张云华——一道绝对值不等式的一种证明

典型例题一绝对值不等式例1 解不等式2321-->+x x分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a ，将不等式中的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论．解：令01=+x ，∴ 1-=x ，令032=-x ，∴23=x ，如图所示． （1）当1-≤x 时原不等式化为2)32()1(--->+-x x∴2>x 与条件矛盾，无解．（2）当231≤<-x 时，原不等式化为2)32(1--->+x x ． ∴ 0>x ，故230≤<x ． （3）当23>x 时，原不等式化为 2321-->+x x ．∴6<x ，故623<<x ． 综上，原不等式的解为{}60<<x x ．说明：要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏．典型例题二例2 求使不等式a x x <-+-34有解的a 的取值范围．分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便．解法一：将数轴分为(]),4(],4,3[,3,+∞∞-三个区间当3<x 时，原不等式变为27,)3()4(a x a x x -><-+-有解的条件为327<-a ，即1>a ；当43≤≤x 时，得a x x <-+-)3()4(，即1>a ；当4>x 时，得a x x <-+-)3()4(，即27+<a x ，有解的条件为427>+a ∴1>a ． 以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为1>a ．解法二：设数x ，3，4在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，如图，由绝对值的几何定义，原不等式a PB PA <+的意义是P 到A 、B 的距离之和小于a ． 因为1=AB ，故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于（等于1），即134≥-+-x x ，故当1>a 时，a x x <-+-34有解．典型例题三例3 已知),0(,20,2M y ab y M a x ∈ε<-<ε<-，求证ε<-ab xy ． 分析：根据条件凑b y a x --,． 证明：ab ya ya xy ab xy -+-=-ε=ε⋅+ε⋅<-⋅+-≤-+-=aa M Mb y a a x y b y a a x y 22)()(． 说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法．典型例题四例4 求证 b a a b a -≥-22分析：使用分析法证明 ∵0>a ，∴只需证明b a a b a -≥-222，两边同除2b ，即只需证明 ba b a b b a -≥-22222，即 ba b a b a -≥-22)(1)( 当1≥b a 时，b a b a b a b a -≥-=-222)(1)(1)(；当1<ba 时， 0<-b a ，原不等式显然成立．∴原不等式成立．说明：在绝对值不等式的证明，常用分析法．本例也可以一开始就用定理：b a b a a b a a b a ⋅-=-≥-2222 （1）如果1≥ba ，则0≤-b a ，原不等式显然成立． （2）如果1<a b ，则b a b ->-，利用不等式的传递性知a b a -，b a b ->，∴原不等式也成立．典型例题五例5 求证b ba ab a ba +++≤+++111．分析：本题的证法很多，下面给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明．证明：设xx x x x x f +-=+-+=+=1111111)(． 定义域为｛R x x ∈，且1-≠x ｝，)(x f 分别在区间)1,(--∞，区间),1(∞+-上是增函数． 又b a b a +≤+≤0， ∴)()(b a f b a f +≤+ 即b a ba b a ba +++≤+++11b ba ab a bb a a+++≤+++++=1111∴原不等式成立．说明：在利用放缩法时常常会产生如下错误： ∵b a b a +≤+，01>++b a ， ∴b a b b a a b a b a b a b a +++++=+++≤+++1111bb a a +++≤11． 错误在不能保证a b a +≥++11，b b a +≥++11．绝对值不等式b a b a +≤±在运用放缩法证明不等式时有非常重要的作用，其形式转化比较灵活．放缩要适度，要根据题目的要求，及时调整放缩的形式结构．典型例题六例6 关于实数x 的不等式2)1(2)1(22-≤+-a a x 与0)13(2)1(32≤+++-a x a x )(R a ∈的解集依次为A 与B ，求使B A ⊆的a 的取值范围．分析：分别求出集合A 、B ，然后再分类讨论．解：解不等式2)1(2)1(22-≤+-a a x ， 2)1(2)1(2)1(222-≤+-≤--a a x a ， ∴{}R a a x a x A ∈+≤≤=,122．解不等式0)13(2)1(32≤+++-a x a x ，0)2)](13([≤-+-x a x ． 当31>a 时（即213>+a 时），得⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+≤≤=31,132a a x x B ． 当31≤a 时（即213≤+a 时），得⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤+=31,213a x a x B ． 当31>a 时，要满足B A ⊆，必须⎩⎨⎧+≤+≥,131,222a a a 故31≤≤a ； 当31≤a 时，要满足B A ⊆，必须⎩⎨⎧+≥+≥;12,1322a a a ⎩⎨⎧≤≤--≤,11,1a a ∴1-=a ．