绝对值不等式(高考版)(含经典例题+答案)

绝对值不等式（二） 例1：解不等式|23||3|4x x ++->；解：3339|23|3||||3||42222x x x x x x ++-=++++-≥++>；故不等式的解集为R 。

例2：3232≤-++x x解：3337|23|2||||2||32222x x x x x x ++-=++++-≥++>；故不等式的解集为φ。

解：（Ⅰ）()25212521213312≥-+≥-+-+-≥-+-=x x x x x x x f ，当仅当21=x 时，等号成立。

（Ⅱ）()()11--+>y y m x f ，由于2112≤--+≤-y y ，故()m x f 2>恒成立，即m 225>，故⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈45,m 。

解：（Ⅰ）f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-+--<-1312423x x x x x x ，令﹣x+4=4 或 3x=4，得x=0，x=34，所以，不等式 f （x ）≥4的解集是(][)+∞∞-,0,34；（Ⅱ）f （x ）在（﹣∞，1]上递减，[1，+∞）上递增，所以，f （x ）≥f （1）=3，由于不等式f （x ）＜|m ﹣2|的解集是非空的集合，所以，|m ﹣2|＞3，解之，m ＜﹣1或m ＞5，即实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）．解：∵原方程有实根，Δ＝36－4[|a ＋2|＋|2a －1|]≥0，∴|a ＋2|＋|2a －1|≤9.①当a ≥12时，∵a ＋2＋2a －1≤9，∴12≤a ≤83.②当－2≤a ＜12时，∵a ＋2＋1－2a ≤9，∴－2≤a ＜12. 秒杀秘籍:()b x n a x m x f -+-=结论：在绝对值不等式中，系数大的决定不等式的最值。

绝对值之和只有最小值，并在大系数绝对值取到零点时取到最小值；书写过程：323221221≥-+≥-+-+-≥-+-x x x x x x③当a ＜－2时，∵－a －2＋1－2a ≤9，∴－103≤a ＜－2.综上所述，由①②③得a 的取值范围为108,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。

绝对值不等式绝对值不等式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y ≤5即函数的最小值是-5，最大值是5＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x ≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x ≤-2时，取最小值-5，当x ≥3时，取最大值5［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x－6|<3x［思路］利用｜f(x)｜<g(x) ⇔-g(x)<f(x)<g(x)和｜f(x)｜>g(x) ⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。

解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x )解得x >12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >12}(2)原不等式等价于－3x <2x －2x －6<3x即222226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-->-+->+-><->⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨+-<-<<--<--<⎪⎪⎩⎩⎩⎩或 2<x <6所以原不等式的解集是{x |2<x <6}1．解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x 2-3x-4；（2）234x x -≤1 解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于：x-x 2-2>x 2-3x-4 ①或x-x 2-2<-(x 2-3x-4) ② 解①得：1-2<x<1+2 解②得：x>-3故原不等式解集为｛x ｜x>-3｝分析二 ∵｜x-x 2-2｜＝｜x 2-x+2｜而x 2-x+2＝(x-14)2+74>0所以｜x-x 2-2｜中的绝对值符号可直接去掉.故原不等式等价于x 2-x+2>x 2-3x-4 解得：x>-3∴ 原不等式解集为｛x>-3｝（2）分析 不等式可转化为-1≤234xx -≤1求解，但过程较繁，由于不等式234xx -≤1两边均为正，所以可平方后求解.原不等式等价于2234xx -≤1⇒9x 2≤(x 2-4)2(x ≠±2) ⇒x 4-17x 2+16≥0 ⇒x 2≤1或x 2≥16⇒-1≤x ≤1或x ≥4或x ≤-4注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程.第2变 含两个绝对值的不等式［变题2］解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5.［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜⇒f 2(x)〈g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。

绝对值不等式绝对值不等式|a b^|a| |b|, |a - b卜|a | |b |基本的绝对值不等式：||a|-|b|| < |a ± b| < |a|+|b|y=|x-3|+|x+2| > |(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5所以函数的最小值是5,没有最大值|y|=||x-3卜|x+2|| < |(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5由|y| < 5 得-5 < y < 5即函数的最小值是-5 ,最大值是5也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2| 表示x到3, -2这两点的距离之和，显然当-2 < x < 3时，距离之和最小，最小值是5;而|x-3|-|x+2| 表示x到3, -2这两点的距离之差，当x< -2时，取最小值-5 ,当x> 3时，取最大值5［变题1 ］解下列不等式：(1)| x+1|>2 - x ；(2)| x2- 2x -6|<3 x ［思路］利用丨f(x) | <g(x) = -g(x)vf(x)vg(x) 和丨f(x)丨>g(x) = f(x)>g(x) 或f(x)v-g(x) 去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。

