绝对值不等式(一)

绝对值不等式知识总结：1．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．(2)定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集：不等式 a >0 a ＝0 a <0 |x |<a (－a ，a ) ∅∅ |x |>a(－∞，－a )∪(a ，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法： ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .题型一：绝对值不等式的解法例1：不等式1≤|2x －1|<2的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)例2：若关于x 的不等式|x －1|－|x －3|>a 2－3a 的解集为非空数集，则实数a 的取值范围是( )A ．1<a <2 B.3－172<a <3＋172C ．a <1或a >2D ．a ≤1或a ≥2举一反三：变式1：设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A ，则a ＝________.变式2:不等式|x －2|＋|x ＋2|≥5的解集为______________．题型二：利用绝对值不等式求最值例1：对于任意实数a 和b (b ≠0)，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|b |(|x －1|＋|x －2|)恒成立，则实数x 的取值范围是________．例2：记max{p ，q }＝⎩⎨⎧p ，p ≥q ，q ，p <q ，设M (x ，y )＝max{|x 2＋y ＋1|，|y 2－x ＋1|}，其中x ，y ∈R ，则M (x ，y )的最小值是________．举一反三：变式1：若关于x 的不等式|x ＋t 2－2|＋|x ＋t 2＋2t －1|<3t 无解，则实数t 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，1 B ．(－∞，0] C ．(－∞，1]D ．(－∞，5]变式2：(2020·浙江第二次联盟联考)定义min{x ，y }＝⎩⎨⎧x ，x ≤y ，y ，x >y ，已知x 是不为2或8的实数，若S ＝min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2|x －2|，1|x －8|，则S 的最大值为________．题型三：绝对值不等式的综合应用例1：已知a ，b 为实数，不等式|x 2＋ax ＋b |≤|x 2－7x ＋12|对一切实数x 都成立，则a ＋b ＝________.例2：已知函数f (x )＝x |x －a |－1.①当a ＝1时，解不等式f (x )<x －1；②当x ∈(0,1]时，f (x )≤12x 2恒成立，求实数a 的取值范围．举一反三：变式1：已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m .(1)解关于x 的不等式f (x )＋a －1>0(a ∈R )；(2)若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，求m 的取值范围．课后练习：1．不等式|2x －1|<3的解集是( ) A ．(1,2) B ．(－1,2)C ．(－2，－1)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)2．不等式|2x －1|－|x －2|<0的解集是( ) A ．{x |－1<x <1} B ．{x |x <－1} C ．{x |x >1}D ．{x |x <－1或x >1}3．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为( ) A ．5 B ．4 C ．8 D ．74．已知数列{a n }为等差数列，且a 8＝1，则2|a 9|＋|a 10|的最小值为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．05．设函数f (x )＝|2x －1|，若不等式f (x )≥|a ＋1|－|2a －1||a |对任意实数a ≠0恒成立，则x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)6．若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4D ．－4或87．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π2x ，|x |≤1，x 2－1，|x |>1.若|f (x )＋f (x ＋l )－2|＋|f (x )－f (x ＋l )|>2(l >0)对任意的实数x都成立，则正数l 的取值范围为( ) A ．(0,23) B ．(23，＋∞) C ．(0,23]D ．[23，＋∞)8．若a ，b ，c ∈R ，且|a |≤1，|b |≤1，|c |≤1，则下列说法正确的是( ) A.⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab ＋bc ＋ca ＋32≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2 B.⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab ＋bc ＋ca ＋32≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b 2 C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab ＋bc ＋ca ＋32≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b －c 2 D ．以上都不正确9．若关于x 的不等式|x |＋|x ＋a |<b 的解集为(－2,1)，则实数a ＝________，b ＝________.10．已知f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x －a ＋2x －2a (x >0)的最小值为32，则实数a ＝________.11．当1≤x ≤3时，|3a ＋2b |－|a －2b |≤|a |⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m x ＋1对任意的实数a ，b 都成立，则实数m 的取值范围是________．12．对任意的x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为________；若正实数x ，y ，z 满足x 2＋2y 2＋z 2＝1，则t ＝433xy ＋2yz ＋xz 的最大值是________．13．已知函数f (x )＝x －1，若|f (x )－1|＋1|f (x －1)|－a >0对任意的x ∈R 且x ≠2恒成立，则实数a的取值范围为________；不等式|f (2x )|≤5－|f (2x －1)|的解集为__________．14．已知a >0，若集合A ＝{x ∈Z ||2x 2－x －a －2|＋|2x 2－x ＋a －2|－2a ＝0}中的元素有且仅有2个，则实数a 的取值范围为______．15．已知a ，b ∈R ，f (x )＝|2x ＋ax ＋b |，若对于任意的x ∈[0,4]，f (x )≤12恒成立，则a ＋2b ＝________.。

绝对值不等式公式绝对值不等式公式是以一元函数形式表示的绝对值的不等式，比如：|x|<a，它描述的是变量x的值范围在-a到a之间，其中a是一个正实数。

本文将主要介绍绝对值不等式公式的性质、表达式、特点及应用。

首先，让我们来看一下绝对值不等式公式的定义和性质：对于任意正实数a和变量x，绝对值不等式公式有如下形式：|x|<a它的性质是，如果一个变量x的值满足这个不等式，则它取值范围为-a到a之间，即：-a<x<a我们也可以将上述不等式的定义和属性表示为等价的函数形式，即：f(x)=|x|<a同时，我们也可以用一个单调函数来表示绝对值不等式公式：g(x)=x+|x|绝对值不等式公式有两个非常明显的特点：一是它表示的范围是一个确定的正实数a；二是它描述的变量x是一个周期函数，边界点为-a和a之间。

绝对值不等式公式应用十分广泛，在数学中，它可以用来描述一个变量的取值范围，例如，我们可以用它来解决有关刻度尺的问题，如果我们想要测量一个物体的长度，我们可以用它来计算长度的精确值。

此外，它还可以用来解决一些复杂的数学问题，例如求解偏微分方程，求解线性规划等。

绝对值不等式公式定义了变量x的有效取值范围，它可以帮助我们解决许多实际问题，并且这种表达式也被广泛应用于工程领域。

举个例子，在机器学习中，绝对值不等式公式可以用来描述模型衰减率的大小。

当模型学习率减小到一定水平时，绝对值不等式公式可以表达模型学习率减小的趋势。

同样，绝对值不等式公式也可以用来描述图像质量，体现图像质量随时间变化的趋势。

总之，绝对值不等式公式具有显著的作用，它可以用来表达变量x的取值范围，可以应用于数学建模和工程设计，也可以应用于机器学习和图像处理等。

尽管它的表达式很简单，但它对我们的生活和工作有很大的帮助。

绝对值不等式（一） 绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离；b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离。

b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离。

x a x b -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故b a b x a x -≥-+- 利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集。

分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22c b ax ≤-的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤- II.当0＜c 时，不等式解集为：空集 c b ax ≥+的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或 II.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a ≤3即可．若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 成立为假命题”，求a 的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x ∈R ，|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，故a ≤(|x ＋1|＋|x －2|)min ，又|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴a ≤3.例2：不等式log3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.解：当x >1时，原不等式等价于2x <3⇒x <32，∴1<x <32；当－1≤x ≤1时，原不等式等价于x ＋1－x ＋1<3，此不等式恒成立，∴－1≤x ≤1；当x <－1时，原不等式等价于－2x <3⇒x >－32，∴－32<x <－1.综上可得：－32<x <32。