所以a 的取值范围是{}311≤≤-=∈a a R a 或．说明：在求满足条件B A ⊆的a 时，要注意关于a 的不等式组中有没有等号，否则会导致误解．典型例题七例6 已知数列通项公式nn na a a a a 2sin 23sin 22sin 2sin 32++++= 对于正整数m 、n ，当n m >时，求证：nn m a a 21<-． 分析：已知数列的通项公式是数列的前n 项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再利用不等式n n a a a a a a +++≤+++ 2121，问题便可解决．证明：∵n m >∴m n n n m ma a n a n a a 2sin 2)2sin(2)1sin(21+++++=-++ mn n ma a n a n 2sin 2)2sin(2)1sin(21+++++≤++ 211)211(2121212121--=+++≤++m n n)12110(21)211(21<-<<-=--nm n n m n ． 说明：m n n 21212121+++++ 是以121+n 为首项，以21为公比，共有n m -项的等比数列的和，误认为共有1--n m 项是常见错误． 正余弦函数的值域，即1sin ≤α，1cos ≤α，是解本题的关键．本题把不等式、三角函数、数列、n 个变量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目．如果将本题中的正弦改为余弦，不等式同样成立．典型例题八例8 已知13)(2+-=x x x f ，1<-a x ，求证：)1(2)()(+<-a a f x f分析：本题中给定函数)(x f 和条件1<-a x ，注意到要证的式子右边不含x ，因此对条件1<-a x 的使用可有几种选择：(1)直接用；(2)打开绝对值用11+<<-a x a ，替出x ；(3)用绝对值的性质11+<⇒<-≤-a x a x a x 进行替换．证明：∵13)(2+-=x x x f ，∴13)(2+-=a a a f ， ∵1<-a x ，∴1<-≤-a x a x ． ∴1+<a x ， ∴x a a x a f x f -+-=-22)()()())((a x a x a x --+-=)1)((-+-=a x a x1-+⋅-=a x a x)1(21111+=+++<++<-+<a a a a x a x ，即)1(2)()(+<-a a f x f ．说明：这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运用．分析中对条件1<-a x 使用时出现的三种可能是经常碰到的，要结合求证，灵活选用．典型例题九例9 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->x x x x x 22330的解集是（ ）． A ．{}20<<x x B ．{}5.20<<x xC ．{}60<<x xD ．{}30<<x x 分析：本题是考查含有绝对值不等式的解法，由x x x x +->+-2233，知033>+-xx ，∴33<<-x ，又0>x ，∴30<<x ，解原不等式组实为解不等式x x x x +->+-2233（30<<x ）． 解法一：不等式两边平方得：2222)2()3()2()3(x x x x -+>+-．∴2222)6()6(-+>--x x x x ，即0)66)(66(2222>+-----++--x x x x x x x x ， ∴0)6(2>-x x ，又30<<x ．∴⎩⎨⎧<<<-30062x x ∴60<<x ．选C ．解法二：∵0>x ，∴可分成两种情况讨论：(1)当20≤<x 时，不等式组化为x x x x +->+-2233（20≤<x ）． 解得20≤<x ．(2)当2>x 时，不等式组可化为xx x x +->+-2233（2>x ）， 解得62≤<x ．综合(1)、(2)得，原不等式组的解为60<<x ，选C ．说明：本题是在0>x 的条件下，解一个含绝对值的分式不等式，如何去绝对值是本题的关键所在，必须注意，只有在保证两边均为非负数时，才能将不等式两边同时平方．另一种方法则是分区间讨论，从而去掉绝对值符号．当然本题还可用特殊值排除法求解．典型例题十例10 设二次函数c bx ax x f ++=2)((0>a ，且0≠b )，已知a b ≤，1)0(≤f ，1)1(≤-f ，1)1(≤f ，当1≤x 时，证明45)(≤x f ． 分析：从0>a 知，二次函数的图像是开口向上的抛物线；从1≤x 且1)1(≤-f ，1)1(≤f 知，要求证的是45)(≤x f ，所以抛物线的顶点一定在x 轴下方，取绝对值后，图像翻到x 轴上方．因此抛物线的顶点的取值非常重要，也是解这道题的关键所在．证明：∵)()(2c b a c b a b +--++=c b a c b a +-+++≤11)1()1(+≤-+=f f2=， ∴1≤b ． 又∵a b ≤，∴1≤ab ． ∴1212<≤-a b ． 又1)0(≤=f c ，ab c a b ac a b f 444)2(22-=-=-， ∴ab c a b c a b f 44)2(22+≤-=- 451141141=⋅⋅+≤⋅⋅+=b a b c ． 而)(x f 的图像为开口向上的抛物线，且1≤x ，11≤≤-x ， ∴)(x f 的最大值应在1=x ，1-=x 或a b x 2-=处取得． ∵1)1(≤f ，1)1(≤-f ，45)2(≤-a b f ， ∴45)(≤x f ．说明：本题考查了绝对值不等式的性质、二次函数的最值及分类讨论的思想和逻辑思维的能力，关键是通过对参数a ，b ，c 的分析，确定抛物线顶点的取值范围，然后通过比较求出函数在1 x 范围内的最大值．。

