一次函数的对称性专题-教师版

§一次函数对称与平移龙湖中学王丹凤教学目标：知识与能力：掌握直线y=kx+b关于x轴，关于y轴，关于原点对称的直线解析式中k,b 的规律；直线y=kx+b沿y轴上下平移，沿x轴左右平移的规律。

过程与方法：学生自己动手画图，求解。

老师再辅以几何画板直观演示。

情感与态度：在探究过程中，随着问题的不断深入，锻炼学生们探索钻研的精神。

教学重点：直线y=kx+b关于x轴，关于y轴，关于原点对称的直线解析式中k,b 的规律；直线y=kx+b沿y轴上下平移，沿x轴左右平移的规律。

教学难点：探究求关于x轴，关于y轴，关于原点对称的直线解析式以及平移的方法和步骤。

教学过程：一、温故知新1、复习P(a,b)关于x轴对称点，关于y轴对称点，关于原点对称点。

2、一次函数y=kx+b（k≠0)中k,b的作用。

3、待定系数法的四个步骤。

二、新课讲授〈一〉、对称探究1： 请画出直线y=2x-2关于x 轴对称的图像并求出解析式。

（学生自己先动手画图求解；老师再用几何画板演示，并板书求解析式的过程。

启发引导学生找出直线关于x 轴对称的k,b 的规律。

）g x () = 2∙x + 2f x () = 2∙x 2◇[系统初始化]◇[显示网格线]◇[隐藏刻度线]◇[隐藏刻度值]◇[xy 等单位长]◇[切换成数轴]◇[还原坐标系]◇[改刻度字体]◇[操作控制台]探究2： 请画出直线y=2x-2关于y 轴对称的图像并求出解析式。

（学生自己先动手画图求解；老师再用几何画板演示，请同学上黑板板演求解析式的过程。

启发引导学生找出直线关于y 轴对称的k,b 的规律。

）y g x () = 2∙x 2f x () = 2∙x 2◇[系统初始化]◇[显示网格线]◇[隐藏刻度线]◇[隐藏刻度值]◇[xy 等单位长]◇[切换成数轴]◇[还原坐标系]◇[改刻度字体]◇[操作控制台]探究3：请画出直线y=2x-2关于原点对称的图像并求出解析式。

一次函数的对称问题口江苏曹兆民刘军学习了平面直角坐标系后,经常会遇到一些求称的图象的解析式为一 ,一次函数图象关于原点对称的图象的解析式为 ? .对称点坐标的问题我们知道,点的对称主要有关于应用上面的结论.可以解决一些实际问题.轴对称、关于轴对称和关于原点对称。

而且符号变化规律为:关于轴对称,横坐标不变,纵坐标互倒我们设想用电脑模拟台球游戏.为简单起为相反数;关于轴对称,横坐标互为相反数,纵坐见,约定:①每个球袋视为一个点,如果不遇到障碍,标不变;关于原点对称,横坐标互为相反数,纵坐标各球均沿直线前进; 球击球,意味着曰球在互为相反数.而在学习了一次函数的图象性质后,也球前进的路线上,且日球被撞击后沿球原来的方出现了一些有关一次函数图象的对称的问题.现举向前进;③球撞击桌边后的反弹角度等于入射角度例说明. 如下图中的厶.如图、图所示,建立平面侧 , 求一次函数的图象关于轴对称直角坐标系.设桌上只剩下球 ,球 .的直线的解析式.分析:一次函数图象的对称问题一般可转化为图象上的两个点的对称问题.解:设所求的直线的解析式为:.在函数图象上取两点 , 和一 , ,则这两个点关于轴对称的点 ,一和一 , 一定图图在所求的直线上.如图 ,希望球撞击桌边上点后反由待定系数法,解得:后:一 , 一 .弹,再击中球 .请给出一个算法,告知电脑怎样找到故所求的直线的解析式为: 一一 .点,并求出点的坐标.一般地,对直线≠ ,其与坐标轴的如图 ,设桌边上有一球袋 , ., 厶 ,判断球被从点反弹出的球撞击后能否直接交点为 , , ÷, .若求直线关于轴的对称的\落入球袋中.直线,则这两点关于轴的对称的点 ,一 ,如图。

若用球直接击打球 ,球撞击、÷, 》一定在所要求的直线上.由待定系数法,可桌边上的点后反弹.问:球曰从点反弹后能否直接进入球袋中求得直线的解析式为: 一 ? .解:如图 ,作点关于轴的对称点 ,连 /同理可得:一次函数图象关于一轴的对号毒五誊礤巍成暴笈毒:在◇出版≮物理译快报上一、。

函数的周期性和对称性一函数的周期性1 概念对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么把函数y=f(x)叫做周期函数，常数T叫做这个函数的周期.Eg：上图是三角函数f(x)=sinx的图像①函数图像可看成由红色那段图像玩“分身术”的向两边延申；②红色图像的水平长度为AB=2π，它就是函数的最小正周期T，即T=2π；(思考：4π是周期么)③整个函数，对于任何x，都有f(x+2π)=f(x).(简单说来，两个自变量相差2π，它们对应的函数值均相等)下面两个图像也是周期函数的图像！他们的周期是什么？最小正周期呢？2 常见的结论①若f(x+a)=f(x+b)，则y=f(x)的周期是T=a−b.②若f(x+a)=−f(x)，则y=f(x)的周期是T=2a；(你可证明试试)，则y=f(x)的周期是T=2a.③若f(x+a)=1f(x)二函数的对称性1 函数图象自身的对称关系.①轴对称：若f(x+a)=f(b−x) , 则y=f(x)有对称轴x=a+b2②中心对称：若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件 f(a+x)+f(b−x)=c(a ,b ,c为常数)，则函数y=f(x)的图象关于点(a+b 2,c2)对称.2 两个函数图象之间的对称关系 ① 轴对称若函数y =f(x)定义域为R ，则两函数y =f(x +a)与 y =f(b −x)的图象关于直线x =b−a 2对称.特殊地，函数y =f(a +x)与函数y =f(a −x)的图象关于直x =0对称. ② 中心对称若函数y =f(x)定义域为R ，则两函数y =f(a +x)与y =c −f(b −x)的图象关于点(b−a 2 ,c2)对称.特殊地，函数y =f(x +a)与函数y =−f(b −x)图象关于点(b−a 2,0)对称.3 周期性与对称性拓展① 若函数y =f(x)同时关于直线x =a ,x =b 对称，则函数y =f(x)的周期 T =2|b −a|；特殊地，若偶函数y =f(x)的图像关于直线x =a 对称，则函数y =f(x)的周期 T =2|a |；② 若函数y =f(x)同时关于点(a ,0) ,(b ,0)对称，则函数y =f(x)的周期 T =2|b −a|； ③ 若函数y =f (x )同时关于直线x =a 对称，又关于点(b ,0)对称 , 则函数y =f(x)的周期 T =4|b −a|；特殊地，若奇函数y =f(x)的图像关于直线x =a 对称，则函数y =f(x)的周期 T =4|a|.【题型一】函数的周期性【典题1】 设f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x ≤1时，f(x)=x(1+x)，则f(−92)=【解析】∵f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x ≤1时，f(x)=x(1+x)， ∴f (−92)=f (−92+4)=f (−12)=−f(12)=−12(1+12)=−34.【典题2】 设偶函数f(x)对任意x ∈R ，都有f(x +3)=−1f(x)，且当x ∈[−3 ,−2]时，f(x)=4x，则f(107.5)=．【解析】∵f(x+3)=−1f(x)，∴f(x+6)=−1f(x+3)=−1−1f(x)=f(x) ，∴函数f(x)是以6为周期的函数．∵当x∈[－3 ,－2]时，f(x)=4x，∴f(107.5)=f(6×17+5.5)=f(5.5)=−1f(2.5)=−1f(−2.5)=−14×(−2.5)=110．故答案为：110．【点拨】①在求值过程中，比如本题中求f(107.5)，先用函数周期性把107.5这个数值变小些，尽量向[－3 ,－2]靠拢.②函数综合性的题型，可用数形结合的方法找到思考的方向.巩固练习1(★★)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x+4)=−f(x)，且在[0 ,2]上单调递减，则() A．f(8)<f(11)<f(15)B．f(11)<f(8)<f(15)C．f(15)<f(11)<f(8)D．f(15)<f(8)<f(11)【答案】B【解析】∵f(x)为R上的奇函数，且满足f(x+4)=－f(x)，∴f(x)是以8为周期的函数，∴f(8)=f(0)，f(11)=f(3)=－f(－1)=f(1)，f(15)=f(7)=f(－1)，又f(x)在区间[0，2]上单调递减，∴f(－1)>f(0)>f(1)，即f(15)>f(8)>f(11)．故选：B．2(★★)已知f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈[−1 ,1]时，f(x)=|x|，那么当x∈[−7 ,−5]时，f(x)=.【答案】|x+6|【解析】当x ∈[－7，－5]时，x +6∈[－1，1]． ∴f(x)=f(x +6)=|x +6|， 故选：C ．3(★★★)设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，满足f (x +1)=−f(x −1)，若f (−1)>1， f (5)=a 2−2a −4，则实数a 的取值范围是 . 【答案】 (−1 ,3)【解析】由f(x +1)=－f(x －1)，可得f(x +2)=－f(x)， 则f(x +4)=－f(x +2)=f(x)，故函数f(x)的周期为4， 则f(5)=f(1)=a 2－2a －4，又∵函数f(x)是定义在R 上的奇函数，f(－1)>1， ∴f(1)＜－1．∴a 2－2a －4＜－1，解得－1＜a ＜3． ∴实数a 的取值范围是(－1，3)．【题型二】函数图象自身的对称关系【典题1】定义在R 上的函数f(x)的图象关于点(−34，0)成中心对称且对任意的实数x 都有 f (x )=−f(x +32)且f (−1)=1 ,f (0)=−2，则f(1)+f(2)+⋯+f(2014)= .【解析】∵f (x )=−f(x +32)， ∴f (x +32)=−f(x) , 则f (x +3)=−f(x +32)=f(x)∴f(x)是周期为3的周期函数．(确定周期后，接着求前三项和f(1)+f(2)+f(3)便可) 则f (2)=f (−1+3)=f (−1)=1 ,f (12)=−f (−1)=−1∵函数f(x)的图象关于点(−34，0)成中心对称，∴f (1)=−f (−52)=−f(12)=1∵f (3)=f (0)=−2 ∴f (1)+f (2)+f (3)=1+1−2=0∴f(1)+f(2)+⋯+f(2014)=f(1)=1【典题2】已知函数f(x)=2x 2x 2−4x+8，则( ) A ．函数f(x)的图象关于x =2对称B ．函数f(x)的图象关于x =4对称C ．函数f(x)的图象关于(2 ,2)对称D ．函数f(x)的图象关于(4 ,4)对称【解析】方法一 利用函数平移和奇偶性对于A 选项：若函数f(x)的图象关于x =2对称，则y =f(x +2)是偶函数， 而y =f(x +2)=2(x+2)2x 2+4不是偶函数，∴A 错误；对于B 选项，可以采取类似选项A 的方法排除；对于C 选项：若函数f(x)的图象关于(2 ,2)对称，则则函数向左和向下均平移2个单位的函数关于原点对称，即y =f(x +2)－2是奇函数. 易得y =f(x +2)−2=2(x+2)2x 2+4−2=8xx 2+4是奇函数，∴C 正确；对于D 选项：若函数f(x)的图象关于(4 ,4)对称，则函数向左和向下均平移4个单位的函数关于原点对称，即y =f (x +4)−4是奇函数.而y =f(x +4)−4=2(x+4)2(x+2)2+4−4=−2x 2(x+2)2+4不是奇函数，∴D 错误． 故选C ．方法二 利用函数自身的轴对称和中心对称关系利用函数自身的轴对称关系:若f(x +a)=f(b −x) , 则y =f(x)有对称轴x =a+b 2.对于A 选项：若函数f(x)的图象关于x =2对称，则有f(4−x)=f(x) 而f (4−x )= 2(4−x)2(4−x)2−4(4−x)+8=2(4−x)2x 2−4x+8≠2x 2x 2−4x+8=f (x ) ,∴A 错误； 对于B 选项：若函数f (x )的图象关于x =4对称，则有f (8−x )=f (x ) 而f (8−x )=2(8−x)2(8−x)2−4(8−x)+8=2(8−x)2x 2−12x+40≠2x 2x 2−4x+8=f (x ) ,∴B 错误；利用函数自身的中心对称关系：若f(a +x)+f(b −x)=c(a ,b ,c 为常数),则函数y =f(x)的图象关于点(a+b 2,c2)对称.对于C 选项：若函数f(x)的图象关于(2 ,2)对称，则f(x)+f(4−x)=4 易得f (x )+f (4−x )=2x 2x 2−4x+8+2(4−x)2x 2−4x+8=4，∴C 正确；对于D 选项：若函数f(x)的图象关于(4 ,4)对称，则f(x)+f(8−x)=8 而f(x)+f(8−x)= 2x 2x 2−4x+8+2(8−x)2x 2−12x+40显然不恒等于8，∴D 错误． 故选C ．方法三 取特殊值排除法对于A选项：f(0)=0， f(4)≠0，故函数f(x)的图象不可能关于x=2对称，排除A；对于B选项：f(0)=0，f(8)≠0，故函数f(x)的图象不可能关于x=4对称，排除B；对于D选项：f(0)=0， f(8)=165≠8，故函数f(x)的图象不可能关于(4 ,4)对称，排除D；故选C．【点拨】①从三种方法来说，显然大家觉得方法三有种秒杀的感觉，很爽，从应试的角度来讲是这样子的.从提高数学能力的角度，还是需要好好领会下方法一、二；②方法一需要理解抽象函数的平移变换：左加右减，上加下减，它充分体现了数形结合的力量；③方法一其实也是方法二的一种特殊情况的表现；对于函数自身的轴对称和中心对称关系(1) 轴对称:若f(x+a)=f(b−x) , 则y=f(x)有对称轴x=a+b2.对于选项A，令a=b=2,有f(x+2)=f(2−x)，即证明f(x+2)是偶函数便可.(2) 中心对称:若函数y=f(x)满足条件 f(a+x)+f(b−x)=c(a ,b ,c为常数)，则函数y=f(x)的图象关于点(a+b2 ,c2)对称.对于选项C，令a=b=2，c=4，有f(2+x)+f(2−x)=4⇒f(2+x)−2=2−f(2−x),即证明y=f(2+x)−2是奇函数.【题型三】两个函数图象之间的对称关系【典题1】下列函数中，其图象与函数y=lgx的图象关于点(1 ,0)对称的是() A．y=lg(1−x)B．y=lg(2−x)C．y=log0.1(1−x)D．y=log0.1(2−x)【解析】设所求函数图象上任意一点P(x ,y)，则P(x ,y)关于(1 ,0)对称的点(2−x ,−y)在y=lgx上，即−y=lg(2−x)，所以y=−lg(2−x)=log0.1(2−x)故选：D．【典题2】下列函数中，其图象与函数y=2x的图象关于直线y=1对称的是.【解析】设P(x ,y)为所求函数图象上的任意一点，它关于直线y=1对称的点是Q(x ,2−y)．由题意知点Q(x ,2−y)在函数y=2x的图象上，则2−y=2x，即y=2−2x．【点拨】这种涉及函数对称性、平移去求解析式的题，常用代入法.巩固练习1(★★)已知函数f(x)=ax+2x−6的对称中心为(b ,1)，则a=；b=．【答案】 1，6【解析】∵f(x)=ax+2x−6=a(x−6)+6a+2x−6=a+6a+2x−6，结合反比例函数的性质及函数的图象平移可知，函数f(x)的对称中心为(6，a)∵f(x)的对称中心为(b，1)，∴{b=6a=1故答案为：1，62(★★)【多选题】函数f(x)的图象关于直线x=1对称，那么()A．f (2−x)=f (x)B．f (1−x)=f (1+x)C．函数y=f (x+1)是偶函数D．函数y=f (x−1)是偶函数【答案】ABC【解析】由f(x)的图象关于x=1对称可知，f(2－x)=f(x)，f(1－x)=f(1+x)，把函数f(x)的图象向左平移1个单位可得y=f(x+1)的图象，关于x=0对称，即为偶函数，把函数f(x)的图象向右平移1个单位可得y=f(x－1)的图象，关于x=2对称，故选：ABC．3(★★★)已知函数f(x)=lnx+ln(a−x)的图象关于直线x=1对称，则函数f(1)的值为() A．0B．1C．lna D．−1【答案】A【解析】函数f(x)=lnx+ln(a−x)的图象关于直线x=1对称，可得f(x)=f(2－x)，即lnx+ln(a－x)=ln(2－x)+ln(a－2+x)，即有lnx(a－x)=ln(2−x)(a−2+x)，可得x(a−x)=(2−x)(a−2+x)，即ax−x2=2(a−2)+(4−a)x−x2，可得2(a－2)=0，且a=4−a，解得a=2，可得f(x)=lnx+ln(2－x)，则f(1)=2ln1=0．故选：A．4(★★★)已知函数f(x)=ln x4−x，则()A．y=f(x)的图象关于点(2 ,0)对称B．y=f(x)的图象关于直线x=2对称C．f(x)在(0 ,4)上单调递减D．f(x)在(0 ,2)上单调递减，在(2 ,4)上单调递增【答案】A【解析】x4−x>0，则函数定义域为(0，4)，f(1)=ln13，f(3)=ln3，即f(3)=－f(1)，有关于点(2，0)对称的可能，进而推测f(x+2)为奇函数，关于原点对称，f(x+2)=ln x+22−x，定义域为(－2，2)，奇函数且单调递增，∴f(x)为f(x+2)向右平移两个单位得到，则函数在(0，4)单调递增，关于点(2，0)对称，故选：A．5(★★)同一平面直角坐标系中，函数y=2x+1与y=21−x的图象() A．关于原点对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称【答案】C【解析】∵y=21−x=(12)x−1可看做由y=(12)x的图象右移1个单位，而y=2x+1的图象可看做由y=2x的图象向左平移1个单位，且y=2x与y=(12)x的图象关于y轴对称，故函数y=2x+1与y=21−x的图象关于y轴对称．故选：C．6 (★★★)【多选题】已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(x+2)=−f(x)，且函数y=f(x−1)为奇函数，则()A．函数y=f(x)是周期函数B．函数y=f(x)的图象关于点(−1 ,0)对称C．函数y=f(x)为R上的偶函数D．函数y=f(x)为R上的单调函数【答案】 ABC【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，函数y=f(x)满足f(x+2)=−f(x)，则f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，A正确；对于B，y=f(x−1)是奇函数，则f(x−1)的图象关于原点对称，又由函数f(x)的图象是由y=f(x－1)向左平移1个单位长度得到，故函数f(x)的图象关于点(－1，0)对称，B正确；对于C，由B可得：对于任意的x∈R，都有f(−1−x)=−f(−1+x)，即f(－1－x)+f(－1+x)=0，变形可得f(－2－x)+f(x)=0，则有f(－2－x)=－f(x)=f(x+2)对于任意的x∈R都成立，令t=2+x，则f(－t)=f(t)，即函数f(x)是偶函数，C正确；对于D，f(x)为偶函数，则其图象关于y轴对称，f(x)在R上不是单调函数，D错误；故选：ABC．。

