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1电磁仿真算法中的有限元法1.1常规的电磁计算方法简介从上世纪50年代以来,伴随着计算机技术的进步,电磁仿真算法也蓬勃发展起来,这其中主要包括:单矩法、矩量法和有限元法等属于频域技术的算法; 传输线矩阵法、时域积分方程法以及时域有限差分法等属于时域技术的算法。
除了这些以外, 还有属于高频技术的集合衍射理论等。
本文根据国内外计算电磁学的发展状况,对日常生活中比较常用的电磁计算方法做了介绍,并对有限元法做了重点说明。
⑴矩量法矩量法属于电磁场的数值计算方法中频域技术的一种, 它的基本原理是利用把待解的微积分方程转化成的算子方程, 然后将由一组线性组合表示的待求函数代入第一步中的算子方程, 然后将算子方程转化成矩阵方程, 最后再通过计算机进行大量的数值计算从而得到数值结果。
该方法在求解非均勻和不规则形状对象时,面很广,但会生成病态矩阵,所以会在一定程度上受到限制。
矩量法的特点就是适用于求解微积分方程, 并且求解方法统一简单。
但缺点就是会占用大量计算机内存,影响计算速度。
(2)单矩法单矩法是一种解析方法和数值方法相结合的混合数值算法法,该方法的关键在于,如何合理的选择一个球面最小的半径,使得能够将分析对象的结构全部包含在内,以便将内外场进行隔离。
外边的散射场单独使用其他函数表示,而包围的内部区域使用有限元法亥姆赫兹(Helmholtz)方程。
此方法对于计算复杂形体乃至复杂埋入体内的电磁散射是种极为有效的手段。
(3)时域有限差分法时域有限差分法(FDTD）近几年来越来越受到各方的重视, 因为一方面它处理庞大的电磁福射系统方面和复杂结构的散射体时很突出,另外一方面则在于它不是传统的频域算法, 它是种时域算法, 直接依靠时间变量求解麦克斯韦方程组,可以在有限的时间和体积内对场进行数据抽样, 这样同时也能够保证介质边界条件自动满足。
吋域有限差分法可以看作是在时域内对空间电磁波传播过程的数字拟合,它是法拉第电磁感应定律的很好体现。
关于时谐因子与波数开方的取值有耗媒质时谐电磁场问题的处理经常会遇到时谐因子的选择和波数开方的问题。
需要进行非常仔细的处理，一不小心就可能出错。
经常的“仔细”会带来没必要的重复性工作。
现在我把这个选择完整的选择过程记录于此，以备查询。
有耗媒质中，麦克斯韦方程：00-≈=⋅∇=⋅∇+∂∂=×∇∂∂=×∇ερE B J D H BE t t（1）则有：t i ω若取时谐因子ερσωεωωμω=⋅∇=⋅∇+=+=×∇==×∇E H EJ D H HB E 0)(--i i i i （2） 电流连续性方程0=∂∂+⋅∇tρJ （3） 由以上各式可推得频率域里矢量波方程：002222=+∇=+∇H H E E k k （4）其中ωμσσωεωμi i i k −≈+−=)(2 （5）那么有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=−+−=−⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+−=−=⇒−=2)1(2)1(2)1(2)1(2121ωμσωμσωμσωμσωμσi ik i ik i k i k i k （6） 在矢量波方程的通解中，如果以表示波的衰减项，则波数开方取，否则取。
ikr e −1k 2k 对于大地电磁测深的二维正演问题，在上述条件下，假设x 表示构造走向，TE 模式下正演的主控制微分方程为：[]0)()1(1(=+−−∂∂−∂∂+∂∂−∂∂x x x E i zE i z y E i y σωεωμωμ （7） TM 模式下正演的主控制微分方程为：01()1(=−∂∂∂∂+∂∂∂∂x x x H i zH z y H y ωμσσ （8） 在有限元正演中，可统一写成：0()(=−∂∂∂∂+∂∂∂∂x x x H zF z y F y βαα （9） 这时，对于TE 模式：)(,1,σωεβωμα+−=−==i i E F x x （10）对于TM 模式：ωμβσαi H F x x =−==,1,（11）。
