用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆

数学中常⽤⼏何画板绘制椭圆圆锥曲线是⾼中数学的重点和难点，也是历来⾼考的必考内容，所以对于⾼中⽣来说，弄懂圆锥曲线这块难啃的⾻头，是很有必要的。

其中要熟练掌握的圆锥曲线之⼀就是椭圆，它是圆锥与平⾯的截线，其实要想画出椭圆，其⽅法不⽌⼀种，下⾯就⼀起来通过学学椭圆的五种画法。

⽅法⼀、利⽤椭圆第⼀定义构造椭圆椭圆第⼀定义：平⾯内到两个定点的距离之和等于定长2a（a>0）的点的轨迹就是椭圆，按照此定义可画出椭圆，具体步骤如下：1.单击“圆⼯具”，在画板的适当位置任意画⼀个圆，将圆⼼的标签改为F1。

单击“点⼯具”，在圆上任意画⼀点C，同时选中点F1和点C，执⾏“构造”-“线段”命令，构造出线段F1C。

单击“点⼯具”，在线段F1C任意画⼀点F2。

2.在圆上任意画⼀点E，并构造线段EF1和线段EF2。

选中线段EF2，执⾏“构造”-“中点”命令，构造线段EF2的中点F。

3.选中线段EF2和点F，执⾏“构造”-“垂线”命令，构造出线段EF2的垂直平分线j。

同时选中线段EF1和直线j，选择“构造”-“交点”命令，构造线段EF1和直线j的交点G。

4.选中点G和点E（把点E称做是点G的相关点，改变G点的位置，点E的位置也跟着改变），选择“构造”-“轨迹”命令，可画出椭圆。

拖动点B 和点F2可改变椭圆的形状。

⽅法⼆、利⽤椭圆第⼆定义画椭圆椭圆的第⼆定义：设动点M（x， y）与定点F(c, 0)的距离和它到定直线l： x＝a2/c的距离的⽐是常数（a>c>0），则点M的轨迹是椭圆。

点F 是椭圆的⼀个焦点，直线l是椭圆中对应于焦点F的准线，常数e＝c/a（0<e<1）。

具体的操作步骤如下：步骤⼀打开⼏何画板，使⽤“点⼯具”画任意⼀点F，使⽤“线⼯具”画直线L（点F不在L上）。

过点F作⼀条直线，在直线上取⼀点P；步骤⼆选中点F、P执⾏“度量”--“距离”命令，度量FP的长度；选中点F和度量的FP的长度，执⾏“构造”--“以圆⼼和半径绘圆”构造以点F为圆⼼，FP为半径的圆。

班级： ____________姓名：____________学号：____________一、知识回顾1．短轴长为8，离心率为3的椭圆两焦点分别为F1、 F2，过点F1作直线l交椭5圆于 A、B 两点，则ABF 2的周长为.2．点 P 与定点 F（2,0）的距离和它到定直线x 8 的距离之比是 1:2，求点 P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。

二、探索新知1.用《几何画板》探究动点 M 的轨迹探究 1：F是定点，l是不经过点F的定直线，动点M到定点F的距离和它到定直线 l 的距离的比e是小于 1 的常数，观察动点 M 的轨迹；探究 2：在0 e 1的范围内，改变e的大小，或改变点F与直线l的相对位置，观察动点 M 的轨迹变化。

2.椭圆的第二定义若点 M ( x, y) 与定点F的距离和它到定直线l 的距离的比是常数e（0 e 1），则点 M 的轨迹是一个椭圆。

定点 F叫，定直线 l 叫。

设椭圆 x 2y 21上任一点 M ( x, y) ，焦点坐标为 F ( c,0)(c 0) 。

a 2b 2问题 1：你能否将椭圆上一点 M(x,y)到焦点F (c,0)( c0) 的距离表示成点M横坐标 x 的函数？|MF |(x c) 2y 2解：2y2代入消去 y 2得：x1a 2b 21问题 2：你能推导出对应焦点 F (c,0)(c0) 的准线方程吗？x a2表示点 M(x,y)到定直线的距离，故准线方程为。

c推广：（ 1）对于椭圆x2y 2 1 ，相应于右焦点 F (c,0)的是右准线，方程是，a 2 b 2根据对称性，相应于左焦点 F ( c,0) 的是左准线，方程是。

（2）对于椭圆y2x 2 1 的准线方程是．a 2b2问题 3：点 M到焦点的距离和它到对应准线的距离之比的常数 e 是什么？MFd3.离心率的几何意义：椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比。