1、 一元一次方程与一次函数（1） 对于一次函数m ，由它的函数值0y =就得到关于x 的一元一次方程0kx b +=，解这个方程得bx k=-，于是可以知道一次函数m 的图像与x 轴的交点坐标为(0)b k -，； （2） 若已知一次函数m 的图像与x 轴的交点坐标，也可以知道这个交点的横坐标bx k =-，其就是一元一次方程0kx b +=的根．2、 一元一次不等式与一次函数（1） 由一次函数y kx b =+的函数值y 大于0（或小于0），就得到关于x 的一元一次不等式0kx b +>（或0kx b +<）的解集．（2） 在一次函数m 的图像上且位于x 轴上方（或下方）的所有点，它们的横坐标的取值范围就是不等式0kx b +>（或0kx b +<）的解集．一次函数知识结构知识精讲模块一：一次函数与不等式yx6Oyx-2O 没【例1】 已知一次函数经过(20)A ，和(13)B -，，在直角坐标系中画出函数图像且求在这个一次函数图像上且位于x 轴上方所有点的横坐标的取值范围． 【难度】★【答案】图像如图，2x >． 【解析】图像如图，2x >．【总结】本题考察了一次函数与一元一次不等式的关系．【例2】 已知(0)y kx b k =+≠的函数图像如图所示：（1）求在这个函数图像上且位于x 轴上方所有点的横坐标的取值范围；（2）求不等式0kx b +≤的解集． 【难度】★【答案】（1）6x <； （2）6x ≥． 【解析】（1）由图像可得：6x <； （2）由图像可得：6x ≥．【总结】本题考察了一次函数与一元一次不等式的关系．【例3】 已知(0)y kx b k =+≠的函数图像如图所示：（1）求在这个函数图像上且位于y 轴左侧所有点的横坐标的取值范围； （2）求在这个函数图像上且位于y 轴右侧所有点的纵坐标的取值范围； （3）求2016y x b =-+在y 轴上的截距． 【难度】★【答案】（1）0x <；（2）2y >-；（3）2-． 【解析】（1）由图像可得：0x <； （2）由图像可得：0x >； （3）由图像可得：2b =-∴2016y x b =-+在y 轴上的截距是2-．【总结】本题考察了一次函数与不等式的关系，注意分析清楚题目中所要求的结果．例题解析【例4】已知一次函数解析式是132y x=-．（1）当x取何值时，2y=?（2）当x取何值时，2y>?（3）当x取何值时，2y<?（4）当x取何值时，02y<<?【难度】★★【答案】（1）10x=；（2）10x>；（3）10x<；（4）610x<<．【解析】（1）令1322x-=，解得：10x=；（2）令1322x->，解得：10x>；（3）令1322x-<，解得：10x<；（4）令10322x<-<，解得：610x<<．【总结】本题考察了一次函数与不等式的关系，本题也可以通过函数图像求解．【例5】已知函数()31f x x=-+．（1）当x取何值时，()2f x=-?（2）当x取何值时，4()2f x>>-?（3）在平面直角坐标系中，在直线()31f x x=-+上且位于x轴下方所有点，它们的横坐标的取值范围是什么?【难度】★★【答案】（1）1x=；（2）11x-<<；（3）13 x>．【解析】（1）令312x-+=-，解得：1x=；（2）令4312x>-+>-，解得：11x-<<；（3）令310x-+<，解得：13 x>．【总结】本题考察了一次函数与不等式的关系，本题也可以通过函数图像求解．【例6】已知方程20(0)ax a-=>的解为4x=，（1）求出函数2y ax=-与x轴的交点坐标；（2）解不等式20ax-≥．【难度】★★【答案】（1）（4，0）；（2）4x≥．【解析】由一次函数与方程不等式的关系得：（1）2y ax =- 与x 轴的交点坐标为：（4，0）； （2）20ax -≥的解集为：4x ≥．【总结】本题考察了一次函数与方程不等式的关系，本题也可由一次函数的图像或者是函数的性质求得最终结果．【例7】 已知一次函数y ax b =+与y mx n =+交于点(34)，，根据其图像回答下列问题：（1）求解不等式组：44ax b mx n +>⎧⎨+≤⎩；（2）求解方程组：y b axmx y n -=⎧⎨=-⎩；（3）求解不等式：ax b mx n +≤+．【难度】★★★【答案】（1）3x >；（2）34x y =⎧⎨=⎩； （3）3x ≤．【解析】由一次函数与方程不等式的关系得：（1）由4ax b +>可得：3x >；由4mx n +≤可得：3x ≥； ∴3x >；（2）y b axmx y n -=⎧⎨=-⎩的解即为两条直线交点坐标，即：34x y =⎧⎨=⎩；（3）ax b mx n +≤+解集为y ax b =+在y mx n =+上方时x 的范围，即3x ≤． 【总结】本题考察了一次函数与方程及不等式的关系，主要是根据图像进行求解．【例8】 当－1≤x ≤2时，函数6y ax =+满足10y <，求出常数a 的取值范围． 【难度】★★★ 【答案】42a -<<．【解析】当0a >时，max 2610y a =+<，解得：2a <； 当0a <时，min 610y a =-+<，解得：4a >-； 当0a =时，66y ax =+=，满足10y <； ∴42a -<<．【总结】本题考察了一次函数的性质，注意解题时要分类讨论．1、 一次函数的增减性：一般地，一次函数y kx b =+（,k b 为常数，0k ≠）具有以下性质： 当0k >时，函数值y 随自变量x 的值增大而增大，图像为上升； 当0k <时，函数值y 随自变量x 的值增大而减小，图像为下降．2、 一次函数图像的位置情况：直线y kx b =+（0k ≠，0b ≠）过(0,)b 且与直线y kx =平行，由直线y kx =在平面直角坐标系内的位置情况可知：（要用图像的平移推导可得） 当0k >，且0b >时，直线y kx b =+经过一、二、三象限； 当0k >，且0b <时，直线y kx b =+经过一、三、四象限； 当0k <，且0b >时，直线y kx b =+经过一、二、四象限； 当0k <，且0b <时，直线y kx b =+经过二、三、四象限． 把上述条件反过来叙述，也是正确的．（这部分知识概念也可以按照下面表格进行讲解和整理）0b >0b <0b =0k >经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大0k <经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小知识精讲模块二：一次函数的性质【例9】 已知函数：①2y x =-+；② 132y x =+；③ 53y x =；④ 32xy -=；⑤11(1)45y x x =--．在这些函数中，函数值y 随自变量x 的值增大而减小的函数有_______________． 【难度】★ 【答案】①④．【解析】由一次函数的性质，当0k <时，y 随x 的增大而减小，故选①④． 【总结】本题考察了一次函数的性质．【例10】 已知一次函数(32)1y m x m =-++，函数值y 随自变量x 的值增大，而减小．（1）求m 的取值范围； （2）其函数图像经过那些象限?【难度】★ 【答案】（1）32m >； （2）经过一、二、四象限． 【解析】（1）由已知得：320m -<，解得：32m >； （2）此时10m +>，一次函数经过一、二、四象限． 【总结】本题考察了一次函数的性质及图像所过的象限．【例11】 已知点(1)A a -，和(4)B b ，在函数13y x m =-+的图像上，试比较a 与b 的大小． 【难度】★ 【答案】a b >．【解析】由已知得：103k =-<，所以y 随x 的增大而减小，∴a b >．【总结】本题考察了一次函数的性质，也可用特殊值法比较大小．【例12】 完成下列填空：（1） 直线25y x =--是________（填“上升”或“下降”）的，并且与y 轴的______半轴相交，因此这条直线经过第________象限，截距为_______；（2） 直线7(2)y x =-是________（填“上升”或“下降”）的，并且与y 轴的______半轴相交，因此这条直线经过第________象限，截距为_______．例题解析【难度】★【答案】（1）下降，负，二、三、四，-5； （2）上升，负，一、三、四，-14． 【解析】略．【总结】本题考察了一次函数的性质，要熟记不同的情况．【例13】 直线2(1)1y m x m =+++与y 轴的交点坐标是(03)，，且直线经过第一、二、四象限，则该直线与x 轴的交点为__________． 【难度】★★【答案】30)，．【解析】由已知得：21310m m ⎧+=⎨+<⎩， 解得：m = ∴(1)3y x =+．令0y =，解得：3x =，∴与x 轴的交点坐标是：30)，． 【总结】本题考察了一次函数的性质及交点坐标；【例14】 直线2(1)3y m x =--上有两点11()A x y ，和点22()B x y ，，且12x x >，12y y <，则常数m 的取值范围是_______________． 【难度】★★ 【答案】11m -<<．【解析】由已知得：y 随x 的增大而减小， 则210m -<， 解得：11m -<<．【总结】本题考察了一次函数的性质，注意对于一元二次不等式的求解方法．【例15】 已知一次函数y kx b =+的图像是与直线23y x =-平行的直线．（1） 随着自变量x 的值的增大，函数值y 增大还是减小? （2） 直线4y kx =-经过哪几个象限? （3） 直线y kx b =+经过哪几个象限? 【难度】★★【答案】（1）y 随着x 的增大而减小； （2）二、三、四象限； （3）①当0b <时，经过二、三、四象限； ②当0b =时，经过二、四象限； ③当0b >时，经过一、二、四象限．【解析】（1）由已知得：203k =-<，故y 随着x 的增大而减小；（2）∵00k b <<，，经过二、三、四象限； （3）①当0b <时，经过二、三、四象限； ②当0b =时，经过二、四象限； ③当0b >时，经过一、二、四象限． 【总结】本题考察了一次函数的图像及性质的运用．【例16】 已知直线(21)3y m x m =-+，分别根据下列条件求m 的值或m 的取值范围：（1） 这条直线经过原点； （2） 这条直线经过一二四象限； （3） 这条直线不经过第三象限； （4） 这条直线与2 1.5y x =-+平行． 【难度】★★【答案】（1）0m =； （2）102m <<； （3）102m ≤≤； （4）12m =-． 【解析】（1）由已知得：30m =，解得：0m =； （2）由已知得：21030m m -<⎧⎨>⎩，解得：102m <<；（3）由已知得：21030m m -≤⎧⎨≤⎩，解得：102m ≤≤；（4）由已知得：212m -=-，解得：12m =-．【总结】主要考察了一次函数的性质的运用，本题中要特别注意题干中说的是直线，因此包含了常值函数在里面，从而第（3）小问中k 可以为零．【例17】 函数y ax b =+与y bx a =+的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ）．AB CD【难度】★★ 【答案】B【解析】本题型可以将每个选项中两条直线的k 、b 范围写出来，不矛盾即为正确选项， 故选B ．【总结】本题考察了一次函数的图像与函数解析式中k 、b 的关系．【例18】 点(1，m )，(2，n )在函数2(963)3(3)y a a x a a =-+-+-≠的图象上，则m 、n 的大小关系是____________． 【难度】★★★ 【答案】m n >．【解析】转化得：2[(31)2]3y a x a =---+-， ∵2(31)20a ---<， ∴y 随x 的增大而减小， ∴m n >．【总结】本题考察了一次函数的性质，注意对比例系数进行配方，从而判定正负性．【例19】 无论p 为何值，除0以外，直线2y px p =+一定经过__________象限． 【难度】★★★ 【答案】二、三．【解析】（1）当0p >时，直线经过一、二、四象限； （2）当0p <时，直线经过二、三、四象限； 故直线一定经过二、三、象限； 【总结】本题考察了一次函数的象限特点．【例20】 不论k 为何值，解析式(21)(3)(11)0k x k y k --+--=表示的函数的图象必过定点，求此定点的坐标． 【难度】★★★ 【答案】(23)，．【解析】转化得：(21)3110x y k x y ----+= ∵不论k 为何值，图象必过定点， ∴2103110x y x y --=⎧⎨--+=⎩， 解得：23x y =⎧⎨=⎩，∴定点坐标为：(23)，．【总结】本题考察了函数恒过定点的问题，此题型只要令可取任意值的字母系数为零 即可解决．1、一次函数y kx b =+（,k b 为常数，0k ≠）中k 、b 的意义： k （称为斜率）表示直线y kx b =+（0k ≠）的倾斜程度；b （称为截距）表示直线y kx b =+（0k ≠）与y 轴交点是(0,)b ，也表示直线在y 轴上的截距．2、同一平面内，不重合的两直线1(0)a ≠与2(0)a ≠的位置关系： 当1212a a b b =≠，时，两直线平行．当12a a ≠时，两直线相交，交点为方程组1122y a x b y a x b =+⎧⎨=+⎩的解．当12b b =时，两直线交于y 轴上同一点．【例21】 已知一次函数y =kx +b ，y 随x 的增大而增大，且kb <0，指出一次函数的图像经过的象限． 【难度】★★ 【答案】一、三、四；【解析】由已知得：0k >，又kb <0， ∴b <0． ∴一次函数图像经过一、三、四象限．【总结】本题考察了一次函数图像经过的象限的特点．【例22】 若直线1l ：23y x =-与直线2l ：3y x =-+相交于点P ，（1）求P 点坐标；（2）求1l ，2l 与x 轴所围成的三角形的面积； （3）求1l ，2l 与y 轴所围成的三角形的面积； （4）求1l ，2l 与坐标轴所围成的四边形的面积. 【难度】★★【答案】（1）P （2，1）；（2）34； （3）6； （4）274． 【解析】（1）联立：233y x y x =-⎧⎨=-+⎩， 解得：21x y =⎧⎨=⎩， ∴交点坐标为P （2，1）；11b x a y +=22b x a y +=例题解析知识精讲模块三：一次函数的性质的总结与运用（2）易得233y x y x =-=-+与分别与x 轴交于（302，）、（3，0）， ∴1331224S =⨯⨯=；（3）易得233y x y x =-=-+与分别与y 轴交于（03-，）、（0，3）， ∴16262S =⨯⨯=；（4）由题意可知，所求的四边形为图中红色边的四边形，∴1313276322224S =⨯⨯+⨯⨯=．【总结】本题考察了一次函数围成图形的面积，规则图形用公式法，不规则图形用割补法；【例23】 已知：如图，直线PA 是一次函数(0)y x n n =+>的图象，直线PB 是一次函数2(0)y x m m =-+>的图象，其中点Q 是直线PA 与y 轴的交点．（1）用m ，n 来分别表示点P ，A ，B ，Q 的坐标；（2）四边形PQOB 的面积是56，AB ＝2，试求P 点的坐标，并写出直线PA 与PB 的解析式． 【难度】★★【答案】（1）(0)Q n ，，(0)A n -，，(0)2m B ，，2()33m n m nP -+，； （2）14()33P ，， :1PA y x =+， :22PB y x =-+．【解析】（1）易得：(0)Q n ，，(0)A n -，，(0)2mB ，； 联立：2y x n y x m =+⎧⎨=-+⎩， 解得：323m n x m n y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∴2()33m n m n P -+，；（2）由已知得：212152232622m n n m n +⎧⨯⨯-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得：21m n =⎧⎨=⎩，∴14()33P ，， :1PA y x =+， :22PB y x =-+．【总结】本题考察了一次函数与几何的综合，综合性较强，解题时注意认真分析． 【例24】 已知一次函数f (x )=ax +2a +1，当11x -≤≤时，f (x )的值有正有负，求a 的取值范围． 【难度】★★★【答案】113a -<<-．【解析】由已知得：(1)(1)0f f -⋅<，∴(1)(31)0a a ++<，解得：113a -<<-．【总结】本题考察了一次函数的性质及根据取值范围得到两个函数值的正负，从而求出不等式的解集．【例25】 已知m 为正整数，直线5214x m y -++=和233my x =-+的交点在第四象限，求这两条直线与x 轴围成的三角形的面积． 【难度】★★★【答案】1140S =．【解析】联立5214233x m y m y x -++⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩， 解得：2307207m x m y +⎧=>⎪⎪⎨-⎪=<⎪⎩，∵交点在第四象限， ∴可解得：322m -<<， 又∵m 为正整数， ∴1m =．∴534x y -+=和213x y -+=两直线交点坐标为：（5177-，） 两直线与x 轴交点坐标为：（305，），（102，）， ∴13111()2527140S =⨯-⨯=．【总结】本题考察了一次函数交点坐标及围成三角形面积的求法．【习题1】已知，直线2(1)2y k x k =-++在y 轴上的截距为4，且y 随x 的增大而增大，则k =_____________．【难度】★ 【答案】2．【解析】∵224k +=，∴22k =， ∴2k =±， ∵10k ->， ∴2k =． 【习题2】若点P (,)a b -在第二象限内，则直线y ax b =-不经过________． 【难度】★随堂检测【答案】第二象限．【解析】由题意可得：00a b>>，，则直线经过一、三、四象限，故不经过第二象限．【总结】本题考察了一次函数图像性质．【习题3】若0bc<，0ab>，则一次函数a cy xb b=--的图像经过第_________象限．【难度】★★【答案】第一、二、四象限．【解析】由题意可得一次函数图像经过一、二、四象限．【总结】本题考察了一次函数的图像的性质．【习题4】已知点A(2)a-，、B(3)b-，在直线(5)2y k x=++上，且a b≥，则k的取值范围是__________．【难度】★★【答案】5k≥-．【解析】∵a b≥，∴y随x的增大而增大，∴50k+≥，∴5k≥-．【总结】本题考察了一次函数的图像的性质及增减性的综合运用．【习题5】根据图中所画的直线1y kx k=--，则一次函数213ky kx k-=+在y轴上的截距为__________，与坐标轴围成的三角形面积为__________．【难度】★★【答案】．【解析】∵211k-=，∴k=由图可知，0k<，∴k=∴213ky kx k-=+=--∴此一次函数在y轴上的截距为【总结】本题考察了一次函数的概念和图像，注意认真分析题目中的条件．【习题6】（1）一次函数(63)24y m x n=-+-不经过第三象限，则m、n的范围是________；（2）直线(63)24y m x n=-+-不经过第三象限，则m、n的范围是_________．【难度】★★【答案】（1）2m >，2n ≥； （2）2m ≥，2n ≥．【解析】（1）∵一次函数图像不经过第三象限，∴630m -<，240n -≥， ∴2m >，2n ≥；（2）∵直线不经过第三象限， ∴630m -≤，240n -≥， ∴2m ≥，2n ≥．【总结】本题考察了函数图像的性质与函数解析式的系数的关系．【习题7】已知直线(0)y kx b k =+≠与x 轴的交点在x 轴的正半轴，下列结论：（1）00k b >>，；（2）00k b ><，；（3）00k b <>，；（4）00k b <<，．其中正确的是_________． 【难度】★★ 【答案】（2）、（3）．【解析】画图可知（2）、（3）正确．【总结】本题考察了一次函数的图像与函数解析式系数的关系．【习题8】直线111:l y k x a =+，222:l y k x b =+的交点坐标是（1，2），则使1y ＜2y 的x 取值范围是__________【难度】★★ 【答案】1x <．【解析】由图易得1y ＜2y 的x 取值范围是1x <． 【总结】本题考察了学生观察、识图的能力．【习题9】若一次函数(0)y kx b k =+≠的自变量x 的取值范围是26x -≤≤，相应的函数值的范围是119x -≤≤，求此函数的解析式，以及其经过哪些象限？【难度】★★★【答案】562y x =-，函数图像经过一、三、四象限；或542y x =-+，函数图像经过一、二、四象限；【解析】由题意易得函数经过点（-2，-11）和（6，9）或者过（-2，9）和（6，-11），∴11296k b k b -=-+⎧⎨=+⎩或 92116k b k b =-+⎧⎨-=+⎩， 解得： 526k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 或 524k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴函数的解析式为：562y x =-，函数图像经过一、三、四象限；或542y x =-+，函数 图像经过一、二、四象限．【习题10】已知方程1(0)ax b a -=<的解为x =（1）求出函数1y ax b =--与x 轴的交点坐标； （2）解不等式10ax b --≥；（3）试求函数1y ax b=--与一次函数2(y x =-的交点坐标．【难度】★★★【答案】（10）； （2）x ≤； （30）． 【解析】观察图像可知．【总结】本题考察了学生对函数的识图能力和与方程的联系．【习题11】如图，直线L ：122y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一点C (04)，，动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动． （1）求A 、B 两点的坐标；（2）求△COM 的面积S 与点M 的移动时间t 之间的函数关系式； （3）当t 何值时△COM ≌△AOB ，并求此时M 点的坐标． 【难度】★★★【答案】（1）A （4，0）， B （0，2）；（2）S =8-2t （04t ≤<），S =2t -8 （4t >）； （3）t =2时，M (2，0)； t =6时，M (-2，0)． 【解析】（1）易得A （4，0）， B （0，2）；（2）114422S OM OC t =⋅=-⋅；当04t ≤≤时，82S t =-， 当4t >时，28S t =-；（3）当04t ≤<时，t =2时，M (2，0)； 当4t >时， t =6时，M (－2，0)． 【总结】本题考察了函数的综合应用．【习题12】一个一次函数图象与直线514y x =-平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ， 并且过点(125)--，，则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有哪些?【难度】★★★【答案】（3，－20），（7，－15），（11，－10），（15，－5），（19，0）；【解析】设54y x b=+，代入点(125)--，得：5254b-+=-，解得：954b=-，∴该一次函数的解析式为：5954xy-=，转化，得：49541955yx y+==+，∴当y 为5的倍数时，x为整数，∴满足条件的点有：（3，－20），（7，－15），（11，－10），（15，－5），（19，0）．【总结】本题考察了一次函数的图像和性质以及对整数点坐标的理解．【习题13】已知：不论k取什么实数，关于x的函数236kx a x bky+-=-（a、b是常数）始终经过点(11)，，试求a、b的值．【难度】★★★【答案】724ab⎧=⎪⎨⎪=-⎩．【解析】把（1，1）代入，得：211 36k a bk+--=，化简得：(4)(27)0b k a++-=，∵函数236kx a x bky+-=-（a、b是常数）始终经过点(11)，，∴40270ba+=⎧⎨-=⎩，解得：724ab⎧=⎪⎨⎪=-⎩．【总结】本题考察了一次函数恒过点的问题，主要是将问题转化为方程的解为任意实数的问题．课后作业【作业1】已知一次函数y kx b =+的图像交y 轴于正半轴，且y 随x 的增大而减小，请写出符合上述条件的一个解析式___________． 【难度】★【答案】1y x =-+等，不唯一． 【解析】只需要00k b <>，即可． 【总结】本题考察了一次函数的性质．【作业2】（1）已知m 是整数，且一次函数(4)2y m x m =+++的图像不经过第二象限，则m 为__________；（2）一次函数(2)43y a x a =-+-的图像与y 轴的交点在x 轴的下方，则a 的取值范围是__________． 【难度】★【答案】（1）3-； （2）34a <． 【解析】（1）由已知，得：4020m m +>⎧⎨+≤⎩， 解得：42m -<<-，∵m 是整数， ∴3m =-；（2）由已知，得：43020a a -<⎧⎨-≠⎩， 解得：34a <．【总结】本题考察了一次函数的性质，注意对图像不经过第几象限的准确理解．【作业3】已知直线2(0)y mx m m =+<．（1）当x 取何值时，0y =？（2）当x 取何值时，0y >？ （3）当x 取何值时，0y <？（4）在m 的取值范围内，直线在平面直角坐标系始终经过哪些象限？ 【难度】★★【答案】（1）2x =-； （2）2x <-； （3）2x >-； （4）二、三、四象限． 【解析】（1）令0y =，解得：2x =-； （2）令0y >，解得：2x <-； （3）令0y <，解得：2x >-； （4）易得：图像经过二、三、四象限． 【总结】本题考察了一次函数的图像及性质． 【作业4】已知(0)y kx b k =+≠的函数图像如图所示：（1）求在这个函数图像上且位于x （2）求解不等式0kx b +≥．【难度】★★【答案】（1）5x >-； （2）5x ≤-．【解析】（1）由图像可得：5x >-； （2）由图像可得：5x ≤-． 【总结】本题考察了一次函数与方程、不等式的关系．【作业5】函数y kx k =+与ky x=(0)k ≠在同一坐标系内的图象可能是（ ）．ABCD【难度】★★ 【答案】C ．【解析】本题型可以将每个选项中两条直线的k,b 范围写出来，不矛盾即为正确选项，故选C ．【总结】本题考察了一次函数与反比例函数的图像．【作业6】已知一次函数2(3)2y m x m =--+，函数值y 随自变量x 的值增大而减小．（1）求m 的取值范围； （2）其函数图像经过那些象限？【难度】★★【答案】（1）3m >； （2）二、三、四象限． 【解析】（1）由已知得：30m -<，解得：3m >；（2）由已知得：00k b <<，，图像经过二、三、四象限．【总结】本题考察了一次函数的图像及性质．【作业7】已知点(3)a A y ，和(3)b B y -，在函数2(3)y m x m =--+的图像上，试比较a y 与b y 的大小．【难度】★★ 【答案】a b y y <．【解析】由已知得：230k m =--<， ∴y 随x 的增大而减小， ∵33>-， ∴a b y y <． 【总结】本题考察了一次函数的性质的运用．【作业8】k 在为何值时，直线2154k x y +=+与直线23k x y =+的交点在第四象限？ 【难度】★★【答案】322k -<<．【解析】联立：215423k x y k x y +=+⎧⎨=+⎩， 解得：23727k x k y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩∵交点在第四象限， ∴2307207k k +⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩， ∴322k -<<．【总结】本题考察了一次函数的交点坐标问题．【作业9】画出函数32y x =--的图像，利用图像求：（1）方程320x --=的根； （2）不等式320x --≥的解集； （3）当7y ≤时，求x 的取值范围；（4）当11x -≤≤时，求y 的取值范围； （5）求图像与坐标轴围成的三角形的面积； 【难度】★★【答案】（1）23x =-；（2）23x ≤-；（3）3x ≥-； （4）51y -≤≤；（5）23；【解析】（1）23x =-；（2）23x ≤-；（3）当7y =时，3x =-， ∴7y ≤时，3x ≥-；（4）当1x =-时，1y =； 当1x =时，5y =-； ∴当11x -≤≤时，51y -≤≤；（5）1222233S =⨯⨯=． 【总结】本题考察了一次函数与方程不等式的关系，主要是对函数图像的正确理解．【作业10】已知直线23y mx m m =-++分别根据下列条件求m 的值或m 的取值范围：（1）直线经过(13)，；（2）直线经过原点；（3）直线与1y x =-平行； （4）直线在y 轴上的截距4；（5）直线经过一三四象限．【难度】★★【答案】（1）31m =-或；（2）30m =-或；（3）m =（4）41m =-或；（5）30m -<<． 【解析】（1）代入（1，3）得：233m m m -++=，解得：31m =-或；（2）代入（0，0）得：230m m +=，解得：30m =-或；（3）由已知得：m -=，解得：m = （4）由已知得：234m m +=，解得：41m =-或；（5）由已知得：2030m m m ->⎧⎨+<⎩解得：30m -<<． 【总结】本题考察了一次函数的性质，注意对直线过原点的正确理解．【作业11】若一次函数(0)y kx b k =+≠，当31x -≤≤时，对应的函数y 值为19y ≤≤，则一次函数的解析式为_____________．【难度】★★★【答案】27y x =+或23y x =-+．【解析】（1）当0k >时，函数经过（－3，1）和（1，9）时，代入两点得：319k b k b -+=⎧⎨+=⎩ 解得：27k b =⎧⎨=⎩， ∴一次函数的解析式为：27y x =+；（2）当0k <时，函数经过（1，1）和（－3，9）时，代入两点得：139k b k b +=⎧⎨-+=⎩解得：23k b =-⎧⎨=⎩图1图2图3∴一次函数的解析式为：23y x =-+，综上，一次函数的解析式为：27y x =+或23y x =-+．【总结】本题考察了一次函数的图像及性质，注意分类讨论．【作业12】已知2y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，另一直线(0)y kx b k =+≠经 过点(10)C ，，且把△AOB 分成两部分．（1）若把△AOB 被分成的两部分面积相等，求k 、b 的值； （2）若△AOB 被分成的两部分面积之比为1：5，求k 、b 的值．【难度】★★★【答案】（1）22k b =-=，； （2）1133k b =-=，或1122k b ==，． 【解析】（1）如图1，易得：点C 为OA 中点∴BC 分△AOB 被分成的两部分面积相等∴22y x =-+即22k b =-=，；（2）由已知，得：1163AOB S S ∆∆==， ∴13h =． 1º：如图2，直线经过（0，13） ∴1133y x =-+，11,33k b =-=； 2º：如图3，直线经过（5133，） ∴1122y x =-，11,22k b ==； 综上：1133k b =-=，或1122k b ==，． 【总结】本题考察了一次函数的综合运用，注意当涉及到 面积比时，由于没说清楚哪部分大哪部分小，因此要分类 讨论．。

