八下压轴题-一次函数与几何-动点问题教师版

专题一次函数中的动点问题与实际问题【例题精讲】题型一、角度问题例1. 【2019·莆田市期末】如图1，在平面直角坐标系中，直线AB经过点C（a，a），且交x轴于点A（m，0），交y轴于点B（0，n），且m，n满足√m−6+（n-12）2=0．（1）求直线AB的解析式及C点坐标；（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，请在图1中画出图形，并求D点的坐标；（3）如图2，点E（0，-2），点P为射线AB上一点，且∠CEP=45°，求点P的坐标．题型二、面积问题例1. 【2019·高密市期末】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．（1）求k、b的值；（2）请直接写出不等式kx+b﹣3x＞0的解集．（3）若点D在y轴上，且满足S△BCD＝2S△BOC，求点D的坐标．例2. 【2019·成都市期末】如图，已知直线y=kx+4（k≠0）经过点（-1，3），交x轴于点A，y轴于点B，F 为线段AB的中点，动点C从原点出发，以每秒1个位长度的速度沿y轴正方向运动，连接FC，过点F作直线FC的垂线交x轴于点D，设点C的运动时间为t秒．（1）当0＜t＜4时，求证：FC=FD；（2）连接CD，若△FDC的面积为S，求出S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，直线CF交x轴的负半轴于点G，11OC OG是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．题型三、复杂实际问题例1. 【2019·泉州市晋江区期中】某学校开展“青少年科技创新比赛”活动，“喜洋洋”代表队设计了一个遥控车沿直线轨道AC做匀速直线运动的模型．甲、乙两车同时分别从A，B两处出发，沿轨道到达C处，B在AC上，甲的速度是乙的速度的1.5倍，设t（分）后甲、乙两遥控车与B处的距离分别为d1，d2，则d1，d2与t的函数关系如图，试根据图象解决下列问题：（1）填空：乙的速度v2＝米/分；（2）写出d1与t的函数关系式：（3）若甲、乙两遥控车的距离超过10米时信号不会产生相互干扰，试探求什么时间两遥控车的信号不会产生相互干扰？【刻意练习】1. 【2019·乐亭县期末】如图1，四边形ABCD 中，AB △CD ，△B =90°，AC =AD ．动点P 从点B 出发沿折线B -A -D -C 方向以1单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP 的面积S 与运动时间t （秒）的函数图象如图2所示，则AD 等于（ ）A .5B .√34C .8D .2√32. 【2019·卢龙县期末】如图，直线y 1=2x -2的图象与y 轴交于点A ，直线y 2=-2x +6的图象与y 轴交于点B ，两者相交于点C ．（1）方程组{2x −y =2,2x +y =6的解是______；（2）当y 1＞0与y 2＞0同时成立时，x 的取值范围为______； （3）求△ABC 的面积；（4）在直线y 1=2x -2的图象上存在异于点C 的另一点P ，使得△ABC 与△ABP 的面积相等，请求出点P 的坐标．3. 【2019·莆田市期末】某土特产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售．按计划20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题：（1）设装运甲种土特产的车辆数为x，装运乙种土特产的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式．（2）如果装运每种土特产的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排方案有几种并写出每种安排方案．（3）若要使此次销售获利最大，应采用（2）中哪种安排方案？并求出最大利润的值．4. 【问题情境】已知矩形的面积为一定值1，当该矩形的一组邻边分别为多少时，它的周长最小？最小值是多少？【数学模型】设该矩形的一边长为x，周长为L，则L与x的函数表达式为．【探索研究】小彬借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y＝x+1x的图象性质．（1）结合问题情境，函数y＝x+1x的自变量x的取值范围是，如表是y与x的几组对应值．x (1)41312123m…y (1)443132122212313144…△直接写出m的值；△画出该函数图象，结合图象，得出当x＝时，y有最小值，y的最小值为；【解决问题】（2）直接写出“问题情境”中问题的结论．5. 【2018·辽阳市期末】为了开展“足球进校园”活动，某校成立了足球社团，计划购买10个足球和若干件（不少于10件）对抗训练背心．甲、乙两家体育用品商店出售同样的足球和对抗训练背心，足球每个定价120元，对抗训练背心每件15元，现两家商店搞促销活动，甲店：每买一个足球赠送一件对抗训练背心；乙店：按定价的九折优惠．（1）设购买对抗训练背心x件，在甲商店付款为y甲元，在乙商店付款为y乙元，分别写出y甲，y乙与x的关系式；（2）就对抗训练背心的件数讨论去哪家商店买合算？6. 【2019·乐亭县期末】小明骑电动车从甲地去乙地，而小刚骑自行车从乙地去甲地，两人同时出发走相同的路线；设小刚行驶的时间为x（h），两人之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系，，0）．根据图象进行探究：点B的坐标为（13（1）两地之间的距离为______km；（2）请解释图中点B的实际意义；（3）求两人的速度分别是每小时多少km？（4）直接写出点C的坐标______．7. 【2019·宜城市期末】某公司开发处一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为10元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘制成图象，图中的折线ABC表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系．（1）求y与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围；（2）若该节能产品的日销售利润为w（元），求w与x之间的函数表达式，并求出日销售利润不超过1040元的天数共有多少天？（3）若5≤x≤17，直接写出第几天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少元（不用说理）8. 【2019·成都月考】一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61000元．设购进A型手机x部，B型手机y部．三款手机的进价和预售价如下表：（1）用含x，y的式子表示购进C型手机的部数；（2）求出y与x之间的函数关系式；（3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元．△求出预估利润P（元）与x（部）的函数关系式；（注：预估利润P=预售总额-购机款-各种费用）△求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部．9. 【2018·北师大附中期中】已知：如图，△MON=90°，在△ABC中，△C=90°，AC=3cm，BC=4cm，将△ABC 的两个顶点A、B放在射线OM和ON上移动，作CD△ON于点D，记OA=x（当点O与A重合时，x的值为0），CD=y，小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小明的探究过程，请补充完整.（1）通过取点、画图、计算、测量等方法，得到了x与y的几组值，如下表（补全表格）（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象。

人教版八年级下册数学第19章 一次函数 综合（压轴题）示范1．如图，直线l 1的解析式为y =12x+1，且l 1与x 轴交于点D ，直线l 2经过定点A 、B ，直线l 1与l 2交于点C ．（1）求直线的解析式； （2）求△ADC 的面积；（3）在x 轴上是否存在一点E ，使△BCE 的周长最短？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）利用待定系数法即可直接求得l 2的函数解析式；（2）首先解两条之间的解析式组成的方程组求得C 的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解； （3）求得C 关于y 轴的对称点，然后求得经过这个点和B 点的直线解析式，直线与x 轴的交点就是E ． 【解析】（1）设l 2的解析式是y ＝kx+b ，根据题意得：{4k +b =0−k +b =5，解得{k =−1b =4，则函数的解析式是：y ＝﹣x+4；（2）在y =12x+1中令y ＝0，即y =12x+1＝0，解得：x ＝﹣2，则D 的坐标是（﹣2，0）． 解方程组{y =−x +4y =12x +1，解得{x =2y =2，则C 的坐标是（2，2）．则S △ADC =12×AD ×y C =12×6×2＝6；（3）存在，理由：设C （2，2）关于y 轴的对称点C ′（2，﹣2），连接BC ′交x 轴于点E ，则点E 为所求点， △BCE 的周长＝BC+BE+CE ＝BC+BE+C ′E ＝BC+BC ′为最小，设经过（2，﹣2）和B 的函数解析式是y ＝mx+n ，则{2m +n =−2−m +m =5，解得：{m =−73n =83， 则直线的解析式是y =−73x +83，令y ＝0，则y =−73x +83=0，解得：x =87．则E 的坐标是（87，0）．【小结】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，以及对称的性质，正确确定E 的位置是本题的关键． 2、矩形ABCD 在如图所示的平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0，3），BC ＝2AB ，直线经过点B ，交AD 边于点P 1，此时直线l 的函数表达式是y ＝2x ＋1． （1）求BC ，AP 1的长；（2）沿y 轴负方向平移直线l ，分别交AD ，BC 边于点P ，E ． ①当四边形BEPP 1是菱形时，求平移的距离；②设AP ＝m ，当直线l 把矩形ABCD 分成两部分的面积之比为3:5时，求m 的值．解：（1）∵直线y ＝2x ＋1经过y 轴上的B 点，∴B （0，1），又∵A 的坐 标为（0，3）；∴AB=2;BC=2AB=4；P 1（1，3）；AP 1=1；（2）①当四边形BEPP 1是菱形时，BP 1=BE=5；∴E （5，1）；设平移之后的直线解析式为：y ＝2x ＋b ，将点E 代入；b=1-25； 与y 轴的交点B ’（0，1-25），∴沿y 轴负方向平移距离为25；②∵AP=m ；AP 1=1；PP 1=BE=m-1；而S 梯形ABEP =83S 矩形ABCD 或S 梯形ABEP =85S 矩形ABCD ； ∴53m 1-m 221或）（=+⨯；m=2或3. 3、如图，一次函数y 1=54x+n 与x 轴交于点B ，一次函数y 2=−34x+m 与y 轴交于点C ，且它们的图象都经过点D （1，−74）．（1）则点B 的坐标为 ，点C 的坐标为 ；（2）在x 轴上有一点P （t ，0），且t ＞125，如果△BDP 和△CDP 的面积相等，求t 的值；（3）在（2）的条件下，在y 轴的右侧，以CP 为腰作等腰直角△CPM ，直接写出满足条件的点M 的坐标．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，分别令y ＝0和x ＝0，可得B 、C 点坐标； （2）根据面积的和差，可得关于t 的方程，根据解方程，可得答案；（3）分情况讨论，注意是在y 轴的右侧，有三个符合条件的点M ，作辅助线，构建三角形全等，根据全等三角形的判定与性质，可得M 的坐标．【解析】（1）将D （1，−74）代入y =54x+n ，解得n ＝﹣3，即y =54x ﹣3，当y ＝0时，54x ﹣3＝0．解得x =125，即B 点坐标为（125，0）； 将（1，−74）代入y =−34x+m ，解得m ＝﹣1，即y =−34x ﹣1，当x ＝0时，y ＝﹣1．即C 坐标为（0，﹣1）； （2）如图1，S △BDP =12（t −125）×|−74|=78t −2110，当y ＝0时，−34x ﹣1＝0，解得x =−43，即E 点坐标为（−43，0）， S △CDP ＝S △DPE ﹣S △CPE =12（t +43）×74−12×（t +43）×|﹣1|=38t +12，由△BDP 和△CDP 的面积相等，得：78t −2110=38t +12，解得t ＝5.2；（3）以CP 为腰作等腰直角△CPM ，有以下两种情况： ①如图2，当以点C 为直角顶点，CP 为腰时，点M 1在y 轴的左侧，不符合题意，过M 2作M 2A ⊥y 轴于A ， ∵∠PCM 2＝∠PCO+∠ACM 2＝∠PCO+∠OPC ＝90°，∴∠ACM 2＝∠OPC ，∵∠POC ＝∠CAM 2，PC ＝CM 2，∴△POC ≌△CAM 2（AAS ），∴PO ＝AC ＝5.2，OC ＝AM 2＝1， ∴M 2（1，﹣6.2）；②如图3，当以点P 为直角顶点，CP 为腰时，过M 4作M 4E ⊥x 轴于E ，同理得△COP ≌△PEM 4，∴OC ＝EP ＝1，OP ＝M 4E ＝5.2，∴M 4（6.2，﹣5.2）， 同理得M 3（4.2，5.2）；综上所述，满足条件的点M 的坐标为（1，﹣6.2）或（6.2，﹣5.2）或（4.2，5.2）．【小结】本题考查了一次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用面积的和差得出关于t 的方程是解题关键；利用全等三角形的判定与性质得出对应边相等是解题关键．4、如图，已知直线y ＝2x+2与y 轴、x 轴分别交于A 、B 两点，点C 的坐标为（﹣3，1）． （1）直接写出点A 的坐标 ，点B 的坐标 ． （2）求证△ABC 是等腰直角三角形．（3）若直线AC 交x 轴于点M ，点P （−52，k ）是线段BC 上一点，在线段BM 上是否存在一点N ，使直线PN 平分△BCM 的面积？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）作CD ⊥x 轴于点D ，证明△CDB ≌△BOA （SAS ）即可解决问题． （3）求出点P 的坐标，利用面积法求出BN 的长即可解决问题．【解答】（1）对于直线y ＝2x+2，令x ＝0，得到y ＝2，令y ＝0，得到x ＝﹣1，∴A （0，2），B （﹣1，0）． （2）证明：作CD ⊥x 轴于点D ，由题意可得CD ＝1，OD ＝3，OB ＝1，OA ＝2，∴CD ＝OB ＝1，BD ＝OA ＝2， ∵∠CDB ＝∠AOB ＝90˚，∴△CDB ≌△BOA （SAS ），∴BC ＝BA ，∠CBD ＝∠BAO ，∵∠ABO+∠BAO ＝90˚，∴∠ABO+∠CBD ＝90˚，即∠ABC ＝90˚，∴△ABC 是等腰直角三角形． （3）∵P （−52，k ）在直线BC ：y =−12x −12上，∴P (−52，34)，∵直线AC ：y =13x +2交x 轴于M ，∴M （﹣6，0），∵S △BCM =12×5×1=52，假设存在点N ，使直线PN 平分△BCM 的面积，则S △BPN =12⋅BN ⋅34=12×52，∴BN =103，∴ON ＝BN+OB =103+1=133，∴N(−133，0)．【小结】本题考查属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，等腰直角三角形的判定，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5、如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx+8分别交x 轴，y 轴于A 、B 两点，已知A 点坐标（6，0），点C 在直线AB 上，横坐标为3，点D 是x 轴正半轴上的一个动点，连结CD ，以CD 为直角边在右侧构造一个等腰Rt △CDE ，且∠CDE ＝90°．（1）求直线AB 的解析式以及C 点坐标；（2）设点D 的横坐标为m ，试用含m 的代数式表示点E 的坐标；（3）如图2，连结OC ，OE ，请直接写出使得△OCE 周长最小时，点E 的坐标． 【分析】（1）把A （6，0）代入y ＝kx+8中，得6k+8＝0，解得：k =−43，即可求解； （2）证明△CDF ≌△DEG （AAS ），则CF ＝DG ＝4，DF ＝EG ＝3﹣m ，OG ＝4+m ，则E （4+m ，m ﹣3）； （3）过点O 作直线l 的对称点O ′，连接CO ′交直线l 于点E ′，则点E ′为所求点，即可求解． 【解析】（1）把A （6，0）代入y ＝kx+8中，得6k+8＝0，解得：k =−43，∴y =−43x +8，把x ＝3代入，得y ＝4，∴C （3，4）； （2）作CF ⊥x 轴于点F ，EG ⊥x 轴于点G ，∵△CDE 是等腰直角三角形，∴CD ＝DE ，∠CDE ＝90°， ∴∠CDF ＝90°﹣∠EDG ＝∠DEG ，且∠CFD ＝∠DGE ＝90°，∴△CDF ≌△DEG （AAS ）∴CF ＝DG ＝4，DF ＝EG ＝3﹣m ，∴OG ＝4+m ，∴E （4+m ，m ﹣3）； （3）点E （4+m ，m ﹣3），则点E 在直线l ：y ＝x ﹣7上，设：直线l 交y 轴于点H （0，﹣7），过点O 作直线l 的对称点O ′， ∵直线l 的倾斜角为45°，则HO ′∥x 轴，则点O ′（7，﹣7）， 连接CO ′交直线l 于点E ′，则点E ′为所求点，OC 是常数，△OCE 周长＝OC+CE+OE ＝OC+OE ′+CE ′＝OC+CE ′+O ′E ′＝OC+CO ′为最小，由点C 、O ′的坐标得，直线CO ′的表达式为：y =−114x +494联立{y =x −7y =−114x +494，解得：{x =7715y =−2815，故：E(7715，−2815)． 【小结】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、点的对称性等，综合性很强，难度较大．6．如图①，直线y ＝x ＋1交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，OB ＝30A ，M 在直线AC 上，AC ＝CM ． （1）求直线BM 的解析式；（2）如图①，点N 在MB 的延长线上，BN ＝AC ，连CN 交x 轴于点P ，求点P 的坐标；（3）如图②，连接OM ，在直线BM 上是否存在点K ，使得∠MOK ＝45°，若存在，求点K 的坐标，若不存在，说明理由．解：（1）利用A(-1,0)；C （0,1）；AC=AM;∴M （1,2）；B （3,0）；∴BM ：y ＝-x ＋3．（2）过C 作CS ∥MN 交x 轴与S 点，可证△PCS ≌△PNB ，可证P 为BS 的中点，可证OA=OS=1; 则BS=2；则P （2,0）。

