几何画板中怎样用椭圆定义构造椭圆

活用几何画板优化高中数学圆锥曲线定义的教学——以椭圆定义及其定义法求椭圆为例摘要在高中数学教学中，灵活地合理运用几何画板这一辅助教学工具，不仅有助于形象地展示数量、图形的变化过程和理解概念的生成过程，还有助于培养学生的发散思维、创新思维等能力。

本文以椭圆定义及定义法求椭圆为例，突显几何画板在圆锥曲线教学中的应用价值。

关键词：几何画板；定义；椭圆；数学概念；应用价值理解数学概念是学习数学的基本要求，也是学生进一步解决数学问题的基础知识。

数学概念往往有一个核心概念，再由核心概念演绎而成的子概念，核心概念和子概念组成一个知识体系。

解题运用过程中，往往运用核心概念将数学知识有效的整合，形成系统的知识网络，不仅更有效快速地解决问题，而且有助于学生思维能力的发展和核心素养的内化。

圆锥曲线是高考考查的热点，考题以中、高难度为主，题型涵盖选择题、填空题和解答题，解答题中的求解圆锥曲线方程时，待定系数法与定义法求轨迹是常见方法，我们知道，圆锥曲线这一模块知识，主要考查的学科核心素养为数学运算、直观想象和逻辑推理。

然而，以历年的教学经验看来，在圆锥曲线的解答题中，第一问的求解曲线方程的运算出错的学生都不在少数，特别是题干中可以用定义法快速求解的，由于学生未能抓住题目关键条件，对圆锥曲线定义的理解只停留在表面，反而用了直译法列出方程，却又由于计算不到位，未能化简出结果，最终导致整道题丢分。

因此，若要突破解决这一问题，根源在于让学生理解圆锥曲线的定义。

一、几何画板在椭圆定义教学中的意义对于椭圆的定义，如果只是按照传统的理论传授教学方式进行授课的话，那么作为接收理解知识的学生来讲，概念的理解可能更多的只是停留在概念中文字的描述，而至于椭圆的生成过程的动态过程，在他们脑海里显得淡化甚至是没有。

因此，在传统的教学过程，如果我们教师本身能恰当地利用多媒体技术，借助几何画板的图形界面和简单的操作，把曲线轨迹的形成过程用动态的过程展示，并且最后让学生看到直观图形。

用几何画板绘制椭圆的方法作椭圆的方法很多，在此仅举4种方法。

例1：利用椭圆的定义作椭圆。

[简要步骤]：（1）作点A、B，以及线段CD（定长）；（2）以点A为圆心，CD为半径作圆，并在圆A上任意取一点E；（3）连接AE、BE，并作BE的垂直平分线FG，交BE于点F，交AE于点G；（4）同时选中点G和点E，作轨迹，如图1。

图1例2：利用椭圆的参数方程作椭圆。

本例的作图原理就是先计算x = a cos t，y = b sin t（-π≤t ≤π），然后根据算得的x、y的值作出点（x，y），最后作出轨迹。

[简要步骤]：（1）显示坐标轴，在x、y轴上分别取点C、D，测量并计算出点C的横坐标和点D的纵坐标，然后将标签分别改为a和b；（2）以任意点E为圆心，点F为圆上一点作圆，在圆上任取一点G，测量角FEG的值，并将标签改为t；（3）将角度设置为弧度制，计算a cos t和b sin t的值，并依次选中，画出点H (a cos t，b sin t)；（4）同时选中点H和点G，作轨迹，如图2。

图2例3：利用椭圆的参数方程的几何意义作椭圆。

[简要步骤]：（1）作水平线段AB，在线段AB上取一点C，以点A为圆心，分别以点B、C为圆上一点作两个同心圆，在大圆上任取一点D，连接AD，交小圆于点E；（2）过点D作线段AB的垂线，并过点E作垂线的垂线，两线交于点F；（3）同时选中点D和点F，作轨迹，如图3。

图3例4：利用压缩圆的方法作椭圆。

我们知道，将圆压缩就成了椭圆，因此，我们可以以椭圆的短轴与长轴之比作为压缩比，将圆压缩成椭圆。

[简要步骤]：（1）作线段AB，以线段AB的中点C为圆心，以点B为圆上一点作圆，在圆上任取一点D；（2）过点D作线段AB的垂线，交线段AB于点E；（3）作线段FG、GH，依次选中线段FG、GH，并标识为比例；（4）以点E为缩放中心，将点D以标识的比例压缩，得点D'；（5）同时选中点D和点D'，作轨迹，如图4。

geogebra构造椭圆轨迹
在数学中，椭圆是一种非常重要的几何形体，也广泛应用于物理、工程学等领域中。

在此，我们将介绍如何使用Geogebra这一强大的数
学软件构造椭圆轨迹。

首先，打开Geogebra软件，在画布上点击“点工具”并选中一
个点A作为椭圆的中心点，再选中直线工具绘制一条任意直线L，来作为椭圆的长轴。

接着，选中点工具，在直线上分别选择两点B、C，并
绘制两条垂直于直线L的虚线DC、EB作为短轴。

此时，我们得到了一
个矩形BEDC，且点A在其重心处。

接下来，使用Geogebra提供的“椭圆工具”来完成构造椭圆的
过程。

在工具栏中找到“椭圆工具”并点击，在弹出的选项卡中选择“中心和两个点”作为椭圆的属性构造方式，并按照提示选择点A、B、C作为相应点的位置。

此时，我们得到了一个椭圆EFGH，其中点A是
椭圆的中心点，BC为椭圆的长轴。

最后，我们可以根据需要进一步调整椭圆的属性。

例如，通过选
择椭圆的长轴进行缩放，可以调整椭圆的椭率；通过选择椭圆上的一
点并拖动，可以改变椭圆的位置等等。

总之，通过Geogebra这一优秀的数学软件，我们可以轻松地构
造出椭圆轨迹，并对其进行灵活的调整和修改，使得我们能够更好地
了解和掌握椭圆相关的基本知识和应用。

