椭圆的五种画法及各种弦的制作(很不错的几何画板教程)

数学中常⽤⼏何画板绘制椭圆圆锥曲线是⾼中数学的重点和难点，也是历来⾼考的必考内容，所以对于⾼中⽣来说，弄懂圆锥曲线这块难啃的⾻头，是很有必要的。

其中要熟练掌握的圆锥曲线之⼀就是椭圆，它是圆锥与平⾯的截线，其实要想画出椭圆，其⽅法不⽌⼀种，下⾯就⼀起来通过学学椭圆的五种画法。

⽅法⼀、利⽤椭圆第⼀定义构造椭圆椭圆第⼀定义：平⾯内到两个定点的距离之和等于定长2a（a>0）的点的轨迹就是椭圆，按照此定义可画出椭圆，具体步骤如下：1.单击“圆⼯具”，在画板的适当位置任意画⼀个圆，将圆⼼的标签改为F1。

单击“点⼯具”，在圆上任意画⼀点C，同时选中点F1和点C，执⾏“构造”-“线段”命令，构造出线段F1C。

单击“点⼯具”，在线段F1C任意画⼀点F2。

2.在圆上任意画⼀点E，并构造线段EF1和线段EF2。

选中线段EF2，执⾏“构造”-“中点”命令，构造线段EF2的中点F。

3.选中线段EF2和点F，执⾏“构造”-“垂线”命令，构造出线段EF2的垂直平分线j。

同时选中线段EF1和直线j，选择“构造”-“交点”命令，构造线段EF1和直线j的交点G。

4.选中点G和点E（把点E称做是点G的相关点，改变G点的位置，点E的位置也跟着改变），选择“构造”-“轨迹”命令，可画出椭圆。

拖动点B 和点F2可改变椭圆的形状。

⽅法⼆、利⽤椭圆第⼆定义画椭圆椭圆的第⼆定义：设动点M（x， y）与定点F(c, 0)的距离和它到定直线l： x＝a2/c的距离的⽐是常数（a>c>0），则点M的轨迹是椭圆。

点F 是椭圆的⼀个焦点，直线l是椭圆中对应于焦点F的准线，常数e＝c/a（0<e<1）。

具体的操作步骤如下：步骤⼀打开⼏何画板，使⽤“点⼯具”画任意⼀点F，使⽤“线⼯具”画直线L（点F不在L上）。

过点F作⼀条直线，在直线上取⼀点P；步骤⼆选中点F、P执⾏“度量”--“距离”命令，度量FP的长度；选中点F和度量的FP的长度，执⾏“构造”--“以圆⼼和半径绘圆”构造以点F为圆⼼，FP为半径的圆。

椭圆的画法
方法一：
1、画长轴AB、短轴CD，轴心O；
2、取与长轴等长的线绳两端固定在图钉上；
3、对折线绳，一端于C点，另一端落在AO上为F1 点、OB上为F2点；
4、将线绳两端的图钉分别钉在F1、F2上；
5、用画笔尖绷紧线绳画一周，即得所需椭圆。

方法二：
椭圆的画法很多，机械制图中常用的是用四心圆法作近似椭圆。

椭圆的长轴为AB，短轴为CD。

作图步骤如下：
1、连接A、C，以O为圆心、OA为半径画弧，与CD的延长线交于点E，以C为圆心、CE为半径画弧，与AC交于点E1；
2、作AE1的垂直平分线，与长短轴分别交于点O1、O2，再作对称点O
3、O4；O1、O2、O3、O4即为四段圆弧的圆心；
3、分别作圆心连线O1O
4、O2O3、O3O4并延长；
4、分别以O1、O3为圆心，O1A或O3B为半径画小圆弧K1AK和NBN1，分别以O2、O4为圆心，O2C或O4D为半径画大圆弧KCN和N1DK1（切点K、K1、N1、N分别位于相应的圆心连线上），即完成近似椭圆的作图。

