含绝对值不等式证明(精)

含绝对值不等式一、基础知识1、绝对值的基本性质：⎩⎨⎧<-≥=∈0,0,a a a a a R a 则设 ()()""001==≥取当且仅当a a()a a ±≥2()a a a ≤≤-3()a b b a a a -=-=-,4()a a =252、绝对值的运算法则()b a b a b a +≤+≤-1（注意不等式成立的条件）()b a b a b a +≤-≤-2（注意不等式成立的条件）()b a b a ⋅=⋅3()ba b a =4 3、绝对值不等式的解法()则设R x a ∈>,01a x a a x a x <<-⇔<⇔<22a x a x a x a x >-<⇔>⇔>或22()()()()()()x g x f x g x g x f <<-⇔<2()()()()()()x g x f x g x f x g x f -<>⇔>或()()()()()()()()()()()0322>-+⇔>⇔>x g x f x g x f x g x f x g x f（4）含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段求解。

4、解含绝对值问题的几种常用策略（1） 定义策略；（2）平方策略；（3）定理策略；（4）等价转化策略；（5）分段讨论策略；（6）数形结合策略二、题型剖析[含绝对值不等式的解法]例1 P94 解不等式4212>-++x x练习：[变式1]求使不等式a x x <-+-34有解的a 的取值范围。

一般用定理策略或数形结合解的范围是a>1例2 P94 解不等式392+≤-x x解：（1）法一：原不等式⎩⎨⎧+≤-≥-⇔390922x x x ①或⎩⎨⎧+≤-<-390922x x x ② 由①解得433≤≤-=x x 或，由②解得32<≤x ∴原不等式的解集是{}342-=≤≤x x x 或法二：原等式等价于39)3(2+≤-≤+-x x x ⎩⎨⎧≤≤-≥-≤⇔4323x x x 或 423≤≤-=⇔x x 或 ∴原不等式的解集是{}342-=≤≤x x x 或 法三：设)33,9221-≥+=-=x x y x y （，由392+=-x x 解得非曲直2,3,4321=-==x x x21y y ≤的x 的范围是433≤≤-=x x 或∴原不等式的解集是{42≤≤x x x 或【思维点拨】数形结合策略运用要解出两函数图象的交点。

绝对值不等式的证明及应用一、绝对值有关性质回顾：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②ab a b =,aa b b= (0)b ≠ ③22a a =④0a ≥ ⑤a a a -≤≤⑥x a a x a ≤⇔-≤≤ x a x a a ≥⇔≥≤-或 二、绝对值不等式：定理：绝对值三角不等式：a b a b a b-≤±≤+.(代数形式)a b a b a b -≤±≤+(向量形式)几何解释:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.(0b a b ab +≤+≥取等号） 证明:方法一：()22+a b a b +≤, 2222+22a ab b a ab b +≤++, 22ab ab ≤,而22ab ab ≤显然成立,∴(0a b a b ab +≤+≥取等号）||||||a b a b +=====+||||||a b a b +===<==+方法二：（选修4-5证法） 当ab ≥0时, ||,ab ab =||,ab ab =-当ab ＜0时综上，a b a b +≤+ 0ab ≥当时，取等号， 方法三：（原人教版教材证法） ∵a a a -≤≤ ① b b b -≤≤ ②①+②：()a b a b a b -+≤+≤+， 逆用性质x a ≤得：a b a b +≤+推论1：123123.......n a a a a a a a +++≤++ ，当123,,,......n a a a a 都非正或都非负时。

a b a b -≤+.证明:方法一:当0a b -<时显然成立,当0a b -≥时，两边平方,()22a b a b-≤+, 222222a ab b a ab b -+≤++, 22ab ab -≤,而22ab ab -≤显然成立,∴a b a b -≤+,(当0ab <时取等号). 方法二:直接利用定理1a ab b a b b a b b =+-≤++-=++.当()()0a b b +-≥时,取等号.即()00a b b ab +≤⇒≤,取等号. 合在一起得:a b a b a b -≤+≤+.(当0ab ≤时左边取等号,当0ab ≥时右边取等号)(当0ab ≥时左边取等号, 当0ab ≤时左边取等号)证明:只需利用已有结论把a b a b a b -≤+≤+中的b 用b -代替即得到定理3.b ac b c -≤-+-证明：a b a c c b a c c b a c b c-=-+-≤-+-=-+-，（当()()0a c c b --≥时，取等号）几何解释：设A ，B ，C 为数轴上的3个点，分别表示数a ，b ，c ，则线段.CB AC AB +≤当且仅当C 在A ，B 之间时，等号成立。

