FreeKaoYan华东师大数分考研试题及解答

!!第一章实数集与函数内容提要!一!实数!"实数包括有理数和无理数!有理数可用分数"#!""#为互质整数##"#$表示#也可用有限十进小数或无限十进循环小数表示!!$是首先遇到的无理数#它与古希腊时期所发现的不可公度线段理论有直接联系#且可以表示为无限十进不循环小数!实数的无限十进小数表示在人类实践活动中被普遍采用#我们是由无限十进小数表示出发来阐述实数理论的!$"若$%%#%%!%$&%&&为非负实数#称有理数$&%%#%%!%$&%&为实数$的&位不足近似#而有理数$&%$&&!!#&称为$的&位过剩近似#&%##!#$#&!’"在数学分析课程中不等式占有重要的地位#在后继课程中#某些不等式可以成为某个研究方向的基础!数学归纳法是证明某些不等式的重要工具!二!数集"确界原理!"邻域是数学分析中重要的基本概念!某点的邻域是与该点靠近的数的集合#它是描述极限概念的基本工具!在无限区间记号!()#%’#!()#%$#(%#&)$#!%#&)$#!()#&)$中出现的()与& )仅是常用的记号#它们并不表示具体的数!在数学分析课程范围内#不要把&)#()#)当作数来运算!%!%!!数学分析同步辅导及习题全解#上册$$"有界集和无界集是本章中关键的概念!要熟练掌握验证某个数集’是有界集或无界集的方法#其中重要的是证明数(不是数集’的上界!或下界$的方法!’"确界是数学分析的基础严格化中的重要的概念!上!下$确界是最大!小$数在无限数集情况下的推广!确界概念有两种等价的叙述方法#以上确界为例)设’是)中一个数集#若数!满足!!$!!$对一切$#’#有$$!#则!是’的上界*!"$对任意"%!#存在$##’#使得$#&"#则!又是’的最小上界’()!或!$$!!$对一切$#’#有$$!#则!是’的上界*!"$对任意#&##存在$##’#使得$#&!(##则!又是’的最小上界’()!这两种定义是等价的!!$$中的!(#相当于!!$中的"!在上述定义中可以限定#%###其中##为充分小的正数!定义!$$在某些证明题中使用起来更方便些!*"确界原理)设’是非空数集#若’有上界#则’必有上确界*若’有下界#则’必有下确界!确界原理是实数系完备性的几个等价定理中的一个!三!函数及其性质!"邻域!!$*!%#$$%!%($#%&$$称为%的$邻域#其中$&#!!$$*+!%*$$%!%($#%$*!%#%&$$%+$+#%+$(%+%$,称为%的空心$邻域#其中$&#!!’$*+&!%$%!%#%&,$和*+(!%$%!%(,#%$分别称为%的右邻域和左邻域#其中,&#!$"确界设给定数集’!!!$上确界!若存在数!#满足!$!$$!#,$#’*$$,$%!#都存在$##’#使$#&$#则称!为’的上确界#记为!%+,-$#’$!!$$下确界!若存在数%#满足!$$-%#,$#’*$$,&&%#都存在-##’#使-#%&#则称%为’的下确界#记为!%./0$$#’!!’$确界原理!#非空有上!下$界的数集#必有上!下$确界!$若数集有上!下$确界#则上!下$确界一定是惟一的!’"函数!!$函数定义给定两个非空实数集.和(#若有一个对应法则,#使.内每一个数$#都有惟一的一个数-#(与它对应#则称,是定义在.上的一个函数#记为-%,!$$#$#.#并称.为函数的定义域#称,!.$%+-+-%,!$$#$#.,!.($为函数的值域!!$$几个重要的函数#分段函数函数在其定义域的不同部分用不同公式表达的这类函数#常称为分段函数!$符号函数%"%第一章!实数集与函数+1/!$$%!#!!$&###$%#(!#$%’()#%狄利克雷函数.!$$%!#当$为有理数##当$+为无理数&黎曼函数)!/$%!##当$%"##"###0&"#为既约分数##当$%##!和!##!$’()中的无理数’复合函数-%,!1!$$$#$#2/其中-%,!3$#3#.#3%1!$$#$#2#2/%+$+1!$$#.,&2#2"4!’$反函数已知函数3%,!$$#$#.!若对,-##,!.$#在.中有且只有一个值$##使得,!$#$%-##则按此对应法则得到一个函数$%,(!!-$#-#,!.$#称这个函数,(!2,!.$0.为,的反函数!!*$初等函数#基本初等函数!常量函数"幂函数"指数函数"对数函数"三角函数"反三角函数这六类函数称为基本初等函数!$初等函数!由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数#统称为初等函数!%凡不是初等函数的函数#都称为非初等函数!*"有界性设-%,!$$#$#.!!$若存在数(#使,!$$$(#,$#.#则称,是.上的有上界的函数!!$$若存在数5#使,!$$-5#,$#.#则称,是.上的有下界的函数!!’$若存在正数6#使+,!$$+$6#则称,是.上的有界函数!!*$若对任意数(#都存在$##.#使,!$#$&(#则称,是.上的无上界函数#类似可定义无下界及无界函数!3"单调性设-%,!$$#$#.#若对,$!#$$#.#$!%$$#有!!$,!$!$$,!$$$#则称,在.上是递增函数!!$$,!$!$%,!$$$#则称,在.上是严格递增函数!类似可定义递减函数与严格递减函数!4"奇偶性设.是对称于原点的数集#-%,!$$#$#.!!!$若,$#.#都有,!($$%,!$$#则称,!$$是偶函数!!$$若,$#.#都有,!($$%(,!$$#则称,!$$是奇函数!%#%!!数学分析同步辅导及习题全解#上册$!’$奇函数图象关于原点对称#偶函数图像关于纵轴对称!5"周期性!!$设-%,!$$#$#.#若存在正数7#使,!$67$%,!$$#,$#.!则称,!$$为周期函数#7称为,的一个周期!!$$若,的所有周期中#存在一个最小周期#则为,的基本周期!典型例题与解题技巧%例!&!设,!$$在((%#%’上有定义#证明,!$$在((%#%’上可表示为奇函数与偶函数的和!分析!本题主要考察奇函数"偶函数的定义#采用构造法解题!证明!设,!$$%8!$$&9!$$#其中8!$$#9!$$分别为奇"偶函数#于是,!($$%8!($$&9!($$%(8!$$&9!$$而,!$$%8!$$&9!$$由之可得!!!8!$$%,!$$(,!($$$#9!$$%,!$$&,!($$$这里8!$$#9!$$分别是奇函数和偶函数!%例"&!求数集’%&!&$&!(!$!&&#0+,&的上"下确界!解题分析!当&%$7时#$7!&$$!7%$$7!&!$$!7#容易看出7%!时#$!&!$!$是偶数项中的最大数!当&%$7&!时#$7&!!&$(!$7&!!$%$7&!!&!$$7!&!&!#当7充分大时#奇数项与数!充分靠近!因为$!&!$!$!%3是’中最大数#于是+,-’!%3#由上面分析可以看出./0’%!!解题过程!因为!3是’中最大数#于是+,-’!%3!再证./0’%!#这是因为!!$,&#&!&$&!(!$!&-!*!"$设%%$7&!!&!$$7!&!#由等式%&(!%!%(!$!%&(!&%&($&&&!$可知$7&!!&!$$7!&!(!%!$$7&!%$7&%$7(!&&&!$!$$7&!于是,#&##17##0&只要7#&!$781$!#(!!$!$$#使得$7#&!!&!$$7#!&!(!$!$$7#&!%#即$7#&!!&!$$7#!&!%!&#%例#&!设函数,!$$定义在区间:上#如果对于任何$!#$$#:#及’#!##!$#恒有,(’$!&!!(’$$$’$’,!$!$&!!(’$,!$$$!证明)在区间:的任何闭子区间上,!$$有界!分析!本题主要考察函数的有界性#要充分利用已知条件给出的不等式#积极构造出类似的不等%$%第一章!实数集与函数式#以证出结论!证明!,(%#;’.:#,$#!%#;$#则存在’#!##!$#使$%%&’!;(%$有!$%’;&!!(’$%由已知不等式有,!$$%,(’;&!!(’$%’$’,!;$&!!(’$,!%$$’(&!!(’$(%(#其中(%9:;,!$$#,!;+,$,$#(%#;’#令-%!%&;$($#那么%&;$%$&-$,!%&;$$%,!$$&-$$$!$,!$$&!$,!-$$!$,!$$&!$(<,!$$-$,!%&;$$((%<!$由##$两式可知<!$,!$$$(#,$#!%#;$再由(的定义#可知,!$$$(#,$#(%#;’若令!<%9./+,!%$#,!;$#<!,#则<$,!$$$(#,$#(%#;’即,!$$在(%#;’上有界!历年考研真题评析!%题!&!!北京大学#$##3年$设,!$$在(%#;’上无界#求证)16#(%#;’#使得对,#&##,!$$在!#(##=&#$2(%#;’上无界!分析!本题采用闭区间套定理证明!证明!取%#;中点%&;$#则(%#%&;$’#(%&;$#;’中至少有一个区间使,!$$无界!如果两个都是可任取一个$#记为(%!#;!’!再取中点%!&;!$#又可得区间(%$#;$’#使,!$$在其上无界#这样继续下去有(%#;’3(%!#;!’3(%$#;$’3&3(%&#;&’3&使,!$$在每个区间上无界!由区间套原理#存在6%7.9&0)%&%7.9&0);&#则6#(%#;’#而对,#&##当&充分大时#有!=(##=&#$2(%#;’3(%&#;&’故,!$$在!=(##=&#$2(%#;’上无界!%题"&!!甘肃工业大学#$##4年$有下列几个命题)!!$任何周期函数一定存在最小正周期!!$$($’是周期函数!!’$+./!$不是周期函数!!*$$=8+$不是周期函数!其中正确的命题有!!!$!>"!个!!!?"$个!!!@"’个!!!A "*个%%%!!数学分析同步辅导及习题全解#上册$解题分析!本题主要考察周期函数的定义B 解题过程!选?!其中)!!$错B 比如,!$$%#B 那么任何正实数都是它的周期#而无最小正实数B !$$错B 设,!$$%($’的周期为C &##并设(C ’%9-#当9%#时#则C%!(%#其中#%%%!#那么(%&C ’%!#(%’%#!!!<(%&C ’"(%’这与C 为周期矛盾B !!!<9"#当9&#时#(C&!’%9&!#(!’%!!!!<(!&C ’"(!’#也矛盾B <($’不是周期函数B !’$对B D 若,!$$是定义域.上周期函数#那么存在函数>#使,$#.都有,!$6>$%,!$$!这必须有$6>#.!而本题定义域.%(##&)$#若是周期函数#则##.#必须(>#.#但(>4.#故不是周期函数!!*$对B 用反证法#设,!$$%$=8+$的周期为>&##则,!#$%#%,!>$%>=8+><=8+>%##>%&#(&($#&##E #且&#-#,!($&>$%,!(&&#($%!&#&!$(=8+(!&#&!$(’,!($$%($=8+($%##由,!($&>$%,!($$<=8+!&#&!$(%##矛盾B 即$=8+$不是周期函数!课后习题全解!!!F !!实数5!!设%为有理数#$为无理数!证明)!!$%?$是无理数*!!!!!!$$当%"#时#%$是无理数!!分析!根据有理数集对加"减"乘"除!除数不为#$四则运算的封闭性#用反证法证!!证明!!!$假设%?$是有理数#则!%?$$@%A $是有理数#这与题设$是无理数相矛盾#故%?$是无理数!!$$假设%$是有理数#则当%"#时#%$%A $是有理数#这与题设$为无理数相矛盾!故%$是无理数!6$!试在数轴上表示出下列不等式的解)!!$$!$$@!$&#*!!$$B $@!B %B $@’B *!’$$@!!@$$@!!-’$@!$!解!!!$由原不等式有$&#$$@!&+#!或!$%#$$@!%+#前一个不等式组的解集是C A +$B $&!,#后一个不等式组的解集是D A +$B @!%$%#,!故!!$的解集是C *D !如图!E !!%&%第一章!实数集与函数图!E !!$$由原不等式有$@!$@’%!#于是!?$$@’%!!