一、选择题（题型注释）1．如图反映的过程是：矩形ABCD 中，动点P 从点A 出发，依次沿对角线AC 、边CD 、边DA 运动至点A 停止，设点P 的运动路程为x ， ABP S y △．则矩形ABCD 的周长是(P )D A BC61295Oy xA ．6B ．12C ．14D ．15 【答案】C 【解析】试题分析：结合图象可知，当P 点在AC 上，△ABP 的面积y 逐渐增大，当点P 在CD 上，△ABP 的面积不变，由此可得AC=5，CD=4，则由勾股定理可知AD=3，所以矩形ABCD 的周长为：2×（3+4）=14．考点：动点问题的函数图象；矩形的性质.点评：本题考查的是动点问题的函数图象，解答本题的关键是根据矩形中三角形ABP 的面积和函数图象，求出AC 和CD 的长．2．小芳步行上学，最初以某一速度匀速前进，中途遇红灯，稍作停留后加快速度跑步去上学，到校后，她请同学们画出她行进路程s （米）与行进时间t （分钟）的函数图象的示意图.你认为正确的是（ ）【答案】C 【解析】试题分析：运用排除法解答本题，中间的停留路程不变，可排除BD 两项，最后的加速图象应为比最初的路程增加直线增速更快的图象，C 对3．如图，已知A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n+1是x 轴上的点，且OA 1=A 1A 2=A 2A 3=…=A n A n+1=1，分别过点A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n+1作x 轴的垂线交直线y=2x 于点B 1、B 2、B 3、…、B n 、B n+1，连接A 1B 2、B 1A 2、B 2A 3、…、A n B n+1、B n A n+1，依次相交于点P 1、P 2、P 3、…、P n ．△A 1B 1P 1、△A 2B 2P 2、△A n B n P n 的面积依次记为S 1、S 2、S 3、…、S n ，则S n 为（ ）A．121nn++B．31nn-C．221nn-D．221nn+【答案】D．【解析】试题分析：∵A1、A2、A3、…、A n、A n+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=A n A n+1=1，∴A1（1，0），A2（2，0），A3（3，0），…A n（n，0），A n+1（n+1，0），∵分别过点A1、A2、A3、…、A n、A n+1，作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、B n、B n+1，∴B1的横坐标为：1，纵坐标为：2，则B1（1，2），同理可得：B2的横坐标为：2，纵坐标为：4，则B2（2，4），B3（2，6），…B n（n，2n），B n+1（n+1，2n+2），根据题意知：P n是A n B n+1与 B n A n+1的交点，设：直线A n B n+1的解析式为：y=k1x+b1，直线B n A n+1的解析式为：y=k2x+b2，∵A n（n，0），A n+1（n+1，0），B n（n，2n），B n+1（n+1，2n+2），∴直线A n B n+1的解析式为：y=（2n+2）x﹣2n2﹣2n，直线B n A n+1的解析式为：y=﹣2n x+2n2+2n，∴P n（22221n nn++，24421n nn++）∴△A n B n P n的A n B n边上的高为：22221n nnn+-+=21nn+,△A n B n P n的面积S n为:21222121n nnn n⨯⋅=++．故选D ．考点：一次函数图象上点的坐标特征． 4．如图，已知直线l ：x y 33，过点A （0，1）作y 轴的垂线 交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过 点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；…；按此作法继续下去，则点A 4的坐标为 A.（0，64） B.（0，128） C.（0，256） D.（0，512）【答案】C. 【解析】试题分析：∵直线l 的解析式为；3， ∴l 与x 轴的夹角为30°， ∵AB ∥x 轴， ∴∠ABO=30°， ∵OA=1， ∴OB=2， ∴3，∵A 1B ⊥l ，∴∠ABA 1=60°， ∴A 1O=4， ∴A 1（0，4），同理可得A 2（0，16）， …∴A 4纵坐标为44=256， ∴A 4（0，256）． 故选C ．考点：一次函数综合题．5．如图，在矩形ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，动点P ，Q 分别从点C ，D 出发，沿线段CB ，DC 方向匀速运动，已知P ，Q 两点同时出发，并同时到达终点B ，C ．连接OP ，OQ ．设运动时间为t ，四边形OPCQ 的面积为S ，那么下列图象能大致刻画S 与t 之间的关系的是【答案】A ． 【解析】试题分析：作OE ⊥BC 于E 点，OF ⊥CD 于F 点，如图，设BC=a ，AB=b ，点P 的速度为x ，点F 的速度为y ， 则CP=xt ，DQ=yt ，所以CQ=b-yt ， ∵O 是对角线AC 的中点，∴OE 、OF 分别是△ACB 、△ACD 的中位线， ∴OE=12b ，OF=12a ， ∵P ，Q 两点同时出发，并同时到达终点， ∴a bx y=，即ay=bx ， ∴S=S △OCQ +S △OCP =12•12a•（b-yt ）+12•12b•xt=14ab-14ayt+14bxt=14ab （0＜t ＜a x）， ∴S 与t 的函数图象为常函数，且自变量的范围为0＜t ＜ax）．故选A ．考点：动点问题的函数图象．6．函数321+=x y 的图象与x 、y 轴分别交于点A 、B ，点P )(y x ，为直线AB 上的一动点（0>x ）过P 作PC ⊥y 轴于点C ，若使PBC ∆的面积大于AOB ∆的面积，则P的横坐标x 的取值范围是（ ）A 、30<<xB 、3>xC 、63<<xD 、6>x【解析】试题分析：由题意知：PC=x ，OC=132x + ∴BC=12x ∵PBC ∆的面积大于AOB ∆的面积∴x ＞6. 故选D.考点: 一次函数综合题.7．如图1，在直角梯形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD 运动至点D 停止．设点P 运动的路程为 ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△BCD 的面积是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】A 【解析】 试题分析：动点P 从直角梯形ABCD 的直角顶点B 出发，沿BC ，CD 的顺序运动，则△ABP 面积y 在BC 段随x 的增大而增大；在CD 段，△ABP 的底边不变，高不变，因而面积y 不变化．由图2可以得到：BC=2，CD=3，△BCD 的面积是12×2×3=3． 故选A ．考点：动点问题的函数图象．8．如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，沿A →D →C →B →A 的路径匀速移动，设P 点经过的路径长为x ，△APD 的面积是y ，则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是A ．B ．C ．D ．【解析】当点P 由点A 向点D 运动时，y 的值为0； 当点p 在DC 上运动时，y 随着x 的增大而增大； 当点p 在CB 上运动时，y 不变；当点P 在BA 上运动时，y 随x 的增大而减小。

一次函数动点2．如图直线：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）（1）求k的值．（2）若P（x，y）是直线在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积。

专题：动点型。

分析：（1）将B点坐标代入y=kx+6中，可求k的值；（2）用OA的长，y分别表示△OPA的底和高，用三角形的面积公式求S与x的函数关系式；（3）将S=9代入（2）的函数关系式，求x、y的值，得出P点位置．解答：解：（1）将B（﹣8，0）代入y=kx+6中，得﹣8k+6=0，解得k=；（2）由（1）得y=x+6，又OA=6，∴S=×6×y=x+18，（﹣8＜x＜0）；（3）当S=9时，x+18=9，解得x=﹣4，此时y=x+6=3，∴P（﹣4，3）．点评：本题考查了一次函数的综合运用，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积的求法．关键是将面积问题转化为线段的长，点的坐标来表示．1．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题。

分析：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，利用等腰直角三角形的性质证明△ABO≌△BCQ，根据全等三角形的性质求OQ，CQ的长，确定C点坐标；（2）同（1）的方法证明△BCH≌△BDF，再根据线段的相等关系证明△BOE≌△DGE，得出结论；（3）依题意确定P点坐标，可知△BPN中BN变上的高，再由S△PBN=S△BCM，求BN，进而得出ON．解答：解：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠QBC=90°，∴∠OAB=∠QBC，又∵AB=BC，∠AOB=∠Q=90°，∴△ABO≌△BCQ，∴BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1，∴C（﹣3，1），由A（0，2），C（﹣3，1）可知，直线AC：y=x+2；（2）如图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G，∵AC=AD，AB⊥CB，∴BC=BD，∴△BCH≌△BDF，∴BF=BH=2，∴OF=OB=1，∴DG=OB，∴△BOE≌△DGE，∴BE=DE；（3）如图3，直线BC：y=﹣x﹣，P（，k）是线段BC上一点，∴P（﹣，），由y=x+2知M（﹣6，0），∴BM=5，则S△BCM=．假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积，则BN=×，∴BN=，ON=，∵BN＜BM，∴点N在线段BM上，∴N（﹣，0）．点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解．3．如图①，过点（1，5）和（4，2）两点的直线分别与x轴、y轴交于A、B两点．（1）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数有10 个（请直接写出结果）；（2）设点C（4，0），点C关于直线AB的对称点为D，请直接写出点D的坐标（6，2）；（3）如图②，请在直线AB和y轴上分别找一点M、N使△CMN的周长最短，在图②中作出图形，并求出点N的坐标．考点：一次函数综合题。

19.19专题6：一次函数与几何-直线上的动点
一．【知识要点】
1.一次函数与几何-直线上的动点
二．【经典例题】
1.（本题8分）如图,一次函数y=2x+4 的图象与x ，y 轴分别相交于点A ,B ,四边形ABCD 是正方形.
（1）求点A ,B ,D 的坐标;
（2）求直线BD的表达式.
（3）点M为直线BD上一动点，过点M作x轴的平行线，交直线AB于点N，若以A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标。

三．【题库】
【A】
【B】
【C】
1．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m交y轴于点A，交x轴于点B，点C坐标（，0），作C关于AB对称点F，连BF和OF，OF交AC于点E，交AB于点M．
（1）求证：OF⊥AC；
（2）连接CF交AB于点H，求证：AH＝CF；
（3）若m＝2，E为x轴负半轴上一动点，连接ME，过点M作EM的垂线交FB的延长线于点D，问EB﹣BD的值是否改变，若不变，求其值，若改变，求其取值范围．
【D】
【E 】
1.如图，直线1l x ⊥轴于点A （2，0），点B 是直线1l 上的动点．直线1:1l y x =+交1l 于点C ，过点B 作直线3l 垂直于2l ，垂足为D ，过点O ，B 的直线4l 交2l 于点E ，当直线123,,l l l 能围成三角形时，设该三角形的面积为1S ，当直线234,,l l l 能围成三角形时，设该三角形的面积为2S ．若点B 在线段AC 上（含端点），且12S S =，则点B 的纵坐标为__________.。

专题17.21 一次函数动点问题（专项练习）一、单选题1．如图，一次函数1y x =-+的图象与两坐标轴分别交于A 、B 两点，点C 是线段AB 上一动点(不与点A 、B 重合)，过点C 分别作CD 、CE 垂直于x 轴、y 轴于点D 、E ，当点C 从点A 开始向点B 运动时，则矩形CDOE 的周长( )A ．不变B ．逐渐变大C ．逐渐变小D ．先变小后变大 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝﹣x +6与坐标轴交于点A ，B ，点C 为OA 上一动点，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，过点D 作DE ∥x 轴，交y 轴于点E ，在直线DE 上找一点F ，使得∠DCF ＝90°，连接OF ，当OF +CF 的值最小时，求点F 的坐标为（ ）A ．（1，53）B ．（32，32）C ．（2，2）D ．（3，1）二、填空题3．如图，已知点A 是一次函数y =x —4在第四象限的图像的一个动点，且矩形ABOC 的面积为3，则A 点坐标为_____，4．如图，一次函数y，，43x，8的图像与x 轴、y 轴分别交于A，B 两点．P 是x 轴上一个动点，若沿BP 将△OBP 翻折，点O 恰好落在直线AB 上的点C 处，则点P 的坐标是______，三、解答题5．已知一次函数的图象经过点()()2004A B ，，，.（1）求此函数的解析式；（2）若点P 为此一次函数图象上一动点，且△POA 的面积为2，求点P 的坐标. 6．已知：一次函数图象如图，（1）求一次函数的解析式；（2）若点P 为该一次函数图象上一动点，且点A 为该函数图象与x 轴的交点，若S △OAP ＝2，求点P 的坐标．7．已知一次函数的图象经过点A(2,0),B(0,4).（1）求此函数的解析式；（2）若点P 为此一次函数图象上一动点，且△POA 的面积为2，求点P 的坐标. 8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数16y k x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 两点，与正比例函数2y k x =交于点(2,2)D ．（1）求一次函数和正比例函数的表达式；（2）若点P 为直线2y k x =上的一个动点（点P 不与点D 重合），点Q 在一次函数16y k x =+的图象上，//PQ y 轴，当23PQ OA =时，求点P 的坐标． 9．如图，已知一次函数132y x =+的图像分别与x 轴、y 轴交于点A 、点B ，点C 与点A 关于y 轴对称．（1）求直线BC 的函数解析式；（2）若点P 是x 轴上的动点，且14BOP ABC S S =△△，求符合条件的点P 的坐标． 10．如图，一次函数4y x =-+与坐标轴分别交于A 、B 两点，点P 是线段AB 上一个动点（不包括A 、B 两点），C 是线段OB 上一点，45OPC ∠=︒，若OPC 是等腰三角形，求点P 的坐标．11．如图，一次函数y ＝kx +b 的图象经过点A （0，4）和点B （3，0），以线段AB 为边在第一象限内作等腰直角△ABC ，使∠BAC ＝90°．（1）求一次函数的解析式；（2）求出点C 的坐标；（3）点P 是y 轴上一动点，当PB +PC 最小时，求点P 的坐标．12．如图，一次函数y ＝﹣34x +3的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，C 是x 轴上一动点，连接BC ，将△ABC 沿BC 所在的直线折叠，当点A 落在y 轴上时，点C 的坐标为__．13．如图，已知一次函数b x y +-=21的图象经过点A （2，3），AB⊥x 轴，垂足为B ，连接OA ．（1）求此一次函数的解析式，并求出一次函数与x 轴的交点C 的坐标；（2）设点P 为直线b x y +-=21在第一象限内的图像上的一动点，求△OBP 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的范围；（3）设点M 为坐标轴上一点，且24=∆MAC S ，直接写出所有满足条件的点M 的坐标． 14．如图，一次函数1y x b =+的图像与x 轴y 轴分别交于点A 、点B ，函数1y x b =+，与243y x =-的图像交于第二象限的点C ，且点C 横坐标为3-. （1）求b 的值；（2）当120y y <<时，直接写出x 的取值范围；（3）在直线243y x =-上有一动点P ，过点P 作x 轴的平行线交直线1y x b =+于点Q ，当145PQ OC =时，求点P 的坐标.15．如图，一次函数y kx b =+的图象与x 轴，y 轴分别交于(30)A ，，(01)B ，两点，在y 轴上有一点(03)C ，，动点P 从A 点以每秒2个单位长度的速度向左移动，（1）求直线AB 的表达式；（2）求COP ∆的面积S 与移动时间t 之间的函数关系式；（3）当t 为何值时，COP ∆，AOB ∆，求出此时P 点的坐标．16．如图，一次函数y ＝﹣43x +4的图象分别与x 轴，y 轴的正半轴交于点E 、F ，一次函数y ＝kx ﹣4的图象与直线EF 交于点A （m ，2），且交于x 轴于点P ，（1）求m 的值及点E 、F 的坐标；（2）求△APE的面积；（3）若B点是x轴上的动点，问在直线EF上，是否存在点Q（Q与A不重合），使△BEQ 与△APE全等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题1．【答案】A【解析】根据一次函数图象上点的坐标特征可设出点C 的坐标为（m ，-m+1），根据矩形的周长公式即可得出C 矩形CDOE =2，此题得解.