)(,]1,1[=⋂-=⋂B A f B A ．可见在一般情形下，)()()(B A f B f A f ⋂⊄⋂．（３）)()(B f A f y ⋂∈∀，B x A x ∈∈∃21,，使)()(21x f x f y ==．当f 为 一一映射时，只能是B A x x ⋂∈=21，于是)(B A f y ⋂∈，故得)()()(B A f B f A f ⋂⊂⋂．联系（２），便证得当f 为一一映射时，等式)()()(B A f B f A f ⋂=⋂成立． □８．设mn m n c b a g f ℜ∈ℜ∈ℜ→ℜ,,,,:，且c x g b x f ax ax ==→→)(lim ,)(lim ．证明：（１）0||||,||||||)(||lim ==→b b x f ax 当且时可逆；（２）c b x g x f ax T])()([lim =T →．证 设[][]T T ==)(,,)()(,)(,,)()(11x g x g x g x f x f x f m m ，T T T ===],,[,],,[,],,[111m m n c c c b b b a a a ．利用向量函数极限与其分量函数极限的等价形式，知道m i c x g b x f i i ax i i ax ,,2,1,)(lim ,)(lim ===→→．（１）||||)()(lim||)(||lim 221221b b b x f x f x f m m ax ax =++=++=→→ ．当0||||=b 时，由于||)(||||||||)(||x f b x f =-，因此由0||)(||lim =→x f ax ，推知m i x f i ax ,,2,1,0)(lim 2 ==→，即得0)(lim =→x f ax ．（２）类似地有cb c b c b x g x f x g x f x g x f m m m m ax ax T→T →=+=++= 1111])()()()([lim ])()([lim .□９．设mn D f D ℜ→ℜ⊂:,．试证：若存在证数r k ,，对任何D y x ∈,满足r y x k y f x f ||||||)()(||-≤-，则f 在D 上连续，且一致连续．证 这里只需直接证明f 在D 上一致连续即可．0,01>⎪⎭⎫ ⎝⎛ε=δ∃>ε∀rk ，对任何D y x ∈,，只要满足δ<-||||y x ，便有ε<-≤-r y x k y f x f ||||||)()(||．由于这里的δ只与ε有关，故由一致连续的柯西准则（充分性），证得f 在D 上一致连续． □１０．设mn D f D ℜ→ℜ⊂:,．试证：若f 在点D x ∈0连续，则f 在0x 近旁局部有界．证 由f 在点0x 连续的定义，对于1=ε，0>δ∃，当)(0δ∈;x U x 时，满足||)(||1||)(||1||)()(||||)(||||)(||000x f x f x f x f x f x f +≤⇒<-≤-，所以f 在0x 近旁局部有界． □１１．设m n f ℜ→ℜ:为连续函数，n A ℜ⊂为任一开集，nB ℜ⊂为任一闭集．试问)(A f 是否必为开集？)(B f 是否必为闭集？为什么？解 )(A f 不一定为开集．例如),(,sin )(ππ-∈=x x x f ．这里),(ππ-=A 为开集，但]1,1[)(-=A f 却为闭集．当B 为有界闭集时，由连续函数的性质知道)(B f 必为闭集且有界．但当B 为无界 闭集时，)(B f 就不一定为闭集，例如),(,arctan )(∞+-∞∈=x x x f ． 这里),(∞+-∞=B 可看作一闭集，而⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ-=2,2)(B f 却为一开集． □ １２．设nn D D ℜ→ϕℜ⊂:,．试举例说明：（１）仅有D D ⊂ϕ)(，ϕ不一定为一压缩映射；（２）仅有存在)10(<<q q ，使对任何D x x ∈''',，满足||||||)()(||x x q x x ''-'≤''ϕ-'ϕ，此时ϕ也不一定为一压缩映射．解 （１）例如),0[,1)(∞+∈+=ϕx x x ．