所以@!%!?$$@’%!#即#%!’@$%!#则’@$&!#$%$!故!$$的解集为!@)#$$!如图!E $!图!E $!’$由原不等式应有’$@!$-##$@!!@$$@!!-##从而对原不等式两端平方有$@!?$$@!@$!$@!$!$$@!!$-’$@$因此有$!$@!$!$$@!!$$##所以!$@!$!$$@!!$A ##由此得$A !#或$A !$!但检验知$A !和$A !$均不符合原不等式!所以原不等式的解集为7!!小结!在!$$中是将绝对值不等式转化为不含绝对值的不等式去解!若直接利用绝对值的几何意义#其解集就是数轴上到点!的距离小于到点’的距离的点集#即数轴上点$左侧的点集!若直接考虑!’$的解$应使不等式中三个二次根式有意义#则必有$-!#但这时不等式左端为负而右端为正#显然不成立#故其解集为7!5’"设%";#$!证明)若对任何正数#有B %@;B %##则%A ;!!分析!用反证法#注意到题设中#的任意性#只要设法找到某一正数#使条件不成立即可!!证明!假设%";#则根据实数集的有序性#必有%&;或%%;!不妨设%&;#令#A %@;&##则B %@;B A %@;A ##但这与B %@;B A %@;%#矛盾#从而必有%A ;!5*"设$"##证明$?!$-$#并说明其中等号何时成立!!分析!由!%@;$$A %$@$%;?;$-##有%$?;$-$%;!!证明!因$"##则$与!$同号#从而有$?!$A B $B ?!B $B -$B $B %!B $!BA $等号当且仅当B $B A !B $B#即$AF !时成立!83"证明)对任何$#$有!!$B $@!B ?B $@$B -!*!!!!!$$B $@!B ?B $@$B ?B $@’B -$!!证明!直接由绝对值不等式的性质#对任意的$#$有!!$B $@!B ?B $@$B -B !$@!$@!$@$$B A B !B A !!$$B $@!B ?B $@$B ?B $@’B -B $@!B ?B $@’B -B !$@!$@!$@’$B A $64"设%";"=#$?!$?表示全体正实数的集合$!证明B %$?;!$@%$?=!$B $B;@=B !%’%!!数学分析同步辅导及习题全解#上册$你能说明此不等式的几何意义吗-!分析!用分析法证明!!证明!欲证B %$?;!$@%$?=!$B $B;@=B 只需证!%$?;!$@%$?=!$$$$!;@=$$即证!$%$@$!%$?;$$!%$?=$!$$@$;=只需证%$?;=$!%$?;$$!%$?=$!$只需证!!%$?;=$$$!%$?;$$!;$?=$$即证$%$;=$%$!;$?=$$由于%";"=#$?#所以$;=$;$?=$#%$&##所以有$%$;=$%$!;$?=$$成立!所以原不等式成立!其几何意义为)当;"=时#平面上以点C !%#;$"D !%#=$"G !###$为顶点的三角形中#B B C G B @B D G B B %B C D B *当;A =时#此三角形变成以点G !###$#C !%#;$为端点的线段!如图!@’!图!E ’!小结!利用分析法找到证题思路#再用综合法证明#过程更为简捷!65"设$&##;&##%";#证明%?$;?$介于!与%;之间!!分析!本题实质是要比较两数的大小#且该数符号不定#可用作差法!!证明!因$&##;&##%";#则由!@%?$;?$A ;@%;?$#%;@%?$;?$A $!%@;$;!;?$$得当%&;时#!%%?$;?$%%;*当%%;时#%;%%?$;?$%!!故总有%?$;?$介于!与%;之间!!小结!通常要证某数%介于另两数;与=之间#可转化为证!=@%$!;@%$%##这种方法在;与=大小关系不完全确定时#也不必分情况讨论#较为简捷!例如本题中)因为$&##;&##%";#则有!@%?$;?!$$%;@%?$;?!$$A @$!;@%$$;!;?$$$%#所以%?$;?$必介于!与%;之间!6G "设"为正整数!证明)若"不是完全平方数#则!"是无理数!!分析!本题采用反证法#联想到互质"最大公约数以及辗转相除法的有关知识点#可得结论!!证明!用反证法!假设!"为有理数#则存在正整数<"&使!"A<&#且<与&互质!于是<$A %(%第一章!实数集与函数"&$#<$A &%!"&$#可见&能整除<$!由于<与&互质#从而它们的最大公约数为!#由辗转相除法知)存在整数3"H 使<3?&H A !#则<$3?<&H A <!因&既能整除<$3又能整除<&H #故能整除其和#于是&能整除<#这样&A !#所以"A <$!这与"不是完全平方数相矛盾!!小结!本题证明过程比较独特#先假设有理数为互质的两个数的商#利用这两个数与"之间的关系#运用辗转相除法得出结论#注意知识点之间的内在联系!F $!数集"确界原理8!"用区间表示下列不等式的解)!!$B !@$B @$-#*!!$$$?!$$4*!’$!$@%$!$@;$!$@=$&#!%#;#=为常数#且%%;%=$*!*$+./$-!$$!!解!!!$原不等式等价于下列不等式组$%!!!@$$@$-+#!或!$-!!$@!$@$-+#前一个不等式组的解为$$!$*后一个不等式组的解集为空集#所以原不等式的解集为@)#!’!$!!$$绝对值不等式$?!$$4等价于@4$$?!$$4!这又等价于不等式组$&#@4$$$$?!$4+$!或!$%#4$$$$?!$@4+$而前一个不等式组的解集为(’@!$$#’?!$$’#后者的解集为(@’@!$$#@’?!$$’!因此原不等式的解集为(@’@!$$#@’?!$$’*(’@!$$#’?!$$’!’$作函数,!$$A !$@%$!$@;$!$@=$#$#$!则由%%;%=知,!$$%##当$#!@)#%$*!;#=$A ##当$A %#;#=&##当$#!%#;$*!=#?)’()$因此,!$$&##当且仅当!!!!$#!%#;$*!=#?)$故原不等式的解集为!%#;$*!=#?)$!*$若#$$$$(#则当且仅当$#(*#’*(’(时#+./$-!$$!再由正弦函数的周期性知)+./$-!$$的解集是$7(?(*#$7(?’*(’(#其中7为整数!8$"设’为非空数集!试对下列概念给出定义)!!$’无上界*!!!!!$$’无界!%)%!!数学分析同步辅导及习题全解#上册$!解!!!$设’是一非空数集!若对任意的(&##总存在$##’#使$#&(#则称数集’无上界!!$$设’是一非空数集!若对任意的(&##总存在$##’#使B $#B &(#则称数集’无界!8’"试证明由!’$式所确定的数集’有上界而无下界!!证明!由!’$式所确定的数集’A +-B -A $@$$#$#$,#对任意的$#$#-A $@$$$$#所以数集’有上界$!而对任意的(&##取$#A ’?!(#$#存在-#A $@$$#A $@’@(A@!@(#’#而-#%@(#因此数集’无下界!8*"求下列数集的上"下确界#并依定义加以验证)!!$’A +$B $$%$,*!!$$’A +$B $A &.#&#%?,*!’$’A +$B $为!##!$内的无理数,*!*$’A +$B $A !@!$&#&#%?,!!解!!!$+,-’A !$#./0’A@!$#下面依定义加以验证!因$$%$#等价于@!$%$%!$#所以对任意的$#’#有$%!$且$&@!$#即!$"@!$分别是’的上"下界!又对任意的正数##不妨设#%!$$#于是存在$#A !$@#$"$!A@!$?#$#使$#"$!#’#使$#&!$@##$!%@!$?##所以由上"下确界的定义+,-’A !$#./0’A@!$!!$$+,-’A?)#./0’A !#下面依定义验证!对任意的$#’#!$$%?)#所以!是’的下界!因为对任意的(&##令&A ((’?!#则&.&(#故’无上界#所以+,-’A?)*对任意的#&##存在$!A !.A !#’#使$!%!?##所以./0’A !!!’$+,-’A !#./0’A ##下面依定义验证!对任意的$#’#有#%$%!#所以!"#分别是’的上"下界!又对任意的#&##不妨设#%!#由无理数的稠密性#总存在无理数!#!###$#则有无理数$#A !@!#’#使$#A !@!&!@#*有无理数$!A !#’#使$!A !%#?##所以+,-’A !#./0’A #!!*$+,-’A !#./0’A !$#下面依定义验证!对任意的$#’#有!$$$%!#所以!"!$分别是’的上"下界!对任意的#&##必有正整数&##0/使!$&#%##则存在$#A !@!$&##’#使$#&!@##所以+,-’A !!又存在$!A !@!$A !$#’#使$!%!$?##所以./0’A !$!83"设’为非空有下界数集#证明)./0’A %#’9%A 9./’!!证明!:$!设./0’A %#’#则对一切$#’有$-%#而%#’#故%是数集’中最小的数#即%A 9./’!;$!设%A 9./’#则%#’*下面验证%A ./0’)!!$对一切$#’#有$-%#即%是’的下界*!"$对任何&&%#只需取$#A %#’#则$#%&!从而满足%A ./0’的定义!%*!%84"设’为非空数集#定义’@A +$B @$#’,!证明)!!$./0’@A@+,-’*!!$$+,-’@A@./0’!!证明!!!$%A ./0’@#由下确界的定义知#对任意的$#’@#有$-%#且对任意的&&%#存在$##’@#使$#%&!由’@A +$B @$#’,知#对任意的@$#’#@$$@%#且对任意的@&%@%#存在@$##’#使@$#&@&#由上确界的定义知+,-’A@%#存在@$##’#使@$#&@&#即./0’@A@+,-’!同理可证!$$成立!85"设C "D 皆为非空有界数集#定义数集C ?D A +I B I A $?-#$#C #-#D ,!证明)!!$+,-!C ?D $A +,-C ?+,-D *!!$$./0!C ?D $A ./0C ?./0D !!证明!!!$设+,-C A !!#+,-D A !$!对任意的I #C ?D #存在$#C #-#D #使I A $?-!于是$$!!#-$!$!从而I $!!?!$!对任意的#&##必存在$##C #-##D #使$#&!!@#$#-#&!$@#$#则存在I #A $#?-##C ?D #使I #&!!!?!$$@#!所以+,-!C ?D $A !!?!$A +,-C ?+,-D !同理可证!$$成立!6G"设%&##%"!#$为有理数!证明%$A+,-+%JB J 为有理数#J %$,#当%&!#./0+%JBJ 为有理数#J %$,#当%%!+!!分析!利用指数函数的单调性#把指数函数化归为对数函数讨论#并运用有理数的稠密性概念来证此题!!证明!只证%&!的情况#%%!的情况可以类似地加以证明!设C A +%J BJ 为有理数#J %$,!因为%&!#%J 严格递增#故对任意的有理数J %$#有%J%%$#即%$是C 的一个上界!对任意的"%%$#由%$&#及有理数的稠密性#不妨设"&#且为有理数!于是必存在有理数J #%$#使得"%%J #%%$!事实上#由781%$严格递增知)#%"%%$等价于781%"%781%%$A $#由有理数的稠密性#存在有理数J #使得781%"%J #%$#所以"A %781%"%%J #%%$!故%$A +,-C A +,-+%JB J 为有理数#J %$,#%&!!!小结!关于求数集的确界或证明数集确界的有关命题#主要利用确界的定义#进一步加深读者对数集上"下确界概念的理解#这对进一步学习极限理论及实数的完备性#使整个数学分析建立在坚实的基础上是十分重要的!F ’!函数概念8!"试作下列函数的图象)!!$-A $$?!*!!!!!!!$$-A !$?!$$*!’$-A !@!$?!$$*!*$-A +1/!+./$$*!3$-A ’$#B $B &!#$’#B $B %!#’#B $B A !’()!!解!