一次函数的对称性专题-教师版8.因为一次函数y=kx+b与y=-kx+b(k≠0)的图像关于y轴对称，所以我们定义：函数y=kx+b的对称函数为y=-kx+b。

(1) 首先，根据题意，函数y=3x-2的“镜子”函数为y=-3x-2.因此答案为y=-3x-2.其次，根据题意，一对“镜子”函数y=kx+b与y=-kx+b(k≠0)的图像交于点A，且与x轴交于B、C两点，如图所示，若△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，且它的面积是16，求这对“镜子”函数的解析式。

我们可以先求出三角形ABC的三个顶点坐标：B(-4,0)，C(4,0)，A(0,4)。

将B、A分别代入y=kx+b得：-4k+b=0，b=4k=1因此，函数的解析式为y=x+4，其“镜子”函数为y=-x+4.(2) 如图，一次函数y=-3x+3的函数图像与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°。

首先，我们可以求出三角形ABC的三个顶点坐标：A(1,0)，B(0,3)，C(1,2)。

(1) 我们可以通过向量的方法求出△ABC的面积：设向量AB为a，向量AC为b，则△ABC的面积为|a ×b|/2.a =。

b =a ×b = 1×2 - 3×0 = 2|a × b| = 2因此，△ABC的面积为1.接下来，我们可以求出点P在直线y=-3x+3上的坐标，设其为P(m。

-3m+3)。

将P代入向量AP和BP的长度公式中，得到：AP^2 = (m-1)^2 + (-3m+3)^2BP^2 = m^2 + (-3m)^2因为∠ABC=30°，所以AP^2 = 3BP^2.代入上面的式子，解得m = -2/3.因此，点P的坐标为(-2/3.7/3)。