解：⑴原不等式等价于X+1>2—x或x+1<—(2 - x)1 1解得或无解，所以原不等式的解集是{ x | x>^}⑵原不等式等价于—3 X< X2—2x —6<3 X即『X2-2x-6>-3x (x2+ x-6>0 ”(x + 3)(x-2) > 0 xv-3 或x>2 { => { => 二*[x2-2x-6^3x l x2-5x-67 l(x + 1)(x-6) v 0 k-V： 62< X<6所以原不等式的解集是{ X|2< X<6}2 2I 3x I1 .解不等式(1 )1 x-x 2-2 | >X2-3X-4 ; (2) x2：4 <1解：(1)分析一可按解不等式的方法来解.原不等式等价于：x-x 2-2>x 2-3X-4①或x-x 2-2<-(x 2-3X-4)②解①得：1- - 2 v X<1+ 2解②得：x>-3故原不等式解集为{ x | x>-3 }分析二Tl x-x 2-2 | = | x2-x+2 |17而 x -x+2 = (x-) + . >04 4所以| x-x 2-2 |中的绝对值符号可直接去掉 .故原不等式等价于 x 2-x+2>x 2-3X -4 解得：x>-3•••原不等式解集为{ x>-3 }3x(2)分析不等式可转化为-1 w 二 < 1求解，但过x - 4程较繁，由于不等式| x^X 4 w 1两边均为正，所以可平方后 求解.二 9x 2w (x 2-4) 2 (x 工土 2)=x 4-17x 2+16> 0二 x 2w 1 或 x 2> 16 =-1 w x w 1 或 x > 4 或 x w -4注意：在解绝对值不等式时，若I f(x) |中的f(x)的值 的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正 )，就可直 接去掉绝对值符号，从而简化解题过程 .第2变含两个绝对值的不等式［变题 2］解不等式(1) | x - 1|<| x + a | ; (2) | x-2 | +I x+3 I >5.［思路］(1 )题由于两边均为非负数，因此可以利用丨 f(x) I 〈| g(x) |= f 2(x) 〈 g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。

课时规范练67 绝对值不等式基础巩固组1.(2020全国Ⅱ,理23)已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4的解集;(2)若f(x)≥4,求a的取值范围.2.(2021四川绵阳一诊)已知函数f(x)=|2x+1|-|2x-3|.(1)在如图所示的网格图中画出函数f(x)的图象;(2)若实数m满足f(2m-1)<f(2m+1),求m的取值范围.综合提升组3.已知函数f(x)=|x+1|+|2x-2|,g(x)=|x-1|+|x+3m|-m.(1)求函数f(x)的最小值;(2)对于任意x1∈R,存在x2∈R,使得f(x1)≥g(x2)成立,求实数m的取值范围.创新应用组4.(2021广西桂林模拟)已知函数f(x)=|2x-a|,g(x)=|x+2|.(1)若f(x)+2g(x)的最小值为2,求实数a的值;(2)若关于x的不等式f(x)+g(x)<6的解集为A,若[1,2]⊆A,求实数a的取值范围.答案：课时规范练1.解:(1)当a=2时,f (x )={7-2x ,x ≤3,1,3<x ≤4,2x -7,x >4.因此,不等式f (x )≥4的解集为{x |x ≤32或x ≥112}. (2)因为f (x )=|x-a 2|+|x-2a+1|≥|a 2-2a+1|=(a-1)2,故当(a-1)2≥4,即|a-1|≥2时,f (x )≥4.所以当a ≥3或a ≤-1时,f (x )≥4.当-1<a<3时,f (a 2)=|a 2-2a+1|=(a-1)2<4.所以a 的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).2.解: (1)由已知条件可得,f (x )={ -4,x ≤-12,4x -2,-12<x <32,4,x ≥32. 作出函数图象如图所示.(2)由(1)的图象可得,实数m满足-52<2m-1<32或-12<2m+1<72,解得-34<m<54.所以实数m 的取值范围为-34,54.3.解:(1)∵f (x )=|x+1|+|2x-2|={-3x +1,x <-1,-x +3,-1≤x ≤1,3x -1,x >1,∴f (x )min =f (1)=2,故当x=1时,f (x )取得最小值2.(2)由(1)得f (x )min =2,而g (x )=|x-1|+|x+3m|-m ≥|x-1-x-3m|-m=|1+3m|-m ,当且仅当x=1时,等号成立.由题意知,对任意x 1∈R ,存在x 2∈R 使得f (x 1)≥g (x 2)成立,则f (x )min ≥g (x )min ,即2≥|1+3m|-m ,所以{2+x ≥0,(2+x )2≥(1+3x )2,解得-34≤m ≤12, 即m 的取值范围为-34,12.4.解: (1)∵f (x )+2g (x )=|2x-a|+|2x+4|≥|2x-a-2x-4|=|-a-4|,当且仅当(2x-a )(2x+4)≤0时,等号成立,∴|a+4|=2,解得a=-2或-6.(2)由f (x )+g (x )<6得|2x-a|+|x+2|<6,当x ∈[1,2]时,|2x-a|+|x+2|=|2x-a|+x+2<6,即|2x-a|<4-x ,{2x -x <4-x ,2x -x >x -4,解得a-4<x<4+x 3, 由[1,2]⊆A ,∴{x +43>2,x -4<1,解得2<a<5,即a 的取值范围为(2,5).。