三、应用举例例 1、求椭圆x2y21的右焦点和右准线；左焦点和左准线；25162例 2、椭圆x2y21上的点M到左准线的距离是 2.5 ，求M到右焦点的距离；2516例 3、已知点M为椭圆x2y21的上任意一点， F1、 F2分别为左右焦点；2516椭圆内有一点 A(1,2)，求|MA|5| MF1 |的最小值。

利用《几何画板》研究“直线与椭圆的位置关系”教学目的本课主要是说明在一次研究性学习活动中，借助于几何画板来进行数学实验，使学生顺利的完成了观察、发现、猜想、论证这样几个步骤。

借助于多媒体信息技术进行数学实验，不仅可以使教学活动变得形象生动，提高教学质量，最重要的是可以激发学生的学习兴趣，培养学生创新思维，提高发现、猜想能力，使学生真正成为富有创新思想，具有创造力的人才。

学情分析数学研究性学习是在教师的指导下，以学生所学知识和学生的自主性、探究性学习为基础，采用类似于科学研究的方法，促进学生创新发展的一种新型学习方式。

旨在通过学生亲身实践获取直接经验，养成科学精神和科学态度，掌握基本的科学方法，提高综合运用所学知识发现问题和解决实际问题的能力。

常规教学过程中，大都是教师传递前人的经验和规律，教授固定的解题方法，让学生死记硬背公式和规律，虽然短期内效果明显，然则不利于培养学生善于发现问题、解决问题的能力，不利于培养其自主、创新的精神，不利于培养现代社会急需的创新型人才。

而中学生学习较忙，因此，教师可以充分挖掘新教材，去挖掘出“值得研究”的问题，作为研究的课题，指导学生在课堂上进行研究，这样，在一定意义下，能更好实现研究性学习的目的，解决素质与应试的矛盾。

数学是一门科学，含有观察、实验、发现、猜想等实践部分，尝试、假说、度量和分类是数学家常用的计巧，这些也应是教学中必须有的。

由于传统教学模式是粉笔+黑板，因此，学生应有的观察、实验、发现、猜想等实践部分，就被教师滔滔不绝的讲解所替代。

学生呢？犹如进电影厅看电影一样，整个过程很顺畅，但没有机会、没有认真地思考过问题，所以，当他们遇到一些虽简单的问题的时候，就显得手无举措，求助与教师。

这样的教学模式搞研究性学习显然是不行的。

要想把数学研究性学习开展好，就必须进行数学实验，但传统意义上的数学实验显然不能满足需要。

因此，多媒体进入课堂就成为必然。

目前能够提供数学实验的软件比较少，但是“几何画板”及“立体几何画板”这两个数学实验教育软件的介入，将使得传统教学发生很大的变化。

几何画板与椭圆曲线教学整合案例摘要：几何画板是理科教学比较成熟的教育软件平台，为老师和学生提供了一个探索几何图形内在关系的环境，能把比较抽象的几何图形形象化，使静态图形动态化、抽象的概念形象化、枯燥的内容趣味化，促进学生发现、提出、探究和解决问题的能力，提高学生表达、交流及使用信息技术的能力。

关键词：几何画板圆锥曲线整合【案例叙述】圆锥曲线的知识点是高考中的重中之重，考点主要放在圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系和求解轨迹方程等。

同时，圆锥曲线的考查也是高中教学的一个难点，原因是圆锥曲线研究的主要对象是图象与方程之间的关系，我们既可以通过方程来研究图象的性质，又可以通过图象来研究方程。

对于圆锥曲线知识，我们应采用什么样的教学方式，才能让学生学好和掌握这一知识？对于圆锥曲线的教学，老师们都有这样的共识，利用传统教学方式存在以下问题：（1）在讲解过程中，教师只能通过一系列枯燥无味的推导、论证然后给出结论；面对这一系列的推导、证明，学生既难理解，又很容易遗忘。

（2）仅仅利用粉笔和黑板，教师既不能呈现出圆锥曲线的整个生成过程，又很难用数形结合的思想帮助学生从本质上正确、全面、深刻地理解圆锥曲线的相关性质。

（3）面对大量圆锥曲线的作图及知识点的机械验证，教师既费时、费力，又难以用图象的动态模拟去直接验证每一个结论的正确性。

运用几何画板，可以将圆锥曲线的生成过程直观地呈现出来，有利于学生用数形结合的思想进行学习。

同时，也可以让他们观察图形的变化过程，提出猜想，并在老师的指导下给出证明，然后运用几何画板直接验证结论的正确性。

这个过程，一方面可以帮助学生从本质上正确、全面、深刻地理解圆锥曲线的相关性质，体现出了新课改下探究式学习的原则；另一方面又能很好地激发学生的学习兴趣及积极性。

【实例制作及应用】题目：椭圆及其性质课件使用方法：（1）利用课件1，如图（1）所示，双击a=3.00及b=2.00输入椭圆的长半轴及短半轴的值，可以得到我们想要的椭圆，同时也可以看到相应椭圆的离心率及准线方程的值。

