应用几何画板作椭圆和双曲线

数学中常⽤⼏何画板绘制椭圆圆锥曲线是⾼中数学的重点和难点，也是历来⾼考的必考内容，所以对于⾼中⽣来说，弄懂圆锥曲线这块难啃的⾻头，是很有必要的。

其中要熟练掌握的圆锥曲线之⼀就是椭圆，它是圆锥与平⾯的截线，其实要想画出椭圆，其⽅法不⽌⼀种，下⾯就⼀起来通过学学椭圆的五种画法。

⽅法⼀、利⽤椭圆第⼀定义构造椭圆椭圆第⼀定义：平⾯内到两个定点的距离之和等于定长2a（a>0）的点的轨迹就是椭圆，按照此定义可画出椭圆，具体步骤如下：1.单击“圆⼯具”，在画板的适当位置任意画⼀个圆，将圆⼼的标签改为F1。

单击“点⼯具”，在圆上任意画⼀点C，同时选中点F1和点C，执⾏“构造”-“线段”命令，构造出线段F1C。

单击“点⼯具”，在线段F1C任意画⼀点F2。

2.在圆上任意画⼀点E，并构造线段EF1和线段EF2。

选中线段EF2，执⾏“构造”-“中点”命令，构造线段EF2的中点F。

3.选中线段EF2和点F，执⾏“构造”-“垂线”命令，构造出线段EF2的垂直平分线j。

同时选中线段EF1和直线j，选择“构造”-“交点”命令，构造线段EF1和直线j的交点G。

4.选中点G和点E（把点E称做是点G的相关点，改变G点的位置，点E的位置也跟着改变），选择“构造”-“轨迹”命令，可画出椭圆。

拖动点B 和点F2可改变椭圆的形状。

⽅法⼆、利⽤椭圆第⼆定义画椭圆椭圆的第⼆定义：设动点M（x， y）与定点F(c, 0)的距离和它到定直线l： x＝a2/c的距离的⽐是常数（a>c>0），则点M的轨迹是椭圆。

点F 是椭圆的⼀个焦点，直线l是椭圆中对应于焦点F的准线，常数e＝c/a（0<e<1）。

具体的操作步骤如下：步骤⼀打开⼏何画板，使⽤“点⼯具”画任意⼀点F，使⽤“线⼯具”画直线L（点F不在L上）。

过点F作⼀条直线，在直线上取⼀点P；步骤⼆选中点F、P执⾏“度量”--“距离”命令，度量FP的长度；选中点F和度量的FP的长度，执⾏“构造”--“以圆⼼和半径绘圆”构造以点F为圆⼼，FP为半径的圆。

5如何利用几何画板制作双曲线y=X 关于直线y=x对称的对折动画？（应城市杨河初中教师）a的图像是关于直线y=x对称的，为我们知道，双曲线y=x了直观地反映其对称性，可利用几何画板软件制作对称动画，5为例，谈谈制作步骤。

下面以y=x（1）打开几何画板【5.03版】，点击“绘图”中的“定义坐标系”，显示出带有方格的平面直角坐标系。

（2）点击“数据”中的“新建参数”，在“名称”栏里输入字母“a”，在“数值”栏里输入任意整数（以5为例），点击“确定”。

（3）点击“绘图”中的“绘制新函数”，在“新建函数”对话框里依次点击“5”，“÷”，“x”，“确定”，显示出双5的图像。

曲线y=x（4）单击第一象限的分支，点击右键，点击“属性”，在“函数图像”对话框里，点击“绘图”，将“范围”里的数值改写成“1≤x≤5”，点击“确定”，在第一象限显示5的部分图像。

出y=X（OA （5）在x轴上取一点A,将A点拖到坐标原点O的右边，≤5），构造线段OA,在OA上取一点B,度量B点的横坐标(比如2.85)，在“数据”中的“计算”里依次点击“5”，“÷”，“2.85”，“确定”，得到计算结果“1.75”，依次点击“2.85”，“1.75”，“绘图”中的“绘制点（x,y）”，在部分图像上显示一点C,依次点击“C点”，“B点”，“构造”中的“轨迹”，显示出一段双曲线的轨迹图像。

（6）作出直线y=x，拖动点A,让双曲线轨迹图像的端点刚好落在y=x图像上，在双曲线轨迹图像上任取一点D,作D点关于y=x的反射点D’,构造线段DD’,在DD’上任取一点E,依次点击“E点”，“D点”，“构造”中的“轨迹”，显示出另一段能在DDˊ上滑动的双曲线轨迹图像，对E和D,E和D’制作动作按钮，分别为“移动E→D”，“移动E→Dˊ”。