运用几何画板绘制椭圆的有效方法作者：于翠玲来源：《黑龙江教育·中学》2019年第06期在圆锥曲线中，曲线上的点到定点的距离与到定直线的距离的商是常数e，且0<e<1时为椭圆。

椭圆教学是中学数学教学中的重点和难点，椭圆的知识和图像都极为抽象，学生很难理解。

不仅如此，有些教师在绘制椭圆图形时也会感到困难，并且准确性不够。

而运用几何画板软件画出的椭圆既准确又美观，还能增加教学的趣味性，引发学生的学习兴趣，可以让学生轻松、直观地观察并理解椭圆的定义及其性质，从而收到很好的教学效果。

几何画板以点、线、圆作为基础图形，对这些基础图形进行拼接、平移、变换、度量、构造、轨迹追踪以及对基本图形的性质进行运用。

学生可以在此过程中探究图形的内在关系并发现数学的本质，探究数学的奥妙和趣味性，激发学习数学的兴趣。

笔者结合自身教学经验，在总结、归纳、提炼和创新的基础上整理出七种常用的运用几何画板绘制椭圆的方法，分享如下：一、定义法定义法的原理是圆锥曲线的统一定义，即焦点距离与到准线距离的商是定值的点的轨迹。

椭圆的定义，即平面内一个动点到两个定点的距离之和等于常数，这个动点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。

绘制的具体步骤为：打开软件，新建文件，在绘画板内画线段AB的同时在AB上绘制出C点，然后在AB外选取D、E两点，满足DE>AB;选中A、C两点进行标记向量，然后通过标记向量将D平移，得到D';选中D和D'点，绘制出一个以D为圆心，以D和D'间距离为半径的圆并且隐藏;同理，标记B、C两个点为标记向量，并且作出E的平移点到E'点，构造出圆，隐藏E'点;运用点工具做出两个圆周交点为F、G两点。

接下来分两种方法研究。

分别选中F、C和G、C两组点进行构造轨迹绘制出椭圆曲线，如图1所示。

点击F点，点击显示、追踪交点，同理操作G点;点击C点，选择操作类按钮、动画、确定，完成设置;点击绘画板上的动画键，绘画板就绘制出一个椭圆，如图2所示。

<<几何画板>>画椭圆的几种方法介绍随着课改的发展，数学问题“视觉化”显得越来越重要（“视觉化”直观，学生更容易接受，课程改革也是朝这个发展方向），《几何画板》以其学习入门容易和操作简单的优点及其强大的图形和图象功能、方便的动画功能被许多数学教师看好，并已成为制作中学数学课件的主要创作平台之一。

下面介绍几种椭圆画法：一、到两定点的距离和等于定长具，在绘图板中作一线段AB（线段AB的长度为椭圆的长轴长2a）。

用“点”工具在线段上任取一点C，先后选中A，C点，选择“变换”->“标记向量"A->C"”（下图）。

再用“线段”工具作线段DE（线段DE的长为2c），选中点D，选择“变换”->“平移”，显示按标记的向量“从A到C”，点击“平移”，会得到点D'。

先后选中点D和D'，选择“作图”->“以圆心和圆周上的点画圆”，选中点D'，先后选中B，C点，选择“变换”->“标记向量"B->C"”。

同样的把点E，按向量BC平移，得到点E'。

以E为圆心过E'作圆选中两个圆的圆周，选择“作图”->“交点”，作出交点F和G。

让点C在线段AB上移动（选中点C，点击“编辑”下的“操作类按钮”中的“动画”可以生成动画），交点F、G的轨迹就是我们要作的椭圆（最后可以把无用的点、线隐藏）。

二、同心圆法（教材例5）选择“图表”->“定义坐标系”，用“圆”工具作两圆心为原点的同心圆（外圆半径长就是最终椭圆的长半轴长a，内圆半径长就是最终椭圆的短半轴长b），光标放原点处，击左键拖动光标，松开左键就得到所需圆。