几何画板极坐标方程生成椭圆在几何学中，椭圆是一种典型的几何图形。

通过极坐标方程，我们可以简洁而优雅地描述椭圆的形状和特性。

本文将介绍几何画板的极坐标方程生成椭圆的原理和应用。

几何画板是一种用于绘制几何图形的工具，它通过连接直线、曲线和点来构造图形。

几何学中的一大突破是引入了极坐标系，它以极径（r）和角度（θ）来描述点的位置。

椭圆的极坐标方程可以表示为：r = a(1 - ε²) / (1 - εcosθ)其中，a代表椭圆的长半轴长度，ε代表离心率。

离心率决定了椭圆的形状，当0 < ε < 1时，椭圆的形状更加扁平；当ε = 0时，椭圆变为圆形；当ε > 1时，椭圆的形状更加拉长。

通过几何画板的极坐标方程，我们可以得到一系列点的坐标，进而绘制出椭圆的形状。

以椭圆的长半轴长度为5，离心率为0.8为例，我们可以计算并绘制出椭圆的形状。

首先，选择一系列角度θ的取值，比如0°到360°，并计算对应的极径r。

根据极坐标方程，可以通过插入不同的θ值来计算得到相应的r值。

接下来，将计算得到的点连接起来，就可以得到椭圆的形状了。

在实际应用中，几何画板的极坐标方程生成椭圆有着广泛的应用。

比如，在卫星轨道设计中，可以利用椭圆的极坐标方程来描述卫星的运行轨迹，帮助人们预测卫星的位置和轨迹。

同时，在建筑设计中，椭圆的极坐标方程也可以用来设计独特的建筑形状，赋予建筑物以艺术感和美感。

此外，对于学习者来说，几何画板的极坐标方程生成椭圆也是一个有趣且有启发性的实践项目。

通过亲自计算和绘制椭圆的形状，学习者可以更好地理解极坐标系和椭圆的几何特性，提升几何学习的兴趣和能力。

当然，在实际应用中，我们也可以利用计算机软件和数学建模工具来生成椭圆，以获得更加准确的结果。

不过，通过几何画板的极坐标方程生成椭圆的方法，更加直观和可视化，有助于加深对于几何学概念的理解和应用。

总的来说，几何画板的极坐标方程生成椭圆是一种简洁而有趣的方式，能够帮助我们描述和理解椭圆的形状和特性。

几何画板椭圆第一定义的模拟实验步骤
以下是模拟实验椭圆第一定义的步骤：
1. 准备实验材料：一张几何画板、一支铅笔和一根细线。

2. 在几何画板上找到一个合适的中心点，并用铅笔在该点做一个小标记。

3. 使用针将细线的一端固定在几何画板上的中心点上。

4. 用铅笔将细线的另一端固定在画板上适当的位置，确保线条拉直，并且线长稍长于几何画板的两个半径之和。

5. 将铅笔以一定的角度保持固定，然后将细线沿着画板来回移动，绕着中心点旋转线条。

6. 在细线被拉挺的同时，保持细线与铅笔尖端的距离始终不变。

7. 观察细线运动时留下的痕迹，这些痕迹将形成一个闭合的曲线。

8. 这个曲线即为椭圆。

根据椭圆的定义，椭圆是平面上所有距离到两个固定焦点的距离之和恒定的点的轨迹。

这个模拟实验能够帮助你直观地理解椭圆第一定义，即两个焦点和椭圆上所有点到这两个焦点距离之和的恒定关系。

参与实验的过程可以帮助你更好地理解和记忆椭圆的特征。

几何画板椭圆定义的说明(一)几何画板椭圆定义的说明什么是几何画板椭圆？•几何画板椭圆是一种特殊的椭圆形状，常用于几何学或图形设计中。

•它可以通过在几何画板上拉动画笔或绘制工具的方式绘制。

•几何画板椭圆是由画笔在画板上运动形成的，它的形状取决于画笔的路径和运动规律。

如何定义几何画板椭圆？•几何画板椭圆的定义与传统几何学中的椭圆稍有不同。

•在传统几何学中，椭圆可以看作是平面上到两个给定点距离之和等于常数的点的集合。

•而在几何画板中，椭圆的定义是：画板上所有满足规定路径和运动规律的画笔轨迹形成的形状。

几何画板椭圆的特点•几何画板椭圆具有以下特点：1.画板上的每一点都是画笔经过的点之一。

2.画板上的每一点与画笔的运动轨迹的距离之和等于常数。