1、(长葛市第三实验高中2012届高三数学调研)已知函数()|2|,()|3|.f x x g x x m =-=-++（1）解关于x 的不等式()10()f x a a R +->∈；（2）若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求m 的取值范围。

【解析】（1）不等式()10f x a +->，即210x a -+->。

当1a =时，不等式的解集是(,2)(2,)-∞+∞ ；当1a >时，不等式的解集为R ；当1a <时，即21x a ->-，即21x a -<-或者21x a ->-，即1x a <+或者3x a >-，解集为(,1)(3,)a a -∞+-+∞ 。

（5分）（2）函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，即23x x m ->-++对任意实数x 恒成立。

即23x x m -++>对任意实数x 恒成立。

由于23(2)(3)5x x x x -++≥--+=，故只要5m <。

所以m 的取值范围是(,5)-∞。

2、（濮阳市华龙区高级中学2012届高三数学上学期摸底）3、（哈尔滨市第六中学2011届高三数学第三次模拟）若关于x 的方程 243x x a a -++-=0有实根（1）求实数a 的取值集合A（2）若存在a A ∈，使得不等式22120t a t -+<成立，求实数t 的取值范围。

（1）0)3(416≥-+-=∆a a 即 2721≤≤-a所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=27,21A ---------5分（2）令212)(t t a a f ++-= 即 0)(m in <a f 即可 430127)27(2<<∴<+-=t t t f所以 4334<<-<<-t t 或----10分4、已知关于x 的不等式a a x x 2|||2|≥-+-.（I ）若1=a ，求不等式的解集；（II ）若不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围。

