一次函数找规律[教师版]

专题13 一次函数中的规律问题考点一一次函数中与坐标有关的规律【方法点拨】从简单图形入手，抓住随着“序号”或“编号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加情况的变化，找出点的变化规律1．如图，直线OD与x轴所夹的锐角为30°，OA1的长为1，△A1A2B1、△A2A3B2、△A3A4B3、…、△A n A n+1B n 均为等边三角形，点A1、A2、A3、…、A n+1在x轴的正半轴上依次排列，点B1、B2、B3、…、B n在直线2．如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为2的等边三角形，边AO在y轴上，点B1，B2，B3，…都在直线y=√33x上，则B2016的坐标是．3．如图，已知直线AB的解析式为y=√33x﹣1，且与x轴交于点A于y轴交于点B，过点A作作直线AB的垂线交y轴于点B1，过点B1作x轴的平行线交AB于点A1，再过点A1作直线AB的垂线交y轴于点B2…，4．如图，已知直线l：y＝﹣x+4，在直线l上取点B1，过B1分别向x轴，y轴作垂线，交x轴于A1，交y 轴于C1，使四边形OA1B1C1为正方形；在直线l上取点B2，过B2分别向x轴，A1B1作垂线，交x轴于A2，交A1B1于C2，使四边形A1A2B2C2为正方形；按此方法在直线l上顺次取点B3，B4，…，B n，依次【方法点拨】从简单图形入手，抓住随着“序号”或“编号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加情况的变化，找出面积的变化规律1．如图，点A1（2，2）在直线y＝x上，过点A1作A1B1∥y轴交直线y=12x于点B1，以点A1为直角顶点，A1B1为直角边在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1，再过点C1作A2B2∥y轴，分别交直线y＝x和y=1 2x于A2，B2两点，以点A2为直角顶点，A2B2为直角边在A2B2的右侧作等腰直角△A2B2C2…，按此规律进2．如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=12x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（12，4），阴影三角形部分的面积从左向右依【方法点拨】从简单图形入手，抓住随着“序号”或“编号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加情况的变化，找出线段的变化规律1．如图，在平面直角坐标系中，△A1B1C1、△A2B2C2、△A3B3C3、…、△A n B n∁n均为等腰直角三角形，且∠C1＝∠C2＝∠C3＝…＝∠∁n＝90°，点A1、A2、A3、…、A n和点B1、B2、B3、…、B n分别在正比例函数y=12x和y＝﹣x的图象上，且点A1、A2、A3、…、A n的横坐标分别为1，2，3…n，线段A1B1、A2B2、2．已知一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，点P在该函数的图象上，P到x轴、y 轴的距离分别为d1、d2．（1）当P为线段AB的中点时，求d1+d2的值；（2）直接写出d1+d2的范围，并求当d1+d2＝3时点P的坐标；（3）若在线段AB上存在无数个P点，使d1+ad2＝4（a为常数），求a的值．。

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更多一次函数数学教案资料，在搜索框搜索一次函数数学教案（精选篇1）教学目标1．知识与技能能应用所学的函数知识解决现实生活中的问题，会建构函数“模型”．2．过程与方法经历探索一次函数的应用问题，发展抽象思维．3．情感、态度与价值观培养变量与对应的，形成良好的函数观点，体会一次函数的应用价值．重、难点与关键1．重点：一次函数的应用．2．难点：一次函数的应用．3．关键：从数形结合分析思路入手，提升应用思维．教学方法采用“讲练结合”的教学方法，让学生逐步地熟悉一次函数的应用．教学过程一、范例点击，应用所学例5小芳以米/分的速度起跑后，先匀加速跑5分，每分提高速度20米/分，又匀速跑10分，试写出这段时间里她的跑步速度y（单位：米/分）随跑步时间_（单位：•分）变化的函数关系式，并画出函数图象．y=例6A城有肥料吨，B城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往C、D两乡．从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨20元和25元；从B城往C、D•两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元，现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，•怎样调运总运费最少？解：设总运费为y元，A城往运C乡的肥料量为_吨，则运往D乡的肥料量为（-_）吨．B城运往C、D乡的肥料量分别为（240-_）吨与（60+_）吨．y与_的关系式为：y=•20_+25（-_）+15（240-_）+24（60+_），即y=4_+10040（0≤_≤）．由图象可看出：当_=0时，y有最小值10040，因此，从A城运往C乡0吨，运往D•乡吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，总运费最小值为10040元．拓展：若A城有肥料300吨，B城有肥料吨，其他条件不变，又应怎样调运？二、随堂练习，巩固深化课本P119练习．三、课堂，发展潜能由学生自我本节课的表现．四、布置作业，专题突破课本P120习题14．2第9，10，11题．板书设计14.2.2一次函数(4)1、一次函数的应用例：练习：一次函数数学教案（精选篇2）一、课程标准要求:①结合具体情境体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数表达式。

专题07一次函数的规律探究问题例1．如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，…，n A 在x 轴上，点1B ，2B ，…，n B 在直线33y x =上，若点1A 的坐标为(1,0)，且112A B A ，223A B A ，…，1n n n A B A + 都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为1S ，2S ，．．，n S ，则n S 可表示为（）A．22B ．22n -C ．22n -D ．22n -【答案】D【解析】∵112A B A △，223A B A △，…，1n n n A B A +△都是等边三角形，∴112233////////n n A B A B A B A B ⋅⋅⋅，1223341////////n n B A B A B A B A +⋅⋅⋅，∵直线3y x =与x 轴的成角1130B OA ∠=o ，11120OA B ∠=o，∴1130∠=︒OB A ，∴111OA A B =，∵()11,0A ，∴111A B =，同理2230OB A ∠=o ，…，30n n OB A ∠=o ，∴2222B A OA ==，334B A =，…，12n n n B A -=，易得1290OB A ∠=o，…，190n n OB A +∠=o，∴12B B =23B B =…，12n n B B +=∴11331224S =⨯⨯=，2122S =⨯=…，1212222n n n nS --=⨯⨯=；故选：D ．例2如图,已知直线b 的解析式为y x =,在点)1A 作x 轴的垂直交直线b 于点1B ,以11A B 为边作第1个正在方形1112A B C A ,2A 在x 轴上,21A C 的延长线交直线b 于点2B ,以22A B 为边作第2个正在方形2223A B C A ,……;按此作法继续下去,则第2021个正在方形2021202120212022A B C A 的边长20212021A B 为________．