3.椭圆的长轴和短轴分别对应了画板上画笔运动轨迹的最大和最小距离。

4.几何画板椭圆有两个焦点，分别与画笔运动路径上的两个特定点对应。

如何在几何画板上绘制椭圆？•在几何画板上绘制椭圆需要遵循以下步骤：1.确定画板上画笔的路径和运动规律。

2.根据画笔的路径和运动规律，绘制出画板上的点。

3.根据点的形成路径，通过连接相邻点的线段或曲线，得到几何画板椭圆的形状。

应用领域•几何画板椭圆在以下领域有广泛的应用：1.几何学和数学教育：可以通过绘制几何画板椭圆，帮助学生理解椭圆的特性和性质。

2.图形设计和艺术创作：可以利用几何画板椭圆的独特形状，设计出独特的图案和艺术作品。

3.动画和游戏制作：几何画板椭圆可以作为动画和游戏制作中的基本形状之一，用于绘制角色、道具等。

总结•几何画板椭圆是通过画笔在几何画板上移动形成的一种特殊椭圆形状。

•几何画板椭圆的定义与传统几何学中的椭圆略有不同，它的形状取决于画笔的路径和运动规律。

•几何画板椭圆在几何学、图形设计、艺术创作、动画制作等领域有广泛的应用。

用几何画板研究椭圆的画法一．椭圆的定义：1．椭圆的定义：在平面内，到两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

2．椭圆的标准方程：设M (x , y )是椭圆是上任意一点，椭圆的焦距为2c (c >0)，则如图建立直角坐标系，又F 1、F 2的坐标分别是F 1(－c , 0), F 2(c , 0)，若M 点与F 1、F 2两点的距离的和等于2a (a >c >0)，则 |MF 1|＋|MF 2|＝2a ,∴a y c x y c x 2)()(2222=+-+++,整理化简，并且设b 2＝a 2－c 2得椭圆的标准方程 12222=+by a x .3．椭圆的第二定义：设动点M (x , y )与定点F (c , 0)的距离和它到定直线l : x ＝ca2的距离的比是常数ac(a >c >0)，则点M 的轨迹是椭圆。

点F 是椭圆的一个焦点，直线l 是椭圆中对应于焦点F的准线。

常数e ＝ac(0<e <1)是椭圆的离心率。

4．椭圆的参数方程：以原点为圆心，分别以a 、b (a >b >0)为半径作两个圆，点A 是大圆上的一个点，点B 是OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，当点A 在大圆上运动时，M 点的轨迹是椭圆。

设点M 的坐标是(x , y )，φ是以Ox 为始边，OA 为终边的正角，取φ为参数，那么x ＝|ON |＝|OA |cos φ＝a cos φ, y ＝|NM |＝|OB |sin φ＝b sin φ,∴ 椭圆的参数方程是⎩⎨⎧φ=φ=sin cos b y a x (φ是参数).二．椭圆的画法： 画法1：1．在x 轴上取两点F 1、F 2，使|OF 1|＝|OF 2|，用它们作为两个焦点； 2．在图形外作一条线段CD ，使|CD |＝2a ，(|CD |>|F 1F 2|)； 3．以O 为中心，在x 轴上取两点A 1、A 2，使|A 1A 2|＝|CD |；4．在CD 上分别取C '、D '，使|CC '|＝|A 1F 1|＝|DD '|；作线段C 'D '，并用“作图”菜单中的“对象上的点”功能在C 'D '上作点M ；5．分别以F 1、F 2为圆心，用|CM |、|MD |为半径作圆，两圆相交于P 1、P 2两点；同样方法分别以F 1、F 2为圆心，用|DM |、|CD |为半径作圆，两圆相交于P 3、P 4两点；并将这四个点定义为“追踪点”；6．依次选中点M 、点P 1 (或点M 、点P 2)，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，作出椭圆。