绝对值与不等式的解法绝对值和不等式是高中数学中重要的概念和解题方法。

绝对值常常出现在不等式中，对于解决这类问题，我们需要掌握一些基本的解法和技巧。

本文将介绍绝对值与不等式的解法，包括绝对值不等式和绝对值方程两个方面。

一、绝对值不等式的解法绝对值不等式是指形如|f(x)| ≤ g(x)，或|f(x)| ≥ g(x) 这样的数学不等式。

解决这类问题的关键在于将绝对值不等式转化为不等式组或分段函数。

下面以一个具体的例子来说明解答绝对值不等式的步骤。

例题：解不等式 |2x - 3| ≤ 5首先，我们需要根据绝对值的定义进行分情况讨论。

当 2x - 3 ≥ 0 时，|2x - 3| = 2x - 3；当 2x - 3 < 0 时，|2x - 3| = -(2x - 3)。

针对每一种情况，我们可以得到以下两个不等式：当 2x - 3 ≥ 0 时，2x - 3 ≤ 5，解得x ≤ 4；当 2x - 3 < 0 时，-(2x - 3) ≤ 5，解得x ≥ -1。

因此，综合两种情况的解集，得到最终的解为 -1 ≤ x ≤ 4。

二、绝对值方程的解法绝对值方程是指形如 |f(x)| = g(x) 的方程。

解决这类问题的关键在于将绝对值方程转化为分段函数，并通过分析不同情况求解。

下面以一个具体的例子来说明解答绝对值方程的步骤。

例题：解方程 |4x - 7| = 3同样地，我们根据绝对值的定义进行分情况讨论。

当4x - 7 ≥ 0 时，|4x - 7| = 4x - 7；当 4x - 7 < 0 时，|4x - 7| = -(4x - 7)。

针对每一种情况，我们可以得到以下两个方程：当 4x - 7 ≥ 0 时，4x - 7 = 3，解得 x = 2；当 4x - 7 < 0 时，-(4x - 7) = 3，解得 x = 1/4。