如果您对Geogebra的使用和
椭圆轨迹构造还有疑问，不妨多加练习和思考，相信您一定会掌握它
们的精髓和实用技巧。

几何画板椭圆定义的说明(一)几何画板椭圆定义的说明什么是几何画板椭圆？•几何画板椭圆是一种特殊的椭圆形状，常用于几何学或图形设计中。

•它可以通过在几何画板上拉动画笔或绘制工具的方式绘制。

•几何画板椭圆是由画笔在画板上运动形成的，它的形状取决于画笔的路径和运动规律。

如何定义几何画板椭圆？•几何画板椭圆的定义与传统几何学中的椭圆稍有不同。

•在传统几何学中，椭圆可以看作是平面上到两个给定点距离之和等于常数的点的集合。

•而在几何画板中，椭圆的定义是：画板上所有满足规定路径和运动规律的画笔轨迹形成的形状。

几何画板椭圆的特点•几何画板椭圆具有以下特点：1.画板上的每一点都是画笔经过的点之一。

2.画板上的每一点与画笔的运动轨迹的距离之和等于常数。

3.椭圆的长轴和短轴分别对应了画板上画笔运动轨迹的最大和最小距离。

4.几何画板椭圆有两个焦点，分别与画笔运动路径上的两个特定点对应。

如何在几何画板上绘制椭圆？•在几何画板上绘制椭圆需要遵循以下步骤：1.确定画板上画笔的路径和运动规律。

2.根据画笔的路径和运动规律，绘制出画板上的点。

3.根据点的形成路径，通过连接相邻点的线段或曲线，得到几何画板椭圆的形状。

应用领域•几何画板椭圆在以下领域有广泛的应用：1.几何学和数学教育：可以通过绘制几何画板椭圆，帮助学生理解椭圆的特性和性质。

2.图形设计和艺术创作：可以利用几何画板椭圆的独特形状，设计出独特的图案和艺术作品。

3.动画和游戏制作：几何画板椭圆可以作为动画和游戏制作中的基本形状之一，用于绘制角色、道具等。

总结•几何画板椭圆是通过画笔在几何画板上移动形成的一种特殊椭圆形状。

•几何画板椭圆的定义与传统几何学中的椭圆略有不同，它的形状取决于画笔的路径和运动规律。

•几何画板椭圆在几何学、图形设计、艺术创作、动画制作等领域有广泛的应用。

用几何画板制作椭圆的图像佛山市南海区石门中学周伟松椭圆的方程不是一个函数，所以没有办法像作函数图象的方法直接作出椭圆的图象。

可先作出它x轴上面的图象，再把它关于x轴对称，作出另外一部分，但是如果这样子做想在椭圆上任意找一动点的话，这个功能就没办法做到，只能是点在x轴上方运动或者下方运动。

如何作到点可以在椭圆上任意动呢？下面笔者提供一些做法，仅供参考。

第一种方法：压扁圆的法一、制作效果如下图：AC和AB分别决定椭圆的短、长半轴。

拖动C或D点，可改变椭圆的形状（实际上改变椭圆短半轴或长半轴的长）。

二、思路分析利用椭圆的参数方程，可以构造出椭圆，这种构造椭圆的方法，称为"同心圆法"。

三、操作步骤1、画直线AB （为了美观，最好按住Shift画一条水平线）2、画圆（A，C）和（A，D）其中C、D为直线AB上的点3、画直线（A，E）其中E点是圆（A，E）上的点，与圆（A，C）交于F点4、画垂线（E，直线AB）；画平行线（F，直线AB）；这两条直线的交点为G点5、画轨迹（E，G）第二种方法：斜二测水―――圆的斜二测水平放置一、制作效果二、操作步骤1）画线段AB2）画圆（AB为直径）→画点C C为圆上一点3）画垂线（C，线段AB），垂足为D4）对C作旋转变换（D，－45°）5）画中点（线段DC'）6）作轨迹（C，E）第三种方法：定长椭圆的构造在解析几何的教学中，大多时候要化定长的椭圆如下面这个问题：问题：已知椭圆的长半轴＝3厘米，短半轴＝2厘米，求作椭圆。

一、制作效果如下图，拖动单位点，改变单位长度，椭圆放大缩小，但长短半轴始终不变，交点、顶点各就各位选中参数a、b，按小键盘上的"＋""－"，可改变它们的值。

注意：，这里的a被定义为成长半轴，所以在改变值时，a应大于b二、操作步骤1）定长短半轴新建参数a、b，其值分别为3、2；度量点C、点D间的距离→计算a ×CD，b×CD的值2）构造椭圆建立坐标系→画同心圆（D，a×CD，b×CD）；画出小圆与y轴的交点；画出大圆与x轴的交点；画直线DK，K为大圆上一点，与小圆交于L点→画垂线（K，x轴）；画平行线（L，x轴）。