有限元动力学分析方程及解法

第6章 结构动力分析有限元法此前述及的问题属于静力分析问题，即作用在结构上的荷载是与时间无关的静力。

由此求得的位移、应力等均与时间无关。

实际工程中的大部分都可简化成静力问题。

但当动载与静载相比不容忽略时，一般应进行动力分析。

如地震作用下的房屋建筑，风荷载作用下的高层建筑等，都应计算动荷载作用下的动力反应。

研究课题中以动力问题为主。

解决动力问题有两大工作要做：一是动荷载的模拟和计算，二是结构反应分析。

本章将讨论如何用有限元来解决动力计算问题。

6.1 结构动力方程一．单元的位移、速度和加速度函数设单元的位移函数为；}{[]}{ef N d = 6—1—1式中：单元位移函数列阵}{f 、结点位移函数列阵}{ed 均是时间t 的函数。

由6-1-1可求得单元的速度、加速度函数：}{[]}{e f N d = 6—1—2 }{[]}{ef N d = 6—1—3二．单元的受力分析设图示三角形单元，当它处于运动状态时，其上的荷载一般应包括：单元上的荷载；单元对结点的作用力,}{[]}{(,eeix iy F F F K d ⋅⋅⋅=结点力）单元内部单位体积的：惯性力：}{}{[]}{em F f N dρρ=-=- 6—1—4阻尼力（设正比于运动速度）：}{}{[]}{ecF f N d αραρ=-=- 6—1—5干扰力（已知的条件）：}{p F根据达朗贝尔原理，上述四力将构成一瞬时平衡力系，使单元处于动平衡状态。

为此寻求四者之间的关系；三．结点力与结点位移、速度和加速度之间的关系用虚功原理推导：令单元结点发生任意可能的虚位移}{*d，它满足单元所定义的位移场，即虚位移场}{[]}{**f N d =成立。

作用在单元上的外力所作的外力虚功：}{}{}{}{}{}{}{}{****TTTTPcmvvvT dF f F dv f F dv f F dv =+++⎰⎰⎰单元内部应力在由于虚位移所引起的虚应变上所做的内力虚功：}{}{[]}{[][]}{**TTvW dv B d D B d dv εσ==⎰（）根据虚功原理（T=W ），若将惯性力}{m F ，阻尼力}{c F 用上面的6—1—4，6—1—5代替，得：}{}{[]}{}{[]}{[]}{[]}{[]}{[]}{[][]}{*****TPvvTvVd F N d F dv N d N d dv N d N d dv B d D B d dvαρρ+--=⎰⎰⎰⎰TTT （）（）（）（）由于虚位移的任意性，可从等式两边各项中消去}{*d T，得：}{[][][]}{[][]}{[][]}{[]}{TTpvvvvF B D B dv d N N dv d N N dv d N F dv αρρ=++-⎰⎰⎰⎰TT简写为：}{[]}{[]}{[]}{}{eF k d c d m d R =++- 6—1—6式中：[][][][]Tv k B D B dv =⎰ 单刚（第一项为弹性恢复力） [][][]v c N N dv αρ=⎰T单元阻尼矩阵（第二项为阻尼力） [][][]v m N N dv ρ=⎰T 质量矩阵（第三项为惯性力）[][][]R e P v N F dv =⎰T 包括由作用在单元上的干扰力转化成的等效结点荷载6—1—6即为单元结点力之间的关系式。

有限元第9讲动力学问题有限单元法动力学问题是指研究物体在运动中的受力和受力作用下的运动状态，常见的应用是结构工程学中的振动分析。

有限单元法是解决结构工程学中动力学问题的常用方法之一。

本文将介绍动力学问题和有限单元法的基本概念，并介绍其应用。

动力学问题的定义动力学是研究质点或刚体运动情况的分支学科，在结构工程学中是指结构在做振动时所受的力和运动状态。

动力学问题可以分为两种类型：稳态动力学问题和非稳态动力学问题。

稳态动力学问题是指结构在振动状态下所受的恒定力，而非稳态动力学问题则是指结构所受的变化的力，例如冲击力或地震力。

动力学问题的求解包括两个方面：一是确定受力情况；二是求解结构的运动状态。

确定受力情况通常需要通过实验或计算确定，求解结构运动状态则可以通过有限单元法来解决。

在结构工程学中，动力学问题的应用非常广泛。

例如，建筑物抗震设计需要对建筑物在地震作用下的反应进行分析，桥梁工程需要对桥梁在行车作用或风力作用下的振动响应进行分析。

有限单元法的基本概念有限单元法是一种将结构离散成若干小单元的数值分析方法，将结构分割成细小的单元，每个单元内部假设为均匀且连续的，通过对单元本身的运动状态进行求解，进而推知整个结构的运动状态。