在外圆圆周上任取一点E（可以选中圆，点击“作图”下的“对象上的点”；或者选取“点”工具，然后把光（选中点A（原点）和点E，点击“作图”下的“线段、射线或直线”），再作AE与小圆的交点（选中线段AE和内圆圆周，可用快捷键Ctrl+I作出交点）F。

怎么画椭圆简单方法
画椭圆的简单方法有很多，这里我将介绍其中两种常见的方法：使用两根针和使用短绳及两根钉。

方法一：使用两根针
这种方法需要使用两根针和一根绳子。

1. 取一根绳子，将其两端绑在两根针的各自末端，形成一个三角形。

2. 将两根针分别固定在纸上，使之成为一条直线，并保持一定距离。

3. 拉紧绳子，并沿着直线移动，使绳子在两根针之间循环。

4. 沿着绳子的轨迹慢慢移动，绳子的末端将会画出一个椭圆形状的轨迹。

这种方法的原理是，当绳子被拉紧并以一定角度移动时，绳子的两端会形成一个不断变化的角度，从而在纸上画出一个椭圆。

方法二：使用短绳及两根钉
这种方法只需要使用一根短绳、两根钉和一支铅笔。

1. 在纸上选择一个你想要画椭圆的位置，插入两根钉并固定。

2. 将铅笔固定在短绳的一端，并在纸上选择一个焦点。

3. 将另一端的绳子固定在另一个焦点，并拉紧绳子。

4. 保持绳子的张力，用另一只手将铅笔围绕焦点画圆，并慢慢移动绳子，画出整个椭圆形状。

这种方法的原理也是利用焦点的特性来画椭圆。

当绳子保持拉紧且长度不变时，铅笔的移动会受到焦点吸引，因此可以画出一个完美的椭圆。

无论使用哪种方法，画椭圆需要一定的实践和耐心。

随着不断的尝试和练习，你会越来越熟练，并能够画出更加精确的椭圆。

椭圆的画法和性质一．椭圆的定义： 1．在平面内，到两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

2．椭圆的标准方程：设M (x , y )是椭圆是上任意一点，椭圆的焦距为2c (c >0)，则如图建立直角坐标系，又F 1、F 2的坐标分别是F 1(－c , 0), F 2(c , 0)，若M 点与F 1、F 2两点的距离的和等于2a (a >c >0)，则 |MF 1|＋|MF 2|＝2a ,∴a y c x y c x 2)()(2222=+-+++, 图9－1整理化简，并且设b 2＝a 2－c 2得椭圆的标准方程12222=+b y a x . 3．椭圆的第二定义：设动点M (x , y )与定点F (c , 0)的距离和它到定直线l : x ＝ca2的距离的比是常数ac(a >c >0)，则点M 的轨迹是椭圆。

点F 是椭圆的一个焦点，直线l 是椭圆中对应于焦点F 的准线。

常数e ＝ac(0<e <1)是椭圆的离心率。

图9－24．椭圆的参数方程：以原点为圆心，分别以a 、b (a >b >0)为半径作两个圆，点A 是大圆上的一个点，点B 是OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，当点A 在大圆上运动时，M 点的轨迹是椭圆。

设点M 的坐标是(x , y )，φ是以Ox 为始边，OA 为终边的正角，取φ为参数，那么x ＝|ON |＝|OA |cos φ＝a cos φ,y ＝|NM |＝|OB |sin φ＝b sin φ,∴ 椭圆的参数方程是⎩⎨⎧φ=φ=sin cos b y a x (φ是参数).二．椭圆的画法：画法1：1．在x 轴上取两点F 1、F 2，使|OF 1|＝|OF 2|，用它们作为两个焦点； 2．在图形外作一条线段CD ，使|CD |＝2a ，(|CD |>|F 1F 2|)； 3．以O 为中心，在x 轴上取两点A 1、A 2，使|A 1A 2|＝|CD |；4．在CD 上分别取C '、D '，使|CC '|＝|A 1F 1|＝|DD '|；作线段C 'D '，并用“作图”菜单中的“对象上的点”功能在C 'D '上作点M ；5．分别以F 1、F 2为圆心，用|CM |、|MD |为半径作圆，两圆相交于P 1、P 2两点；同样方法分别以F 1、F 2为圆心，用|DM |、|CD |为半径作圆，两圆相交于P 3、P 4两点；并将这四个点定义为“追踪点”；6．依次选中点M 、点P 1 (或点M 、点P 2)，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，作出椭圆。