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题76不等式选讲最新考纲1.理解绝对值不等式的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b∈R)．2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.3.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.基础知识融会贯通1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．2．含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．3．不等式证明的方法(1)比较法①作差比较法知道a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，因此要证明a>b，只要证明a－b>0即可，这种方法称为作差比较法．②作商比较法由a >b >0⇔a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时，要证明a >b ，只要证明ab >1即可，这种方法称为作商比较法． (2)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，即“由因导果”的方法． (3)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法，即“执果索因”的方法．重点难点突破【题型一】绝对值不等式的解法【典型例题】已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|+|x +a |，g （x ）＝x +2．（1）当a ＝﹣1时，求不等式f （x ）＜g （x ）的解集； （2）设，且当，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝﹣1时，不等式f （x ）＜g （x ）化为|2x ﹣1|+|x ﹣1|﹣x ﹣2＜0， （i ）当x 时，不等式化为﹣（2x ﹣1）﹣（x ﹣1）﹣x ﹣2＜0，解得0＜x ．（ii ）当x ≤1时，不等式化为2x ﹣1﹣（x ﹣1）﹣x ﹣2＜0，解得x ≤1，（iii ）当x ＞1时，不等式化为2x ﹣1+x ﹣1﹣x ﹣2＜0，解得1＜x ＜2 综上，原不等式的解集为（0，2）． （2）由﹣a ≤x ，得﹣2a ≤2x ＜1，﹣2a ﹣1≤2x ﹣1＜0， 又0≤x +aa ，则f （x ）＝﹣（2x ﹣1）+x +a ＝﹣x +a +1， ∴不等式f （x ）≤g （x ）化为﹣x +a +1≤x +2， 得a ≤2x +1对x ∈[﹣a ，）都成立，故a≤﹣2a+1，即a，又a，故a的取值范围是（，]．【再练一题】求不等式4﹣2|x+2|≤|x﹣1|的解集．【解答】解：①当x≤﹣2时，原不等式可化为4﹣2（x﹣2）≤1﹣x，解得x，此时x；②当﹣2＜x＜1时，原不等式可化为4﹣2（x﹣2）≤1﹣x，解得x≥﹣1，此时﹣1≤x＜1；③当x≥1时，原不等式可化为4﹣2（x﹣2）≤x﹣1，解得x，此时x≥1．综上，原不等式的解集为（﹣∞，]∪[﹣1，+∞）．思维升华解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式．(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式．(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．【题型二】利用绝对值不等式求最值【典型例题】已知函数f（x）＝|x+1|，g（x）＝2|x|+a．（1）当a＝﹣1时，解不等式f（x）≤g（x）；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）g（x0），求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a＝﹣1时，由f（x）≤g（x）得，|x+1|≤2|x|﹣1；x≤﹣1时，﹣x﹣1≤﹣2x﹣1，解得：x≤﹣1；﹣1＜x≤0时，x+1≤﹣2x﹣1，解得：﹣1＜x；x＞0时，x+1≤2x﹣1，解得：x≥2；∴不等式f（x）≤g（x）的解集为{x|x，或x≥2}；（2）存在x0∈R，使得f（x0）g（x0），即存在x0∈R，使得|x0+1|≤|x0|；即存在x0∈R，使得|x0+1|﹣|x0|；设h（x）＝|x+1|﹣|x|，则h（x）的最小值为﹣1；∴1；即a≥﹣2；∴实数a的取值范围为：[﹣2，﹣∞）．【再练一题】已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，（Ⅰ）解不等式f（x）≤9；（Ⅱ）若不等式f（x）＜2x+a的解集为A，B＝{x|x2﹣3x＜0}，且满足B⊆A，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）≤9可化为|2x﹣4|+|x+1|≤9，故，或，或；…解得：2＜x≤4，或﹣1≤x≤2，或﹣2≤x＜﹣1；…不等式的解集为[﹣2，4]；…（Ⅱ）易知B＝（0，3）；…所以B⊆A，又|2x﹣4|+|x+1|＜2x+a在x∈（0，3）恒成立；…⇒|2x﹣4|＜x+a﹣1在x∈（0，3）恒成立；…⇒﹣x﹣a+1＜2x﹣4＜x+a﹣1在x∈（0，3）恒成立；…故思维升华求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种(1)利用绝对值的几何意义．(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|.(3)利用零点分区间法．【题型三】绝对值不等式的综合应用【典型例题】已知不等式x+|x﹣a|≥1的解集为R．（1）求a的取值范围；（2）当a取得最小值时，请画出f（x）＝x+|x﹣a|的图象．【解答】解：（1）∵x+|x﹣a|≥x﹣x+a＝a，∴不等式x+|x﹣a|≥1的解集为R等价于a≥1，a的取值范围是[1，+∞）（2）由（1）知a＝1，f（x）＝x+|x﹣1|，图象如下：【再练一题】设函数f（x）＝|2x﹣4|+1．