绝对值不等式一、绝对值三角不等式1．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．2．定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．二、绝对值不等式的解法(1)|a x＋b|≤c⇔－c≤a x＋b≤c ；(2)|a x＋b|≥c⇔a x＋b≥c或a x＋b≤－c .3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．二、绝对值不等式的解法(1)|a x＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c ；(2)|a x＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c .3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．1．不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.2．|x－a|＋|x－b|≥c表示到数轴上点A(a)，B(b)距离之和大于或等于c的所有点，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．例4：若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．解：由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以只需a≤3即可．若本题条件变为“∃x∈R使不等式|x＋1|＋|x－2|<a成立为假命题”，求a的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x∈R，|x＋1|＋|x－2|≥a恒成立，故a≤(|x＋1|＋|x－2|)min，又|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴a≤3.例5：不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．解：由绝对值的几何意义知：|x－4|＋|x＋5|≥9，则log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则需a<2.例6：某地街道呈现东——西，南——北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点．若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点(－2,2)，(3,1)，(3,4)，(－2,3)，(4,5)，(6,6)为报刊零售点，请确定一个格点(除零售点外)________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间的路程的和最短．解：设格点(x，y)(其中x，y∈Z)为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间的路程的和最短，即使(|x＋2|＋|y－2|＋(|x－3|＋|y－1|)＋(|x－3|＋|y－4|)＋(|x＋2|＋|y－3|)＋(|x－4|＋|y－5|)＋(|x－6|＋|y－6|)＝[(|x＋2|＋|x－6|)＋(|x＋2|＋|x－4|)＋2|x－3|]＋[|y－1|＋|y－2|＋|y－3|＋|y－4|＋|y－5|＋|y－6|]取得最小值的格点(x，y)(其中x，y∈Z)．注意到[(|x＋2|＋|x－6|)＋(|x＋2|＋|x－4|) ＋2|x－3|]≥|(x＋2)－(x－6)|＋|(x＋2)－(x－4)|＋0＝14，当且仅当x＝3取等号；|y－1|＋|y－2|＋|y－3|＋|y－4|＋|y－5|＋|y－6|＝(|y－1|＋|y－6|)＋(|y－2|＋|y－5|＋(|y－3|＋|y－4|)≥|(y－1)－(y－6)|＋|(y－2)－(y－5)|＋|(y－3)－(y－4)|＝9，当且仅当y＝3或y＝4时取等号．因此，应确定格点(3,3)或(3,4)为发行站．又所求格点不能是零售点，所以应确定格点(3,3)为发行站．1．对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．2．该定理可以强化为：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．3．对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更简洁、方便.例7：设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的例9：已知关于x的不等式|2x＋1|＋|x－3|＞2a－32恒成立，求实数a的取值范围．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋2，x ＜－12，x ＋4，－12≤x ＜3，3x －2，x ≥3，∴当x ＝－12时，y ＝|2x ＋1|＋|x －3|取最小值72，∴72＞2a －32，即得a ＜52. 例10：已知f (x )＝1＋x 2，a ≠b ，求证：|f (a )－f (b )|<|a －b |.解：∵|f (a )－f (b )|＝|1＋a 2－1＋b 2|＝|a 2－b 2|1＋a 2＋1＋b 2＝|a －b ||a ＋b |1＋a 2＋1＋b 2， 又|a ＋b |≤|a |＋|b |＝a 2＋b 2<1＋a 2＋1＋b 2，∴|a ＋b |1＋a 2＋1＋b 2<1.∵a ≠b ，∴|a －b |>0.∴|f (a )－f (b )|<|a －b |.例11：已知a ，b ∈R 且a ≠0，求证：|a |2|a |≥|a |2－|b |2. 证明：①若|a |＞|b |，则左边＝|a ＋b |·|a －b |2|a |＝|a ＋b |·|a －b ||a ＋b ＋a －b |≥|a ＋b |·|a －b ||a ＋b |＋|a －b |＝11|a ＋b |＋1|a －b |. ∵1|a ＋b |≤1|a |－|b |，1|a －b |≤1|a |－|b |，∴1|a ＋b |＋1|a －b |≤2|a |－|b |.∴左边≥|a |－|b |2＝右边，∴原不等式成立． ②若|a|＝|b|，则a 2＝b 2，左边＝0＝右边，∴原不等式成立．③若|a|＜|b|，则左边＞0，右边＜0，原不等式显然成立．综上可知原不等式成立．证明：|f(x)－f(a)|＝|x 2－x ＋43－a 2＋a －43|＝|(x －a)(x ＋a －1)|＝|x －a|·|x ＋a －1|.∵|x －a|＜1， ∴|x|－|a|≤|x －a|＜1.∴|x|＜|a|＋1.∴|f(x)－f(a)|＝|x －a|·|x ＋a －1|＜|x ＋a －1|≤|x|＋|a|＋1＜2(|a|＋1)． 例13：已知函数f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－a )．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值；(2)当函数f (x )的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．解：函数的定义域满足|x －1|＋|x －5|－a >0，即|x －1|＋|x －5|>a .(1)当a ＝2时，f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－2)，设g (x )＝|x －1|＋|x －5|，则g (x )＝|x －1|＋|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －6，x ≥5，4，1<x <5，6－2x ，x ≤1，g (x )min ＝4，f (x )min ＝log 2(4－2)＝1.(2)由(1)知，g (x )＝|x －1|＋|x －5|的最小值为4，|x －1|＋|x －5|－a >0，∴a <4.∴a 的取值范围是(－∞，4)． x －4|－|x －2|＞1.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2， x ＞4，－2x ＋6， 2≤x ≤4，2， x ＜2.则函数y ＝f (x )的图像如图所示．(2)由函数y ＝f (x )的图像容易求得不等式|x －4|－|x －2|>1的解集为5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭。