（7）在纵轴上取一点F，将F拖至纵轴的负半轴上，构造线段OF，在OF上任取一点G，度量点G的纵坐标，（比如-1.37），点击“数据”中的“计算”，在对话框里依次点击“5”，“÷”，“-1.37”，“确定”，出现了计算结果“-3.66”，依次点击“-3.66”，“-1.37”，“绘图”中的“绘制点（x,y）”，出现了一点H，依次点击“H点”，“G点”，“构造”中的“轨迹”，出现了一段双曲线轨迹图像，拖动F点，让轨迹图像的端点刚好落在y=x上，在轨迹图像上取一点I，作I关于Y=x的反射点I’，构造线段I I’,在I I’上任取一点J，依次点击“J点”，“I点”，“构造”中的“轨迹”，作J和I，J和I”的动作按钮，分别为“移动J→I”，“移动J→I”。

用几何画板绘制椭圆的方法作椭圆的方法很多，在此仅举4种方法。

例1：利用椭圆的定义作椭圆。

[简要步骤]：（1）作点A、B，以及线段CD（定长）；（2）以点A为圆心，CD为半径作圆，并在圆A上任意取一点E；（3）连接AE、BE，并作BE的垂直平分线FG，交BE于点F，交AE于点G；（4）同时选中点G和点E，作轨迹，如图1。

图1例2：利用椭圆的参数方程作椭圆。

本例的作图原理就是先计算x = a cos t，y = b sin t（-π≤t ≤π），然后根据算得的x、y的值作出点（x，y），最后作出轨迹。

[简要步骤]：（1）显示坐标轴，在x、y轴上分别取点C、D，测量并计算出点C的横坐标和点D的纵坐标，然后将标签分别改为a和b；（2）以任意点E为圆心，点F为圆上一点作圆，在圆上任取一点G，测量角FEG的值，并将标签改为t；（3）将角度设置为弧度制，计算a cos t和b sin t的值，并依次选中，画出点H (a cos t，b sin t)；（4）同时选中点H和点G，作轨迹，如图2。

图2例3：利用椭圆的参数方程的几何意义作椭圆。

[简要步骤]：（1）作水平线段AB，在线段AB上取一点C，以点A为圆心，分别以点B、C为圆上一点作两个同心圆，在大圆上任取一点D，连接AD，交小圆于点E；（2）过点D作线段AB的垂线，并过点E作垂线的垂线，两线交于点F；（3）同时选中点D和点F，作轨迹，如图3。

图3例4：利用压缩圆的方法作椭圆。

我们知道，将圆压缩就成了椭圆，因此，我们可以以椭圆的短轴与长轴之比作为压缩比，将圆压缩成椭圆。

[简要步骤]：（1）作线段AB，以线段AB的中点C为圆心，以点B为圆上一点作圆，在圆上任取一点D；（2）过点D作线段AB的垂线，交线段AB于点E；（3）作线段FG、GH，依次选中线段FG、GH，并标识为比例；（4）以点E为缩放中心，将点D以标识的比例压缩，得点D'；（5）同时选中点D和点D'，作轨迹，如图4。