【详解】设点C 的坐标为(m ，m 1)(0m 1)-+<<，则CE m =，CD m 1=-+，()CDOE C 2CE CD 2∴=+=矩形，故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，根据一次函数图象上点的坐标特征设出点C 的坐标是解题的关键.2．【答案】B【解析】由题意易得点A 、B 的坐标，CF ∥AB ，进而可得OA=OB=6，过点D 作DM ⊥OA 于点M ，延长CF 交y 轴于N ，设点C （m ，0），则OC ＝m ，则点D 坐标可用含m 的代数式表示，进而可得当EN ＝OE 时，则OF ＝FN ，此时OF +CF ＝CN 的值最小，最后求解即可．【详解】过点D 作DM ⊥OA 于点M ，延长CF 交y 轴于N ，如图所示：∵一次函数y ＝﹣x +6与坐标轴交于点A ，B ，∴A （6，0），B （0，6），∴OA＝OB＝6，∴∠BAO＝45°，∵CD⊥AB，∴∠DCA＝45°，∴CD＝AD，∵DM⊥AC于M，∴DM＝12AC＝CM＝AM，设C（m，0），则OC＝m，∴AC＝6﹣m，∴DM＝CM＝3﹣12 m，∴D（3+12m，3﹣12m），延长CF交y轴于N，∵CD⊥AB，∠DCF＝90°，∴CF∥AB，当EN＝OE时，则OF＝FN，此时OF+CF＝CN，值最小，∵CN∥AB，OC＝m，∴ON＝m，∴此时m＝2（3﹣12 m），解得m＝3，∵E是ON的中点，DE∥x轴，∴EF＝12OC＝32，∴F（32，32），故选：B．【点睛】本题主要考查一次函数的综合运用，关键是根据题意得到最短路径，然后再利用一次函数的性质进行求解即可．二、填空题3．【答案】，1，-3）或（3，-1，【解析】设点A 的横坐标为x ，则纵坐标为x -4，则AB=4-x，OB=x，由矩形ABOC 的面积等于3，可得x(4-x)=3，解得：x=1或x=3，，点A 的坐标为（3，-1）或（1，-3）.4．【答案】（83，0），（－24，0） 【解析】分析：根据题意得出OA ，OB 和AB 的长度，然后根据折叠图形的性质分两种情况来进行，即点P 在线段OA 上和点P 在x 轴的负半轴上，然后根据Rt，APC 的勾股定理求出点P 的坐标．详解：根据题意可得：OA=6，OB=8，则AB=10，，、当点P 在线段OA 上时，设点P 的坐标为(x ，0)，则AP=6－x ，BC=OB -8， CP=OP=x ，AC=10－8=2，，根据勾股定理可得：()22226x x +=-，解得：x=83， ，点P 的坐标为(83，0)； ，、当点P 在x 轴的负半轴上时，设OP 的长为x ，则AP=6+x ，BC=8，CP=OP=x ，AC=10+8=18，，根据勾股定理可得：()222186x x +=+，解得：x=24， ，点P 的坐标为(－24，0)；，综上所述，点P 的坐标为(83，0)，(－24，0)．点睛：本题主要考查的是折叠图形的性质以及直角三角形的勾股定理的应用，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是根据题意画出图形得出直角三角形．三、解答题5．【答案】（1）一次函数的解析式为2 4.y x =-+（2）()()1,2,3,2.P P ∴-或【解析】试题分析：（1），根据题意可设一次函数的解析式y=kx+b （k≠0），将A ，B 两点代入可求出k ，b ，进而可求出函数表达式；对于（2），设点P 的坐标为（a ，-2a+4），结合A 点的坐标可得OA 的长，继而根据，POA 的面积为2可得到|a|的值，据此可得到点P 的坐标.试题解析：（1）设解析式为y=kx+b （k≠0），一次函数的图象经过点()A 2,0， ()B 0,4，，02{4k b b =+=，解得2{4k b =-=， ，一次函数的解析式为y 2x 4.=-+（2），ΔPOA p 1S OA y 42=⋅=， p y 2,∴= p y 2.∴=± 当p y 2=时， ()p x 1,P 1,2.=∴当p y 2=-时， ()p x 3,P 3,2.=∴-∴ ()()P 1,2,P 3,2.-或6．【答案】（1）y ＝﹣x+1；（2）P 点坐标为（﹣3，4）或（5，﹣4）．【解析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；（2）先计算出函数值为0所对应的自变量的值得到A 点坐标，设P （t ，-t+1），根据三角形面积公式得到12×1×|-t+1|=2，然后解绝对值方程求出t 即可得到P 点坐标． 【详解】（1）设一次函数解析式为y ＝kx+b ，把（﹣2，3）、（2，﹣1）分别代入得2321k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得11k b =-⎧⎨=⎩，所以一次函数解析式为y＝﹣x+1；（2）当y＝0时，﹣x+1＝0，解得x＝1，则A（1，0），设P（t，﹣t+1），因为S，OAP＝2，所以12×1×|﹣t+1|＝2，解得t＝﹣3或t＝5，所以P点坐标为（﹣3，4）或（5，﹣4）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．7．【答案】（1）一次函数的解析式为y=-2x+4；（2）P（1，2）或P（3，-2）.【解析】（1）根据题意可设一次函数的解析式y=kx+b（k≠0），将A，B两点代入可求出k，b，进而可求出函数表达式；（2）设点P的坐标为（a，-2a+4），结合A点的坐标可得OA的长，继而根据，POA的面积为2可得到|a|的值，据此可得到点P的坐标.解：（1）设解析式为y=kx+b（k≠0），一次函数的图象经过点A(2,0),B(0,4)，，204k bb+=⎧⎨=⎩，解得24kb=-⎧⎨=⎩，，一次函数的解析式为y=-2x+4（2），14,2POAP SOA y =⋅= ，2,P y = ，2,P y =±当2,P y =时，1,P x = 即P （1，2）， 当2,P y =-时，3,P x = 即P （3，-2）， ，P （1，2）或P （3，-2）.8．【答案】（1）一次函数解析式为26y x =-+，正比例函数的解析式为：y x =；（2）点P 的坐标为：88,33⎛⎫ ⎪⎝⎭或44,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）点D （2，2）代入16y k x =+和2y k x =中，求出解析式即可；（2）通过一次函数解析式求出点A 的坐标，设P 点坐标为（m ，m ），则Q 点坐标为（m ，-2m+6），再根据23PQ OA =，解出m 的值，即可求出点P 的坐标. 【详解】（1）把点D （2，2）代入16y k x =+中得：1226k =+， 解得：12k =-，，一次函数解析式为26y x =-+，把点D （2，2）代入2y k x =中得：222k =， 解得：21k =，，正比例函数的解析式为：y x =； （2）把y=0代入26y x =-+得：3x =， ，A 点坐标为（3，0），OA=3，设P 点坐标为（m ，m ），则Q 点坐标为（m ，-2m+6），()2636PQ m m m =--+=-，，23PQ OA =，，23633m -=⨯， 解得：83m =或43m =，，点P 的坐标为：88,33⎛⎫ ⎪⎝⎭或44,33⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题是对一次函数的综合考查，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式及一次函数知识是解决本题的关键. 9．【答案】（1）132y x =-+；（2）(3,0)-或(3,0) 【解析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点A 、B 的坐标，由点C 与点A 关于y 轴对称可得出点C 的坐标，待定系数法求得直线BC 的函数解析式； （2）设点P 的坐标为(,0)m ，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】（1）当0x =时，132y x =+， ∴点B 的坐标为(0,3)；当1302y x =+=时，6x =-， ∴点A 的坐标为(6,0)-．点C 与点A 关于y 轴对称，∴点C 的坐标为(6,0)，设直线BC 的函数解析式为y kx b=+，∴360b k b =⎧⎨+=⎩，∴123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的函数解析式为132y x =-+；（2）设点P 的坐标为(,0)m ， 14BOP ABC S S ∆∆=， ∴111||3123242m ⨯⨯=⨯⨯⨯，3m ∴=±，∴点P 的坐标为(3,0)-，(3,0)．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、关于x 轴、y 轴对称的点的坐标以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A 、B 的坐标是解题的关键．10．【答案】(2，2)或(- 【解析】 【分析】分三种情况讨论：当CP CO =时，如图1，易得，AOB 与，BPO 都是等腰直角三角形，然后根据等腰三角形的性质解答即可；当PC PO =时，如图2，过P 作PD OC ⊥于点D ，则BDP △是等腰直角三角形，根据AAS 可证PCB OPA ≌△△，进而可得4BP AO ==，进一步即可求出点P 坐标；当OP=OC 时，易得P 、A 两点重合，此种情况不合题意，综上可得答案． 【详解】解：分三种情况讨论：当CP CO =时，如图1，45COP OPC ∠=∠=︒，，90OCP ∠=︒，即PC y ⊥轴．又，一次函数4y x =-+与坐标轴分别交于A 、B 两点， ，4y x =-+中，令0x =，则4y =；令0y =，则4x =， ，4AO BO ==，，，AOB 是等腰直角三角形， ，45ABO ∠=︒， ，COP CBP ∠=∠， ，OP BP =， ，C 是BO 的中点， ，122CO CP BO ===， ，()2,2P ；当PC PO =时，如图2，过P 作PD OC ⊥于点D ，则BDP △是等腰直角三角形，，45PBC OPC OAP ∠=∠=∠=︒，，135PCB BPC OPA BPC ∠+∠=︒=∠+∠， ，PCB OPA ∠=∠． 又，PC OP =，，()PCB OPA AAS △△≌， ，4BP AO ==，，在Rt BDP △中，BD PD ===，，4OD OB BD =-=-，，(P -．当OP=OC 时，45OCP OPC ∠=∠=︒，则，POC=90°，此时P 、A 两点重合，不合题意； 综上所述，若OPC 是等腰三角形，点P 的坐标为（2，2）或(-． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、一次函数与坐标轴的交点、等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，正确分类、熟练掌握上述知识是解题的关键． 11．【答案】（1）y ＝﹣43x+4；（2）（4，7）；（3）P （0，3） 【解析】（1）根据待定系数法确定函数解析式即可；（2）作CD，y 轴于点D ，由全等三角形的判定定理可得出，ABO，，CAD ，由全等三角形的性质可知OA=CD ，故可得出C 点坐标；（3）求得B 点关于y 轴的对称点B′的坐标，连接B′C 与y 轴的交点即为所求的P 点，由B′、C 坐标可求得直线B′C 的解析式，则可求得P 点坐标． 【详解】（1）设AB 直线的解析式为：y ＝kx+b ， 把（0，4）（3，0）代入可得：430b k b =⎧⎨+=⎩，解得：434k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，，一次函数的解析式为：y ＝﹣43x+4； （2）如图，作CD，y 轴于点D ．，，BAC ＝90°， ，，OAB+，CAD ＝90°， 又，，CAD+，ACD ＝90°， ，，ACD ＝，BAO ． 在，ABO 与，CAD 中，，90BAO ACD BOA ADC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ，，ABO，，CAD （AAS ），，OB ＝AD ＝3，OA ＝CD ＝4，OD ＝OA+AD ＝7． ，C 的坐标是（4，7）．（3）如图，作点B 关于y 轴的对称点B′，连接CB′交y 轴于P ，此时PB+PC 的值最小．，B （3，0），C （4，7） ，B′（﹣3，0），设直线CB′的解析式为y ＝mx+n ， 把（﹣3，0）（4，7）代入y ＝mx+n 中，可得：47 30m nm n+=⎧⎨-+=⎩，解得：13 mn=⎧⎨=⎩，，直线CB′的解析式为y＝x+3，令x＝0，得到y＝3，，P（0，3）．【点睛】本题考查的是一次函数的综合题，根据待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．12．【答案】（﹣6，0）或（32，0）．【解析】【分析】根据一次函数求出点A、B的坐标，根据勾股定理即可求出AB，然后根据点A落在y轴的位置分类讨论：当点A落在y轴的正半轴上时，设点C的坐标为（m，0），根据折叠的性质求出A′O和A′C，根据勾股定理列方程即可求出m；当点A落在y轴的负半轴上时，原理同上．【详解】，一次函数y＝﹣34x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，，A（4，0），B（0，3），，OA＝4，OB＝3，根据勾股定理可得AB=5，如图1，当点A落在y轴的正半轴上时，设点C 的坐标为（m ，0），，将，ABC 沿BC 所在的直线折叠，当点A 落在y 轴上时， ，A′O ＝3+5＝8，A′C ＝AC ＝4﹣m ， ，A′C2＝OC2+A′O2， ，（4﹣m ）2＝m2+82， ，m ＝﹣6；如图2，当点A 落在y 轴的负半轴上时，设点C 的坐标为（m ，0），，将，ABC 沿BC 所在的直线折叠，当点A 落在y 轴上时， ，A′O ＝5﹣3＝2，A′C ＝AC ＝4﹣m ， ，A′C2＝OC2+A′O2， ，（4﹣m ）2＝m2+22， ，m ＝32； 综上所述，当点A 落在y 轴上时，点C 的坐标为（﹣6，0）或（32，0）， 故答案为：（﹣6，0）或（32，0）． 【点睛】此题考查的是一次函数与图形综合题，掌握求一次函数与坐标轴的交点坐标、折叠的性质、勾股定理解直角三角形和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 13．【答案】（1）421+-=x y C （8，0）; （2）421+-=x y （80<<x ）; （3）M （-8，0）M （24，0）M （0，12）M （0，-4） 【解析】（1）把点A （2，3）代入一次函数b x y +-=21可求出b=4，然后令y=0，即可求出点C 的坐标；（2）设点P 的坐标为（x ，y ），则边OB 上的高为y ，利用三角形的面积公式即可计算，OBP 的面积S ，然后把421+-=x y 代入化简即可得出S 与x 之间的函数关系式，根据点P 为第一象限内的图像上的一动点，可求出自变量x 的范围；（3）分两种情况讨论：当点M 在x 轴上时，利用24=∆MAC S 求出线段MC=16，然后可求点M 的坐标；当点M 在y 轴上时，利用24=∆MAC S 求出点M 到直线b x y +-=21与y 轴的交点的距离为8，然后可求点M 的坐标．试题解析：（1）把点A （2，3）代入一次函数b x y +-=21得b=4，所以421+-=x y ，令y=0，所以x=8，所以点C 的坐标为（8，0）；（2）因为点A （2，3），AB，x 轴，所以点B 的坐标为（2,0），所以OB=2，设点P 的坐标为（x ，y ），所以，OBP 的面积S=112422y y x ⨯==-+（80<<x ）; （3）当点M 在x 轴上时，因为24=∆MAC S ，所以1132422MC AB MC ⋅=⨯=,所以MC=16，因为C （8，0），所以点M 的坐标为M （-8，0）或M （24，0）； 当点M 在y 轴上时，设直线421+-=x y 与y 轴的交点为N,令x=0，则y=4，所以点N 的坐标为（0,4），所以118232422MACMNC MNA S S S MN MN MN ∆∆∆=-=⨯-⨯==，所以MN=8，因为点N 的坐标为（0,4），所以点M 的坐标为M （0，12）或M （0，-4）； 综上所求的点M 的坐标为M （-8，0）、M （24，0）、M （0，12）、M （0，-4）． 考点：1．一次函数的性质2．坐标系中图形的面积3．点的坐标．14．【答案】（1）7b =（2）73x -<<-（3）点P 坐标为(3,4)-或(9,12)- 【解析】【分析】（1）将点C 横坐标代入243y x =-求得点C 的纵坐标为4，再把（-3，4）代入1y x b =+求出b 即可；（2）求出点A 坐标，结合点C 坐标即可判断出当120y y <<时， x 的取值范围； （3）设P （a,-43a ），可求出Q （473a --，43a -），即可得PQ=773a +，再求出OC=5，根据145PQ OC =求出a 的值即可得出结论.【详解】（1）把3x =-代入243y x =-，得4y =.，C （-3，4）把点(3,4)C -代入1y x b =+，得7b =.（2），b=7，y=x+7，当y=0时，x=-7,x=-3时，y=4，，当120y y <<时，73x -<<-.（3）点P 为直线43y x =-上一动点，∴设点P 坐标为4(,)3a a -.//PQ x ∵轴，∴把43y a =-代入7y x =+，得473x a =--.∴点Q 坐标为447,33a a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，477733PQ a a a ∴=++=+ 又点C 坐标为()3,4-，5OC ∴==14145PQ OC ∴== 77143a ∴+= 解之，得3a =或9a =-.∴点P 坐标为(3,4)-或(9,12)-.【点睛】理解点在直线上则它的坐标满足直线的解析式．学会用坐标表示线段的长． 15．【答案】（1）113y x =-+；（2）当302t <≤时，3(32)2S t =- ；当32t >时3(23)2S t =- （3） 当1t =时，P 的坐标为(1,0)；当2t =时，P 的坐标为(1,0)-【解析】（1）将A,B 点代入用待定系数法即可求解；（2）先计算出P 点到达原点的时间，然后以此为分界线，分情况讨论即可；（3）根据全等的性质可得出OP OB =，然后分P 在原点的左右两侧两种情况讨论即可求出P 点坐标．【详解】（1）设直线AB 的表达式为(0)y kx b k =+≠将(30)A ，，(01)B ，两点代入得 301k b b +=⎧⎨=⎩解得 131k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ，AB 的表达式为113y x =-+ （2）3322÷=当302t <≤时13(32)22S OP OC t =⋅=- 当32t >时 13(23)22S OP OC t =⋅=- （3）若COP ∆，AOB ∆时OP OB =(0,1)B1OB =∴1OP ∴=当321t -= 时，1t = ，此时P 的坐标为(1,0)；当231t -= 时，2t = ，此时P 的坐标为(1,0)-；【点睛】本题主要考查一次函数与几何综合，掌握待定系数法，全等三角形的性质和分情况讨论是解题的关键．