例说与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题二次函数是数学中一种非常重要的函数类型，它的图像呈现出抛物线的形状。

而绝对值不等式是描述了一个变量与另一个变量之间的不等关系，其中包含了绝对值运算。

在本文中，我们将探讨二次函数与绝对值不等式的关系，并给出一个例子来说明如何证明这种含有绝对值的不等式。

首先，我们来介绍二次函数的基本形式，它可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中a、b和c是实数常数，且a不等于零。

这个函数有一个重要的性质，即它的图像总是一个抛物线，开口的方向取决于a的正负。

接下来，我们来讨论绝对值不等式的基本形式，它可以表示为：g(x)，<d其中g(x)是一个与x有关的函数，d是一个正实数。

这个不等式的含义是，g(x)的绝对值小于d时，不等式成立。

现在，我们来考虑一个含有绝对值不等式的二次函数的证明问题。

假设我们要证明以下不等式成立：ax^2 + bx + c， < k其中a、b、c和k都是已知的实数常数。

首先，我们可以将不等式拆分成两个部分，考虑g(x) = ax^2 + bx+ c的两种情况：当g(x) 大于等于 0 时，以及当g(x) 小于 0 时。

对于这两种情况，我们可以分别进行讨论和证明。

情况一：g(x)大于等于0当g(x)大于等于0时，即ax^2 + bx + c >= 0这意味着抛物线的开口朝上，并且g(x)的绝对值可以简化为g(x)，因此我们可以将不等式重写为：ax^2 + bx + c < k接下来，我们需要找到函数g(x)与k之间的最大值。