使用几何画板找出椭圆、双曲线的对称轴、顶点和焦点以及抛物线的焦点作者：黄伟亮来源：《中学数学杂志(高中版)》2015年第04期文[1]介绍了如何使用几何画板找出已知椭圆的中心，文[2]介绍了如何使用几何画板找出已知双曲线的中心和已知抛物线的顶点.本文介绍如何使用几何画板找出已知椭圆、双曲线的对称轴、顶点和焦点以及已知抛物线的焦点，作为文[1]与文[2]的补充.1 找出已知椭圆的对称轴、顶点和焦点步骤如下：图11.利用文[1]的方法找到椭圆的中心O;2.如图1，在椭圆上任找一点A（不是椭圆的顶点），以O为圆心，OA为半径作圆，该圆与椭圆的其余三个交点分别为B、C、D;3.连接AB、AD，过点O分别作AB、AD的平行线，得到直线l1、l2，则直线l1、l2就是椭圆的两条对称轴;4.直线l1与椭圆交于E、F两点，直线l2与椭圆交于G、H两点，则E、F、G、H是椭圆的四个顶点;5.比较OE与OG的大小，若OE>OG，则EF是长轴，GH是短轴;若OE<OG，则EF是短轴，GH是长轴（图1中OE<OG，所以EF是短轴，GH是长轴）;6.以E为圆心，OG为半径作圆，与直线l2交于F1、F2两点，则F1、F2就是椭圆的两个焦点.备注若点A恰好是椭圆的顶点，则该圆与椭圆只有两个交点（其中一个是点A），此时，可对点A进行调整，使得点A不是椭圆的顶点.下面给出该作法的证明.证明如图1，不妨设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0），点A的坐标为x0，y0，其中x0≠±a且x0≠0，于是圆的方程为x2+y2=x20+y20.由于椭圆和圆都关于x轴、y轴、原点对称，所以点B、C的坐标分别为x0，-y0、-x0，-y0，于是直线AB、AD的方程分别为x=x0、y=y0，所以直线l1、l2的方程分别为x=0、y=0，所以直线l1、l2就是椭圆的两条对称轴.因为OE=b，EF1=a，所以OF1=EF12-OE2=a2-b2=c，同理，OF2=c，于是F1、F2是椭圆的两个焦点.2 找出已知双曲线的对称轴、顶点和焦点步骤如下：图21.利用文[2]的方法找到双曲线的中心O;2.如图2，在双曲线上任找一点A（不是双曲线的顶点），以O为圆心，OA为半径作圆，该圆与双曲线的其余三个交点分别为B、C、D;3.连接AB、AD，过点O分别作AB、AD的平行线，得到直线l1、l2，则直线l1、l2就是双曲线的两条对称轴;4.直线l2与双曲线交于E、F两点，则E、F是双曲线的两个顶点;5.以O为圆心，OE为半径作圆C1;6.过点D，利用文[3]的方法作双曲线的切线l3，与C1交于点G;7.过点G作l3的垂线，交l2于点F2，作点F2关于直线l1的对称点F1，则点F1、F2就是双曲线的两个焦点.备注若点A恰好是双曲线的顶点，则以O为圆心，OA为半径的圆与双曲线只有两个交点（其中一个是点A），此时，可对点A进行调整，使得点A不是双曲线的顶点.关于双曲线的顶点、对称轴的证明方法与椭圆的证明类似，此处不再赘述.下面证明F1、F2是双曲线的两个焦点.证明如图2，不妨设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），点D的坐标为x0，y0，其中x0≠±a，点G的坐标为m，n.因为点D在双曲线上，所以x20a2-y20b2=1，即x20=a2+a2y20b2………①.点G在圆C1上，所以m2+n2=a2………②.切线l3的方程为x0xa2-y0yb2=1，而点G在l3上，所以mx0a2-ny0b2=1，即b2mx0-a2ny0=a2b2，两边平方，化简可得2mnx0y0a2b2=b4m2x20+a4n2y20-a4b4………③.因为GF2⊥l3，所以直线GF2的斜率为-a2y0b2x0，所以直线GF2的方程为y-n=-a2y0b2x0x-m，令y=0，可得点F2的横坐标为xF2=b2nx0+a2my0a2y0，平方可得x2F2=b4n2x20+a4m2y20+2mnx0y0a2b2a4y20，将③式代入该式子，可得x2F2=b4n2x20+a4m2y20+b4m2x20+a4n2y20-a4b4a4y20=b4m2+n2x20+a4m2+n2y20-a4b4a4y20.将②式代入，可得x2F2=a2b4x20+a6y20-a4b4a4y20.将①式代入，可得x2F2=a2b4a2+a2y20b2+a6y20-a4b4a4y20=a4b4+a4b2y20+a6y20-a4b4a4y20=a4b2y20+a6y20a4y20=a2+b2=c2，所以xF2=c，于是点F2是双曲线的右焦点，从而点F1是双曲线的左焦点.3 找出已知抛物线的焦点步骤如下：1.利用文[2]的方法找到抛物线的顶点O和对称轴l;2.如图3，在抛物线上任找一点A（不是抛物线的顶点），过A作AB⊥l于点B，作点B关于顶点O的对称点C，连接AC;3.过点A作AD⊥AC，交对称轴l于点D;4.取CD中点为F，则点F就是抛物线的焦点.下面给出该作法的证明.图3证明不妨设抛物线的方程为y2=2px（p>0），点A的坐标为x0，y0，其中x0≠0，则点B 的坐标为x0，0，点C的坐标为-x0，0.于是直线AC的斜率为y0-0x0--x0=y02x0，直线AD的方程为y-y0=-2x0y0x-x0.令y=0，可得x=x0+p，所以点D的坐标为x0+p，0，所以CD中点F 的坐标为p2，0，所以点F就是抛物线的焦点.参考文献[1] 张伟.使用几何画板如何找出已知椭圆的中心[J].中学数学杂志，2014（7）：23.[2] 黄伟亮.使用几何画板找出双曲线的中心和抛物线的焦点[J] .中学数学杂志，2015（3）：65.[3] 黄伟亮.双曲线、抛物线切线的尺规作法[J].数学通报.2004（12）：26作者简介黄伟亮，男，1979年生，广东肇庆人，中学数学一级教师.研究方向是中学数学课堂教学与解题研究、高考试题分析.发表文章50多篇，主编参编教辅资料10本.。

