绝对值三角不等式的证明方法

绝对值不等式的证明及应用一、绝对值有关性质回顾：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②ab a b =,aa b b= (0)b ≠ ③22a a =④0a ≥ ⑤a a a -≤≤⑥x a a x a ≤⇔-≤≤ x a x a a ≥⇔≥≤-或 二、绝对值不等式：定理：绝对值三角不等式：a b a b a b-≤±≤+.(代数形式)a b a b a b -≤±≤+(向量形式)几何解释:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.(0b a b ab +≤+≥取等号） 证明:方法一：()22+a b a b +≤, 2222+22a ab b a ab b +≤++, 22ab ab ≤,而22ab ab ≤显然成立,∴(0a b a b ab +≤+≥取等号）||||||a b a b +=====+||||||a b a b +===<==+方法二：（选修4-5证法） 当ab ≥0时, ||,ab ab =||,ab ab =-当ab ＜0时综上，a b a b +≤+ 0ab ≥当时，取等号， 方法三：（原人教版教材证法） ∵a a a -≤≤ ① b b b -≤≤ ②①+②：()a b a b a b -+≤+≤+， 逆用性质x a ≤得：a b a b +≤+推论1：123123.......n a a a a a a a +++≤++ ，当123,,,......n a a a a 都非正或都非负时。

a b a b -≤+.证明:方法一:当0a b -<时显然成立,当0a b -≥时，两边平方,()22a b a b-≤+, 222222a ab b a ab b -+≤++, 22ab ab -≤,而22ab ab -≤显然成立,∴a b a b -≤+,(当0ab <时取等号). 方法二:直接利用定理1a ab b a b b a b b =+-≤++-=++.当()()0a b b +-≥时,取等号.即()00a b b ab +≤⇒≤,取等号. 合在一起得:a b a b a b -≤+≤+.(当0ab ≤时左边取等号,当0ab ≥时右边取等号)(当0ab ≥时左边取等号, 当0ab ≤时左边取等号)证明:只需利用已有结论把a b a b a b -≤+≤+中的b 用b -代替即得到定理3.b ac b c -≤-+-证明：a b a c c b a c c b a c b c-=-+-≤-+-=-+-，（当()()0a c c b --≥时，取等号）几何解释：设A ，B ，C 为数轴上的3个点，分别表示数a ，b ，c ，则线段.CB AC AB +≤当且仅当C 在A ，B 之间时，等号成立。

《绝对值的三角不等式》讲义一、引入在数学的世界里，不等式是我们解决问题和理解数量关系的重要工具。

而绝对值的三角不等式，则是不等式家族中一个非常重要的成员。

它在代数运算、几何图形以及实际问题中都有着广泛的应用。

那么，什么是绝对值的三角不等式呢？让我们一起来揭开它神秘的面纱。

二、绝对值的定义首先，我们来回顾一下绝对值的定义。

对于一个实数 x，其绝对值｜x| 表示 x 到 0 的距离。

当 x 大于等于 0 时，｜x| ＝ x；当 x 小于 0 时，｜x| ＝ x。

例如，｜3| ＝ 3，｜－5| ＝ 5。

三、三角不等式的形式绝对值的三角不等式有两种常见的形式：形式一：｜a ＋b| ≤ ｜a| ＋｜b|形式二：｜｜a| ｜b|｜≤ ｜a b|接下来，我们通过具体的例子来感受一下这两个不等式。

例 1：若 a ＝ 2，b ＝－3，那么｜a ＋ b| ＝｜2 ＋（－3)｜＝｜－1| ＝ 1，｜a| ＋｜b| ＝｜2| ＋｜－3| ＝ 2 ＋ 3 ＝ 5，显然1 ≤ 5，满足｜a ＋b| ≤ ｜a| ＋｜b|。

例 2：若 a ＝ 5，b ＝ 2，那么｜a b| ＝｜5 2| ＝ 3，｜｜a| ｜b|｜＝｜｜5| ｜2|｜＝｜5 2| ＝ 3，满足｜｜a| ｜b|｜≤ ｜a b|。

四、证明绝对值的三角不等式（一）证明｜a ＋b| ≤ ｜a| ＋｜b|我们分四种情况来讨论：情况一：当a ≥ 0，b ≥ 0 时，｜a ＋ b| ＝ a ＋ b，｜a| ＋｜b| ＝ a ＋ b，所以｜a ＋ b| ＝｜a| ＋｜b|。

情况二：当a ≥ 0，b ＜ 0 时，｜a ＋ b| ＝｜a （b)｜，因为a ≥ 0， b ＞ 0，根据三角形两边之和大于第三边，所以｜a （b)｜≤ ｜a| ＋｜ b| ＝｜a| ＋｜b|，即｜a ＋b| ≤ ｜a| ＋｜b|。