16．【答案】（1）m ＝32，E （3，0）；F （0，4）；（2）S，APE ＝2；（3）Q1（95，85），Q2（215，﹣85），Q3（92，﹣2）． 【解析】（1）根据函数值，可得相应自变量的值，根据自变量的值，可得相应的函数值； （2）根据待定系数法，可得AP 的解析式，根据函数值为零，可得P 点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；（3）分类讨论：，当点A 与点B 为对应顶点时，根据全等三角形的面积相等，可得Q 点的纵坐标，根据函数值，可得相应自变量的值；，当点A 与点Q 为对应顶点时，可得Q 点的纵坐标，根据函数值，可得相应自变量的值．【详解】解：（1）一次函数y ＝﹣43x+4的图象经过点A （m ，2）， 得﹣43m+4＝2， 解得m ＝32， ，一次函数y ＝﹣43x+4的图象分别与x 轴、y 轴的正半轴交于点E ，F ．，当y ＝0时，﹣43x+4＝0，解得x ＝3即E （3，0）； 当x ＝0时，y ＝4，即F （0，4）；（2）把点A （32，2）一次函数y ＝kx ﹣4，得2＝32k ﹣4，解得k ＝4， y ＝4x ﹣4，当y ＝0时，x ＝1，即P （1，0）．PE ＝3﹣1＝2，S，APE ＝12×2×2＝2； （3）存在Q 点，B 点是x 轴上的动点，点Q 是直线y ＝﹣43x+4上的点，设Q （m ，n ）．由两点间的距离，得AE 52 ，AP ＝2，PE ＝2． ，当点A 与点B 为对应顶点时，，，APE，，BQE ，，S，BQE ＝S，APE ＝2， ，12BE×|n|＝2． ，BE ＝AE ＝52， ，|n|＝85，n ＝±85． 当n ＝85时，﹣43x+4＝85，解得m ＝95，即Q1（95，85）； 当n ＝﹣85时，﹣43x+4＝﹣85，解得m ＝215 ，即Q2（215，﹣85）； ，当点A 与点Q 为对应顶点时，，，APE，，QBE ，则n ＝﹣2，把n ＝﹣2代入y ＝﹣43x+4得m ＝92， ，Q3（92，﹣2）， 综上所述：Q1（95，85），Q2（215，﹣85），Q3（92，﹣2）．故答案为：（1）m＝32，E（3，0）；F（0，4）；（2）S，APE＝2；（3）Q1（95，85），Q2（215，﹣85），Q3（92，﹣2）．【点睛】本题考查一次函数综合题，（1）利用了自变量与函数值的对应关系，（2）利用了三角形的面积公式，（3）利用了分类讨论的方法，根据全等三角形的性质得出Q点的纵坐标是解题关键．。

专题09一次函数与几何变换一．选择题1．（2021春•大同期末）对于一次函数y＝﹣2x+4，下列结论正确的是（）A．函数的图象与y轴的交点坐标是（4，0）B．函数的图象不经过第三象限C．函数的图象向上平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象D．若A（x1，y1），B（x2，y2）两点在该函数图象上，且x1＜x2，则y1＜y22．（2021•扬州）如图，一次函数y＝x+的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（）A．+B．3C．2+D．+3．（2020秋•天桥区期末）如图1，将正方形ABCD置于平面直角坐标系中，其中AD边在x轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线l：y＝x﹣3沿x轴的负方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图2所示，则图2中b的值为（）A．5B．4C．3D．24．（2020秋•碑林区校级期中）将直线y＝﹣3x沿着x轴向右平移2个单位，所得直线的表达式为（）A．y＝﹣3x+6B．y＝﹣3x﹣6C．y＝﹣3x+2D．y＝﹣3x﹣2 5．（2020•碑林区校级模拟）若直线y＝kx+3与直线y＝2x+b关于直线x＝1对称，则k、b值分别为（）A．k＝2、b＝﹣3B．k＝﹣2、b＝﹣3C．k＝﹣2、b＝1D．k＝﹣2、b＝﹣1 6．（2019•嘉祥县三模）在平面直角坐标系中，将直线y1：y＝2x﹣2平移后，得到直线y2：y＝2x+4，则下列平移作法正确的是（）A．将y1向上平移2个单位长度B．将y1向上平移4个单位长度C．将y1向左平移3个单位长度D．将y2向右平移6个单位长度7．（2018春•雨花区校级月考）如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）．点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝﹣x+b也随之移动，设移动时间为t秒，当M、N位于直线l的异侧时，t应该满足的条件是（）A．3＜t＜6B．4＜t＜7C．3＜t＜7D．＜t＜7二．填空题8．（2021春•安丘市期末）在平面直角坐标系xOy中，Rt△AOB的直角顶点B在y轴上，点A的坐标为（1，），将Rt△AOB沿直线y＝﹣x翻折，得到Rt△A'OB'，过A'作A'C垂直于OA′交y轴于点C，则点C 的坐标为．9．（2021春•东台市月考）如图1，在平面直角坐标系中，将▱ABCD放置在第一象限，且AB∥x轴．直线y＝﹣x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，那么ABCD面积为．10．（2021•广东模拟）如图，已知一条直线经过点A（﹣1，0），B（0，﹣2），将这条直线向右平移与x 轴、y轴分别交于点C、D，若AB＝AD，则直线CD的函数表达式为．11．（2020春•黄陂区期末）将直线y＝2x﹣3沿y轴向上平移2个单位后，所得直线的解析式是．12．（2018秋•福田区校级期中）如图，过点A1（1，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B1；点A2与点O关于直线A1B1对称；过点A2（2，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B2；点A3与点O关于直线A2B2对称；过点A3（4，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B3；…，按此规律作下去，则点B n的坐标为．13．（2017秋•碑林区校级期末）如图，一次函数y＝，的图象向下平移2个单位后得直线l，直线l交x轴于点A、交y轴于点B，在线段AB上有一动点P（不与点A、B重合），过点P分别作PE⊥x 轴点E，PF⊥y轴于点F，当线段EF的长最小时，点P的坐标为．14．（2018春•丰南区期末）如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则将直线l向右平移3个单位长度后所得直线l′的函数解析式为．15．（2019春•西湖区校级期中）在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（4，0），B（6，2），直线y＝4x+1以每秒2个单位的速度向下平移，经过秒该直线可将平行四边形OABC的面积平分．16．（2019•天津二模）将函数y＝3x+1的图象平移，使它经过点（1，1），则平移后的函数表达式是．17．（2019春•常州期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点B（6，2），C（4，0），直线y＝2x+1以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过秒该直线可将平行四边形OABC分成面积相等的两部分．三．解答题18．（2021春•古丈县期末）如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象．（1）求出这个一次函数的解析式；（2）将该函数的图象向下平移5个单位，求出平移后一次函数的解析式，并写出平移后的图象与x轴的交点坐标．19．（2021春•武汉月考）已知，在平面直角坐标系中，函数y1＝2|x﹣a|，（1）若该函数经过点A（1，0），求该函数的解析式，并在图1中画出函数图象；（2）在（1）的条件下，将函数y2＝x向上平移m个单位后与函数y1的图象相交于点B和C点，若BC ＝，求m；（3）如图2，设直线y3＝6n与直线y4＝2n分别与函数y1＝2|x﹣a|相交于点E、F和M、N，点P为直线y3＝6n上一点，连接PM、PN并延长交直线y5＝kn于点G、H，若2EF＝3GH，求k．20．（2021春•河北区期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形ABCD在第一象限内，AB∥x 轴，点A的坐标为（5，4）经过点O、点C作直线l，将直线l沿y轴上下平移．（1）当直线l与正方形ABCD只有一个公共点时，求直线l的解析式；（2）当直线l在平移过程中恰好平分正方形ABCD的面积时，直线l分别与x轴、y轴相交于点E、点F，连接BE、BF，求△BEF的面积．21．（2019秋•罗湖区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x与直线l2：y＝kx+b相交于点A，点A的横坐标为3，直线l2交y轴于点B，且OA＝OB．（1）试求直线l2的函数表达式；（2）若将直线l1沿着x轴向左平移3个单位，交y轴于点C，交直线l2于点D．试求△BCD的面积．22．（2018秋•宿迁期末）如图，一次函数y＝（m+1）x+4的图象与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，且△OAB面积为4．（1）则m＝，点A的坐标为（，）．（2）过点B作直线BP与x轴的正半轴相交于点P，且OP＝4OA，求直线BP的解析式；（3）将一次函数y＝（m+1）x+4的图象绕点B顺时针旋转45°，求旋转后的对应的函数表达式．23．（2019•大渡口区模拟）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD在第一象限内，AD∥y轴，点A的坐标为（5，3），已知直线l：y＝x﹣2．（1）将直线l向上平移m个单位，使平移后的直线恰好经过点A，求m的值；（2）在（1）的条件下，平移后的直线与正方形的边长BC交于点E，求△ABE的面积．24．（2018春•沙坪坝区校级期末）如图：一次函数y＝x+2交y轴于A，交y＝3x﹣6于B，y＝3x﹣6交x轴于C，直线BC顺时针旋转45°得到直线CD．（1）求点B的坐标；（2）求四边形ABCO的面积；（3）求直线CD的解析式．25．（2017春•武昌区期末）已知一次函数y＝kx+b的图象过点A（﹣4，﹣2）和点B（2，4）（1）求直线AB的解析式；（2）将直线AB平移，使其经过原点O，则线段AB扫过的面积为．26．（2017春•安岳县期中）已知直线y＝（m+1）x|m|﹣1+（2m﹣1），当x1＞x2时，y1＞y2，求该直线的解析式．并求该直线经过怎么的上下平移就能过点（2，5）？27．（2016春•大兴区期末）阅读材料：通过一次函数的学习，小明知道：当已知直线上两个点的坐标时，可以用待定系数法，求出这个一次函数的表达式．有这样一个问题：直线l1的表达式为y＝﹣2x+4，若直线l2与直线l1关于y轴对称，求直线l2的表达式．下面是小明的解题思路，请补充完整．第一步：求出直线l1与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标；第二步：在平面直角坐标系中，作出直线l1；第三步：求点A关于y轴的对称点C的坐标；第四步：由点B，点C的坐标，利用待定系数法，即可求出直线l2的表达式．小明求出的直线l2的表达式是．请你参考小明的解题思路，继续解决下面的问题：（1）若直线l3与直线l1关于直线y＝x对称，则直线l3的表达式是；（2）若点M（m，3）在直线l1上，将直线l1绕点M顺时针旋转90°．得到直线l4，求直线l4的表达式．28．（2016•河北模拟）如图，直线l1在平面直角坐标系中，直线l1与y轴交于点A，点B（﹣3，3）也在直线l1上，将点B先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，点C恰好也在直线l1上．（1）求点C的坐标和直线l1的解析式；（2）若将点C先向左平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到点D，请你判断点D是否在直线l1上；（3）已知直线l2：y＝x+b经过点B，与y轴交于点E，求△ABE的面积．29．（2015秋•栖霞区期末）课本P152有段文字：把函数y＝2x的图象分别沿y轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数y＝2x+3或y＝2x﹣3的图象．【阅读理解】小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数y＝﹣2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？老师给了以下提示：如图1，在函数y＝﹣2x的图象上任意取两个点A、B，分别向右平移3个单位长度，得到A′、B′，直线A′B′就是函数y＝﹣2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度后得到的图象．请你帮助小尧解决他的困难．（1）将函数y＝﹣2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为．A．y＝﹣2x+3；B．y＝﹣2x﹣3；C．y＝﹣2x+6；D．y＝﹣2x﹣6【解决问题】（2）已知一次函数的图象与直线y＝﹣2x关于x轴对称，求此一次函数的表达式．【拓展探究】（3）一次函数y＝﹣2x的图象绕点（2，3）逆时针方向旋转90°后得到的图象对应的函数表达式为．（直接写结果）专题09一次函数与几何变换一．选择题1．（2021春•大同期末）对于一次函数y＝﹣2x+4，下列结论正确的是（）A．函数的图象与y轴的交点坐标是（4，0）B．函数的图象不经过第三象限C．函数的图象向上平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象D．若A（x1，y1），B（x2，y2）两点在该函数图象上，且x1＜x2，则y1＜y2【思路引导】代入y＝0求出与之对应的x值，即可得出A不正确；根据一次函数的系数结合一次函数的性质，即可得知B选项正确、D选项不正确，根据平移的规律求得平移后的解析式，即可判断C不正确，此题得解．【完整解答】解：A、令y＝﹣2x+4中y＝0，则x＝2，∴一次函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0），故本选项不符合题意；B、∵k＝﹣2＜0，b＝4＞0，∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，即函数的图象不经过第三象限，故本选项符合题意；C、根据平移的规律，函数的图象向上平移4个单位长度得到的函数解析式为y＝﹣2x+4+4，即y＝﹣2x+8，故本选项不符合题意；D、∵k＝﹣2＜0，∴一次函数中y随x的增大而减小，∴若A（x1，y1），B（x2，y2）两点在该函数图象上，且x1＜x2，则y1＞y2，故本选项不符合题意．故选：B．【考察注意点】本题考查了一次函数的图象以及一次函数的性质，解题的关键是逐条分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题时，熟悉一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与系数的关系是解题的关键．2．（2021•扬州）如图，一次函数y＝x+的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（）A．+B．3C．2+D．+【思路引导】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．【完整解答】解：∵一次函数y＝x+的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，令x＝0，则y＝，令y＝0，则x＝﹣，则A（﹣，0），B（0，），则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO＝45°，∴AB＝＝2，过点C作CD⊥AB，垂足为D，∵∠CAD＝∠OAB＝45°，∴△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，∴AC＝＝x，由旋转的性质可知∠ABC＝30°，∴BC＝2CD＝2x，∴BD＝＝x，又BD＝AB+AD＝2+x，∴2+x＝x，解得：x＝+1，∴AC＝x＝（+1）＝，故选：A．【考察注意点】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．3．（2020秋•天桥区期末）如图1，将正方形ABCD置于平面直角坐标系中，其中AD边在x轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线l：y＝x﹣3沿x轴的负方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图2所示，则图2中b的值为（）A．5B．4C．3D．2【思路引导】先根据△AEF为等腰直角三角形，可得直线l与直线BD平行，即直线l沿x轴的负方向平移时，同时经过B，D两点，再根据BD的长即可得到b的值．【完整解答】解：如图1，连接BD并且两端延长，直线y＝x﹣3中，令y＝0，得x＝3；令x＝0，得y ＝﹣3，即直线y＝x﹣3与坐标轴围成的△OEF为等腰直角三角形，∴直线l与直线BD平行，即直线l沿x轴的负方向平移时，同时经过B，D两点，由图2可得，t＝2时，直线l经过点A，∴AO＝3﹣2×1＝1，∴A（1，0），由图2可得，t＝12时，直线l经过点C，∴当t＝+2＝7时，直线l经过B，D两点，∴AD＝（7﹣2）×1＝5，∴等腰Rt△ABD中，BD＝5，即当a＝7时，b＝5．故选：A．【考察注意点】本题考查了动点问题的函数图象，一次函数图象与几何变换，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．解决问题的关键是掌握正方形的性质以及平移的性质．4．（2020秋•碑林区校级期中）将直线y＝﹣3x沿着x轴向右平移2个单位，所得直线的表达式为（）A．y＝﹣3x+6B．y＝﹣3x﹣6C．y＝﹣3x+2D．y＝﹣3x﹣2【思路引导】根据平移性质可由已知的解析式写出新的解析式．