数列精华篇(二)

一、数列1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. ⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列． ⑵在数列中同一个数可以重复出现． ⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念． ⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.4.数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn . 5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >.1、已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（答：125）； 2、数列}{n a 的通项为1+=bn an a n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（答：n a <1+n a ）；3、已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；4、一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是 （）（答：A ）二、 等差数列1、 等差数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。

数列知识点归纳总结数列是数学中的重要分支，它已经在现今的各种数学问题中发挥了至关重要的作用。

在数列的研究中，数学家们探索了数列的发展历程，总结出了所有关于数列的相关知识点，并且发现了数列规律，提出了许多有趣的数列定理。

本文将从以下几个方面归纳总结数列知识点：一、数列的定义；二、数列的基本形式；三、数列的特殊形式；四、数列的操作；五、数列的性质；六、数列的不等式；七、数列的收敛性；八、等比数列的求和、倍增率和因子；九、数列的几何图形；十、数列的函数。

一、数列的定义数列定义是指一系列数的有序排列，其中每一项都是由前面几项递推而得到的，例如，数列{1，2，3，4，5}中，从第2项（2）开始，每一项都是前一项（1）和2相加而得到的。

二、数列的基本形式数列的基本形式分为三类：等差数列、等比数列和偶函数数列。

1、等差数列等差数列是由相同的差值（即公差）来定义的数列，如{1、3、5、7、9}，其中2就是公差。

2、等比数列等比数列是由相同的比值（即公比）来定义的数列，如{2、4、8、16、32}，其中2就是公比。

3、偶函数数列偶函数数列是指数列中每一项都是一个偶函数的函数值，如{1、3、5、7、9}，其中每一项都是y=2x+1的函数值。

三、数列的特殊形式数列的特殊形式有若干种，其中最常见的有三角形数列、杨辉三角形数列、斐波那契数列、欧拉数列和Fibonacci数列等。

1、三角形数列三角形数列是以三角形元素对应的数字构成的数列，如 1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91。

2、杨辉三角形数列杨辉三角形数列是一种常见的数列，它由很多正三角形构成，其数字从左上角到右下角数字依次变大，如：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 13、斐波那契数列斐波那契数列是以兔子的存活数量为依据推算出来的数列，其元素均为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，……。

数列二级结论大全数列研究以及推导数学结论是数学中十分重要的内容，而数列二级结论又是其中重要的一部分。

数列二级结论大全是为了汇总数学中数列二级结论，加深读者对数列二级结论的理解和领悟。

数列二级结论大全主要涉及以下几种类型的数列二级结论：一、比率数列结论。

比率数列结论主要指每一项与前一项的比率相同的数列，这类数列又称为等比数列。

其结论有：（1）等比数列的公比是所有项的比率的几何平均数；（2）等比数列前n项之积乘以等比数列的公比的n次方，等于等比数列的n+1项；（3）等比数列前n 项之和等于等比数列的公比减一乘以等比数列的前n项之积；（4）等比数列的首项和公比的乘积，等于等比数列的末项和公比的积；（5）等比数列的每一项，等于等比数列的首项乘以其公比的幂次。

二、等差数列结论。

等差数列结论指的是每一项与前一项的差值相同的数列，这类数列又称为等差数列。

其结论有：（1）等差数列的公差是每两项之差的等比数列；（2）等差数列前n项之和为n项之积减一乘以等差数列的公差；（3）等差数列前n项之积等于等差数列的首项和公差的乘积；（4）等差数列的末项等于等差数列的首项加上等差数列的公差乘以之前的项数减一；（5）等差数列每一项等于等差数列的首项加上等差数列的公差乘以之前的差数。

三、等差数列综合结论。

等差数列综合结论是指将等差数列和等比数列做综合推理，形成的结论。

等差数列综合结论有：（1）若数列中第一项和末项为等差数列，则数列为一等差数列；（2）若数列中第一项和末项为等比数列，则数列为一等比数列；（3）若数列中第一项和末项均不同，则数列可能为一等差数列，也可能为一等比数列；（4）若数列的任意两项的比率，均恒等于第一项和末项的比率，则数列为一等比数列；（5）若数列的任意两项的差值，均恒等于第一项和末项的差值，则数列为一等差数列。