【答案】20202【解析】由题意可知:点1B ,2B ,3B , ,n B 在直线y x =的图象上,即11121==A B A A OA ,22232==A B A A OA ,33343A B A A OA ==, ,1n n n n n A B A A OA +==,又∵点1A 的坐标为)1A ,∴111==OA A B222112A B OA OA A A ==+=+=23332232A B OA OA A A ==+=+==⋅;34443342A B OA OA A A ==+=+==⋅，22111222n n n n n n n n n A B OA OA A A -----==+=⋅+⋅=⋅,∴2021202121202002122-==A B ,故答案为:20202例3.如图，在平面直角坐标系中，点()11,1N 在直线:l y x =上，过点1N 作11N M l ⊥，交x 轴于点1M ；过点1M 作12M N x ⊥轴，交直线l 于点2N ；过点2N 作22N M l ⊥，交x 轴于点2M ；过点2M 作23M N x ⊥轴，交直线l 于点3N ；…；按此作法进行下去，则点2021M 的坐标为_____________．【答案】（20212，0）.【解析】如图，过点N 作NM ⊥x 轴于M ，将1x =代入直线解析式y x =中得1y =∴1OM MN ==，MON ∠=45°∵1ONM =∠90°，∴1ON NM =∵1ON NM ⊥，∴11OM MM ==，∴1M 的坐标为（2，0）同理可以求出2M 的坐标为（4，0），同理可以求出3M 的坐标为（8，0）同理可以求出n M 的坐标为（2n ，0），∴2021M 的坐标为（20212，0）故答案为：（20212，0）.例4.如图，在平面直角坐标系中，AB y ⊥轴，垂足为B ，将ABO 绕点A 逆时针旋转到11AB O V 的位置，使点B 的对应点1B 落在直线34y x =-上，再将11AB O V 绕点1B 逆时针旋转到112A B O 的位置，使点1O 的对应点2O 也落在直线34y x =-上，以此进行下去……若点B 的坐标为()0,3，则点21B 的纵坐标．．．为______．【答案】3875【解析】∵AB ⊥y 轴，点B （0，3），∴OB =3，则点A 的纵坐标为3，代入34y x =-，得：334x =-，得：x =-4，即A （-4，3），∴OB =3，AB =4，OA ，由旋转可知：OB =O 1B 1=O 2B 1=O 2B 2=…=3，OA =O 1A =O 2A 1=…=5，AB =AB 1=A 1B 1=A 2B 2=…=4，∴OB 1=OA +AB 1=4+5=9，B 1B 3=3+4+5=12，∴OB 21=OB 1+B 1B 21=9+（21-1）÷2×12=129，设B 21（a ，34a -），则OB 21=129=，解得：5165a =-或5165（舍），则335163874455a ⎛⎫-=-⨯-= ⎪⎝⎭，即点B 21的纵坐标为3875，故答案为：3875．课后训练1．如图，直线l 的函数表达式为y ＝x ﹣1，在直线l 上顺次取点A 1（2，1），A 2（3，2），A 3（4，3），A 4（5，4），…，A n （n +1，n ），构成形如”的图形的阴影部分面积分别表示为S 1，S 2，S 3，…，S n ，则S 2021＝___．【答案】4044．【解析】根据题意，∵A 1（2，1），A 2（3，2），A 3（4，3），A 4（5，4），…，A n （n +1，n ），∴11135(12)1(23)142222S =⨯+⨯+⨯+⨯=+=，21157(23)1(34)162222S =⨯+⨯+⨯+⨯=+=，31179(34)1(45)182222S =⨯+⨯+⨯+⨯=+=，……∴22n S n =+；∴20212202124044S =⨯+=．故答案为：4044．2．如图，正方形111A B C O ，2221A B C C ，3332A B C C ，…按其所示放置，点1A ，2A ，3A ，…和1C ，2C ，3C ，…分别在直线1y x =+和x 轴上，则点2021B 的横坐标是______．【答案】202121-【解析】当x =0时，y =x +1=1，∴A （0，1），∴直线与x 轴的交点（-1，0），∵四边形111A OC B 是正方形，∴11111190OC C B OC B ==∠=︒，，∴B 1（1，1），易得112223334445A B A A B A A B A A B A ⋯⋯ 、、、均是等腰直角三角形，可得：每一个正方形的边长都是它前一个正方形边长的2倍，因此：B 2的横坐标为1+1×2=1+2=20+21=3=22-1，B 3的横坐标为1+1×2+2×2=1+2+4=20+21+22=7=23-1，B 4的横坐标为24-1，B 5的横坐标为25-1，……B 2021的横坐标为22021-1，故答案为：22021-1．3．如图，在平面直角坐标系中，直线l 为正比例函数y ＝x 的图象，点A 1的坐标为（1，0），过点A 1作x 轴的垂线交直线l 于点D 1，以A 1D 1为边作正方形A 1B 1C 1D 1；过点C 1作直线l 的垂线，垂足为A 2，交x 轴于点B 2，以A 2B 2为边作正方形A 2B 2C 2D 2；过点C 2作x 轴的垂线，垂足为A 3，交直线l 于点D 3，以A 3D 3为边作正方形A 3B 3C 3D 3，……依此类推，则正方形A 2B 2C 2D 2的面积为___________；正方形AnBnCnDn 的面积为__________．【答案】92（92）n −1，【解析】∵直线l 为正比例函数y ＝x 的图象，∴∠D 1OA 1＝45°，∴D 1A 1＝OA 1＝1，∴正方形A 1B 1C 1D 1的面积＝1＝（92）1−1，由勾股定理得，OD 1，D 1A 2＝22，∴A 2B 2＝A 2O =2，∴正方形A 2B 2C 2D 2的面积＝92＝（92）2−1，同理，A 3D 3＝OA 3＝92，∴正方形A 3B 3C 3D 3的面积＝814＝（92）3−1，…由规律可知，正方形A n B n C n D n 的面积＝（92）n −1，故答案是：92，（92）n −1．4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：1y x =+交y 轴于点1A ，点2A ，3A ，…，n A 在直线l 上，点1B ，2B ，3B ，…，n B 在x 轴的正半轴上，若11OA B ，212A B B △，323A B B ，…，1n n n A B B -△，依次均为等腰直角三角形，点n B 的坐标是______．【答案】()21,0-n【解析】直线1y x =+与x 轴、y 轴的交点分别为（-1，0），（0，1），∴OA 1=1，∵△A 1OB 1，△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3，…，依次均为等腰直角三角形，∴B 1（1，0），∴A 2（1，2），∴A 2B 1=2，∴B 2（3，0），A 3（3，4），∴A 3B 2=4，∴B 3（7，0），……B n （2n -1，0），5．如图，过点1(1,0)A 作x 轴的垂线，交直线2y x =于点1B ；点2A 与点O 关于直线11A B 对称；过点2(2,0)A 作x 轴的垂线，交直线2y x =于点2B ；点3A 与点O 关于直线22A B 对称；过点3(4,0)A 作x 轴的垂线，交直线2y x =于点3B 按此规律作下去，则2021B 的坐标为______．【答案】（22020，22021）【解析】∵11A B x ⊥轴交直线2y x =于1B ，且1(1,0)A ，∴1(1,2)B 同理，可分别得2(2,4)B ，3(4,8)B ，4(8,16)B ，一般地，可得：1(2,2)n n n B -当n =2021时，则2021B 的坐标为20202021(2,2)故答案为：20202021(2,2)6．如图，在平面直角坐标系中，直线l 为正比例函数y x =的图像，点1A 的坐标为(1，0)，过点1A 作x 轴的垂线交直线l 于点1D ，以11A D 为边作正方形1111D C B A ；过点1C 作直线l 的垂线，垂足为2A ，交x 轴于点2B ，以22A B 为边作正方形2222A B C D ；过点2C 作x 轴的垂线，垂足为3A ，交直线l 于点3D ，以33A D 为边作正方形3333A B C D ，…，按此规律操作下所得到的正方形2021202120212021A B C D 的面积是______．