接下来，我们可以通过向量的方法求出四边形AOPB的面积：设向量AP为a，向量BP为b，则四边形AOPB的面积为|a × b|/2.a =。

函数图象对称性一、课程目标知识目标：1. 学生能理解函数图象对称性的概念，掌握对称轴、对称中心等基本术语。

2. 学生能运用对称性对给定的函数图象进行分类，并判断其对称性质。

3. 学生能运用对称性质简化计算，解决与函数图象有关的问题。

技能目标：1. 学生能够运用数形结合的思想，通过绘制函数图象，观察和分析图象的对称性。

2. 学生能够运用所学知识，解决实际问题，提高解决问题的能力。

3. 学生能够通过合作交流，提高团队协作和表达能力。

情感态度价值观目标：1. 学生通过探索函数图象的对称性，培养对数学美的欣赏和热爱。

2. 学生在解决问题的过程中，培养勇于尝试、善于思考的学习态度。

3. 学生通过小组合作，学会尊重他人意见，提高沟通能力和团队意识。

课程性质：本课程为高中数学课程，以函数图象对称性为主题，旨在帮助学生掌握函数图象的基本性质，提高数学思维能力和解决问题的能力。

学生特点：高中学生具备一定的数学基础，具有较强的逻辑思维能力和空间想象力，但对函数图象对称性的理解可能不够深入。

教学要求：结合学生特点，课程设计应注重启发式教学，引导学生通过观察、思考、实践，掌握函数图象对称性的相关知识，提高解决问题的能力。

同时，注重培养学生的团队合作精神和情感态度价值观。

通过分解课程目标为具体学习成果，为后续教学设计和评估提供依据。

二、教学内容本节教学内容主要包括以下几部分：1. 函数图象对称性的概念及分类- 对称轴、对称中心的概念及其在函数图象中的应用- 奇函数、偶函数的图象特点及其对称性2. 常见函数图象的对称性质- 一次函数、二次函数、反比例函数的图象对称性- 三角函数图象的对称性3. 函数图象对称性的应用- 利用对称性质简化计算- 解决与函数图象有关的问题教学大纲安排如下：第一课时：函数图象对称性的概念及分类1. 引入对称性的概念，解释对称轴、对称中心等术语2. 分析奇函数、偶函数的图象特点，探讨其对称性质第二课时：常见函数图象的对称性质1. 研究一次函数、二次函数、反比例函数的图象对称性2. 探索三角函数图象的对称性第三课时：函数图象对称性的应用1. 利用对称性质简化计算，解决实际问题2. 结合具体例子，让学生体会对称性在解决问题中的应用教学内容与教材关联性：本节内容以教材中关于函数图象对称性的章节为基础，结合实际教学需求，对相关知识进行系统梳理和拓展，确保学生能够掌握函数图象对称性的核心概念和应用。

高中数学函数的对称性知识点讲解及典型习题分析高中数学函数的对称性知识点讲解及典型习题分析新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。

尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。

一、对称性的概念及常见函数的对称性1、对称性的概念：①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。

②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。

2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。

②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。

③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为ab x 2-=。

④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x 与y=-x 均为它的对称轴。

⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。

⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。

⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y 轴；而其他的幂函数不具备对称性。

⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，2ππ+=k x 是它的对称轴。

⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x ，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x ，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。

一次函数对称问题一次函数对称问题，这听起来好像是个严肃的话题，但实际上，咱们可以把它聊得轻松一点。

想象一下，你走在大街上，突然发现两边的建筑物在你面前对称得像镜子里的倒影。

哎呀，这可不是巧合，这可得从数学的角度来捋一捋。

一次函数，简单说，就是一种直线方程，通常写成y = mx + b。

这里的m就是斜率，b则是y轴的截距。

没啥复杂的，就是一条直线在平面上滑来滑去。

这条直线就像你平常吃的方便面，简单又美味，但吃久了也会觉得单调。

这个对称问题又是个啥呢？其实嘛，想想你跟朋友站在一条直线上，假设你们站在x轴的两边，正好是对称的。

这个时候，如果你的朋友往前走一步，你要不要跟着走？当然要啊，不然就没意思了。

这个对称就是一次函数的一种表现。

当我们把这条直线在y轴上折一折，它的两个部分就像你和朋友一样，相互呼应，彼此对称。

想象一下，在数学的世界里，这种美感可是让人心醉神迷。

而且一次函数对称问题不仅仅是个图形上的小把戏，它在生活中也随处可见。

比如你跟朋友一起去吃饭，点了同样的菜，结果你们各自只吃了一半，这就是一种对称呀。

一人一半，各自都满意，这样的场景是不是很有趣？再比如说，一对恋人，他们在一起时，往往会有许多相似之处，像两颗星星在天空中闪烁，对称又和谐。

生活中每一个小细节，几乎都能找到一次函数对称的影子。

再说到数学课上，老师一讲到一次函数，大家的眼神就像被一盆冷水浇灭了热情。

可是你想啊，掌握了这些知识，考试的时候可是能得不少分的呢！想象一下，考试前的晚上，你在灯下捧着书，突然灵光一现，觉得原来对称是这么简单。

这种成就感简直让人想跳起来，仿佛自己发现了新大陆。

怎么才能把一次函数的对称问题理解得更透彻呢？学会用图形来理解是个好办法。

拿一张白纸，画出x轴和y轴，接着把y = mx + b这条线画出来。

然后，试着在y轴上折一下，看它是不是变得像个双胞胎一样。

这种直观的理解，简直像吃了一口甜蜜的巧克力，心里满是欢喜。

很多同学可能会觉得一次函数只是个冷冰冰的数学公式，但其实它有它的温度。

一次函数图象的变换——对称求一次函数图像关于某条直线对称后的解析式是一类重要题型，同学们在做时经常做错，下面我介绍一种简便的方法：抓住对称点的坐标解决问题。

知识点：1、与直线y=kx+b关于x轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数。

设l上任一点的坐标为（x,y），则（x, -y）应当在直线y=kx+b上，于是有-y=kx+b,即l：y=-kx-b。

2、与直线y=kx+b关于y轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数。

设l上任一点的坐标为（x,y），则（-x, y）应当在直线y=kx+b上，于是有y=-kx+b,即l：y=-kx+b。

下面我们通过例题的讲解来反馈知识的应用：例：已知直线y=2x+6.分别求与直线y=2x+6关于x轴，y轴和直线x=5对称的直线l的解析式。

分析：关于x轴对称时，横坐标不变纵坐标互为相反数；关于y轴对称时，纵坐标不变横坐标互为相反数；关于某条直线（垂直坐标轴）对称时，则相关点解：1、关于x轴对称设点（ x , y ）在直线l上，则点（ x , -y ）在直线y=2x+6上。

即：-y=2x+6y=-2x-6所以关于x轴对称的直线l的解析式为：y=-2x-6.关于直线对称。

2、关于y轴对称设点（x,y）在直线l上，则点（-x,y）在直线y=2x+6上。

即：y=2(-x) +6y=-2x+6所以关于y轴对称的直线l的解析式为：y=-2x+6.3、关于直线x=5对称（作图）由图可知：AB=BC则C点横坐标：-x+5+5=-x+10所以点C （-x+10, y）设点（x,y）在直线l上，则点（-x+10, y）在直线y=2x+6上。

即：y=2（-x+10）+6y=-2x+26所以关于直线x=5对称的直线l的解析式为：y=-2x+26.总结：根据对称求直线的解析式关键在找对称的坐标点。

关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数；关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数；关于某条直线（垂直对称轴）对称，可见例题中分析的方法去求对称点。

1．函数的概念：在某一变化过程中，有两个量，例如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应，其中x 是自变量，y 是因变量，此时也称y 是x 的函数．函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系． 2．函数的三种表示方法：（１）列表法：把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成表格来表示函数的方法． （２）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．譬如：30S t =，2S R π=． （３）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法． 3．函数自变量的取值范围的确定：函数自变量的取值范围是指是函数有意义的自变量的取值的全体．求自变量的取值范围通常从两方面考虑，一是要使函数的解析式有意义；二是符合客观实际．在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面： （１）整式：自变量的取值范围是任意实数．（２）分式：自变量的取值范围是使分母不为零的任意实数． （３）根式：当根指数为偶数时，被开方数为非负数． （４）零次幂或负整数次幂：使底数不为零的实数．注意：在一个函数关系式中，同时有各种代数式，函数自变量的取值范围是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．在实际问题中，自变量的取值范围应该符合实际意义，通常往往取非负数，整数之类． 4．函数图像：（1）函数图象的概念：对于一个函数，如果把自变量x 和函数y 的每对值分别作为点的横坐标与纵坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是函数的图象．一次函数图像及性质知识回顾（2）函数图象的画法：①列表； ②描点； ③连线． （3）函数解析式与函数图象的关系：由函数图象的定义可知，图象上任意一点(),P x y 中的x ，y 都是解析式方程的一个解．反之，以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数的图象上．判断一个点是否在函数图象上的方法是：将这个点的坐标值代入函数的解析式，如果满足函数解析式，这个点就在函数的图象上，否则就不在这个函数的图象上．一、一次函数的概念一般地，形如（，是常数，）的函数，叫做一次函数．（1）一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．（2）当，时，是正比例函数，正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．二、一次函数的图象（1）一次函数（，，为常数）的图象是一条直线．（2）由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．①如果这个函数是正比例函数，通常取，两点； ②如果这个函数是一般的一次函数（），通常取，，即直线与两坐标轴的交点．（3）由函数图象的意义知，满足函数关系式的点在其对应的图象上，这个图象就是一条直线，反之，直线上的点的坐标满足，也就是说，直线与是一一对应的，所以通常把一次函数的图象叫做直线：，有时直接称为直线． 三、一次函数的性质1．一次函数图象的位置y kx b =+k b 0k ≠y kx b =+0b =0k ≠y kx =y kx b =+0k ≠k b ()00，()1k ，0b ≠()0b ，0b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，y kx b =+()x y ，l l ()x y ，y kx b =+l y kx b =+y kx b =+l y kx b =+y kx b =+知识讲解一次 函数，符号0b =图象性质 随的增大而增大 随的增大而减小在一次函数中：（1）当时，其图象一定经过一、三象限；当时，其图象一定经过二、四象限． （2）当时，图象与轴交点在轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当时，图象与轴交点在轴下方，所以其图象一定经过三、四象限． 当0b =时，图象过原点．反之，由一次函数的图象的位置也可以确定其系数、的符号．2．一次函数图象的增减性 在一次函数中：（1）当时，一次函数的图象从左到右上升，随的增大而增大； （2）当时，一次函数的图象从左到右下降，随的增大而减小．【例1】在下列等式中，y 是x 的函数的有（ ）223201x y x y -=-=，，||||y x y x x y ===，，．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C ．【例2】图中，表示y 是x 的函数图象是（ ）()0k kx b k =+≠k b 0k >0k <0b >0b <0b =0b >0b <Ox yyx OOx yyx OOx yyxOy x y x y kx b =+0k >0k <0b >y x 0b <y x y kx b =+k b y kx b =+0k >y kx b =+y x 0k <y kx b =+y x 同步练习【答案】C ．【例3】已知346=0x y +-，用含x 的代数式表示y 为______；用含y 的代数式表示x 为______．【答案】3342y x =-+；423x y =-+．【例4】某商店进一批货，每件6元，售出时，每件加利润0.8元，如售出x 件，应收货款y 元，那么y与x 的函数关系式是______________，自变量x 的取值范围是______________．【答案】 6.8y x = x 取正整数．【变式练习】电话每台月租费28元，市区内电话（三分钟以内）每次0.20元，若某台电话每次 通话均不超过3分钟，则每月应缴费y （元）与市内电话通话次数x 之间的函数关系式是________________ ．【答案】0.2028y x =+．【例5】已知函数223y x =+，当11x =-时，相对应的函数值1y ＝______；当52-=x 时，相对应的函数值2y ＝______； 当3x m =时，相对应的函数值3y ＝______．反过来，当11y =时，自变量x =______．【答案】5；13；223m +；2±．【例6】已知,6xy =根据表中 自变量x 的值，写出相对应的函数值． x … 4-3-2-1-21-0 21 1234… y …【答案】略．【例7】求出下列函数中自变量x 的取值范围．（1）52+-=x x y （2）324-=x xy （3）32+=x y（4）12-=x x y （5）321x y -= （6）23++=x x y（7）10+=x x y （8）|2|23-+=x x y （9）x x y 2332-+-=【答案】（1）全体实数； （2）32x ≠　； （3）32x -…； （4）12x >； （5）全体实数；（6）3x -…且2x ≠-； （7）0x ≠且1x ≠-； （8）23x -…且2x ≠； （9）32x =【例8】写出等腰三角形中一底角的度数y 与顶角的度数x 之间的函数关系．【答案】1902y x =︒-︒．【变式练习】已知：等腰三角形的周长为50cm ，若设底边长为xcm ，腰长为ycm ，求y 与x 的函数解析式及自变量x 的取值范围．【答案】502xy -=；025x <<．【变式练习】用40m 长的绳子围成矩形ABCD ，设AB xm =，矩形ABCD 的面积为2Sm ，（1）求S 与x 的函数解析式及x 的取值范围；（2）写出下面表中与x 相对应的S 的值： x (8)99.51010.51112…S…（3）猜一猜，当x 为何值时，S 的值最大？（4）想一想，如果打算用这根绳子围成的面积比（3）中的还大，应围成么样的图形？并算出相应的面积．【答案】（1）()20S x x =-；（2）略；（3）当10x =时，S 的值最大为100；（4）应围成圆，半径4020=2πr π=，面积2220400πr =π100ππS ⎛⎫=⋅=> ⎪⎝⎭．【例9】2008年5月12日，四川汶川发生8.0级大地震，我解放军某部火速向灾区推进，最初坐车以某一速度匀速前进，中途由于道路出现泥石流，被阻停下，耽误了一段时间，为了尽快赶到灾区救援，官兵们下车急行军匀速步行前往，下列是官兵们行进的距离S （千米）与行进时间t （小时）的函数大致图像，你认为正确的是（ ）【答案】B ．【变式练习】小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了骑车的速度继续匀速行驶，下面是行使路程s （米）关于时间t （分）的函数图象，那么符合这个同学行使情况的图像大致是（ ）【答案】C ．【变式练习】如图，一只蚂蚁从O 点出发，沿着扇形OAB 的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t ，O O O O ttt tSSSSDCBADCBAO O O O yyyyx xxx同步课程˙一次函数图像及性质蚂蚁到O 点的距离为S ，则S 关于t 的函数图象大致为（ ）【答案】C ．【例10】边长为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t ，大正方形内除去小正方形部分的面积为S （阴影部分），则S 与t 的大致图象为( )【答案】A ．【变式练习】如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，动点P 从点B 出发，沿路线B C D →→作匀速运动，那么ABP ∆的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（ ）O O O O ttt tSSSSDCBABAO DCBAOOOOtttt SSSSDCBA DCBA3311123131yyyyxxxxO O O O【答案】B ．【例11】如果 A B 、两人在一次百米赛跑中，路程S (米)与赛跑的时间t (秒)的关系如图所示,则下列说法中正确的是 ( )A ．A 比B 先出发 B ．A B 、两人的速度相同 C ．A 先到达终点 D .B 比A 跑的路程多【答案】C ．【变式练习】甲、乙两同学从A 地出发，骑自行车在同一条路上行驶到距离A 地18km 的B 地，他们离出发地的距离S （km ）和行驶时间t (h )之间的函数关系的图象如图所示.根据图中提供的信息，符合图象描述的说法是（ ）A ．甲在行驶的过程中休息了一会B ．乙在行驶的过程中没有追上甲C ．乙比甲先到了B 地D .甲的行驶速度比乙的行驶速度大【答案】D ．【变式练习】某校八年级同学到距学校千米的郊外春游，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，如图，、分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程(千米)与所用时间(分钟)之间的函数图象，则以下判断错误的是( )A ．骑车的同学比步行的同学晚出发分钟tSO BA61l 2l y x 60545030y （千米）x （分钟）l2l1O 30 乙甲2.520.5OtSB ．步行的速度是千米/时C ．骑车同学从出发到追上步行同学用了分钟D ．骑车的同学和步行的同学同时达到目的地【答案】D ．【例12】下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】（2）是正比例函数，（1）（2）（4）（5）是一次函数．【变式练习】下列函数中，是正比例函数的是（ ）A ．2y x =B ．x y 21=C ．2y x =D ．21y x =-【答案】A ．【例13】若23y x b =+-是正比例函数，则的值是（ ）A ．0B ．23-C ．23 D ． 【答案】C【变式练习】已知，当m 取何值时，y 是x 的正比例函数？【解析】∵正比例函数，所以 ∴且∴当时，是的正比例函数．【答案】当时，是的正比例函数．【变式练习】已知函数(为常数)是正比例函数，则_________．【解析】由题意可知，，故． 又∵，，则．62015x y +=-5xy =-21y x =--35x y =--()()212y x x x =---21x y -=b 32-2(1)1y m x m =-+-(0)y kx k =≠21010m m ⎧-=⎨-≠⎩1m =±1m ≠1m =-y x 1m =-y x 1(2)k y k x-=-k k =11k -=2k =±20k -≠2k ≠2k =-【答案】．【例14】函数2y x =-的图象一定经过下列四个点中的（ ）A ．点()12，B ．点()21-，C ．点1(1)2-， D ．点1(1)2-， 【答案】C ．【变式练习】已知正比例函数(，为常数)，经过点(24)，，以下哪个点不在该正比例函数图图象上( )A ．点(24)--，B ．点(00)，C ．点(12)，D ．点(12)-， 【答案】D ．【例15】一次函数y x =-的图象平分（ ）A ．第一、三象限B ．第一、二象限C ．第二、三象限D ．第二、四象限【答案】D ．【例16】若直线y kx =经过点()53A -，，则k ＝______．如果这条直线上点A 的横坐标A x =13-，那么它的纵坐标A y ＝______．【答案】35-，15．【例17】已知与x 成正比例，当时，，求与x 之间的函数关系式，并判断它是不是正比例函数．【解析】依题意，设，整理得：，将代入上式，得：1=32k + ∴13k =-，∴【答案】，它不是正比例函数，是一次函数．【变式练习】已知z m y =+，m 是常数，y 是x 的正比例函数，当2x =时，1z =；当3x =时，1z =-，求z 与x 的函数关系．2k =-y kx =0k ≠k 2y -3x =1y =y 2y kx -=2y kx =+31x y ==，123y x =-+123y x =-+【解析】依题意，设y kx =，z m y =+，整理得：z m kx =+，将21x z ==，和31x z ==-，代入上式，得：25k m =-=，，即25z x =-+． 【答案】25z x =-+．【变式练习】已知与（m n ，为常数）成比例，试判断y 与x 成什么函数关系？ 【解析】依题意，设（0k ≠）整理得：【答案】y 是x 一次函数．【例18】下面哪个正比例函数的图象经过一、三象限（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D ．【变式练习】如果一次函数的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那么（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B ．【例19】已知一次函数(为常数)的图象经过一、二、三象限，求取值范围 ． 【解析】由题意可知，解得．【答案】．【变式练习】已知一次函数的图象如图所示，则的取值范围是__________.【解析】根据题意可得：，解得．【答案】．【例20】如果直线不经过第四象限，那么 （填“”、“”、“”）． 【答案】．y m +x n +y m k x n +=+（）y kx kn m =+-()23y x =-()3.14πy x =-π22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()526y x =-y kx b =+y 00k b >>，00k b ><，00k b <>，00k b <<，(3)(2)y k x k =-+-k k 3020k k ->⎧⎨->⎩23k <<23k <<(5)1y a x a =-+-a 5010a a ->⎧⎨->⎩15a <<15a <<y ax b =+ab 0≥≤=≥yxO【变式练习】若一次函数2(1)12ky k x =-+-的图象不经过第一象限，则k 的取值范围是_______． 【解析】依题可知，()21-0102k k <⎧⎪⎨-⎪⎩…解不等式组得出的取值范围12k <…．【答案】12k <…．【例21】一次函数21y x =--的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A ．【变式练习】若，，则经过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、三、四象限C ．第一、二、四象限D ．第二、三、四象限【解析】根据题意可得，【答案】D ．【变式练习】直线1y kx b =+过第一、二、四象限，则直线2y bx k =-不经过第____象限． 【答案】四．【例22】关于x 的一次函数21y kx k =++的图像可能正确的是（ ）【答案】C ．【例23】函数y ax b =+和y bx a =+在同一坐标系中的可能是（ ）k 0ab >0bc <a ay x b c=-+0a b -<0ac <DCBAy yyyxxxx【答案】D ．【变式练习】如图所示，直线l 1：y ax b =+和l 2：-y bx a =在同一坐标系中的图象大致是（ ）【答案】C ．【例24】下列表示一次函数与正比例函数图象中，一 定不正确的是（ ）A BC D 【答案】A ．【例25】已知函数y kx b =+的函数图像如左图，则2y kx b =+的图像可能是（ ）【答案】CDCBAO O OO y yyyxxxxy mx n =-y mnx =(m n 、为常数，0mn ≠且）OxyOxyOxyOxy11-1-1-1-1O O O DCBA1111yxO yyyyxxxx同步课程˙一次函数图像及性质【例26】已知一次函数，若随的减小而减小，则该函数的图象经过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限【答案】A ．【例27】已知点都在直线上，则大小关系是（ ） A ． B ．C ．D ．不能比较【解析】考察一次函数的性质，的，则随的增大而减小【答案】A ．【变式练习】已知一次函数的图象过点()03，与()21，，则这个一次函数随的增大而 ． 【答案】减小．【例28】已知一次函数()122y m x m =-+-，函数随的增大而减小，且其图像不经过第一象限，则m 的取值范围是___________．【答案】122m <…．【例29】下列说法正确的是（ ）A ．若一次函数()212y m x m =-++的图象与y 轴交点纵坐标是3，则1m =±B ．若点()()111222P x y P x y ，、，在直线y kx b =+()0k <上，且12x x >，那么12y y > C ．若直线y kx b =+经过点()()11A m B m -，，，，当1m <-时，该直线不经过第二象限 D ．直线y kx k =+必经过点()10-，【答案】D ．【例30】一次函数321+-=x y 的图象与y 轴的交点坐标是______，与x 轴的交点坐标是______． 一般的，一次函数y kx b =+与y 轴的交点坐标是______，与x 轴的交点坐标是______．【答案】03（，）；60（，）；0b （，）； bk -（，0）．【变式练习】一次函数21)2y m x m =-++（的图像与y 轴的交点坐标是3，则m 的值是_______． y kx k =+y x ()()1242y y -，，，122y x =-+12y y ，12y y >12y y =12y y <122y x =-+0k <y x y x y x【答案】1-．【例31】已知一次函数y ax b =+的图像经过点()01，，它与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，则a的值为_________．【答案】1±．【例32】函数2y x =的图象与y 轴交于______，而函数23y x =-的图象与y 轴交于______点．因此，函数23y x =-的图象可以看作由直线2y x =向______平移______个单位长度而得到． 当0b ＞时，直线y kx b =+可由直线y kx =向________平移______而得到； 当0b ＜时，直线y kx b =+可由直线y kx =向________平移______而得到．【答案】()00，；()03-，；下；3；上；b ；下；b ．【变式练习】（1）将直线向右平移2个单位所得的直线的解析式是______________．（2）直线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，求所得到的直线的解析式．【答案】（1）；（2）【习题1】正比例函数y kx =的图象是经过原点的一条（ ）A ．射线B ．双曲线C ．线段D ．直线【答案】D ．【习题2】函数在________条件下，是的一次函数；在_________条件下，与成正比例函数．【答案】时该函数为一次函数；且时该函数为正比例函数．【习题3】已知是一次函数，求它的解析式．【解析】 根据题意可得：，解得，所求一次函数为．【答案】．2y x =22y x =+2(2)24y x x =-=-2(3)2226y x x =-+-=-()2211m y m xmn -=-+y x y x 1m =-1m =-0n =1(2)2m y m xm -=-++1120m m ⎧-=⎪⎨-=/⎪⎩2m =-4y x =-4y x =-课后练习【习题4】已知函数)2()12(232+--=-n x m y m ．（1）当m n 、为何值时，其图象是过原点的直线； （2）当m n 、为何值时，其图象是过()04，点的直线；（3）当m n 、为何值时，其图象是一条直线且y 随x 的增大而减小．【答案】（1）12m n =±=-， （2）16m n =±=-， (3)1m n =-，为任何值．【习题5】（1）如果一次函数的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那么( )A ．，B ．，C ．，D ．，（2）已知一次函数的图象经过(，)和(，)两点，且,，则( )A ．B ．，C ．，D ．（3）已知一次函数，若随的减小而减小，则该函数的图象经过( )A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限（4）如图，一次函数的图象大致是( )【答案】（1）B ；（2）A ；（3）A ；（4）B ．【习题6】如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数，，，的图像分别是，，，；那么，，，的大小关系是_________________．y kx b =+y 0k >0b >0k >0b <0k <0b >0k <0b <y kx b =+1x 1y 2x 2y 12x x <12y y <0k >0k <0b >0k <0b <0k <y kx k =+y x 1y ax a=+DC B A OO O O yyyyxxxx 1y k x =2y k x =3y k x =4y k x =1l 2l 3l 4l 1k 2k 3k 4k【解析】．我们探究可以发现：越大，越接近于轴；越小，越接近于轴．在各个象限的增大境况如图所示．【答案】．【习题7】将32y x =-先向左平移3个单位，在向上平移2个单位得到函数解析式为 ；将2433y x =-+先向下平移1个单位，在向右平移2个单位得到的函数解析式为 ．【答案】39y x =+；2533y x =-+．【习题8】点()()P a b Q c d ，、，在一次函数5y x =+的函数图像上，则()()a c d b c d ---的值为______．【答案】依题可知，55a b c d +=+=，，()()()()()=5525a c d b c d c d a b ---=---⨯-=．O yxl 4l 3l 2l 1O yxl 4l 3l 2l 12143k k k k <<<k y k x k 2143k k k k <<<。