运用几何画板绘制椭圆的有效方法作者：于翠玲来源：《黑龙江教育·中学》2019年第06期在圆锥曲线中，曲线上的点到定点的距离与到定直线的距离的商是常数e，且0<e<1时为椭圆。

椭圆教学是中学数学教学中的重点和难点，椭圆的知识和图像都极为抽象，学生很难理解。

不仅如此，有些教师在绘制椭圆图形时也会感到困难，并且准确性不够。

而运用几何画板软件画出的椭圆既准确又美观，还能增加教学的趣味性，引发学生的学习兴趣，可以让学生轻松、直观地观察并理解椭圆的定义及其性质，从而收到很好的教学效果。

几何画板以点、线、圆作为基础图形，对这些基础图形进行拼接、平移、变换、度量、构造、轨迹追踪以及对基本图形的性质进行运用。

学生可以在此过程中探究图形的内在关系并发现数学的本质，探究数学的奥妙和趣味性，激发学习数学的兴趣。

笔者结合自身教学经验，在总结、归纳、提炼和创新的基础上整理出七种常用的运用几何画板绘制椭圆的方法，分享如下：一、定义法定义法的原理是圆锥曲线的统一定义，即焦点距离与到准线距离的商是定值的点的轨迹。

椭圆的定义，即平面内一个动点到两个定点的距离之和等于常数，这个动点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。

绘制的具体步骤为：打开软件，新建文件，在绘画板内画线段AB的同时在AB上绘制出C点，然后在AB外选取D、E两点，满足DE>AB;选中A、C两点进行标记向量，然后通过标记向量将D平移，得到D';选中D和D'点，绘制出一个以D为圆心，以D和D'间距离为半径的圆并且隐藏;同理，标记B、C两个点为标记向量，并且作出E的平移点到E'点，构造出圆，隐藏E'点;运用点工具做出两个圆周交点为F、G两点。

接下来分两种方法研究。

分别选中F、C和G、C两组点进行构造轨迹绘制出椭圆曲线，如图1所示。

点击F点，点击显示、追踪交点，同理操作G点;点击C点，选择操作类按钮、动画、确定，完成设置;点击绘画板上的动画键，绘画板就绘制出一个椭圆，如图2所示。

怎么用几何画板画双曲线双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线，也是高中数学中必须要研究的一类圆锥曲线。