因此，综合两种情况的解集，得到最终的解为 x = 2 或 x = 1/4。

高中数学：绝对值不等式的解法
带绝对值符号的不等式叫绝对值不等式。

解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，等价转化为不含绝对值符号的不等式，用已有方法求解。

去绝对值符号的方法就是解不等式的方法。

一、注意绝对值的定义，用公式法
即若，则；若，则或。

例1、解不等式
解：由题意知，原不等式转化为
二、注意绝对值的非负性，用平方法
题目中两边都是非负值才能用平方法，否则不能用平方法，在操作过程中用到。

例2、解不等式
两边都含绝对值符号，所以都是非负，故可用平方法。

解：原不等式
解得
故原不等式的解集为
三、注意分类讨论，用零点分段法
不等式的一侧是两个或两个以上的绝对值符号，常用零点法去绝对值并求解。

例3、解不等式
解：利用绝对值的定义，分段讨论去绝对值符号，令和得分界点
于是，可分区间
讨论原不等式
解得
综上不等式的解为
四、平方法+定义法
有些题目平方之后仍有一个绝对值号，需要用定义去绝对值符号求解，这种方法叫“平方法+定义法”。

例4、解关于x的不等式
解：化为后，通常分
，三种情况去绝对值符号，再分进行讨论，这样做过程冗长，极易出错。

改变一下操作程序，思路将十分清晰，过程也简洁得多，即原不等式两边平方得。

再由定义去绝对值号，有：
（1）
；
（2）。

综上知
故当时，解为；当时，解为。

2．绝对值不等式的解法1.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ；|ax ＋b |≥c ；|x－a |＋|x －b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≤c .2．了解绝对值不等式的几何解法．, [学生用书P16])1．含绝对值不等式|x |＜a 与|x |＞a 的解法(1)|x |＜a ⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜x ＜a （a ＞0），空集（a ≤0）.(2)|x |＞a ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ∈R （a ＜0），x ∈R 且x ≠0（a ＝0），x ＞a 或x ＜－a （a ＞0）.2．|ax ＋b |≤c (c ＞0)和|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法(1)|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ．(2)|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ．3．|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的三种解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义．(2)利用x －a ＝0，x －b ＝0的解，将数轴分成三个区间，然后在每个区间上将原不等式转化为不含绝对值的不等式而解之．(3)通过构造函数，利用函数图象．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若|f (x )|＞|g (x )|，则f (x )＜g (x )，或f (x )＞－g (x )．( )(2)绝对值三角不等式的解法一般有分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．( ) (3)几何法解绝对值不等式的关键是利用|x －a |＋|x －b |＞c (c ＞0)的几何意义：即数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体，|x －a |＋|x －b |≥|(x －a )－(x －b )|＝|a －b |.( )答案：(1)× (2)√ (3)√2．不等式|x －1|<1的解集为( ) A ．(0，2) B ．(－∞，2) C ．(1，2) D ．[0，2)解析：选A.由|x －1|<1⇔－1<x －1<1⇔0<x <2， 所以不等式的解集为(0，2)．3．不等式3≤|5－2x |<9的解集为( ) A ．[－2，1)∪[4，7) B ．(－2，1]∪(4，7] C ．[－2，1]∪[4，7) D ．(－2，1]∪[4，7)解析：选D.因为|5－2x |＝|2x －5|，则原不等式等价于3≤2x －5<9或－9<2x －5≤－3， 解得4≤x <7或－2<x ≤1，故解集为(－2，1]∪[4，7)．4．不等式|x －2|≤|x |的解集是________． 解析：|x －2|≤|x |⇔(x －2)2≤x 2⇔4－4x ≤0⇔x ≥1. 答案：{x |x ≥1}含有一个绝对值号不等式的解法[学生用书P16]解下列不等式． (1)|2x ＋5|<7； (2)|2x ＋5|>7＋x ； (3)2≤|x －2|≤4.【解】 (1)原不等式等价于－7<2x ＋5<7. 所以－12<2x <2， 所以－6<x <1，所以原不等式的解集为{x |－6<x <1}． (2)由不等式|2x ＋5|>7＋x ，可得2x ＋5>7＋x 或2x ＋5<－(7＋x )， 所以x >2或x <－4.所以原不等式的解集为{x |x >2或x <－4}．(3)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|≥2，①|x －2|≤4.②由①得x －2≤－2，或x －2≥2， 所以x ≤0，或x ≥4. 由②得－4≤x －2≤4， 所以－2≤x ≤6.