（Ⅰ）求不等式f（x）≥x+3的解集；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）﹣2|x+2|≥a在实数范围内有解，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）≥x+3，即|2x﹣4|+1≥x+3，则2|x﹣2|≥x+2，当x≥2时，解得x≥6，当x＜2，解得x，所以原不等式的解集为（﹣∞，）∪（6，+∞）（Ⅱ）由不等式f（x）﹣2|x+2|≥a在实数范围内有解可得：a≤2|x﹣2|﹣2|x+2|+1在实数范围内有解，令g（x）＝2|x﹣2|﹣2|x+2|+1，则a≤g（x）nax，因为g（x）＝2|x﹣2|﹣2|x+2|+1≤2|（x﹣2）﹣（x+2）|+1＝9，所以a≤g（x）max＝9，即a∈（﹣∞，9]．思维升华(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．【题型四】用综合法与分析法证明不等式【典型例题】用综合法或分析法证明：（1）求证2．（2）已知a+b+c＝1，a，b，c为正实数，证明8．【解答】证明（1）要证2，只需证明（）2＞（）2，即证明22，也就是证明42＞40，上式显然成立，故原结论成立．（2）（分析法）要证明8，∵a+b+c＝1，只要证明••8，∵，，，∴相乘可得；（综合法）∵a，b，c为正实数，∴，，，∴••8，∵a+b+c＝1，∴8．【再练一题】已知函数f（x）＝x3，x∈[0，1]．（1）用分析法证明：f（x）≥1﹣x+x2；（2）证明：．【解答】证明：（1）∵x ∈[0，1]，∴x +1∈[1，2]． 要证明：f （x ）≥1﹣x +x 2，只要证明：x 3（x +1）+1≥（x +1）（1﹣x +x 2）， 只要证明：x 4≥0， 显然成立，∴f （x ）≥1﹣x +x 2； （2）∵1﹣x +x 2＝（x ）2，当且仅当x时取等号，∵f （），f （x ）≥1﹣x +x 2，∴f （x ），（2）∵0≤x ≤1，∴x 3≤x ， ∴f （x ）≤x ，设g （x ）＝x ，x ∈[0，1]，∴g ′（x ）＝10，∴g （x ）在[0，1]上单调递增， ∴f （x ）≤g （1）， 综上所述明． 思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野． 所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.基础知识训练1．已知()()0f x x a a =−>．（1）若函数()()()2F x f x f x =+的最小值为3，求实数a 的值；（2）若2a =时，函数()()()g x f x f x =−−的最大值为k ，且()230,0m n k m n +=>>．求123m n+的最小值．【答案】（1）6（2）2 【解析】解：（1）0a >，2aa ∴<，∴函数()()3222232x a x aa F x x a x a x x a a a x x ⎧⎪−>⎪⎪⎛⎫=−+−=≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫−<⎪ ⎪⎝⎭⎩∴当2a x =时，函数()F x 的最小值为322a aF ⎛⎫== ⎪⎝⎭，6a ∴=．（2）当2a =时，()22g x x x =−−+，()()22224x x x x −−+≤−−+=，4k ∴=，所以234m n +=因为()12112134123442343434n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，所以当343n m m n =，即2n =，1m =时，123m n +最小值为2 2．选修4-5：不等式选讲 已知正实数,ab 满足2a b+=. ≤(Ⅱ) 若对任意正实数,a b ，不等式|1||3|x x ab +−−≥恒成立，求实数x 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)见解析.(Ⅱ)3[,)2+∞. 【解析】(Ⅰ)22()262()212a b a b=+++≤+++=≤(Ⅱ)对正实数,a b 有a b +…所以2≤，解得1ab ≤，当且仅当a b =时等号成立． 因为对任意正实数,a b ，|1||3|x x ab +−−≥恒成立， 所以|1||3|1x x +−−≥恒成立．当1x ≤−时，不等式化为1(3)1x x −−−−≥，整理得41−≥，所以不等式无解； 当13x −<<时，不等式化为1(3)1x x +−−≥，解得332x ≤≤； 当3x ≥时，不等式化为1(3)1x x +−−≥，整理得41≥，不等式恒成立． 综上可得x 的取值范围是3[,)2+∞． 3．已知函数()||,f x x x a a R =+∈． （1）若()()111f f +−>，求a 的取值范围； （2）若0a <，对,(,]x y a ∀∈−∞−，不等式3(2)4f x y y a≤+++恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）30.1/mol L NaHCO ；（2）[)3,0−. 【解析】（1）由()()111f f +−>得111a a +−−>， 若1a ≤−，则111a a −−+−>，显然不成立； 若11a −<<，则111a a ++−>，12a >，即112a ＜＜； 若1a ≥，则111a a +−+>，即21>，显然成立， 综上所述，a 的取值范围是30.1/mol L NaHCO ． （2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需3))42((max min f x y ay ≤+++， 当(,]x a ∈−∞−时，()()f x x x a =−+，所以2()24maxa a f x f ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭；因为223344a y y a +++≥−，所以23442a a ≤−，解得31a −≤≤，结合0a <，所以a 的取值范围是[)3,0−． 4．已知函数()3f x x =−. （1）解不等式()241f x x −+≤；（2）当()1f m ≤，()22f n ≤时，存在,m n R ∈，使得42131m n a −−>−，求实数a 的取值范围。