用几何画板绘制椭圆的方法作椭圆的方法很多，在此仅举4种方法。

例1：利用椭圆的定义作椭圆。

[简要步骤]：（1）作点A、B，以及线段CD（定长）；（2）以点A为圆心，CD为半径作圆，并在圆A上任意取一点E；（3）连接AE、BE，并作BE的垂直平分线FG，交BE于点F，交AE于点G；（4）同时选中点G和点E，作轨迹，如图1。

图1例2：利用椭圆的参数方程作椭圆。

本例的作图原理就是先计算x = a cos t，y = b sin t（-π≤t ≤π），然后根据算得的x、y的值作出点（x，y），最后作出轨迹。

[简要步骤]：（1）显示坐标轴，在x、y轴上分别取点C、D，测量并计算出点C的横坐标和点D的纵坐标，然后将标签分别改为a和b；（2）以任意点E为圆心，点F为圆上一点作圆，在圆上任取一点G，测量角FEG的值，并将标签改为t；（3）将角度设置为弧度制，计算a cos t和b sin t的值，并依次选中，画出点H (a cos t，b sin t)；（4）同时选中点H和点G，作轨迹，如图2。

图2例3：利用椭圆的参数方程的几何意义作椭圆。

[简要步骤]：（1）作水平线段AB，在线段AB上取一点C，以点A为圆心，分别以点B、C为圆上一点作两个同心圆，在大圆上任取一点D，连接AD，交小圆于点E；（2）过点D作线段AB的垂线，并过点E作垂线的垂线，两线交于点F；（3）同时选中点D和点F，作轨迹，如图3。

图3例4：利用压缩圆的方法作椭圆。

我们知道，将圆压缩就成了椭圆，因此，我们可以以椭圆的短轴与长轴之比作为压缩比，将圆压缩成椭圆。

[简要步骤]：（1）作线段AB，以线段AB的中点C为圆心，以点B为圆上一点作圆，在圆上任取一点D；（2）过点D作线段AB的垂线，交线段AB于点E；（3）作线段FG、GH，依次选中线段FG、GH，并标识为比例；（4）以点E为缩放中心，将点D以标识的比例压缩，得点D'；（5）同时选中点D和点D'，作轨迹，如图4。

几何画板探求椭圆轨迹的几种作法几何图形的绘制，我们通常是用直尺和圆规，它们的配合几乎可以画出所有的欧氏几何图形。

从某种意义上讲几何画板绘图是欧氏几何“尺规作图”的一种现代延伸。

因为这种把所有绘图建立在基本元素点、线、圆上的做法和数学作图思维中公理化思想是一脉相承的。

用几何画板探求椭圆的轨迹，可进一步理解椭圆的定义以及以动画形式展示动点轨迹如何形成椭圆。

让学生在数学的实验过程中体验数学之美及培养学生的创新能力。

几何画板绘图中，构造轨迹的前提条件是：选定两点，一点是在一条路径上的自由点和能够跟随此点运动的点即被动点。

其中路径可以是任何线（线段、直线、射线）轨迹、函数图象。

一、椭圆的定义椭圆的定义：到两个定点F1，F2的距离和等于常数2a（2a＞F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点。

根据椭圆的定义，在几何画板绘图中，我们要确保动点到两个定点的距离为常数且大于两定点间距离。

以下探求椭圆轨迹的实验环境为几何画板5.0环境下进行实验操作。

方法一：（1）在画板上作线段F1F2。

（2）在画板上作另一条线段AB，使AB＞F1F2。

（3）在线段AB上任取一点C，“构造”线段AC；“构造”线段BC。

（4）以点F1为圆心、线段AC为半径，“构造”圆F1。

（5）以点F2为圆心、线段BC半径，“构造”圆F2。

（6）圆F1与圆F2交于点M、P，并选择“跟踪”点M、P。

（7）选中点C，在编辑菜单下操作类按钮设置为动画，标记为“动点M、P 形成轨迹”。

（8）当鼠标点击“动点M、P形成轨迹”按钮时，点M、P运动，运点的轨迹是椭圆。

方法二：（1）在画板上作圆A，在圆内和圆上分别取点B、C，“构造”直线AC，“构造”线段BC。

（2）“构造”线段BC的中点作垂直平分线交直线AC于P。

（3）选定C点和P点，单击菜单命令：【构造】→【轨迹（U）】二、由限定条件作椭圆的轨迹根据椭圆的标准方程：■+■=1（a＞b＞0）或■+■=1（a＞b＞0）可得其参数方程为■=cosα■=sinα或■=cosα■=sinα。