【高中数学】绝对值不等式一、基础知识1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．↓|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立.2．绝对值不等式的解法(1)|x|<a与|x|>a型不等式的解法不等式a>0a＝0a<0|x|<a{x|－a<x<a}∅∅|x|>a{x|x>a或x<－a}{x|x∈R且x≠0}R(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法及体现数学思想①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.考点一绝对值不等式的解法[典例](2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)画出y ＝f (x )的图象；(2)求不等式|f (x )|>1的解集．[解](1)由题意得f (x )－4，x ≤－1，x －2，－1<x ≤32，x ＋4，x >32，故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}，f (x )<－1|x <13或x>5所以|f (x )|>1|x <13或1<x <3或x>5[题组训练]1．解不等式|x ＋1|＋|x －1|≤2.解：当x <－1时，原不等式可化为－x －1＋1－x ≤2，解得x ≥－1，又因为x <－1，故无解；当－1≤x ≤1时，原不等式可化为x ＋1＋1－x ＝2≤2，恒成立；当x >1时，原不等式可化为x ＋1＋x －1≤2，解得x ≤1，又因为x >1，故无解；综上，不等式|x ＋1|＋|x －1|≤2的解集为[－1,1]．2．(2019·沈阳质检)已知函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ∈R .(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋|2x ＋1|的解集；(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋3x .法一：由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|－|2x ＋1|≥0，当x >1时，x －1－(2x ＋1)≥0，得x ≤－2，无解；当－12≤x ≤1时，1－x －(2x ＋1)≥0，得－12≤x ≤0；当x <－12时，1－x －(－2x －1)≥0，得－2≤x <－12.∴不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．法二：由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|≥|2x ＋1|，两边平方，化简整理得x 2＋2x ≤0，解得－2≤x ≤0，∴不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．(2)由|x －a |＋3x ≤0≥a ，x －a ≤0<a ，x ＋a ≤0，≥a ，≤a 4<a ，≤－a 2.当a >0|x ≤－a 2由－a2＝－1，得a ＝2.当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤0}，不合题意．当a <0|x ≤a 4由a4＝－1，得a ＝－4.综上，a ＝2或a ＝－4.考点二绝对值不等式性质的应用[典例](2019·湖北五校联考)已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R .(1)解不等式f (x )<|x |＋1；(2)若对x ，y ∈R，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，求证：f (x )<1.[解](1)∵f (x )<|x |＋1，∴|2x －1|<|x |＋1，≥12，x －1<x ＋1x <12，－2x <x ＋1≤0，－2x <－x ＋1，得12≤x <2或0<x <12或无解．故不等式f (x )<|x |＋1的解集为{x |0<x <2}．(2)证明：f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1|＝2|x －y －1|＋|2y ＋1|≤2×13＋16＝56<1.故不等式f (x )＜1得证．[解题技法]绝对值不等式性质的应用利用不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )和|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R)，通过确定适当的a ，b ，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值或证明不等式．[题组训练]1．求函数f (x )＝|x ＋2019|－|x －2018|的最大值．解：因为f (x )＝|x ＋2019|－|x －2018|≤|x ＋2019－x ＋2018|＝4037，所以函数f (x )＝|x ＋2019|－|x －2018|的最大值为4037.2．若x ∈[－1,1]，|y |≤16，|z |≤19，求证：|x ＋2y －3z |≤53.证明：因为x ∈[－1,1]，|y |≤16，|z |≤19，所以|x ＋2y －3z |≤|x |＋2|y |＋3|z |≤1＋2×16＋3×19＝53，所以|x ＋2y －3z |≤53成立．考点三绝对值不等式的综合应用[典例](2018·合肥质检)已知函数f (x )＝|2x －1|.(1)解关于x 的不等式f (x )－f (x ＋1)≤1；(2)若关于x 的不等式f (x )<m －f (x ＋1)的解集不是空集，求m 的取值范围．[解](1)f (x )－f (x ＋1)≤1⇔|2x －1|－|2x ＋1|≤1，≥12，x －1－2x －1≤1－12<x <12，－2x －2x －1≤1≤－12，－2x ＋2x ＋1≤1，解得x ≥12或－14≤x <12，即x ≥－14，所以原不等式的解集为－14(2)由条件知，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|<m 有解，则m >(|2x －1|＋|2x ＋1|)min 即可．由于|2x －1|＋|2x ＋1|＝|1－2x |＋|2x ＋1|≥|1－2x ＋(2x ＋1)|＝2，当且仅当(1－2x )(2x ＋1)≥0，即x ∈－12，12时等号成立，故m >2.所以m 的取值范围是(2，＋∞)．[解题技法]两招解不等式问题中的含参问题(1)转化①把存在性问题转化为求最值问题；②不等式的解集为R 是指不等式的恒成立问题；③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max ，f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min .(2)求最值求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：①利用绝对值的几何意义；②利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥||a |－|b ||；③利用零点分区间法．[题组训练]1．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )x ＋4，x <－1，，－1≤x ≤2，2x ＋6，x >2.当x <－1时，由2x ＋4≥0，解得－2≤x <－1，当－1≤x ≤2时，显然满足题意，当x >2时，由－2x ＋6≥0，解得2<x ≤3，故f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}．(2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4.由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．2．(2018·广东珠海二中期中)已知函数f (x )＝|x ＋m |＋|2x －1|(m ∈R )，若关于x 的不等式f (x )≤|2x ＋1|的解集为A ，且34，2⊆A ，求实数m 的取值范围．解：∵34，2⊆A ，∴当x ∈34，2时，不等式f (x )≤|2x ＋1|恒成立，即|x ＋m |＋|2x －1|≤|2x ＋1|在x ∈34，2上恒成立，∴|x ＋m |＋2x －1≤2x ＋1，即|x ＋m |≤2在x ∈34，2上恒成立，∴－2≤x ＋m ≤2，∴－x －2≤m ≤－x ＋2在x ∈34，2上恒成立，∴(－x －2)max ≤m ≤(－x ＋2)min ，∴－114≤m ≤0，故实数m 的取值范围是－114，0.[课时跟踪检测]1．求不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集．解：<－12，－2x －2x －1≤6－12≤x ≤12，－2x ＋2x ＋1≤6>12，x －1＋2x ＋1≤6.解得－32≤x ≤32，|－32≤x ≤322．已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a ∈R )的最小值为a .(1)求实数a 的值；(2)解不等式f (x )≤5.解：(1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ，从而解得a ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|2x ＋6，x ≤2，，2＜x ≤4，x －6，x ＞4.故当x ≤2时，由－2x ＋6≤5，得12≤x ≤2；当2<x ≤4时，显然不等式成立；当x >4时，由2x －6≤5，得4<x ≤112，故不等式f (x )≤5|12≤x ≤1123．(2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )2，x ≤－1，x ，－1<x <1，，x ≥1.故不等式f (x )>1|x >12(2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|<1成立．若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1；若a >0，则|ax －1|<1|0<x <2a 所以2a ≥1，故0<a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2]．4．设函数f (x )＝|3x －1|＋ax ＋3.(1)若a ＝1，解不等式f (x )≤4；(2)若f (x )有最小值，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|3x －1|＋x ＋3≤4，即|3x －1|≤1－x ，x －1≤3x －1≤1－x ，解得0≤x ≤12，所以f(x)≤4的解集为0，12.(2)因为f(x)3＋a)x＋2，x≥13，a－3)x＋4，x<13，所以f(x)＋3≥0，－3≤0，解得－3≤a≤3，即实数a的取值范围是[－3,3]．5．(2019·贵阳适应性考试)已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|.(1)解不等式f(x)>－x；(2)若关于x的不等式f(x)≤a2－2a的解集为R，求实数a的取值范围．解：(1)原不等式等价于f(x)＋x＞0，不等式f(x)＋x>0可化为|x－2|＋x>|x＋1|，当x<－1时，－(x－2)＋x>－(x＋1)，解得x>－3，即－3<x<－1；当－1≤x≤2时，－(x－2)＋x>x＋1，解得x<1，即－1≤x<1；当x>2时，x－2＋x>x＋1，解得x>3，即x>3，综上所述，不等式f(x)＋x>0的解集为{x|－3<x<1或x>3}．(2)由不等式f(x)≤a2－2a可得|x－2|－|x＋1|≤a2－2a，∵|x－2|－|x＋1|≤|x－2－x－1|＝3，当且仅当x∈(－∞，－1]时等号成立，∴a2－2a≥3，即a2－2a－3≥0，解得a≤－1或a≥3.∴实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．6．已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋1|.(1)若a＝2，求不等式f(x)＞x＋2的解集；(2)如果关于x的不等式f(x)＜2的解集不是空集，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝2时，f(x)2x＋1，x＜－1，，－1≤x＜2，x－1，x≥2，不等式f(x)＞x＋2＜－1，2x＋1＞x＋21≤x＜2，＞x＋2≥2，x－1＞x＋2，解得x＜1或x＞3，故原不等式的解集为{x|x＜1或x＞3}．(2)∵f(x)＝|x－a|＋|x＋1|≥|(x－a)－(x＋1)|＝|a＋1|，当(x－a)(x＋1)≤0时取等号．∴若关于x的不等式f(x)＜2的解集不是空集，只需|a＋1|＜2，解得－3＜a＜1，即实数a的取值范围是(－3,1)．7．已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6，得－1≤x ≤3.因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥3，即|x －a 2|＋|12－x |≥3－a2.又x －a 2|＋|12－x＝|12－a 2|，所以|12－a2|≥3－a2，解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2，＋∞)．8．(2018·福州质检)设函数f (x )＝|x －1|，x ∈R .(1)求不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集；(2)已知关于x 的不等式f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |的解集为M M ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f (x )≤3－f (x －1)，所以|x －1|≤3－|x －2|⇔|x －1|＋|x －2|≤3<1，－2x ≤3≤x ≤2，≤3或>2，x －3≤3，解得0≤x <1或1≤x ≤2或2<x ≤3，所以0≤x ≤3，故不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集为[0,3]．(2)M ，所以当x f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |恒成立，而f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |⇔|x －1|－|x |＋|x －a |≤0⇔|x －a |≤|x |－|x －1|，因为x |x －a |≤1，即x －1≤a ≤x ＋1，由题意，知x －1≤a ≤x ＋1对于任意的x 所以12≤a ≤2，故实数a 的取值范围为12，2.。