【答案】202092⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】∵直线l 为正比例函数y =x 的图象，∴∠D 1OA 1=45°，∴D 1A 1=OA 1=1，∴正方形A 1B 1C 1D 1的面积=1=（92）1-1，由勾股定理得，OD 1，D 1A 2=2，∴A 2B 2=A 2O =322，∴正方形A 2B 2C 2D 2的面积=92=（92）2-1，同理，A 3D 3=OA 3=92，∴正方形A 3B 3C 3D 3的面积=814=（92）3-1，…由规律可知，正方形A n B n C n D n 的面积=（92）n -1，∴正方形2021202120212021A B C D 的面积是202092⎛⎫ ⎪⎝⎭．故答案为：202092⎛⎫ ⎪⎝⎭．7．如图，直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝1122x +在x 轴上相交于点P （﹣1，0）．直线l 1与y 轴交于点A ．一动点C 从点A 出发，先沿平行于x 轴的方向运动，到达直线l 2上的点B 1处后，改为垂直于x 轴的方向运动，到达直线l 1上的点A 1处后，再沿平行于x 轴的方向运动，到达直线l 2上的点B 2处后，又改为垂直于x 轴的方向运动，到达直线l 1上的点A 2处后，仍沿平行于x 轴的方向运动，一照此规律运动，动点依次经过点B 1，A 1，B 2，A 2，B 3，A 3，…则当动点C 到达B 6处时，点B 6的坐标为_____．【答案】（63，32）【解析】 直线l 1为1y x =+,∴当0x =时,1y =∴A 点坐标为()0,1,则1B 点的纵坐标为1,设B 1()1x ,1,111122∴=+x ,解得11x =1B ∴点的坐标为()1,1;则1A 点的橫坐标为1,设()111,A y ,1112∴=+=y 1A ∴点的坐标为()1,2,则2B 点的纵坐标为2,设()22,2B x 211222∴=+x ,解得23x =,2B ∴点的坐标为()3,2,即()221,2-同理，可得B ()37,4，即()3221,2- ,B ∴n 的坐标为()n n 121,2--∴点6B 的坐标为()6521,2-,即6(63,B 32)故答案为(63,32)．8．如图，直线y ＝x +4与y 轴交于A 1，按如图方式作正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…，点A 1，A 2，A 3…在直线y ＝x +4上，点C 1，C 2，C 3，…在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S 1，S 2，S 3…，S n ，则S n 的值为______（用含n 的代数式表示，n 为正整数）．【答案】22n +1【解析】∵直线y ＝x +4的k ＝1，∴直线与x 轴的夹角为45°，∴直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形，当x ＝0时，y ＝4，所以，OA 1＝4，即第一个正方形的边长为4，所以，第二个正方形的边长为4+4＝8，第三个正方形的边长为8+8＝16，…，第n 个正方形的边长为2n +1，∴S 1＝12×4×4＝422，S 2＝12×8×8＝622，S 3＝12×16×16＝822，…，S n ＝12×2n +1×2n +1＝2222n +＝22n +1．故答案为22n +1．。

一次函数之找规律可知识点精讲找规律在考试试卷中经常出现一类题型,它要求学生通过对题目中所给出的一些“数或图形”的特点，分析其规律，从而给出结论，这就是所谓“探索规律题”。

规律探索型题是根据已知条件或題干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳,发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。

这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。

其目的是考查学生收集、分析数据,处理信息的能力规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件,要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索規律.它体现了“特殊到一般”的数学思想方法,考察了学生的分析、解决问題能力,观察、联想、归纳能力,以及探究能力和创新能力，题型主要是填空题技巧与方法:用代数式把一列变化着的式或图形的规律表示出来，是探究性题目中很重要的一类，下面研究解决这类题目所用到的主要数学思想和思考方法主要思路:观察→类比→归纳→猜想→验证知识要点支撑常见数例规律数列知识点1.数列的概念(1)数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列数列中的每个数都叫这个数列的项，记作a在数列第一个位置的项叫第1项(或首项)，在第二个位置n的叫第2项,……，序号为n的项叫第n项(也叫通项)记作:数列的一般形式:简记作{}n a（2）通项公式的定义:如果数列{}n a的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式(一)等差数列:相邻数之间的差值相等,整个数字序列依次递增或递减1、等差数列定义:一般地,如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示，用递推公式表示为a n－a n－1＝d(n≥2)2、等差数列的通项公式:a n ＝a 1＋(n －1)d3、等差数列的前n 和的求和公式:()()11122n n a a n n S na d +-=== (高斯算法)(二)等比数列:相邻数之间的比值相等,整个数字序列依次递增或递减1.等比数列定义:一般地,如果一个数列从第一项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比:公比通常用字母q 表示21(0)n n a a q q +=≠2．等比数列通项公式为：n a ＝11n a q -（1a q ≠0）3．等比数列前n 项和公式一般地，设等比数列1a ，2a ，3a ，…，n a ，…的前n 项和是n S ＝1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a ，当q ≠1时，n S ＝()111n a q q --或n S ＝11n a a q q--；当q ＝1时，n S ＝n 1a （错位相减法）． （三）二阶等差数列的定义及其通项公式：定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差按照前后次序排成新的数列，成为一个等差数列，则称数列（★）为二阶等差数列．相应地，d ＝（3a －2a ）－（2a －1a ）＝3a ＋1a －22a 称为二阶等差数列的二阶公差．此即为二阶等差数列的通项．例3 8 17 30 47 68，…5 9 13 17 214 4 4 4 4总结一阶数列（等差数列）二阶数列一阶等差数列第n 项的规律：n a ＝1a ＋（n －1）d二阶等差数列第n 项的规律：1a ＋（n －1）1b ＋()()122n n d --，（●） 1a ＋（n －1）1b ＋（212n －32n ＋1）d ，（●） 一阶数列符合一次函数关系式，二阶数列符合二次函数关系式．