这里),0[∞+=D 为一闭域，它虽然满足D D ⊂∞+=ϕ),1[)(，但因|||)()(|x x x x ''-'=''ϕ-'ϕ，所以ϕ不是压缩映射．（注：这也可根据压缩映射原理来说明，由x x =+1无解，即ϕ没有不动点，故ϕ不是压缩映射．）（２） 例如]1,1[,12)(-=∈+=ϕD x xx ．它虽然满足 )50(||21|)()(|.=''-'=''ϕ-'ϕq x x x x ，但因D D ⊄⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ϕ23,21)(，故此ϕ仍不是一个压缩映射． □ １３．讨论b a ,取怎样的值时，能使下列函数在指定的区间上成为一个压缩映射：（１）],[,)(1b a x x x ∈=ϕ； （２）],[,)(22a a x x x -∈=ϕ；（３）],[,)(3b a x x x ∈=ϕ； （４）],0[,)(4a x b ax x ∈+=ϕ．解 （１）由|||)()(|11x x x x ''-'=''ϕ-'ϕ，可知对任何b a ,，1ϕ在],[b a 上都不可能是压缩映射．（２）首先，只有当10≤≤a 时，才能使],[],0[)],[(22a a a a a -⊂=-ϕ．其次，由于对任何],[,a a x x -∈'''都有||2|||||)()(|22x x a x x x x x x ''-'<''-'⋅''+'=''ϕ-'ϕ，因此只要取120<=<a q ，即210<<a ，就能保证2ϕ在],[a a -上为一压缩映射． （３） 由],[],[)],[(3b a b a b a ⊂=ϕ，可知b a ≤≤≤10．再由||21||||x x ax x x x x x ''-'<''+'''-'=''-'，又可求得21>a ，即41>a ．所以，当取b a ≤≤<141时，就能保证3ϕ在],[b a 上为一压缩映射．（４） 由于0>a ，因此可由a b a b ax b ≤+≤+≤≤20，解出a a ≤2（ 即10≤<a ），0≥b ．再由||||x x a b x a b x a ''-'=-''-+'，可见只要0,10≥<<b a ，就能保证4ϕ在],0[a 上为一压缩映射． □１４．试用不动点方法证明方程0ln =+x x 在区间[]3/2,2/1上有惟一解；并用迭代法求出这个解（精确到四位有效数字）．解 若直接取x x x x x ln )ln ()(-=+-=ϕ，则因∈>≥=ϕ'x x x ,1231|)(|[]3/2,2/1， 可知ϕ在[]3/2,2/1上不是压缩映射．为此把方程改写成x x -=e ，并设x x x x x --=--=ϕe e )()(．由于在[]3/2,2/1上 11|||)(|<≤-=ϕ'-ee x x ，且[][]3/2,2/1],[)3/2,2/1(2/13/2⊂=ϕ--e e ，所以x x -=ϕe )(在[]3/2,2/1上为一压缩映射，且在[]3/2,2/1上有惟一不动点．取2/10=x ，按kx k x -+=e1迭代计算如下：k k x k k x k k x０ １ ２ ３0.5 0.6065 0.5452 0.57974 5 6 70.5601 0.5712 0.5649 0.568415 160.5672 0.5671 0.5671所以，方程x x -=e 即0ln =+x x 的解（精确到四位有效数字）为17650.=*x ． □１５．设 nB f ℜ→:，其中{}r x x x B n ≤ρℜ∈=),(|0为一个n 维闭球（球心为0x ）．试证：若存在正数)10(<<q q ，使对一切B x x ∈''',，都有||||||)()(||x x q x f x f ''-'≤''-'， r q x x f )1(||)(||00-≤-，则f 在B 中有惟一的不动点．证 显然，只需证得了B B f ⊂)(，连同条件便知f 在B 上为一压缩映射，从而有惟一的不动点．现证明如下：)(,x f y B x =∈∀．由r x x ≤-||||0，以及题设条件的两个不等式，得到.r r q r q r q x x q x x f x f x f x y =-+≤-+-≤-+-≤-)1()1(||||||)(||||)()(||||||00000这表示B x f y ∈=)(，即B B f ⊂)(． □。