带有绝对值的不等式解法
带有绝对值的不等式通常需要根据绝对值的性质进行分类讨论，然后根据不同情况分别解出不等式。

以下是带有绝对值的不等式的一般解法步骤：
1. 首先，需要确定绝对值内的表达式的符号。

2. 根据表达式的符号，将不等式分成两种情况进行讨论。

3. 对于每种情况，将绝对值符号去掉，并解出不等式。

4. 最后，将两种情况下的解集合并起来，得到最终的解集。

以下是一些常见的带有绝对值的不等式的解法示例：
1. 绝对值不等式：|x|<a（其中a为正数）
当x\ge0时，|x|=x，则原不等式可化为x<a。

当x<0时，|x|=-x，则原不等式可化为-x<a，即x>-a。

因此，不等式的解集为-a<x<a。

2. 绝对值不等式：|x|>a（其中a为正数）
当x\ge0时，|x|=x，则原不等式可化为x>a。

当x<0时，|x|=-x，则原不等式可化为-x>a，即x<-a。

因此，不等式的解集为x<-a或x>a。

3. 绝对值不等式：|x-a|<b（其中a、b为常数）
当x\ge a时，|x-a|=x-a，则原不等式可化为x-a<b，即x<a+b。

当x<a时，|x-a|=a-x，则原不等式可化为a-x<b，即x>a-b。

因此，不等式的解集为a-b<x<a+b。

需要注意的是，对于带有绝对值的不等式，解集可能包含零值，也可能不包含零值，具体情况需要根据不等式的具体形式进行讨论。

1。

1.2.2 绝对值不等式的解法课堂导学三点剖析一、绝对值不等式的典型类型和方法(一) 【例1】 解下列不等式: (1)1<|x+2|<5; (2)|3-x|+|x+4|>8.解析：(1)法一:原不等式⇔⎩⎨⎧<<--<->⇔⎩⎨⎧<+<->+⇔⎩⎨⎧<+>+.37,31525125|2|1|2|x x x x x x x 或 故原不等式的解集为{x|-1<x<3或-7<x<-3}.法二:原不等式⎩⎨⎧<--<<+⎩⎨⎧<+<≥+⇔521,02521,02x x x x 或, ⇔⎩⎨⎧-<<--<⎩⎨⎧<<--≥⇔37,231,2x x x x 或-1<x<3或-7<x<-3.∴原不等式的解集为{x|-1<x<3或-7<x<3}.(2)法一:原不等式⎩⎨⎧>++-<<-⎩⎨⎧>---≤⇔,843,34843,4x x x x x x 或⎩⎨⎧>≥⎩⎨⎧><<-⎩⎨⎧>---≤⇔⎩⎨⎧>++-≥.72,387,34821,4843,3x x x x x x x x 或或或 ∴x>27或x<29-. ∴原不等式的解集为{x|x<29-或x>27}.法二:将原不等式转化为|x-3|+|x+4|-8>0,构造函数y=|x-3|+|x+4|-8,即y=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<---≤--.3,72,34,1,492x x x x作出函数的图象如图.从图象可知当x>27或x<29-时,y>0,故原不等式的解集为{x|x>27或x<29-}. 温馨提示在本例中主要利用了绝对值的概念,|x|<a(或|x|>a)的解集以及数形结合的方法,这些方法都是解绝对值不等式的典型方法. 各个击破 类题演练1 解下列不等式:(1)|432-x x|≤1; (2)|x+3|-|2x-1|>2x+1.解析:(1)原不等式⎩⎨⎧≥+-±≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≤≠-⇔016172)4(904242222x x x x x x ⇔⎩⎨⎧≥≤±≠⇔161222x x x 或-1≤x≤1或x≤-4或x≥4. 故原不等式的解集为{x|-1≤x≤1或x≤-4或x≥4}. (2)由x+3=0,得x 1=-3, 由2x-1=0,得x 2=21. ①当x<-3时,不等式化为x-4>2x+1,解得x>10,而x<-3,故此时无解; ②当-3≤x<21时,不等式化为3x+2>2x +1,解得x>52-,这时不等式的解为52-<x<21;③当x≥21时,不等式化为-x+4>2x +1,即x<2,这时不等式的解为21≤x<2.综合上述,原不等式的解集为{x|52-<x<2}.变式提升1(1)解不等式|x 2-5x+5|<1.解析:不等式可化为-1<x 2-5x+5<1,即⎪⎩⎪⎨⎧->+-<+-.155,15522x x x x解之,得1<x<2或3<x<4.所以原不等式的解集为{x|1<x<2或3<x<4}.(2)求使不等式|x-4|+|x-3|<a 有解的a 的取值范围. 解法一:将数轴分为(-∞,3),［3,4］,(4,+∞)三个区间. 当x<3时,得(4-x)+(3-x)<a,x>27a -有解条件为27a-<3,即a>1; 当3≤x≤4,得(4-x)+(x-3)<a,即a>1; 当x>4时,得(x-4)+(x-3)<a,则x<27+a有解条件为27+a >4.∴a>1. 以上三种情况中任何一个均可满足题目要求,故是它们的并集,即仍为a>1.解法二:设数x 、3、4在数轴上对应的点分别为P 、A 、B,由绝对值的几何意义,原不等式即求|PA|+|PB|<a 成立.因为|AB|=1,故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于(等于)1,即|x-4|+|x-3|≥1,故当a>1时,|x-4|+|x-3|<a 有解.另外,本题还可利用绝对值不等式性质求函数的最值方法处理: ∵|x -4|+|x-3|=|x-4|+|3-x| ≥|x -4+3-x|=1,∴a 的取值范围是a>1.二、绝对值不等式的典型类型和方法(二)【例2】 解不等式|x 2-9|≤x+3.解析：方法一:原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≥-⇔39,0922x x x ⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≥-39,0922x x x 或 由①得x=-3或3≤x≤4,由②得2≤x<3,∴原不等式解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.方法二:原不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤-≥⇔⎩⎨⎧+≤-≤+-≥+⇔433339)3(032x x x x x x x x ⇔或2≤x≤4. ∴原不等式的解集为{x|x=-3或2≤x≤4}. 温馨提示对于|f(x)|≤g(x)型的不等式,通常有两种思路,一种是利用绝对值的意义,将其转化为f(x)≥0,⎩⎨⎧≤-<⎩⎨⎧≤≥).()(,0)()()(,0)(x g x f x f x g x f x f 或 另一种则是转化为⎩⎨⎧≤≤-≥)()()(,0)(x g x f x g x g 来求.当然也可直接转化为-g(x)≤f(x)≤g(x)来解(为什么?请同学们思考). 类题演练2解不等式|2x-1|>3x.解析:①当x<0时,原不等式显然成立;②当x≥0时,两端平方,得(2x-1)2>9x 2,即5x 2+4x-1<0,解之,得-1<x<51, ∴0≤x<51. 由①②知原不等式的解集为{x|x<51}. 变式提升2(1)解不等式|x 2-3x+2|>x 2-3|x|+2.解析:在同一坐标系内分别画出函数y=|x 2-3x+2|和y=x 2-3|x|+2=|x|2-3|x|+2的图象(如图所示).由图可知,原不等式的解集为{x|x<0或1<x<2}. (2)解不等式|x+1|(x-1)≥0. 解析:1° x+1=0,适合不等式;2° x+1≠0,则|x+1|>0,故原不等式等价于x-1≥0,∴x≥1,显然x+1≠0. ∴原不等式的解集为{x|x≥1或x=-1}. 三、绝对值不等式的证明【例3】 设f(x)=ax 2+bx+c,当|x|≤1时,总有|f(x)|≤1,求证:当|x|≤2时,|f(x)|≤7. 证明:由于f(x)是二次函数,|f(x)|在［-2,2］上的最大值只能是|f(2)|,|f(-2)|或|f(a b 2-)|,故只要证明|f(2)|≤7,|f(-2)|≤7;当|a b 2-|≤2时,有|f(ab 2-)|≤7. 由题意有|f(0)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1.由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--+=⎪⎩⎪⎨⎧+-=-++==).0()],1()1([21)],0(2)1()1([21,)1(,)1(,)0(f c f f b f f f a c b a f c b a f c f 得∴|f(2)|=|4a+2b+c|=|3f(1)+f(-1)-3f(0)|≤3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|≤3+1+3=7, |f(-2)|=|4a-2b+c|=|f(1)+3f(-1)-3f(0)|≤|f(1)|+3|f(-1)|+3|f(0)|≤1+3+3=7. ∵|b|=21|f(1)-f(-1)|≤21(|f(1)|+|f(-1)|)≤21(1+1)=1, ∴当|ab2-|≤2时,|f(a b 2-)|=|a b ac 442-|=|c a b 42-|=|c a b 2-·2b |≤|c|+|a b 2|·2||b ≤1+2×21=2<7.因此当|x|≤2时,|f(x)|≤7.类题演练3已知f(x)=x 2+ax+b(x 、a 、b∈R ,a 、b 是常数),求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于21. 证明:假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|全都小于21,即有|f(1)|<21,|f(2)|<21,|f(3)|<21. 于是|f(1)+f(3)-2f(2)|≤|f(1)|+|f(3)|+2|f(2)|<21+21+2×21=2.又f(1)+f(3)-2f(2)=2,二者产生矛盾,故|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于21. 变式提升3已知函数f(x)=ax+b,满足|x|≤1,a 2+b 2=1,求证:|f(x)|≤2.证法一:|f(x)|≤2⇔2-≤f(x)≤2⇔f(x)min ≥2-且f(x)max ≤2.若a>0,则f(x)max =f(1)=a+b≤2)(222=+b a ,f(x)min =f(-1)=-a+b≥2])[(222-=+--b a . 若a=0,则f(x)=b 且b 2=1, ∴|f(x)|≤2.若a<0,则f(x)max =f(-1)=-a+b≤2)(222=+b a ,f(x)min =f(1)=a+b≥2)(222-=+-b a . 综上,知不等式成立. 证法二:|f(x)|2-(2)2=(ax+b)2-2(a 2+b 2)=a 2x 2+b 2+2abx-2(a 2+b 2)≤a 2+b 2+2abx-2(a 2+b 2)=2abx-a 2-b 2≤2abx -a 2x 2-b 2=-(ax-b)2≤0, ∴|f(x)|≤2.。