有限元法用于解决的问题包括静力学问题、动力学问题、热力学问题和流体问题等。

有限单元法求解动力学问题的步骤主要包括如下几个步骤：1.离散化：将连续结构离散化成有限的小单元，每个单元内部运动状态通过定义一定数量的节点来确定。

2.建立单元的动力学方程：根据单元的形状和材料性质，建立单元的动力学方程，并计算单元的振动特性，例如频率和模态。

3.组装单元的方程：将单个单元的方程组装成整个结构的方程。

4.边界条件的处理：利用结构的边界条件（例如支撑、铰支等），将结构自由度减少到实际问题所需要的自由度。

5.求解结构的运动状态：通过求解整个结构的方程，得到结构的运动状态。

6.后处理：根据求解结果，进行结果的可视化和分析。

有限元三大方程公式有限元方法是一种重要的数值分析技术，用于求解结构力学、流体力学和热传导等工程学问题。

有限元方法基于有限元法，将连续的问题离散化成为微小的单元，并利用数值技术求解单元边界上的方程，最终通过组合这些边界方程得到整个问题的解。

在有限元方法中，三个常见的方程是：平衡方程、力学方程和能量方程。

下面将详细介绍这三个方程的公式及其意义。

一、平衡方程平衡方程是指物体在受到外力作用时，各部分之间保持力的平衡。

在力学中，平衡方程可表示为：∑F=0其中，∑F代表物体的所有外力的矢量和。

这个方程表明，在平衡状态下，物体上各个部分所受的外力的合力为零。

通过将平衡方程应用于每个有限元单元，可以得到离散问题的平衡方程。

二、力学方程力学方程是用于描述物体内部受力情况的方程，一般由胡克定律得到。

对于线性弹性材料，力学方程可表示为：σ=(E/ν)[ε-α(T-T0)]其中，σ代表应力，E代表弹性模量，ν代表泊松比，ε代表应变，α代表线膨胀系数，T代表温度，T0代表参考温度。

这个方程表明，应力取决于应变、温度和材料性质。

在有限元分析中，常将力学方程表示为单元应变和单元应力之间的关系，即：σ=Dε其中，D代表弹性模量矩阵，包含了材料性质的信息。

通过将力学方程应用于每个有限元单元，可以得到离散问题的力学方程。

三、能量方程能量方程是用于描述物体内部能量传递和转化的方程。

∂T/∂t=α∇²T其中，T代表温度，t代表时间，α代表热扩散率。

这个方程表明，温度随时间和空间的变化率取决于热传导率。

在有限元分析中，常将能量方程离散化为每个有限元单元的能量方程，即：∂T_i/∂t=∑(N_i∇T)其中，T_i代表单元i的温度，N_i代表形函数，∇T代表温度梯度。

通过将能量方程应用于每个有限元单元，可以得到离散问题的能量方程。

综上所述，有限元分析中的三大方程包括平衡方程、力学方程和能量方程。

这些方程为结构力学、流体力学和热传导等工程学问题的求解提供了重要的数学模型，通过将这些方程应用于每个有限元单元，可以得到离散问题的方程组，从而得到问题的数值解。

动力分析中平衡方程组的解法1前言描述结构动力学特征的基本力学变量和方程与静力问题类似，但所有的变量都是时间的函数。

基本变量三大类变量(,)i u t ξ、(,)ij t εξ和(,)ij t σξ是坐标位置(,,)x y z ξ和时间t 的函数，一般将其记为()()()i ij ij u t t t εσ。

基本方程(1) 平衡方程利用达朗贝尔原理将惯性力和阻尼力等效到静力平衡方程中，有,()()()()0ij j i i i t b t u t u t σρν+--= (1)其中ρ为密度，ν为阻尼系数。

(2) 几何方程,,1()(()())2ij i j j i t u t u t ε=+ (2)(3) 物理方程 ()()ij ijkl kl t D t σε= (3)其中ijkl D 为弹性系数矩阵。

(4) 边界条件位移边界条件()BC u 为，()()i i u t u t = 在u S 上 (4)力的边界条件()BC p 为，()()ij j i t n p t σ= 在p S 上 (5)初始条件0(,0)()i i u t u ξξ== (6) 0(,0)()i i u t u ξξ== (7)虚功原理基于上述基本方程，可以写出平衡方程及力边界条件下的等效积分形式，,()()0pij j i i i ij j i S u u b u d n p dA δσρνδσΩ∏=---+Ω+-=⎰⎰ (8)对该方程右端第一项进行分部积分，并应用高斯-格林公式，整理得，()()0pijkl ij kl i i i i i i i i S D u u u u d b u d p u dA εδερδνδδδΩΩ-++Ω-Ω+=⎰⎰⎰ (9) 有限元分析列式单元的节点位移列阵为，111222()[(),(),(),(),(),()(),(),()]e t k k k U t u t v t w t u t v t w t u t v t w t = (10)单元内的插值函数为， (,)()()e t u t N U t ξξ= (11)其中()N ξ为单元的形状函数矩阵，与相应的静力问题单元的形状函数矩阵完全相同，ξ为单元中的几何位置坐标。