用几何画板画椭圆的六种方法刘秀梅[ 录入者:编辑05 | 时间:2009-01-17 | 来源:本站| 浏览:[ 109次]椭圆在平面解析几何的教学中是一个重要的内容，利用几何画板软件可以很准确地画出椭圆图形，为教师的教和学生的学都带来了方便。

下面介绍六种画椭圆的方法。

1.利用椭圆定义椭圆定义：到两定点的距离之和为定长的点的轨迹。

利用此定义来画，步骤如下：(3)构造线段PF的中垂线MN，与线段PF交于M，与线段PF交于N；(4)构造点P在圆上的动画，追踪点M，M的轨迹就是椭圆（如图1）。

2.利用菱形画椭圆步骤如下：(1)画一个菱形ABCD，对称轴为AC、BD；(2)过D构造AB上的垂线，垂足为P，DP交AC于O，标记AC、BD为镜面，做出点P关于AC的对称点P′，关于BD的对称点P″；(3)顺次选取OPP′构造圆上的弧，再以BD为镜面，构造出对称弧；(4)顺次选取DP″P构造圆上的弧，再以AC为镜面，构造出对称弧，四段弧围成椭圆（如图2）。

3.利用定长线段的滑动一条线段AB(｜AB｜=2a)的两端A和B分别在x轴和y轴上滑动，线段AB的中点的轨迹就是椭圆。

步骤如下：(1)建立坐标系xoy，在x轴上任取一点M，构造线段OM，使｜OM｜=｜AB｜=2a；(2)在线段OM上任取一点A，以A为圆心，以OM为半径构造圆，交y轴于点B；(3)构造线段AB，在AB上任取一点P（非中点），利用点反射或旋转构造点P 关于x轴、y轴、原点的对称点P″、P′、P?苁，追踪点P、P′、P″、P?苁；(4)构造点A在线段OM上的动画，点P、P′、P″、P?苁的轨迹就是椭圆（如图3）。

值得一提的是椭圆规就是利用这个原理制成的，只不过点P取在了线段AB的延长线上。

4.利用参考圆画椭圆步骤如下：(1)以原点O为圆心，分别以a、b(a＞b)为半径做两个圆；(2)任取大圆上的一点A，构造线段OA交小圆于点B，过点A作AN⊥OX（x轴），垂足为N；(3)过点B作BM⊥AN，垂足为M，构造点M关于y轴的对称点M′，追踪点M和M′；(4)构造点A在大圆上的动画，点M、M′的轨迹就是椭圆（如图4）。

几何画板中椭圆的几种构造方法温州中学 陈晓龙在教学中本人发现利用几何画板可以有很多方法来构造椭圆的图象，于是把几种画法整理如下：椭圆的第一定义：平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和为定值2a （2a ＞|F 1F 2|）的点的轨迹。

椭圆的构造方法一：（1）以O 为圆心，2a 为半径作圆，在圆上任取一点P ，在圆内任取一点A ； （2）连接PO 、PA ，作PA 的中垂线与PO 交于点M ，连接MA ；（3）将点M 定义为“追踪点”，选中点P ，让点P 在圆上任意转动可得到点M 的轨迹为以O ，A 为焦点长轴长为2a 的椭圆 。

理由：图中的MP=MA ，所以OM+MA=OM+MP=OP=圆的半径，符合椭圆的第一定义。

椭圆的第二定义：设动点M (x , y )与定点F (c , 0)的距离和它到定直线l : x ＝ca 2的距离的比是常数ac (a >c >0)，则点M 的轨迹是椭圆。