利用描点作图法#各函数的图象如图!E *至图!E G !5$"试比较函数-A %$与-A 781%$分别当%A $和%A !$时的图象!%!!%图!E *!!!!!!!!!!图!E 3图!E 4!!!!!!!!!!图!E 5图!E G!分析!利用指数函数与对数函数性质#注意$在-A %$与-A 781%$的定义域上的取值范围是不同的!!解!当%A $时#-A %$是单调递增函数#当%A !$时#它是单调递减函数*当$A #时#!$!$$A $$A !#即两函数的图象都过点!##!$*当$&#时#!$!$$%!%$$#-A $$的图象在-A !$!$$的图象上方*当$%#时#!$!$$&!&$$#-A !$!$$的图象在-A $$的图象上方*对任意的$#$?#两函数值都大于##即函数的图象都在$轴上方#且-A $$的图象与-A!$!$$的图象关于-轴对称!%"!%-A 781%$是-A %$的反函数!当%A $时#是单调递增的#当%A !$时#是单调递减的*当#%$%!时#781!$$&#&781$$*当$A !时#781!$$A 781$$A #*当$&!时#781!$$%#%781$$*当$$#时#两个函数无定义#因此函数图象在-轴右方#且过点!!##$!-A 781!$$与-A 781$$的图象关于$轴对称!-A $$与-A 781$$的图象"-A!$!$$与-A 781!$$的图象皆关于直线-A $对称!如图!E H!图!E H !!!!!!!!!!!!!图!E !#8’"根据图!E !#写出定义在(##!’上的分段函数,!!$$和,$!$$的解析表达式!!解!利用直线的两点式方程或点斜式方程容易得到,!!$$A *$##$$$!$*@*$#!$%$$’()!,$!$$A !4$##$$$!*G @!4$#!*%$$!$##!$%$$’()!8*"确定下列初等函数的存在域)!!$-A +./!+./$$*!!!!!$$-A 71!71$$*!’$-A :I =+./71$!$!#*!*$-A 71:I =+./$!$!#!!解!!!$因为+./$的存在域为$#所以-A +./!+./$$的存在域为$!!$$因71$&#等价于$&!#所以-A 71!71$$的存在域是!!#?)$!!’$因为-A :I =+./3的存在域是(@!#!’#而@!$71$!#$!等价于!$$$!###所以-A :I =+./71$!$!#的存在域是(!#!##’!!*$因-A 713的存在域是!##?)$#而3A :I =+./$!#的值域为@($#((’$#由#%3$($%#!%有#%$!#$!#即#%$$!##所以-A 71:I =+./$!$!#的存在域是!##!#’!83"设函数,!$$A $?$#$$##$$#$&#+!求)!!$,!@’$#,!#$#,!!$*!!$$,!)$$@,!#$#,!@)$$@,!#$!)$&#$!!解!!!$,!@’$A $?!@’$A@!,!#$A $?#A $,!!$A $!A $!$$因为)$&##所以有,!)$$@,!#$A $)$@!$?#$A $)$@$,!@)$$@,!#$A $?!@)$$@!$?#$A@)$84"设函数,!$$A !!?$#求,!$?$$#,!$$$#,!$$$#,!,!$$$#,!,!$!$$!!解!,!$?$$A !!?!$?$$A!’?$,!$$$A !!?$$*,!$$$A !!?$$,!,!$$$A !!?!!?$A $?!$?$,!,!$!$$A !!?!,!$$A!!?!!?$$A !$?$85"试问下列函数是由哪些基本初等函数复合而成)!!$-A !!?$$$#*!!$$-A !:I =+./$$$$*!!’$-A 71!!?!?$!$$*!!*$-A $+./$$!!解!!!$-A 3$##3A H !?H $#H !A !#H $A $!$$-A 3$#3A :I =+./H #H A $$!’$-A 713#3A H !?H $#H !A !#H $A !’#’A H !?K #K A $$!*$-A $3#3A H $#H A +./$5G"在什么条件下#函数-A%$?;=$?L的反函数就是它本身-!分析!先把反函数求出#分别讨论原函数与反函数的定义域#再讨论参数!!解!首先;="%L #由-A %$?;=$?L #解得$A ;@L -=-@%#交换$与-得-A ;@L $=$@%!当="#时#原函数的定义域为$"@L =#反函数的定义域为$"%=!因此#要使二函数相同#必须%A@L #这时原函数为%$?;=$?L A;@L $=$@%#即为反函数!另外#当;A =A ##且%A L "#时亦满足!故当/;="%L 且%A@L 0或/;A =A #且%A L "#0时#该函数的反函数就是其本身!8H"试作函数-A :I =+./!+./$$的图象!%$!%!解!-A :I =+./!+./$$是以$(为周期的函数#其定义域为$#值域为@($#((’$的分段函数#其在一个周期区间(@(#(’上的表达式为-A (@$#($%$$($#@($$$$($@!(?$$#@($$%@(’()$其图象如图!E!!!图!E !!8!#"试问下列等式是否成立)!!$J :/!:I =J :/$$A $#$#$*!$$:I =J :/!J :/$$A $#$"7(?($#7A ##F !#F $#&!!解!!!$由J :/$与:I =J :/$的定义知#!!$式成立!!$$因为J :/$的定义域为$"7(?($#7A ##F !#F $#&#而:I =J :/$的值域仅为@($#(!$$!所以!$$式不成立!例如当$A ’*(时#:I =J :/!J :/$$A :I =J :/!@!$A@(*"$!8!!"试问-A B $B 是初等函数吗-!解!因-A B $B A $!$是由-A !3与3A $$复合而成的#所以-A B $B 是初等函数!8!$"证明关于函数-A ($’的如下不等式)!!$当$&#时#!@$%$!(’$$!*!$$当$%#时#!$$!(’$%!@$!!证!由定义知!(’$是不超过!$的最大整数#故有#$!$@!(’$%!所以!!!!!!!!!!!!$@!%!(’$$!$#%%!%!!$当$&#时#给#两端同乘以$得!@$%$!(’$$!!$$当$%#时#给#两端同乘以$得!$$!(’$%!@$ F*!具有某些特性的函数8!"证明,!$$A$$$?!是$上的有界函数!!证明!利用不等式$B$B$!?$$有#对一切$#$都有B,!$$B AB$B$$?!A!$$B$B$$?!$!$成立#故,!$$是$上的有界函数!8$"!!$叙述无界函数的定义*!$$证明,!$$A!$$为!##!$上的无界函数*!’$举出函数,的例子#使,!$$为闭区间(##!’上的无界函数!!解!!!$设,!$$为定义在.上的函数#若对任意的正数(#都存在$##.#使B,!$#$B&(#则称函数,!$$为.上的无界函数!!$$证明)对任意的正数(#存在$#A!(?!!#!##!$#使B,!$#$B A!$$#A(?!&(#所以,!$$A!$$是!##!$上的无界函数!!’$设,!$$A!$$#$#!##!’!#$A’()#!由!$$的证明知,!$$为(##!’上的无界函数!8’"证明下列函数在指定区间上的单调性) !!$-A’$@!在!@)#?)$上严格递增*!$$-A+./$在@($#((’$上严格递增*!’$-A=8+$在(##(’上严格递减!!分析!!$$"!’$两小题都是三角函数#要牢记三角函数的半角"倍角公式!后面讨论周期性以及傅里叶级数时都会用到!!证明!!!$任取$!"$$#!@)#?)$#$!%$$#则有,!$!$@,!$$$A’!$!@!$@!’$$@!$A’!$!@$$$%#可见,!$!$%,!$$$#所以,!$$A’$@!在!@)#?)$上严格递增!!$$任取$!#$$#@($#((’$#$!%$$#则有@($%$!?$$$%($#!@($$$!@$$$%#因此=8+$!?$$$&##!+./$!@$$$%#%& !%从而,!$!$@,!$$$A +./$!@+./$$A $=8+$!?$$$+./$!@$$$%##,!$!$%,!$$$!所以,!$$A +./$在@($#((’$上严格递增!!’$任取$!#$$#(##(’#$!%$$#则有#%$!?$$$%(#!@($$$!@$$$%##从而有+./$!?$$$&##+./$!@$$$%##故,!$!$@,!$$$A =8+$!@=8+$$A@$+./$!?$$$+./$!@$$$&##从而,!$!$&,!$$$#所以,!$$在(##(’上严格递减!8*"判别下列函数的奇偶性)!!$,!$$A !$$*?$$@!*!!!$$,!$$A $?+./$*!’$,!$$A $$K @$$*!*$,!$$A 71!$?!?$!$$!!解!!!$因为,!@$$A !$!@$$*?!@$$$@!A !$$*?$$@!A ,!$$#故,!$$A !$$*?$$@!是偶函数!!$$对任意的$#!@)#?)$有#,!@$$A !@$$?+./!@$$A@$@+./$A@!$?+./$$A@,!$$#故,!$$A $?+./$为!@)#?)$上的奇函数!!’$,!$$A $$K @$$在!@)#?)$上有定义#对任意的$#!@)#?)$有#,!@$$A !@$$$K @!@$$$A $$K @$$A ,!$$#故,!$$为!@)#?)$上的偶函数!!*$,!$$A 71!$?!?$!$$在!@)#?)$上有定义#对每一个$#!@)#?)$有#,!@$$A 71!@$?!?!@$$!$$A 71!@$?!?$!$$A@71!$?!?$!$$A@,!$$#所以,!$$A 71!$?!?$!$$为!@)#?)$上的奇函数!53"求下列函数的周期)!!$=8+$$*!!$$J :/’$*!!’$=8+$$?$+./$’!!分析!求三角函数周期时#应先转化为一次函数#再求周期#如!!$!如果有两个或两个以上的函数#分别求出它们各自的周期#再求最小公倍数#如!’$!!解!!!$,!$$A =8+$$A !$!!?=8+$$$#而!?=8+$$的周期是(#所以,!$$A =8+$$的周期是(!!$$因为J :/$的周期是(#所以,!$$A J :/’$的周期是(’!!’$因+./$"=8+$的周期是$(#所以=8+$$的周期是*(#+./$’的周期是4(#故,!$$A =8+$$?$+./$’的周期是!$(!84"设函数,!$$定义在(@%#%’上#证明)!!$M !$$A ,!$$?,!@$$#$#(@%#%’为偶函数*!$$8!$$A ,!$$@,!@$$#$#(@%#%’为奇函数*%’!%!’$,可表示为某个奇函数与某个偶函数之和!!证明!!!$因(@%#%’关于原点对称#M !$$在(@%#%’上有定义#对每一个$#(@%#%’有M !@$$A ,!@$$?,!$$A ,!$$?,!@$$A M !$$!故M !$$为(@%#%’上的偶函数!!$$因(@%#%’关于原点对称#8!$$在(@%#%’上有定义#对每一个$#(@%#%’有8!@$$A ,!@$$A@,!$$A@(,!$$@,!@$$’A@8!$$!故8!$$为(@%#%’上的奇函数!!’$由!!$"!$$得M !$$?8!$$A $,!$$#从而有,!$$A M !$$?8!$$$A !$M !$$?!$8!$$#而!$M !$$是偶函数#!$8!$$是奇函数!从而,!$$可表示为一个奇函数!$8!$$与一个偶函数!$M !$$之和!85"设,"1为定义在.上的有界函数#满足,!$$$1!$$#$#.!证明)!!$+,-$#.,!$$$+,-$#.1!$$*!!$$./0$#.,!$$$./0$#.1!$$!!证明!!!$记!A +,-$#.1!$$#则对任意的$#.有#1!$$$!#又因,!$$$1!$$#所以,!$$$1!$$$!!因此!是,!$$的上界#而+,-$#.,!$$是,!$$的最小上界#故+,-$#.,!