几何画板作为数学教学辅助工具，可以用其来绘制圆锥曲线，省去在黑板上画图的时间。

本几何画板教程就来给大家介绍介绍几何画板画双曲线的两种方法。

方法一：具体的操作步骤如下：步骤一打开几何画板，单击左边侧边栏工具箱下的“自定义工具”，在弹出的自定义工具包选择“圆锥曲线A”——双曲线。

在自定义工具下选择双曲线示例步骤二在画布空白处单击一下鼠标确定双曲线的中点坐标，拖动鼠标此时会出现双曲线的形状，如下图所示。

确定双曲线的中点坐标示例步骤三拖动鼠标在适当位置单击一下，确定好双曲线的大小、位置和方向后单击鼠标即可。

这样就制作出双曲线图像了，如下图所示。

在画板上绘制双曲线图像示例步骤四拖动双曲线上的红点，改变其位置，就可以改变双曲线的位置和形状，演示如下图。

拖动点调整双曲线示例方法二：具体操作如下：1.利用已知点和线段构造圆。

在“绘图”菜单中选择“定义坐标系”。

用线段工具绘制线段AB。

选择“点工具”，在x轴上绘制一点C。

选中线段AB、点C，选择“构造”—“以圆心和半径绘圆”命令，画出圆C。

利用点工具线段工具和构造菜单构造点、线段和圆2.构造焦点。

双击y轴，选中C点，在“变换”菜单中选择“反射”，在y轴另一侧出现点C’。

在“变换”菜单中选择“反射”构造焦点C’3.构造线段和直线。

选择“点工具”，在圆C上任取一点P。

选择“线段工具”画出线段PC’。

选中点C、点P，选择“构造”—“直线”命令，作出直线CP。

利用线段工具和构造菜单构造线段C’P和直线CP4.构造线段C’P的中点。

选中线段C’P，选择“构造”—“中点”命令，绘制出线段C’P的中点M。

在“构造”菜单中选择“中点”构造线段C’P的中点5.构造中垂线与直线的交点。

选中点M、线段C’P，选择“构造”—“垂线”命令，绘制出线段C’P的垂直平分线，点击线段C’P的垂直平分线与直线CP的相交处，作出交点H。

如何用几何画板画双曲线示意图？
1、函数图像法
“图表”菜单下的“绘制新函数”
输入任何一个反比例函数都可以
比如说y=1/x（只需输入1/x就可以了）
2、轨迹法
（1）在x轴上任取一点A，做出A点关于y轴的对称点A'：
（双击y轴，然后选中A点后“变换”菜单——“反射”）
（2）然后在平面内随意取一点P，同样画出P关于y轴的对称点P'，连接PP'，选中PP'这条线段，再同时选中A'，
“构造”——“以圆心和半径绘圆”
（3）在圆A'上任意取一点X，连接X和A，取中点，作中垂线：
（选中线段，“构造”——“中点”；选中线段和重点，“构造”——“垂线”）
（4）过X和A'作直线，与中垂线相交于M点。