点F是椭圆的一个焦点，直线l 是椭圆中对应于焦点F 的准线。

常数e ＝ac (0<e <1)是椭圆的离心率。

椭圆的构造方法二：（1）取点F 和直线L ，（点F 不在L 上）。

过点F 作一条直线，在直线上取一点P ；（2）以F 为圆心以FP 为半径作圆，度量FP 的长度，取参数e=0.8(可改为其他小于1的正数)，计算FP/e ；（3）过P 点作直线L 的垂线，交L 于M 点，以M 为圆心，以FP/e 为半径做圆，交垂线于N 点，过N 作L 的平行线，交圆F 于A ，B 两点；（4）追踪A ，B 两点，让P 在直线PF 上任意移动可得椭圆方程。

理由：不管P 点在何位置，总可以保证A ，B 点到F 点距离与他们到直线L 的距离之比为0.8，所以构造方法二依据的是椭圆的第二定义。

椭圆的构造方法三：1．以坐标原点O 为圆心，分别以a 、b(a>b>0)为半径画两个圆;2．在大圆上取一点A ，连接OA 与小圆交于点B ；3．过点A 作AN 垂直于Ox 轴，垂足为N ；作BM 垂直于AN ，垂足为M ；4．分别选中点M 和点A ，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出椭圆。

在圆锥曲线中，曲线上的点到定点的距离与到定直线的距离的商是常数e，且0<e<1时为椭圆。

椭圆教学是中学数学教学中的重点和难点，椭圆的知识和图像都极为抽象，学生很难理解。

不仅如此，有些教师在绘制椭圆图形时也会感到困难，并且准确性不够。

而运用几何画板软件画出的椭圆既准确又美观，还能增加教学的趣味性，引发学生的学习兴趣，可以让学生轻松、直观地观察并理解椭圆的定义及其性质，从而收到很好的教学效果。

几何画板以点、线、圆作为基础图形，对这些基础图形进行拼接、平移、变换、度量、构造、轨迹追踪以及对基本图形的性质进行运用。

学生可以在此过程中探究图形的内在关系并发现数学的本质，探究数学的奥妙和趣味性，激发学习数学的兴趣。

笔者结合自身教学经验，在总结、归纳、提炼和创新的基础上整理出七种常用的运用几何画板绘制椭圆的方法，分享如下：一、定义法定义法的原理是圆锥曲线的统一定义，即焦点距离与到准线距离的商是定值的点的轨迹。

椭圆的定义，即平面内一个动点到两个定点的距离之和等于常数，这个动点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。

绘制的具体步骤为：打开软件，新建文件，在绘画板内画线段AB 的同时在AB 上绘制出C 点，然后在AB 外选取D 、E 两点，满足DE >AB ；选中A 、C 两点进行标记向量，然后通过标记向量将D 平移，得到D ；选中D 和D 点，绘制出一个以D 为圆心，以D 和D 间距离为半径的圆并且隐藏；同理，标记B 、C 两个点为标记向量，并且作出E 的平移点到E 点，构造出圆，隐藏E 点；运用点工具做出两个圆周交点为F 、G 两点。

接下来分两种方法研究。

分别选中F 、C 和G 、C 两组点进行构造轨迹绘制出椭圆曲线，如图1所示。

图2定义法动态绘制椭圆点击F 点，点击显示、追踪交点，同理操作G 点；点击C 点，选择操作类按钮、动画、确定，完成设置；点击绘画板上的动画键，绘画板就绘制出一个椭圆，如图2所示。