【完整解答】解：根据题意，得直线向右平移2个单位，即对应点的纵坐标不变，横坐标减2，所以得到的解析式是y＝﹣3（x﹣2）＝﹣3x+6．故选：A．【考察注意点】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，解题时注意：y＝kx左右平移|a|个单位长度的时候，即直线解析式是y＝k（x±|a|）；当直线y＝kx上下平移|b|个单位长度的时候，则直线解析式是y ＝kx±|b|．5．（2020•碑林区校级模拟）若直线y＝kx+3与直线y＝2x+b关于直线x＝1对称，则k、b值分别为（）A．k＝2、b＝﹣3B．k＝﹣2、b＝﹣3C．k＝﹣2、b＝1D．k＝﹣2、b＝﹣1【思路引导】先求出一次函数y＝kx+3与y轴交点关于直线x＝1的对称点，得到b的值，再求出一次函数y＝2x+b与y轴交点关于直线x＝1的对称点，代入一次函数y＝kx+3，求出k的值即可．【完整解答】解：∵一次函数y＝kx+3与y轴交点为（0，3），∴点（0，3）关于直线x＝1的对称点为（2，3），代入直线y＝2x+b，可得4+b＝3，解得b＝﹣1，一次函数y＝2x﹣1与y轴交点为（0，﹣1），（0，﹣1）关于直线x＝1的对称点为（2，﹣1），代入直线y＝kx+3，可得2k+3＝﹣1，解得k＝﹣2．故选：D．【考察注意点】本题考查的是一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，先根据题意得出直线与坐标轴的交点是解决问题的关键．6．（2019•嘉祥县三模）在平面直角坐标系中，将直线y1：y＝2x﹣2平移后，得到直线y2：y＝2x+4，则下列平移作法正确的是（）A．将y1向上平移2个单位长度B．将y1向上平移4个单位长度C．将y1向左平移3个单位长度D．将y2向右平移6个单位长度【思路引导】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．【完整解答】解：∵将直线y1：y＝2x﹣2平移后，得到直线y2：y＝2x+4，∴2（x+a）﹣2＝2x+4，解得：a＝3，故将y1向左平移3个单位长度．故选：C．【考察注意点】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键．7．（2018春•雨花区校级月考）如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）．点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝﹣x+b也随之移动，设移动时间为t秒，当M、N位于直线l的异侧时，t应该满足的条件是（）A．3＜t＜6B．4＜t＜7C．3＜t＜7D．＜t＜7【思路引导】分别求出直线l经过点M、点N时的t值，即可得到t的取值范围．【完整解答】解：当直线y＝﹣x+b过点M（3，2）时，2＝﹣3+b，解得：b＝5，5＝1+t，解得t＝4．当直线y＝﹣x+b过点N（4，4）时，4＝﹣4+b，解得：b＝8，8＝1+t，解得t＝7．故若点M，N位于l的异侧，t的取值范围是：4＜t＜7．故选：B．【考察注意点】本题考查了坐标平面内一次函数的图象与性质，关键是利用一次函数图象上点的坐标特征解答．二．填空题8．（2021春•安丘市期末）在平面直角坐标系xOy中，Rt△AOB的直角顶点B在y轴上，点A的坐标为（1，），将Rt△AOB沿直线y＝﹣x翻折，得到Rt△A'OB'，过A'作A'C垂直于OA′交y轴于点C，则点C 的坐标为（0，﹣4）．【思路引导】依据轴对称的性质可得OB'＝OB＝，A′B′＝AB＝1，OA′＝OA＝2，进而通过证得△A′OB′∽△COA′，求得OC＝4，即可证得C的坐标为（0，﹣4）．【完整解答】解：∵点A的坐标为（1，），∴AB＝1，OB＝，∴OA＝＝＝2，∵将Rt△AOB沿直线y＝﹣x翻折，得到Rt△A'OB'，∴OB'＝OB＝，A′B′＝AB＝1，OA′＝OA＝2，∴A'（﹣，﹣1），∵过A'作A'C垂直于OA'交y轴于点C，∴∠A′OC+∠A′CO＝90°，∵∠A′OB′+∠A′OC＝90°，∴∠A′CO＝∠A′OB′，∵∠A′B′O＝∠OA′C＝90°，∴△A′OB′∽△OCA′，∴＝，即＝，∴OC＝4，∴C（0，﹣4），故答案是：（0，﹣4）．【考察注意点】本题考查了轴对称的性质，正比例函数的性质，求得对称点的坐标是解题的关键．9．（2021春•东台市月考）如图1，在平面直角坐标系中，将▱ABCD放置在第一象限，且AB∥x轴．直线y＝﹣x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，那么ABCD面积为8．【思路引导】通过图象中（4，0），（7，2），（8，2）可得直线运动到A，D，B三点时所移动距离，从而求出AB长度，再通过添加辅助线构造直角三角形求出平行四边形的高而求解．【完整解答】解：由图象可知，直线经过A时移动距离为4，经过D时移动距离为7，经过B时移动距离为8，∴AB＝8﹣4＝4．如图，当直线经过点D时，交AB于点E，作DF垂直于AB于点F，由图2可知DE＝2，∵直线与AB夹角为45°，∴DF＝EF＝2，∴ABCD面积为AB•DF＝4×2＝8．故答案为：8．【考察注意点】本题考查一次函数图象与图形结合问题，解题关键是掌握k＝﹣1时直线与x轴所夹锐角为45°．10．（2021•广东模拟）如图，已知一条直线经过点A（﹣1，0），B（0，﹣2），将这条直线向右平移与x 轴、y轴分别交于点C、D，若AB＝AD，则直线CD的函数表达式为y＝﹣2x+2．【思路引导】先求出直线AB的解析式，再根据平移的性质求直线CD的解析式．【完整解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵点A（﹣1，0）点B（0，﹣2）在直线AB上，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣2，∵AB＝AD，AO⊥BD，∴OD＝OB，∴D（0，2），∴直线CD的函数解析式为：y＝﹣2x+2，故答案为：y＝﹣2x+2．【考察注意点】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．11．（2020春•黄陂区期末）将直线y＝2x﹣3沿y轴向上平移2个单位后，所得直线的解析式是y＝2x﹣1．【思路引导】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【完整解答】解：由“上加下减”的原则可知，直线y＝2x﹣3沿y轴向上平移2个单位，所得直线的函数关系式为y＝2x﹣3+2，即y＝2x﹣1；故答案为y＝2x﹣1．【考察注意点】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．12．（2018秋•福田区校级期中）如图，过点A1（1，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B1；点A2与点O关于直线A1B1对称；过点A2（2，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B2；点A3与点O关于直线A2B2对称；过点A3（4，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B3；…，按此规律作下去，则点B n的坐标为（2n﹣1，2n）．【思路引导】先根据题意求出A2点的坐标，再根据A2点的坐标求出B2的坐标，以此类推总结规律便可求出点B n的坐标．【完整解答】解：∵点A1坐标为（1，0），∴OA1＝1，过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，可知B1点的坐标为（1，2），∵点A2与点O关于直线A1B1对称，∴OA1＝A1A2＝1，∴OA2＝1+1＝2，∴点A2的坐标为（2，0），B2的坐标为（2，4），∵点A3与点O关于直线A2B2对称．故点A3的坐标为（4，0），B3的坐标为（4，8），依此类推便可求出点A n的坐标为（2n﹣1，0），点B n的坐标为（2n﹣1，2n）．故答案为：（2n﹣1，2n）．【考察注意点】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了轴对称的性质．13．（2017秋•碑林区校级期末）如图，一次函数y＝，的图象向下平移2个单位后得直线l，直线l交x轴于点A、交y轴于点B，在线段AB上有一动点P（不与点A、B重合），过点P分别作PE⊥x轴点E，PF⊥y轴于点F，当线段EF的长最小时，点P的坐标为（﹣，）．【思路引导】利用勾股定理和一次函数图象上点的坐标特征，列出二次函数关系式，结合二次函数最值的求法解答．【完整解答】解：由已知条件得到直线l解析式为：y＝﹣2，即y＝，设P（a，），所以EF2＝a2+（）2＝a2+a+．当EF取最小值时，a＝﹣＝﹣，此时，＝，即P（﹣，），故答案是：（﹣，）．【考察注意点】考查了一次函数图象与几何变换，解题时，利用了二次函数最值的求法，熟记二次函数顶点坐标公式是解题的关键．14．（2018春•丰南区期末）如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则将直线l向右平移3个单位长度后所得直线l′的函数解析式为y＝x﹣．【思路引导】设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过点A作AB⊥y轴于点B，过点A作AC⊥x 轴于点C，易知OB＝3，利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标，再利用待定系数法可求出该直线l的解析式，再根据平移规律即可得到直线l′的函数解析式．【完整解答】解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，过A作AC⊥OC于C，∵正方形的边长为1，∴OB＝3，∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，∴两边分别是4，∴三角形ABO面积是5，∴OB•AB＝5，∴AB＝，∴OC＝，由此可知直线l经过（，3），设直线l为y＝kx，则3＝k，k＝，∴直线l解析式为y＝x，∴直线l向右平移3个单位长度后所得直线l′的函数解析式为y＝（x﹣3），即y＝x﹣，故答案为：y＝x﹣．【考察注意点】此题考查了面积相等问题、用待定系数法求一次函数的解析式以及正方形的性质，解题的关键是作AB⊥y轴，作AC⊥x轴，根据题意即得到：直角三角形ABO，利用三角形的面积公式求出AB的长．15．（2019春•西湖区校级期中）在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（4，0），B（6，2），直线y＝4x+1以每秒2个单位的速度向下平移，经过6秒该直线可将平行四边形OABC的面积平分．【思路引导】首先连接AC、BO，交于点D，当y＝4x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分，然后计算出过D且平行直线y＝4x+1的直线解析式，从而可得直线y＝4x+1要向下平移，进而可得答案．【完整解答】解：连接AC、BO，交于点D，当y＝4x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分；∵四边形AOCB是平行四边形，∴BD＝OD，∵B（6，2），点C（4，0），∴D（3，1），设DE的解析式为y＝kx+b，∵平行于y＝4x+1，∴k＝4，∵过D（3，1），∴DE的解析式为y＝4x﹣11，∴直线y＝4x+1要向下平移12个单位，∴时间为6秒，故答案为：6【考察注意点】此题主要考查了平行四边形的性质，以及一次函数，关键是正确掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积．16．（2019•天津二模）将函数y＝3x+1的图象平移，使它经过点（1，1），则平移后的函数表达式是y＝3x﹣2．【思路引导】根据函数图象平移的性质得出k的值，设出相应的函数解析式，再把经过的点代入即可得出答案．【完整解答】解：新直线是由一次函数y＝3x+1的图象平移得到的，∴新直线的k＝3，可设新直线的解析式为：y＝3x+b．∵经过点（1，1），则1×3+b＝1，解得b＝﹣2，∴平移后图象函数的解析式为y＝3x﹣2；故答案为：y＝3x﹣2．【考察注意点】此题考查了一次函数图形与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k和b的值的变化．17．（2019春•常州期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点B（6，2），C（4，0），直线y＝2x+1以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过6秒该直线可将平行四边形OABC分成面积相等的两部分．【思路引导】首先连接AC、BO，交于点D，当y＝2x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分，然后计算出过D且平行直线y＝2x+1的直线解析式，从而可得直线y＝2x+1要向下平移6个单位，进而可得答案．【完整解答】解：连接AC、BO，交于点D，当y＝2x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分；∵四边形AOCB是平行四边形，∴BD＝OD，∵B（6，2），点C（4，0），∴D（3，1），设DE的解析式为y＝kx+b，∵平行于y＝2x+1，∴k＝2，∵过D（3，1），∴DE的解析式为y＝2x﹣5，∴直线y＝2x+1要向下平移6个单位，∴时间为6秒，故答案为：6．【考察注意点】此题主要考查了平行四边形的性质，以及一次函数，关键是正确掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积．三．解答题18．（2021春•古丈县期末）如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象．（1）求出这个一次函数的解析式；（2）将该函数的图象向下平移5个单位，求出平移后一次函数的解析式，并写出平移后的图象与x轴的交点坐标．【思路引导】（1）利用待定系数法确定该一次函数的解析式；（2）根据平移规律“上加下减”写出平移后一次函数解析式，然后根据一次函数图象上点的坐标特征求直线与x轴的交点坐标．【完整解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣2，0）和点（2，2），∴．解得k＝，b＝1．∴一次函数的解析式为：y＝x+1；（2）∵一次函数y＝x+1向下平移5个单位的解析式为y＝x+1﹣5＝x﹣4，即y＝x﹣4．∴当y＝0时，x＝8，∴平移后的图象与x轴的交点坐标为（8，0）．【考察注意点】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的性质是解答此题的关键．19．（2021春•武汉月考）已知，在平面直角坐标系中，函数y1＝2|x﹣a|，（1）若该函数经过点A（1，0），求该函数的解析式，并在图1中画出函数图象；（2）在（1）的条件下，将函数y2＝x向上平移m个单位后与函数y1的图象相交于点B和C点，若BC＝，求m；（3）如图2，设直线y3＝6n与直线y4＝2n分别与函数y1＝2|x﹣a|相交于点E、F和M、N，点P为直线y3＝6n上一点，连接PM、PN并延长交直线y5＝kn于点G、H，若2EF＝3GH，求k．【思路引导】（1）把点A坐标代入函数，求出a，得到函数y1的解析式，画出图象；（2）设出函数y2的解析式，得到B、C的坐标，根据BC＝列出方程，求m的值；（3）由三角形相似得出MN和GH的比例，求出k的值．【完整解答】解：（1）把点A（1，0）代入y1＝2|x﹣a|，得：2|1﹣a|＝0，解得：a＝1，∴y1＝2|x﹣1|，图象如右所示．（2）由题意得y2＝x+m（m＞0），x≤1时，y1＝﹣2x+2，x＞1时，y1＝2x﹣2，由，解得：，∴B（，），由，解得：，∴C（m+2，2m+2），∵BC＝，∴（m+2﹣）2+（2m+2﹣）2＝128，解得：m1＝5，m2＝﹣7（舍），∴m＝5．（3）∵直线y3＝6n与直线y4＝2n间的距离为4n，直线y4＝2n与x轴间的距离为2n，∴EF＝3MN，∵2EF＝3GH，∴MN：GH＝1：2，∴MN是△PGH的中位线，∴y3＝6n与y4＝2n间的距离和y3＝6n与y5＝kn间的距离相等，∴k＝﹣2．【考察注意点】本题考查了分段函数图象和函数图象变换，画图的关键顺序是“列表﹣描点﹣连线”，需要注意的是连线的时候要用平滑的曲线连接．20．（2021春•河北区期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形ABCD在第一象限内，AB∥x 轴，点A的坐标为（5，4）经过点O、点C作直线l，将直线l沿y轴上下平移．（1）当直线l与正方形ABCD只有一个公共点时，求直线l的解析式；（2）当直线l在平移过程中恰好平分正方形ABCD的面积时，直线l分别与x轴、y轴相交于点E、点F，连接BE、BF，求△BEF的面积．【思路引导】（1）根据题意求得正方形各顶点的坐标，然后根据待定系数法求得直线l的解析式，直线平移，斜率不变，设平移后的直线方程为y＝x+b；把点B和D的坐标代入进行解答即可；（2）根据正方形是中心对称图形，当直线l经过对角线的交点时，恰好平分正方形ABCD的面积，求得交点坐标，代入y＝x+b，根据待定系数法即可求得直线l此时的解析式，然后求得E、F的坐标，根据待定系数法求得直线BE的解析式，得到与y轴的交点Q的坐标，根据三角形面积公式即可求得．【完整解答】解：（1）∵长为3的正方形ABCD中，点A的坐标为（5，4），∴B（2，4），C（2，1），D（5，1），设直线l的解析式为y＝kx，把C（2，1）代入得，1＝2k，解得k＝，∴直线l为y＝，设平移后的直线方程为y＝x+b，。