第一节 绝对值不等式预习设计 基础备考知识梳理1．绝对值三角不等式定理1；如果a ，b 是实数，则|,|||||b a b a +≤+当且仅当 时，等号成立．定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|,|||||c b b a c a -+-≤-当且仅当 时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式a x a x ><|||与的解集：)0(||)2(>≤+c c b ax 和)0(||>≥+c c b ax 型不等式的解法：;||c b ax c c b ax ≤+≤-⇔≤+①c b ax c b ax ≥+⇔≥+||②或.c b ax -≤+)0(||||)3(>≥-+-c c b x a x 和)0(||||>≤-+-c c b x a x 型不等式的解法，①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想，③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．典题热身1．(2011．玉溪模拟)设,,,0R b a ab ∈<那么正确的是( )||||.h a b a A ->+ ||||||.b a b a B +<- ||||.b a b a c -<+ ||||||||.b a b a D -<- 答案：C2．不等式3|1|1<+<x 的解集为 ( ))2,0.(A )4,2()0,2.( -B )0,4.(-c )2,0()2,4.( --D答案：D3．不等式x x 32|12|-<-的解集是 ( )}21|.{<x x A }5321|.{<≤x x B }53|.{<x x c }53|.{>x x D 答案：C4．若不等式4|3|<-b x 的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围为答案：(5，7)5．已知关于x 的不等式0|5||2|>----k x x 的解集为R ，则实数A 的范围是答案：)3,(--∞课堂设计 方法备考题型一 绝对值不等式性质定理的应用【例1】,||m a x <-“且”m a y <-||是,,2||y x m y x ”（“<-）R m a ∈,的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件答案：A题型二 绝对值不等式的解法【例2】（2011．江苏高考）解不等式.3|12|<-+x x题型三 含参数的绝对值不等式问题【例3】若关于x 的不等式a x x ≤-++|1||2|的解集为,∅求实数a 的取值范围．题型四 绝对值不等式的证明问题【例4】设,)(2c bx ax x f ++=当1||≤x 时，总有,1|)(|≤x f 求证：.8|)2(|≤f随堂反馈1．已知α、β是实数，给出下列四个论断：①；||||||βαβα+=+②|;|||βαβα+≤-③;22||,22||>>βα④.5||>+βα以其中的两个论断为条件，其余两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，2．已知.4|1|)(,2|3|)(++-=---x x g x x f(1)若函数）x f (的值不大于1，求x 的取值范围；(2)若不等式1)()(+≥-m x g x f 的解集为R ，求m 的取值范围．3．（2011．福建高考）设不等式1|12|<-x 的解集为M.(1)求集合M;(2)若,,M b a ∈试比较1+ab 与b a +的大小．4．(2011．课标全国卷)设函数.1|42|)(+-=x x f(1)画出函数)(x f y =的图像；(2)若不等式ax x f ≤)(的解集非空，求a 的取值范围．高效作业 技能备考1．(2011．陕西高考)若关于x 的不等式|2||1|||-++≥x x a 存在实数解，则实数a 的取值范围是 答案：),3(|3,(+∞---∞2．（2010．福建高考）已知函数.||)(a x x f -=(1)若不等式3)(≤x f 的解集为},51|{≤≤-x x 求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若m x f x f ≥++)5()(对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．3．(2011．吉林省质检)设函数.21)(a x x x f +-+=(1)当5-=a 时，求函数)(x f 的定义域；(2)若函数)(x f 的定义域为R ，试求a 的取值范围．4．(2011．沈阳市质检)已知函数).|5||1(|log )(2a x x x f --+-=(1)当a=2时，求函数)(x f 的最小值；(2)当函数)(x f 的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．5．（2011．银川一中月考）已知不等式.22|4||3|a x x <-+-(1)若,1=a 求x 的取值范围；(2)若已知不等式解集不是空集，求a 的取值范围．6．（2011．辽宁高考）已知函数.|5||2|)(---=x x x f(1)证明：;3)(3≤≤-x f(2)求不等式158)(2+-≥x x x f 的解集．7．（2011．常州模拟）设全集.R U =(1)解关于x 的不等式);(01|1|R a x ∈>-+-α(2)记A 为(1)中不等式的解集，集合+-=)3sin(|{ππx x B },0)3cos(3=-ππx 若B A C u )(恰有3个元素，求a 的取值范围，。