此外，还有综合类数列二级结论，比如三角形中边长数列的重心三角形结论，以及等差数列各项平方和结论。

总之，数列二级结论大全是一份汇集了数学数列二级结论的全面集大成之作，无论是从理论还是从实践应用上，都以其深远的影响力改变了这一领域，并且成为数学史上的一页精彩。

数列详细知识点归纳总结数列是数学中常见的概念，也是数学与实际问题相联系的桥梁。

在数学的学习过程中，掌握数列的相关知识点是非常重要的。

本文将对数列的定义、性质、分类和常用公式进行详细的归纳总结。

一、数列的定义和性质数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。

通常用{a₁，a₂，a₃，...}或{aₙ}表示，其中a₁，a₂，a₃等表示数列的各项。

数列的性质主要包括有穷性、无穷性和有界性。

1. 有穷数列：数列中项的个数是有限的，即存在某个正整数N，使得当n>N时，aₙ为常数，此时数列也被称为等差数列。

2. 无穷数列：数列中的项的个数是无穷的，此时数列也被称为等比数列。

3. 有界数列：数列中的项有一个上界或者下界限制，即存在某个正整数M，使得当n>M时，aₙ≤M（或者aₙ≥M）。

二、数列的分类1. 级数数列：级数数列是由级数的部分和组成的数列，级数数列的通项公式通常为公差公式或者公比公式。

2. 等差数列：等差数列是指数列中相邻两项之间的差值是一个常数的数列，常用的关系式为aₙ = a₁ + (n-1)d，其中a₁为首项，d为公差。

3. 等比数列：等比数列是指数列中相邻两项之间的比值是一个常数的数列，常用的关系式为aₙ = a₁ * r^(n-1)，其中a₁为首项，r为公比。

三、数列的常用公式1. 等差数列的前n项和公式：Sn = (n/2)(a₁ + aₙ)，其中Sn为前n项和，a₁为首项，aₙ为前n项的最后一项。

2. 等差数列的通项公式：aₙ = a₁ + (n-1)d，其中aₙ为第n项，a₁为首项，d为公差。

3. 等比数列的前n项和公式：Sn = a₁(1-rⁿ)/(1-r)，其中Sn为前n项和，a₁为首项，r为公比。

4. 等比数列的通项公式：aₙ = a₁ * r^(n-1)，其中aₙ为第n项，a₁为首项，r为公比。

四、数列的应用数列作为数学的一个重要概念，在实际问题的建模和解决中有着广泛的应用。

数列知识点归纳总结简洁版数列是数学中的一种常见的数学概念，广泛应用于各个领域。

它是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。

在学习数列时，我们需要了解其定义、分类、性质以及相应的求解方法。

本文将对数列的相关知识点进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

一、数列的定义和分类1.1 数列的定义数列是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。

数列中的每一个数称为项，用a1、a2、a3...表示，而位置号称为下标，用n表示。

1.2 数列的分类根据数列的特点和规律，可以将数列分为以下几种类型：1）等差数列：相邻两项之差相等，常用的表示方法是an=a1+(n-1)d。

2）等比数列：相邻两项之比相等，常用的表示方法是an=a1*r^(n-1)。

3）等差-等比数列：既具有等差又具有等比的性质，常用的表示方法是an=a1+b(n-1)d。

4）斐波那契数列：前两项之和等于后一项，常用的表示方法是an=an-1+an-2。

二、数列的性质和运算2.1 数列的性质1）公式性质：数列可以通过一个通项公式来表示。

2）有界性质：数列可以是有界的，即存在上界和下界。

3）单调性质：数列可以是递增的或递减的，也可以是单调不变的。

4）有限性质：数列可以是有限的，也可以是无限的。

2.2 数列的运算1）数列的加法：将同一位置上的项相加得到一个新的数列。

2）数列的减法：将同一位置上的项相减得到一个新的数列。

3）数列的乘法：将同一位置上的项相乘得到一个新的数列。

4）数列的除法：将同一位置上的项相除得到一个新的数列。

三、数列的求解方法3.1 等差数列的求和公式对于等差数列an=a1+(n-1)d，可以通过以下公式计算其前n项和Sn：Sn=n/2*(a1+an)3.2 等比数列的求和公式对于等比数列an=a1*r^(n-1)，可以通过以下公式计算其前n项和Sn：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中r≠1。