用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆一、设计理念本节是人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程中的椭圆——信息技术应用内容，在教学设计上考虑了以下三点：1、数学学科的教学活动是数学学科素养培养的主要途径；2、解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要思想；3、信息技术与课堂教学的深度融合，以信息技术为手段实现学生“做数学”二、内容分析本节内容在椭圆B组题之后，B组题一共四道题（如图1），都与椭圆的生成有关，所以在本节的处理上，就将B组题与本节课的第二定义相整合，以介绍椭圆的生成方式为线索展开图1三、学情分析我校是天津市一所市重点高中，学生的基础好，反应速度快，对数学学习有较高的兴趣。

并且在初中和直线与圆的位置关系中，学生已经接触到如何建立平面直角坐标系，体会将几何问题转化为数学问题的方法，已经了解到数形结合的数学思想了。

在本章的学习过程中，学生对椭圆的定义的理解和掌握都很好，但是对椭圆的斜率积为定值掌握的不是很好，有部分同学不会推导，有相当部分的同学不理解，还有一些同学不会证明这也是生成椭圆轨迹的依据。

本节为信息技术与数学融合的的一节课，意在以几何画板为媒介，以问题为载体，通过渗透数形结合、转化等思想方法，从形的角度帮助学生理解椭圆的生成方式，并培养学生用信息技术解决问题的能力。