华东师范大学数学分析历年考研真题（1997年-2010年）华东师范大学1997年攻读硕士学位研究生入学试题一（12分）设f(x)是区间I 上的连续函数。

证明：若f(x)为一一映射，则f(x)在区间I 上严格单调。

二（12分）设1,()0x D x x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数证明：若f(x), D(x)f(x) 在点x=0处都可导，且f(0)=0,则'(0)0f =三（16分）考察函数f(x)=xlnx 的凸性，并由此证明不等式： 2()(0,0)a b a ba b ab a b +≥>>四（16分）设级数1n a∞=∑收敛，试就1n n d ∞=∑为正项级数和一般项级数两种情况分别证明1nn a∞=∑五（20分）设方程(,)0F x y =满足隐函数定理条件，并由此确定了隐函数y=f(x)。

又设(,)Fx y 具有连续的二阶偏导数。

（1） 求''()f x（2）若0000(,)0,()F x y y f x ==为f(x)的一个极值，试证明：当00(,)y F x y 与00(,)xx F x y 同号时，0()f x 为极大值； 当00(,)y F x y 与00(,)xx F x y 异号时，0()f x 为极小值。

（3）对方程2227xxy y ++=，在隐函数形式下（不解出y ）求y=f(x)的极值，并用（2）的结论判别极大或极小。

六（12分）改变累次积分4204842(4)x x xI dx y dy --=-⎰⎰的积分次序，并求其值。

七（12分）计算曲面积分222(cos cos cos )sI x y z ds αβγ=++⎰⎰其中s 为锥面z =上介于0z h ≤≤的一块，{}c o s,c o s ,c o s αβγ为s 的下侧法向的方向余弦。

华东师范大学1998年攻读硕士学位研究生入学试题一． 简答题（20分） （1） 用定义验证：22323lim 212n n n n →∞+=++；（2） '2cos ,0(),()ln(1),0x x f x f x x x <⎧=⎨+≥⎩求； （3）计算3.二（12分）设f(x)有连续的二阶导函数，且''0()2,[()()]sin 5,f f x f x xdx ππ=+=⎰求f(0).三（20分）（1）已知1n n a ∞=∑为发散的一般项级数，试证明11(1)n n a n∞=+∑也是发散级数。

考研数学华东师⼤《626数学分析》考研真题解析考研数学华东师⼤《626数学分析》考研真题解析
⼀、华东师范⼤学数学分析考研真题
⼆、华东师范⼤学数学系《数学分析》
⼀、判断题
1数列{a n}收敛的充要条件是对任意ε＞0，存在正整数N，使得当n＞N时，恒有｜a2n－a n｜＜ε。

（）[华东师范⼤学2008年研]
【答案】错~~
【解析】可举反例加以证明：设数列{a n}收敛，则对任意ε＞0，存在正整数N，使得当n＞N时，恒有｜a2n－a n｜＜ε。

反之不真，例如设
显然有
但{a n}发散。

2对任意给定的x0∈R，任意给定的严格增加正整数列n k，k＝1，2，…，存在定义在R上的函数f（x）使得
f（k）（x0）表⽰f（x）在点x0处的k阶导数）。

（）[华东师范⼤学2008年研]
【答案】对~~
【解析】例如函数f（x）＝（x－x0）n就满⾜条件。

3设f（x）在[a，b]上连续，且，则f（x）在[a，b]上有零点。

（）[华东师范⼤学2008年研]
【答案】对~~
【解析】因为f（x）在[a，b]上连续，所以存在ξ∈（a，b），使得
即f（x）在（a，b）内有零点。

4对数列{a n}和
若{S n}是有界数列，则{a n}是有界数列。

（）[北京⼤学研]
【答案】对~~
【解析】设｜S n｜＜M，则｜a n｜＝｜S n－S n－1｜≤2M。

华东师大数学分析《数学分析》考研2021考研真题库第一部分考研真题一、判断题1设级数收敛，则收敛。

[华东师范大学2008年研]【答案】对查看答案【解析】设b n＝1/n，则{b n}单调有界；收敛，由Abel判别法，知收敛，或者设b n＝1/n，则{b n}单调递减趋于0，收敛，有界，由Dirichlet判别法，知收敛。

2设f（x，y）在（x0，y0）的某个邻域内有定义且则f（x，y）在（x0，y0）处连续。

（）[华东师范大学2008年研] 【答案】错查看答案【解析】反例设显然有但是即是否为0还要取决于θ的值，所以f（x，y）在点（0，0）处不连续。

1数列{a n}收敛的充要条件是对任意ε＞0，存在正整数N，使得当n＞N时，恒有｜a2n－a n｜＜ε。

（）[华东师范大学2008年研]【答案】错查看答案【解析】可举反例加以证明：设数列{a n}收敛，则对任意ε＞0，存在正整数N，使得当n＞N时，恒有｜a2n－a n｜＜ε。