所以原不等式的解集为{x |－2≤x ≤0，或4≤x ≤6}．含有一个绝对值号不等式的常见类型及其解法(1)形如|f (x )|<a (a >0)和|f (x )|>a (a >0)型不等式可运用等价转化法化成等价的不等式(组)求解．(2)形如|f (x )|<g (x )和|f (x )|>g (x )型不等式的解法有 ①等价转化法：|f (x )|<g (x )⇔－g (x )<f (x )<g (x )， |f (x )|>g (x )⇔f (x )<－g (x )或f (x )>g (x )． (这里g (x )可正也可负) ②分类讨论法：|f (x )|<g (x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）≥0f （x ）<g （x ）或⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）<0－f （x ）<g （x ），|f (x )|>g (x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）≥0f （x ）>g （x ）或⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）<0－f （x ）>g （x ）.解不等式：1＜|x －2|≤3.解：原不等式等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|＞1，|x －2|≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1或x ＞3，－1≤x ≤5，解得－1≤x ＜1或3＜x ≤5，所以原不等式的解集为{x |－1≤x ＜1或3＜x ≤5}．含有两个绝对值号不等式的解法[学生用书P17]解下列不等式： (1)|x －1|>|2x －3|； (2)|x －1|＋|x －2|>2； (3)|x ＋1|＋|x ＋2|>3＋x .【解】 (1)因为|x －1|>|2x －3|，所以(x －1)2>(2x －3)2，即(2x －3)2－(x －1)2<0， 所以(2x －3＋x －1)(2x －3－x ＋1)<0， 即(3x －4)(x －2)<0，所以43<x <2.即原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫43，2.(2)原不等式⇔⎩⎨⎧x ≤11－x ＋2－x >2或⎩⎨⎧1<x <2x －1＋2－x >2或⎩⎨⎧x ≥2x －1＋x －2>2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1x <12或⎩⎨⎧1<x <2－1>0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2x >52⇔x <12或x >52， 所以原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞. (3)原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2－x －1－x －2>3＋x或⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <－1－x －1＋x ＋2>3＋x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1x ＋1＋x ＋2>3＋x ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2x <－2或⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <－1x <－2或⎩⎨⎧x ≥－1x >0⇔x <－2或x >0.所以原不等式的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．(1)本例第(1)小题的解法是平方法，此解法适用于解|f (x )|>|g (x )|或|f (x )|<|g (x )|型不等式，此外该题还可以用零点分段法和图象法求解．(2)本例第(2)(3)小题的解法都是零点分段讨论法，此解法适用于解含两个及两个以上绝对值号的不等式，此外该题也可以用函数图象法求解．1.不等式|x ＋3|－|x －3|＞3的解集是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞32B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |32＜x ≤3C ．{x |x ≥3}D ．{x |－3＜x ≤0}解析：选A.当x ＜－3时，－(x ＋3)＋(x －3)＞3，－6＞3，无解．当－3≤x ≤3时，x ＋3＋x －3＞3，所以x ＞32，故32＜x ≤3.当x ＞3时，x ＋3－(x －3)＞3，6＞3，所以x ＞3.综上可知原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞32.2．解不等式|2x －1|＜|x |＋1.解：当x ＜0时，原不等式可化为－2x ＋1＜－x ＋1，解得x ＞0，又因为x ＜0，所以这样的x 不存在．当0≤x ＜12时，原不等式可化为－2x ＋1＜x ＋1，解得x ＞0，又因为0≤x ＜12，所以0＜x ＜12. 当x ≥12时，原不等式可化为2x －1＜x ＋1，解得x ＜2，又因为x ≥12，所以12≤x ＜2.综上所述，原不等式的解集为{x |0＜x ＜2}．含参数的绝对值不等式[学生用书P17](2017·高考全国卷丙)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．