函数图像的对称性一、点的对称1、在平面直角坐标系中，已知点P),(ba，则（1）点P到x轴的距离为b；（2）点P到y轴的距离为a；（3）点P到原点O的距离为PO＝22ba+2、平行直线上的点的坐标特征：a)在与x轴平行的直线上，所有点的纵坐标相等；点A、Bb)在与y点C、D的横坐标都等于n；3、对称点的坐标特征：c)点P),(nm关于x轴的对称点为),(1nmP-，即横坐标不变，纵坐标互为相反数；d)点P),(nm关于y轴的对称点为),(2nmP-，即纵坐标不变，横坐标互为相反数；e)点P),(nm关于原点的对称点为),(3nmP--，即横、纵坐标都互为相反数；关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称4、两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：f)若点P（nm,）在第一、三象限的角平分线上，则nm=，即横、纵坐标相等；g)若点P（nm,）在第二、四象限的角平分线上，则nm-=，即横、纵坐标互为相反数；XXX XP在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上二、(一次函数)： 1、若直线与直线关于（1）x 轴对称，则直线l 的解析式为 （2）y 轴对称，则直线l 的解析式为（3）原点对称，则直线l 的解析式为 （4）直线y ＝x 对称，则直线l 的解析式为（5）直线对称，则直线l 的解析式为2、直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系 （1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠（2）两直线相交⇔21k k ≠（3）两直线重合⇔21k k =且21b b =（4）两直线垂直⇔121-=k k三、二次函数：二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．1. 直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线 。

图像与性质1、知识点分布：1.函数零点与图像的交点问题；2.参变分离法转换交点问题；3.函数图像与方程根的讨论4.函数综合复习5.图像变换：平移、翻折变换6.含绝对值的二次函数2、考纲考点分析：1、掌握基本函数的图象的特征，能熟练运用基本函数的图象解决问题。