四、学习目标表1五、学习重、难点1、理解斜率积为定值小于零且不等于-1的点的轨迹为椭圆；理解椭圆的第二定义。

2、 培养探索问题、解决问题的核心素养 六、教学过程 导入1、回顾椭圆的定义：我们把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距2、在黑板上画椭圆的方法：取一条定长的细绳，把它的两端拉开一段距离，分别固定在黑板的两点处，套上粉笔，拉紧绳子，移动笔尖，则轨迹是椭圆（如图2）图2问题1：如何根据椭圆的定义在几何画板上画椭圆？方法一：圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是椭圆（见图3）图3证明：||||||||||QA QO QO QP r OA+=+=>，所以Q的轨迹是以O、A为焦点的椭圆，当||OA距离变大时，椭圆变得越来越扁方法二：动圆圆Q 与定圆圆1F 、圆2F （圆1F 与圆2F 相交） 一个内切，一个外切，则动圆圆心Q 的轨迹是椭圆（见图4、5）图4图5证明：设圆1F 的半径为1r ，圆2F 的半径为2r ，圆Q 的半径为r 因为圆1F 和圆2F 相交，所以121212||||r r F F r r -<<+当圆Q 与圆1F 内切，与圆2F 外切时，11||QF r r =- ，22||QF r r =+ ，所以121212||||||QF QF r r F F +=+> ，所以动圆圆心 Q 是以1F 、2F 为焦点的椭圆的左部分；当圆Q 与圆2F 内切，与圆1F 外切时，11||QF r r =+ ，22||QF r r =- ，所以121212||||||QF QF r r F F +=+> ，所以动圆圆心 Q 是以1F 、2F 为焦点的椭圆的右部分；所以综上，动圆圆Q 与 定圆圆1F 、圆2F （圆1F 与圆2F 相交） 一个内切，一个外切，则动圆圆心Q 的轨迹是椭圆 问题2:如何将圆变成椭圆？引例：在圆上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点的M 的轨迹是什么？用几何画板演示（如图6），发现可以将圆压缩为椭圆，而且无论点P 运动到哪个位置，||||DM DP 不变，压缩比不变图6由此启发学生：圆不仅可以压缩为椭圆也可以拉伸成为椭圆，几何画板演示（如图7）图7进一步启发学生，不仅可以纵向压伸，还可以横向压伸（如图8），也可以从其他角度压伸图8问题3：设点1A 、2A 为椭圆的左右顶点，M 为椭圆上任意一点，则12MA MA k k ⋅ 是多少？解：当椭圆的焦点在x 轴上时，设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则1(,0)A a - ，2(,0)A a方法一设椭圆上任意一点(,)M x y ，12222MA MA y y y k k x a x a x a⋅=⋅=+-- 因为点(,)M x y 在椭圆上，则22222222(1)()x b y b a x a a =-=- ，则1222MA MA b k k a⋅=-方法二：由图9图9因为tan k α=（α为倾斜角） 则1221212||||||||||||||MA MAMD MD MD k k A D A D A D A D ⋅=-⋅=-连接1PA 、2PA （如图6），因为点P 在圆上，所以12PA PA ⊥ ，根据射影定理所以212||||||DP A D A D =⋅所以1222||||MA MAMD k k DP ⋅=-，取特殊，当点P 为圆与y 轴的交点时，||DP a = ，||MD b = ，则1222MA MAb k k a⋅=- 同理，当椭圆方程为22221(0)x y a b b a +=>>，则1222MA MA a k k b⋅=-方法二有助于学生理解椭圆的这个性质结论：椭圆上的任意一点和椭圆的左右顶点连线的斜率之积为定值，且该定值小于零，且不等于1-，当椭圆的焦点在x 轴上时，该定值大于1-且小于零时，当椭圆的焦点在y 轴上时，该定值小于1- 问题4：能否借助这个性质作出椭圆？设1(,0)A a - ，2(,0)A a ，动点P 满足12A P A P k k t ⋅= （0t < 且1t ≠- ），证明：点P 的轨迹为椭圆 证明：设点(,)P x y依题意可得12A P A Py yk k t x a x a ⋅=⋅=+-，化简可得点P 的轨迹方程22221x y a ta +=- 1t -> ，即1t <- ，则点P 的轨迹为焦点在y 轴上的椭圆； 01t <-< ，即10t -<< ，则点P 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆几何画板演示（如图10）：作矩形，使矩形各边的中点在坐标轴上，D 、C 分别为线段OE ，BE 上的点，且满足||||||||OD BC OE BE λ== ，连接1A D 、2A C ，则1A D 与2A C 的交点P 的轨迹为椭圆图10解释：设矩形的长为2a ，宽为2b （a b ≠ ） ，依题意，可知1(,0)A a - ，(0,)D b λ ，2(,0)A a ，(,)C a a b λ- ，则1A P bk aλ=，2A P b k aλ=- ，则1222A P A Pb k k a⋅=- 问题5：点(,)M x y 与定点)0,2(F 的距离和它到定直线8=x 的距离的比是1:2，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形解：由题意||12MF d = 12= ，整理得2211612x y += ，点M 的轨迹是以F 为焦点，离心率为12的椭圆其中4a =，b =2c =，12e =，(2,0)F ±启发学生给一个定点、定直线和比值能不能画出椭圆，并且定点、定直线、比值分别是什么？问题6：已知定点F ，直线l ，F l ∉ ，动点M 满足||MF d为常数（(0,1)∈ ），则点M的轨迹为椭圆几何画板演示（图11）图11通过观察发现，由定点、定直线、比值可以画出椭圆，并且定点在椭圆内，定直线在椭圆外借助直角坐标系（图12），如果定点是焦点、比值是离心率，哪定直线方程是什么？图12学生探究：取特殊点椭圆的右顶点A ，设定直线方程为x m =，依题意，||AF cd a=， 即a c cm a a -=-，得2a m c =，所以定直线方程是2a x c= 问题7：若点(,)M x y 与定点(,0)F c 的距离和它到定直线2:a l x c= 的距离的比是常数ca（0a c >> ），则点M 的轨迹是一个椭圆 证明：设(,)M x y依题意||MF cd a =||c ax c =- ，经整理得222221x y a a c +=- ，令222a c b -= ，所以点M 的轨迹方程为22221(0)x y a b a b+=>>结论：若点(,)M x y 与定点(,0)F c 的距离和它到定直线2:a l x c = 的距离的比是常数ca（0a c >> ），则点M 的轨迹是一个椭圆定点(,0)F c 是椭圆的一个焦点，直线2:a l x c=称为相应于焦点F 的准线由椭圆的对称性，相应于焦点'(,0)F c - ，椭圆的准线是2':a l x c=-当椭圆的焦点在y 轴时，准线方程即为2a y c=± ，我们又得到了生成椭圆的一种方式 总结椭圆的四种生成方式： 1、 椭圆的定义；2、 将圆压缩或拉伸变成椭圆；3、 斜率积为定值小于零且不等于-1的点 的轨迹为椭圆；4、椭圆的第二定义课堂延伸1、 当点A 在圆外时，点Q 的轨迹是什么？为什么？2、当定圆F与圆2F相离时，动圆圆心Q的轨迹是什么？为什么？1如果动圆圆Q与两个定圆都相切，则轨迹又是什么？为什么？3、如果比值大于1，轨迹会发生变化吗？为什么？。

用几何画板画椭圆的六种方法刘秀梅[ 录入者:编辑05 | 时间:2009-01-17 | 来源:本站| 浏览:[ 109次]椭圆在平面解析几何的教学中是一个重要的内容，利用几何画板软件可以很准确地画出椭圆图形，为教师的教和学生的学都带来了方便。