3.3 递推关系的求解方法对于一些复杂的数列，无法使用简单的公式解决。

高中数学数列知识点总结5篇篇1一、数列的基本概念数列是一种特殊的函数，其定义域为自然数集或其自然数子集。

数列分为等差数列和等比数列两种基本形式，此外还有更为复杂的数列形式。

数列的通项公式是描述数列的一般规律的重要工具，对于等差数列和等比数列，其通项公式分别为an=a1+(n-1)d和an=a1×q^(n-1)。

掌握数列的基本概念对于后续的学习至关重要。

二、等差数列等差数列是一种常见且重要的数列形式，其任意两项之差都相等。

在等差数列中，需要掌握的主要知识点包括等差数列的通项公式、求和公式、中项公式等。

等差数列的求和公式为Sn=n(a1+an)/2或Sn=na1+[n(n-1)/2]d，这些公式在处理与等差数列相关的问题时非常实用。

等比数列的特点是任意两项之比都相等。

在等比数列中，需要掌握的知识点包括等比数列的通项公式、求和公式以及公比的概念。

等比数列的求和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，掌握这个公式对于解决涉及等比数列的问题非常关键。

四、数列的极限数列的极限是描述数列变化趋势的重要概念。

当n趋近于无穷大时，数列的项会趋近于一个固定的值，这个值就是数列的极限。

掌握数列极限的概念和计算方法是分析数列性质的重要工具。

五、数列的应用数列在实际生活中有着广泛的应用，如金融、物理、工程等领域。

例如，在金融领域，复利计算就涉及等比数列的应用；在物理领域，许多物理量的变化可以看作是等差或等比数列的形式。

掌握数列的应用对于解决实际问题具有重要意义。

除了等差数列和等比数列外，还有一些特殊数列需要了解，如斐波那契数列、三角数列等。

这些数列具有独特的性质和应用场景，了解这些数列有助于拓宽数学视野，提高数学素养。

七、数列的证明在数列的学习中，还需要掌握一些证明方法，如数学归纳法、反证法等。

这些证明方法在证明数列的性质和解决问题时非常有用。

掌握这些证明方法有助于提升数学思维和逻辑推理能力。

综上所述，高中数学中的数列知识点丰富且重要，需要掌握基本概念、等差数列和等比数列的性质、数列的极限、应用、特殊数列以及证明方法等方面的知识。

数列知识点终结数列（Sequence）是数学中的一种基本概念，可以说在数学的各个领域都有广泛的应用。

它是由一系列按照特定规则排列的数所组成的集合。

数列可以用来描述自然现象、物理规律、金融市场等各种现实问题，因此掌握数列的基本概念和性质对于我们的数学学习和问题解决能力都具有重要意义。

本文将以“数列知识点终结”为主题，对数列的基本概念、数列的分类、数列的常见性质以及数列的应用进行系统的整理和总结，帮助读者更好地理解和掌握数列的知识。

一、数列的基本概念数列是由一系列按照特定规则排列的数所组成的集合。

它可以用一个通项公式来表示，通常用字母表示数列的第n项，如an或un。

数列中的每一项按照一定的规律递增或递减，这个规律可以是等差、等比等。

二、数列的分类根据数列的规律，我们将数列分为等差数列、等比数列和其他特殊数列。

1.等差数列：等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等。

其通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

2.等比数列：等比数列是指数列中的每一项与它的前一项之比都相等。

其通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。

3.其他特殊数列：除了等差数列和等比数列外，还有斐波那契数列、调和数列等其他特殊数列。

它们的规律更为复杂，但在实际问题中也有一定的应用价值。

三、数列的常见性质数列具有一系列的常见性质，掌握这些性质可以帮助我们更好地理解和分析数列。

1.数列的有界性：有界数列是指数列中的所有项都在某个范围内。

如果数列的项都是递增或递减的，并且存在上界或下界，那么这个数列就是有界的。

2.数列的递增性和递减性：递增数列是指数列中的每一项都大于前一项，递减数列则相反，每一项都小于前一项。

3.数列的极限：数列的极限是指当n趋向于无穷大时，数列中的项的极限值。

根据数列的性质和规律，我们可以判断数列的极限是否存在，并求出其极限值。

四、数列的应用数列在实际问题中有广泛的应用，特别是在自然科学、经济金融等领域。

数列知识点总结经典参照一、数列的定义数列是按一定顺序排列的一组数的集合，其中每一个数都称为数列的项。

数列可以用一般形式表示为（a1，a2，a3，...，an，...），其中ai表示数列的第i项。

数列通常用一个字母，如a、b、c等来表示。

数列中的项可以是实数、整数、分数等，数列中的项数可以是有限的，也可以是无穷的。

根据数列的性质，我们可以将数列分为等差数列、等比数列、级数、递推数列等多种类型。

二、等差数列等差数列是指数列中相邻两项的差都相等的数列，这个差值称为公差，一般用d表示。

等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1是等差数列的首项，d是公差，an表示数列的第n项。

等差数列的性质有：任意三项成等差数列、前n项和公式等。

三、等比数列等比数列是指数列中相邻两项的比值都相等的数列，这个比值称为公比，一般用q表示。