练（1）1，2，4，7，11，16，22，…（2）1，3，6，10，15，21，28，…（3）1，3，7，13，21，31，43，…（4）2，2，5，11，20，32，47，…（三）常见的数字变化规律：自然数数列 1 2 3 4 5 ……………………n偶数数列 2 4 6 8 10 12 ……………………2n奇数数列 1 3 5 7 9 ……………………2n －13 5 7 9 ……………………2n ＋12 4 8 16 32 ……………………2n1 3 7 15 31 ……………………2n －13 5 9 17 33 ……………………2n ＋13 9 27 81 ……………………3n完全平方数列 1 4 9 16 25 36 49 ……………………n 2一个数的平方加一个数等于第二个数 2 5 10 17 26………n 2＋1一个数的平方减一个数等于第二个数 0 3 8 15 26 35 48 ……n 2－1加法数列 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 斐波那契数列符合规律－ ＋ － ＋ － ＋ …………………（－1）n＋ － ＋ － ＋ － ＋…………………（－1）n +11 0 1 0 …………………………12＋12（－1）n +1 0 1 0 1 …………………………12＋12（－1）n 典型例题例1 如图，直线y ＝x ＋1分别与x 轴、y 轴相交于点A 、B ，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交x 轴于点1A ，再过点1A 作x 轴的垂线交直线于点1B ，以点A 为圆心，A 1B 长为半径画弧交x 轴于点2A ，…，按此做法进行下去，则点8A 的坐标是（ ）A ．（15，0）B ．（16，0）C ．（0）D ．（－1，0）【答案】A ．根据题意，利用勾股定理求出A 1A ，A 2A ，A 3A 的长，得到各点坐标，找到规律即可解答．【详解】解：当x ＝0时，y ＝1；当y ＝0时，x ＝－1；可得A （－1，0），B （0，1），A 1A ＝AB；A 2A ＝A 1B ＝2；A 3A ＝A 2B1A －1，0），2A （2－1，0），3A （1，0），即1A －1，0），2A 1，0），3A－1，0）；可得8A 1＝16－1＝15．故选A ．例2 如图，直线1l ⊥x 轴于点（1，0），直线2l ⊥x 轴于点（2，0），直线3l ⊥x 轴于点（3，0），……直线n l ⊥x 轴于点（n ，0），函数y ＝x 的图象与直线1l 、2l 、3l 、…、n l 分别交于点1A 、2A 、3A 、…、n A ；函数y ＝2x 的图象与直线1l 、2l 、3l 、…、n l 分别交于点1B 、2B 、3B 、…、n B ．如果△O 1A 1B 的面积记作1S ，四边形1A 2A 2B 1B 的面积记作2S ，四边形2A 3A 3B 2B 的面积记作3S ，…，四边形1n A -n A n B 1n B -的面积记作n S ，那么2018S ＝（ ）A ．2017．5B ．2018C ．2018．5D ．2019【答案】A ．【分析】根据直线解析式求出1n A -1n B -，n A n B 的值，再根据直线1n l -与直线n l 互相平行并判断出四边形1n A -n A n B 1n B -是梯形，然后根据梯形的面积公式求出n S 的表达式，然后把n ＝2013代入表达式进行计算即可得解．【详解】解：根据题意，1n A -1n B -＝2（n －1）－（n －1）＝2n －1－n ＋1＝n －1，n A n B ＝2n －n ＝n ，∵直线-1n l ⊥x 轴于点（n －1，0），直线n l ⊥x 轴于点（n ，0），∴1n A -1n B -∥n A n B ，且-1n l 与n l 间的距离为1，∴四边形1n A -n A n B 1n B -是梯形，n S ＝12（n －1＋n ）×1＝12（2n －1），当n ＝2018时，2018S ＝12（2×2018－1）＝2017．5，故选：A ．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，读懂题意，根据直线解析式求出1n A -1n B -，n A n B 的值是解题的关键．例3 如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝2x 和y ＝－x 的图象分别为直线1l ，2l ，过点（1，0）作x 轴的垂线交1l 于点1A ，过1A 点作y 轴的垂线交2l 于点2A ，过2A 点作x 轴的垂线交1l 于点3A ，过点3A 作y 轴的垂线交2l 于点4A ，…依次进行下去，则点2019A 的坐标为 ．【答案】（20092-，20102-）．【解析】【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点1A 、2A 、3A 、4A 、5A 、6A 、7A 、8A 等的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“4+1n A （22n ，2+2n 1），4+2n A （2+12n -，2+2n 1），4+3n A （212n +-，2+22n -），4+4n A （2+22n ，2+22n -）（n 为自然数）”，依此规律结合2019＝504×4＋3即可找出点2019A 的坐标．【详解】当x ＝1时，y ＝2，点1A 的坐标为（1， 2）；当y ＝－x ＝2时，x ＝－2，∴点2A 的坐标为（－2， 2）； 同理可得：3A （－2，－4），4A （4，－4），5A （4，8），6A （－8，8），7A （－8，－16），8A （16，－16），9A （16，32），…，∴4+1n A （22n ，2+2n 1），4+2n A （2+12n -，2+2n 1），4+3n A （212n +-，2+22n -），4+4n A （2+22n ，2+22n -）（n 为自然数），∵2019＝504×4＋3，∴2019A 的坐标为（5042+12⨯-，5042+22⨯-），即（20092-，20102-），故答案为（20092-，20102-）．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的图象以及规律型中点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A 4n ＋1（22n ，22n ＋1），A 4n ＋2（－22n ＋1，22n ＋1），A 4n ＋3（－22n ＋1，－22n ＋2），A 4n ＋4（22n＋2，－22n ＋2）（n 为自然数）”是解题的关键．例5．正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2…按如图所示放置，点A 1、A 2、A 3…在直线y ＝x ＋1上，点C 1、C 2、C 3…在x 轴上，则A 5的坐标是 ．【答案】（15，16）【解析】【分析】根据一次函数图象上点的特征及正方形的性质求出A 1、A 2、A 3的坐标，找出规律，即可解答．【详解】∵直线y ＝x ＋1和y 轴交于A 1∴A 1的坐标（0，1）即O A 1＝1∵四边形C 1OA 1B 1是正方形∴OC 1＝OA 1＝1，把x ＝1代入y ＝x ＋1得：y ＝2，∴A 2的坐标为（1，2），同理A 3的坐标为（3，4）…∴A n 的坐标为（2n －1－1，2n －1），∴A 5的坐标是（25－1－1，25－1），即（15，16）故答案为：（15，16）本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；通过求出第一个正方形、第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解决问题的关键例6．如图，已知点A 1的坐标为（0，1），直线l 为y ＝x ．过点A 1作A 1B 1⊥y 轴交直线l 于点B 1，过点B 1作A 2B 1⊥l 交y 轴于点A 2；过点A 2作A 2B 2⊥y 轴交直线l 于点B 2，过点B 2作A 3B 2⊥l 交y 轴于点A 3，…，则AnBn 的长是 ．【答案】2 n －1【解析】【分析】由点A 1的坐标可得出点B 1的坐标，进而可得出A 1B 1的长，由A 2B 1⊥l 交y 轴于点A 2结合直线l 为y ＝x 可得出△A 1A 2B 1为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得出点A 2的坐标，利用一次函数图象上点的坐标可得出点B2的坐标，进而可得出A2B2的长，同理，可得出A3B3，A4B4，…．的长，再根据各线段长度的变化可找出变化规律“A n B n＝2 n－1”，此题得解【详解】解：∵点A1的坐标为（0，1）∴点B1的坐标为（1，1），A1B1＝1∵A2B1⊥l交y轴于点A2，直线l为y＝x∴△A1A2B1为等腰直角三角形，∴点A2的坐标为（0，2），点B2的坐标为（2，2），∴A2B2＝2同理，可得：A3B3＝4，A4B4＝8，…，∴AnBn＝2 n－1故答案为：2 n－1本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，解题的关键是根据线段长度的变化找出变化规律“AnBn＝2 n－1”相似题1．