这可以通过求导数的方式来实现。

我们对函数g(x)进行求导，并令导数等于0，可以得到抛物线的顶点坐标。

然后我们将这个坐标带入g(x)中，即可得到g(x)的最大值。

我们将这个最大值命名为M。

因此，我们可以将不等式进一步简化为：g(x)<M然后，我们可以使用一些常用的技巧来证明这个不等式的正确性，比如因子分解、配方法、或者其他适用的方法。

含绝对值符号的不等式的解法与证明————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：[本周内容]含绝对值符号的不等式的解法与证明[重点难点]1．实数绝对值的定义:|a|=这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础。

2．最简单的含绝对值符号的不等式的解。

若a>0时，则|x|<a -a<x<a；|x|>a x<-a或x>a。

注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。

3．常用的同解变形|f(x)|<g(x) -g(x)<f(x)<g(x)；|f(x)|>g(x) f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)；|f(x)|<|g(x)| f2(x)<g2(x)。

4．三角形不等式:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。

例题选讲:例1．解不等式|x2+4x-1|<4.............①解:①-4<x2+4x-1<4-5<x<-3或-1<x<1。

即原不等式的解集是（-5，-3）∪（-1，1）。

例2．解不等式|x2-3|>2x...........①解:①x2-3<-2x或x2-3>2x x2+2x-3<0或x2-2x-3>0-3<x<1或x<-1或x>3 x<1或x>3。

即原不等式的解集（-∞，1）∪（3，+∞）。

例3．解不等式||≤1...........①解:①(2) |2x+3|2≤|x-1|2(2x+3)2-(x-1)2≤0 (2x+3-x+1)(2x+3+x-1)≤0(x+4)(3x+2)≤0,-4≤x≤-。

(3) x≠1。

不等式·含绝对值符号的不等式证明·教案一、教学目标：1. 让学生掌握含绝对值符号的不等式的基本性质和证明方法。

2. 培养学生运用不等式解决实际问题的能力。

3. 提高学生分析问题、解决问题的能力。

二、教学内容：1. 绝对值符号的基本性质2. 含绝对值符号的不等式的证明方法3. 实际应用举例三、教学重点与难点：1. 教学重点：含绝对值符号的不等式的证明方法。

2. 教学难点：绝对值符号在不等式中的运用。

四、教学方法：1. 采用讲解、示范、练习、讨论相结合的方法。

2. 利用多媒体辅助教学，直观展示概念和证明过程。

3. 引导学生主动探究、合作交流，提高解决问题的能力。

五、教学过程：1. 导入新课：复习绝对值符号的基本性质，引导学生思考如何证明含绝对值符号的不等式。

2. 讲解与示范：讲解含绝对值符号的不等式的证明方法，示例演示。

3. 练习与讨论：学生独立完成练习题，分组讨论解题思路和方法。

4. 应用拓展：结合实际例子，让学生运用所学知识解决实际问题。

5. 总结与反馈：对本节课的内容进行总结，收集学生反馈，布置作业。

六、课后作业：1. 巩固所学知识，完成课后练习题。

2. 搜集含有绝对值符号的实际问题，尝试运用所学知识解决。

3. 预习下一节课内容，准备参与课堂讨论。

七、教学评价：1. 学生课堂参与度：观察学生在课堂上的发言、提问和互动情况。

2. 学生作业完成情况：检查课后作业的完成质量和解题思路。

3. 学生实际应用能力：评估学生在解决实际问题中的表现。

4. 学生反馈：收集学生的学习心得和建议，不断优化教学方法。

六、教学策略与资源：1. 教学策略：采用问题驱动的教学方法，引导学生通过解决实际问题来理解和掌握含绝对值符号的不等式证明。

利用图形和案例来直观展示绝对值符号的作用和影响。

提供多样化的练习题，涵盖不同类型的证明题目，以巩固学生的理解和应用能力。

鼓励学生之间进行讨论和合作，通过小组活动来促进知识的交流和深化理解。

含绝对值的不等式解法(总结归纳)
含绝对值的不等式解法、一元二次不等式解法[教材分析]|x|的几何意义是实数x在数轴上对应的点离开原点O的距离，所以|x|0)的解集是{x|-a0)的解集是{x|x>a或x0)中的x替换成ax+b，就可以得到|ax+b|c(c>0)型的不等式的解法。