等比数列的通项公式为an=a1q^(n-1)，其中a1是等比数列的首项，q是公比，an表示数列的第n项。

等比数列的性质有：任意三项成等比数列、前n项和公式等。

四、级数级数是指将一个数列的各项相加得到的和。

级数的分部求和公式为sn=a1+a2+...+an，表示数列的前n项和。

级数的性质有：级数与数列的关系、级数的性质等。

五、递推数列递推数列是指一个数列的第n项的表达式中包含其前面的项，即an=f(an-1)，其中f(x)是一个关于x的函数。

递推数列可以用递推关系来描述。

递推数列的性质有：递推数列的通项公式、递推数列的求和公式等。

六、数列的求和公式数列的求和公式是指通过数列的通项公式或级数的分部求和公式来求数列的和。

常见的数列的求和公式有等差数列的前n项和公式Sn=n(a1+an)/2，等比数列的前n项和公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q)等。

七、数列的应用数列在数学中有着广泛的应用，例如在数学分析、微积分、代数、概率论等各个领域都有数列的应用。

数列在物理、工程、经济等其他学科中也有着重要的应用。

第二章 数列知识要点1、数列：按照一定顺序排列着的一列数．2、数列的项：数列中的每一个数．3、有穷数列：项数有限的数列．4、无穷数列：项数无限的数列．5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．7、常数列：各项相等的数列．8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 9、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式．10、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -〔或前几项〕间的关系的公式．11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．即：1(1)n n a a dn --=>12、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，那么A 称为a 与b 的等差中项．假设2a cb +=，那么称b 为a 与c 的等差中项． 13、假设等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，那么()11naa n d =+-．14、通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-；②()11n a a n d =--；③11n a a d n -=-；④11n a a n d-=+；⑤n m a a d n m -=-．15、假设{}n a 是等差数列，且m n p q +=+〔m 、n 、p 、*q ∈N 〕，那么m n p q a a a a +=+；特别地2n p q =+，那么2n p q a a a =+．16、等差数列的前n 项和的公式：①()12n n n a a S +=；②()112n n n S na d -=+． 17、等差数列的前n 项和的性质：①假设项数为()*2n n ∈N ，那么()21n n n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇．②假设项数为()*21n n -∈N ，那么()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶，1S n S n =-奇偶；③n S ，2n n S S -，32n n S S -成等差数列．18、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．即：1(0,1)nn a q q n a -=≠> 19、在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 称为a 与b 的等比中项．假设2G ab =，那么称G 为a 与b 的等比中项．[20、假设等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，那么11n n a a q -=． 21、通项公式的变形：①n mnm a a q-=；②()11n n a a q--=；③11n na qa -=；④n m n m a q a -=． 22、假设{}n a 是等比数列，且m n p q +=+〔m 、n 、p 、*q ∈N 〕，那么m n p q a a a a ⋅=⋅；特别地2n p q =+，那么2np q a a a =⋅．23、等比数列{}n a 的前n 项和的公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q q q =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩．24、等比数列的前n 项和的性质：①假设项数为()*2n n ∈N，那么S q S=偶奇．②n n mn m S S q S +=+⋅．③n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列．25、求数列的通项公式的方法：①公式法；②n S ，求n a ；③构造法；④累加、乘法。