含绝对值不等式的解法练习题高一数学（含解析）含绝对值不等式的解法练习题高一数学含绝对值不等式的解法练习题1.不等式1|2x-1|2的解集是( )A.(- ,0)(1, )B.(- ,0)][1, ])C.(- ,0)[1, ]D.(-,- )[1, ]答案：B解析：原不等式等价于-2-1或12.解得-2.假如a0,那么下列各式中错误的是( )A. B.a+cb+c C.adbd D.a-cb-c答案：C解析：反例可举d=0.3.已知a1,则不等式|x|+a1的解集是( )A.{x|a-1C. D.R答案：D解析：由|x|+a1,得|x|1-a.∵a1,1-a0.故该不等式的解集为R.4.在数轴上与原点距离不大于2的点的坐标的集合是( )A.{x|-2C.{x|-22}D.{x|x2或x-2}答案：C解析：由绝对值的几何意义易知.5.关于任意实数x,不等式|x|m-1恒成立,则实数m的取值范畴是_______ __________.答案：m1解析：|x|m-1对一切实数x恒成立,则m-1应不大于|x|的最小值,即m-10,得m1.6.|x-1||x+1|的解集是______________.答案：{x|x0}解析：原不等式可化为(x-1)2(x+1)2,解得x0.7.已知集合A={x||x+7|10},B={x|?|x-5|?2c},又AB=B,求实数c的范畴.解：先解|x+7|10,得x+710或x+7-10,有x3或x-17,即A={x|x3若x-17}.由AB=B得B A,对B讨论如下情形:(1)B= 有c(2)B 有c0,解|x-5|2c,得-2c解得c-11或c1.取c1,即0由(1)(2)知实数c的取值范畴是{c|c{c|0能力提升踮起脚,抓得住!8.已知集合M={x| 1},P={x|x-t0},要使MP= ,则t的取值范畴是( )A.{t|t1}B.{t|t1}C.{t|t1}D.{t|t1}答案：A解析：M={x|-11},P={x|xt},由MP= 知t1.9.若|x-4|+|x-3|A.aB.aC.aD.a3或a-4答案：B解析：由几何意义:|x-4|+|x-3|的最小值为1,则当a1时,原不等式的解集为空集.10.不等式|6-|2x+1||1的解集是________________.答案：{x|x-4或-3解析：原不等式等价于6-|2x+1|1或6-|2x+1|-1,又等价于-55或2x+17或2x+1-7.解之可得.11.不等式|x-2|+|x-3|9的解集是________________.答案：{x|-2解析：当x3时,原不等式为x-2+x-39,解得x7,即有3当23时,为x-2+3-x9,即19成立,即有2当x2时,为2-x+3-x9,解得x-2,即有-2综合得原不等式的解集为{x|37}{x|23}{x|-212.设A={x||2x-1|1},B={x||2x-a|1},AB= ,AB=R,求实数a的值.解：|2x-1|1 2x-11或2x-1-1,即x1或x0,即A={x|x1或x解|2x-a|1,得-11,即,即B={x| }.由AB= ,AB=R,图示如下:可得解得a=1.13.关于实数x的不等式|x- | 与|x-a-1|a的解集依次记为A与B,求使A B的a的取值范畴.解：由|x- | ,得- ,因此2aa2+1.由|x-a-1|a,得-ax-a-1a,则12a+1,要使A B,就必须即故a的取值范畴为2.拓展应用跳一跳，够得着!14.已知aR,则(1-|a|)(1+a)0的解集为( )A.|a|B.aC.|a|D.a1且a-1答案：D解析：(1)a0时,(1-|a|)(1+a)=(1-a)(1+a)a(2)a0时,(1+a)(1+a)=(1+a)20,且a-1.综合知a1,且a-1.15.已知关于x的不等式|x+2|+|x-3|答案：a5解析：∵|x+2|+|x-3|5恒成立,当a5时,|x+2|+|x-3|故要使|x+2|+|x-3|16.设不等式|x+1|-|x-2|k的解集为R,求实数k的取值范畴.解法一：依照绝对值的几何意义,|x+1|能够看作数轴上点P(x)到点A(-1)的距离|PA|,|x-2|能够看作是数轴上点P(x)到点B(2)的距离|PB|,则|x+1|-|x-2|=| PA|-|PB|.如图所示:当点P在线段AB上时,-3|PA|-|PB|3,当P在A点左侧时,|PA|-|PB|=-3,当P在B点右侧时,|PA|-|PB|=3,则不等式-3|x+1|-|x-2|3恒成立.故使原不等式的解集为R的实数k的取值范畴是k-3.解法二:令y=|x+1|-|x-2|课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也专门难做到恰如其分。