$$$!A +,-$#.1!$$!!$$同理可证!8G"设,为定义在.上的有界函数#证明)!!$+,-$#.+@,!$$,A@./0$#.,!$$*!!$$./0$#.+@,!$$,A@+,-$#.,!$$!!证明!!!$记./0$#.,!$$A %!由下确界的定义知#对任意的$#.#,!$$-%#即@,!$$$@%#可见@%是@,!$$的一个上界*对任意的#&##存在$##.#使,!$#$&%?##即@,!$#$%@%@##可见@%是@,!$$的上界中最小者!所以+,-$#.+@,!$$,A@%A@./0$#.,!$$!!$$同理可证结论成立!也可直接用!!$的结论来证!事实上#在!!$中换,!$$为@,!$$得#+,-$#.,!$$A +,-$#.+@!,!$$$,A@./0$#.+@,!$$,#两边同乘以@!得./0$#.+@,!$$,A@+,-$#.,!$$6H"证明)J :/$在@($#(!$$上无界!而在@($#(!$$内任一闭区间(%#;’上有界!!分析!要证J :/$在!@($#($$上无界#只需在$##!@($#($$取一点#使J :/$#&(即可!证在!@($#($$上#存在区间(%#;’使J :/$有界#只需证J :/$$(##且有J :/%%J :/$%J :/;!!证明!对任意的(&##取$#A :I =J :/!(&!$#(($#(!$$#有+J :/$#+%+J :/!:I =J :/!L&!$$+%L&!&L #所以,!$$%J :/$在(($#(!$$内是无界函数!但任取(%#;’.@($#(!$$#由于J:/$在(%#;’上严格递增#从而当$#(%#;’时#J :/%%(!%$J:/$$J :/;#记(A 9:;+B J :/%B #B J :/;B ,#则对一切$#(%#;’有B J :/$B $(#所以J :/$是(%#;’上的有界函数!!小结!证明函数的有界性#往往要利用函数的单调性#同时往往利用放缩法#这是极限理论的基础#也是今后学习分析学的基础!6!#"讨论狄利克雷函数.!$$A !#当$为有理数###当$’()为无理数的有界性"单调性与周期性!!分析!狄利克雷函数由定义可证得有界性#单调性也比较明显#对周期性分有理数与无理数讨论!!解!由.!$$的定义知#对任意的$#$#有B .!$$B $!#所以.!$$是$上的有界函数!由于对任意的有理数$!与无理数$$#无论$!%$$还是$$%$!#都有.!$!$&.!$$$!所以.!$$在$上不具有单调性!对任意的有理数J 有$?J A 有理数#当$为有理数时无理数#当$’()为无理数时于是对任一$#$#有.!$?J $A !#当$为有理数时##当$’()为无理数时A .!$$所以#任意有理数J 都是.!$$的周期!但任何无理数都不是.!$$的周期!事实上#对任一无理数"#对无理数@"#.!@"$A ##而.!"?!@"$$A .!#$A !".!@"$!!小结!狄利克雷函数与黎曼函数是一类特殊函数#在以后的连续性以及极限理论中具有重要地位#要特别注意!8!!"证明),!$$A $?+./$在$上严格增!!证明!任取$!"$$#!@)#?)$#$!%$$#则,!$$$@,!$!$A !$$@$!$?!+./$$@+./$!$A !$$@$!$?$=8+$!?$$$+./$$@$!$-!$$@$!$@$=8+$!?$$$%+./$$@$!$&!$$@$!$@$%$$@$!$A #D +./$$@$!$%B $$@$!B !$$即,!$!$%,!$$$#所以,!$$A $?+./$在!@)#?)$上严格增!6!$"设定义在(%#?)$上的函数,在任何闭区间(%#;’上有界!定义(%#?)$上的函数)<!$$A ./0%$-$$,!-$#(!$$A +,-%$-$$,!-$!试讨论<!$$与(!$$的图象#其中!!$,!$$A =8+$#$#(##?)$*!!$$,!$$A $$#$#(@!#?)$!%)!%!分析!在讨论上述两个函数时#首先应分割区间#在区间内讨论其单调性然后再讨论有界性!!解!!!$由<!$$及(!$$的定义知#对%%$#当,!-$在(%#$’上为递增函数时#<!$$A ,!%$#(!$$A ,!$$!当,!-$在(%#$’上为减函数时#<!$$A ,!$$#(!$$A ,!%$!由此可知)对,!$$A =8+$#当#$$$(时#<!$$A =8+$#(!$$A !!而$#((#?)$时#由于@!$=8+$$!#所以#<!$$A@!#(!$$A !#即有<!$$A =8+$##$$$(@!#($$%?)+!!(!$$<!#$#(##?)$其图象见图!E !$!图!E !$!!!!!!!!!!图!E!’!$$同上理#当$#(@!##’时#(!$$A !#<!$$A $$*当$#!##?)$时#<!$$<#*当$#(@!#!’时#(!$$<!*当$#!!#?)$时#(!$$A $$!即有<!$$A $$#$#(@!##’##当$#!##?)+’(!$$A!#$#(@!#!’时$$#当$#!!#?)$+时其图象见图!E !’!!小结!确界理论是学习数学分析的基础#对后面学习连续"微分"积分等都具有重要作用!总练习题8!"设%#;#$#证明)!!$9:;+%#;,A !$!%?;?B%@;B $*!$$9./+%#;,A !$!%?;@B%@;B $!!证明!因为!$!%?;?B %@;B $A%#当%-;时;#当%%;+时!$!%?;@B%@;B $A %#当%%;时;#当%-;+时所以!9:;+%#;,A !$!%?;?B%@;B $9./+%#;,A !$!%?;@B %@;B $%*"%第一章!实数集与函数8$"设,和1都是.上的初等函数!定义(!$$A 9:;+,!$$#1!$$,#<!$$A 9./+,!$$#1!$$,#$#.!试问(!$$和<!$$是否为初等函数-!解!由习题!得(!$$A!$(,!$$?1!$$?B ,!$$@1!$$B ’A!$(,!$$?1!$$?(,!$$@1!$$’!$’<!$$A !$(,!$$?1!$$@B ,!$$@1!$$B ’A!$(,!$$?1!$$@(,!$$@1!$$’!$’所以#(!$$与<!$$都是由.上的初等函数,!$$"1!$$经四则运算和有限次复合而成的函数!所以#(!$$和<!$$都是初等函数!8’"设函数,!$$A !@$!?$#求),!@$$#,!$?!$#,!$$?!#,!!$$#!,!$$#,!$$$#,!,!$$$!!解!,!@$$A !?$!@$*!,!$?!$A @$$?$*!,!$$?!A !@$!?$?!A $!?$*,!!$$A !@!$!?!$A $@!$?!*!!,!$$A !?$!@$*!,!$$$A !@$$!?$$*,!,!$$$A !@!@$!?$!?!@$!?$A $$$A $5*"已知,!!$$A $?!?$!$#求,!$$!!分析!本题采用倒代换的方法#即!$A K #但是根号中移出的数要加绝对值!!解!令!$A K #则$A !K !所以,!K $A !K?!?!!$K!$A!K ?!?K !$B K B#故,!$$A !$?!?$!$B $B #故,!$$A !$?!?$!$B $B!83"利用函数-A ($’求解)!!$某系各班级推选学生代表#每3人推选!名代表#余额满’人可增选!名!写出可推选代表数-与班级学生数$之间的函数关系!假设每班学生数为’#)3#人$*!$$正数$经四舍五入后得整数-#写出-与$之间的函数关系!!解!!!$因余额满’人可补选一名#即就是可在原来基础上增加$人后取整#于是-A $?$(’3!!$A ’##’!#&#3#$!$$由($’的定义知!-A ($?#"3’#$&#%!"%!!数学分析同步辅导及习题全解#上册$54"已知函数-A ,!$$的图象#试作下列各函数的图象)!!$-A@,!$$*!!$$-A ,!@$$*!!’$-A@,!@$$*!*$-A B ,!$$B *!!3$-A +1/,!$$*!4$-A !$(B ,!$$B ?,!$$’*!!5$-A!$(B ,!$$B @,!$$’!!分析!作函数图象找出函数关于原函数的对称点"对称中心!有绝对值号的要分类讨论!!解!!!$-A@,!$$和-A ,!$$的图象关于$轴对称!!$$-A ,!@$$的图象与-A ,!$$的图象关于-轴对称!!’$-A@,!@$$的图象与-A ,!$$的图象关于原点对称!!*$-A B ,!$$B A ,!$$#!!$#.!A +$B ,!$$-#,@,!$$#$#.$A +$B ,!$$%#’(),!3$-A +1/,!$$A !#!!!$#.!A +$B ,!$$&#,##$#.$A +$B ,!$$A #,@!#$#.’A +$B ,!$$%#’(),!4$-A !$(B ,!$$B ?,!$$’A ,!$$#$#.!A +$B ,!$$-#,##$#.$A +$B ,!$$%#’(),!5$-A !$(B ,!$$B @,!$$’A ##$#.!A +$B ,!$$-#,@,!$$#$#.$A +$B ,!$$%#’(),其图象如图!E !*至图!E!5!图!E !*!!!!!!!!!!!图!E!3图!E !4!!!!!!!!!!!图!E !555"已知函数,和1的图象#试作下列函数的图象)!!$*!$$A 9:;+,!$$#1!$$,*!!$$+!$$A 9./+,!$$#1!$$,!%""%第一章!实数集与函数!分析!将9:;+,#1,与9./+,#1,转化为分段函数再讨论!!解!!!$*!$$A 9:;+,!$$#1!$$,A ,!$$#$#.!A +$B ,!$$-1!$$,1!$$#$#.$A +$B ,!$$%1!$+$,!$$+!$$A 9./+,!$$#1!$$,A 1!$$#$#.!A +$B ,!$$-1!$$,,!$$#$#.$A +$B ,!$$%1!$+$,其图象如图!E !G 和图!E !H !!!!图!E !G !!!!!!!!!!!图!E !H 5G "设,"1和N 为增函数#满足,!$$$1!$$$N !$$#$#$!证明),!,!$$$$1!1!$$$$N !N !$$$!!分析!本题己经给出了,"1"N 为增函数#把1!$$与N !$$看成中间变量!利用复合函数及其单调性质#可证得结论!!证明!因对任意的$#$#有,!$$$1!$$$N !$$#且,!$$"1!$$和N !$$均为增函数#所以#有,!,!$$$$,!1!$$$$1!1!$$$$1!N !$$$$N !N !$$$即,!,!$$$$1!1!$$$$N !N !$$$8H"设,和1为区间!%#;$上的增函数#证明第5题中定义的函数*!$$和+!$$也都是!%#;$上的增函数!!证明!对任意的$!"$$#!%#;$#$!%$$#由,!$$"1!$$在!%#;$上递增知,!$$$-,!$!$#1!$$$-1!$!$#因此*!$$$-,!$$$-,!$!$#*!$$$-1!$$$-1!$!$#所以*!$$$-9:;+,!$!$#1!$!$,A *!$!$#故*!$$在!%#;$上是增函数!同理可证+!$$是!%#;$上的增函数!8!#"设,为(@%#%’上的奇!偶$函数!证明)若,在(##%’上增#则,在(@%##’上增!减$!!证明!任取$!"$$#(@%##’#$!%$$#有@$!"@$$#(##%’且@$!&@$$!由,!$$为(@%#%’上的奇函数及在(##%’上递增得#,!$!$A@,!@$!$%@,!@$$$A ,!$$$!所以,!$$在(@%##’上是递增的!同理可证,!$$为偶函数时的相应结论成立!8!!"证明)!!$两个奇函数之和为奇函数#其积为偶函数*!$$两个偶函数之和与积之都为偶函数*!’$奇函数与偶函数之积为奇函数!!分析!对于!!$来说#./0$#.,!$$$,!$$#然后利用,!$$?1!$$@1!$$A ,!$$以及@./0$#.+@,!$$,A +,-$#.+,!$$,证得结论!%#"%。