2、掌握图象的作法、描点法和图象变换法。

3、细节易错关注：1. （1）()y f x =?(||)y f x a −−−−−−→=+如何变换 方法一：()()0,+(||)0,a x a x a y f x y f x a y f x a a x a >===−−−−−−→=−−−−−−−−−−−−−−−−−−→=+<=左移保留右边图像，去掉左边图像右移并作关于对称图像方法二：()()0,(||)0,y y a y f x y f x y f x a y a >=−−−−−−−−−−−−−−−−−→=−−−−−−→=+<保留轴右边图像，去掉轴左边图像左移并作关于轴对称图像右移（2）()y f x =?(||)y f x a −−−−−−→=+如何变换 ()()0,+(||)0,a y y y f x y f x a y f x a a y >=−−−−−−→=−−−−−−−−−−−−−−−−−→=+<左移保留轴右边图像，去掉轴左边图像右移并作关于轴对称图像．2、函数作图的一些建议（1）作图前先分析函数的奇偶性、对称性、周期性等性质； （2）遇到含绝对值的函数，做好分类讨论去绝对值的准备； （3）合理利用平移变换和对称变换进行作图方法的设计．例1：对称性与周期性1、已知函数()1x af x x a -=--的图象的对称中心是(4,1)，则a = ．【答案】32、（2010上海春18）已知函数xx f 241)(-=的图像关于点P 对称，则点P 的坐标是（ ）．A ．)21,2(B ．)41,2(C ．)81,2( D ．(0,0)【答案】C3、已知函数a x x x x f -+-++=11)(的图像关于垂直于x 轴的直线对称，则a 的取值集合是 ． 【答案】{}3,0,3-4、已知定义在R 上的函数()f x 满足：222,[0,1),()2,[1,0)x x f x x x ⎧+∈=⎨-∈-⎩．且(2)()f x f x +=，25()2x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[8,3]-上的所有实根之和为 ． 【答案】26(1)11-⨯--=-5、函数2()f x ax bx c =++的图像关于任意直线l 对称后的图像依然为某函数图像，则实数a 、b 、c 应满足的充要条件为 ． 【答案】20,40a b ac <-=【解析】由题意，得函数图象上有且仅有一个点6、若关于x 的方程(2008)()0+-=f x f a x 恰有2009个根，且所有根的和为2009，则实数a的值为 ． 【答案】2010【解析】(2008)y f x =+与()y f a x =-关于20082a x -=对称7、已知函数()y f x =既为偶函数，又是以6为周期的周期函数，若当[0,3]x ∈时，2()24f x x x =-++，则当[3,6]x ∈时，()f x =__________．【答案】21020x x -+-【解析】若[3,6]x ∈，则6[3,0]x -∈-，6[0,3]x -∈22()(6)(6)(6)2(6)241020f x f x f x x x x x =-=-=--+-+=-+-8、已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数．若方程()(0)f x m m =>在区间[8,8]-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++= ．【答案】8-【解析】12342(6)228x x x x +++=⨯-+⨯=-9、已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意x ∈Z ，都有()()()11f x f x f x =-++．若()()12,13f f -==，则()()20122012f f +-=__________．【答案】5- 【解析】()()()()()()()()112112f x f x f x f x f x f x f x f x =-++⎧⎪⇒+=--⎨+=++⎪⎩ ()()()()52116f x f x f x f x T ⇒+=-+=---=-⇒=⎡⎤⎣⎦()()()()()()2012201222115f f f f f f ⇒+-=+-=---=-10、（2011上海高考理13）设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数()()f x x g x =+在区间[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为 ． 【答案】[15,11]-【解析】若[4,5]x ∈，则1[3,4]x -∈则()()(1)1(1)1[1,6]f x x g x x g x x g x =+=+-=-+-+∈- ∴值域为[15,8][1,6][4,11][15,11]---=- 11、（2017南模中学周考） 已知定义在R 上的函数()f x 满足：① ()(2)0f x f x +-=；② ()(2)0f x f x ---=；③ 在[1,1]-上的表达式为[1,0]()1,(0,1]x f x x x ∈-=-∈⎪⎩；则()f x 与122,0()log ,0xx g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图像在区间[3,3]-上的交点个数为 ____________【答案】 612、（2017华二附中周考） 已知函数()f x 四个判断：（1）()f x 的值域是[]0,2；（2）()f x 的图像是轴对称图形； （3）()f x 的图像是中心对称图形；（4）方程()f f x =⎡⎤⎣⎦其中正确的判断有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【小试牛刀】1．已知函数2221()()21mx mx m f x m x x -+-=∈-+R ，则该函数的对称轴方程为 ．【答案】1x =2．已知(1)f x +是偶函数，则函数(2)y f x =的图象的对称轴方程是 ． 【答案】12x =3．若函数()y f x =满足：对于任意的x ∈R 有(1)()f x f x +=-成立，且当[)1,2x ∈时，()21f x x =-，则(1)(2)(3)(2006)f f f f ++++= ．【答案】04．函数()y f x =的图象沿x 轴正方向平移2个单位，得图象1c ，图象1c 关于y 轴对称图象为2c ，那么2c 对应的函数解析式是 ．【答案】(2)y f x =--5．定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 至少为 ．【答案】56．若函数()y f x =满足()(2)20f x f x +-+=，则()y f x =图象的对称中心是 ． 【答案】(1,1)- 7．（1）函数()y f k x =-和函数()y f x k =-的图象关于直线 对称； （2）函数()y f k x =-和函数()y f k x =+的图象关于直线 对称． 【答案】x k =；0()x y =轴8．定义在R 上的函数)(x f 满足)(2)2(x f x f =+，当]2,0[∈x 时，x x x f 2)(2-=，则当]2,4[--∈x 时，函数)(x f 的最小值为 ． 【答案】41-9．已知函数1()()f x m x x=+的图象与函数11()()24h x x x=++的图象关于点(0,1)A 对称．（1）求m 的值； （2）若()()4ag x f x x=+在(]0,2上为减函数，求a 的取值范围．【答案】（1）14m =；（2）3a ≥ 10．设),()(+∞-∞是x f 上的奇函数，对任意实数x ，都有)()2(x f x f -=+，当11x -≤≤时，()sin f x x =．（1）试证：直线x = 1是函数)(x f 图象的一条对称轴； （2）证明：函数)(x f 是以4为周期的函数； （3）求]5,1[∈x 时，)(x f 的解析式；（4）若集合{}(),A x f x a x =>∈R 是非空集合，求a 的取值范围． 【答案】（1）提示：证明(1)(1)f x f x +=-； （2）提示：证明(4)()f x f x +=；（3）sin(2)[1,3]()sin(4)(3,5]x x f x x x -∈⎧=⎨-∈⎩；（4）sin1a <．11．已知二次函数2()f x ax bx =+对任意x ∈R 均有)2()4(x f x f -=-成立，且函数的图像过点A 3(1,)2．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若不等式()f x t x -≤的解集为[4,]m ，求实数t m 、的值．例2：函数的图像1、分别画出以下函数的图像：（1）2||y x x =-； （2）2||y x x =-； （3）2|2|3y x x =+-； （4）lg |1|y x =-； （5）2(1)3y x -=-+； （6）()2lg 2y x =-．【答案】略2、手机产业的发展催生了网络新字“孖”．某学生准备在计算机上作出其对应的图像，其中(2,2)A ，如图所示．在作曲线段AB 时，该学生想把函数12,[0,2]y x x =∈的图像作适当变换，得到该段函数的曲线．请写出曲线段AB 在[2,3]x ∈上对应的函数解析式________．【答案】1222y x =-+）3、设定义域为R 的函数|lg |1||,1,()0,1,x x f x x -≠⎧=⎨=⎩关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有7个不同实数解，求实数b 、c 需要满足的条件． 【答案】0b <且0c =【解析】lg lg |||lg ||||lg |1||x x x x →→→-或lg |lg ||lg ||||lg |1||x x x x →→→- 令()t f x =，则20t bt c ++=由题意，得121220000t t t b t t t c t +=->>⎧⎧⇒⎨⎨⋅===⎩⎩ 解得，0b <且0c =4、已知函数()1f x x =-，关于x 的方程2()()0f x f x k -+=，给出下列四个命题：① 存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ② 存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③ 存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④ 存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根． 其中真命题的序号为 ． 【答案】①②③④【解析】方法一：212()()y f x f x k y =-=-=，易得，1y 为偶函数 当0x ≥时，21(1)(2)1(1)|1|(1)01x x x y x x x x x --≥⎧=---=⎨-≤<⎩方法二：令|()||||1|t f x x ==-，则2(0)k t t t =-+≥当14k =，1212t t ==，4个不同的实根当104k <<，121012t t <<<<，8个不同的实根当0k =，120,1t t ==，5个不同的实根 当0k <，1t>，2个不同的实根5、（2014浦东二模理18）方程27lg(100)(||200)(||202)2x x x -=---的解的个数为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】B【解析】21lg(100)2lg 100y x x =-=-关于100x =对称，27(||200)(||202)2y x x =---为偶函数，且0x ≥的部分的对称轴为201x =， 两个函数在100x =的左侧和右侧分别有1个和3个交点，∴选B6、定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①当[1,3)x ∈时，()1|2|f x x =--，②(3)3()f x f x =，设关于x 的函数()()1F x f x =-的零点从小到大依次记为31542,,,,,x x x x x ⋅⋅⋅，则12345x x x x x ++++=______．【答案】50【解析】在同一直角坐标平面内作出()y f x =与1y =的图象123452,2612,21836x x x x x =+=⨯=+=⨯=∴1234550x x x x x ++++=7、已知函数()f x 满足：①对任意(0,)x ∈+∞，恒有(2)2()f x f x =成立；②当(1,2]x ∈时，()2f x x =-．若()(2020)f a f =，则满足条件的最小的正实数a 是 ．【答案】36【解析】21010101020202020(2020)2(1010)2(505)2222822f f f f ⎛⎫⎛⎫=====-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1,2]x ∈时，()2f x x =-，()[0,1)f x ∈(2,4]x ∈时，()4f x x =-，()[0,2)f x ∈……1(2,2]n n x +∈时，1()2n f x x +=-，()[0,2),n f x n ∈∈Z显然，()28f a =，a 必须最小，(32,64]a ∈，(32,64]x ∈，()64f x x =-，∴min 36a =8、定义在R 上的函数)(x f ，当(1,1]x ∈-时，x x x f -=2)(，且对任意的x 满足(2)()f x af x -=（常数0>a ），则函数)(x f 在区间(5,7]上的最小值是 ．【答案】36 【解析】1()(2)f x f x a=-，可以看成平移2个单位后，再将纵坐标变为原来的1a 倍，易得341a -9、已知函数D x x f y ∈=),(，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数m ，总存在非零常数T ，恒有)()(x f m T x f ⋅=+成立，则称函数)(x f 是D 上的m 级类周期函数，周期为T ．（1）已知 1=T ，)(x f y =是[)∞+,0上m 级类周期函数，且)(x f y =是[)∞+,0上的单调递增函数，当[)1,0∈x 时，x x f 2)(=，求实数m 的取值范围；（2）已知当[]4,0∈x 时，函数x x x f 4)(2-=，若)(x f 是[)∞+,0上周期为4的m 级类周期函数，且)(x f y =的值域为一个闭区间，求实数m 的取值范围．【答案】（1）∵[)1,0∈x 时，xx f 2)(=，∴当[)2,1∈x 时，12)1()(-⋅=-=x m x mf x f ，当[)1,+∈n n x 时，)()2()1()(2n x f m x f m x mf x f n-==-=-= n x n m -⋅=2， 即[)1,+∈n n x 时，nx nm x f -⋅=2)(，*n ∈N ，∵)(x f 在[)∞+,0上单调递增，∴0>m 且()1122----⋅≥⋅n n n n n n m m ，即2≥m ．（2）∵当[]4,0∈x 时，[]0,4-∈y ，且有)()4(x m f x f =+， ∴当[]4,44,x n n n ∈+∈Z 时，()()2()(4)(4)444n n f x mf x m f x n m x n x n ⎡⎤=-==-=---⎣⎦，当10≤<m 时，[]0,4)(-∈x f ；当01<<-m 时，[]m x f 4,4)(--∈； 当1-=m 时，[]4,4)(-∈x f ； 当1>m 时，(]0,)(∞-∈x f ； 当1-<m 时，()+∞∞-∈,)(x f ；综上可知：01<≤-m 或10≤<m ．10. （2017南模中学周考）已知函数1|1|,20()2(2),0x x f x f x x -+-≤≤⎧=⎨->⎩，若方程()f x x a -=在区间[2,4]-内有3个不等实根，则实数a 的取值范围是______________. 【答案】(2,0){1}-11. （2017南模中学周考）已知()f x 是定义在[4,4]-上的奇函数，1()(2)3g x f x =-+，当[2,0)(0,2]x ∈-时，||1()21x g x =-，(0)0g =，则方程12()log (1)g x x =+的解的个数为_____________【答案】4【小试牛刀】1．函数(),01,10x by a a b +=<<-<<的图象为（ ）．A ．B ．C ．D ． 【答案】C2．已知 ,,m n m n αβαβ∈<<R 、、、，若αβ、是函数()2()()7f x x m x n =---的零点，则m n αβ、、、四个数按从小到大的顺序是 （用符号<“”连接起来）．【答案】m n3．若曲线21xy =+与直线y b =没有公共点，则实数b 的取值范围是 .【答案】[]1,1-4．关于x 的方程243x x a x -+-=有三个不相等的实数根，则实数a 的值是 ． 【答案】1-或34-5．若直线1y kx =+与曲线11y x x x x=+--有四个不同交点，则实数k 的取值范围是（ ）． A ．11,0,88⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ B ．11,88⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C ．11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．11,88⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A6．在平面直角坐标系中，对于函数()y f x =的图像上不重合的两点,A B ，若,A B 关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一组“奇点对”（规定(),A B 与(),B A 是相同的“奇点对”）．函数()()()1lg 01sin 02x xf x x x ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩的“奇点对”的组数是 ．【答案】3【解析】利用将0x >时的图象关于原点对称，看和0x <时的图象的交点个数，所以答案为37．定义函数348122()1()222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，则函数()()6g x xf x =-在区间[]8,1内的所有零点的和为 ． 【答案】221【解析】转化为6()f x x=，作出两个函数的图象， 可得交点的横坐标分别为3362、、，∴和为2218．已知定义在[)+∞,0上的函数)(x f 满足)2(3)(+=x f x f ．当[)2,0∈x 时x x x f 2)(2+-=．设)(x f 在[)n n 2,22-上的最大值为n a ，且数列}{n a 的前n 项和为n S ，则=∞→n n S lim ．（其中n *∈N ）【答案】32【解析】1(2)(),[0,)3f x f x x +=∈+∞【图象右移2个单位的同时，纵坐标变为原来的13】 ∴1(1)1a f ==，21(3)3a f ==，…，11(21)3n n a f n -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∴113lim 11213n n a S q →∞===--9．已知函数)(x f y =的定义域和值域都是]1,1[-（其图像如下图所示），函数],[,sin )(ππ-∈=x x x g ．定义：当])1,1[(0)(11-∈=x x f 且]),[()(212ππ-∈=x x x g 时，称2x 是方程0))((=x g f 的一个实数根．则方程0))((=x g f 的所有不同实数根的个数是 ． 【答案】810．（2012上海理13）已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,21(B 、)0,1(C ，函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为 ．【答案】54【解析】由题意，得110,02()11010,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩，从而22110,02()11010,12x x y xf x x x x ⎧≤≤⎪⎪==⎨⎪-+<≤⎪⎩． 左图中的图形进行分割和重新拼合后能得到右图中的矩形．故，所求图形的面积155224=⨯=． 11．已知函数02,()1(2),2,2x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩若对于正数n k （*N ∈n ），直线xk y n ⋅=与函数)(x f y =的图像恰有12+n 个不同交点，则2n k = ．【答案】1214()n n n ++ 【解析】n y k x ⇔=⋅与从左往右数的第1n +个半椭圆弧相切22222[(21)](2)1(14)(42)(44)0n n n n x n y k x n x n n y k x⎧-++⋅=⇒+-+++=⎨=⋅⎩ 212104()n n k n n +∆=⇒=+1．对于定义在R 上的函数)(x f ，有下述命题：①若)(x f 是奇函数，则)1(-x f 的图象关于点(1,0)A 对称； ②若函数)1(-x f 的图象关于直线1=x 对称，则)(x f 为偶函数； ③若对x ∈R ，有则),()1(x f x f -=-2是)(x f 的一个周期； ④函数)1()1(x f y x f y -=-=与的图象关于直线1=x 对称． 其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）【答案】①②③④2．已知函数2()|2|f x x ax a =-+（x ∈R ），给出下列四个命题：① 当且仅当0a =时，()f x 是偶函数； ② 函数()f x 一定存在零点； ③ 函数在区间(,]a -∞上单调递减；④ 当01a <<时，函数()f x 的最小值为2a a -． 那么所有真命题的序号是 ．①④ 【答案】①④3．给出定义：若1122m x m -<+≤（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x m =，在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个命题：①函数()y f x =的定义域为R ，值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②函数()y f x =在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；③函数()y f x =是周期函数，最小正周期为1；④函数()y f x =的图像关于直线2kx =()k Z ∈对称．其中正确命题的序号是 ． 【答案】①③④4．（2014宝山一模14）关于函数()1x f x x =-给出下列四个命题：①当0x >时，()y f x =单调递减且没有最值； ②方程()(0)f x kx b k =+≠一定有解；③如果方程()f x k =有解，则解的个数一定是偶数；④()y f x =是偶函数且有最小值．则其中真命题是 ．（只要写标题号） 【答案】②④5．（2014嘉定一模13）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥++=0,,0,12)(22x c bx x x x ax x f 是偶函数，直线t y =与函数)(x f 的图像自左至右依次交于四个不同点A 、B 、C 、D ，若||||BC AB =，则实数t 的值为________． 【答案】47【解析】∵()f x 为偶函数，∴1a =- 设C x x =，则B x x =-，3D x x =C D 、关于1x =对称13212x x x ⇒+=⨯⇒=，∴1724t f ⎛⎫== ⎪⎝⎭6．（2014闵行二模理14）对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立；②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是9,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 则其中所有真命题的序号是 ．【答案】①③【解析】图象右移2个单位的同时，纵坐标变为原来的12①[0,),()[1,1]x f x ∈+∞∈-，该命题正确②∵1()(2)2f x f x =- ∴2111(2)(22)(24)()222kf x k f x k f x k f x +=⋅+-=⋅+-==∴()2(2)k f x f x k =⋅+，该命题错误③如图，()y f x =与ln(1)y x =-图象的交点有3个，该命题正确 ④反例：当52x =时，555159222248f ⎛⎫⋅=⋅=> ⎪⎝⎭ ∴正确的序号为①③7．（2015虹口二模理14）若()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意的实数0x ≥，总有正常数T ，使得()()f x T f x T +=+成立，则称()f x 具有“性质p ”，已知函数()g x 具有“性质p ”，且在[]0,T 上，()2g x x =；若当[],4x T T ∈-时，函数()y g x kx =-恰有8个零点，则实数k = ． 【答案】436-【解析】“()()f x T f x T +=+”表示函数图象向右平移T 个单位后，再向上平移T 个单位2()1()(0)g T T T g T g T T⎧=⇒=⎨=+=⎩，由于()g x 是R 上的奇函数，∴可得()[]2,1,0g x x x =-∈-零点个数问题转化为函数()y g x =与y kx =的交点问题， 要有8个交点，表示2()(3)3,[3,4]y g x x x ==-+∈的图象与y kx =相切2436(6)1200k k x k x ∆>⎧⇒=-⎨-++==⎩方程的8．已知：()x f y =是最小正周期为2的函数，当[]1,1-∈x 时，()2x x f =，则函数()x f y =()x ∈R 图像与x y 5log =图像的交点的个数是（ ）． A ．8 B ．9 C ．10 D ．12 【答案】C9．对于函数()y f x =，定义：若存在非零常数M T 、，使函数()f x 对定义域内的任意实数x ，都满足()()f x T f x M +-=，则称函数()y f x =是准周期函数，常数T 称为函数()y f x =的一个准周期．如函数()(1)()x f x x x =+-∈Z 是以2T =为一个准周期且2M =的准周期函数．（1）试判断2π是否是函数()sin f x x =的准周期，说明理由；（2）证明函数()2sin f x x x =+是准周期函数，并求出它的一个准周期和相应的M 的值； （3）请你给出一个准周期函数（不同于题设和（2）中函数），指出它的一个准周期和一些Oxy 1234123455-1-2-3-4-5-1-2-3-4-5性质，并画出它的大致图像． 【答案】（1）()sin f x x =，(2)()sin(2)sin 0f x f x x x ππ∴+-=+-= 2π∴不是函数()f x 的准周期 （2）(2)()[2(2)sin(2)](2sin )24sin 2sin 4f x f x x x x x x x x x πππππ+-=+++-+=++--=∴()2sin f x x x =+是准周期函数，2T π=是它的一个准周期，相应的4M π= （3）① 写出一个不同于题设和（2）中函数，如3sin ,2(1),23sin ,[]xy x x y x y x x y x =+=+-=+=(0),()sin(),()cos()y kx b k y kx b A x y kx b a x ωϕωϕ=+≠=+++=+++， 一、对称性（一）一个函数)(x f y =图象本身的对称性（自对称性） 1、轴对称()()()f a x f b x f x +=-⇔ 的图象关于直线()()22a xb x a bx ++-+==对称推论1、()()()f a x f a x f x +=-⇔的图象关于直线x a =对称 推论2、()(2)()f x f a x f x =-⇔的图象关于直线x a =对称 推论3、()(2)()f x f a x f x -=+⇔的图象关于直线x a =对称2、中心对称()()2()f a x f b x c f x ++-=⇔的图象关于点(,)2a bc +对称 推论1、()()2()f a x f a x b f x ++-=⇔的图象关于点(,)a b 对称 推论2、()(2)2()f x f a x b f x +-=⇔的图象关于点(,)a b 对称 推论3、()(2)2()f x f a x b f x -++=⇔的图象关于点(,)a b 对称（二）两个函数的图象对称性（互对称性）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、()y f x =与()y f x =-图象关于y 轴对称 2、()y f x =与()y f x =--图象关于原点对称 3、()y f x =与()y f x =-图象关于x 轴对称 4、()y f x =与其反函数1()y fx -=图象关于直线y x =对称※5、函数()y f a x =+与()y f b x =-图象关于直线2b ax -=对称 推论1、函数()y f a x =+与()y f a x =-图象关于直线0x =对称 推论2、函数()y f x =与(2)y f a x =-图象关于直线x a =对称 推论3、函数()y f x =-与(2)y f a x =+图象关于直线x a =-对称二、周期性：()()f x T f x += 1、T 必须是常数，且不为零；2、等式必须对于定义域上的所有x 值都成立；3、如果T 是函数()f x 的一个周期，则(0)kT k k ∈≠Z 且都是()f x 的周期． 周期函数的定义域是无界的，存在无数个周期．【思考】是否存在函数为周期函数，但是无最小正周期？ 存在，常值函数【一些有用结论】数列中相关结论也成立 1．1(1)1()f x f x +=-，3T =； 2．1()(1)1()f x f x f x -+=+，2T =；3．1()(1)1()f x f x f x ++=-，4T =； 4．(1)()(2)f x f x f x +=++，6T =；5．(1)()(2)f x f x f x +=+，6T =．(0)b a >个单位(,)a h k =平移每点纵标伸(>a a 每点横标伸(>a a。