【解】 (1)f (x )＝⎩⎨⎧－3，x <－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x >2.当x <－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1得，2x －1≥1解得1≤x ≤2； 当x >2时，由f (x )≥1解得x >2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m 得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－(|x |－32)2＋54≤54，且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54.故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，54.含参数的绝对值不等式问题主要有两类．一是含参数绝对值不等式的求解，常运用“零点”讨论解决．二是由绝对值不等式求参数取值范围问题，常运用绝对值的几何意义或构造函数求其值域(或其最大、最小值)，由恒成立或存在性问题求参数的取值范围．1.如果关于x 的不等式|x －a |＋|x ＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]∪[5，＋∞)B ．[－5，－3]C ．[3，5]D ．(－∞，－5]∪[－3，＋∞)解析：选D.因为|x －a |＋|x ＋4|≥|(x －a )－(x ＋4)|＝|a ＋4|，所以只需|a ＋4|≥1，所以a ＋4≥1或a ＋4≤－1，所以a ≥－3或a ≤－5.2．已知关于x 的不等式|2x ＋1|－|x －1|≤log 2a (其中a ＞0)． (1)当a ＝4时，求不等式的解集；(2)若不等式有解，求实数a 的取值范围． 解：(1)令f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|，当a ＝4时，f (x )≤2.当x ＜－12时，－x －2≤2，得－4≤x ＜－12；当－12≤x ≤1时，3x ≤2，得－12≤x ≤23；当x ＞1时，x ≤0，此时x 不存在．所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－4≤x ≤23.(2)设f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|＝⎩⎨⎧－x －2，x ＜－12，3x ，－12≤x ≤1，x ＋2，x ＞1，故f (x )∈⎣⎡⎭⎫－32，＋∞，即f (x )的最小值为－32，所以f (x )≤log 2a 有解，则log 2a ≥－32，解得a ≥24，即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫24，＋∞.1．解不等式|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (1)当c ≥0时，|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ，解之即可；|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，解之即可．(2)当c ＜0时，由绝对值的定义知|ax ＋b |≤c 的解集为∅，|ax ＋b |≥c 的解集为R . 2．解|x －a |＋|x －b |≥c 、|x －a |＋|x －b |≤c 型的不等式的一般步骤 (1)令每个绝对值符号里的一次式为零，求出相应的根；(2)把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；(3)由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集； (4)这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．1．不等式|4x －1|＞4的解集是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－34或x ＞54B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－34＜x ＜54C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－34D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞54解析：选A.|4x －1|＞4⇒4x －1＞4或4x －1＜－4，即x ＞54或x ＜－34.2．不等式|2x －1|－2|x ＋3|＞0的解集为( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞32或x ＜－12B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12＜x ＜32C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞32或x ＜－12且x ≠－3D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1＜x ＜32解析：选C.原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧|2x －1|＞2x ＋3≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＜－2或2x －1＞2x ≠－3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12或x ＞32，x ≠－3.3．