情况三：当 a ＜ 0，b ≥ 0 时，与情况二类似，可得｜a ＋b| ≤ ｜a| ＋｜b|。

高1数学绝对值三角不等式知识点数学课本中不等式这一部分包含绝对值三角不等式，同学们需要重点关注，下面是店铺给大家带来的高1数学绝对值三角不等式知识点，希望对你有帮助。

高1数学绝对值三角不等式知识点(一)绝对值三角不等式绝对值三角不等式：1、基本形式如果a，b都是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立;2、变式如果a，b都是实数，则。

三角不等式的解法利用三角函数线或正弦、余弦、正切函数的图象写出解集.高1数学绝对值三角不等式知识点(二)绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法二.教学目的1、掌握绝对值的三角不等式;2、掌握不等式证明的基本方法三.知识分析[绝对值的三角不等式]定理1若a，b为实数，则，当且仅当ab≥0时，等号成立。

几何说明：(1)当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a与-b 的距离等于它们到原点距离之和。

(2)如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与-b的距离严格小于a与b到原点距离之和(下图为ab<0，a>0，b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释)。

|a-b|表示a-b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。

定理2设a，b，c为实数，则，等号成立，即b落在a，c之间。

推论1推论2[不等式证明的基本方法]1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。

比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。

比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。

如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。

2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。

所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。

三角不等式绝对值公式在数学中，三角不等式绝对值公式是一条非常重要的定理，它在几何、代数和实际问题中都有广泛的应用。

这个公式告诉我们，对于任意的实数 a 和b，绝对值的和不大于绝对值的和。

具体地说，对于任意的 a 和 b，有：|a + b| ≤ |a| + |b|这个公式的证明比较简单，我们可以通过几何直观地来理解它。

假设 a 和 b 是实数轴上的两个点，那么|a| 表示点 a 到原点的距离，|b| 表示点 b 到原点的距离。

而 |a + b| 则表示点 a + b 到原点的距离。

根据三角不等式的直观解释，我们可以得出结论：无论a 和b 是正数、负数还是零，点 a + b 到原点的距离都不会大于点 a 到原点的距离与点 b 到原点的距离之和。

三角不等式绝对值公式在几何中有着广泛的应用。

例如，在平面几何中，我们经常需要计算两个点之间的距离。

根据三角不等式绝对值公式，我们可以通过计算两个点在横坐标和纵坐标上的距离之和来得到这个距离。

这个应用在计算几何、图形学等领域中非常常见。

在代数中，三角不等式绝对值公式也有着重要的应用。

例如，在求解方程时，我们经常需要对方程两边取绝对值。

根据三角不等式绝对值公式，我们可以将绝对值运算转化为不等式运算，从而简化方程的求解过程。

三角不等式绝对值公式还在实际问题中发挥着重要的作用。

例如，在经济学中，我们经常需要计算两个变量的差的绝对值。

根据三角不等式绝对值公式，我们可以将差的绝对值表示为两个变量的绝对值之和，从而简化计算过程。

三角不等式绝对值公式是数学中一条非常重要的定理，它在几何、代数和实际问题中都有广泛的应用。

通过这个公式，我们可以更加直观地理解绝对值的性质，并简化各种计算和推导过程。

在学习和应用数学时，我们应该充分理解并灵活运用三角不等式绝对值公式，以便更好地解决各种数学问题。

绝对值三角形不等式公式推导绝对值三角形不等式公式推导一、引言绝对值三角形不等式是解决绝对值不等式问题的基本工具之一，在数学中有着广泛的应用。

它主要用于解决包括代数和几何问题在内的多种数学问题。

在本文中，我将深入探讨绝对值三角形不等式的导出过程，并结合具体例子进行解释，以帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学概念。