（5）选中M和X，“构造”——“轨迹”即可
此时，如果PP'的距离大于AA'的距离，画出来的是椭圆；如果PP'<AA'，那么画出来的就是双曲线。

此时A、A'就是两个焦点。

椭圆与双曲线的统一性r——基于几何画板软件的轨迹探究周健;章媚媚【摘要】从椭圆和双曲线的立体属性出发,借助几何画板软件,实现圆锥曲线的定义的统一.同时,以轨迹特征为契合点进一步探究归纳,形成较为完整的体系,从而体会圆锥曲线中"数"与"形"的相附相依.【期刊名称】《中国数学教育（高中版）》【年(卷),期】2018(000)006【总页数】4页(P61-64)【关键词】几何画板软件;圆锥曲线;轨迹探究;定义统一【作者】周健;章媚媚【作者单位】浙江省杭州市余杭中学;浙江省杭州市余杭中学【正文语种】中文圆锥曲线是解析几何中的重要内容，但是大多数人对圆锥曲线的认识却只停留在“运算”层面，缺乏直观想象.本文希望借助几何画板软件，从定义的角度研究椭圆和双曲线的几何属性，并进一步在概念上实现“数”与“形”的统一.一、始于空间，切割成线圆锥曲线，又称为圆锥截痕、圆锥截面.在数学中，圆锥曲线是通过平面切圆锥得到的一些曲线.它源于古希腊，柏拉图和阿波罗尼斯在该领域都有重要的贡献.人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2—1）》（以下统称“教材”）中“圆锥曲线与方程”一章的章头便指出：用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆……用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.我们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.可见，圆锥曲线在立体几何中早已实现了统一.这也是圆锥曲线的名字的由来.例1 如图1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，两点M，N分别是直线CD，AB上的动点，P是△A1C1D内的动点（不包括边界），记直线D1P与MN所成的角为θ，若θ的最小值为则点P的轨迹是什么曲线？图1解析：根据线面角最小，可知直线D1P与平面ABCD所成的角为，从而可知点P 在以DD为轴的1圆锥面上.所以点P的轨迹即为平面A1C1D截圆锥所得的曲线.该题本质上是圆锥曲线的切割问题，如图2所示.图2二、追溯教材，“数”“形”相依教材中指出：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.而将概念中的“和”改为“差的绝对值”，将“大于”改为“小于”，即可得到双曲线的概念.然而，将定义的代数描述转化为几何描述之后，学生很难求解点的轨迹，只是单纯地记忆概念，而无法从“形”的角度落实概念. 例2 如图3，⊙F1的半径为r，F2是⊙F1内一个定点，P是圆上任意一点，线段F2P的垂直平分线l和半径F1P相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？图3变式1：如图4，将题中的F2移至圆外，“半径F1P”改为“F1P所在直线”，其余条件不变，则点Q的轨迹是双曲线.例2源于教材，是对概念的几何阐述，关键在于抓住中垂线的几何特征.由此，借助圆的性质和中垂线的辅助，教材中将椭圆和双曲线的定义在圆中实现了统一.而例2中的中垂线恰好是切线.反过来，椭圆或双曲线的两条垂直切线的交点的轨迹是圆.其实，在拖动点F2的过程中，可以感受到双曲线好像是被拼命撕扯过后的椭圆.就好像是两块磁石，原本是异极相吸，却被强力拉成了同极相斥；又好像宇宙的雏形在不断膨胀后化为无穷，是数学中“有界”到“无界”的一种转化.另外，教材中的“信息技术应用”部分指出：点F是定点，直线l是不经过点F的定直线，动点M到定点F的距离与它到直线l的距离的比为e.当0＜e＜1时，该轨迹为椭圆；当e=1时，该轨迹为抛物线；当e＞1时，该轨迹为双曲线.在例2中，借助圆的性质和中垂线的性质实现了椭圆和双曲线的几何性质的统一.例3则利用角平分线的性质来实现这个统一性.例3 如图5，若点F是定点，直线l是不经过点F的定直线，在直线l上任取一点A，连接AF，并过点A作直线l′，使l′⊥l.以线段AF上的任意一点E为圆心，以点E到直线l′的距离为半径得到⊙E.过点F作⊙E的切线，求这个切线与直线l′的交点的轨迹.图5解析：因为PA，PF分别与⊙E相切，所以PE是∠APF的平分线.从而有其中，|PA|为点P到直线l的距离，记作d，而为定值，故可以得到其中当点E在线段AF上运动时，即e发生了变化，就可以得到不同的曲线形状，如图6所示.借助圆的切线性质和角平分线的性质，实现了圆锥曲线的第二定义在几何上的统一，展现了离心率的几何性.例4 如图7，过双曲线C：上的一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：与直线AF相交于点M，与直线相交于点N，其中点F为右焦点，且AF⊥Ox.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值.图7解析1：代数法.求出|MF|和|NF|的值，从而得到解析2：几何法.根据双曲线的切线的性质：若双曲线上任意一点（异于顶点）处的切线交准线于一点，则该交点与此准线相应焦点的连线垂直于切点处相应的焦半径，则该题中可以得到NF⊥PF.在△NFM中，由正弦定理，得分别记∠MNF=α，∠NMF=β.过点P作PP′垂直于准线，并交准线于点P′，则在△NP′P中，有（其中d为点P到准线的距离）.在△NFP中，有从而有推广：将题中的“双曲线”改为“椭圆”，同样用切线与过焦点F的垂线与准线相交得到的交点M，N，的结果仍然为定值e.题中直线l为双曲线的切线，直线即为双曲线的准线，而所得的定值即为离心率e.关键在于抓住第二定义所反映的几何特征.在圆锥曲线中，离心率作为衡量曲线弯曲程度的一个量，不仅承载定义，也推导了性质.三、根在轨迹，万变不离曲线，从本质上讲就是空间中质点的运动轨迹.高中教材中的诸多曲线方程都是以轨迹的形式给出的，而椭圆和双曲线的定义及其性质也可以从点的角度进行阐述.例5 平面内与两个定点A1(-a，0)，A2(a，0)的连线的斜率之积等于非零常数m，a＞0，求点P的轨迹C.轨迹C的形状与m的关系：设点P(x，y)，则有具体见下表.x≠±a曲线的方程x2-ma2=1 x2+y2=a2 y2 a2+曲线的形状椭圆圆椭圆离心率e=m的取值范围m＜-1 m=-1-1＜m＜0 m+1 m——e=x2a2+-ma2=1 y21+m双曲线m＞0 a2-e=x2 ma2=1 y2 1+m由此，可以将圆、椭圆和双曲线通过两条直线的交点的轨迹进行统一，从而进行有效对应.例6 如图8，设点P为椭圆上的动点，F1，F2为椭圆C的焦点，I为△PF1F2的内心，则直线IF1和直线IF2的斜率之积是否为定值？图8解析：根据角平分线的定义，得过点I分别作IF1′∥PF1，IF2′∥PF2，则有根据椭圆的定义，可得直线IF1和直线IF2的斜率之积为定值.反过来，利用旁切圆的性质可以得到从而有所以点I的轨迹为椭圆，如图9所示.图9推广：将题中的“内心”改为“重心”，则结论依然成立；将“椭圆”改为“双曲线”，将“内心”改为“重心”，则轨迹为双曲线.另外，在一个圆中，若点P是圆上的一点，并且有PN⊥AB，则由射影定理可以得到PN2=NA·NB，如图10所示.图10图11推广：若则点P的轨迹为双曲线或椭圆或圆，如图11所示.解析：设P(x，y)，A(-a，0)，B(a，0)，则容易得到y2=t(x-a)(x+a).从而有从形式上，可以发现该问题与两条直线的交点的轨迹方程相一致.由此，更可以得到t即为两条直线PA，PB的斜率之积.例7 如图12，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0).设点A，B是椭圆上的两点，且直线AF1与直线BF2平行，直线AF2与直线BF1交于点P.求证：PF1+PF2是定值.图12解析：由△APF1∽△F2PB，得设直线AF1：x+c=my，联立，得解方程组可以得y1，y2.利用进一步求出从而有PF+1为定值.变式：将题中的“椭圆”改为“双曲线”，同样可以得到PF1+PF2是定值这一结论，如图13所示.借助几何画板软件计算、作图，可以发现PF1+PF2仍为定值，只是点P的轨迹不再是完整的椭圆，而只是其中的一部分，这和双曲线和椭圆图形本身的开放性和封闭性有着很大的关系.图13四、教学启迪从考查要求来看，圆锥曲线分布在选择题、填空题和解答题之中，从二次方程的角度体现了数学运算的重要，而从几何曲线的角度则更深刻地揭示了直观想象的能力.另一方面，圆锥曲线问题作为解析几何中的重点、难点，通过有效地归纳和化归，可以将椭圆和双曲线的一般性质进行推广，从而更好地理解该曲线的特性，在解题时得到事半功倍的效果.从研究曲线的角度来讲，圆锥曲线是从立体切割到平面的曲线，也是点的运动轨迹的曲线，是几何中的一类重要问题.探究圆锥曲线的统一性，实质上也是对其本质的进一步阐述和探索.【相关文献】［1］张福俭.焦点三角形内（旁）切圆的两个性质及其应用［J］.中学数学杂志，2006（3）：26-29.［2］彭震春.二次曲线切线的几何性质［J］.湖南工业大学学报（社会科学版），2003，8（2）：26-28.［3］崔宝法.双曲线切线的几个典型性质及其证明［J］.中学数学月刊，2007（1）：24-26.。