对于任意实数x ，不等式|x ＋7|≥m ＋2恒成立，则实数m 的取值范围是________． 解析：令y ＝|x ＋7|，要使任意x ∈R ，|x ＋7|≥m ＋2恒成立，只需m ＋2≤y min ， 因为y min ＝0，所以m ＋2≤0，所以m ≤－2，所以m 的取值范围是(－∞，－2]． 答案：(－∞，－2] 4．解下列不等式． (1)x ＋|2x ＋3|≥2. (2)|x ＋1|＋|x －1|≥3.解：(1)原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x <－32，－x －3≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－32，3x ＋3≥2.解得x ≤－5或x ≥－13.综上，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－5或x ≥－13. (2)法一：当x ≤－1时，原不等式可以化为－(x ＋1)－(x －1)≥3，解得x ≤－32.当－1＜x ＜1时，原不等式可以化为x ＋1－(x －1)≥3，即2≥3.不成立，无解． 当x ≥1时，原不等式可以化为x ＋1＋x －1≥3.所以x ≥32.综上，原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 法二：将原不等式转化为|x ＋1|＋|x －1|－3≥0. 构造函数y ＝|x ＋1|＋|x －1|－3，即 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －3，x ≤－1，－1，－1＜x ＜1，2x －3，x ≥1， 作出函数的图象，如图所示．函数的零点是－32，32.由图象可知，当x ≤－32或x ≥32时y ≥0，即|x ＋1|＋|x －1|－3≥0.所以原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞., [学生用书P18])[A 基础达标]1．使3－|x ||2x ＋1|－4有意义的x 适合的条件是( )A ．－3≤x <32B ．－52<x ≤3C ．－3≤x <－52或32<x ≤3D ．－3≤x ≤3解析：选C.依题意应有：⎩⎪⎨⎪⎧3－|x |≥0|2x ＋1|－4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3≤x ≤32x ＋1>4或2x ＋1<－4， 解得－3≤x <－52或32<x ≤3.2．不等式|x －1|＋|x －2|≤3的最小整数解是( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2解析：选A.原不等式可化为⎩⎨⎧x >2x －1＋x －2≤3或⎩⎨⎧1≤x ≤2x －1－（x －2）≤3或⎩⎨⎧x <1－（x －1）－（x －2）≤3，解得：0≤x ≤3，所以最小整数解是0，故选A.3．不等式1≤|2x －1|＜2的解集为( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12＜x ＜0或1≤x ≤32B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12＜x ≤0或1≤x ≤32C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12＜x ≤0且1≤x ≤32D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12＜x ≤0或1≤x ＜32解析：选D.1≤|2x －1|＜2则1≤2x －1＜2或－2＜2x －1≤－1，因此－12＜x ≤0或1≤x＜32. 4．不等式⎪⎪⎪⎪ax －1x ＞a 的解集为M ，且2∉M ，则a 的取值范围为( ) A ．⎝⎛⎭⎫14，＋∞ B ．⎣⎡⎭⎫14，＋∞ C ．⎝⎛⎭⎫0，12 D ．⎝⎛⎦⎤0，12 解析：选B.因为2∉M ，所以2∈∁R M ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a －12≤a ，即－a ≤2a －12≤a ，解得a ≥14.5．若关于x 的不等式|x －1|＋|x －2|＞a 2＋a ＋1(x ∈R )恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，1)B ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1，0)解析：选D.由绝对值的几何意义知|x －1|＋|x －2|≥1，所以a 2＋a ＋1＜1恒成立，即a 2＋a ＜0，所以－1＜a ＜0.故选D.6．若f (x )＝3－2x ，则|f (x ＋1)＋2|≤3的解集为________．解析：若f (x )＝3－2x ，则|f (x ＋1)＋2|＝|3－2(x ＋1)＋2|＝|2x －3|≤3， 解得0≤x ≤3，故不等式的解集为[0，3]． 答案：[0，3]7．在实数范围内，不等式||x －2|－1|≤1的解集为________．解析：由于||x －2|－1|≤1，即－1≤|x －2|－1≤1，即|x －2|≤2，所以－2≤x －2≤2，所以0≤x ≤4.答案：[0，4]8．关于x 的不等式|mx －2|＜3的解集为{x |－56＜x ＜16}，则m ＝________．解析：|mx －2|＜3⇔－3＜mx －2＜3⇔－1＜mx ＜5，①若m ＞0，则－1m ＜x ＜5m ，由题意得－1m ＝－56且5m ＝16，无解．