必修五第二章数列归纳总结一、数列1．数列的定义数列是按一定次序排成的一列数，从函数观点看，数列是定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数f (n )，当自变量n 从1开始依次取正整数时所对应的一列函数值f (1)，f (2)，…，f (n )，….通常用an 代替f (n )．于是数列的一般形式为a 1，a 2，…，an ，…，简记为{an }．一、数列1．数列的定义数列是按一定次序排成的一列数，从函数观点看，数列是定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数f (n )，当自变量n 从1开始依次取正整数时所对应的一列函数值f (1)，f (2)，…，f (n )，….通常用an 代替f (n )．于是数列的一般形式为a 1，a 2，…，an ，…，简记为{an }．3．a n 与S n 的关系设S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2). 二、等差数列1．等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这样的数列叫做等差数列．2．等差中项如果三数a 、A 、b 成等差数列，则A 叫做a 和b 的等差中项，∴A ＝a ＋b 2. 3．(1)通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d .推导方法：累加法a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1.(2)前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . 推导方法：倒序相加法．4．用函数观点认识等差数列(1)a n ＝nd ＋(a 1－d )是n 的一次函数．(2)S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ，是关于n 的常数项为零的二次函数． 5．等差数列的判定方法(1)定义法：an ＋1－an ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{an }是等差数列；(2)中项公式法：2an ＋1＝an ＋an ＋2(n ∈N *)⇔{an }是等差数列；(3)通项公式法：an ＝kn ＋b (k ，b 是常数)(n ∈N *)⇔{an }是等差数列；(4)前n 项和公式法：Sn ＝An 2＋Bn (A 、B 是常数)(n ∈N *)⇔{an }是等差数列．(5){a n }是等差数列⇔{S n n}是等差数列 6．等差数列的性质(1)下标和与项的和的关系在等差数列中，若p ＋q ＝m ＋n ，则有ap ＋aq ＝am ＋an ；若2m ＝p ＋q ，则有2am ＝ap ＋aq ，(p ，q ，m ，n ∈N*)．(2)任意两项的关系在等差数列{a n }中，m 、n ∈N *，则a m －a n ＝(m －n )d 或a m ＝a n ＋(m －n )d 或a m －a n m －n＝d . (3)在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an ，an ＋m ，an ＋2m ，…为等差数列，公差为md .等差数列的依次n 项的和也构成一个等差数列，即Sn ，S 2n －Sn ，S 3n －S 2n ，……为等差数列，公差为n 2d .即下标成等差的项成等差数列，下标和成等差的具有相同构成规律的项的和成等差数列．(4)设等差数列{an }的公差为d ，那么d >0⇔{an }是递增数列；d <0⇔{an }是递减数列；d ＝0⇔{an }是常数数列．(5)①数列{λa n ＋b }仍为等差数列，公差为λd .若{b n }，{a n }都是等差数列，则{a n ±b n }仍为等差数列，{λ1a n ＋λ2b n }(λ1，λ2为常数)也是等差数列．②项数为n 的等差数列中，n 为奇数时，设m ＝n ＋12，则S 奇－S 偶＝a m ，S 奇S 偶＝n ＋1n －1，S n＝na 中＝na m .n 为偶数时，S 偶－S 奇＝n 2d . ③若{a n }与{b n }为等差数列，且前n 项和分别为S n 与S ′n ，则a m b m ＝S 2m －1S ′2m －1. ④等差数列{a n }中，若a n ＝m ，a m ＝n (m ≠n )，则a m ＋n ＝0.⑤若数列{a n }的前p 项和为S p ＝q ，前q 项和为S q ＝p (p ≠q )，则S p ＋q ＝－(p ＋q )． ⑥若数列{a n }的前n 项和为S n ，S p ＝S q (p ≠q )，则S p ＋q ＝0.