含绝对值的不等式一、复习目标：1．理解含绝对值的不等式的性质，及其中等号成立的条件，能运用性质论证一些问题；2．会解一些简单的含绝对值的不等式．二、知识要点：1．含绝对值的不等式的性质：①||||||||||a b a b a b -≤+≤+，当 0|||| ab a b ≤≥且时，左边等号成立；当0 ab ≥时，右边等号成立．②||||||||||a b a b a b -≤-≤+，当 0|||| ab a b ≥≥且时，左边等号成立；当 0 ab ≤时，右边等号成立．③||||||||||a b a b a b -≤±≤+．2．绝对值不等式的解法：①0a >时，|()|()()f x a f x a f x a >⇔><-或；|()|()f x a a f x a <⇔-<<； ②去绝对值符号是解绝对值不等式的常用方法；③根据绝对值的几何意义，通过数形结合解绝对值不等式．三、课前预习：1．不等式|lg ||||lg |x x x x -<+的解集为 〔 C 〕()A (0,)+∞()B (0,1) ()C (1,)+∞ ()D (1,10) 2．不等式1|21|2x ≤-<的解集为 〔 C 〕()A 13(,0)[1,)22- ()B 13{01}22x x -<<≤≤且 ()C 13(,0][1,)22- ()D 13{01}22x x -<≤≤<且 3．()f x 为R 上的增函数，()y f x =的图象过点(0,1)A -和下面哪一点时，能确定不等式|(1)|1f x -<的解集为{|14}x x <<〔 A 〕()A (3,1)()B (4,1) ()C (3,0) ()D (4,0) 4．集合{||1|}A x x a =-≤，{||3|4}B x x =->，且A B φ=，那么a 的取值范围是(,2]-∞．5．设有两个命题：①不等式|||1|x x m +->的解集是R ；②函数()(73)xf x m =--是减函数，如果这两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数m 的取值范围是[1,2)．四、例题分析：例1．01x <<，01a <<，试比较|log (1)|a x -和|log (1)|a x +的大小．解：〔法一〕∵01x <<，∴011x <-<，112x <+<，∴log (1)0a x ->，log (1)0a x +<，∵|log (1)|a x --|log (1)|a x +2log (1)log (1)log (1)a a a x x x =-++=-，∵2011x <-<，且01a <<，∴2log (1)0a x ->，∴|log (1)|a x ->|log (1)|a x +． 〔法二〕提要：2221|log (1)||log (1)|log (1)log 01a a a ax x x x x ---+=->+． 〔法三〕提要：11|log (1)||log (1)|log (1)|log (1)|a x x a x x x x ++-=-=--+ 2111211log log 1log (1)111x x x x x x x++++===-->--． 例2．求证：||||||1||1||1||a b a b a b a b +≤+++++． 证明：〔法一〕当||0a b +=时，不等式显然成立，当||0a b +≠时，由110||||||||||||a b a b a b a b <+≤+⇒≥++， ∴||11||||||||111||1||||1||1||11||||||a b a b a b a b a b a b a b a b ++=≤=≤+++++++++++． 〔法二〕要证原不等式成立，只要证||(1||)(1||)||(1||)||(1||)(1||)a b a b a a b b a b a +++≤++++++， 整理得22||||2||||||a b a ab a b ab b +≤++++，∵||||||a b a b +≤+，∴22||||2||||||a b a ab a b ab b +≤++++成立， 所以，原不等式成立．例3．()f x =，当a b ≠时，求证：|()()|||f a f b a b -<-．证明：〔法一〕22|()()|||f a f b -==22|()()|||||a b a b a b +-=<=+||||||a b a b ≤=-+，∴得证．〔法二〕要证|||a b <-，只要证22||a b =<-1<，只须证||a b +<，||a >||b >||||||a b a b >+≥+，得证．〔法三：构造法〕如图，()OA f a ==()OB f b ==，||||A B a b -=-，由三角形两边之差小于第三边得：|()()||f a f b -<例4．设m 等于||a 、||b 和1中最大的一个，当||x m >时，求证：2||2x x +<．分析：此题的关键是对题设条件的理解和运用，||a 、||b 和1中哪个最大，如果两两比较大小，将十分复杂．证明：∵||||x m a >≥，||||x m b >≥，||1x m >≥， ∴22||||x b >，∴222||||||||||112||||a b a b a b x x x x x x +≤+=+<+=． 小结：将题设中的条件“m 等于||a 、||b 和1中最大的一个〞转化为符号语言“||||x m a >≥，||||x m b >≥，||1x m >≥〞是解题的关键．五、课后作业：1．假设,a b R ∈，且||||a c b -<，那么 〔 A 〕()A ||||||a b c <+()B ||||||a b c >- ()C a b c <+()D a b c >- 2．假设0m >，那么||x a m -<且||y a m -<是||2x y m -<的〔 A 〕()A 充分不必要条件()B 必要不充分条件 ()C 充要条件()D 既不充分也不必要条件 3．函数()f x 、()g x ，设不等式|()||()|f x g x a +<(0)a >的解集是M ，不等式|()()|f x g x a +<(0)a >的解集是N ，那么集合M 、N 的关系是 〔 C 〕()A N M ≠⊂ ()B M N = ()C M N ⊆ ()D M N ≠⊂ 4．不等式||22x x x x≥++的解集是20x -<≤． 5．不等式|4||3|x x a -+-<的解集不是空集，那么a 的取值范围是(1,)+∞． 6．假设实数,a b 满足0ab >，那么①||||a b a +>；②||||a b b +<；③||||a b a b +<-；④||||a b a b +>-．这四个式子中，正确的选项是 ①、④ ．7．解关于x 的不等式2||x a a -<〔a R ∈〕．8．解不等式：〔1〕2|1121|x x x -+>；〔2〕|3||21|12x x x +-->+．9．设有关于x 的不等式lg(|3||7|)x x a ++->，〔1〕当1a =时，解这个不等式；〔2〕当a 为何值时，这个不等式的解集为R ．10．设二次函数2()f x ax bx c =++对一切[1,1]x ∈-，都有|()|1f x ≤， 证明：〔1〕||1a c +≤；〔2〕对一切[1,1]x ∈-，都有|2|4ax b +≤．。