一次函数的对称性专题1．关于一次函数21y x =-，21y x =-+的图象，下列说法正确的是（ ）A ．关于直线y x =-对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y x =对称2．若一次函数(0)(0)y kx b x k =+≠≠与一次函数112y x =+的图象关于x 轴对称，则一次函数y kx b =+的解析式为 ．3． ①函数24y x =--关于1y =对称的直线函数解析式为________________；②函数24y x =--关于y x =对称的直线函数解析式为________________； ③一次函数y ax b =+的图象1L 关于直线y x =-轴对称的图象2L 的函数解析式是________________．4．和直线53y x =-关于y 轴对称的直线解析式为__________________． 和直线2y x =--关于x 轴对称的直线解析式为__________________．5．求一次函数21y x =+的图象关于原点对称图象的解析式．6．直线3y x =-与一次函数y kx b =+关于1x =对称，求k ，b ．7．已知某一次函数的图象如图所示．（1）求这个一次函数的解析式．（2）请直接写出该直线关于y轴对称的直线解析式．8．因为一次函数y kx b=-+≠的图象关于y轴对称，所以我们定义：函数=+与(0)y kx b k=-+≠互为“镜子”函数．y kx b k=+与(0)y kx b（1）请直接写出函数32y x=-的“镜子”函数：；（2）如果一对“镜子”函数y kx by kx b k=-+≠的图象交于点A，且与x轴交于=+与(0)B、C两点，如图所示，若ABC△是等腰直角三角形，90∠=︒，且它的面积是16，求BAC这对“镜子”函数的解析式．9．如图，一次函数y =x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt ABC △，且使30ABC ∠=︒；（1）如果点P m ⎛ ⎝⎭在第二象限内，试用含m 的代数式表示四边形AOPB 的面积，并求当APB △与ABC △面积相等时m 的值；（2）如果QAB △是等腰三角形并且点Q 在坐标轴上，请求出点Q 所有可能的坐标；（3）是否存在实数a ，b 使一次函数y =+y ax b =+的图象关于直线y x =对称？若存在，求出ab a b+的值；若不存在，请说明理由．。

初中数学教学中函数对称性教学函数是初中数学教育的重要内容之一，同时也是研究变量相关问题的主要工具，初中生通过对函数的学习能够锻炼其思维逻辑能力，培养抽象思维能力的发展。

函数学习贯穿于数学学习的全过程，其在数学学习的过程中占据重要地位，函数在实际应用中也十分常见，其能够解决多数抽象问题，并且对其进行概括描述，能够直观有效的表达变量。

基于此，文章主要从初中数学教学中函数对称性教学方向进行概述，提出教学策略以供参考。

标签：初中数学;函数;对称性;教学过程引言：函数在中学数学的多个方面都有涉及，其在方程、不等式、极限问题以及几何学方面都有一定的运用。

函数不仅是初中学习的重点，也是高中学习的核心内容之一，其还是高等数学的基础部分。

小学数学主要研究常量，也就是数字运算，学生在学习函数之前所了解的都是简单的定量关系，对于固定数值的变化有一定的认知。

因此，学生在学习函数过程中会存在思维困难等问题，同时对于函数对称性的理解不够明确，应用不灵活等问题，都需要教师在教学过程中采取科学的教学方式提升学生的学习能力。

一、初中数学函数对称性教学方向（一）明確教学目标教师在教学前应当明确教学目标，在初中阶段对函数的教学应当要求学生能够对变量之间的关系描述函数，在此基础上运用集合语言以及对应关系对函数进行刻画。

学生在学习过程中还应当明确函数概念，了解一次函数、二次函数、反比例函数概念之间存在的联系[1]。

教师在函数对称性教学中首先需要考察学生对函数要素的了解，使其掌握简单函数值域的计算过程;其次，由于函数在实际应用中会存在多种形式，学生还应当掌握在不同情境下所需的函数方法表示函数，例如：图像法、列表法以及解析式法，在不同形式中能够反映出函数的对称性;最后，在应用题中还会出现函数的应用，学生还应当掌握简单函数的表达，通过对称性学习掌握简单快速的解题技巧。

函数图像、函数变化情况、函数最值是学生学习过程中的重难点，其中包含了函数对称性的重要内容，因此需要在该方面进行深入教学并设置合理的教学方案以提升学生对重难点的掌握度。