用几何画板画椭圆的六种方法刘秀梅[ 录入者:编辑05 | 时间:2009-01-17 | 来源:本站| 浏览:[ 109次]椭圆在平面解析几何的教学中是一个重要的内容，利用几何画板软件可以很准确地画出椭圆图形，为教师的教和学生的学都带来了方便。

下面介绍六种画椭圆的方法。

1.利用椭圆定义椭圆定义：到两定点的距离之和为定长的点的轨迹。

利用此定义来画，步骤如下：(3)构造线段PF的中垂线MN，与线段PF交于M，与线段PF交于N；(4)构造点P在圆上的动画，追踪点M，M的轨迹就是椭圆（如图1）。

2.利用菱形画椭圆步骤如下：(1)画一个菱形ABCD，对称轴为AC、BD；(2)过D构造AB上的垂线，垂足为P，DP交AC于O，标记AC、BD为镜面，做出点P关于AC的对称点P′，关于BD的对称点P″；(3)顺次选取OPP′构造圆上的弧，再以BD为镜面，构造出对称弧；(4)顺次选取DP″P构造圆上的弧，再以AC为镜面，构造出对称弧，四段弧围成椭圆（如图2）。

3.利用定长线段的滑动一条线段AB(｜AB｜=2a)的两端A和B分别在x轴和y轴上滑动，线段AB的中点的轨迹就是椭圆。

步骤如下：(1)建立坐标系xoy，在x轴上任取一点M，构造线段OM，使｜OM｜=｜AB｜=2a；(2)在线段OM上任取一点A，以A为圆心，以OM为半径构造圆，交y轴于点B；(3)构造线段AB，在AB上任取一点P（非中点），利用点反射或旋转构造点P 关于x轴、y轴、原点的对称点P″、P′、P?苁，追踪点P、P′、P″、P?苁；(4)构造点A在线段OM上的动画，点P、P′、P″、P?苁的轨迹就是椭圆（如图3）。

值得一提的是椭圆规就是利用这个原理制成的，只不过点P取在了线段AB的延长线上。

4.利用参考圆画椭圆步骤如下：(1)以原点O为圆心，分别以a、b(a＞b)为半径做两个圆；(2)任取大圆上的一点A，构造线段OA交小圆于点B，过点A作AN⊥OX（x轴），垂足为N；(3)过点B作BM⊥AN，垂足为M，构造点M关于y轴的对称点M′，追踪点M和M′；(4)构造点A在大圆上的动画，点M、M′的轨迹就是椭圆（如图4）。

