几何画板探求椭圆轨迹的几种作法

数学中常⽤⼏何画板绘制椭圆圆锥曲线是⾼中数学的重点和难点，也是历来⾼考的必考内容，所以对于⾼中⽣来说，弄懂圆锥曲线这块难啃的⾻头，是很有必要的。

其中要熟练掌握的圆锥曲线之⼀就是椭圆，它是圆锥与平⾯的截线，其实要想画出椭圆，其⽅法不⽌⼀种，下⾯就⼀起来通过学学椭圆的五种画法。

⽅法⼀、利⽤椭圆第⼀定义构造椭圆椭圆第⼀定义：平⾯内到两个定点的距离之和等于定长2a（a>0）的点的轨迹就是椭圆，按照此定义可画出椭圆，具体步骤如下：1.单击“圆⼯具”，在画板的适当位置任意画⼀个圆，将圆⼼的标签改为F1。

单击“点⼯具”，在圆上任意画⼀点C，同时选中点F1和点C，执⾏“构造”-“线段”命令，构造出线段F1C。

单击“点⼯具”，在线段F1C任意画⼀点F2。

2.在圆上任意画⼀点E，并构造线段EF1和线段EF2。

选中线段EF2，执⾏“构造”-“中点”命令，构造线段EF2的中点F。

3.选中线段EF2和点F，执⾏“构造”-“垂线”命令，构造出线段EF2的垂直平分线j。

同时选中线段EF1和直线j，选择“构造”-“交点”命令，构造线段EF1和直线j的交点G。

4.选中点G和点E（把点E称做是点G的相关点，改变G点的位置，点E的位置也跟着改变），选择“构造”-“轨迹”命令，可画出椭圆。

拖动点B 和点F2可改变椭圆的形状。

⽅法⼆、利⽤椭圆第⼆定义画椭圆椭圆的第⼆定义：设动点M（x， y）与定点F(c, 0)的距离和它到定直线l： x＝a2/c的距离的⽐是常数（a>c>0），则点M的轨迹是椭圆。

点F 是椭圆的⼀个焦点，直线l是椭圆中对应于焦点F的准线，常数e＝c/a（0<e<1）。

具体的操作步骤如下：步骤⼀打开⼏何画板，使⽤“点⼯具”画任意⼀点F，使⽤“线⼯具”画直线L（点F不在L上）。

过点F作⼀条直线，在直线上取⼀点P；步骤⼆选中点F、P执⾏“度量”--“距离”命令，度量FP的长度；选中点F和度量的FP的长度，执⾏“构造”--“以圆⼼和半径绘圆”构造以点F为圆⼼，FP为半径的圆。

用几何画板绘制椭圆的方法作椭圆的方法很多，在此仅举4种方法。

例1：利用椭圆的定义作椭圆。

[简要步骤]：（1）作点A、B，以及线段CD（定长）；（2）以点A为圆心，CD为半径作圆，并在圆A上任意取一点E；（3）连接AE、BE，并作BE的垂直平分线FG，交BE于点F，交AE于点G；（4）同时选中点G和点E，作轨迹，如图1。

图1例2：利用椭圆的参数方程作椭圆。

本例的作图原理就是先计算x = a cos t，y = b sin t（-π≤t ≤π），然后根据算得的x、y的值作出点（x，y），最后作出轨迹。

[简要步骤]：（1）显示坐标轴，在x、y轴上分别取点C、D，测量并计算出点C的横坐标和点D的纵坐标，然后将标签分别改为a和b；（2）以任意点E为圆心，点F为圆上一点作圆，在圆上任取一点G，测量角FEG的值，并将标签改为t；（3）将角度设置为弧度制，计算a cos t和b sin t的值，并依次选中，画出点H (a cos t，b sin t)；（4）同时选中点H和点G，作轨迹，如图2。

图2例3：利用椭圆的参数方程的几何意义作椭圆。

[简要步骤]：（1）作水平线段AB，在线段AB上取一点C，以点A为圆心，分别以点B、C为圆上一点作两个同心圆，在大圆上任取一点D，连接AD，交小圆于点E；（2）过点D作线段AB的垂线，并过点E作垂线的垂线，两线交于点F；（3）同时选中点D和点F，作轨迹，如图3。

图3例4：利用压缩圆的方法作椭圆。

我们知道，将圆压缩就成了椭圆，因此，我们可以以椭圆的短轴与长轴之比作为压缩比，将圆压缩成椭圆。

[简要步骤]：（1）作线段AB，以线段AB的中点C为圆心，以点B为圆上一点作圆，在圆上任取一点D；（2）过点D作线段AB的垂线，交线段AB于点E；（3）作线段FG、GH，依次选中线段FG、GH，并标识为比例；（4）以点E为缩放中心，将点D以标识的比例压缩，得点D'；（5）同时选中点D和点D'，作轨迹，如图4。