《数学分析选论》习题解答第 二 章 连 续 性１． 设ny x ℜ∈,，证明：)||||||||(2||||||||2222y x y x y x +=-++．证 由向量模的定义， ∑∑==-++=-++ni i i ni i i y x y x y x y x 121222)()(||||||||∑=+=+=ni i i y x y x 12222)||||||||(2)(2． □2*． 设nn x S ℜ∈ℜ⊂点,到集合S 的距离定义为),(inf ),(y x S x Sy ρ=ρ∈．证明：（１）若S 是闭集，S x ∉，则0),(>S x ρ；（２）若dS S S ⋃=( 称为S 的闭包 )，则{}0),(|=ρℜ∈=S x x S n ．证 （１）倘若0),(=S x ρ，则由),(S x ρ的定义，S y n ∈∃，使得,2,1,1),(=<ρn ny x n ． 因 S x ∉，故x y n ≠，于是x 必为S 的聚点；又因S 是闭集，故S x ∈，这就导致矛盾．所以证得0),(>S x ρ．（２）S x ∈∀．若S x ∈，则0),(=ρS x 显然成立．若S x ∉，则dS x ∈（即x为S 的聚点），由聚点定义，∅≠⋂ε>ε∀S x U );(,0 ，因此同样有0),(),(inf =ρ=ρ∈S x y x Sy ．反之，凡是满足0),(=ρS x 的点x ，不可能是S 的外点（ 若为外点，则存在正数0ε，使∅=⋂εS x U );(0，这导致0),(inf 0>ε≥ρ∈y x Sy ，与0),(=ρS x 相矛盾）．从而x 只能是S 的聚点或孤立点．若x 为聚点，则S S x ⊂∈d；若x 为孤立点，则S S x ⊂∈．所以这样的点x 必定属于S ．综上，证得 {}0),(|=ρℜ∈=S x x S n成立． □ ３．证明：对任何n S ℜ⊂，dS 必为闭集．证 如图所示，设0x 为dS 的任一聚点， 欲证∈0x dS ，即0x 亦为S 的聚点．这是因为由聚点定义，y ∃>ε∀,0，使得 d S x U y ⋂ε∈);(0．再由y 为S 的聚点，);();(0ε⊂δ∀x U y U ，有∅≠⋂δS y U );( ．于是又有∅≠⋂εS x U );(0，所以0x 为S 的聚点，即∈0x d S ，亦即dS 为闭集． □４．证明：对任何nS ℜ⊂，S ∂必为闭集．证 如图所示，设0x 为S ∂的任一聚点，欲证S x ∂∈0，即0x 亦为S 的界点． 由聚点定义，y ∃>ε∀,0，使S x U y ∂⋂ε∈);(0．再由y 为界点的定义，);();(0ε⊂δ∀x U y U ，在);(δy U 内既有S 的内点，又有S 的外点．由此证得在);(0εx U 内既有S 的内点，又有S 的外点，所以0x 为S 的界点，即S ∂必为闭集． □*５．设nS ℜ⊂，0x 为S 的任一内点，1x 为S 的任一外点．证明：联结0x 与1x 的直线段必与S ∂至少有一交点．0x);(δy U );(0εx US S∂);(δy U);(0εx USd S0x证 如图所示，把直线段10x x 置于一实轴上，并 为叙述方便起见，约定此实轴上的点与其坐标用同一字 母表示．下面用区间套方法来证明∅≠∂⋂S x x 10．记2,],[],[1111011b a c x x b a +==．若S c ∂∈1，则结论成立；若1c 为S 的内点，则取],[],[1122b c b a =；若1c 为S 的外点，则取],[],[1122c a b a =．一般地，用逐次二等分法构造区间套：记2nn n b a c +=（ 不妨设S c n ∂∉），并取,2,1,,],[,,],[],[11=⎩⎨⎧=++n S c c a S c b c b a n n n n n n n n 的外点为的内点为．此区间套的特征是：其中每个闭区间的左端点n a 恒为S 的内点，右端点n b 恒为S 的外点．现设y b a n n n n ==∞→∞→lim lim ，下面证明S y ∂∈．由区间套定理的推论，0>ε∀，当n 足够大时，);(],[ε⊂y U b a n n ，因此在);(εy U 中既含有S 的内点（例如n a )，又含有S 的外点（例如n b ），所以10x x 上的点y 必是S 的界点． □ ６．证明聚点定理的推论２和推论３．（１） 推论２ nℜ中的无限点集S 为有界集的充要条件是：S 的任一无限子集必有聚点．证 ［必要性］ 当S 为有界集时，S 的任一无限子集亦为有界集，由聚点定理直接 推知结论成立．［充分性］ 用反证法来证明．倘若S 为无界集，则必能求得一个点列{}S P k ⊂, 使得+∞=∞→||||lim k k P ．这个{}k P 作为S 的一个无限子集不存在聚点，与条件矛盾．故S为有界集． □（２）推论３ nℜ中的无限点集S 为有界闭集的充要条件是：S 为列紧集，即S的任一无限子集必有属于S 的聚点．证 ［必要性］ 因S 有界，故S 的任一无限子集亦有界，由聚点定理，这种无限子集必有聚点．又因子集的聚点也是S 的聚点，而S 为闭集，故子集的聚点必属于S ．［充分性］ 由上面（１）的充分性证明，已知S 必为有界集．下面用反证法再来证明S 为闭集．倘若S 的某一聚点S P ∉，则由聚点性质，存在各项互异的点列{}S P k ⊂，使 P P k k =∞→lim ．据题设条件，{}k P 的惟一聚点P 应属于S ，故又导致矛盾．所以S 的所有聚点都属于S ，即S 为闭集． □７．设X B A X f X mn ⊂ℜ→ℜ⊂,,,:．证明：（１）)()()(B f A f B A f ⋃=⋃； （２）)()()(B f A f B A f ⋂⊂⋂；（３）若f 为一一映射，则)()()(B f A f B A f ⋂=⋂．证 （１）)(,,)(x f y B A x B A f y =⋃∈∃⋃∈∀使．若)(,A f y A x ∈∈则； 若)(,B f y B x ∈∈则．所以，当)()()(,B f A f x f y B A x ⋃∈=⋃∈时．这表示)()()(B f A f B A f ⋃⊂⋃．反之，)(,,)()(x f y X x B f A f y =∈∃⋃∈∀使．若A x A f y ∈∈则,)(；若B x B f y ∈∈则,)(，于是B A x ⋃∈．这表示)()(B A f x f y ⋃∈=，亦即)()()(B f A f B A f ⋃⊃⋃．综上，结论)()()(B f A f B A f ⋃=⋃得证．（２）y x f B A x B A f y =⋂∈∃⋂∈∀)(,,)(使.因A x ∈且B x ∈，故)()()()(B f x f A f x f ∈∈且，即 )()()(B f A f x f y ⋂∈=,亦即 )()()(B f A f B A f ⋂⊂⋂．然而此式反过来不一定成立．例如]2,1[,]1,2[,)(2-=-==B A x x f ，则有]4,0[)()()()(=⋂==B f A f B f A f ； ]1,0[)(,]1,1[=⋂-=⋂B A f B A ．可见在一般情形下，)()()(B A f B f A f ⋂⊄⋂．（３）)()(B f A f y ⋂∈∀，B x A x ∈∈∃21,，使)()(21x f x f y ==．当f 为 一一映射时，只能是B A x x ⋂∈=21，于是)(B A f y ⋂∈，故得)()()(B A f B f A f ⋂⊂⋂．联系（２），便证得当f 为一一映射时，等式)()()(B A f B f A f ⋂=⋂成立． □８．设mn m n c b a g f ℜ∈ℜ∈ℜ→ℜ,,,,:，且c x g b x f ax ax ==→→)(lim ,)(lim ．证明：（１）0||||,||||||)(||lim ==→b b x f ax 当且时可逆；（２）c b x g x f ax T])()([lim =T →．证 设[][]T T ==)(,,)()(,)(,,)()(11x g x g x g x f x f x f m m ，T T T ===],,[,],,[,],,[111m m n c c c b b b a a a ．利用向量函数极限与其分量函数极限的等价形式，知道m i c x g b x f i i ax i i ax ,,2,1,)(lim ,)(lim ===→→．（１）||||)()(lim||)(||lim 221221b b b x f x f x f m m ax ax =++=++=→→ ．当0||||=b 时，由于||)(||||||||)(||x f b x f =-，因此由0||)(||lim =→x f ax ，推知m i x f i ax ,,2,1,0)(lim 2 ==→，即得0)(lim =→x f ax ．（２）类似地有cb c b c b x g x f x g x f x g x f m m m m ax ax T→T →=+=++= 1111])()()()([lim ])()([lim .□９．设mn D f D ℜ→ℜ⊂:,．试证：若存在证数r k ,，对任何D y x ∈,满足r y x k y f x f ||||||)()(||-≤-，则f 在D 上连续，且一致连续．证 这里只需直接证明f 在D 上一致连续即可．0,01>⎪⎭⎫ ⎝⎛ε=δ∃>ε∀rk ，对任何D y x ∈,，只要满足δ<-||||y x ，便有ε<-≤-r y x k y f x f ||||||)()(||．由于这里的δ只与ε有关，故由一致连续的柯西准则（充分性），证得f 在D 上一致连续． □１０．设mn D f D ℜ→ℜ⊂:,．试证：若f 在点D x ∈0连续，则f 在0x 近旁局部有界．证 由f 在点0x 连续的定义，对于1=ε，0>δ∃，当)(0δ∈;x U x 时，满足||)(||1||)(||1||)()(||||)(||||)(||000x f x f x f x f x f x f +≤⇒<-≤-，所以f 在0x 近旁局部有界． □１１．设m n f ℜ→ℜ:为连续函数，n A ℜ⊂为任一开集，nB ℜ⊂为任一闭集．试问)(A f 是否必为开集？)(B f 是否必为闭集？为什么？解 )(A f 不一定为开集．例如),(,sin )(ππ-∈=x x x f ．这里),(ππ-=A 为开集，但]1,1[)(-=A f 却为闭集．当B 为有界闭集时，由连续函数的性质知道)(B f 必为闭集且有界．但当B 为无界 闭集时，)(B f 就不一定为闭集，例如),(,arctan )(∞+-∞∈=x x x f ． 这里),(∞+-∞=B 可看作一闭集，而⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ-=2,2)(B f 却为一开集． □ １２．设nn D D ℜ→ϕℜ⊂:,．试举例说明：（１）仅有D D ⊂ϕ)(，ϕ不一定为一压缩映射；（２）仅有存在)10(<<q q ，使对任何D x x ∈''',，满足||||||)()(||x x q x x ''-'≤''ϕ-'ϕ，此时ϕ也不一定为一压缩映射．解 （１）例如),0[,1)(∞+∈+=ϕx x x ．这里),0[∞+=D 为一闭域，它虽然满足D D ⊂∞+=ϕ),1[)(，但因|||)()(|x x x x ''-'=''ϕ-'ϕ，所以ϕ不是压缩映射．（注：这也可根据压缩映射原理来说明，由x x =+1无解，即ϕ没有不动点，故ϕ不是压缩映射．）（２） 例如]1,1[,12)(-=∈+=ϕD x xx ．它虽然满足 )50(||21|)()(|.=''-'=''ϕ-'ϕq x x x x ，但因D D ⊄⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ϕ23,21)(，故此ϕ仍不是一个压缩映射． □ １３．讨论b a ,取怎样的值时，能使下列函数在指定的区间上成为一个压缩映射：（１）],[,)(1b a x x x ∈=ϕ； （２）],[,)(22a a x x x -∈=ϕ；（３）],[,)(3b a x x x ∈=ϕ； （４）],0[,)(4a x b ax x ∈+=ϕ．解 （１）由|||)()(|11x x x x ''-'=''ϕ-'ϕ，可知对任何b a ,，1ϕ在],[b a 上都不可能是压缩映射．（２）首先，只有当10≤≤a 时，才能使],[],0[)],[(22a a a a a -⊂=-ϕ．其次，由于对任何],[,a a x x -∈'''都有||2|||||)()(|22x x a x x x x x x ''-'<''-'⋅''+'=''ϕ-'ϕ，因此只要取120<=<a q ，即210<<a ，就能保证2ϕ在],[a a -上为一压缩映射． （３） 由],[],[)],[(3b a b a b a ⊂=ϕ，可知b a ≤≤≤10．再由||21||||x x ax x x x x x ''-'<''+'''-'=''-'，又可求得21>a ，即41>a ．所以，当取b a ≤≤<141时，就能保证3ϕ在],[b a 上为一压缩映射．（４） 由于0>a ，因此可由a b a b ax b ≤+≤+≤≤20，解出a a ≤2（ 即10≤<a ），0≥b ．再由||||x x a b x a b x a ''-'=-''-+'，可见只要0,10≥<<b a ，就能保证4ϕ在],0[a 上为一压缩映射． □１４．试用不动点方法证明方程0ln =+x x 在区间[]3/2,2/1上有惟一解；并用迭代法求出这个解（精确到四位有效数字）．解 若直接取x x x x x ln )ln ()(-=+-=ϕ，则因∈>≥=ϕ'x x x ,1231|)(|[]3/2,2/1， 可知ϕ在[]3/2,2/1上不是压缩映射．为此把方程改写成x x -=e ，并设x x x x x --=--=ϕe e )()(．由于在[]3/2,2/1上 11|||)(|<≤-=ϕ'-ee x x ，且[][]3/2,2/1],[)3/2,2/1(2/13/2⊂=ϕ--e e ，所以x x -=ϕe )(在[]3/2,2/1上为一压缩映射，且在[]3/2,2/1上有惟一不动点．取2/10=x ，按kx k x -+=e1迭代计算如下：k k x k k x k k x０ １ ２ ３0.5 0.6065 0.5452 0.57974 5 6 70.5601 0.5712 0.5649 0.568415 160.5672 0.5671 0.5671所以，方程x x -=e 即0ln =+x x 的解（精确到四位有效数字）为17650.=*x ． □１５．设 nB f ℜ→:，其中{}r x x x B n ≤ρℜ∈=),(|0为一个n 维闭球（球心为0x ）．试证：若存在正数)10(<<q q ，使对一切B x x ∈''',，都有||||||)()(||x x q x f x f ''-'≤''-'， r q x x f )1(||)(||00-≤-，则f 在B 中有惟一的不动点．证 显然，只需证得了B B f ⊂)(，连同条件便知f 在B 上为一压缩映射，从而有惟一的不动点．现证明如下：)(,x f y B x =∈∀．由r x x ≤-||||0，以及题设条件的两个不等式，得到.r r q r q r q x x q x x f x f x f x y =-+≤-+-≤-+-≤-)1()1(||||||)(||||)()(||||||00000这表示B x f y ∈=)(，即B B f ⊂)(． □。