典型例题一绝对值不等式例1 解不等式2321-->+x x分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a ，将不等式中的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论．解：令01=+x ，∴ 1-=x ，令032=-x ，∴23=x ，如图所示． （1）当1-≤x 时原不等式化为2)32()1(--->+-x x∴2>x 与条件矛盾，无解．（2）当231≤<-x 时，原不等式化为2)32(1--->+x x ． ∴ 0>x ，故230≤<x ． （3）当23>x 时，原不等式化为 2321-->+x x ．∴6<x ，故623<<x ． 综上，原不等式的解为{}60<<x x ．说明：要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏．典型例题二例2 求使不等式a x x <-+-34有解的a 的取值范围．分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便．解法一：将数轴分为(]),4(],4,3[,3,+∞∞-三个区间当3<x 时，原不等式变为27,)3()4(a x a x x -><-+-有解的条件为327<-a ，即1>a ；当43≤≤x 时，得a x x <-+-)3()4(，即1>a ；当4>x 时，得a x x <-+-)3()4(，即27+<a x ，有解的条件为427>+a ∴1>a ． 以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为1>a ．解法二：设数x ，3，4在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，如图，由绝对值的几何定义，原不等式a PB PA <+的意义是P 到A 、B 的距离之和小于a ． 因为1=AB ，故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于（等于1），即134≥-+-x x ，故当1>a 时，a x x <-+-34有解．典型例题三例3 已知),0(,20,2M y ab y M a x ∈ε<-<ε<-，求证ε<-ab xy ． 分析：根据条件凑b y a x --,． 证明：ab ya ya xy ab xy -+-=-ε=ε⋅+ε⋅<-⋅+-≤-+-=aa M Mb y a a x y b y a a x y 22)()(． 说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法．典型例题四例4 求证 b a a b a -≥-22分析：使用分析法证明 ∵0>a ，∴只需证明b a a b a -≥-222，两边同除2b ，即只需证明 ba b a b b a -≥-22222，即 ba b a b a -≥-22)(1)( 当1≥b a 时，b a b a b a b a -≥-=-222)(1)(1)(；当1<ba 时， 0<-b a ，原不等式显然成立．∴原不等式成立．说明：在绝对值不等式的证明，常用分析法．本例也可以一开始就用定理：b a b a a b a a b a ⋅-=-≥-2222 （1）如果1≥ba ，则0≤-b a ，原不等式显然成立． （2）如果1<a b ，则b a b ->-，利用不等式的传递性知a b a -，b a b ->，∴原不等式也成立．典型例题五例5 求证b ba ab a ba +++≤+++111．分析：本题的证法很多，下面给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明．证明：设xx x x x x f +-=+-+=+=1111111)(． 定义域为｛R x x ∈，且1-≠x ｝，)(x f 分别在区间)1,(--∞，区间),1(∞+-上是增函数． 又b a b a +≤+≤0， ∴)()(b a f b a f +≤+ 即b a ba b a ba +++≤+++11b ba ab a bb a a+++≤+++++=1111∴原不等式成立．说明：在利用放缩法时常常会产生如下错误： ∵b a b a +≤+，01>++b a ， ∴b a b b a a b a b a b a b a +++++=+++≤+++1111bb a a +++≤11． 错误在不能保证a b a +≥++11，b b a +≥++11．绝对值不等式b a b a +≤±在运用放缩法证明不等式时有非常重要的作用，其形式转化比较灵活．放缩要适度，要根据题目的要求，及时调整放缩的形式结构．典型例题六例6 关于实数x 的不等式2)1(2)1(22-≤+-a a x 与0)13(2)1(32≤+++-a x a x )(R a ∈的解集依次为A 与B ，求使B A ⊆的a 的取值范围．分析：分别求出集合A 、B ，然后再分类讨论．解：解不等式2)1(2)1(22-≤+-a a x ， 2)1(2)1(2)1(222-≤+-≤--a a x a ， ∴{}R a a x a x A ∈+≤≤=,122．解不等式0)13(2)1(32≤+++-a x a x ，0)2)](13([≤-+-x a x ． 当31>a 时（即213>+a 时），得⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+≤≤=31,132a a x x B ． 当31≤a 时（即213≤+a 时），得⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤+=31,213a x a x B ． 当31>a 时，要满足B A ⊆，必须⎩⎨⎧+≤+≥,131,222a a a 故31≤≤a ； 当31≤a 时，要满足B A ⊆，必须⎩⎨⎧+≥+≥;12,1322a a a ⎩⎨⎧≤≤--≤,11,1a a ∴1-=a ．所以a 的取值范围是{}311≤≤-=∈a a R a 或．说明：在求满足条件B A ⊆的a 时，要注意关于a 的不等式组中有没有等号，否则会导致误解．典型例题七例6 已知数列通项公式nn na a a a a 2sin 23sin 22sin 2sin 32++++= 对于正整数m 、n ，当n m >时，求证：nn m a a 21<-． 分析：已知数列的通项公式是数列的前n 项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再利用不等式n n a a a a a a +++≤+++ 2121，问题便可解决．证明：∵n m >∴m n n n m ma a n a n a a 2sin 2)2sin(2)1sin(21+++++=-++ mn n ma a n a n 2sin 2)2sin(2)1sin(21+++++≤++ 211)211(2121212121--=+++≤++m n n)12110(21)211(21<-<<-=--nm n n m n ． 说明：m n n 21212121+++++ 是以121+n 为首项，以21为公比，共有n m -项的等比数列的和，误认为共有1--n m 项是常见错误． 正余弦函数的值域，即1sin ≤α，1cos ≤α，是解本题的关键．本题把不等式、三角函数、数列、n 个变量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目．如果将本题中的正弦改为余弦，不等式同样成立．典型例题八例8 已知13)(2+-=x x x f ，1<-a x ，求证：)1(2)()(+<-a a f x f分析：本题中给定函数)(x f 和条件1<-a x ，注意到要证的式子右边不含x ，因此对条件1<-a x 的使用可有几种选择：(1)直接用；(2)打开绝对值用11+<<-a x a ，替出x ；(3)用绝对值的性质11+<⇒<-≤-a x a x a x 进行替换．证明：∵13)(2+-=x x x f ，∴13)(2+-=a a a f ， ∵1<-a x ，∴1<-≤-a x a x ． ∴1+<a x ， ∴x a a x a f x f -+-=-22)()()())((a x a x a x --+-=)1)((-+-=a x a x1-+⋅-=a x a x)1(21111+=+++<++<-+<a a a a x a x ，即)1(2)()(+<-a a f x f ．说明：这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运用．分析中对条件1<-a x 使用时出现的三种可能是经常碰到的，要结合求证，灵活选用．典型例题九例9 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->x x x x x 22330的解集是（ ）． A ．{}20<<x x B ．{}5.20<<x xC ．{}60<<x xD ．{}30<<x x 分析：本题是考查含有绝对值不等式的解法，由x x x x +->+-2233，知033>+-xx ，∴33<<-x ，又0>x ，∴30<<x ，解原不等式组实为解不等式x x x x +->+-2233（30<<x ）． 解法一：不等式两边平方得：2222)2()3()2()3(x x x x -+>+-．∴2222)6()6(-+>--x x x x ，即0)66)(66(2222>+-----++--x x x x x x x x ， ∴0)6(2>-x x ，又30<<x ．∴⎩⎨⎧<<<-30062x x ∴60<<x ．选C ．解法二：∵0>x ，∴可分成两种情况讨论：(1)当20≤<x 时，不等式组化为x x x x +->+-2233（20≤<x ）． 解得20≤<x ．(2)当2>x 时，不等式组可化为xx x x +->+-2233（2>x ）， 解得62≤<x ．综合(1)、(2)得，原不等式组的解为60<<x ，选C ．说明：本题是在0>x 的条件下，解一个含绝对值的分式不等式，如何去绝对值是本题的关键所在，必须注意，只有在保证两边均为非负数时，才能将不等式两边同时平方．另一种方法则是分区间讨论，从而去掉绝对值符号．当然本题还可用特殊值排除法求解．典型例题十例10 设二次函数c bx ax x f ++=2)((0>a ，且0≠b )，已知a b ≤，1)0(≤f ，1)1(≤-f ，1)1(≤f ，当1≤x 时，证明45)(≤x f ． 分析：从0>a 知，二次函数的图像是开口向上的抛物线；从1≤x 且1)1(≤-f ，1)1(≤f 知，要求证的是45)(≤x f ，所以抛物线的顶点一定在x 轴下方，取绝对值后，图像翻到x 轴上方．因此抛物线的顶点的取值非常重要，也是解这道题的关键所在．证明：∵)()(2c b a c b a b +--++=c b a c b a +-+++≤11)1()1(+≤-+=f f2=， ∴1≤b ． 又∵a b ≤，∴1≤ab ． ∴1212<≤-a b ． 又1)0(≤=f c ，ab c a b ac a b f 444)2(22-=-=-， ∴ab c a b c a b f 44)2(22+≤-=- 451141141=⋅⋅+≤⋅⋅+=b a b c ． 而)(x f 的图像为开口向上的抛物线，且1≤x ，11≤≤-x ， ∴)(x f 的最大值应在1=x ，1-=x 或a b x 2-=处取得． ∵1)1(≤f ，1)1(≤-f ，45)2(≤-a b f ， ∴45)(≤x f ．说明：本题考查了绝对值不等式的性质、二次函数的最值及分类讨论的思想和逻辑思维的能力，关键是通过对参数a ，b ，c 的分析，确定抛物线顶点的取值范围，然后通过比较求出函数在1 x 范围内的最大值．。

绝对值不等式高一知识点绝对值不等式是高中数学学习的重要知识点之一，它在解决数学问题时扮演着重要的角色。

本文将介绍绝对值不等式的定义、性质和解法，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

1. 绝对值不等式的定义和性质绝对值不等式是形如 |a| < b 或 |a| > b 的不等式，其中 a 和 b 是实数。

当绝对值不等式中的不等号为小于号时，表示绝对值小于某个数；当不等号为大于号时，表示绝对值大于某个数。

绝对值不等式的主要性质如下：（1）|a| ≥ 0，绝对值不会小于零，即绝对值大于等于零。

（2） |a| = 0 当且仅当 a = 0，绝对值等于零的实数只有零本身。

（3） |a| > 0 当且仅当a ≠ 0，非零实数的绝对值大于零。

（4） |a * b| = |a| * |b|，即两个实数的乘积的绝对值等于这两个实数的绝对值的乘积。

2. 绝对值不等式的解法解绝对值不等式的关键是找到合适的数轴区间，并确定绝对值的正负性。

根据绝对值不等式的类型，可以分为以下三种情况进行讨论。

（1） |x| < a 形式的绝对值不等式（其中 a > 0）：解法步骤：a）确定 -a < x < a，即数轴上的解集表示为 ( -a , a )。

b）根据解集的形式，得到 -a < x 和 x < a。

c）合并两个不等式得到最终的解集：-a < x < a。

（2） |x| > a 形式的绝对值不等式（其中 a > 0）：解法步骤：a）将不等式转化为 x < -a 或 x > a 的形式。

b）根据解的形式得到两个不等式：x < -a 或者 x > a。

c）根据数轴上的解集，得到最终的解集：x < -a 或者 x > a。

（3）在不等式中含有绝对值的情况，例如 |x - a| > b 形式的绝对值不等式（其中 a 和 b 均为正实数）：解法步骤：a）将不等式转化为 x - a > b 或 x - a < -b 的形式。