专题14 一次函数中的动态问题训练（时间：60分钟总分：120）班级姓名得分一、解答题1．如图1所示，直线l：y=k（x﹣1）（k＞0）与x轴正半轴，y轴负半轴分别交于A，B两点．（1）当OA=OB时，求点A坐标及直线l的函数表达式；（2）在（1）的条件下，如图2所示，设C为线段AB延长线上一点，作直线OC，过AB两点分别作AD⊥OC于点D．BE⊥OC于点E．若AD=2，求BE的长；（3）如图3所示，当k取不同的值时，点B在y轴负半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第三象限．第四象限内分别作等腰直角⊥OBG和等腰直角⊥ABF，连接FG交y轴于点H．⊥连接AH，直接写出⊥ABH的面积是；⊥动点F始终在一条直线上运动，则该直线的函数表达式是．【答案】（1）点A的坐标为（1，0）；直线l的函数表达式为y=x﹣1；（2）12；（3）①14；①y=-x－1【分析】（1）分别表示出点A和点B的坐标，然后根据OA=OB即可求出k的值，从而求出结论；（2）利用勾股定理即可求出OD，利用AAS证出①OBE①①AOD，根据全等三角形的性质即可求出结论；（3）①过点F作FE①y轴于E，利用AAS证出①OAB①①EBF，可得BE=OA=1，EF=OB，然后利用AAS证出①FEH①①GBH，即可求出BH，从而求出结论；①用含k的式子表示出点F的坐标，从而得出结论．【详解】解：（1）当x=0时，解得y=-k；当y=0时，解得x=1①点B的坐标为（0，-k），点A的坐标为（1，0）①OA=1，OB=k①OA=OB①k=1①直线l的函数表达式为y=x﹣1；（2）在Rt①OAD中，AD OA=112=①①OEB=①ADO=①AOB=90°①①BOE＋①OBE=90°，①BOE＋①AOD=90°①①OBE=①AOD①OB=OA①①OBE①①AOD①BE=OD=12；（3）①过点F作FE①y轴于E，①①ABF和①OBG都是等腰直角三角形①AB=BF，OB=OG，①ABF=①OBG=90°，①①AOB=①BEF=90°①①OAB＋①OBA=90°，①EBF＋①OBA=90°①①OAB=①EBF①①OAB①①EBF①BE=OA=1，EF=OB①EF=BG①①FEH=①GBH=90°，①EHF=①BHG①①FEH①①GBH①BH=EH=12BE=12①①ABH的面积是12BH·OA=14；①①点B的坐标为（0，-k），点A的坐标为（1，0），OA=1，OB=k①EF=OB=k，OE=OB＋BE=k＋1①点F的坐标为（k，-k－1），令x=k，y=-k－1则y=-x－1①点F始终在一条直线上运动，则该直线的函数表达式是y=-x－1．【点睛】此题考查的是一次函数与几何图形的综合大题，掌握求一次函数与坐标轴的交点坐标、全等三角形的判定及性质和等腰直角三角形的性质是解题关键．2．如图1，直线y＝2x+b过点A（﹣1，﹣4）和B（m，8），它与y轴交于点G，点P是线段AB上的一个动点．（1）求出b的值，并直接写出m＝，点G的坐标为；（2）点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y＝﹣12x﹣52上，求点P的坐标；（3）过点P作y轴的平行线PE，过点G作x轴的平行线GE，它们相交于点E．⊥如图2，将⊥PGE沿直线PG翻折，当点E的对应点E′落在x轴上时，求点P的坐标；⊥在点P从A运动到点B的过程中，点E′也随之运动，直接写出点E′的运动路径长为．【答案】（1）b=-2，m=5，G（0，-2）；（2）1833⎛⎫- ⎪⎝⎭，-或()34，；（3）①5,32⎛⎫⎪⎝⎭；①6．【分析】（1）把点A（﹣1，﹣4）代入直线y＝2x+b即可求出b=-2，再把点B（m，8）代入y=2x-2即可求出m，把x=0,代入解析式即可求出点G坐标；（2）设点P坐标为（p，2p-2），分点P与Q关于y轴对称，点P与Q关于x轴对称两种情况分别表示出点Q坐标，代入直线入y＝﹣12x﹣52求出p，即可分别求出点P坐标；（3））①设直线AB与x轴交于点M，根据对称与平行的性质证明E'M=E'G，设GE=GE'= E'M=m，根据勾股定理构造方程，求出m，即可求出点P坐标；①根据点E的位置求出点E的运动路径为6，根据对称的性质即可确定点E′的运动路径长也为6．【详解】解：（1）把点A（﹣1，﹣4）代入直线y＝2x+b得-2+b=-4，解得b=-2，所以直线解析式为y=2x-2，把点B（m，8）代入y=2x-2得2m-2=8，解得m=5，令x=0，则y=-2，①点G 坐标为（0，-2）故答案为：b=-2，m=5，G （（0，-2））； （2）①点P 在直线AB 上， ①设点P 坐标为（p ，2p -2）．当点P 与Q 关于y 轴对称时，则点Q 坐标为（-p ，2p -2），代入y ＝﹣12x ﹣52得 152222p p -=-， 解得 13p =-，此时2p -2=83-，①P 1坐标为1833⎛⎫- ⎪⎝⎭，-，当点P 与Q 关于x 轴对称时，则点Q 坐标为（p ，-2p+2），代入y ＝﹣12x ﹣52得 152222p p --=-+， 解得 3p =， 则2p -2=4， ①P 2坐标为()3，4，①点P 的坐标为1833⎛⎫- ⎪⎝⎭，-或()3，4； （3）①如图2，设直线AB 与x 轴交于点M ， 则2x -2=0， ①x=1，①点M 坐标为（1,0）， ①GE①x 轴， ①①EGM=①E'MG ，①①PGE 沿直线PG 翻折得到①①PGE ' ①①EGM=①E'GM ， ①①E'MG=①E'GM ，①E'M=E'G ， 设GE=GE'= E'M=m ，在Rt①GE'O 中，()22221m m =+-，解得 52m =， ①点P 横坐标为52把x=52代入y=2x -2得y=3， ①点P 坐标为5,32⎛⎫⎪⎝⎭；①由题意得，当点P 位于点A 时，点E 的横坐标为-1，当点P 运动点B 时，点E 横坐标为5，①P 从A 运动到点B 的过程中,点E 的运动路径长为6， ①点E ′与点E 关于直线AB 对称，①P 从A 运动到点B 的过程中,点E ′的运动路径长也为6． 故答案为为：6 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，综合性较强，理解函数图象上点的特点，轴对称的性质等腰三角形的判定，勾股定理等知识是解题关键．3．如图，已知一次函数y=﹣54x+8的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，与一次函数y=34x的图象相交于点C．（1）求点C坐标．（2）若点Q在直线AB上，且⊥OCQ的面积等于12，请求出点Q的坐标．（3）小明在探究中发现：若P为x轴上一动点，将线段PC绕点P按顺时针方向旋转90°得线段PC'，在点P的运动过程中，点C′始终在某一直线上运动．请直接写出该直线所对应的函数关系式：．【答案】（1）点C的坐标为（4，3）；（2）Q点的坐标为（1，274）或（7，﹣34）；（3）y=x﹣7．【分析】（1）解析式联立，解方程组即可求得C的坐标；（2）求得A、B点的坐标，分两种情况讨论求得即可；（3）设P的坐标为（m，0），作CM①x轴于M，C′N①x轴于N，通过证得①PCM①①C′PN （AAS），求得C′（3+m，m-4），即可得出结论．【详解】（1）由方程组58434y xy x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得43xy=⎧⎨=⎩，①点C的坐标为（4，3）；（2）①一次函数584y x=-+的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，①A（325，0），B（0，8），①点Q在直线AB上，①设Q（x，584x-+），当Q点在C的上方时，S①OCQ=S①OBC﹣S①OBQ=12，①12×8×4﹣182x⨯⋅=12，解得，x=1，①此时Q的坐标为（1，274）；当Q点在线段AC上时，S①OAC=12×325×3=9.6<12，不存在，舍去；当Q点在A的下方时，S①OCQ=S①OAC+S①OAQ=12，①12×325×3+1325(8)254x⨯-=12，解得，x=7，①此时Q的坐标为（7，﹣34），故Q点的坐标为（1，274）或（7，﹣34）；（3）设P的坐标为（m，0），作CM①x轴于M，C′N①x轴于N，①C（4，3），①OM=4，CM=3，①PM=4m﹣，①①CPM+①C′PN=90°=①CPM+①PCM，①①C′PN=①PCM，在①PCM和①C′PN中，PMC C NPP C PN PCW PC PC ∠=∠⎧⎪∠=='∠'⎨'⎪⎩， ①①PCM①①C′PN （AAS ）， ①PN=CM=3，C′N=PM=4﹣m ， ①ON=3+m ， ①C′（3+m ，m ﹣4），①点C′始终在直线上y=x ﹣7运动， 故答案为：y=x ﹣7． 【点睛】本题考查了两条直线相交问题，一次函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，解题的关键：（1）解由解析式联立构成的方程组；（2）分类讨论；（3）表示出C′的坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，A （0，4）、B （6，0）为坐标轴上的点，点C 为线段AB 的中点，过点C 作DC ⊥x 轴，垂足为D ，点E 为y 轴负半轴上一点，连结CE 交x 轴于点F ，且CF ＝FE ．（1）直接写出E 点的坐标；（2）过点B 作BG ⊥CE ，交y 轴于点G ，交直线CD 于点H ，求四边形ECBG 的面积； （3）直线CD 上是否存在点Q 使得⊥ABQ ＝45°，若存在，请求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）E （0，﹣2）；（2）27；（3）存在，点Q 的坐标为（3，15）或（3，﹣35）． 【分析】（1）证明①CDF①①EOF（AAS），由全等三角形的性质得出CD＝OE，由中位线定理求出CD＝2，则可得出答案；（2）过出直线CE的解析式，可求出直线BG的解析式，则求出AG＝12，由S四边形ECBG＝S①ABG ﹣S①ACE可求出答案；（3）分点Q在x轴的上方或点Q在x轴下方两种情况画出图形，由等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质可求出答案．【详解】解：（1）①CD①x轴，①①CDF＝90°＝①EOF，又①①CFD＝①EFO，CF＝EF，①①CDF①①EOF（AAS），①CD＝OE，又①A（0，4），B（6，0），①OA＝4，OB＝6，①点C为AB的中点，CD①y轴，①CD12=OA＝2，①OE＝2，①E（0，﹣2）；（2）设直线CE的解析式为y＝kx+b，①C为AB的中点，A（0，4），B（6，0），①C（3，2），①322k bb+=⎧⎨=-⎩，解得432 kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，①直线CE的解析式为y43=x﹣2，①BG①CE，①设直线BG的解析式为y43=x+m，①43⨯6+m ＝0， ①m ＝﹣8，①G 点的坐标为（0，﹣8），①AG ＝12，①S 四边形ECBG ＝S ①ABG ﹣S ①ACE1122AG OB =⨯⨯-⨯AE ×OD 1112622=⨯⨯-⨯6×3 ＝27．（3）直线CD 上存在点Q 使得①ABQ ＝45°，分两种情况：如图1，当点Q 在x 轴的上方时，①ABQ ＝45°，过点A 作AM ①AB ，交BQ 于点M ，过点M 作MH ①y 轴于点H ，则①ABM 为等腰直角三角形，①AM ＝AB ，①①HAM +①OAB ＝①OAB +①ABO ＝90°，①①HAM ＝①ABO ，①①AHM ＝①AOB ＝90°，①①AMH ①①BAO （AAS ），①MH ＝AO ＝4，AH ＝BO ＝6，①OH＝AH+OA＝6+4＝10，①M（4，10），①B（6，0），①直线BM的解析式为y＝﹣5x+30，①C（3，2），CD①y轴，①C点的横坐标为3，①y＝﹣5×3+30＝15，①Q（3，15）．如图2，当点Q在x轴下方时，①ABQ＝45°，过点A作AN①AB，交BQ于点N，过点N作NG①y轴于点G，同理可得①ANG①①BAO，①NG＝AO＝4，AG＝OB＝6，①N（﹣4，﹣2），①直线BN的解析式为y15=x65-，①Q（3，35 -）．综上所述，点Q的坐标为（3，15）或（3，35 -）．【点睛】本题是综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，一次函数解析式的求法，四边形的面积，坐标与图形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．5．如图⊥，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．OA、OB的长度分别为m和n，且满足m2+n2＝2mn．（1）判断⊥AOB的形状．（2）如图⊥，正比例函数y＝kx（k＜0）的图象与直线AB交于点Q，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM＝13，MN＝6，求BN的长．（3）如图⊥，E为线段AB上一动点，以AE为斜边作等腰直角⊥ADE，P为BE的中点，连接PD、PO．试问：线段PD、PO是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明．【答案】（1）①AOB是等腰直角三角形，理由見解析；（2）BN＝7；（3）PO＝PD，PO①PD 【分析】（1）把m2+n2＝2mn变形后，因式分解，得到m=n即可判断；（2）证①MAO①①NOB，利用线段和差可求；（3）延长DP到点C，使PC＝DP，连接CB、OD、OC，证①DOC为等腰直角三角形，根据三线合一可得结论．【详解】解：（1）①AOB是等腰直角三角形，理由：①m2+n2＝2mn，①m2+n2﹣2mn＝0，①（m﹣n）2＝0，①m＝n，即OA＝OB，①①AOB＝90°，①①AOB为等腰直角三角形；（2）①AM①ON，BN①ON，①①AMO＝①BNO＝90°，①①MOA +①MAO ＝90°，①①MOA +①NOB ＝90°，①①MAO ＝①NOB ，在①MAO 和①NOB 中，MAO NOB AMO ONB OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①MAO ①①NOB （AAS ），①OM ＝BN ，AM ＝ON ＝13，①MN ＝ON ﹣OM ，MN ＝6，①6＝13﹣OM ，①OM ＝7，①BN ＝7；（3）PO ＝PD 且PO ①PD ，如图3，延长DP 到点C ，使PC ＝DP ，连接CB 、OD 、OC ，在①DEP 和①CBP ，PD PC DPE CPB PE PB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①DEP ①①CBP （SAS ），①CB ＝DE ＝DA ，①DEP ＝①CBP ＝135°，则①CBO ＝①CBP ﹣①ABO ＝135°﹣45°＝90°，又①①BAO ＝45°，①DAE ＝45°，①①DAO ＝90°，在①OAD 和①OBC ，DA CB DAO CBO OA OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①OAD ①①OBC （SAS ），①OD ＝OC ，①AOD ＝①COB ，①①DOC ＝①AOB ＝90°，①①DOC 为等腰直角三角形，①PC ＝DP ，①PO=PD ，PO ①PD ．【点睛】本题考查了一次函数和全等三角形的综合，解题关键是恰当的作辅助线，通过全等求线段长或线段的关系．6．如图1，已知直线l 1：y ＝kx ＋b 与直线l 2：y ＝43x 交于点M ，直线l 1与坐标轴分别交于A ，C 两点，且点A 坐标为（0，7），点C 坐标为（7，0）．（1）求直线l 1的函数表达式；（2）在直线l 2上是否存在点D ，使⊥ADM 的面积等于⊥AOM 面积的2倍，若存在，请求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点P 是线段OM 上的一动点（不与端点重合），过点P 作PB⊥x 轴交CM 于点B ，设点P 的纵坐标为m ，以点P 为直角顶点作等腰直角⊥PBF （点F 在直线PB 下方），设⊥PBF 与⊥MOC 重叠部分的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出相应m 的取值范围．【答案】（1）y ＝﹣x ＋7；（2）存在，D （9，12）或（﹣3，﹣4）；（3）当0＜m ＜2811时，2974S m m =-+；当2811≤m ＜4时，24949493242S m m =-+【分析】（1）将点A，C坐标代入直线y＝kx＋b中，求解，即可得出结论；（2）先求出点M的坐标，再分点D在射线OM和射线MO上，利用面积的关系求出OD，即可得出结论；（3）先表示出PF＝PB＝7﹣74m，再分两种情况，利用面积公式，即可得出结论．【详解】解：（1）①直线l1：y＝kx＋b与坐标轴分别交于A（0，7），C（7，0），①770bk b=⎧⎨+=⎩，解得71bk=⎧⎨=-⎩，①直线l1的函数表达式为：y＝﹣x＋7；（2）联立方程组743y xy x=-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得，34xy=⎧⎨=⎩，①M（3，4），如图1，过点M作ME①x轴于E，①OE＝3，ME＝4，根据勾股定理得，OM＝5，设D（3n，4n），①当点D在射线OM上时，①ADM的面积等于①AOM面积的2倍，①DM＝2OM＝10，①OD＝15，①（3n）2＋（4n）2＝152，①n＝3或n＝﹣3，由于点D在第一象限内，①n＝3，①D（9，12）；①当点D在射线MO上时，①ADM的面积等于①AOM面积的2倍，①DM＝2OM，①OM＝OD＝5，①（3n）2＋（4n）2＝52，①n＝1或n＝﹣1，由于点D在第三象限内，①n＝﹣1，①D（﹣3，﹣4），即点D（9，12）或（﹣3，﹣4）；（3）①点P的纵坐标为m，①P（34m，m），①PB①x轴，①B（7﹣m，m），①PB＝7﹣m﹣34m＝7﹣74m，①以点P为直角顶点作等腰直角①PBF，①PF＝PB＝7﹣74 m，当7﹣74m＝m时，m＝2811；①当0＜m＜2811时，如图2，记PF与x轴相交于G，BF与x轴相交于H，①PG＝m，FG＝PF﹣PG＝7﹣74m﹣m＝7﹣114m，①①PBF是等腰直角三角形，①①F＝①PBF＝45°，①PB①x轴，①①GHF＝45°＝①F，①FG＝HG，①S＝S①PBF﹣S①FGH＝12PB2﹣12FG2＝12[（7﹣74m）2﹣（7﹣114m）2]＝﹣94m2＋7m；①当2811≤m＜4时，如图3，S＝S①PBF＝12PB2＝12（7﹣74m）2＝4932m2﹣494m＋492【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，等腰直角三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．7．如图，已知直线:l y kx b =+与x 轴交于A （-3，0）、与y 轴交于B 点，且经过（1，8），在y 轴上有一点C （0，3），动点D 从点A 以每秒1个单位的速度沿x 轴向右移动，设动点D 的移动时间为t 秒．（1）求k 、b 的值；（2）当t 为何值时⊥COD⊥⊥AOB ，并求此时点D 的坐标；（3）求⊥COD 的面积S 与动点D 的移动时间t 之间的函数关系式．【答案】（1）k=2，b=6；（2）t=9，D 点坐标为（6,0）；（3）93(03)22.39(3)22t t S t t ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩ 【分析】（1）用待定系数法求解析式即可；（2）求出B 点坐标，根据OB=OD ，求出t 值及D 点坐标；（3）当D 点在原点左侧和右侧分类讨论，根据OC=3，高为OD 长，求面积即可．