华东师范大学数学分析历年考研真题（1997年-2010年）华东师范大学1997年攻读硕士学位研究生入学试题一（12分）设f(x)是区间I 上的连续函数。

证明：若f(x)为一一映射，则f(x)在区间I 上严格单调。

二（12分）设1,()0x D x x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数证明：若f(x), D(x)f(x) 在点x=0处都可导，且f(0)=0,则'(0)0f =三（16分）考察函数f(x)=xlnx 的凸性，并由此证明不等式： 2()(0,0)a b a ba b ab a b +≥>>四（16分）设级数1n a∞=∑收敛，试就1n n d ∞=∑为正项级数和一般项级数两种情况分别证明1nn a∞=∑五（20分）设方程(,)0F x y =满足隐函数定理条件，并由此确定了隐函数y=f(x)。

又设(,)Fx y 具有连续的二阶偏导数。

（1） 求''()f x（2）若0000(,)0,()F x y y f x ==为f(x)的一个极值，试证明：当00(,)y F x y 与00(,)xx F x y 同号时，0()f x 为极大值； 当00(,)y F x y 与00(,)xx F x y 异号时，0()f x 为极小值。

（3）对方程2227xxy y ++=，在隐函数形式下（不解出y ）求y=f(x)的极值，并用（2）的结论判别极大或极小。

六（12分）改变累次积分4204842(4)x x xI dx y dy --=-⎰⎰的积分次序，并求其值。

七（12分）计算曲面积分222(cos cos cos )sI x y z ds αβγ=++⎰⎰其中s 为锥面z =上介于0z h ≤≤的一块，{}c o s,c o s ,c o s αβγ为s 的下侧法向的方向余弦。

华东师范大学1998年攻读硕士学位研究生入学试题一． 简答题（20分） （1） 用定义验证：22323lim 212n n n n →∞+=++；（2） '2cos ,0(),()ln(1),0x x f x f x x x <⎧=⎨+≥⎩求； （3）计算3.二（12分）设f(x)有连续的二阶导函数，且''0()2,[()()]sin 5,f f x f x xdx ππ=+=⎰求f(0).三（20分）（1）已知1n n a ∞=∑为发散的一般项级数，试证明11(1)n n a n∞=+∑也是发散级数。

考研数学华东师⼤《626数学分析》考研真题解析考研数学华东师⼤《626数学分析》考研真题解析
⼀、华东师范⼤学数学分析考研真题
⼆、华东师范⼤学数学系《数学分析》
⼀、判断题
1数列{a n}收敛的充要条件是对任意ε＞0，存在正整数N，使得当n＞N时，恒有｜a2n－a n｜＜ε。

（）[华东师范⼤学2008年研]
【答案】错~~
【解析】可举反例加以证明：设数列{a n}收敛，则对任意ε＞0，存在正整数N，使得当n＞N时，恒有｜a2n－a n｜＜ε。

反之不真，例如设
显然有
但{a n}发散。

2对任意给定的x0∈R，任意给定的严格增加正整数列n k，k＝1，2，…，存在定义在R上的函数f（x）使得
f（k）（x0）表⽰f（x）在点x0处的k阶导数）。

（）[华东师范⼤学2008年研]
【答案】对~~
【解析】例如函数f（x）＝（x－x0）n就满⾜条件。

3设f（x）在[a，b]上连续，且，则f（x）在[a，b]上有零点。

（）[华东师范⼤学2008年研]
【答案】对~~
【解析】因为f（x）在[a，b]上连续，所以存在ξ∈（a，b），使得
即f（x）在（a，b）内有零点。

4对数列{a n}和
若{S n}是有界数列，则{a n}是有界数列。

（）[北京⼤学研]
【答案】对~~
【解析】设｜S n｜＜M，则｜a n｜＝｜S n－S n－1｜≤2M。

数学分析考研试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪个不是有界函数？A. f(x) = sin(x)B. f(x) = e^xC. f(x) = x^2D. f(x) = 1/x2. 函数f(x) = x^3在区间(-∞, +∞)上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 常数函数3. 如果函数f(x)在点x=a处连续，那么：A. f(a)存在B. f(a) = 0C. lim(x->a) f(x) = f(a)D. lim(x->a) f(x) 不存在4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 2/35. 函数序列fn(x) = x^n在[0, 1]上一致收敛的n的取值范围是：A. n = 1B. n > 1C. n < 1D. n = 26. 级数∑(1/n^2)是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 无界序列7. 如果函数f(x)在区间[a, b]上可积，那么：A. f(x)在[a, b]上连续B. f(x)在[a, b]上一定有界C. f(x)在[a, b]上单调递增D. f(x)在[a, b]上无界8. 函数f(x) = |x|在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 不可导9. 微分方程dy/dx + y = 0的通解是：A. y = Ce^(-x)B. y = Ce^xC. y = Csin(x)D. y = Ccos(x)10. 函数f(x) = e^x在x=0处的泰勒展开式是：A. f(x) = 1 + x + ...B. f(x) = x + ...C. f(x) = 1 + x^2 + ...D. f(x) = 1 + x^3 + ...二、填空题（每题4分，共20分）11. 极限lim(x->0) (sin(x)/x) 的值是 _______。

12. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的拐点是 _______。

华东师范大学2000年攻读硕士学位研究生入学试题一．（24分）计算题： （1）011lim();ln(1)x x x→-+（2）32cos sin ;1cos x xdx x⨯+⎰ （3）设(,)z z x y =是由方程222(,)0F xyz x y z ++=,所确定的可微隐函数，试求grad Z.二．（14分）二、设n n ne )11(+=，*N n ∈；1)11(++=n n n E ，*N n ∈；证明： （1）}{n e 是严格递增的;（2）}{n E 是严格递减的;（3）用对数函数x ln 的严格递增性质证明：111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，对一切n ∈N *成立. 三．（12分）设f在[],a b 中任意两点之间都具有介值性，而且f在(),a b 内可导，'|()|f x K≤（正常数）,(,).x a b ∈证明f在点a 右连续（同理在点b 左连续）.四．（14分）设12(1).nn I x dx =-⎰证明:（1）1221n n nI I n -=+,n=2,3…;（2）2,3n I n≥n=1,2,3….五（12分）设S 为一旋转曲面，由平面光滑曲线{(),[,](()0)z y f x x a b f x ==∈≥饶x 轴旋转而成。