用几何画板画椭圆的六种方法椭圆是平面几何中常见的图形，具有许多特点和性质。

在绘制椭圆时，有多种方法可以使用。

下面将介绍六种常用的绘制椭圆的方法。

1. 绳和两个钉：这是最简单的方法之一。

取一根绳，将两个钉固定在纸上，钉的距离确定椭圆的长轴，绳长为椭圆的周长。

将绳套在两个钉上，再以笔紧绷绳子，沿纸面移动绳子的笔尖，即可得到一个完美的椭圆。

2. 立兰德椭圆仪：这是一种专门用于绘制椭圆的工具。

它由两个互相垂直的固定圆和一个移动圆组成。

通过调整移动圆的位置，使其切割固定圆的位置在不同角度，便可绘制出各种椭圆。

3. 画平行线法：在纸上画一条长直线，作为椭圆的长轴。

然后，在长轴上选择几个等分点，并与长轴垂直的方向上画平行线。

接下来，再在每个平行线上选择等分点，并连结相邻点，最终得到椭圆。

4. 两点距离法：选择椭圆上的两个任意点，并利用细线连接它们。

然后，取一根较长的尺，在椭圆外围固定两个点，使其到线的距离相同。

移动尺的另一段，让尺上的铅笔碰触到线，并沿着椭圆移动，最终形成一个椭圆。

5. 推拉法：选取一块矩形硬纸板或卡纸，将其弯曲成圆筒形。

两端的直径确定椭圆的长短轴。

然后，在圆筒上连接两个焦点，并用铅笔固定在纸上固定一个点，同时将纸沿着直径滑动，同时保持焦点的位置变化，最终形成一个椭圆。

6. 辅助圆法：在纸上确定椭圆的长轴和短轴的长度。

以长轴为直径，在一张纸上画一个大圆；再以短轴为直径，在同一张纸上画一个小圆。

以每个圆的切点为圆心，连结两个切点，最终形成一个完美的椭圆。

这几种方法都能够帮助我们绘制出精确的椭圆。

根据实际需求和使用条件的不同，我们可以选择适合自己的方法来画椭圆。

希望这些方法对您有所帮助！。

用几何画板研究椭圆的画法一．椭圆的定义：1．椭圆的定义：在平面内，到两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

2．椭圆的标准方程：设M (x , y )是椭圆是上任意一点，椭圆的焦距为2c (c >0)，则如图建立直角坐标系，又F 1、F 2的坐标分别是F 1(－c , 0), F 2(c , 0)，若M 点与F 1、F 2两点的距离的和等于2a (a >c >0)，则 |MF 1|＋|MF 2|＝2a ,∴a y c x y c x 2)()(2222=+-+++,整理化简，并且设b 2＝a 2－c 2得椭圆的标准方程 12222=+by a x .3．椭圆的第二定义：设动点M (x , y )与定点F (c , 0)的距离和它到定直线l : x ＝ca2的距离的比是常数ac(a >c >0)，则点M 的轨迹是椭圆。

点F 是椭圆的一个焦点，直线l 是椭圆中对应于焦点F的准线。

常数e ＝ac(0<e <1)是椭圆的离心率。

4．椭圆的参数方程：以原点为圆心，分别以a 、b (a >b >0)为半径作两个圆，点A 是大圆上的一个点，点B 是OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，当点A 在大圆上运动时，M 点的轨迹是椭圆。

设点M 的坐标是(x , y )，φ是以Ox 为始边，OA 为终边的正角，取φ为参数，那么x ＝|ON |＝|OA |cos φ＝a cos φ, y ＝|NM |＝|OB |sin φ＝b sin φ,∴ 椭圆的参数方程是⎩⎨⎧φ=φ=sin cos b y a x (φ是参数).二．椭圆的画法： 画法1：1．在x 轴上取两点F 1、F 2，使|OF 1|＝|OF 2|，用它们作为两个焦点； 2．在图形外作一条线段CD ，使|CD |＝2a ，(|CD |>|F 1F 2|)； 3．以O 为中心，在x 轴上取两点A 1、A 2，使|A 1A 2|＝|CD |；4．在CD 上分别取C '、D '，使|CC '|＝|A 1F 1|＝|DD '|；作线段C 'D '，并用“作图”菜单中的“对象上的点”功能在C 'D '上作点M ；5．分别以F 1、F 2为圆心，用|CM |、|MD |为半径作圆，两圆相交于P 1、P 2两点；同样方法分别以F 1、F 2为圆心，用|DM |、|CD |为半径作圆，两圆相交于P 3、P 4两点；并将这四个点定义为“追踪点”；6．依次选中点M 、点P 1 (或点M 、点P 2)，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，作出椭圆。