6.5 含有绝对值的不等式●课时安排 2课时 ●从容说课本小节的内容包括含绝对值不等式的一个定理，两个推论及其证明和应用.本小节教学时间约需2课时.1.本小节的定理是含绝对值不等式的一个重要性质，在以后解决各类含绝对值不等式的问题时经常用到，一定要让学生掌握.对于这个定理的教学，学生可能不易接受.为此，教学时要注意使学生明白：（1）绝对值的含义： 若x ∈R ，则|x|=⎪⎩⎪⎨⎧-x x 0).0(),0(),0(<=>x x x（2）绝对值的几何意义：|x|指数轴上坐标为x 的点到原点的距离，|x-m|指数轴上坐标为x 的点到坐标为m 的点的距离.（3）绝对值的运算性质： |a ·b|=|a|·|b|；|ba|=ba （b ≠0）.（4）弄清楚为什么|x|=|-x|，-|x|≤x ≤|x|. （5）含绝对值不等式定理实际上包括两总分，即 |a+b|≤|a|+|b|； ① |a|-|b|≤|a+b|. ②而②式与|a|≤|a+b|+|b|等价，再把它改写成|(a+b)+(-b)|≤|a+b|+|-b|.以后，就可以发现本质上与①式一样，所以主要是证明①式.（6）为了加深对定理的理解，可以向学生指出：定理的左、中、右三部分中，右边是绝对值的和，肯定是非负的；中间是和的绝对值，可能因为a，b一正一负要抵消一部分，但由于是绝对值，仍是非负的；左边是绝对值的差，当b≠0时，肯定要抵消一部分，而且还可能是负的.这样大、中、小的关系也就容易理解与记忆了.还应指出，此定理在后面学习复数时，可以推广到比较复数的模长，并有其几何意义.2.本小节含绝对值不等式定理的推论1还可以推广到n（n是大于2的自然数）个数（或式）的和的绝对值小于或等于这n个数的绝对值的和.推论2与定理虽然形式上有所不同，但实质上是等价的.因为这里a，b是任意实数，所以只要用-b代替b，就可以由其中任何一个推得另一个，因此推论2不必要求学生记忆.3.本小节的重点和难点在于：（1）应用含绝对值不等式定理时，一定要注意等号成立的条件：|a+b|=|a|+|b|⇔ab≥0；|a-b|=|a|+|b|⇔ab≤0；|a|-|b|=|a+b|⇔(a+b)b≤0；|a|-|b|=|a-b|⇔(a-b)b≥0.（2）含绝对值的不等式的证明题主要分两类，一类是略简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为普通的不等式证明题，或利用不等式性质：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，通过适当的添项或拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，这时，往往可考虑利用恒成立，则特殊情况也成立，或转化为一元二次方程的根分布等证明.（3）含绝对值的不等式成立与否的判断，常可利用绝对值不等式性质，或特殊值法进行.（4）绝对值的定义，几何意义和运算性质，是解决含有绝对值不等式问题的基础.用平方法消去绝对值符号时，要注意不等式两边都必须是非负数；分段讨论消去绝对值符号的原则是“不重、不漏”，一般步骤是：（a）确定代数式的根值，（b）确定分段所得的区间，（c）逐段讨论，（d）求并集.4.课本本小节的三道例题，都是讲含绝对值不等式的证明.例1中，有意使用了字母“ξ”，其目的是为学生以后学习微积分作准备.例2、例3中，都没有使用到刚学过的含绝对值不等式的定理，而是用绝对值的性质、不等式的性质、算术平均数与几何平均数的定理证得的，这又一次说明，证明不等式的方法是多样的，一定要灵活掌握.含绝对值符号的不等式近几年在高考试题中出现率比较高.它有时出现在选择、填空题中，内容多以判断、求解、求参数的取值范围等的单纯的绝对值不等式或与其他知识小综合的形式出现，难度属于中低档；有时会与函数、数列、解析几何等综合，以证明、求解、求参数的取值范围等形式出现在解答题中，这时往往较难，需要我们在平时教学过程中根据学生的实际情况逐步进行渗透，以取得较好的效果.●课题§6.5.1 含有绝对值的不等式(一)●教学目标（一）教学知识点1.含有绝对值不等式的重要性质定理及推论.2.有关简单的含绝对值不等式的证明问题.(二)能力训练要求1.理解和掌握不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|及推论,并会证明这个定理.2.能运用上面的不等式,解决一些简单的有关含绝对值不等式的证明问题.(三)德育渗透目标1.培养学生观察、推理的思维能力.2.使学生树立创新意识.3.运用联系的观点解决问题,提高学生的数学素质.●教学重点1.定理|a+b|≤|a|+|b|,可以推广到n个数的形式,即|a1+a2+…+a n|≤|a1|+|a2|+…+|a n|,证明可以依照定理的方法.2.定理中|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,等号成立的条件是:|a|-|b|=|a+b|⇔ab≤0且|a|≥|b|.|a|+|b|=|a+b|⇔ab≥03.在有关含绝对值的不等式的证明过程中,要注意运用不等式的性质,绝对值的性质.●教学难点定理|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|的理解和记忆以及等号成立的条件.●教学方法引导学生发现规律,启发诱导教学法.●教具准备幻灯片一张记作§6.5.1 A(二)不等式的概念、性质●教学过程Ⅰ.课题导入前面，我们学习过绝对值和不等式的性质以及不等式的证明方法.（打出幻灯片§6.5.1 A,引导学生阅读,复习巩固绝对值性质和不等式性质,为学习研究含有绝对值的不等式打下基础)我们知道,当a>0时,|x|<a⇔-a<x<a,|x|>a⇔x>a或x<-a.根据上面的结果和不等式的性质,我们再来研究一些含有绝对值的不等式的证明问题.Ⅱ.讲授新课(一)含有绝对值不等式的重要性质定理及推论:看下面的性质定理:定理|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|分析:由绝对值的定义及其性质可知:对任意的x∈R,均有|-x|=|x|,-|x|≤x≤|x|.再考虑定理内容,它实际上包括两部分,即|a+b|≤|a|+|b|;|a|-|b|≤|a+b|.注意到|a|-|b|≤|a+b|⇔|a|≤|a+b|+|b|⇔|(a+b)+(-b)|≤|a+b|+|-b|⇔|a+b|≤|a|+|b|,故只需证明命题|a+b|≤|a|+|b|即可.证明:∵-|a|≤a≤|a|-|b|≤b≤|b|∴-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|即|a+b|≤|a|+|b|. ①又a=a+b-b且|-b|=|b|由①得|a|=|a+b-b|=|(a+b)-b|=|(a+b)+(-b)|≤|a+b|+|-b|=|a+b|+|b|∴|a|≤|a+b|+|b|即|a|-|b|≤|a+b| ②综合①、②可得:|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|请同学们想一想:上面的定理中,a、b满足什么条件时,可以取“=”号?生答:(1)当a,b同号时,右取“=”号;(2)当a,b异号且|a|≥|b|,左取“=”号;(3)当a,b至少有一个为0时,左、右都取“=”号.由上面的定理,我们很容易得到:推论1:|a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3|(证明过程留给同学们自己完成) 推论2:|a |-|b |≤|a -b |≤|a |+|b |分析:利用上面定理结合a -b =a +(-b )很容易得证. 证明:∵|a |-|b |≤|a +b |≤|a |+|b |且a -b =a +(-b ) ∴|a |-|-b |≤|a +(-b )|≤|a |+|-b |即 |a |-|b |≤|a -b |≤|a |+|b |.同学们再想一想:推论2中,a ,b 满足什么条件时,可以取“=”号?生答:(1)当a ,b 异号时,右取“=”号; (2)当a ,b 同号且|a |≥|b |时,左取“=”号; (3)当a ,b 至少有一个为0时,左,右都取“=”号.注意:推论1还可以推广到n (n ∈N 且n >2)个数(或式)的和的绝对值小于或等于这n 个数的绝对值的和.即|a 1+a 2+…+a n |≤|a 1|+|a 2|+…+|a n |.(n ∈N 且n >2).推论2与定理虽然形式上有所不同,但实质上是等价的.这是因为这里a ,b 是任意实数,所以只要用-b 代替b ,就可以由其中任一个推得另一个.(二)定理及其推论的应用:［例1］已知|x |<3ε,|y |<6ε,|z |<9ε,求证： |x +2y -3z |<ε.分析:从所证的不等式来看,左边复杂一些,故利用有关性质把结论左边进行变形,创设利用条件的机会.从目标不等式结构特点观察,显然利用推论1,即|a 1+a 2+a 3|≤|a 1|+|a 2|+|a 3|.证明:|x +2y -3z |≤|x |+|2y |+|-3z |=|x |+|2|·|y |+|-3|·|z |=|x |+2|y |+3|z |.∵|x |<3ε,|y |<6ε,|z |<9ε.∴|x |+2|y |+3|z |<3ε+62ε+93ε=ε即|x +2y -3z |<ε.［师生共析］本题的证明主要是依据本节定理的推论1进行变形的,望注意体会.这种方法在以后学习中还会遇到.本例还有意使用了字母“ε”,其目的是为我们以后学习微积分作点准备.［例2］设a ,b ,c ,d 都是不等于0的实数,求证：ad d c c b b a +++≥4.分析:本题中a ,b ,c ,d 都是不等于0的实数,由绝对值性质可知:|ba |、|cb |、|dc |、|ad |均为正数.结合目标不等式的结构特征,为运用算术平均数与几何平均数定理创造了条件.故运用公式2b a +≥ab (a >0,b >0)及不等式性质可使命题得证.证明:∵a ,b ,c ,d 都是不等式0的实数, ∴|ba |>0,|cb |>0,|dc |>0,|ad |>0. ∴|ba |+|cb |≥2ca cb b a 2=⋅ ①|dc |+|ad |≥2ac ad d c 2=⋅ ②2224=⋅=⋅≥+ac c a ac c a a c c a 又由①②③式,得:［师生共析］本例的证明,没有使用到刚学过的含绝对值不等式的定理,而是用绝对值的性质、不等式的性质、算术平均数与几何平均数的定理证得的.这又一次说明,证明不等式的方法是多样的,一定要灵活掌握.Ⅲ.课堂练习1.证明下列不等式:(1)a ,b ∈R ,求证|a +b |≤|a |+|b |;(2)已知|h |<ε,|k |<ε(ε>0),求证:|hk |<ε; (3)已知|h |<c ε,|x |<c (c >0,ε>0),求证:|xh |<ε.分析:用绝对值性质及不等式性质作推理运算.绝对值性质有:|ab |=|a |·|b |;|a n|=|a |n,|ba |=ba 等.证明:(1)证法一:∵-|a |≤a ≤|a |,-|b |≤b ≤|b | ∴-(|a |+|b |)≤a +b ≤|a |+|b | 即|a +b |≤|a |+|b | 证法二:(平方作差)(|a |+|b |)2-|a +b |2=a 2+2|a ||b |+b 2-(a 2+2ab +b 2)=2［|a |·|b |-ab )=2(|ab |-ab )≥0显然成立.故(|a |+|b |)2≥|a +b |2③又∵|a |+|b |≥0,|a +b |≥0所以|a |+|b |≥|a +b |,即|a +b |≤|a |+|b |.(2)∵0≤|h |<ε,0≤|k |<ε (ε>0)∴0≤|h |·|k |<ε·ε即|hk |<ε.(3)由0<c <|x |可知: 0<c x 11<且0≤|h |<c ε ∴c h x 11<⋅·c ε 即|x h |<ε.2.求证:|x +x 1|≥2(x ≠0)分析:x 与x 1同号,因此有|x +x 1|=|x |+|x 1|.证法一:∵x 与x 1同号∴|x +x 1|=|x |+x 1 ∴|x +x 1|=|x |+x 1≥2x x 1⋅=2 即|x +x 1|≥2.证法二:当x >0时,x +x 1≥2xx 1⋅=2当x <0时,-x >0,有-x +2121)(21-≤+⇒=-⋅-≥-x x x x x∴x ∈R 且x ≠0时有x +x 1≤-2,或x +x 1≥2即|x +x 1|≥2方法点拨:不少同学这样解:因为|x +x 1|≤|x |+x 1 又|x |+x 1≥2x x 1⋅=2 所以|x +x 1|≥2.学生认为这样解答是根据不等式的传递性.实际上,上述两个不等式是异向不等式,是不符合传递性的,因而如此作解是错误的.3.已知:|A-a |<2ε,|B-b |<2ε,求证:(1)|(A +B )-(a +b )|<ε(2)|(A -B )-(a -b )|<ε分析:证明本题的关键是把结论的左边凑出条件的左边,创造利用条件的机会.证明:因为|A -a |<2ε,|B -b |<2ε.所以(1)|(A +B )-(a +b )|=|(A -a )+(B -b )|≤|A -a |+|B -b |<2ε+2ε=ε即|(A +B )-(a +b )|<ε(2)|(A -B )-(a -b )|=|(A -a )-(B -b )|≤|A -a |+|B -b |<2ε+2ε=ε即|(A -B )-(a -b )|<ε方法点拨:本题的证明过程中运用了凑的技巧,望给予足够重视,灵活掌握.Ⅳ.课时小结本节重点学习了含有绝对值不等式的性质定理及其推论,理解和掌握其定理及推论,是证明含绝对值不等式的关键所在.在分析问题的转化策略上同时用好不等式的概念和性质.含有绝对值的不等式在题型结构上,有它自身的特点,要在解决问题的过程中自觉地创设运用公式的条件.Ⅴ.课后作业(一)课本P22习题6.5 1、2、3(二)1.复习巩固课本P20§6.5含有绝对值的不等式.2.巩固提纲:(1)理解掌握定理|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|的应用.(2)注意定理及其推论中等号成立的条件.(3)证明含有绝对值的不等式,一方面要用到前面学过的不等式证明的常用方法,另一方面,有些题目要应用到本节所学的重要性质定理及其推论.●板书设计§6.5.1 含有绝对值的不等式(一)一、性质定理二、应用|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 例题推论1|a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3| 课堂练习推论2 课时小结。