第5章时变电磁场和平面电磁波5.1 / 5.1-1 已知z2=1+j，求复数z的两个解。
2[解] z=1+j=jπjπ2e z1=2e=1.189ej22.5=1.099+j0.455j22.5 z2=-1.189e=-1.099-j0.4555.2 / 5.1-2 已知α是正实数，试证：(a)若α<<1,jα⎫⎛+jα≈± 1+⎪; 2⎝⎭jα⎫⎛+jα≈± 1+⎪;。
2⎭⎝(b)若α>>1,[解] ( a) α<<1: +jα=(b) α>>1:+α2ejtan-1α≈e(jααα⎫α⎫⎛⎛=± cos+jsin⎪≈± 1+j⎪ 22⎭2⎭⎝⎝+jα=+α2ejtanα-1≈⎛αe⎝jπ⎫⎪⎭ππ⎫⎛=± co+jsi⎪ 44⎭⎝=±(1+j)2=e+je，H（t）的复振幅为H =h+jh，试证5.3 / 5.1-3设E（t）的复振幅为Eii H ejωt，并求E（t）E(t)H(t)≠ReE、H（t）。
ejωt=1E ejωt+E *e-jωt [解] E(t)=ReE[][](2)1 jωt *e-jωt He+H21 * * H ej2ωt+E *H *e-j2ωt 得 E(t)H(t)=EH+EH+E41 H *+E H ej2ωt≠ReE H ejωt =ReE2H(t)=()()[][]E(t)=Re(e+jei)ejωt=Re[(e+jei)(cosωt+jsinωt)]=ecosωt-eisinωt 1 []H(t)=Re(h+jhi)ejωt=hcosωt-hisinωt E(t)H(t)=ehcos2ωt+eihisin2ωt-ehicosωtsinωt-eihcosωtsinωt []=1[eh+eihi+(eh-eihi)cos2ωt-(eh i+eih)sin2ωt] 2可见,为恒定成分与二倍频成分的叠加.5.4 / 5.1-4 将下列场矢量的瞬时值变换为复矢量，或作相反的变换：ˆE0sin(ωt-kz)+yˆ3E0cos(ωt-kz)； (a) (t)=xˆ⎢E0sinωt+3E0cos ωt+(b) (t)=x⎣ˆ+jyˆ)e(c) =(xˆjH0e(d) =-y⎡⎛⎝π⎫⎤⎪； 6⎭⎥⎦-jkz；。
用有限差分方法求解微波电磁场问题本章主要内容是说明用差分法求解在微波器件和微波技术中常常遇见的一些偏微分方程的边值问题。
我们知道，很多给定边界条件的偏微分方程的求解相当复杂。
除少数情况外，要求它的精确解是颇为困难的，一般采用近似方法。
有限差分法就是经常采用的一种近似方法，它是用离散的、含有有限个未知数的差分方程去替代连续变量的微分方程，并把相应的差分方程的解作为该边值问题数值形式的近似解。
1 用差分方程解拉普拉斯方程在微波系统中很多问题，例如同轴线的台阶电容、谐振腔隙缝处的漏散电容、微带线的特性阻抗等，要求出它们的值，首先就要找出这些线或谐振腔内静电电位分布，这些电位分布是满足拉普拉斯方程的。
用差分方法解拉普拉斯方程是很方便的，所以我们开始就讨论它。
将拉普拉斯方程化成差分方程的方法在很多书上都可找到[6, 7]，下面将列出公式而不作推导，仅对差分方程的求解过程作一些简单介绍。
一、基本差分公式我们要求的电位函数u ，它在区域D 内满足下面的拉普拉斯方程02222=∂∂+∂∂yux u (1-1) 在边界上S ，它服从以下条件：()p f u S = (1-2)式中()p f 为边界点p 的函数。
这类问题一般称为第一类边值问题或称狄里赫利问题。
为了用差分方法求解电位分布，先在y x -平面分别作两族平行于x 轴和y 轴的直线,线间的距离为h ，于是各直线的x 和y 坐标分别为：jh y ih x j i == ;式中j i ,为正整数，取值1、2、……。
这样区域D 就被许多边长为h 的正方形所覆盖，在图1-1中示出了这种情况。
各正方形的顶点被称为网格的节点，从图可以看到，各节点所处位置有所不同。
一些节点（例如a 节点）恰落在边界上S ，我们把它叫做边界节点。
有些节点到边界的距离不足h （例如节点b ）,这些节点叫做不规则节点。
但是大部分节点到边界的距离大于h ，例如图上的0点，它们属于规则节点。
差分法就是求这些离散节点处u 的近似值。