②若m ＜0，则5m ＜x ＜－1m ，由题意得5m ＝－56且－1m ＝16，所以m ＝－6.综上可得m ＝－6.答案：－69．已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|. (1)求证：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集． 解：(1)证明：f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎨⎧－3，x ≤2，2x －7，2＜x ＜5，3，x ≥5.当2＜x ＜5时，－3＜2x －7＜3， 所以－3≤f (x )≤3.(2)因为不等式f (x )≥x 2－8x ＋15，所以⎩⎨⎧x ≤2，－3≥x 2－8x ＋15或⎩⎪⎨⎪⎧2＜x ＜5，2x －7≥x 2－8x ＋15或 ⎩⎨⎧x ≥5，3≥x 2－8x ＋15， 所以x ∈∅或5－3≤x ＜5或5≤x ≤6.综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}． 10．已知f (x )＝|ax －2|＋|ax －a |(a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )≥x 的解集；(2)若不存在实数x ，使f (x )<3成立，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时， f (x )＝|x －2|＋|x －1|≥x ，当x ≥2时，原不等式可转化为x －2＋x －1≥x ，解得x ≥3；当1<x <2时，原不等式可转化为2－x ＋x －1≥x ，解得x ≤1，所以x ∈∅； 当x ≤1时，原不等式可转化为2－x ＋1－x ≥x ，解得x ≤1. 综上可得，f (x )≥x 的解集为{x |x ≤1或x ≥3}． (2)依题意，对∀x ∈R ，都有f (x )≥3， 则f (x )＝|ax －2|＋|ax －a |≥|(ax －2)－(ax －a )| ＝|a －2|≥3.所以a －2≥3或a －2≤－3， 所以a ≥5或a ≤－1(舍)， 所以a 的取值范围是[5，＋∞)．[B 能力提升]1．已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|，若关于x 的不等式f (x )＜|a －1|的解集非空，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，5]B ．(－3，5)C ．(－∞，－3]∪[5，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(5，＋∞)解析：选D.因为函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4， 所以|a －1|＞4，解不等式可得a ＜－3或a ＞5.故选D.2．若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －1|＜a 的解集为∅，则a 的取值范围是________． 解析：对任意的x ∈R ，|x ＋2|＋|x －1|≥3恒成立，要使原不等式的解集为∅，则需a ≤3. 答案：(－∞，3]3．已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)若不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若存在实数n 使f (n )≤m －f (－n )成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)由|2x －a |＋a ≤6，得|2x －a |≤6－a ， 所以a －6≤2x －a ≤6－a ， 即a －3≤x ≤3，所以a －3＝－2， 所以a ＝1.(2)由(1)知f (x )＝|2x －1|＋1. 令φ(n )＝f (n )＋f (－n )，则φ(n )＝|2n －1|＋|2n ＋1|＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧2－4n ，n ≤－12，4，－12＜n ≤12，2＋4n ，n ＞12，所以φ(n )的最小值为4.故实数m 的取值范围是[4，＋∞)．4．设函数f (x )＝|x －3|－|x ＋1|，x ∈R . (1)解不等式f (x )＜－1；(2)设函数g (x )＝|x ＋a |－4，且g (x )≤f (x )在x ∈[－2，2]上恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意知f (x )＝|x －3|－|x ＋1| ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ＜－1，2－2x ，－1≤x ≤3，－4，x ＞3.由f (x )＜－1，得不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞32.(2)因为函数g (x )＝|x ＋a |－4，且g (x )≤f (x )在x ∈[－2，2]上恒成立， 所以g (x )＝|x ＋a |－4≤|x －3|－|x ＋1|在x ∈[－2，2]上恒成立．在同一个坐标系中画出函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象，如图所示，由图易知，当0≤－a ≤4时，函数g (x )的图象在函数f (x )的图象的下方，即g (x )≤f (x )在x ∈[－2，2]上恒成立，故所求实数a 的取值范围为[－4，0]．。