课 题：1.4绝对值不等式的解法（一）教学目的： （1）理解并掌握c b ax <+与)0(>>+c c b ax 型不等式的解法，并能初步地应用它解决问题；（2）了解数形结合，分类讨论的思想，培养数形结合的能力，培养通过换元转化的思想方法，培养抽象思维的能力；（3）绝对值的几何意义的应用；（4）激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想 教学重点：a x <与)0(>>a a x 型不等式的解法教学难点：绝对值意义的应用，和应用a x <与)0(>>a a x 型不等式的解法解决c b ax <+与)0(>>+c c b ax 型不等式授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：（略）教学过程：一、复习引入： 1．什么叫不等式？什么叫不等式组的解集？2．初中已学过的不等式的三条基本性质是什么？你能用汉语语言叙述这三条性质吗？⑴． 如果a>b,那么a+c>b+c;⑵． 如果a>b,c>0,那么 ac > bc;⑶． 如果a>b,c<0,那么ac < bc.3．实数的绝对值是如何定义的？几何意义是什么？绝对值的定义： | a | = ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>0,0,00,a a a a a|a|的几何意义：数轴上表示数a 的点离开原点的距离|x-a|(a ≥0)的几何意义是x 在数轴上的对应点a 的对应点之间的距离实例：（课本第14页）按商品质量规定，商店出售的标明500g 的袋装食盐，按商品质量规定，其实际数与所标数相差不能超过5g ，设实际数是x g ，那么，x 应满足怎样的数量关系呢？能不能用绝对值来表示？.5500≤-x（⎩⎨⎧≤-≤-.5500,5500x x 由绝对值的意义，也可以表示成.5500≤-x ） 意图：体会知识源于实践又服务于实践，从而激发学习热情引出课题二、讲解新课：1．)0(><a a x 与)0(>>a a x 型的不等式的解法先看含绝对值的方程|x|=2几何意义：数轴上表示数x 的点离开原点的距离等于2.∴x=±2 提问：2<x 与2>x 的几何意义是什么？表示在数轴上应该是怎样的？ 数轴上表示数x 的点离开原点的距离小（大）于2即 不等式 2<x 的解集是{}22<<-x x 不等式 2>x 的解集是{}2,2>-<x x x 或.类似地，不等式)0(><a a x |与)0(>>a a x 的几何意义是什么？解集又是什么？即 不等式)0(><a a x 的解集是{}a x a x <<-;不等式)0(>>a a x 的解集是{}a x a x x -<>或,小结：①解法：利用绝对值几何意义 ②数形结合思想2．c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法把 b ax + 看作一个整体时，可化为)0(><a a x 与)0(>>a a x 型的不等式来求解即 不等式)0(><+c c b ax 的解集为 {})0(|><+<-c c b ax c x ; 不等式)0(>>+c c b ax 的解集为{})0(,|>>+-<+c c b ax c b ax x 或三、讲解范例：例1（课本第15页）解不等式5500≤-x .解：由原不等式可得55005≤-≤-x ,各加上500，得505495≤≤x , ∴原不等式的解集是{}505495≤≤x x .例2（课本第15页）解不等式752>+x .解：由原不等式可得752-<+x ,或752>+x .整理，得6-<x ,或1>x . ∴原不等式的解集是{}1,6>-<x x x 或.例3（课本第16页练习2（3））解不等式32≥-x . 解：原不等式可化为32≥-x ,于是，得32-≤-x ,或32≥-x .整理，得1-≤x ,或5≥x . ∴原不等式的解集是{}5,1≥-≤x x x 或.备用例题例1．解不等式组⎩⎨⎧<->111x x （{}2112|<<-<<-∈x x R x 或例2．求使4123-+-x x 有意义的取值范围（⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-<≤-∈323253|x x R x 或） 例3．若313<-x 则41291624922++++-x x x x 化简的结果为 6 .四、课内练习课本第16页练习1、2五、小结：本节课学习了以下内容：1．a x <与)0(>>a a x 型不等式c b ax <+与)0(>>+c c b ax 型不等式的解法与解集；2．数形结合、换元、转化的数学思想六、作业:课本第16页习题2、3补充解不等式：2<|x|<5.法1：利用绝对值的几何意义并借助数轴解；法2：化为与之同解的不等式组⎩⎨⎧<>5||2||x x ，利用公式解，解集为 {x|-5<x<-2，或2<x<5}.七、板书设计（略）八、课后记：。

一．课题：含有绝对值的不等式二．教学目标：1.要求学生掌握绝对值不等式的性质定理及其证明； 2.能熟练运用绝对值不等式的性质定理求解和证明含绝对值的不等式问题.三．教学重、难点：绝对值不等式的性质定理的证明及其运用； 四．教学过程：（一）复习：绝对值的定义，含有绝对值的不等式的解法. 1.当0a >时，||||x a a x ax a x a x a≤⇔-≤≤≥⇔≥≤-或；2.对一切实数x ，都有||||x x x -≤≤. （二）新课讲解：定理：||||||||||b a b a b a +≤+≤-. 证明：∵|||||)||(|||||||||b a b a b a b b b a a a +≤+≤+-⇒⎭⎬⎫≤≤-≤≤-||||||b a b a +≤+⇒ ①又∵a a b b =+-，||||b b -=，所以由①得：||||||||a a b b a b b =+-≤++-， 即||||||a b a b -≤+ ② 综合①②得：||||||||||b a b a b a +≤+≤-.说明：①左边可以“加强”，不等式同样成立，即||||||||||a b a b a b -≤+≤+；②这个不等式俗称“三角形不等式”——三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.【思考1】在上面的定理中，,a b 满足什么条件时，右边取“=”？,a b 满足什么条件时，左边取“=”？结论：在定理中，当0ab ≥时右边取“=”；当0ab ≤，且||||a b ≥时左边取“=”；在定理的“加强”中，当0ab ≥时右边取“=”；当0ab ≤时左边取“=”.【思考2】上面的定理能否推广到三个字母或三个字母以上？推论1：123||a a a ++≤123||||||a a a ++；||21n a a a +++ ≤||||||21n a a a +++ .【思考3】将定理中的||a b +改成||a b -，定理是否还成立？证明你的结论。