二、绝对值三角形不等式公式的基本定义为了全面了解绝对值三角形不等式的公式推导过程，我们需要先了解其基本定义。

假设a和b是实数，那么绝对值三角形不等式可以表达为：|a + b| ≤ |a| + |b|这一不等式是指，两个数的绝对值之和不大于其各自绝对值的和。

这一概念对于处理绝对值的复杂运算问题起到了重要的作用。

接下来，我将详细介绍绝对值三角形不等式的推导过程，帮助读者全面理解这一概念。

三、绝对值三角形不等式公式的推导过程为了推导绝对值三角形不等式的公式，我们可以利用数轴的性质和绝对值的定义进行推导。

我们假设a和b是实数且a≥0，b≥0。

现在，我们来看一下具体的推导过程：1. 我们假设a≥0，b≥0。

根据数轴的性质，a和b对应的点分别为A 和B，那么|a|和|b|分别表示点A和B到原点的距离。

2. 现在，我们考虑点C，它表示a+b对应的实数。

根据数轴的性质，我们可以知道|a+b|表示点C到原点的距离。

3. 根据三角形两边之和大于第三边的性质，我们可以得出结论：|a + b| ≤ |a| + |b|通过以上推导过程，我们可以得出绝对值三角形不等式的公式。

这一推导过程清晰地展现了绝对值三角形不等式的基本原理和应用。

四、绝对值三角形不等式公式的应用举例为了更好地理解绝对值三角形不等式的应用，我们可以通过具体的例子来说明。

例1：求解|2x + 1| ≤ 5的解集。

解：根据绝对值三角形不等式的公式，我们可以得出：|2x + 1| ≤ 5-5 ≤ 2x + 1 ≤ 5-6 ≤ 2x ≤ 4-3 ≤ x ≤ 2|2x + 1| ≤ 5的解集为-3 ≤ x ≤ 2。

《绝对值的三角不等式》学历案一、学习目标1、理解绝对值的三角不等式的含义。

2、掌握绝对值的三角不等式的证明方法。

3、能够运用绝对值的三角不等式解决相关的数学问题。

二、学习重难点1、重点（1）绝对值的三角不等式的推导及证明。

（2）运用绝对值的三角不等式进行不等式的证明和求解最值问题。

2、难点（1）对绝对值的三角不等式等号成立条件的理解和运用。

（2）灵活运用绝对值的三角不等式解决复杂的数学问题。

三、知识回顾1、绝对值的定义：绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用符号“｜｜”表示。

例如，｜5| ＝ 5，｜ 5| ＝ 5 。

2、绝对值的性质：（1）非负性：｜a| ≥ 0 ，当且仅当 a ＝ 0 时，｜a| ＝ 0 。

（2）对称性：｜ a| ＝｜a| 。

四、新课导入在数学中，不等式是一个非常重要的内容。

我们经常会遇到需要比较两个数或者表达式大小的情况。

今天，我们要来学习一个重要的不等式——绝对值的三角不等式。

考虑以下两个实数 a 和 b ，它们在数轴上的位置关系会对｜a ＋ b| 与｜a| ＋｜b| 的大小产生影响。

五、探究绝对值的三角不等式1、当 a 、 b 同号时（1）若 a 、 b 同为正数，即 a ＞ 0 ， b ＞ 0 ，则 a ＋ b ＞ 0 。

此时，｜a ＋ b| ＝ a ＋ b ，｜a| ＋｜b| ＝ a ＋ b ，所以｜a ＋ b|＝｜a| ＋｜b| 。

（2）若 a 、 b 同为负数，即 a ＜ 0 ， b ＜ 0 ，则 a ＋ b ＜ 0 。

此时，｜a ＋ b| ＝（a ＋ b) ＝ a b ，｜a| ＋｜b| ＝ a ＋（ b) ＝a b ，所以｜a ＋ b| ＝｜a| ＋｜b| 。

2、当 a 、 b 异号时（1）若 a ＞ 0 ， b ＜ 0 ，且｜a| ＞｜b| ，则 a ＋ b ＞ 0 。

此时，｜a ＋ b| ＝ a ＋ b ，｜a| ＋｜b| ＝ a b ，因为 a ＋ b ＜ a b ，所以｜a ＋ b| ＜｜a| ＋｜b| 。

绝对值的三角不等式公式证明
绝对值三角不等式是一个非常强大且非常有用的数学公式，它可以帮助我们精确地解决很多问题。

它的数学形式可以表述为：|x-y| < = a+b，其中x、y、a、b 都是实数，|x-y|表示x-y的绝对值。

绝对值三角不等式的证明由单射定理开始，它是数学中一个基本定理，其定义可以表达为：如果a＞b，则存在c＞0，使得a - c < b。

根据这个定理，关于x、y、a、b之间的关系可以写成更加清楚的等式形式：a-b<x-y < a+b。

接下来，假设y-x>0，也就是说x<y，此时有y-x<a+b，带入单射定理可得a-(y-x)<b，也就是说a-y+x < b，整理得x-y<a+b，故可证|x-y|<=a+b。