如何用几何画板画椭圆一、定义法（到两定点的距离和等于定长）选取“线段”工具，在绘图板中作一线段AB（线段AB的长度为椭圆的长轴长2a）。

用“点”工具在线段上任取一点C，按住shift键先后选中A，C点，选择“变换”→“标记向量"A→C"”。

再用“点”工具再用点工具任取一点D，选中点D，选择“变换”→“平移”，选中“按标记的向量”，然后确定，会得到点D'。

按住shift键，先后选中点D和D'，选择“作图”→“以圆心和圆周上的点画圆”，选中点D'，按Ctrl+H键将其隐藏。

按住shift键，先后选中B，C点，选择“变换”→“标记向量"B→C"”。

用点工具另作一点E，使其与D点的距离小于线段AB的长（线段DE的长为2c），选中点E，选择“变换”→“平移”，选中“按标记的向量”，然后确定，会得到点E'。

按住shift键，先后选中点E和E'，选择“作图”→“以圆心和圆周上的点画圆”，选中点E'，按Ctrl+H键将其隐藏。

按住shift键，选中两个圆的圆周，选择“作图”→“交点”（或按Ctrl+I键），作出交点F 和G。

以下可以分两个方向进行：1.按住shift键，先后选中点F和点C，选择“作图”→“轨迹”，作出椭圆的上半部分；同理先后选中点G和点C，作出椭圆的下半部分（如图1）。

2.按住shift键，先后选中点F，选择“显示”→“追踪点”，同样选中点G和点C，选择“显示”→“追踪点”。

按住shift键，先后选中点C和线段AB，选择“编辑”→“操作类按钮”→“动画”，弹出“匹配路径”对话框，选择“双向”、“沿着线段j”、“慢慢地”，按“动画”按钮完成设置。

这时，绘图板上会出现一个“动画”按钮，双击“动画”按钮，就会自动画出椭圆。

完成，存盘退出。

二、准线法（到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e）打开一个新的绘图板，选择“图表”→“建立坐标轴”。

椭圆的画法和性质一．椭圆的定义：1．在平面内，到两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

2．椭圆的标准方程：设M (x , y )是椭圆是上任意一点，椭圆的焦距为2c (c >0)，则如图建立直角坐标系，又F 1、F 2的坐标分别是F 1(－c , 0), F 2(c , 0)，若M 点与F 1、F 2两点的距离的和等于2a (a >c >0)，则 |MF 1|＋|MF 2|＝2a ,∴a y c x y c x 2)()(2222=+-+++, 图9－1整理化简，并且设b 2＝a 2－c 2得椭圆的标准方程12222=+b y a x . 3．椭圆的第二定义：设动点M (x , y )与定点F (c , 0)的距离和它到定直线l : x ＝c a 2的距离的比是常数ac (a >c >0)，则点M 的轨迹是椭圆。

点F 是椭圆的一个焦点，直线l 是椭圆中对应于焦点F 的准线。

常数e ＝ac(0<e <1)是椭圆的离心率。

图9－24．椭圆的参数方程：以原点为圆心，分别以a 、b (a >b >0)为半径作两个圆，点A 是大圆上的一个点，点B 是OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，当点A 在大圆上运动时，M 点的轨迹是椭圆。

设点M 的坐标是(x , y )，φ是以Ox 为始边，OA 为终边的正角，取φ为参数，那么x ＝|ON |＝|OA |cos φ＝a cos φ, y ＝|NM |＝|OB |sin φ＝b sin φ,∴ 椭圆的参数方程是⎩⎨⎧φ=φ=sin cos b y a x (φ是参数).二．椭圆的画法：画法1：图9－41．在x 轴上取两点F 1、F 2，使|OF 1|＝|OF 2|，用它们作为两个焦点； 2．在图形外作一条线段CD ，使|CD |＝2a ，(|CD |>|F 1F 2|)； 3．以O 为中心，在x 轴上取两点A 1、A 2，使|A 1A 2|＝|CD |；4．在CD 上分别取C '、D '，使|CC '|＝|A 1F 1|＝|DD '|；作线段C 'D '，并用“作图”菜单中的“对象上的点”功能在C 'D '上作点M ；5．分别以F 1、F 2为圆心，用|CM |、|MD |为半径作圆，两圆相交于P 1、P 2两点；同样方法分别以F 1、F 2为圆心，用|DM |、|CD |为半径作圆，两圆相交于P 3、P 4两点；并将这四个点定义为“追踪点”；6．依次选中点M 、点P 1 (或点M 、点P 2)，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，作出椭圆。