如图所示，直线y＝x＋1与y轴相交于点A1，以OA1为边作正方形OA1B1C1，记作第一个正方形；然后延长C1B1与直线y＝x＋1相交于点A2，再以C1A2为边作正方形C1A2B2C2，记作第二个正方形；同样延长C2B2与直线y＝x＋1相交于点A3，再以C2A3为边作正方形C2A3B2C3，记作第三个正方形；…依此类推，则第n个正方形的边长为．【答案】2 n－1【解析】【分析】解题的关键是求出第一个正方体的边长，然后依次计算n＝1，n＝2…总结出规律．【详解】解：根据题意不难得出第一个正方体的边长＝1，那么：n＝1时，第1个正方形的边长为：1＝20n＝2时，第2个正方形的边长为：2＝21n＝3时，第3个正方形的边长为：4＝22…第n个正方形的边长为：2 n－1故答案为：2 n－12．如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3…都是边长为1的等边三角形，点A在x轴上，点O，B1，B2，B3…都在直线l上，则点A2019的坐标是．【答案】(20212【解析】【分析】根据题意得出直线BB 1的解析式为：y进而得出B ，B 1，B 2，B 3坐标，进而得出坐标变化规律，进而得出答案．【详解】过B 1向x 轴作垂线B 1C 垂足为C ，由题意可得：A (1，0)，AO ∥A 1B 1，∠OB 1C ＝30°，∴CB 1， ∴B 1的横坐标为：12，则B 1，∴点B 1，B 2，B 3，…都在直线y上， ∴B 1（12），∴A 1（32）， 同理可得出：A 2（2A n （1＋2nn ）． ∴A 2019(20212，故答案为：(20212此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及数字变化类，得出A 点横纵坐标变化规律是解题关键．4．如图，正方形AOBO 2的顶点A 的坐标为A (0，2)，O 1为正方形AOB O 2的中心；以正方形AOBO 2的对角线AB 为边，在AB 的右侧作正方形ABO 3A 1，O 2为正方形ABO 3A 1的中心；再以正方形ABO 3A 1的对角线A 1B 为边，在A 1B 的右侧作正方形A 1BB 1O 4，O 3为正方形A 1BB 1O 4的中心；再以正方形A 1BB 1O 4的对角线A 1B 1为边，在A 1B 1的右侧作正方形A 1B 1O 5A 2，O 4为正方形A 1B 1O 5A 2的中心：…；按照此规律继续下去，则点O 2018的坐标为 ．【答案】(21010－2，21009)．【解析】【分析】由题意O1 (1，1)，O2(2，2)，O3 (4，2)，O4 (6，4)，O5 (10，4)，O6 (14，8)…观察可知，下标为偶数的点的纵坐标为22n，下标为偶数的点在直线y＝12x＋1上，点O2018的纵坐标为21009，可得21009＝12x＋1，同侧x＝21010－2，可得点O2018的坐标为(21010－2，21009)．【详解】由题意O1 (1，1)，O2(2，2)，O3 (4，2)，O4 (6，4)，O5 (10，4)，O6 (14，8)…观察可知，下标为偶数的点的纵坐标为22n下标为偶数的点在直线y＝12x＋1上，∵点O2018的纵坐标为21009，∴21009＝12x＋1∴x＝21010－2，∴点O2018的坐标为(21010－2，21009)故答案为(21010－2，21009)．4．如图，A1，A2，A3…，A n，A n+1是直线l1：y上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…A n A n+1＝2，分别过点A1，A2，A3…，A n，A n+1作l1的垂线与直线l2：yx相交于点B1，B2，B3…，B n，B n+1，连接A1B2，B1A2，A2B3，B2A3…，A n B n+1，B n A n+1，交点依次为P1，P2，P3…，P n，设△P1A1A2，△P2A2A3，△P3A3A4，…，△P n A n A n+1的面积分别为S1，S2，S3…，S n，则S n ＝．（用含有正整数n的式子表示）【答案】22321n n n ++．【分析】设△OA 1B 1的面积为S ．由OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…A n A n +1，A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3∥…∥A n B n ，推出A 1B 1：A 2B 2：A 3B 3：…：A n B n ＝1：2：3：…：n ，推出112A B A S △＝S ，223A BA S △＝2S ，…，1n nn A BA S +△＝nS ，探究规律，利用规律即可解决问题；【解答】解：设△OA 1B 1的面积为S ．由题意可知OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…A n A n +1，A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3∥…∥A n B n ， ∴A 1B 1：A 2B 2：A 3B 3：…：A n B n ＝1：2：3：…：n ， ∴＝S ，＝2S ，…，＝nS ，∴S 1＝23S ，S 2＝35•2S ，S 3＝47•3S ，…，S n ＝121n n ++•nS ，∵直线l 1：y x上的点，直线l 2：y x ， ∴两条直线与x 轴的夹角分别为60°和30°， ∴∠A 1OB 1＝30°， ∵OA 1＝2，∴A 1B 1∴S ＝×2×3＝233， ∴S n ＝22321n n n ++ .本题考查两条直线相交或平行问题，规律问题等知识，解题的关键是学会探究规律，寻找规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．5．在直角坐标系中，直线l ：y x x 轴交于点B 1，以OB 1为边长作等边△A 1OB 1，过点A 1作A 1B 2平行于x 轴，交直线l 于点B 2，以A 1B 2为边长作等边△A 2A 1B 2，过点A 2作A 1B 2平行于x 轴，交直线l 于点B 3，以A 2B 3为边长作等边△A 3A 2B 3，…，则等边△A 2017A 2018B 2018的边长是 ．【答案】22017．【分析】从特殊得到一般探究规律后，利用规律解决问题即可；【解答】解：∵直线l ：y x 轴交于点B 1 ∴B 1（1，0），OB 1＝1，△OA 1B 1的边长为1；∵直线y x x 轴的夹角为30°，∠A 1B 1O ＝60°， ∴∠A 1B 1B 2＝90°，∵∠A1B2B1＝30°，∴A1B2＝2A1B1＝2，△A2B3A3的边长是2，同法可得：A2B3＝4，△A2B3A3的边长是22；由此可得，△A n B n+1A n+1的边长是2n，∴△A2017B2018A2018的边长是22017．故答案为22017．6．如图，一个粒子在第一象限内及x轴，y轴上运动，第一分钟内从原点运动到（1，0），第二分钟从（1，0）运动到（1，1），而后它接着按图中箭头所示的与x轴，y轴平行的方向来回运动，且每分钟移动1个长度单位，那么，第2019分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（）A．（44，5）B．（5，44）C．（44，6）D．（6，44）【答案】A【分析】要弄清粒子的运动规律，先观察横坐标和纵坐标的相同点：（0，0），粒子运动了0分钟；（1，1）就是运动了2＝1×2分钟，将向左运动；（2，2）粒子运动了6＝2×3分钟，将向下运动；（3，3），粒子运动了12＝3×4分钟．将向左运动…；（44，44）点处粒子运动了44×45＝1980分钟，此时粒子会将向下移动，进而得出答案．【解答】解：（2）（0，0）表示粒子运动了0分钟；（1，1）表示粒子运动了2＝1×2分钟，将向左运动；（2，2）表示粒子运动了6＝2×3分钟，将向下运动；（3，3）表示粒子运动了12＝3×4分钟，将向左运动…于是会出现：（44，44）点处粒子运动了44×45＝1980分钟，此时粒子会将向下移动．