一元二次不等式ax2+bx+c>0(或0的解，图象在x轴下方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c,当a=0时，不等式化为20时不等式解集是{x|-0，即x2-x-20，其中a∈R。

[分析与解答]a的不同实数取值对不等式的次数有影响，当不等式为一元二次不等式时，a的取值还会影响二次函数图象的开口方向，以及和x轴的位置关系。

因此求解中，必须对实数a的取值分类讨论。

当a=0时，不等式化为8x+1>0。

不等式的解为{x|x>-,x∈R}。

当a≠0时，由Δ=(a-8)2-4a=a2-20a+64=(a-4)(a-16)。

(1)若00，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向上，方程ax2-(a-8)x+1=0两根为，。

不等式的解为{x|x}。

(2)若40的解为xβ，且β-α≤5(α≠β),求实数a的取值范围。

[参考答案]：1．解：由|ax+1|≤b,∴-b≤ax+1≤b，∴-b-1≤ax≤b-1。

当a>0时，≤x≤。

∴,不满足a>0,舍去。

当a0两边同除以a(a∴β-α=，∴a2+24a≤25,-25≤a。

含绝对值的不等式的解法一、 基本解法与思想解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。

（一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。

主要知识：1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。

2、a x >与a x <型的不等式的解法。

当0>a 时，不等式>x 的解集是{}a x a x x -<>或,不等式a x <的解集是{}a x a x <<-;当0<a 时，不等式a x >的解集是{}R x x ∈不等式a x <的解集是∅;3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。

把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。

当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或,不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-;当0<c 时，不等式c b ax >+的解集是{}R x x ∈不等式c bx a <+的解集是∅;例1 解不等式32<-x（二）、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩去掉绝对值再解。

例2。

解不等式22x x x x >++。

（三）、平方法:解()()f x g x >型不等式。

例3、解不等式123x x ->-。

二、分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。

例4 解不等式125x x -++<。

(“零点分段法”)三、几何法：即转化为几何知识求解。

利用不等式组解含绝对值的不等式的方法解含绝对值的不等式，需要先将不等式中的绝对值去掉，然后根据去掉绝对值后的不等式的形式，分别讨论不等式的取值范围，最终得出不等式的解集。

不等式组中含有绝对值时，解决的问题是不等式组中未知数的取值范围和条件。

一般情况下，解含绝对值的不等式的方法可以分为以下四个步骤：1. 去掉绝对值，得到不等式的形式；2. 分别讨论不等式的取值范围；3. 根据不等式的取值范围，确定不等式的解；4. 将解代入原不等式中验证，得出最终的解集。

在解含绝对值的不等式时，需要特别注意以下几个问题：1. 去掉绝对值时需要分情况讨论；2. 不等式的取值范围可能会有多个并集，需要进行综合考虑；3. 解集需要验证，以确保解集是符合原不等式的。