【详解】解：(1)把(3,0),(1.8)-代入y kx b =+得，308k b k b -+=⎧⎨+=⎩， 解得，26k b =⎧⎨=⎩，（2）由（1）得，直线AB 解析式为：26y x =+，当x=0时，y=6，B 点坐标为（0，6），①OB=6，当OD=OB=6时，①COD①①AOB ，AD=OA+OB=9,①t=9，此时D 点坐标为（6,0）；（3）①C 点坐标为（0，3），①OC=3，当0≤t ＜3时，OA=3，AD=t ，①OD=3-t ， S= 1193(3)32222t OD OC t ⋅=-⨯=-， 当t≥3时，OD=t -3， S=1139(3)32222t OD OC t ⋅=-⨯=-， 93(03)2239(3)22t t S t t ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩．【点睛】本题考查了一次函数的综合问题，包括待定系数法、全等三角形、动点函数等，解题关键是准确理解题意，熟练运用相关知识解决问题，注意：动点问题的分类讨论．8．平面直角坐标系中，点D 的坐标为(),m n ，点E 的坐标为(),0t ，且m ，n ，t 满足()22480m n m n +--+=，()30t a a a a ÷=≠，点()0,B b 为y 轴上一动点，作直线BD ．（1）如图1，求点D 、E 的坐标；（2）如图2，当42b -≤≤-时，作EF BD ⊥，垂足为F ，在FB 上截取FM EF =，连OM ，OD ，求OMB ∠的度数；（3）如图3，将直线BD 绕点B 逆时针旋转45︒交x 轴于C 点，过点C 作CA BC ⊥交直线BD 于点A ，设点(),A c d ，求证：在点B 运动的过程中，点A 的横坐标c 为定值．【答案】（1）()22,D -，()4,0E ；（2）45OMB ∠=︒；（3）4,c = 证明见解析．【分析】（1）由()22480m n m n +--+=，可得：()()22220,m n -++=可求解,m n 的值，从而可得D 的坐标，由()30t a a a a ÷=≠，可得31,t -= 解方程可得E 的坐标； （2）分三种情况讨论，当2b =-时，如图，可得,M D 重合，再利用等腰直角三角形的性质可得45OMB ∠=︒；当4-＜b ＜2-， 如图，过O 作ON BD ⊥交BD 于,N 过D 作DT x ⊥轴于,T 连接,DF 先证明,DO DE =再证明,DON EDF ≌ 可得,,ON DF DN EF == 证明,MN ON = 再利用等腰直角三角形的性质可得45OMB ∠=︒；当4b =-时，则()0,4,B - 如图，证明,,B D E 三点共线，再证明,,E F M 重合， 再利用等腰直角三角形的性质可得45OMB ∠=︒；（3）如图，过A 作AG x ⊥轴于,G 证明,BCO CAG ≌ 可得,,AG CO OB CG == 从而可得d b c =--，再求解直线BD 为11,2y b x b ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭把(),A c d 代入可得：11,2b c b d ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭把d b c =--代入可得：1,2bc c b b c --+=-- 可得()40,b c -=从而可得答案．【详解】解：（1） ()22480m n m n +--+=， 2244440,m m n n ∴-++++=()()22220,m n ∴-++=20m ∴-=且20,n +=2,2,m n ∴==-()22,D -，()30t a a a a ÷=≠，3,t a a -∴=31,t ∴-=4,t ∴=()4,0.E ∴（2） 42b -≤≤-，当2b =-时，()0,2,B ∴-()2,2,D -//BD x ∴轴，2BD =，90,OBD ∴∠=︒()4,0,,,E EF BD EF FM ⊥=4,2,OE BF FM FE FD ∴=====,M D ∴重合，2,OB BD ==45,OMB ∴∠=︒当4-＜b ＜2-，如图，如图，过O 作ON BD ⊥交BD 于,N 过D 作DT x ⊥轴于,T 连接,DE90,ODN DON ∴∠+∠=︒()()2,2,4,0,D E -2,45,OT ET DT TOD TDO TDE TED ∴===∠=∠=∠=∠=︒90,ODE OTD ETD ∴∠=︒，≌90,,ODN EDF DO DE ∴∠+∠=︒=,DON EDF ∴∠=∠,,ON BD EF BD ⊥⊥90,DNO EFD ∴∠=∠=︒(),DON EDF AAS ∴≌,,ON DF DN EF ∴==,FE FM =,MN MD DN MD EF MD MF DF ON ∴=+=+=+==45,OMN OMB ∴∠=︒=∠当4b =-时，则()0,4,B - 如图，设直线BD 为,y kx b =+4,22b k b =-⎧∴⎨+=-⎩1,4k b =⎧∴⎨=-⎩∴ 直线BD 为4,y x =-当4x =时，0,y =()4,0E ∴在直线BD 上，此时,,E F M 三点重合，由()()04,4,0,B E -，可得4OB OE OM ===，45.OMB ∴∠=︒综上：当42b -≤≤-时，45.OMB ∠=︒（3）如图，过A 作AG x ⊥轴于,G90,ACG CAG ∴∠+∠=︒由题意可得：45CBA ∠=︒，,CB CA ⊥45CBA CAB ∴∠=∠=︒，90ACG BCO ∠+∠=︒， ,CB CA ∴= ,BCO CAG ∠=∠90BOC CGA ∠=∠=︒，(),BCO CAG AAS ∴≌,,CO AG OB CG ∴==()(),,0,,A c d B b,CG OC OG AG OG c d ∴=+=+=+,b c d ∴-=+ 即d b c =--，由()()0,,2,2,B b D - 设直线BD 为,y kx b =+22,k b ∴+=-11,2k b ∴=-- 所以直线BD 为11,2y b x b ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭把(),A c d 代入可得：11,2b c b d ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭把d b c =--代入可得：1,2bc c b b c --+=-- 120,2bc b ∴-+= 40,b bc ∴-=()40,b c ∴-=0b ∴=或40,c -=当0,b = 点()0,0B 不符合题意，舍去，40,c ∴-=4.c ∴=c∴为定值．【点睛】本题考查的是非负数的性质，同底数幂的除法，因式分解的应用，角的动态定义，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．9．如图⊥，在矩形OACB中，点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，点C在第一象限，OA ＝8，OB＝6．（1）请直接写出点C的坐标；（2）如图⊥，点F在BC上，连接AF，把ACF沿着AF折叠，点C刚好与线段AB上一点C'重合，求线段CF的长度；（3）如图⊥，动点P(x，y)在第一象限，且y＝2x﹣6，点D在线段AC上，是否存在直角顶点为P的等腰直角BDP，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）C(8，6)；（2）CF＝3；（3）存在，P(4，2)或(203，223)【分析】（1）由矩形的性质可得BC＝OA＝8，AC＝OB＝6，AC①OB，BC①OA，即可求解；（2）由折叠的性质的可得AC＝AC'＝6，CF＝C'F，①C＝①AC'F＝60°，由勾股定理可求CF 的长；（3）分两种情况讨论，利用全等三角形的性质可求PF＝BE，EP＝DF，即可求解．【详解】解：（1）①四边形OACB是矩形，①BC＝OA＝8，AC＝OB＝6，AC①OB，BC①OA，①点C的坐标（8，6）；（2）①BC＝8，AC＝6，①AB＝10，①把①ACF沿着AF折叠，点C刚好与线段AB上一点C'重合，①AC＝AC'＝6，CF＝C'F，①C＝①AC'F＝60°，①BC'＝AB﹣AC'＝4，①BF2＝C'F2+C'B2，①（8﹣CF）2＝CF2+16，①CF＝3；（3）设点P（a，2a﹣6），当点P在BC下方时，如图①，过点P作EF①BC，交y轴于E，交AC于F，①①BPD是等腰直角三角形，①BP＝PD，①BPD＝90°，①EF①BC，①①BEP＝①BOA＝90°，①PFD＝①CAO＝90°，①①BPE+①DPF＝①DPF+①PDF，①①BPE＝①PDF，①①BPE①①PDF（AAS），①PF＝BE＝6﹣（2a﹣6）＝12﹣2a，EP＝DF，①EF＝EP+PF＝a+12﹣2a＝8，①a＝4，①点P（4，2）；当点P在BC的上方时，如图①，过点P作EF①BC，交y轴于E，交AC的延长线于F，同理可证①BPE①①PDF，①BE＝PF＝2a﹣6﹣6＝2a﹣12，①EF＝EP+PF＝a+2a﹣12＝8，①a＝203，①点P（203，223），综上所述：点P坐标为(4，2)或(203，223)．【点睛】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．10．如图，已知在平面直角坐标系中，等腰Rt OCD△的边OD在y轴的正半轴上，且90ODC∠=︒，点C在第一象限，过点(2,0),(0,4)A B-的直线AB经过点C．（1）求点C的坐标及直线AB的解析式．（2）点E 为直线AB 上的动点，若EOB △的面积等于AOC △面积的一半，求点E 的坐标．（3）点F 为y 轴上的动点，若FCD OCA ∠=∠，求点F 的坐标．【答案】（1）(4,4)C ，24y x =-；（2）(1,2)-或(1,6)--；（3）点F 坐标为80,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，160,3⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【分析】 （1）直接利用待定系数法求解直线AB 的解析式，然后根据点C 的坐标特点求得点C 的坐标；（2）设点E 的横坐标为h ，根据题意可知EOB △的面积142h =⨯⨯，AOC △的面积12442=⨯⨯=，根据EOB △的面积等于AOC △面积的一半，即可求得h 的值； （3）由已知条件可知，可以分为点F 在点D 下方和上方两种情况讨论，点F 在点D 下方时，过点A 作HA AC ⊥交直线1CF 于点H ，过点H 作HG x ⊥轴于点G ，过点C 作CM x ⊥轴于点M ，根据角度相等可证明45OCA FCO FCA ∠+∠=∠=︒，进而可以证明HGA AMC ≌，则2HG AM ==，4AG CM ==，即可得到H 的坐标，通过待定系数法即可得到直线CF 的解析式，即可得到F 的坐标，因为CD y ⊥轴，所以另一个点F 关于CD 对称，即可求得．【详解】（1）设直线AB ：y kx b =+，把(2,0),(0,4)-代入，得，204k b b +=⎧⎨=-⎩， ①2k =，4b =-，①24y x =-，设点C 的坐标为(,)m m ，代入24y x =-，解得，4m =，①点(4,4)C ；（2）三角形AOC 的面积：12442S =⨯⨯=， 设点E 的横坐标为h ，①三角形BOE 的面积：142h ⨯⨯， ① 114422h ⨯⨯=⨯， ①1h =，①点E 的横坐标为±1，①当1x =时，2y =-，①当1x =-时，6y =-，①点E 的坐标为(1,2)-或(1,6)--；（3）①当点F 在点D 下方时，COD △是等腰直角三角形，①45FCD FCO ∠+∠=︒，①FCD OCA ∠=∠，①45OCA FCO FCA ∠+∠=∠=︒，过点A 作HA AC ⊥交直线1CF 于点H ，过点H 作HG x ⊥轴于点G ，过点C 作CM x ⊥轴于点M ，①AH AC =，①90HAG GHA +=︒∠∠，90MAC ACM ∠+∠=︒，90HAG ACM +=︒∠∠， ①HAG ACM =∠∠，GHA MAC =∠∠，①HGA AMC ≌，①2HG AM ==，4AG CM ==，得：点H 的坐标为(2,2)-，把H (2,2)-，C(4,4)代入到y ax b =+得，2244a b a b =-+⎧⎨=+⎩， 解得：1833a b ==，，①直线1CF 的解析式为：1833y x =+， 将0x =，代入到解析式中，得，83y =，①点1F 坐标为80,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，①当点F 在点D 上方时，设点F 在点D 上方时，为2F ，①CD y ⊥轴，①此时点2F 与①中所求的点1F 关于CD 对称，①C(4，4)，D(0，4)，1F 80,3⎛⎫ ⎪⎝⎭， ①点2F 的坐标为160,3⎛⎫ ⎪⎝⎭， ①点F 坐标为80,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，160,3⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的性质、三角形的面积、三角形全等等知识，解题的关键是正确的作出辅助线，正确找出点F ，并分情况进行讨论．11．如图，在平面直角坐标系中，直线24y x =+交坐标轴于AB 、两点，过：x 轴正半轴上一点C 作直线CD 交y 轴正半轴于点D ，且AOB DOC ∆≅∆．（1）求出直线CD 对应的函数表达式；（2）点M 是线段CD 上一动点（不与点C D 、重合），ON OM ⊥交AB 于点N ，连接MN ．判断OMN 的形状，并说明理由；（3）若()1,E a -为直线AB 上的点，P 为y 轴上的点，请问：直线CD 上是否存在点Q ，使得EPQ △是以E 为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）122y x =-+；（2）等腰直角三角形；见解析；（3）存在，2,3Q (﹣)或(2,1)Q 【分析】（1）先求出点OA 、OB 的长，在根据AOB DOC △≌△，求出点C 、D 坐标，再利用待定系数法求CD 解析式即可；（2）根据角的等量代换，可得COM BON ∠=∠,可证COM BON ≌，即可得到OM ON =，即可得到OMN 为等腰直角三角形；（3）先求出点E 的坐标，①当点P 在点B 下方时，如详解图：连接DE ，过点Q 作,QM DE ⊥交DE 的延长线于M 点，根据一线三等角模型证Rt DEP Rt MQE ≌，可得Q 点的纵坐标，进而可求Q 点坐标；②当点P 在点B 上方时，如详解图：过E 点作//EM y 轴，过点Q 作QM EM ⊥于M 点，过P 点作PN EM ⊥交ME 的延长线于N 点，根据一线三等角模型证Rt EQM Rt PEN ≌，可得Q 点的纵坐标，进而可求Q 点坐标；【详解】（1）把0x =代入24y x =+得：4y =4,OB ∴=把0y =代入24y x =+得：2x =-，2,OA ∴=,AOB DOC ≌4,2OC OB OD OA ∴====()()4,0,0,2C D ∴设直线CD 对应的函数表达式为：y kx b =+把()()4,0,0,2C D 代入y kx b =+得：402k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线CD 对应的函数表达式为：122y x =-+ ()2OMN 是等腰直角三角形．理由如下：,AOB DOC ≌,OBA OCD OB OC ∴∠=∠=又,ON OM ⊥90MON ∴∠=︒即90MOD BON ∠+∠=90COD ∠=︒即90COM MOD ∠+∠=︒,BON COM ∴∠=∠在OBN △与OCM 中，OBA OCD OB OCBON COM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()OBN OCM ASA ∴≌,OM ON ∴=又90MON ∠=OMN ∴是等腰直角三角形（3）直线CD 上存在点Q ，使EPQ △得是以E 为直角顶点的等腰三角形．()1,E a -在直线AB 上，代入24y x =+得：2a =()1,2E ∴-①当点P 在点B 下方时，如图一所示连接DE ，过点Q 作,QM DE ⊥交DE 的延长线于M 点()0,2Dy DE ∴⊥轴且1,DE =点M 的纵坐标为2,90M EDP ∠=∠=︒ EPQ 是以E 为直角顶点的等腰三角形,90EP EQ PEQ ∴=∠=︒在Rt DEP 与Rt MQE 中，,,M EDP DEP MQE EP EQ ∠=∠∠=∠=Rt DEP Rt MQE ∴≌1MQ DE ∴==Q ∴点的纵坐标为3把3y =代入122y x =-+中得：2x =- ()2,3Q ∴-②当点P 在点B 上方时，如图二所示E 点作//EM y 轴，过点Q 作QM EM ⊥于M 点，过P 点作PN EM ⊥交ME 的延长线于N 点．则90M N ∠=∠=N ∴点的橫坐标为1-，则1,PN = EPQ 是以E 为直角顶点的等腰三角形,90EP EQ PEQ ∴=∠=︒在Rt EQM 与Rt PEN △中，,,M N MEQ NPE EP EQ ∠=∠∠=∠=,Rt EQM Rt PEN ∴≌1,EM PN ∴==M ∴点的纵坐标为1Q ∴点的纵坐标为1把1y =代入122y x =-+中得：2x = ()2,1Q ∴综上所述，直线CD 上存在点Q ，使得EPQ △是以E 为直角顶点的等腰三角形．且()2,3Q -或()2,1Q ．【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，属于一次函数的综合题，准确作出辅助线是解题关键，。