二绝对值不等式1绝对值三角不等式1.理解定理1及其几何说明，理解定理2.2.会用定理1、定理2解决比较简单的问题.1.代数式|x＋2|＋|x－3|的几何意义是什么？提示表示数轴上的点x到点－2与3的距离之和.2.定理2的几何解释是什么？提示在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；当点B不在点A，C之间时，|a－c|＜|a－b|＋|b－c|.1.绝对值的几何意义如图(1)，|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离.如图(2)，|a－b|的几何意义是数轴上A，B两点之间的距离.2.定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.3.定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b －c)≥0时，等号成立.要点一绝对值三角不等式的性质例1设a，b∈R，且|a＋b＋1|≤1，|a＋2b＋4|≤4，求|a|＋|b|的最大值.解|a＋b|＝|(a＋b＋1)－1|≤|a＋b＋1|＋|－1|≤1＋1＝2，|a－b|＝|3(a＋b＋1)－2(a＋2b＋4)＋5|≤3|a＋b＋1|＋2|a＋2b＋4|＋5≤3×1＋2×4＋5＝16.①当ab≥0时，|a|＋|b|＝|a＋b|≤2；②当ab＜0时，则a(－b)＞0，|a|＋|b|＝|a|＋|－b|＝|a＋(－b)|≤16.总之，恒有|a|＋|b|≤16.而a＝8，b＝－8时，满足|a＋b＋1|＝1，|a＋2b＋4|＝4，且|a|＋|b|＝16.因此|a|＋|b|的最大值为16.规律方法|a＋b|≤|a|＋|b|，等号成立的条件为ab≥0，应用时要注意与以前学过的知识的联系与区别.a－c的变形要记住：a－c＝(a－b)＋(b－c)，从而不等式|a ＋b|≤|a|＋|b|可以变形为|a－c|＝|(a－b)＋(b－c)|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.跟踪演练1若|a－c|＜b，则下列不等式不成立的是()A.|a|＜|b|＋|c|B.|c|＜|a|＋|b|C.b＞||c|－|a||D.b＜|a|－|c|解析由|a－c|＜b，知b＞0，∴b＝|b|.∵|a|－|c|≤|a－c|，∴|a|－|c|＜b，则|a|＜b＋|c|＝|b|＋|c|.故A成立.同理由|c|－|a|≤|a－c|得|c|－|a|＜b，∴|c|＜|a|＋b＝|a|＋|b|.故B成立.而由A 成立，得|c |－|a |＞－|b |，由B 成立，得|c |－|a |＜|b |，∴－|b |＜|c |－|a |＜|b |.即||c |－|a ||＜|b |＝b .故C 成立.由A 成立知D 不成立，故选D.答案 D要点二 用绝对值三角不等式的性质证明不等式例2 设m 等于|a |，|b |和1中最大的一个，当|x |>m 时，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2<2. 证明 ∵|x |＞m ≥|a |，|x |＞m ≥|b |，|x |＞m ≥1，∴|x |2>|b |，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b x 2 ＝|a ||x |＋|b ||x |2<|x ||x |＋|x |2|x |2＝2.∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2<2.故原不等式成立. 规律方法 分析题目时，题目中的语言文字是我们解题信息的重要来源与依据，而解题时的数学符号语言也往往需要从文字语言“翻译”转化而来，那么准确理解题目中的文字语言，适时准确地进行转化也就成了解题的关键，如本题题设条件中的文字语言“m 等于|a |，|b |和1中最大的一个”转化为符号语言“m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1”是证明本题的关键.跟踪演练2 证明不等式：|a ＋b |1＋|a ＋b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |. 证明 当a ＋b ＝0时，不等式显然成立.当a ＋b ≠0时，∵|a ＋b |≤|a |＋|b |，∴1 |a＋b|≥1|a|＋|b|.于是|a＋b|1＋|a＋b|＝11＋1|a＋b|≤11＋1|a|＋|b|＝|a|＋|b|1＋|a|＋|b|＝|a|1＋|a|＋|b|＋|b|1＋|a|＋|b|≤|a|1＋|a|＋|b|1＋|b|，∴|a＋b|1＋|a＋b|≤|a|1＋|a|＋|b|1＋|b|.要点三绝对值三角不等式在生活中的应用例3在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N 都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点A(3，20)，B(－10，0)，C(14，0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明)；(2)若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小值.解设点P(x，y)，且y≥0.(1)点P到点A(3，20)的“L路径”的最短距离d，等于水平距离＋垂直距离，即d＝|x－3|＋|y－20|，其中y≥0，x∈R.(2)点P到A，B，C三点的“L路径”长度之和的最小值d＝水平距离之和的最小值h＋垂直距离之和的最小值v.且h和v互不影响.当20≥y≥1时，v＝20－y＋2y＝20＋y≥21，当y＝1时取“＝”.∵x ∈时，水平距离之和h ＝|x －(－10)|＋|14－x |＋|x －3|≥|x ＋10＋14－x |＋|x －3|≥24，且当x ＝3时， h ＝24.因此，当P (3，1)时，d ＝21＋24＝45.当0≤y ＜1时，v ＝20－y ＋(1－y )＋1＋y ＝22－y ＞21，水平距离之和h 不变，所以d ＞45.所以，当点P (x ，y )满足P (3，1)时，点P 到A ，B ，C 三点的“L 路径”长度之和d 的最小值为45.规律方法 数轴上两点间的距离或者平面直角坐标系中平行于坐标轴的直线上的两点间的距离为：d ＝|x 1－x 2|或d ＝|y 1－y 2|，如果已知两个变量x 1，x 2的大小关系，则不用加绝对值.跟踪演练3 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路牌的第10 km 和第20 km 处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次.要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？解 设生活区应该建于公路路牌的第x km 处，两个施工队每天往返的路程之和为s (x )km ，则s (x )＝2(|x －10|＋|x －20|).因为|x －10|＋|x －20|＝|x －10|＋|20－x |≥10，当且仅当(x －10)(20－x )≥0时取等号.解得10≤x ≤20.所以，生活区建于两个施工地点之间的任何一个位置时，都能使两个施工队每天往返的路之和最小.要点四 绝对值三角不等式的综合应用例4 已知函数f (x )＝lg x 2－x ＋1x 2＋1. (1)判断f (x )在上的单调性，并给出证明；(2)若t ∈R ，求证：lg 710≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －16－⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16≤lg 1310. (1)解 f (x )在上是减函数.证明：令u ＝x 2－x ＋1x 2＋1＝1－xx 2＋1.取－1≤x 1＜x 2≤1，则u 1－u 2＝（x 2－x 1）（1－x 1x 2）（x 21＋1）（x 22＋1）. ∵|x 1|≤1，|x 2|≤1，x 1＜x 2，∴u 1－u 2＞0，即u 1＞u 2.又在上u ＞0，故lg u 1＞lg u 2，得f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在上是减函数.(2)证明 ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －16－⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫t －16－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋16＝13， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16－⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －16≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －16＝13. ∴－13≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －16－⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16≤13. 由(1)的结论，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －16－⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13. 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝lg 710，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝lg 1310， ∴lg 710≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －16－⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16≤lg 1310. 规律方法 此类题目综合性强，不仅用到绝对值不等式的性质、推论及已知条件，还要用到配方等等价变形.在应用绝对值不等式的放缩性质求最值时要注意等号成立的条件，这也是关键.跟踪演练4设f(x)＝x2－x＋13，实数a满足|x－a|＜1.求证：|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1).证明|f(x)－f(a)|＝|(x－a)·(x＋a－1)|＜|x＋a－1|≤|x|＋|a|＋1.∵|x|－|a|≤|x－a|＜1，∴|x|＜|a|＋1.∴|x|＋|a|＋1＜2(|a|＋1).∴|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1).1.求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强，直接求|a|＋|b|的最大值比较困难，可采用|a＋b|，|a－b|的最值，及ab≥0时，|a|＋|b|＝|a＋b|，ab＜0时，|a|＋|b|＝|a－b|的定理，达到目的.2.求y＝|x＋m|＋|x＋n|和y＝|x＋m|－|x＋n|的最值，其主要方法有：(1)借助绝对值的定义，即零点分段；(2)利用绝对值几何意义；(3)利用绝对值不等式性质定理.1.若|x－a|＜h，|y－a|＜k，则下列不等式一定成立的是()A.|x－y|＜2hB.|x－y|＜2kC.|x－y|＜h＋kD.|x－y|＜|h－k|解析|x－y|＝|(x－a)＋(a－y)|≤|x－a|＋|a－y|＜h＋k.答案C2.已知|a|≠|b|，m＝|a|－|b||a－b|，n＝|a|＋|b||a＋b|，则m，n之间的大小关系是()A.m＞nB.m＜nC.m＝nD.m≤n解析由绝对值三角不等式，知|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.∴|a|－|b||a－b|≤1≤|a|＋|b||a＋b|.答案D3.函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为________.解析y＝|x－4|＋|x－6|≥|x－4＋6－x|＝2，当且仅当4≤x≤6时，等号成立.答案24.已知f(x)＝ax2＋bx＋c，且当|x|≤1时，|f(x)|≤1，求证：(1)|c|≤1；(2)|b|≤1.证明(1)由|f(0)|≤1，得|c|≤1.(2)由|f(1)|≤1，得|a＋b＋c|≤1，由|f(－1)|≤1，得|a－b＋c|≤1，故|b|＝|a＋b＋c＋（－a＋b－c）|2≤12(|a＋b＋c|＋|a－b＋c|)≤1.。