从而在运动了2019分钟后，粒子又向下移动了2019﹣1980＝39个单位长度，44-39=5，故粒子所在位置为（44，5）．故选：A．本题是考查了点的坐标的确定，是一个阅读理解并猜想规律的题目，解答此题的关键是总结规律首先确定点所在的大致位置，然后就可以进一步推得点的坐标．7．如图，在直角坐标系中，有一等腰直角三角形OAB，∠OAB＝90°，直角边OA在x轴正半轴上，且OA＝1，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°，同时扩大边长的1倍，得到等腰直角三角形OA1B1（即A1O＝2AO）．同理，将Rt△OA1B1顺时针旋转90°，同时扩大边长1倍，得到等腰直角三角形OA2B2……依此规律，得到等腰直角三角形OA2014B2014，则A2014点的坐标为（）A．（0，22014）B．（0，﹣22014）C．（22014，0）D．（﹣22014，0）【答案】D【分析】根据题意得出A点坐标变化规律，进而得出点A2014的坐标位置，进而得出答案．【解答】解：∵将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O＝2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O＝2A1O…，依此规律，∴每4次循环一周，A1（0，﹣2），A2（﹣4，0），A3（0，8），A4（16，0），∵2014÷4＝503…2，∴点A2014与A2同在x轴负半轴，∵﹣4＝﹣22，8＝23，16＝24，∴点A2014（﹣22014，0）．故选：D．【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转，规律型问题，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．8．如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1（2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为P n，则点P2018的坐标是（）A．（1，4）B．（4，3）C．（2，4）D．（4，1）【答案】D【分析】先根据反射角等于入射角先找出几个点，直至发现规律，然后再根据规律进行求解.【解答】解：如图，根据反射角等于入射角画图，可知光线从P2反射后到P3（0，3），再反射到P4（2，4），再反射到P5（4，3），再反射到P点（0，1）之后，再循环反射，每6次一循环，2018÷6＝336…2，即点P2018的坐标是（4，1）．故选：D．【点评】本题是规律探究题，解答时要注意找到循环数值，从而得到规律．4．我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，，，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线（如图），已知点P1（0，1），P2（﹣1，0），P3（0，﹣1），则该折线上的点P9的坐标为（）A．（﹣6，24）B．（﹣6，25）C．（﹣5，24）D．（﹣5，25）【分析】观察图象，推出P9的位置，即可解决问题．【解答】解：由题意，P5在P2的正上方，推出P9在P6的正上方，且到P6的距离＝21+5＝26，所以P9的坐标为（﹣6，25），故选：B．【点评】本题考查规律型：点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，确定P9的位置．课后追踪1．如图，一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到（0，1）→（1，0）→（1，1）→（1，2）→（2，1）→…，则2015分钟时粒子所在点的横坐标为（）A．886B．903C．946D．990【答案】D【解析】分析：解决本题的关键就是要对平面直角坐标系的点按照横坐标分行，找到行与点个数的关系，利用不等式的夹逼原则，求出2015点的横坐标．详解：∵一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到（0，1）→（1，0）→（1，1）→（1，2）→（2，1）→…，第1行：x＝0 2个点（共2个点）第2行：x＝1 3个点x＝2 1个点（共4个点）第3行：x＝3 4个点x＝4 1个点x＝5 1个点（共6个点）第4行：x ＝6 5个点 x ＝7 1个点 x ＝8 1个点 x ＝9 1个点 （共8个点） 第5行：x ＝10 6个点 x ＝11 1个点 x ＝12 1个点 x ＝13 1个点 x ＝14 1个点（共10个点）第6行：x ＝15 7个点 x ＝16 1个点 x ＝17 1个点 x ＝18 1个点x ＝19 1个点 x ＝20 1个点 （共12个点）…第n 行：x ＝12()n n - n +1个点 （共2n 个点） 2+4+6+8+10+…+2n ≤2015（2+2n ）×n ÷2≤2015且n 为正整数 得n ＝44，∵当n ＝44时：2+4+6+8+10+…+88＝1980 且当n ＝45时：2+4+6+8+10+…+90＝2070 1980＜2015＜2027 ∴2015在45行，第45行：x ＝454512()⨯-＝990 46个点1980＜2015＜1980+46 ∴第2015个粒子横坐标为990 故选：D ．【点评】题目考查了数字的变化规律，题目整体较难，对于此类问题一方面要理清已知量的关系，另一方面为了简便计算，可以适当掌握一些数列计算公式．例如等差数列的通项公式：a n ＝a 1+（n ﹣1）d 、等差数列求和公式：s ＝12()n a a n+等． 2．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0）．根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为（ ）A ．（14，8）B ．（13，0）C ．（100，99）D ．（15，14）【答案】A【分析】由图形得出点的个数依次是1、2、3、4、5、…，且横坐标是偶数时，箭头朝上，又由1+2+3+…+13＝91，1+2+3+…+14＝105，可得第91个点的坐标为（13，0），第100个点横坐标为14，继而求得答案．【解答】解：由图形可知：点的个数依次是1、2、3、4、5、…，且横坐标是偶数时，箭头朝上， ∵1+2+3+…+13＝91，1+2+3+…+14＝105，∴第91个点的坐标为（13，0），第100个点横坐标为14． ∵在第14行点的走向为向上，∴纵坐标为从第92个点向上数8个点，即为8； ∴第100个点的坐标为（14，8）． 故选：A ．【点评】本题考查了学生的观察图形的能力和理解能力，解此题的关键是根据图形得出规律，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．3．赵爽弦图是由位于第一象限的四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若这四个全等直角三角形的两条直角边分别平行于x 轴和y 轴，大正方形的顶点B 1、C 1、C 2、C 3、…、∁n 在直线y ＝﹣12x +72上，顶点D 1、D 2、D 3、…、D n 在x 轴上，则第n 个阴影小正方形的面积为 ．y【答案】2223()n -．【分析】设第n 个大正方形的边长为a n ，则第nn ，根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出直线y ＝﹣12x +72与y 轴的交点坐标，进而即可求出a 1的值，再根据相似三角形的性质即可得出a n ＝123()n -a 1123()n -，结合正方形的面积公式即可得出结论．【解答】解：设第n 个大正方形的边长为a n ，则第n个阴影小正方形的边长为5a n ， 当x ＝0时，y ＝﹣12x +72＝72， ∴7211，∴a 1∵a 1＝a 2+12a 2， ∴a 2＝23yxN MFEC 2C 1B 1D 2D 1...O同理可得：a 3＝23a 2，a 4＝23a 3，a 5＝23a 4，…， ∴a n ＝123()n -a 1123)n -，∴第n个阴影小正方形的面积为25)n a ＝1223[()]n -＝2223()n -． 故答案为：2223()n -．