同理，如果y-x<0，也就是说x>y，此时有x-y<a+b，根据单射定理可得a-(x-y)<b，整理得a-x+y<b，故可证|x-y|<=a+b。

综上所述，可以看出绝对值三角不等式的证明基于单射定理，从而为我们提供了一个精确地解决数学问题的有效方法。

正是由于绝对值三角不等式的重要性和有效性，它被广泛用于各种数学领域中，如超越几何、微积分、概率论等。

绝对值不等式一、绝对值三角不等式1．定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab ≥0时，等号成立．2．定理2：如果a ，b ，c 是实数，则|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．二、绝对值不等式的解法1．含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集不等式a >0a ＝0a <0|x |<a－a <x <a ∅∅|x |>a x >a 或x <－a x ≠0R(1)|a x ＋b|≤c ⇔－c ≤a x ＋b ≤c ；(2)|a x ＋b|≥c ⇔a x ＋b ≥c 或a x ＋b ≤－c .3．|x －a |＋|x －b|≥c(c>0)和|x －a |＋|x －b |≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．二、绝对值不等式的解法1．含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集不等式a >0a ＝0a <0|x |<a －a <x <a ∅∅|x |>a x >a 或x <－a x ≠0R(1)|a x ＋b|≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ；(2)|a x ＋b|≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .3．|x －a|＋|x －b|≥c(c>0)和|x －a|＋|x －b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．解：原不等式可化为2x －1≥0，x ＋(2x －1)<3或2x －1<0，x －(2x －1)<3.解得12≤x <43或－2<x <12.解：(1)证明：f (x )＝|x －2|－|x －5|＝－3，x ≤2，2x －7，2<x <5，3，x ≥5.当2<x <5时，－3<2x －7<3.所以－3≤f (x )≤3.(2)由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2<x <5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x <5}；当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}．综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}．解：由题知，|x －1|＋|x －2|≤|a －b |＋|a ＋b ||a |恒成立，故|x －1|＋|x －2|不大于|a －b |＋|a ＋b ||a |的最小值．∵|a ＋b |＋|a －b |≥|a ＋b ＋a －b |＝2|a |，当且仅当(a ＋b )(a －b )≥0时取等号，∴|a －b |＋|a ＋b ||a |的最小值等于2.∴x 的取值范围即为不等式|x －1|＋|x －2|≤2的解．解不等式得12≤x ≤52.式|a|－|b|≤|a －b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.2．|x －a|＋|x －b|≥c 表示到数轴上点A(a)，B(b)距离之和大于或等于c 的所有点，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．例4：若不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，所以只需a≤3即可．若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 成立为假命题”，求a 的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x ∈R ，|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，故a≤(|x ＋1|＋|x －2|)min ，又|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴a≤3.例5：不等式log3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2所以要使不等式log3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a<2.例6：某地街道呈现东——西，南——北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点．若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点(－2,2)，(3,1)，(3,4)，(－2,3)，(4,5)，(6,6)为报刊零售点，请确定一个格点(除零售点外)________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间的路程的和最短．解：设格点(x ，y)(其中x ，y ∈Z)为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间的路程的和最短，即使(|x ＋2|＋|y －2|＋(|x －3|＋|y －1|)＋(|x －3|＋|y －4|)＋(|x ＋2|＋|y －3|)＋(|x －4|＋|y －5|)＋(|x －6|＋|y －6|)＝[(|x ＋2|＋|x －6|)＋(|x ＋2|＋|x －4|)＋2|x －3|]＋[|y －1|＋|y －2|＋|y －3|＋|y －4|＋|y －5|＋|y －6|]取得最小值的格点(x ，y)(其中x ，y ∈Z)．注意到[(|x ＋2|＋|x －6|)＋(|x ＋2|＋|x －4|)＋2|x －3|]≥|(x ＋2)－(x －6)|＋|(x ＋2)－(x －4)|＋0＝14，当且仅当x ＝3取等号；|y －1|＋|y －2|＋|y －3|＋|y －4|＋|y －5|＋|y －6|＝(|y －1|＋|y －6|)＋(|y －2|＋|y －5|＋(|y －3|＋|y －4|)≥|(y －1)－(y －6)|＋|(y －2)－(y －5)|＋|(y －3)－(y －4)|＝9，当且仅当y ＝3或y ＝4时取等号．因此，应确定格点(3,3)或(3,4)为发行站．又所求格点不能是零售点，所以应确定格点(3,3)为发行站．1．对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．2．该定理可以强化为：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．3．对于求y ＝|x －a|＋|x －b|或y ＝|x ＋a|－|x －b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更简洁、方便.例7：设函数f(x)＝|x －a|＋3x ，其中a>0.(1)当a ＝1时，求不等式f(x)≥3x ＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解：(1)当a ＝1时f(x)≥3x ＋2可化为|x －1|≥2.由此可得x≥3或x≤－1.故不等式f(x)≥3x ＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．(2)由f(x)≤0得|x －a|＋3x≤0.此不等式化为不等式组x ≥a ，x －a ＋3x ≤0，或x ≤a ，a －x ＋3x ≤0，即x ≥a ，x ≤a 4，或x ≤a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为{x |x ≤－a 2}．由题设可得－a 2＝－1，故a ＝2.解：当x >1时，原不等式等价于2x <3⇒x <32，∴1<x <32；当－1≤x ≤1时，原不等式等价于x ＋1－x ＋1<3，此不等式恒成立，∴－1≤x ≤1；当x <－1时，原不等式等价于－2x <3⇒x >－32，∴－32<x <－1.综上可得：－32<x <32。