下面介绍六种画椭圆的方法。

1.利用椭圆定义椭圆定义：到两定点的距离之和为定长的点的轨迹。

利用此定义来画，步骤如下：(3)构造线段PF的中垂线MN，与线段PF交于M，与线段PF交于N；(4)构造点P在圆上的动画，追踪点M，M的轨迹就是椭圆（如图1）。

2.利用菱形画椭圆步骤如下：(1)画一个菱形ABCD，对称轴为AC、BD；(2)过D构造AB上的垂线，垂足为P，DP交AC于O，标记AC、BD为镜面，做出点P关于AC的对称点P′，关于BD的对称点P″；(3)顺次选取OPP′构造圆上的弧，再以BD为镜面，构造出对称弧；(4)顺次选取DP″P构造圆上的弧，再以AC为镜面，构造出对称弧，四段弧围成椭圆（如图2）。

3.利用定长线段的滑动一条线段AB(｜AB｜=2a)的两端A和B分别在x轴和y轴上滑动，线段AB的中点的轨迹就是椭圆。

步骤如下：(1)建立坐标系xoy，在x轴上任取一点M，构造线段OM，使｜OM｜=｜AB｜=2a；(2)在线段OM上任取一点A，以A为圆心，以OM为半径构造圆，交y轴于点B；(3)构造线段AB，在AB上任取一点P（非中点），利用点反射或旋转构造点P 关于x轴、y轴、原点的对称点P″、P′、P?苁，追踪点P、P′、P″、P?苁；(4)构造点A在线段OM上的动画，点P、P′、P″、P?苁的轨迹就是椭圆（如图3）。

值得一提的是椭圆规就是利用这个原理制成的，只不过点P取在了线段AB的延长线上。

4.利用参考圆画椭圆步骤如下：(1)以原点O为圆心，分别以a、b(a＞b)为半径做两个圆；(2)任取大圆上的一点A，构造线段OA交小圆于点B，过点A作AN⊥OX（x轴），垂足为N；(3)过点B作BM⊥AN，垂足为M，构造点M关于y轴的对称点M′，追踪点M和M′；(4)构造点A在大圆上的动画，点M、M′的轨迹就是椭圆（如图4）。

在圆锥曲线中，曲线上的点到定点的距离与到定直线的距离的商是常数e，且0<e<1时为椭圆。

椭圆教学是中学数学教学中的重点和难点，椭圆的知识和图像都极为抽象，学生很难理解。

不仅如此，有些教师在绘制椭圆图形时也会感到困难，并且准确性不够。

而运用几何画板软件画出的椭圆既准确又美观，还能增加教学的趣味性，引发学生的学习兴趣，可以让学生轻松、直观地观察并理解椭圆的定义及其性质，从而收到很好的教学效果。

几何画板以点、线、圆作为基础图形，对这些基础图形进行拼接、平移、变换、度量、构造、轨迹追踪以及对基本图形的性质进行运用。

学生可以在此过程中探究图形的内在关系并发现数学的本质，探究数学的奥妙和趣味性，激发学习数学的兴趣。

笔者结合自身教学经验，在总结、归纳、提炼和创新的基础上整理出七种常用的运用几何画板绘制椭圆的方法，分享如下：一、定义法定义法的原理是圆锥曲线的统一定义，即焦点距离与到准线距离的商是定值的点的轨迹。

椭圆的定义，即平面内一个动点到两个定点的距离之和等于常数，这个动点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。

绘制的具体步骤为：打开软件，新建文件，在绘画板内画线段AB 的同时在AB 上绘制出C 点，然后在AB 外选取D 、E 两点，满足DE >AB ；选中A 、C 两点进行标记向量，然后通过标记向量将D 平移，得到D ；选中D 和D 点，绘制出一个以D 为圆心，以D 和D 间距离为半径的圆并且隐藏；同理，标记B 、C 两个点为标记向量，并且作出E 的平移点到E 点，构造出圆，隐藏E 点；运用点工具做出两个圆周交点为F 、G 两点。

接下来分两种方法研究。

分别选中F 、C 和G 、C 两组点进行构造轨迹绘制出椭圆曲线，如图1所示。

图2定义法动态绘制椭圆点击F 点，点击显示、追踪交点，同理操作G 点；点击C 点，选择操作类按钮、动画、确定，完成设置；点击绘画板上的动画键，绘画板就绘制出一个椭圆，如图2所示。