试用二重积分计算曲面面积的方法，导出S 的面积公式为'22()1()baA f x fx dx π=+⎰（提示：据空间解几知道S 的方程为222()y z f x +=）六（24分）级数问题：（1） 设sin ,0()1,0xx f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,求()(0)k f。

（2） 设1nnn a=∑收敛，lim 0nn na →∞=证明:111()nnnn nn n n aa a +==-=∑∑。

（3）设{()}n f x 为[],a b 上的连续函数序列，且()(),[,]n f x f x x a b ⇒∈证明：若()f x 在[],a b 上无零点。

华东师大数学分析答案完整版一、填空题1. 极限的定义是当自变量趋近于某个值时，函数的值趋近于另一个确定的值。

2. 函数在某一点连续的充分必要条件是左极限、右极限和函数值在该点相等。

3. 无穷小量与无穷大量的关系是无穷小量的倒数是无穷大量，无穷大量的倒数是无穷小量。

4. 函数的导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

5. 微分表示函数在某一点的微小变化量。

6. 函数的积分表示函数在某个区间上的累积变化量。

7. 变限积分的导数是原函数的导数。

8. 无穷级数的收敛性可以通过比较判别法、比值判别法等方法进行判断。

9. 函数的泰勒级数表示函数在某一点的幂级数展开。

10. 傅里叶级数表示周期函数的三角级数展开。

二、选择题1. 下列函数中，连续的是（A）。

A. f(x) = x^2B. f(x) = 1/xC. f(x) = sin(x)D. f(x) = |x|2. 下列极限中，存在的是（B）。

A. lim(x→0) 1/xB. lim(x→∞) x^2C. lim(x→0) sin(x)/xD. lim(x→∞) e^(x)3. 下列函数中，可导的是（A）。

A. f(x) = x^3B. f(x) = |x|C. f(x) = sin(1/x)D. f(x) = x^(1/3)4. 下列积分中，收敛的是（C）。

A. ∫(1/x) dxB. ∫(1/x^2) dxC. ∫(e^(x)) dxD. ∫(1/x^3) dx5. 下列级数中，收敛的是（B）。

A. ∑(1/n)B. ∑(1/n^2)C. ∑(1/n^3)D. ∑(1/n^4)三、解答题1. 求函数 f(x) = x^3 3x + 2 在 x = 1 处的导数。

解答：f'(x) = 3x^2 3，代入 x = 1，得 f'(1) = 0。

2. 求不定积分∫(e^x) dx。

解答：∫(e^x) dx = e^x + C，其中 C 为任意常数。

华东师范大学2002年攻读硕士学位研究生入学试题一.（12分）计算：1.222sin()lim.2100n n n n n →∞++-； 2.2sin 1lim().1x x x xe →-- 3.设F 为3R 上的可微函数，由方程23(,,)0F xy yz zx =确定了z 为x 与y 的函数，求,x y z z 在点(1,1)的值.二.（15分）设函数,f g 均在(),a b 内有连续导数，且对于任何(),x a b ∈，有''()()()()()0F x f x g x g x f x =->，求证： 1.,f g 不可能有相同的零点； 2.f的相邻点之间必有g 的零点；3.在()f x 的每个极值点()0,x a b ∈，存在0x 的某邻域，使得()g x 在该邻域中是严格单调的.三.（15分）设初始值1a R ∈给定，用递推公式3142(1,2...)1n n na a n a +==+得到数列{}n a 。

1.求证数列{}n a 收敛； 2.求{}n a 所有可能的极限值；3.试将实数轴R 分成若干个小区间，使得当且仅当在同一区间取初始值，{}n a 都收敛于相同的极限值. 四.（12分）设0ac >>，求椭球体222221x y z a c++=的表面积.五.（18分）设数列{}n a 有界但不收敛，求证： 1.对于任何10,nxn n x a e ∞-=>∑收敛；2.对于任何10,nx n n a e δ∞-=>∑在[,)δ+∞上一致收敛；3.1nx n n a e ∞-=∑在(0,)+∞上不一致收敛. 六.（12分）设函数()f x 在[]0,1上连续，求证：12200()lim (0)2x xf t dt f t x π+→=+⎰。

七.（16分）设函数f 在[]0,a 上严格递增，且有连续导数，(0)0.f =设g 是f的反函数，求证：1.对于任何[]0,x a ∈，都有()(())()f x xx g u du f t dt -=⎰⎰2.当0,0()x a y f a ≤≤≤≤时，下列不等式成立00()()yxxy g u du f t dt ≤+⎰⎰,其中当且仅当()y f x =时，等式成立.华东师范大学2008年数学分析考研试题一、判别题（6*6=30分）（正确的说明理由，错误的举出反例）1．数列{}∞=1n n a 收敛的充要条件是对任意0>ε，存在正整数N ，使得当N n >时，恒有ε<-n n a a 2。

华东师范大学 数分试题及解答一．判断题 1. 设()f x 在0x 的邻域()0U x 内有定义且有界，若()0lim x x f x →不存在，则存在数列{}()0n x U x ⊂，{}()0n y U x ⊂，使得0lim lim n n n n x y x →∞→∞==，而()l i m n n f x →∞和()lim n n f y →∞都存在，但是不相等.解：正确， 任取一包含于()0U x ，收敛于0x 的数列{}n x ，由于(){}n f x 有界，存在子列{}kn x ，使得(){}kn f x 收敛;但是由于()0lim x x f x →不存在，及Heine 归结原理（逆否命题），得到结论. 2. 设()f x 在有限区间(),a b 上可导，且()f x '在(),a b 上有界，则()f x 在(),a b 上有界.解答：正确. 设()f x M '≤，()(),x a b ∀∈，取定()0,x a b ∈，我们有()()()()00f x f x f x f x ≤-+()()00x f x x f x ξ'=-+ ()()0M b a f x ≤-+，x ξ在0x 与x 之间，即得()f x 在(),a b 上有界.3. 设数项级数1n n a ∞=∑收敛，则级数21n n a ∞=∑收敛. 解答：错.反例，()11n n n ∞=-∑收敛，而()211nn n ∞=⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭∑发散.4. 设()f x 在[],a b 上有连续的导函数，[](),,a b ππ⊂-，()()0f a f b ==， 若()1cos bnaA f x nxdx π=⎰，()1sin bnaB f x nxdx π=⎰，0,1,2,n =，则对任意[],x a b ∈，()()01cos sin 2n n n A f x A nx B nx ∞==++∑.解答：对. 将f零延拓至整个(),ππ-，记延拓后函数为f，则f按段光滑，且()()11cos cos bn naa f x nxdx f x nxdx A ππππ-===⎰⎰， ()()11sin sin bn nab f x nxdx f x nxdx B ππππ-===⎰⎰， 0,1,2,n =利用Fourier 级数收敛定理，即得结论.5. 设(),f x y 在()00,x y 处连续，且()()0000,,0x y f x y f x y ==， 则(),f x y 在()00,x y 处可微.解答：错. 考虑函数(),f x y xy=，显然(),f x y 在()0,0处连续，()()0,00,00x y f f ==， 但是(),f x y 在()0,0处不可微.二．计算题1. 求201tan 1sin lim sin 2x x xx x→+-+； 解：21tan 1sin limsin 2x x xx x→+-+ 31tan sin lim21tan 1sin x x xx x x→-=+++ 301tan sin lim 4x x xx→-= 201sin 11cos lim 4cos x x xx x x→-=⋅⋅ 2202sin 12lim 4x xx→=111428=⋅=； 2. 求22222sin cos dxa xb xπ+⎰，其中a ，b 为非零常数. 解：22222sin cos dxa xb xπ+⎰220tan 1tan 1a d x b ab a x b π⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰ 21arctan tan a x ab b π⎛⎫= ⎪⎝⎭ 12ab π=⋅2abπ=.3. 求级数()210121nn n x n ∞+=-+∑的和函数和收敛区域.解：设()()21121nn nu x x n +-=+，显然有()()12limn n n u x x u x +→∞=，于是当()1,1x ∈-时，()0n n u x ∞=∑收敛；当1x >时，()0n n u x ∞=∑发散.显然()0121nn n ∞=-+∑收敛， 当1x=，或者1x =-时，()0n n u x ∞=∑收敛，故级数的收敛域是[]1,1-；设()()21121n nn x f x n +∞==-+∑，()00f =，()()()222111nnnn n f x x x x ∞∞=='=-=-=+∑∑，从而()arctan f x x =. 4. 设()f x 在(),-∞+∞上有连续的二阶导数，2x y zxf yfy x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 求z x ∂∂，z y ∂∂，2z x y ∂∂∂. 解：由2x y z xf yfy x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 知222z x x x y y f f f xy y y x x ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫''=+- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2222z x x y y y f f f y y y x x x ⎛⎫∂⎛⎫⎛⎫''=-++ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭，222232232222z x x x x y y y y y y f f f f f x y y y y y xx x x x x ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''''''=----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222233242x x y y x x y y f f f f y y x x y y xx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.5. 求SdS z ⎰⎰，其中S 是球面2222x y z a ++=被平面z h =，()0h a <<截得的球冠部分.解：222za x y =--，()(){}2222,,:x y D x y x y a h ∈=+≤-，221xydS z z dxdy =++()222a dxdy a x y=-+，()()2222221S DdS a dxdy z a x y a x y =⋅-+-+⎰⎰⎰⎰()2221D a d x d y a x y =-+⎰⎰222221a h a d rdr a rπθ-=-⎰⎰()2222012ln 2a h a a r dr π-'⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰()2222012ln 2a h a a r π-⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦2l n a a hπ=.三．1. 设{}n a 是一列有界的正实数列，{}12sup ,a a a =，求证：11lim nnn k n k a a →∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑. 证明：证法一 对0ε∀>，1N a ∃，使得1N a a ε>-，当1n N ≥时，1111nnn n N k k a a a n a ε=⎛⎫-<≤≤ ⎪⎝⎭∑， 由1lim nn na a →∞=，对于上述0ε>，*2N N ∃∈，当2n N ≥时，有1nn a a ε<+，取{}12max ,NN N =，当n N ≥时，有11n nn k k a a a εε=⎛⎫-<<+ ⎪⎝⎭∑,故有11lim nnn k n k a a →∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑.证法二 由{}12sup,a a a =知，k a a ≤.对任意k a ，当n k ≥，有()1111n nn n n n k k k a a na n a =⎛⎫≤≤= ⎪⎝⎭∑，从而1111lim lim n nnnn n kk k n n k k a a a a →∞→∞==⎛⎫⎛⎫≤≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，1,2,k =于是1111lim lim nnnnn n k k n n k k a a a a →∞→∞==⎛⎫⎛⎫≤≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑， 故有11lim n nn k n k a a →∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑.2. 设()f x 是定义在[],a b 上的函数，满足：对任意[]0,x a b ∈，存在00x δ>，00x ε>，使得在()[]000,,x x xx a b δδ-+有()0x f x ε>.求证：存在0ε>，使得在[],a b 上有()f x ε>.证明：[],x a b ∀∈，取题目所示的区间(),x x x U x x δδ=-+及x ε，()x f x ε>.由于[][],,x x a b a b U ∈⊂. 利用有限覆盖定理，存在{}[]1,nk k x a b =⊂，使得[]1,knxk a b U =⊂，取{}12min ,0nx x x εεεε=>，则[],x a b ∀∈，j x ∃，使得jx x U ∈，()j f x εε>≥.3. 设()f x 是定义在(),-∞+∞上的连续函数，且()0f x dx +∞⎰收敛.若含参量反常积分()()0I y f x y dx +∞=+⎰在(),-∞+∞上一致收敛.求证：对任意的(),x ∈-∞+∞，()0f x =.证明：由题设条件， （1）()0f x dx +∞⎰收敛，0ε∀>，10A ∃>，使得1A A ≥时，有()4Af x dx ε+∞<⎰；（2）()0f x y dx +∞+⎰在(),-∞+∞上一致收敛，对于上述0ε>，存在20A >，使得2A A ≥时，()()4AA yf x y dx f x dx ε+∞+∞++=<⎰⎰，取{}12max,0A A A =>，有()4A f x dx ε+∞<⎰，()4A yf x dx ε+∞+<⎰，()y R ∀∈,于是()()()2A yAA A yf x dx f x dx f x dx ε++∞+∞+=-<⎰⎰⎰从而对[],a b R ∀⊂,()()()bAbaaAf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰()()()()A a A A b A AAf x dx f x dx ε+-+-≤+<⎰⎰而由ε的任意性，有()0baf x dx =⎰，再由()f x 的连续性，及[],a b 的任意性，即得()0f x =，x R ∀∈.4. 设(){}nf x 是定义在[]1,1-上的连续函数列，且()0n f x ≥，（1）()11lim1nn f x dx -→∞=⎰；（2）对任意0δ>，()n f x 在[][]1,,1δδ--上一致收敛于零.求证：对任意[]1,1-上的连续函数()g x ，成立()()()11lim 0n n f x g x dx g -→∞=⎰. 证明：由题意，知 （1）g 在[]1,1-上连续，从而有界，1M ∃>，使得[]1,1x ∈-，()g x M≤（2）由()11lim1nn f x dx -→∞=⎰，知*1N N∃∈，使得当1n N >时，()112n f x dx -<⎰；（3）()gx 在0x =处连续，而有()0,1ε∀∈，()0,1δ∃∈，使得[],x δδ∈-时，有 ()()06g x g ε-<；（4）对于上述的0δ>，()n f x 在[][]1,,1δδ--上一致收敛于零，而有对上述0ε>，*2N N ∃∈,使得当[][]1,,1x δδ∈--，2n N ≥时，()()81n f x Mεδ<-，取{}12max ,NN N =，当n N >时，()()()()11110n n f x g x dx f x g dx---⎰⎰()()()110n f x g x g dx -=-⎡⎤⎣⎦⎰()()()()()()()1100n n f x g x g dx f x g x g dx δδδδ---≤+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰()()()()221816nM f x dx M δδεεδδ-<⋅⋅-+-⎰()()111126n n f x dx f x dx δδεε---⎛⎫<+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰()()222681M εεεδδ⎛⎫<++⋅- ⎪-⎝⎭2264M εεε⎛⎫=++ ⎪⎝⎭12264εεε⎛⎫<++< ⎪⎝⎭, 从而()()()()()1111lim 00n n n f x g x dx f x g dx --→∞-=⎰⎰，又()()()11lim00n n f x g dx g -→∞=⎰，于是结论得证()()11lim n n f x g x dx -→∞⎰()()()()()()()111111lim0lim 0n n n n n f x g x dx f x g dx f x g dx ---→∞→∞=-+⎰⎰⎰()0g =.5. 设(),f x y 在(){}22,:1D x y x y =+≤上有连续的偏导数，且在(){}22,:1D x y xy ∂=+=上恒为零，求证()()1222,,max 3x y D Df f f x y dxdy x y π∈⎡⎤⎛⎫∂∂⎛⎫≤+⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰.证明：(),D f x y dxdy ⎰⎰()1200cos ,sin f r r rd drπθθθ=⎰⎰()()1200cos ,sin cos ,sin f r r f rd drπθθθθθ=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰()12001cos ,sin rdf t t dtrd dr dtπθθθ=⎰⎰⎰12001cos sin rx y f f dtrd drπθθθ⎡⎤=+⎣⎦⎰⎰⎰()()1112222222001cos sin rx y f f dtrd dr πθθθ⎡⎤≤++⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰()()112222001,max rx yx y Df f dtrd drπθ∈≤+⎰⎰⎰()()()112220,max 21x yx y Df f r r dr π∈=+-⎰()1222,max 3x y D f f x y π∈⎡⎤⎛⎫∂∂⎛⎫=+⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.。