在圆锥曲线中，曲线上的点到定点的距离与到定直线的距离的商是常数e，且0<e<1时为椭圆。

椭圆教学是中学数学教学中的重点和难点，椭圆的知识和图像都极为抽象，学生很难理解。

不仅如此，有些教师在绘制椭圆图形时也会感到困难，并且准确性不够。

而运用几何画板软件画出的椭圆既准确又美观，还能增加教学的趣味性，引发学生的学习兴趣，可以让学生轻松、直观地观察并理解椭圆的定义及其性质，从而收到很好的教学效果。

几何画板以点、线、圆作为基础图形，对这些基础图形进行拼接、平移、变换、度量、构造、轨迹追踪以及对基本图形的性质进行运用。

学生可以在此过程中探究图形的内在关系并发现数学的本质，探究数学的奥妙和趣味性，激发学习数学的兴趣。

笔者结合自身教学经验，在总结、归纳、提炼和创新的基础上整理出七种常用的运用几何画板绘制椭圆的方法，分享如下：一、定义法定义法的原理是圆锥曲线的统一定义，即焦点距离与到准线距离的商是定值的点的轨迹。

椭圆的定义，即平面内一个动点到两个定点的距离之和等于常数，这个动点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。

绘制的具体步骤为：打开软件，新建文件，在绘画板内画线段AB 的同时在AB 上绘制出C 点，然后在AB 外选取D 、E 两点，满足DE >AB ；选中A 、C 两点进行标记向量，然后通过标记向量将D 平移，得到D ；选中D 和D 点，绘制出一个以D 为圆心，以D 和D 间距离为半径的圆并且隐藏；同理，标记B 、C 两个点为标记向量，并且作出E 的平移点到E 点，构造出圆，隐藏E 点；运用点工具做出两个圆周交点为F 、G 两点。

接下来分两种方法研究。

分别选中F 、C 和G 、C 两组点进行构造轨迹绘制出椭圆曲线，如图1所示。

图2定义法动态绘制椭圆点击F 点，点击显示、追踪交点，同理操作G 点；点击C 点，选择操作类按钮、动画、确定，完成设置；点击绘画板上的动画键，绘画板就绘制出一个椭圆，如图2所示。

几何画板中椭圆的几种构造方法温州中学 陈晓龙在教学中本人发现利用几何画板可以有很多方法来构造椭圆的图象，于是把几种画法整理如下：椭圆的第一定义：平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和为定值2a （2a ＞|F 1F 2|）的点的轨迹。

椭圆的构造方法一：（1）以O 为圆心，2a 为半径作圆，在圆上任取一点P ，在圆内任取一点A ； （2）连接PO 、PA ，作PA 的中垂线与PO 交于点M ，连接MA ；（3）将点M 定义为“追踪点”，选中点P ，让点P 在圆上任意转动可得到点M 的轨迹为以O ，A 为焦点长轴长为2a 的椭圆 。

理由：图中的MP=MA ，所以OM+MA=OM+MP=OP=圆的半径，符合椭圆的第一定义。

椭圆的第二定义：设动点M (x , y )与定点F (c , 0)的距离和它到定直线l : x ＝ca 2的距离的比是常数ac (a >c >0)，则点M 的轨迹是椭圆。

点F是椭圆的一个焦点，直线l 是椭圆中对应于焦点F 的准线。

常数e ＝ac (0<e <1)是椭圆的离心率。

椭圆的构造方法二：（1）取点F 和直线L ，（点F 不在L 上）。

过点F 作一条直线，在直线上取一点P ；（2）以F 为圆心以FP 为半径作圆，度量FP 的长度，取参数e=0.8(可改为其他小于1的正数)，计算FP/e ；（3）过P 点作直线L 的垂线，交L 于M 点，以M 为圆心，以FP/e 为半径做圆，交垂线于N 点，过N 作L 的平行线，交圆F 于A ，B 两点；（4）追踪A ，B 两点，让P 在直线PF 上任意移动可得椭圆方程。

理由：不管P 点在何位置，总可以保证A ，B 点到F 点距离与他们到直线L 的距离之比为0.8，所以构造方法二依据的是椭圆的第二定义。

椭圆的构造方法三：1．以坐标原点O 为圆心，分别以a 、b(a>b>0)为半径画两个圆;2．在大圆上取一点A ，连接OA 与小圆交于点B ；3．过点A 作AN 垂直于Ox 轴，垂足为N ；作BM 垂直于AN ，垂足为M ；4．分别选中点M 和点A ，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出椭圆。