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的面积，找出第n 个大正方形的边长为a n ＝123()n -a 1123)n -是解题的关键．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：y ＝x ，作A 1（1，0）关于y ＝x 的对称点B 1，将点B 1向右水平平移2个单位得到点A 2；再作A 2关于y ＝x 的对称点B 2，将点B 2向右水平平移2个单位得到点A 3；…．请继续操作并探究：点A 3的坐标是 ，点B 2014的坐标是 ． 【分析】根据题意画出图象，进而得出各点坐标变化规律进而得出答案． 【解答】解：如图所示：点A 3的坐标是：（3，2）， ∵B 1（0，1），B 2（1，2），B 3（2，3）， ∴B 点横坐标比纵坐标小1，∴点B 2014的坐标是：（2013，2014）． 故答案为：（3，2），（2013，2014）．5.在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)，我们把点P′（－y＋1，x＋1)叫做点P的伴随点.已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…A n 若点A1的坐标为(3，1)，点A2的坐标为，若点A2019的坐标为，则点A1的坐标为(a，b)，对于任意的正整数n，点A n均在x轴上方，则a，b应满足的条件为.【答案】（0，4) ，（－3，1）－1＜a＜1且0＜b＜2【分析】根据伴随点的定义，计算出A2的坐标，罗列出部分点A的坐标，根据点A的变化找出规律即可求出A2019的坐标；根据x轴上方的点的纵坐标大于0列出不等式组求解即可。

6一次函数初步满分晋级阶梯函数 3级秋天班第十二讲函数初步寒假班第六讲函数 4级一次函数初步春天班第一讲函数 5级一次函数分析式与图象漫画释义发考试成绩啦1知识互联网题型切片题型切片（两个）对应题目题正比率函数例 1；操练1；例 2；例 3；操练2；型目标一次函数例 4；例 5；操练 3；操练 4⑴；例 6；操练4⑵；操练 5；例 7编写思路本讲内容主要分为两个模块，模块一主要解说正比率函数，它的特色是，从分析式角度，常数项为 0，从图象角度，直线过原点；此外直线的上涨/降落趋向取决于k>0/k<0，该版块内容比较基础，例1 至例 3 进行了一些基本题目的练习；模块二介绍一次函数的有关内容，要点练习了函数图象所经过的象限与一次函数分析式各参数之间的关系，例 4、例 5 进行了集中训练；本模块还介绍了求解一次函数分析式的重要方法——待定系数法，例 6 进行了练习；本讲的最后一部分是北京十二中2017-13 年度初二期末的考试真题，主要练习了一次函数动点坐标与面积问题，总结认识题方法供老师参照．2模块一正比率函数知识导航定义：一般地，形如 y kx k为常数， k ≠ 0 的函数，叫做正比率函数，此中k 叫比率系数 . 图象：正比率函数图象是一条经过原点的直线.函数 y kx k ≠ 0 也叫直线 y kx .y kx 表示图（草图）图象地点变化趋向性质（增减性）yk0 k 0OxyO x经过原点和从左向右y 随 x 的增大而增大第一、三象限上涨y 随 x 的减小而减小经过原点和从左向右y 随 x 的增大而减小第二、四象限降落y 随 x 的减小而增大夯实基础【例1】⑴若函数y m 2 x 2m2 7 是正比率函数，则m 的值是_______________；⑵ 以下比率式中，变量y 与 x 成正比率的是（）A. x y 3 4B. x 2 3 y 2C. 2 x 3 2 2 yD. 2 3 x 3 2 y⑶若正比率函数 y mx 的图象经过点 A x1，y1和点 B x2，y2 ，当 x1 x2 时，若 y1 y2，则m 的取值范围是_____________；若y1y2，则 m 的取值范围是______________；⑷ 假如一个函数拥有以下两条性质：① 它的图象是经过原点的一条直线；② y 随 x 的减小而减小．请写出一个知足上述两个条件的函数分析式_____________________ ．（实验中学期末试题）【分析】⑴2m2 7 1 且 m 2 ≠ 0 ，所以 m 2 .⑵ D. 由比率的基天性质，将四个等式化简，切合y kx k ≠ 0 的形式即为正比率函数 .⑶m 0 ； m 0 .⑷条件①说明该函数为正比率函数，条件②说明比率系数k 0，切合以上两点即可.【例 2】⑴下边哪个正比率函数的图象经过第一、三象限（）3A ． y 2 3 x B． y 3.14 π xC．y m2 1 x （ m 为常数） D ． y 2 1 x⑵ 若正比率函数y kx 的图象经过点 1 ， 5 ，则y随x的增大而 _______；（填“增大”或“减小”）（西城区期末试题）⑶正比率函数 y x 图象上有一点 A ，点 A 的横坐标为 2 ，过 A作AB x 轴，垂足为B，则S△ ABO _____ ；⑷ 在正比率函数y kx 图象上有一点A，点 A 的横坐标为2，过 A作AB x 轴，垂足为B，若 S△ABO 1 ，则 k _______ ．【分析】⑴ D；⑵减小；⑶2；⑷k 1 ，注意分类议论 .2能力提高【例 3】⑴一个函数的图象是经过原点的直线，并且这条直线经过点 2 ， 3 与点2a ，6 ，求这个函数分析式及 a的值，并画出图象；⑵已知 y 1 与x成正比率，且当x 4 时， y 5 ，①你能求出 y 的表达式吗？②当 x 5 1时，y的值是多少？【分析】⑴设分析式为 y kx ，由过点 2 ， 3 可适当 x 2 ，y 3 ，代入得 k 3 ，3 2∴分析式为 y x23再将 x 2 a ，y 6 代入 y x 中，解得 a 2 .2y kx 的图象可选用两点：0 ，0 ， 1，k .绘图略，这里告诉学生，画正比率函数⑵①设 y 1 kx ，由 x 4 ， y 5 ，可得 k 1∴分析式为 y x 1②当 x 5 1 时， y 5 1 1 5 .模块二一次函数知识导航4定义：一般地，形如 y kx b k ，b为常数， k ≠ 0 的函数，叫做一次函数 .当 b 0 时， y kx b 即为 y kx ，所以正比率函数是特别的一次函数.图象：一次函数y kx b 的图象是一条直线，我们称它为直线y kx b ，它能够看作直线y kx 平移 b 个单位长度而获得（当 b 0 时，向上平移；当 b 0 时，向下平移）图象与 y 轴交于点0，b，与 x 轴交于点 b ，0ky kx b 表示图（草图）经过的象限变化趋向性质（增减性）yb 0k 0b 0 O一、二、三x从左向右y 随 x 的增大而增大，上涨y 随 x 的减小而减小yO一、三、四xyb 0 k 0b 0一、二、四O xy 随 x 的增大而减小，从左向右y 随 x 的减小而增大降落yO二、三、四x待定系数法求分析式：选用知足条件的两点画出函数分析式 y kx b 一次函数的图象直线 lx1，y1 与x2，y2解出选用夯实基础【例 4】⑴对于函数 y k 3 x k 3 （ k 为常数），当 k _____ 时，它是正比率函数；当 m ___ 时，函数y m 1 x m 2 2m 表示一次函数，其表达式是；⑵一次函数 y 2x 1的图象是将正比率函数 y 2 x 的图象向 ___平移 ____个单位长度获得的，经过第 _______象限；将直线 l 1 : y 1 x向下平移 2 个单位会获得直线l2 : _________ ，直2线 l 2不经过第 _____象限；由以上平移可判断直线 y 3x 与 y 2 3x 的地点关系是5_________，直线y x 1 与 y x 3 的地点关系为 ________；⑶假如一次函数y kx b 的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴订交，那么（）A ． k 0 ， b 0 B． k 0 ， b 0 C． k 0 ， b 0D ． k 0 ， b 0（实验中学练习题）⑷已知一次函数y kx b ，此中 kb 0 ，则全部切合条件的一次函数的图象必定都经过（）．．．（西城期末）A ．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限⑸一次函数 y 3m 1 x m 中，函数y随x的增大而减小，且函数图象不经过第一象限，则 m的取值范围是（）．1B．m 1 1 1A ． m3 C． 