反之不真，例如设显然有但{a n}发散。

2对任意给定的x0∈R，任意给定的严格增加正整数列n k，k＝1，2，…，存在定义在R上的函数f（x）使得f（k）（x0）表示f（x）在点x0处的k阶导数）。

（）[华东师范大学2008年研] 【答案】对查看答案【解析】例如函数f（x）＝（x－x0）n就满足条件。

3设f（x）在[a，b]上连续，且，则f（x）在[a，b]上有零点。

（）[华东师范大学2008年研]【答案】对查看答案【解析】因为f（x）在[a，b]上连续，所以存在ξ∈（a，b），使得即f（x）在（a，b）内有零点。

4对数列{a n}和若{S n}是有界数列，则{a n}是有界数列。

（）[北京大学研]【答案】对查看答案【解析】设｜S n｜＜M，则｜a n｜＝｜S n－S n－1｜≤2M。

华东师范大学数学分析历年考研真题（1997年-2010年）华东师范大学1997年攻读硕士学位研究生入学试题一（一（1212分）设f(x)f(x)是区间是区间I 上的连续函数。

证明：若f(x)f(x)为一一映射，则为一一映射，则f(x)在区间I 上严格单调。

二（二（1212分）设1,()0x D x x ì=íî为有理数，为无理数证明：若f(x), D(x)f(x) f(x), D(x)f(x) 在点在点x=0处都可导，且f(0)=0,f(0)=0,则则'(0)0f =三（三（1616分）考察函数f(x)=xlnx f(x)=xlnx 的凸性，并由此证明不等式：的凸性，并由此证明不等式：2()(0,0)a b a ba b ab a b +³>>四（四（1616分）设级数1nn an ¥=å收敛，试就1n n d ¥=å为正项级数和一般项级数两种情况分别证明1nn an n¥=+å也收敛。

五（五（2020分）设方程(,)0F x y =满足隐函数定理条件，并由此确定了隐函数y=f(x)y=f(x)。

又设。

又设(,)Fx y 具有连续的二阶偏导数。

（1） 求''()f x（2）若0000(,)0,()F x y y f x ==为f(x)f(x)的一个极值，试证明：的一个极值，试证明：当00(,)y F x y 与00(,)xx F x y 同号时，0()f x 为极大值； 当00(,)y F x y 与00(,)xx F x y 异号时，0()f x 为极小值。

（3） 对方程2227xxy y ++=，在隐函数形式下（不解出y ）求y=f(x)的极值，并用（的极值，并用（22）的结论判别极大或极小。

六（六（1212分）改变累次积分4204842(4)x x xI dxy dy --=-òò的积分次序，并求其值。

华东师范大学数学系《数学分析》（第4版）（下册）笔记和
课后习题考研真题详解
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第12章数项级数
12.1复习笔记
12.2课后习题详解
12.3名校考研真题详解
第13章函数列与函数项级数
13.1复习笔记
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第14章幂级数
14.1复习笔记
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14.3名校考研真题详解
第15章傅里叶级数
15.1复习笔记
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15.3名校考研真题详解
第16章多元函数的极限与连续
16.1复习笔记
16.2课后习题详解
16.3名校考研真题详解
第17章多元函数微分学
17.1复习笔记
17.2课后习题详解
17.3名校考研真题详解
第18章隐函数定理及其应用
18.1复习笔记
18.2课后习题详解
18.3名校考研真题详解
第19章含参量积分
19.1复习笔记
19.2课后习题详解
19.3名校考研真题详解
第20章曲线积分20.1复习笔记20.2课后习题详解20.3名校考研真题详解第21章重积分
21.1复习笔记21.2课后习题详解21.3名校考研真题详解第22章曲面积分22.1复习笔记22.2课后习题详解22.3名校考研真题详解第23章向量函数微分学23.1复习笔记23.2课后习题详解23.3名校考研真题详解。