三、等比数列1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列．2．等比中项如果三个数a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 和b 的等比中项，即G 2＝ab .3．等比数列的通项公式a n ＝a 1·q n －1(n ∈N *)．推导方法：累乘法：a n a n －1·a n －1a n －2……a 3a 2·a 2a 1＝q n －1. 4．等比数列的前n 项和当q ＝1时，S n ＝na 1，当q ≠1时．S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q. 推导方法：乘公比、错位相减法．5．等比数列的判定方法(1)an ＋1＝anq (q 是不为0的常数，n ∈N *，an ≠0)⇔{an }是等比数列．(2)an ＝cqn －1(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{an }是等比数列．(3)an ＋12＝an ·an ＋2(an ≠0，n ∈N *)⇔{an }是等比数列．(4)Sn ＝A ·qn －A (A 、q 为常数且A ≠0，q ≠0,1)⇔{an }是公比不为1的等比数列．6．等比数列的主要性质(1)下标和与项的积的关系在等比数列{an }中，若m 、n 、p 、q ∈N *且m ＋n ＝p ＋q ，则am ·an ＝ap ·aq .特别地，若2m ＝p ＋q ，则ap ·aq ＝am 2；a 1an ＝a 2an －1＝a 3an －2＝….(2)任意两项的关系若{a n }为等比数列，则a m a n＝q m －n 或a m ＝a n ·q m －n (m 、n ∈N *)． (3)等间隔的k 项和(或积)仍成等比数列．例如：{a n }是等比数列，则①a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1；②a 1＋a 2，a 2＋a 3，a 3＋a 4，…；③a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，…；④a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6……均成等比数列．(4)等比数列{a n }的单调性当⎩⎨⎧ a 1>0q >1，或⎩⎨⎧ a 1<00<q <1时，{a n }为递增数列；当⎩⎨⎧ a 1>00<q <1或⎩⎨⎧ a 1<0q >1时，{a n }为递减数列． (5)①{a n }是等比数列⇒{c ·a n }是等比数列(c ≠0)．②{a n }、{b n }均为等比数列⇒{a n ·b n }、{a n b n}仍是等比数列． ③若{a n }是等比数列，则{a n 2}、{a n }(a n >0)、{1a n}、{|a n |}均为等比数列． ④非零常数列既是等差数列，也是等比数列．⑤若{an }是等差数列，则{ba n }是等比数列．若{an }是正项等比数列，则{lg a n }是等差数列．误区警示1．数列与数集应予区别，数列中的数排列有序，数集中的元素无序；数列中的数可重复出现，数集中的元素互异．2．并不是每一个数列都有通项公式，给出前n 项时，写出的通项公式可以不止一个．3．已知{a n }的前n 项和S n 求a n 时，用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1 (n ＝1)S n －S n －1(n ≥2)求解应注意分类讨论． a n ＝S n －S n －1是在n ≥2条件下求出的，应检验a 1是否适合．如果适合，则合写在一块，如果不适合，则分段表示．千万注意用a n ＝S n －S n －1判断数列{a n }是否为等差(或等比)数列时，不要忘记验证a 1是否满足．如：S n ＝n 2＋n 时，{a n }是等差数列．S n ＝n 2＋n ＋1时，{a n }不是等差数列．S n ＝2n －1时，{a n }是等比数列．S n ＝2n ＋1时，{a n }不是等比数列．4．在讨论等差数列{an }的前n 项和Sn 的最值时，不要忽视n 是整数的条件及含0项的情形．如：在等差数列{an }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且如S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 有最大值，并求出它的最大值．取最大值的应为S 12和S 13.5．G 是a 、b 的等比中项⇒/⇐/ G ＝ab .6．在应用等比数列的前n 项和公式时，一定要对q ＝1与q ≠1进行分类讨论．7．等比数列中隐含着各项不为零、公比不为零，项与公比的符号有着密切的联系，解题时应特别注意．。