0 ≤ m D ． 0 m3 3 3（实验中学试题）【分析】⑴ k 3 ； m 3 ，y 2x 6 ；⑵上， 1，一、二、四；y 1，二；平行，平行 ; x 2⑶ B；⑷ B；2⑸选 C； 3m 1 0 且 m ≤0 ∴ 0 ≤ m1，易误选为 D.3【例 5】⑴以下图象中，不行能是对于x 的一次函数y mx m 3 的图象的是（）y y y yO x O x OxOxA．B．C．D．⑵以以下图，在同向来角坐标系中，直线y x a 和直线 y ax 的图象可能是（）y y y yO x O x O x O xA ．B ．C． D ．⑶以下图，直线 l 1 : y ax b 和 l2 : y bx a 在同一坐标系中的图象大概是（）y y y yO x O x O x O x l 1l l 2 l 1 l 11 l 2l 2 l 2A ．B ．C．D．6m 0D ；【分析】⑴ D；由题意得不行能有，那么图像不行能是m 3 0⑵ B；第一察看一次函数y x a 过第一、三象限，清除 A 、 D ，又因为一次函数与y 轴的交点是 a ，当交点在 y 轴上方，a 0，正比率函数过第二、四象限，故 B 正确；当交点在y轴下方， a 0 ，此时正比率函数过第一、三象限，C不正确；⑶ C；察看发现四个选项中的直线l1 : y ax b 都是经过第一、二、三象限，即a 0,b 0 ；所以 l 2 : y bx a 经过第一、三、四象限，应选 C.能力提高【例 6】⑴已知一次函数图象经过点 1 ，1 和1， 5 ．①求这个一次函数的分析式；②求这条直线和坐标轴的交点坐标．【分析】⑴ ① 设一次函数分析式为y kx b ，将1，1 和1， 5 代入分析式得1 k b 解得k3 ，5 k b b 2即一次函数分析式为y 3x 2 ；②与 x 轴、 y 轴的交点坐标分别为2，0 ，0， 2. 3⑵ 如图，已知一次函数图象为直线 a ，直线 a 过点 A 、 B ．ya① 求一次函数分析式； B②点 m ，4 在图象上，求m的值； 3DA③ 求图象和坐标轴围成的三角形面积． 1C -2 O2x（实验中学月考题）【分析】⑵ ①设直线 a的分析式为：y kx b察看图象可知： A 2 ，1 ， B 2 ，3 ，依据题意，可得1 2 k b k 1解得 23 2k bb 2∴分析式为 y 12 . x② m 4 ;2③与 x 轴、 y 轴的交点坐标分别为4，0 ， 0，2∴ S 4 .备注：一次函数绘图可选用与坐标轴的两交点0，，b，0 .bk 7真题赏析【例 7】 如图，直线 y kx 6 分别与 x 轴、 y 轴交于点 E 、 F ，且点 E 的坐标为8 ，0 ，点 A 的坐标为 6 ，0 ．若点 P x ，y 是第二象限内 的直线上的一个动点．．．．．．⑴ 在点 P 的运动过程中，试写出△ OPA 的面积 S 与 x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；⑵ 当 △OPA 的面积为27时，求出点 P 的坐标．8【分析】 ⑴将 E8 ，0 代入 y kx6得 k34∴ y 3 x 64设点 P x, 3 6x4 ∴ S △OPA = 1 y P3 9 OA 3 x 6x 18 8 x 024 4 当 x 8 时， △OPA 变为一条直线 ⑵若 S=27，则 9x18 278 48 ∴ x13， y928此时点 P 的地点13 ，92 8(2017 北京十二中期末)yFE A O x【剖析】本题目的易错点为自变量的取值范围，因为题目中规定“点 P x ，y 是第二象限内 的直线上的．．．．．一个动点 ”，故点 P 不在座标轴上，且三角形三边不可以在同向来线上．【研究对象】一次函数动点坐标与面积问题 【思路剖析】此类题目的一般过程是：①在计算面积的过程中间需要用动点坐标表示线段长度，从而表示面积，故需设出动点 坐标；②因动点在所给图形上运动，故点的坐标应知足此图形所对应的函数分析式，即找到了 y与 x 之间的关系，代入面积公式即可求得 S 与 x 之间的关系；③最后，需注意自变量的取值范围；④在一些较难题目中，假如动点在多边形的边上运动时，注意应为分段函数．【备注】一次函数动点问题之面积S 与运动 t 之间的关系将在春天班进行总结解说．8学有余力的班级，老师们能够带着学生进行以下专题的研究：【研究对象】利用函数图象法求解一次函数有关问题【研究目的】经过函数图象整合出信息，有直观、清楚、简洁的特色，是训练学生利用数形联合的思路解题的重要门路【研究 1】柳卡问题——数学家们咋了？听说，在近代科学史上曾发生过一件风趣的事：19 世纪的一次世界科学会议上，来自世界各国的很多名数学家共进早饭，法国数学家柳卡忽然向在场的人们提出一个被他称为“最困难”的问题：某轮船企业每日正午都有一艘轮船从巴黎的外港——勒阿佛尔开往纽约，并且每日的同一时辰也有一艘轮船从纽约开往勒阿佛尔。

第5讲 一次函数 经典题型 知识精讲 知识点1 一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质 （1）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大； （2）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小． （3）当k＞O，b＞O时，图象经过 、 、 象限； 当b＞O，b＜O时，图象经过 、 、 象限； 当k﹤O，b＞0时，图象经过 、 、 象限； 当b＜O，b＜O时，图象经过 、 、 象限． 知识点2、由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线， 由于两点确定一条直线，作一次函数图象时，描出适合关系式的两点，连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点（0，b），直线与

x轴的交点（-kb，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可. 画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线． 知识点4 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤 （1）设函数表达式为y=kx+b； （2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）； （3）求出k与b的值，得到函数表达式． 例题精讲 基本概念题

例1 、当m为何值时，函数y=-（m-2）x32m+（m-4）是一次函数？ [分析] 某函数是一次函数，除应符合y=kx+b外，还要注意条件k≠0．

解：∵函数y=（m-2）x32m+（m-4）是一次函数，

∴,0)2(,132mm∴m=-2.

∴当m=-2时，函数y=（m-2）x32m+（m-4）是一次函数． 例2 、一根弹簧长15cm，它所挂物体的质量不能超过18kg，并且每挂1kg的物体，弹簧就伸长0．5cm，写出挂上物体后，弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x(kg）之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并判断y是否是x的一次函数． [分析] （1）弹簧每挂1kg的物体后，伸长0．5cm，则挂xkg的物体后，弹簧的长度y为（l5+0．5x）cm，即y=15+0．5x． （2）自变量x的取值范围就是使函数关系式有意义的x的值，即0≤x≤18． (3)由y=15+0．5x可知，y是x的一次函数． 解：（l）y=15+0．5x． （2）自变量x的取值范围是0≤x≤18． （3）y是x的一次函数． 例3、 已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7. （1）写出y与x之间的函数关系式；（2）当x=4时，求y的值； （3）当y=4时，求x的值． [分析] 由y-3与x成正比例，则可设y-3=kx，由x=2，y=7，可求出k，则可以写出关系式． 解：（1）由于y-3与x成正比例，所以设y-3=kx． 把x=2，y=7代入y-3=kx中，得 7-3＝2k，∴k＝2． ∴y与x之间的函数关系式为y-3=2x，即y=2x+3． （2）当x=4时，y=2×4+3=11．