高三数学暑假班（教师版）教师日期学生课程编号10 课型复习课题对称性与周期性、函数的图像教学目标1．掌握函数的对称性、周期性等性质，熟悉常考题型2．掌握函数的图象变换的基本模型，能应用基本模型解决实际问题教学重点1．函数的周期、对称问题的综合2．函数图像变换的基本模型的分析教学安排版块时长1例题解析80 2巩固训练30 3师生总结10 4课后练习30一、对称性（一）一个函数)(x f y =图象本身的对称性（自对称性） 1、轴对称()()()f a x f b x f x +=-⇔ 的图象关于直线()()22a xb x a bx ++-+==对称 推论1、()()()f a x f a x f x +=-⇔的图象关于直线x a =对称 推论2、()(2)()f x f a x f x =-⇔的图象关于直线x a =对称 推论3、()(2)()f x f a x f x -=+⇔的图象关于直线x a =对称2、中心对称()()2()f a x f b x c f x ++-=⇔的图象关于点(,)2a bc +对称 推论1、()()2()f a x f a x b f x ++-=⇔的图象关于点(,)a b 对称 推论2、()(2)2()f x f a x b f x +-=⇔的图象关于点(,)a b 对称 推论3、()(2)2()f x f a x b f x -++=⇔的图象关于点(,)a b 对称（二）两个函数的图象对称性（互对称性）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、()y f x =与()y f x =-图象关于y 轴对称 2、()y f x =与()y f x =--图象关于原点对称 3、()y f x =与()y f x =-图象关于x 轴对称 4、()y f x =与其反函数1()y fx -=图象关于直线y x =对称※5、函数()y f a x =+与()y f b x =-图象关于直线2b ax -=对称 对称性与周期性、函数的图像知识梳理推论1、函数()y f a x =+与()y f a x =-图象关于直线0x =对称 推论2、函数()y f x =与(2)y f a x =-图象关于直线x a =对称 推论3、函数()y f x =-与(2)y f a x =+图象关于直线x a =-对称二、周期性：()()f x T f x += 1、T 必须是常数，且不为零；2、等式必须对于定义域上的所有x 值都成立；3、如果T 是函数()f x 的一个周期，则(0)kT k k ∈≠Z 且都是()f x 的周期． 周期函数的定义域是无界的，存在无数个周期．【思考】是否存在函数为周期函数，但是无最小正周期？ 存在，常值函数 函数关系()x a b ∈≠R 且周期说明 )()(x f T x f =+T)()(x f T x f -=+ T 2)(1)(x f T x f ±=+ T 2)()(T x f T x f -=+ T 2 )()(T x f T x f --=+ T 4⎩⎨⎧-=+-=+)()()()(x b f x b f x a f x a f )(2a b -正（余）弦函数相邻两条对称轴间的距离为12周期 ()()()f a x f a x f x +=-⎧⎨⎩为偶函数 a 2⎩⎨⎧--=+--=+)()()()(x b f x b f x a f x a f )(2a b -正（余）弦函数相邻两个对称中心间的距离为12周期 ()()()f a x f a x f x +=--⎧⎨⎩为奇函数a 2()()()()f a x f a x f b x f b x +=-⎧⎨+=--⎩ 4()b a -正（余）弦函数相邻一条对称轴和一个对称中心间的距离为14周期 ()()()f a x f a x f x +=-⎧⎨⎩为奇函数 4a()()()f a x f a x f x +=--⎧⎨⎩为偶函数4a1．1(1)1()f x f x +=-，3T =； 2．1()(1)1()f x f x f x -+=+，2T =；3．1()(1)1()f x f x f x ++=-，4T =； 4．(1)()(2)f x f x f x +=++，6T =；5．(1)()(2)f x f x f x +=+g ，6T =．三、图像变换问题平移 变换向左移)0(>a a 个单位 向右移)0(>a a 个单位 向上移(0)b a >个单位 向下移(0)b a >个单位按向量(,)a h k =r平移)(x f y =的图像)(a x f y +=→的图像 )(x f y =的图像()y f x a →=-的图像 )(x f y =的图像b x f y +=→)(的图像 )(x f y =的图像()y f x b →=-的图像 )(x f y =的图像k h x f y +-=→)(的图像 伸缩 变换每点纵标伸)0(>a a 倍 每点横标伸)0(>a a 倍)(x f y =的图像)(x af y =→的图像)(x f y =的图像⎪⎭⎫⎝⎛=→x a f y 1的图像绝对值 变换关于y 轴对称 将x 轴下方图像翻上)(x f y =的图像|)(|x f y =→的图像 )(x f y =的图像|)(|x f y =→的图像一、对称性与周期性【例1】已知函数()1x af x x a -=--的图象的对称中心是(4,1)，则a = ．【难度】★ 【答案】3【例2】（2010上海春18）已知函数xx f 241)(-=的图像关于点P 对称，则点P 的坐标是（ ）．A ．)21,2(B ．)41,2(C ．)81,2( D ．(0,0)【难度】★★【答案】C【例3】已知函数a x x x x f -+-++=11)(的图像关于垂直于x 轴的直线对称，则a 的取值集合是 ． 【难度】★★ 【答案】{}3,0,3-【例4】已知定义在R 上的函数()f x 满足：222,[0,1),()2,[1,0)x x f x x x ⎧+∈=⎨-∈-⎩．且(2)()f x f x +=，25()2x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[8,3]-上的所有实根之和为 ． 【难度】★★【答案】26(1)11-⨯--=-例题解析【例5】函数2()f x ax bx c =++的图像关于任意直线l 对称后的图像依然为某函数图像，则实数a 、b 、c 应满足的充要条件为 ．【难度】★★★【答案】20,40a b ac <-=【解析】由题意，得函数图象上有且仅有一个点【例6】若关于x 的方程(2008)()0+-=f x f a x 恰有2009个根，且所有根的和为2009，则实数a 的值为 ． 【难度】★★★ 【答案】2010【解析】(2008)y f x =+与()y f a x =-关于20082a x -=对称【例7】已知函数()y f x =既为偶函数，又是以6为周期的周期函数，若当[0,3]x ∈时，2()24f x x x =-++，则当[3,6]x ∈时，()f x =__________．【难度】★★【答案】21020x x -+-【解析】若[3,6]x ∈，则6[3,0]x -∈-，6[0,3]x -∈22()(6)(6)(6)2(6)241020f x f x f x x x x x =-=-=--+-+=-+-【例8】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数．若方程()(0)f x m m =>在区间[8,8]-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++= ． 【难度】★★ 【答案】8-【解析】12342(6)228x x x x +++=⨯-+⨯=-【例9】已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意x ∈Z ，都有()()()11f x f x f x =-++．若()()12,13f f -==，则()()20122012f f +-=__________．【难度】★★ 【答案】5- 【解析】()()()()()()()()112112f x f x f x f x f x f x f x f x =-++⎧⎪⇒+=--⎨+=++⎪⎩ ()()()()52116f x f x f x f x T ⇒+=-+=---=-⇒=⎡⎤⎣⎦()()()()()()2012201222115f f f f f f ⇒+-=+-=---=-【例10】（2011上海高考理13）设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数()()f x xg x =+在区间[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为 ． 【难度】★★★ 【答案】[15,11]-【解析】若[4,5]x ∈，则1[3,4]x -∈则()()(1)1(1)1[1,6]f x x g x x g x x g x =+=+-=-+-+∈- ※值域为[15,8][1,6][4,11][15,11]---=-UL U UL【巩固训练】1．已知函数2221()()21mx mx m f x m x x -+-=∈-+R ，则该函数的对称轴方程为 ． 【难度】★ 【答案】1x =2．已知(1)f x +是偶函数，则函数(2)y f x =的图象的对称轴方程是 ． 【难度】★ 【答案】12x =3．若函数()y f x =满足：对于任意的x ∈R 有(1)()f x f x +=-成立，且当[)1,2x ∈时，()21f x x =-，则(1)(2)(3)(2006)f f f f ++++=L ．【难度】★ 【答案】04．函数()y f x =的图象沿x 轴正方向平移2个单位，得图象1c ，图象1c 关于y 轴对称图象为2c ，那么2c 对应的函数解析式是 ．【难度】★★【答案】(2)y f x =-- 5．定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 至少为 ．【难度】★★ 【答案】56．若函数()y f x =满足()(2)20f x f x +-+=，则()y f x =图象的对称中心是 ． 【难度】★★ 【答案】(1,1)- 7．（1）函数()y f k x =-和函数()y f x k =-的图象关于直线 对称； （2）函数()y f k x =-和函数()y f k x =+的图象关于直线 对称． 【难度】★★【答案】x k =；0()x y =轴8．定义在R 上的函数)(x f 满足)(2)2(x f x f =+，当]2,0[∈x 时，x x x f 2)(2-=，则当]2,4[--∈x 时，函数)(x f 的最小值为 ． 【难度】★★ 【答案】41-9．已知函数1()()f x m x x =+的图象与函数11()()24h x x x=++的图象关于点(0,1)A 对称． （1）求m 的值； （2）若()()4ag x f x x=+在(]0,2上为减函数，求a 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】（1）14m =；（2）3a ≥10．设),()(+∞-∞是x f 上的奇函数，对任意实数x ，都有)()2(x f x f -=+，当11x -≤≤时，()sin f x x =．（1）试证：直线x = 1是函数)(x f 图象的一条对称轴； （2）证明：函数)(x f 是以4为周期的函数； （3）求]5,1[∈x 时，)(x f 的解析式；（4）若集合{}(),A x f x a x =>∈R 是非空集合，求a 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】（1）提示：证明(1)(1)f x f x +=-； （2）提示：证明(4)()f x f x +=；（3）sin(2)[1,3]()sin(4)(3,5]x x f x x x -∈⎧=⎨-∈⎩；（4）sin1a <．11．已知二次函数2()f x ax bx =+对任意x ∈R 均有)2()4(x f x f -=-成立，且函数的图像过点A 3(1,)2．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若不等式()f x t x -≤的解集为[4,]m ，求实数t m 、的值． 【难度】★★★【答案】 （1）2()(4)(2)f x ax bx x f x f x R 对任意恒有=+?=-Q 成立，且图像过点3(1,)2A ，22(4)(4)(2)(2),3.2a x b x a x b x a b ìï-+-=-+-ïï\íï+=ïïî化简22(4)(4)(2)(2)(126)0a x b x a x b x 2b -4a x a b -+-=-+-+-=，得()．此一元一次方程对x R Î都成立，于是，2401260b a a b ì-=ïïíï-=ïî，即2b a =． 进一步可得121a b ìïï=ïíïï=ïî．21()2f x x x 所求函数解析式为\=+． （2）()[4]f x t x m -?Q 的解集为，， 2221(),220[4,],42x t x t x x tx t t m m 即的解集是且.\-+-?+-? 224220m x tx t t 、是方程的两根\-+-=．于是，24242m t m t tì+=ïïíï=-ïî，解此方程组，得120()82m m t t 祆==镲镲眄镲==镲铑或舍去．※128m t ì=ïïíï=ïî．二、函数的图像【例11】分别画出以下函数的图像：（1）2||y x x =-； （2）2||y x x =-； （3）2|2|3y x x =+-；（4）lg |1|y x =-； （5）2(1)3y x -=-+； （6）()2lg 2y x =-．【难度】★★ 【答案】略【例12】手机产业的发展催生了网络新字“孖”．某学生准备在计算机上作出其对应的图像，其中(2,2)A ，如图所示．在作曲线段AB 时，该学生想把xyO AB223函数12,[0,2]y x x =∈的图像作适当变换，得到该段函数的曲线．请写出曲线段AB 在[2,3]x ∈上对应的函数解析式________． 【难度】★★【答案】12222y x =-+（）【例13】设定义域为R 的函数|lg |1||,1,()0,1,x x f x x -≠⎧=⎨=⎩关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有7个不同实数解，求实数b 、c 需要满足的条件． 【难度】★★【答案】0b <且0c =【解析】lg lg |||lg ||||lg |1||x x x x →→→-或lg |lg ||lg ||||lg |1||x x x x →→→-令()t f x =，则20t bt c ++=由题意，得121220000t t t b t t t c t +=->>⎧⎧⇒⎨⎨⋅===⎩⎩解得，0b <且0c =【例14】已知函数()1f x x =-，关于x 的方程2()()0f x f x k -+=，给出下列四个命题：① 存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ② 存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③ 存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④ 存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根． 其中真命题的序号为 ． 【难度】★★ 【答案】①②③④【解析】方法一：212()()y f x f x k y =-=-=，易得，1y 为偶函数 当0x ≥时，21(1)(2)1(1)|1|(1)01x x x y x x x x x --≥⎧=---=⎨-≤<⎩方法二：令|()||||1|t f x x ==-，则2(0)k t t t =-+≥当14k =，1212t t ==，4个不同的实根 当104k <<，121012t t <<<<，8个不同的实根当0k =，120,1t t ==，5个不同的实根 当0k <，1t >，2个不同的实根【例15】（2014浦东二模理18）方程27lg(100)(||200)(||202)2x x x -=---的解的个数为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【难度】★★ 【答案】B【解析】21lg(100)2lg 100y x x =-=-关于100x =对称，27(||200)(||202)2y x x =---为偶函数，且0x ≥的部分的对称轴为201x =， 两个函数在100x =的左侧和右侧分别有1个和3个交点，∴选B【例16】定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①当[1,3)x ∈时，()1|2|f x x =--，②(3)3()f x f x =，设关于x 的函数()()1F x f x =-的零点从小到大依次记为31542,,,,,x x x x x ⋅⋅⋅，则12345x x x x x ++++=______．【难度】★★ 【答案】50【解析】在同一直角坐标平面内作出()y f x =与1y =的图象123452,2612,21836x x x x x =+=⨯=+=⨯=※1234550x x x x x ++++=【例17】已知函数()f x 满足：※对任意(0,)x ∈+∞，恒有(2)2()f x f x =成立；※当(1,2]x ∈时，()2f x x =-．若()(2020)f a f =，则满足条件的最小的正实数a 是 ．【难度】★★★ 【答案】36【解析】21010101020202020(2020)2(1010)2(505)2222822f f f f ⎛⎫⎛⎫=====-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L (1,2]x ∈时，()2f x x =-，()[0,1)f x ∈ (2,4]x ∈时，()4f x x =-，()[0,2)f x ∈……1(2,2]n n x +∈时，1()2n f x x +=-，()[0,2),n f x n ∈∈Z显然，()28f a =，a 必须最小，(32,64]a ∈，(32,64]x ∈，()64f x x =-，∴min 36a =【例18】定义在R 上的函数)(x f ，当(1,1]x ∈-时，x x x f -=2)(，且对任意的x 满足(2)()f x af x -=（常数0>a ），则函数)(x f 在区间(5,7]上的最小值是 ．【难度】★★【答案】36 【解析】1()(2)f x f x a =-，可以看成平移2个单位后，再将纵坐标变为原来的1a倍，易得341a -【例19】已知函数D x x f y ∈=),(，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数m ，总存在非零常数T ，恒有)()(x f m T x f ⋅=+成立，则称函数)(x f 是D 上的m 级类周期函数，周期为T ．（1）已知 1=T ，)(x f y =是[)∞+,0上m 级类周期函数，且)(x f y =是[)∞+,0上的单调递增函数，当[)1,0∈x 时，xx f 2)(=，求实数m 的取值范围；（2）已知当[]4,0∈x 时，函数x x x f 4)(2-=，若)(x f 是[)∞+,0上周期为4的m 级类周期函数，且)(x f y =的值域为一个闭区间，求实数m 的取值范围． 【难度】★★★【答案】（1）※[)1,0∈x 时，xx f 2)(=，※当[)2,1∈x 时，12)1()(-⋅=-=x m x mf x f ，当[)1,+∈n n x 时，)()2()1()(2n x f m x f m x mf x f n-==-=-=Λn x n m -⋅=2，即[)1,+∈n n x 时，nx nm x f -⋅=2)(，*n ∈N ，※)(x f 在[)∞+,0上单调递增，※0>m 且()1122----⋅≥⋅n n n n n n m m ，即2≥m ．（2）※当[]4,0∈x 时，[]0,4-∈y ，且有)()4(x mf x f =+，※当[]4,44,x n n n ∈+∈Z 时，()()2()(4)(4)444n n f x mf x m f x n m x n x n ⎡⎤=-==-=---⎣⎦L ，当10≤<m 时，[]0,4)(-∈x f ；当01<<-m时，[]mxf4,4)(--∈；当1-=m时，[]4,4)(-∈xf；当1>m时，(]0,)(∞-∈xf；当1-<m时，()+∞∞-∈,)(xf；综上可知：01<≤-m或10≤<m．【巩固训练】1．函数(),01,10x by a a b+=<<-<<的图象为（）．A．B．C．D．【难度】★【答案】C2．已知,,m n m nαβαβ∈<<R、、、，若αβ、是函数()2()()7f x x m x n=---的零点，则m nαβ、、、四个数按从小到大的顺序是（用符号<“”连接起来）．【难度】★【答案】m na b<<<3．若曲线与直线没有公共点，则实数的取值范围是.【难度】★【答案】4．关于x的方程243x x a x-+-=有三个不相等的实数根，则实数a的值是．【难度】★【答案】1-或34-21xy=+y b=b[]1,1-5．若直线1y kx =+与曲线11y x x x x=+--有四个不同交点，则实数k 的取值范围是（ ）． A ．11,0,88⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ B ．11,88⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C ．11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．11,88⎛⎫- ⎪⎝⎭【难度】★★【答案】A6．在平面直角坐标系中，对于函数()y f x =的图像上不重合的两点,A B ，若,A B 关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一组“奇点对”（规定(),A B 与(),B A 是相同的“奇点对”）．函数()()()1lg 01sin 02x xf x x x ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩的“奇点对”的组数是 ．【难度】★★【答案】3【解析】利用将0x >时的图象关于原点对称，看和0x <时的图象的交点个数，所以答案为37．定义函数348122()1()222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，则函数()()6g x xf x =-在区间[]8,1内的所有零点的和为 ． 【难度】★★ 【答案】221 【解析】转化为6()f x x=，作出两个函数的图象， 可得交点的横坐标分别为3362、、，※和为2218．已知定义在[)+∞,0上的函数)(x f 满足)2(3)(+=x f x f ．当[)2,0∈x 时x x x f 2)(2+-=．设)(x f 在[)n n 2,22-上的最大值为n a ，且数列}{n a 的前n 项和为n S ，则=∞→n n S lim ．（其中n *∈N ）【难度】★★ 【答案】32【解析】1(2)(),[0,)3f x f x x +=∈+∞【图象右移2个单位的同时，纵坐标变为原来的13】 ※1(1)1a f ==，21(3)3a f ==，…，11(21)3n n a f n -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭※113lim 11213n n a S q →∞===--9．已知函数)(x f y =的定义域和值域都是]1,1[-（其图像如下图所示），函数],[,sin )(ππ-∈=x x x g ．定义：当])1,1[(0)(11-∈=x x f 且]),[()(212ππ-∈=x x x g 时，称2x 是方程0))((=x g f 的一个实数根．则方程0))((=x g f 的所有不同实数根的个数是 ． 【难度】★★ 【答案】810．（2012上海理13）已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,21(B 、)0,1(C ，函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为 ． 【难度】★★ 【答案】54【解析】由题意，得110,02()11010,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩，从而22110,02()11010,12x x y xf x x x x ⎧≤≤⎪⎪==⎨⎪-+<≤⎪⎩．左图中的图形进行分割和重新拼合后能得到右图中的矩形．故，所求图形的面积155224=⨯=．11．已知函数21(1),02,()1(2),2,2x x f x f x x ⎧--≤<⎪=⎨-≥⎪⎩若对于正数n k （*N ∈n ），直线x k y n ⋅=与函数)(x f y =的图像恰有12+n 个不同交点，则2nk = ． 【难度】★★★ 【答案】1214()n n n ++ 【解析】n y k x ⇔=⋅与从左往右数的第1n +个半椭圆弧相切22222[(21)](2)1(14)(42)(44)0n n n n x n y k x n x n n y k x⎧-++⋅=⇒+-+++=⎨=⋅⎩ 212104()n n k n n +∆=⇒=+1、函数作图的难点问题（1）()y f x =?(||)y f x a −−−−−−→=+如何变换 方法一：()()0,+(||)0,a x a x a y f x y f x a y f x a a x a >===−−−−−−→=−−−−−−−−−−−−−−−−−−→=+<=左移保留右边图像，去掉左边图像右移并作关于对称图像方法二：()()0,(||)0,y y a y f x y f x y f x a y a >=−−−−−−−−−−−−−−−−−→=−−−−−−→=+<保留轴右边图像，去掉轴左边图像左移并作关于轴对称图像右移（2）()y f x =?(||)y f x a −−−−−−→=+如何变换 ()()0,+(||)0,a y y y f x y f x a y f x a a y >=−−−−−−→=−−−−−−−−−−−−−−−−−→=+<左移保留轴右边图像，去掉轴左边图像右移并作关于轴对称图像．2、函数作图的一些建议（1）作图前先分析函数的奇偶性、对称性、周期性等性质；反思总结（2）遇到含绝对值的函数，做好分类讨论去绝对值的准备； （3）合理利用平移变换和对称变换进行作图方法的设计． 如：（2016浦东二模理14）关于x 的方程11sin 211x x π=--在[2016,2016]-上解的个数是 ． 看作1111y x =--与21sin 2y x π=在[2016,2016]-图象交点的个数问题1y ：111()1y y x x =−−−−−−→=-向右移个单位偶函数111()111y y x x −−−−→=−−−−−−→=---右翻左向右移个单位偶函数如图可知，两函数图象在[1,3]-上有3个交点， 在[2016,2015)--、[2015,2014)--、…、[2,1)--、(3,4]、(4,5]、…、(2015,2016]均只有1个交点，∴共4031个交点，∴∴解的个数是40311．对于定义在R 上的函数)(x f ，有下述命题：※若)(x f 是奇函数，则)1(-x f 的图象关于点(1,0)A 对称； ※若函数)1(-x f 的图象关于直线1=x 对称，则)(x f 为偶函数； ※若对x ∈R ，有则),()1(x f x f -=-2是)(x f 的一个周期； ※函数)1()1(x f y x f y -=-=与的图象关于直线1=x 对称． 其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号） 【知识点】对称性、周期性 【题型】填空题 【难度】★★ 【答案】①②③④ 课后练习2．已知函数2()|2|f x x ax a =-+（x ∈R ），给出下列四个命题：※ 当且仅当0a =时，()f x 是偶函数； ※ 函数()f x 一定存在零点； ※ 函数在区间(,]a -∞上单调递减；※ 当01a <<时，函数()f x 的最小值为2a a -．那么所有真命题的序号是 ．※※ 【知识点】函数图象与函数性质的综合 【题型】填空题 【难度】★★ 【答案】①④3．给出定义：若（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作，在此基础上给出下列关于函数的四个命题：※函数的定义域为，值域为；※函数在上是增函数；※函数是周期函数，最小正周期为1；※函数的图像关于直线对称．其中正确命题的序号是 ．【知识点】新定义、函数图象与函数性质的综合 【题型】填空题 【难度】★★ 【答案】①③④4．（2014宝山一模14）关于函数()1x f x x =-给出下列四个命题：※当0x >时，()y f x =单调递减且没有最值； ※方程()(0)f x kx b k =+≠一定有解；※如果方程()f x k =有解，则解的个数一定是偶数；※()y f x =是偶函数且有最小值．则其中真命题是 ．（只要写标题号） 1122m x m -<+≤{}x m =(){}f x x x =-()y f x =R 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()y f x =11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()y f x =()y f x =2kx =()k Z ∈【知识点】函数图象与函数性质的综合 【题型】填空题 【难度】★★ 【答案】②④5．（2014嘉定一模13）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥++=0,,0,12)(22x c bx x x x ax x f 是偶函数，直线t y =与函数)(x f 的图像自左至右依次交于四个不同点A 、B 、C 、D ，若||||BC AB =，则实数t 的值为________． 【知识点】函数图象与函数性质的综合【题型】填空题 【难度】★★ 【答案】47【解析】※()f x 为偶函数，※1a =- 设C x x =，则B x x =-，3D x x =C D 、关于1x =对称13212x x x ⇒+=⨯⇒=，※1724t f ⎛⎫== ⎪⎝⎭6．（2014闵行二模理14）对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：※任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立；※()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；※函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； ※对任意0x >，不等式()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是9,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 则其中所有真命题的序号是 ．【知识点】函数图象与函数性质的综合【题型】填空题 【难度】★★ 【答案】①③【解析】图象右移2个单位的同时，纵坐标变为原来的12※[0,),()[1,1]x f x ∈+∞∈-，该命题正确※※1()(2)2f x f x =- ※2111(2)(22)(24)()222k f x k f x k f x k f x +=⋅+-=⋅+-==L※()2(2)kf x f x k =⋅+，该命题错误※如图，()y f x =与ln(1)y x =-图象的交点有3个，该命题正确※反例：当52x =时，555159222248f ⎛⎫⋅=⋅=> ⎪⎝⎭ ※正确的序号为※※7．（2015虹口二模理14）若()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意的实数0x ≥，总有正常数T ，使得()()f x T f x T +=+成立，则称()f x 具有“性质p ”，已知函数()g x 具有“性质p ”，且在[]0,T 上，()2g x x =；若当[],4x T T ∈-时，函数()y g x kx =-恰有8个零点，则实数k = ．【知识点】函数图象与函数性质的综合 【题型】填空题 【难度】★★★ 【答案】436-【解析】“()()f x T f x T +=+”表示函数图象向右平移T 个单位后，再向上平移T 个单位2()1()(0)g T T T g T g T T⎧=⇒=⎨=+=⎩，由于()g x 是R 上的奇函数，※可得()[]2,1,0g x x x =-∈- 零点个数问题转化为函数()y g x =与y kx =的交点问题， 要有8个交点，表示2()(3)3,[3,4]y g x x x ==-+∈的图象与y kx =相切2436(6)1200k k x k x ∆>⎧⇒=-⎨-++==⎩方程的8．已知：()x f y =是最小正周期为2的函数，当[]1,1-∈x 时，()2x x f =，则函数()x f y =()x ∈R 图像与x y 5log =图像的交点的个数是（ ）．A ．8B ．9C ．10D ．12 【知识点】函数周期、图象综合 【题型】选择题 【难度】★★ 【答案】C9．对于函数()y f x =，定义：若存在非零常数M T 、，使函数()f x 对定义域内的任意实数x ，都满足()()f x T f x M +-=，则称函数()y f x =是准周期函数，常数T 称为函数()y f x =的一个准周期．如函数()(1)()xf x x x =+-∈Z 是以2T =为一个准周期且2M =的准周期函数．（1）试判断2π是否是函数()sin f x x =的准周期，说明理由； （2）证明函数()2sin f x x x =+是准周期函数，并求出它的一个准周期和相应的M 的值；（3）请你给出一个准周期函数（不同于题设和（2）中函数），指出它的一个准周期和一些性质，并画出它的大致图像． 【知识点】新定义、函数周期与函数图象综合、探究性问题 【题型】选择题 【难度】★★★【答案】（1）()sin f x x =Q ，(2)()sin(2)sin 0f x f x x x ππ∴+-=+-=2π∴不是函数()f x 的准周期 （2）(2)()[2(2)sin(2)](2sin )24sin 2sin 4f x f x x x x x x x x x πππππ+-=+++-+=++--=Q※()2sin f x x x =+是准周期函数，2T π=是它的一个准周期，相应的4M π= （3）① 写出一个不同于题设和（2）中函数，如3sin ,2(1),23sin ,[]xy x x y x y x x y x =+=+-=+=等得1分(0),()sin(),()cos()y kx b k y kx b A x y kx b a x ωϕωϕ=+≠=+++=+++， 或其它一一次函数（正比例函数）与周期函数的线性组合的具体形式得3分 ② 指出所写函数的一个准周期，得2分③ 指出它的一些性质，如定义域、值域、奇偶性、单调性、最值、…， （写出一条得1分，写出两条以上得2分，可以不证明） ④ 画出其大致图像，得3分． Oxy1234123455-1-2-3-4-5-1-2-3-4-5。

一次函数关于某直线对称的规律一次函数是指具有形式为y = ax + b的函数，其中a和b为常数，且a不等于0。

当我们探讨一次函数关于某直线对称的规律时，我们需要考虑直线的方程和函数的性质。

假设我们有一条直线，其方程为y = mx + c，其中m和c为常数。

现在，我们来研究一次函数y = ax + b关于这条直线的对称规律。

首先，我们可以将一次函数写成一般形式y = ax + b = (a/m)x + (b - (a/m)c)，这里我们假设m不等于0。

现在，我们来探究这一函数关于直线y = mx + c的对称规律。

根据对称性质，如果一点P(x, y)位于直线y = mx + c上方，那么它的对称点P'必然位于直线y = mx + c的下方，并且P和P'的中点一定位于直线y = mx + c上。

我们以直线y = mx + c的中点为原点，建立直角坐标系。

对于直线上面的任意一点P(x, y)，其对称点P'的坐标为P'(-x, -y)。

根据对称性质，我们可以得出关于一次函数关于直线y = mx + c对称的规律如下：1. 如果函数的斜率a等于直线的斜率m，那么函数关于直线对称。

也就是说，如果a = m，则对于任意点P(x, y)，该点与其对称点P'(-x, -y)关于直线y = mx + c对称。

2. 如果函数的斜率a的倒数等于直线的斜率m的倒数，那么函数关于直线对称。

也就是说，如果a/m = -1，则对于任意点P(x, y)，该点与其对称点P'(-x, -y)关于直线y = mx + c对称。

需要注意的是，上述规律只适用于斜率不为零的情况。

当直线的斜率m为零时，直线是水平的，不会对函数产生对称性。

综上所述，我们得出了一次函数关于某直线对称的规律。

这一规律可以帮助我们理解和分析一次函数的性质，以及函数和直线的关系。