为了更好地理解和掌握解含绝对值的不等式的方法，下面将通过具体的例子来详细介绍。

例1：解含绝对值的一元二次不等式考虑一元二次不等式|x^2-4x-5|>0。

首先，我们需要将含有绝对值的一元二次不等式转化为不含绝对值的形式。

一元二次不等式中含有绝对值时，一般可以转化为一个或两个关于未知数的一元二次不等式。

对于不等式|x^2-4x-5|>0，首先我们需要求出使得x^2-4x-5>0和x^2-4x-5<0的情况，分别讨论这两种情况下的不等式的解。

针对x^2-4x-5>0，我们可以使用因式分解或配方法求解。

经过计算和化简，得到x-5>0和x+1<0。

进一步得到x>5和x<-1。

这样，我们就知道在不等式x^2-4x-5>0情况下，x的取值范围是(-∞，-1)并集(5，+∞)。

针对x^2-4x-5<0，我们同样可以使用因式分解或配方法求解。

经过计算和化简，得到-1<x<5。

这样，我们就知道在不等式x^2-4x-5<0情况下，x的取值范围是(-1，5)。

综合以上讨论，当不等式|x^2-4x-5|>0时，x的取值范围是(-∞，-1)并集(5，+∞)并集(-1，5)。

不等式·含绝对值符号的不等式证明·教案一、教学目标1. 理解绝对值的概念及其性质。

2. 掌握含绝对值符号的不等式的解法。

3. 能够运用含绝对值符号的不等式证明问题。

4. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容1. 绝对值的概念及其性质。

2. 含绝对值符号的不等式的解法。

3. 含绝对值符号的不等式证明的方法。

三、教学重点与难点1. 教学重点：绝对值的概念及其性质，含绝对值符号的不等式的解法，含绝对值符号的不等式证明的方法。

2. 教学难点：含绝对值符号的不等式证明的方法。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解绝对值的概念及其性质，含绝对值符号的不等式的解法，含绝对值符号的不等式证明的方法。

2. 利用例题分析，引导学生运用所学知识解决问题。

3. 组织学生进行小组讨论，互相交流学习心得。

4. 利用练习题，巩固所学知识。

五、教学过程1. 引入：讲解绝对值的概念及其性质，引导学生理解绝对值的意义。

2. 讲解：讲解含绝对值符号的不等式的解法，引导学生掌握解题方法。

3. 证明：讲解含绝对值符号的不等式证明的方法，引导学生学会证明问题。

4. 练习：布置练习题，让学生运用所学知识解决问题。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点。

6. 作业：布置作业，巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂讲解：观察学生对绝对值概念和性质的理解程度，以及他们对含绝对值符号不等式解法的掌握情况。

2. 练习题解答：通过学生解答练习题的表现，评估他们对不等式证明方法的掌握程度。

3. 小组讨论：通过小组讨论，评估学生之间的交流和合作能力。

七、教学反思1. 针对学生的掌握情况，调整教学方法和节奏，确保学生能够充分理解含绝对值符号的不等式证明。

2. 对于学生出现的常见错误，进行归纳和总结，并在课堂上进行针对性的讲解和纠正。

3. 鼓励学生在课堂上提问，及时解答学生的疑问，提高学生的学习兴趣和动力。

八、教学拓展1. 引入更复杂的不等式证明问题，提高学生的解题能力。

4.2.1绝对值不等式的解法1．含有绝对值的不等式的性质(1) |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|证明：∵ -|a|≤a≤|a|, -|b|≤b≤|b|,∴ -(|a|+|b|)≤a+b≤(|a|+|b|),|a+b|≤|a|+|b|........①又 a=a+b-b, |-b|=|b|∴ 由①得|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|，即|a|-|b|≤|a+b|.......②由①②得 |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|由以上定理很容易推得以下的结论：(2) |a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|(3) |a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3|2 几个基本不等式的解集(1) |x| -a<X0)(2) |x|>a x>a或x<-a(a>0)(3) |x-m|0) -a<X-M m-a<X<M+A(4) |x-m|>a(a>0) x-m>a或x-m<-a x>m+a 或 x<M-A< SPAN>3．绝对值的定义：|a|=由定义可知：|ab|=|a||b|, .4．绝对值不等式的解法(1)解含有绝对值不等式的基本思路，绝对值符号的存在是解不等式的一大障碍。

因此如何去掉绝对值符号使其转化为等价的不含绝对值符号的不等式是解决这类问题的关键，常采取划分区间逐段讨论，从而去掉绝对值符号转化为一般不等式，或利用绝对值表达的几何意义转化为图像或曲线为解决。

(2)几种主要的类型① |f(x)|>|g(x)| f2(x)>g2(x)② |f(x)|>g(x) f(x)>g(x) 或 f(x)<-g(x)③ |f(x)| -g(x)<F(X)④ 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间”讨论的方法来脱去绝对值符号去求解。

⑤ 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式可以用图像法来解决5．关于“绝对值”的四则运算规律(1) |ab|=|a|·|b|(2)(3) |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|(4) |a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|在一般情况下，两个数的和或差的绝对值与这两个数的绝对值的和差是不相等的，但在某些情况下，可以取等号。