数学分析考研华东师大《626数学分析》考研真题集一、配套浙江大学819数学分析考研真题1、浙江大学2013年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：数学分析（A）（819）考生注意：1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟；2．答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上均无效。

一、（40分，每小题10分）（1）；（2）；（3）设，表示不超过的最大整数，计算二重积分；（4）设.求.二、（10分）论证是否存在定义在上的连续函数使得.三、（15分）讨论函数项级数的收敛性与一致收敛性.四、（15分）设均为上的连续函数，且为单调递增的，，同时对于任意，有.证明：对于任意的，都有.五、（5分）；（10分）.六、（5分）构造一个在闭区间上处处可微的函数，使得它的导函数在上无界；（15分）设函数在内可导，证明存在，使得在内有界.七、（15分）设二元函数的两个混合偏导数在附近存在，且在处连续.证明：.八、（20分）已知对于实数，有公式，其中求和是对所有不超过的素数求和.求证：，其中求和也是对所有不超过的素数求和，是某个与无关的常数.二、华东师范大学数学系《数学分析》2一、判断题1设级数收敛，则收敛。

[华东师范大学2008年研]【答案】对查看答案【解析】设b n＝1/n，则{b n}单调有界；收敛，由Abel判别法，知收敛，或者设b n＝1/n，则{b n}单调递减趋于0，收敛，有界，由Dirichlet判别法，知收敛。

2设f（x，y）在（x0，y0）的某个邻域内有定义且则f（x，y）在（x0，y0）处连续。

（）[华东师范大学2008年研] 【答案】错查看答案【解析】反例设显然有但是即是否为0还要取决于θ的值，所以f（x，y）在点（0，0）处不连续。

数分考研试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)在区间(a, b)上连续，则下列说法正确的是（）。

A. f(x)在(a, b)上一定存在最大值和最小值B. f(x)在(a, b)上一定存在极值点C. f(x)在(a, b)上不一定存在最大值和最小值D. f(x)在(a, b)上一定存在零点答案：C2. 若函数f(x)在点x=a处可导，则下列说法错误的是（）。

A. f(x)在点x=a处连续B. f(x)在点x=a处的导数存在C. f(x)在点x=a处的导数是唯一的D. f(x)在点x=a处的导数是函数值的极限答案：D3. 设f(x)=x^2+1，g(x)=x^3-2x，则f(x)与g(x)的和为（）。

A. x^5-x^2-1B. x^5-x^2+1C. x^5+x^2+1D. x^5+x^2-1答案：C4. 若函数f(x)在区间(a, b)上可积，则下列说法正确的是（）。

A. f(x)在(a, b)上一定连续B. f(x)在(a, b)上一定有界C. f(x)在(a, b)上一定存在原函数D. f(x)在(a, b)上一定可导答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3+2x^2+3x+4，则f'(x)=______。

答案：3x^2+4x+32. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则其定积分∫[a, b]f(x)dx的值一定______。

答案：存在3. 设函数f(x)=sin(x)+cos(x)，则f'(x)=______。

答案：cos(x)-sin(x)4. 若函数f(x)=ln(x)，则f'(x)=______。

答案：1/x三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^2-4x+5在区间[1, 3]上的定积分。

答案：∫[1, 3](x^2-4x+5)dx = (1/3x^3-2x^2+5x)|[1, 3] = 62. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。

华东数学考研真题答案一、选择题1. 根据题目所给的函数f(x)，求其在x=2处的导数。

根据导数的定义，我们可以得到：\[ f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} \] 代入f(x)的具体形式，计算得出导数的值为4。

2. 线性代数中，给定矩阵A，求其行列式。

根据行列式的定义和性质，使用Laplace展开法或者Sarrus法则，计算得到矩阵A的行列式为-3。

3. 概率论中，给定随机变量X的概率密度函数，求其数学期望E(X)。

根据数学期望的定义：\[ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx \] 代入概率密度函数并积分，得到E(X)的值为2。

二、填空题1. 根据题目所给的级数，判断其收敛性。

通过比较判别法或者比值判别法，可以判断该级数是收敛的。

2. 给定二阶常系数线性微分方程，求其通解。

首先写出特征方程，解得特征根，然后根据特征根写出通解的形式。

三、解答题1. 解不等式：\( |x - 1| < 2 \)。

首先去掉绝对值，得到两个不等式，然后分别求解，最后取两个解的交集。

2. 证明函数的连续性。

根据连续性的定义，对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-f(x0)|<ε。

通过构造函数的ε-δ证明，可以证明函数的连续性。

3. 线性代数中，求解线性方程组。

使用高斯消元法或者克拉默法则，求解线性方程组的解。

四、证明题1. 证明函数的可导性。

根据可导性的定义，需要证明函数在某点的左导数和右导数存在且相等。

2. 证明矩阵的可逆性。

首先证明矩阵的行列式不为零，然后使用逆矩阵的定义，证明存在唯一的矩阵B，使得AB=BA=I。

结束语以上是华东数学考研真题的部分答案示例。

在实际的考研复习中，同学们应该深入理解每个概念和公式，通过大量的练习来提高解题能力。

考研数分试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则下列说法正确的是：A. 函数f(x)在[a,b]上一定有最大值和最小值B. 函数f(x)在[a,b]上不一定有最大值和最小值C. 函数f(x)在[a,b]上一定有最大值，但不一定有最小值D. 函数f(x)在[a,b]上一定有最小值，但不一定有最大值答案：A2. 若函数f(x)在点x=a处可导，则下列说法正确的是：A. 函数f(x)在点x=a处连续B. 函数f(x)在点x=a处不可导C. 函数f(x)在点x=a处一定不连续D. 函数f(x)在点x=a处的导数为0答案：A3. 设函数f(x)=x^3+2x^2-3x+1，求f'(x)：A. 3x^2+4x-3B. 3x^2+4x+3C. x^3+4x^2-3D. 3x^2-4x+1答案：A4. 已知数列{a_n}满足a_1=2，a_{n+1}=2a_n+1，求a_5：A. 41B. 43C. 45D. 47答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-4x+c，若f(x)在x=2处取得最小值，则c的值为______。

答案：42. 函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=1处的导数值为______。

答案：03. 设数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，求a_3的值为______。

答案：54. 已知函数f(x)=x^2-6x+8，求f(2)的值为______。

答案：0三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+4在区间[1,3]上的最大值和最小值。

答案：最大值为f(3)=4，最小值为f(2)=0。

2. 已知函数f(x)=x^2-4x+c，求证：当c≤0时，函数f(x)在[0,2]上单调递增。

答案：略3. 设数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，求数列{a_n}的通项公式。