第六章 动力问题的有限元法6.1 概述前面几章所研究的问题都属于静力问题，其特点是施加到结构上的外载荷不会使结构产生加速度，且外载荷的大小和方向不随时间变化，因而结构所产生的位移和应力也不随时间变化。

本章将要研究结构分析中另一类重要问题的有限元解法，即动力问题的有限元解法。

动力学问题的特点是，载荷是随时间变化的，因而结构所产生的位移和应力是时间的函数，结构会产生速度和加速度。

由于结构本身的弹性和惯性，结构在动力载荷的作用下，往往呈现出振动的运动形态。

结构振动是工程中一个很普遍很重要的问题。

有些振动对我们有利，例如，振动打桩，振动选料，有些振动对我们有害，例如，机床的振动，仪器与仪表的振动，桥梁、水坝及高层建筑在地震作用下的振动等。

因此，我们必须对振动体本身的振动特性以及它对外部激振力的响应有一个明确的认识，才能更好地利用它有利的一面，而避免它有害的一面，设计出更好的机械和结构。

振动问题主要解决两方面的问题。

1. 寻求结构的固有频率和主振型，从而了解结构的固有振动特性，以便更好地利用或减少振动。

2. 分析结构的动力响应特性，以计算结构振动时动应力和动位移的大小及其变化规律。

6.2 结构的振动方程结构的振动方程可用多种方法建立，这里我们使用达朗伯原理（动静法），仿照前几章建立静力有限元方程的方法，来建立动力问题的有限元方程。

在静力问题中用有限元法建立的平衡方程是}{}]{[F K =δ在振动问题中，对结构的各节点应用达郎伯原理所建立的振动方程仍然具有与上式相同的形式，只不过节点位移是动位移，节点载荷是动载荷，它们都是时间的函数。

上面的方程成为)}({)}(]{[t Q t K =δ (6.1)上式中{})(t δ为节点的动位移，它是时间的函数，)}(]{[t K δ是t 时刻的节点位移产生的弹性恢复力，它与该时刻的节点外力{})(t Q 构成动态平衡。

在动态情况下，结构承受的载荷（集中载荷 ，分布载荷 ）可随时间而变化，是时间的函数。

动力学有限元问题的龙格库塔法知乎动力学有限元问题的龙格库塔法1. 介绍动力学有限元问题是一类涉及结构物或系统在时间变化下的运动和响应的问题。

为了解决这类问题，我们可以使用数值方法，其中最常用的之一是龙格库塔法（Runge-Kutta method）。

本文将探讨龙格库塔法在解决动力学有限元问题中的应用，并对其进行深入思考和全面分析。

2. 龙格库塔法的基本原理和应用龙格库塔法是一种数值求解常微分方程的方法，通过迭代逼近来计算方程的数值解。

它的优点在于能够准确地模拟系统的动态行为，并且对于非线性问题也有较好的适用性。

在动力学有限元问题中，我们通常需要求解结构物或系统在时间上的响应，而龙格库塔法可以提供相对精确的数值计算结果。

3. 动力学有限元问题在动力学有限元问题中，我们需要考虑结构物或系统在外部作用下的运动和响应。

这通常涉及到求解质点、刚体或弹性体的运动方程。

通过建立合适的模型和边界条件，我们可以得到动力学方程。

通过数值方法求解这些方程，我们可以得到系统在一段时间内的响应。

4. 龙格库塔法的步骤和计算过程龙格库塔法的基本步骤包括选择适当的时间步长和计算时间步数，以及计算中间步骤的函数值。

具体来说，龙格库塔法将时间区间划分为若干个小时间步，并通过迭代逼近的方式计算每个时间步的系统响应。

这个过程可以通过多种不同的方法进行，其中最常用的是四阶龙格库塔法。

5. 龙格库塔法的优点和缺点龙格库塔法作为数值求解常微分方程的方法，具有一定的优点和缺点。

其优点在于能够准确地模拟系统的动态行为，对于非线性问题也有较好的适用性。

而缺点在于需要选择合适的时间步长和计算步数，以及计算量较大。

在处理某些特殊问题时，龙格库塔法可能会出现数值不稳定或数值误差较大的情况。

6. 对龙格库塔法的个人观点和理解在我个人看来，龙格库塔法是一种非常有效的数值求解方法。

它可以帮助我们更好地理解和分析动力学有限元问题，提供精确的数值计算结果。

通过选择适当的参数和方法，我们可以获得准确的结果，并在实际工程和科学研究中得到有效的应用。