专题11 一次函数几何压轴训练1．（2023秋•东阳市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点B，A，直线OC⊥AB，垂足为点C，D为线段OA上一点（不与端点重合），过点D 作直线l∥x轴，交直线AB于点E，交直线OC点F．（1）求线段OC的长；（2）当DE＝EF时，求点D的坐标；（3）若直线l过点C，点M为线段OC上一点，N为直线l上的点，已知OM＝CN，连结AN，AM，求线段AN+AM的最小值．2．（2023秋•和平县期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点，直线AB：y＝kx+与直线AC：y＝﹣2x+b交于点A，两直线与x轴分别交于点B（﹣3，0）和C （2，0）．（1）求直线AB和AC的表达式．（2）点P是y轴上一点，当P A+PC最小时，求点P的坐标．（3）如图2，点D为线段BC上一动点，将△ABD沿直线AD翻折得到△ADE，线段AE 交x轴于点F，若△DEF为直角三角形，求点D坐标．3．（2023秋•槐荫区期末）如图，直线和直线l2与x轴分别相交于A，B两点，且两直线相交于点C，直线l2与y轴相交于点D（0，﹣4），OA＝2OB．（1）求出直线l2的函数表达式；（2）E是x轴上一点，若S△ABC＝2S△BCE，求点E的坐标；（3）若F是直线l1上方且位于y轴上一点，∠ACF＝2∠CAO，判断△BCF的形状并说明理由．4．（2023秋•巴中期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，直线BC与x轴负半轴交于点C，且CO＝2AO．（1）求线段AC的长；（2）动点P从点C出发沿射线CA以每秒1个单位的速度运动，连接BP，设点P的运动时间为t（秒），△BPO的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，在线段BC上是否存在点D，连接DP，使得△BDP是以BP为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．5．（2023秋•金牛区期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+b与x轴、y轴分别交于点A、点B，S△AOB＝4，点C（3，m）是直线AB上一点，在直线AB左侧过点C的直线交y轴于点D，交x轴于点E．（1）求m和b的值；（2）当∠ACD＝45°时，求直线CD的解析式；（3）如图2，在（2）的条件下，过C作CM⊥x轴，在直线AC上一点P，直线CD上一点Q，直线CM上一点H，当四边形AHQP为菱形时，求P点的坐标．6．（2023秋•咸阳期末）如图，已知一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象与x 轴交于点A（﹣6，0），与y轴交于点B（0，8）．（1）求该一次函数的表达式；（2）点C为点B上方y轴上的点，在该一次函数的图象上是否存在点P，使得以点P、B、C为顶点的三角形与△OAB全等？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2023秋•历城区期末）如图1，直线AB：y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A（3，0），B两点，点A沿x轴向右平移3个单位得到点D．（1）分别求直线AB和BD的函数表达式．（2）在线段BD上是否存在点E，使△ABE的面积为，若存在，求出点E坐标；若不存在，说明理由．（3）如图2，P为x轴上A点右侧的一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当点P运动时，点K的位置是否发生变化？如果不变请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．8．（2023秋•江门期末）如图所示，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a，b满足+（a﹣4）2＝0．（1）a＝，b＝；（2）如图1，若点C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标；（3）如图2，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交x轴于点N，当点M在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求出该式子的值．9．（2023秋•简阳市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+8分别与x 轴、y轴交于A、B两点，过点B作BC⊥AB交x轴于点C．（1）求点C的坐标；（2）点D为直线AB上一点，且∠DCA＝∠DAC，求直线CD的解析式；（3）若点Q是x轴上一点，连接BQ，将△ABQ沿着BQ所在直线折叠，当点A落在y 轴上时，求点Q的坐标．10．（2023秋•天桥区期末）如图1，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．（1）请写出点A坐标，点B坐标，直线BC的函数解析式；（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．①若△PQB的面积为，求点Q的坐标；②点M在线段AC上，连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，直接写出P的坐标．11．（2023秋•万州区期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+4的图象与x轴，y轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点．（1）求直线AC的解析式；（2）如图2，若点M是直线AC上的一动点，当S△ABM＝2S△AOC时，求点M的坐标；（3）将直线AB向右平移3个单位长度得到直线l，若点E为平移后直线l上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点F，使以点A、C、E、F为顶点，AE为边的四边形为菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2022秋•盐都区期末）如图，直线AB：y＝x+b分别与x、y轴交于A，B两点，点A 的坐标为（−4，0），过点B的直线交x轴正半轴于点C，且OB：OC＝4：3．（1）求直线BC的函数表达式；（2）在x轴上方是否存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等．若存在，画出△ABD，并求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点P是y轴上的一点，连接CP，将△BCP沿直线CP翻折，当点B的对应点B′恰好落在x轴上时，请直接写出此时直线CP的函数表达式．13．（2023春•阳江期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+5与y轴交于点A，直线l2与x轴、y轴分别交于点B（﹣4，0）和点C，且与直线l1交于点D（2，m）．（1）求直线l2的解析式；（2）若点E为线段BC上一个动点，过点E作EF⊥x轴，垂足为F，且与直线l1交于点G，当EG＝6时，求点G的坐标；（3）若在平面上存在点H，使得以点A，C，D，H为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点H的坐标．14．（2022春•潮阳区期末）如图，直线y＝x﹣3交x轴于A，交y轴于B，（1）求A，B的坐标和AB的长（直接写出答案）；（2）点C是y轴上一点，若AC＝BC，求点C的坐标；（3）点D是x轴上一点，∠BAO＝2∠DBO，求点D的坐标．15．（2023春•武穴市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，直线l2：y＝3x﹣6与x轴交于点D，与l1相交于点C．（1）求点D的坐标；（2）在y轴上一点E，若S△ACE＝S△ACD，求点E的坐标；（3）直线l1上一点P（1，3），平面内一点F，若以A、P、F为顶点的三角形与△APD 全等，求点F的坐标．16．（2023春•淅川县期末）如图，已知直线y＝kx+b经过A（6，0）、B（0，3）两点．（1）求直线y＝kx+b的解析式；（2）若C是线段OA上一点，将线段CB绕点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上．①求点C和点D的坐标；②若点P在y轴上，Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q坐标，否则说明理由．17．（2023春•拜泉县期末）综合与探究．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的两条邻边分别在x轴、y轴上，对角线，点B的坐标为B（2a，a）．（1）A，C．（2）把矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D，F，E，求直线DE的解析式（问题（1）中的结论可直接使用）．（3）若点M在y轴上，则在平面直角坐标系中的x轴及x轴的下方，是否存在这样的点N，使得以A、D、N、M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2023春•唐县期末）（1）基本图形的认识：如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连结AE、DE，求证：△AED是等腰直角三角形．（2）基本图形的构造：如图2，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，3），连结AB，过点A在第一象限内作AB的垂线，并在垂线截取AC＝AB，求点C的坐标；（3）基本图形的应用：如图3，一次函数y＝﹣2x+2的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线AC交x轴于点D，且∠CAB＝45°，求点D的坐标．19．（2023春•新罗区期末）数形结合作为一种数学思想方法，数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”．例如：在我们学习数轴的时候，数轴上任意两点，A表示的数为a，B表示的数为b，则A，B两点的距离可用式子|a﹣b|表示．研一研：如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A（a，0）、点B（0，b），且a、b满足（a﹣6）2+|b﹣4|＝0．（1）直接写出以下点的坐标：A（，0），B（0，）．（2）若点P、点Q分别是y轴正半轴（不与B点重合）、x轴负半轴上的动点，过Q作QC∥AB，连接PQ．已知∠BAO＝34°，请探索∠BPQ与∠PQC之间的数量关系，并说明理由．（3）已知点D（3，2）是线段AB的中点，若点H为y轴上一点，且，求S△AHD＝S△AOB，求点H的坐标．20．（2023春•红安县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+8分别交x轴，y 轴于点A，B，点A（8，0）．直线l2：经过线段AB的中点Q，分别交x轴，y 轴于点C，D．（1）请直接写出k的值；（2）请求出直线l2的解析式；（3）点P（t，0）为x轴上一动点，过点P作PE∥y轴交l1，l2于点E，F；①当EF＝2EP时，求t的值．②连接BC，当∠OBC＝∠ABF时，求t的值．21．（2023春•樊城区期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b的图象与x轴，y轴交于A，B；与直线y2＝kx交于P（2，1），且PO＝P A．（1）求点A的坐标；（2）求函数y1，y2的解析式；（3）点D为直线y1＝ax+b上一动点，其横坐标为t（t＜2），DF⊥x轴于点F，交y2＝kx于点E，且DF＝2EF，求点D的坐标；（4）在（3）的条件下，如果点D在第一象限内，过点P的直线y＝mx+n将四边形OBDE 分为两部分，两部分的面积分别设为S1，S2．若≤2，直接写出m的取值范围．22．（2023春•松北区期末）如图，直线y＝x+10交x轴于点A，交y轴于点B，直线y＝kx+b 过点A，交y轴于点C，且C为线段OB的中点．（i）求k、b的值；（2）点P为线段AC延长线上一点，连接PB，设点P的横坐标为t，△P AB的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点D在线段AO的延长线上，连接CD、PD，且，点E在AD上，且∠DPE＝45°，过点C作CF∥PE，交x轴于点F，若AF＝DE，求P点的坐标．23．（2023春•碑林区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+b与x轴，y轴分别交于A、B两点．直线交线段AB于点C（1，m），且S△AOB＝2S△BOC．（1）求b的值；（2）若点D是y轴上一点，点E为平面上一点，是否存在以点A，B，D，E为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点E的坐标，若不存在请说明理由．24．（2023春•台江区期末）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，P为直线AB上的一个动点，过点P分别作PF⊥x轴于点F，PE⊥y轴于点E，如图所示．（1）若点P为线段AB的中点，求OP的长；（2）若四边形PEOF为正方形时，求点P的坐标；（3）点P在AB上运动过程中，EF的长是否有最小值，若有，求出这个最小值；若没有，请说明理由．25．（2023春•舞阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于点D、C，直线AB与y轴交于点B（0，﹣3），与直线CD交于点A（m，3）．（1）求直线AB的解析式；（2）点E是射线CD上一动点，过点E作EF∥y轴，交直线AB于点F．若以O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请求出点E的坐标；（3）设P是射线CD上一点，在平面内是否存在点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．26．（2022秋•新都区期末）如图所示，直线l1：y＝x﹣1与y轴交于点A，直线l2：y＝﹣2x ﹣4与x轴交于点B，直线l1与l2交于点C．（1）求点A，C的坐标；（2）点P在直线l1上运动，求出满足条件S△PBC＝S△ABC且异于点A的点P的坐标；（3）点D（2，0）为x轴上一定点，当点Q在直线l1上运动时，请直接写出|DQ﹣BQ|的最大值．27．（2022秋•金华期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+1交y轴于点A，交x轴于点B（4，0），过点E（2，0）的直线l2平行于y轴，交直线l1于点D，点P是直线l2上一动点（异于点D），连接P A、PB．（1）直线l1的表达式为，点D的坐标为；（2）设P（2，m），当点P在点D的下方时，求△ABP的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；（3）当△ABP的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角△BPC，请直接写出点C 的坐标．28．（2021秋•新都区校级期末）如图，已知直线y＝x﹣2分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线OG：y＝kx（k＜0）交AB于点D．（1）求A，B两点的坐标；（2）如图1，点E是线段OB的中点，连接AE，点F是射线OG上一点，当OG⊥AE，且OF＝AE时，在x轴上找一点P，当PE+PD的值最小时，求出△APE的面积；（3）如图2，若k＝﹣2，过B点BC∥OG，交x轴于点C，此时在x轴上是否存在点M，使∠OBM+∠OBC＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．29．（2022春•巴中期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+10与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的另一直线交x轴正半轴于点C，且△ABC面积为60．（1）求点C的坐标及直线BC的表达式；（2）若M为线段BC上一点，直线AM把△ABC的面积分成两部分，这两部分的面积之比为1：2，求M的坐标；（3）当△ABM的面积为20时，点E为直线AM上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．30．（2022春•湘潭县期末）如图，长方形OABC，是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝10，OC＝6，在AB上取一点M 使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B′点．（1）求B'点的坐标；（2）求折痕CM所在直线的表达式；（3）求折痕CM上是否存在一点P，使PO+PB'最小？若存在，请求出最小值，若不存在，请说出理由．。

第六章 一次函数（压轴题专练）一、动点函数问题1．如图，在长方形ABCD 中，动点P 从A 出发，以一定的速度，沿A B C D A ®®®®方向运动到点A 处停止（提示：当点P 在AB 上运动时，点P 到DC 的距离始终等于AD 和BC ）．设点P 运动的路程为x ，PCD V 的面积为y ，如果y 与x 之间的关系如图所示，那么长方形ABCD 的面积为（ ）A ．6B ．9C ．15D ．182．已知动点H 以每秒x 厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从A B C D E F -----的路径匀速运动，相应的HAF △的面积 ()2cm S 关于时间(s)t 的关系图象如图2，已知8cm AF =，则下列说法正确的有几个（ ）①动点H 的速度是2cm/s ；②BC 的长度为3cm ；③b 的值为14；④在运动过程中，当HAF △的面积是230cm 时，点H 的运动时间是3.75s 和1025s .．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图1，四边形ABCD 中，90DAB ∠=︒，AB CD ∥，点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度，沿路线A -B-C -D 运动.设P 点的运动时间为ts ，PAD V 的面积为S ，当P 运动到BC 的中点时，PAD V 的面积为A ．7B ．7.5C ．84．如图，在长为形ABCD 中，5cm 16cm AB AD ==，，点3cm 4cm AM AE ==，，连线CE ，动点P 从点B 出发，以运动到点A 即停止运动，连接MP ，设点P 运动的时间为(1)如图1，线段CE = cm ；当10t =时，线段EP = cm ；(2)如图1，点P 在线段BC 上运动的过程中，连接EM EP ，，当EMP V 是以EM 为直角边的直角三角形时，请求出对应的时间的值；(1)求线段OC的长；(2)若点E是点C关于y轴的对称点，求(3)已知y轴上有一点P，若以点标．(1)求n和b的值；△是直角三角形，求点P的坐标；(2)若ACP∠=∠，求点P的坐标．(3)当PBE BAC(1)求点D的坐标；(2)点E是线段CD上一动点，直线BE与x轴交于点i）若BDFV的面积为8，求点F的坐标；ii）如图2，当点F在x轴正半轴上时，将直线接FM，若1OF MF=+，求线段MF的长．(1)求直线AB的解析式；(2)已知点D为直线BC上第三象限的一点，连接AD，设点D的横坐标为t 间的函数关系式（不要求写出变量t的取值范围）；(3)在（2）的条件下，256S=，点D关于y轴的对称点为点E，点F在第一象限直线。