2021届高考数学一轮经典例题 含绝对值的不等式解法 理例1 不等式|8－3x|＞0的解集是[ ]A B RC {x|x }D {83}．．．≠． 83 分析∵－＞，∴－≠，即≠． |83x|083x 0x 83答 选C ．例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是[ ]A ．3B ．2C ．－2D ．－5分析 列出不等式． 解 根据题意得2＜|x|≤5．从而－5≤x ＜－2或者2＜x ≤5，其中最小整数为－5， 答 选D ．例3 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析 利用所学知识对不等式施行同解变形．解 原不等式可化为4＜|3x －1|≤7，即4＜3x －1≤7或者－7≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为－≤＜－或＜≤．3x 14x 2x 1{x|2x 1x }53835383例4 集合A ＝{x|2＜|6－2x|＜5，x ∈N}，求A ． 分析 转化为解绝对值不等式． 解 ∵2＜|6－2x|＜5可化为2＜|2x －6|＜5即－＜－＜，－＞或－＜－，52x 652x 622x 62⎧⎨⎩ 即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4⎧⎨⎩解之得＜＜或＜＜．4x x 211212因为x ∈N ，所以A ＝{0，1，5}． 说明：注意元素的限制条件． 例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么[ ]A ．|a －b|＜|a|＋|b|B ．|a ＋b|＞|a －b|C ．|a ＋b|＜|a －b|D ．|a －b|＜||a|＋|b||分析 根据符号法那么及绝对值的意义． 解 ∵a 、b 异号， ∴ |a ＋b|＜|a －b|． 答 选C ．例6 设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，那么a ，b 的值是[ ]A ．a ＝1，b ＝3B ．a ＝－1，b ＝3C ．a ＝－1，b ＝－3D a b ．＝，＝1232分析 解不等式后比拟区间的端点．解 由题意知，b ＞0，原不等式的解集为{x|a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为{x|－1＜x ＜2}所以比拟可得．a b 1a b 2a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．⎧⎨⎩1232 答 选D ．说明：此题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组． 例7 解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R) 分析 分类讨论．解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 112式的解集为；∅若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 12x ＜m ．综上所述得：当≤时原不等式解集为；当＞时，原不等式的解集为m m 1212∅{x|1－m ＜x ＜m}．说明：分类讨论时要预先确定分类的HY ．例解不等式－＋≥．8 3212||||x x分析 一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数，所以能直接去分母．解 注意到分母|x|＋2＞0，所以原不等式转化为2(3－|x|)≥|x|＋2，整理得|x|x {x|x }≤，从而可以解得－≤≤，解集为－≤≤．4343434343说明：分式不等式常常可以先断定一下 分子或者者分母的符号，使过程简便．例9 解不等式|6－|2x ＋1||＞1．分析 以通过变形化简，把该不等式化归为|ax ＋b|＜c 或者|ax ＋b|＞c 型的不等式来解．解 事实上原不等式可化为6－|2x ＋1|＞1①或者 6－|2x ＋1|＜－1②由①得|2x ＋1|＜5，解之得－3＜x ＜2； 由②得|2x ＋1|＞7，解之得x ＞3或者x ＜－4．从而得到原不等式的解集为{x|x ＜－4或者－3＜x ＜2或者x ＞3}． 说明：此题需要屡次使用绝对值不等式的解题理论．例10 关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －3|＜a 的解集是非空集合，那么实数a的取值范围是________．分析可以根据对|x＋2|＋|x－3|的意义的不同理解，获得多种方法．解法一当x≤－2时，不等式化为－x－2－x＋3＜a即－2x＋1＜a有解，而－2x＋1≥5，∴a＞5．当－2＜x≤3时，不等式化为x＋2－x＋3＜a即a＞5．当x＞3是，不等式化为x＋2＋x－3＜a即2x－1＜a有解，而2x－1＞5，∴a ＞5．综上所述：a＞5时不等式有解，从而解集非空．解法二 |x＋2|＋|x－3|表示数轴上的点到表示－2和3的两点的间隔之和，显然最小值为3－(－2)＝5．故可求a的取值范围为a＞5．解法三利用|m|＋|n|＞|m±n|得|x＋2|＋|x－3|≥|(x＋2)－(x－3)|＝5．所以a＞5时不等式有解．说明：通过多种解法锻炼思维的发散性．例11 解不等式|x＋1|＞2－x．分析一对2－x的取值分类讨论解之．解法一原不等式等价于：①－≥＋＞－或＋＜－2x0x12x x1x2⎧⎨⎩或②－＜∈2x0 x R⎧⎨⎩由①得≤＞或＜－x 2x 1212⎧⎨⎪⎩⎪ 即≤＞，所以＜≤；x 2x x 21212⎧⎨⎪⎩⎪ 由②得x ＞2．综合①②得＞．所以不等式的解集为＞．x {x|x }1212分析二 利用绝对值的定义对|x ＋1|进展分类讨论解之． 解法二 因为|x 1| x 1x 1x 1x 1＋＝＋，≥－－－，＜－⎧⎨⎩原不等式等价于：①≥＞或②＜＞x x x x x x ++-⎧⎨⎩+---⎧⎨⎩10121012 由①得≥＞即＞；x x -⎧⎨⎪⎩⎪11212 x 由②得＜－－＞即∈．x 112 x ⎧⎨⎩∅所以不等式的解集为＞．{x|x }12例12 解不等式|x －5|－|2x ＋3|＜1．分析 设法去掉绝对值是主要解题策略，可以根据绝对值的意义分区间讨论，事实上，由于＝时，－＝，＝－时＋＝．x 5|x 5|0x |2x 3|032所以我们可以通过－，将轴分成三段分别讨论．325x解当≤－时，－＜，＋≤所以不等式转化为 x x 502x 3032－(x －5)＋(2x ＋3)＜1，得x ＜－7，所以x ＜－7；当－＜≤时，同理不等式化为32x 5－(x －5)－(2x ＋3)＜1，解之得＞，所以＜≤；x x 51313当x ＞5时，原不等式可化为 x －5－(2x ＋3)＜1， 解之得x ＞－9，所以x ＞5．综上所述得原不等式的解集为＞或＜－．{x|x x 7}13说明：在含有绝对值的不等式中，“去绝对值〞是根本策略． 例13 解不等式|2x －1|＞|2x －3|．分析 此题也可采取前一题的方法：采取用零点分区间讨论去掉绝对值，但这样比较复杂．如果采取两边平方，即根据＞＞解|a||b|a b 22之，那么更显得流畅，简捷．解 原不等式同解于(2x －1)2＞(2x －3)2，即4x 2－4x ＋1＞4x 2－12x ＋9， 即8x ＞8，得x ＞1．所以原不等式的解集为{x|x ＞1}．说明：此题中，假如把2x 当作数轴上的动坐标，那么|2x －1|＞|2x －3|表示2x到1的间隔大于2x到3的间隔，那么2x应当在2的右边，从而2x＞2即x ＞1．。

典型例题一例1解不等式x+1 A|2X—3 —2a（a 启0）分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念a=丿' ，将不等式中的绝对符号去-a（a c 0）掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解.去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论.3x = -1，令2x _3 = 0 ,••• x = 2，如图所示.(1 )当x _ -1时原不等式化为-(X • 1) • _(2x -3) - 2•x - 2与条件矛盾，无解.3（2 ）当-1：：：x 时，原不等式化为xT・-（2x-3）-2 .23•x 0 ,故0 ：x _23（3）当x 时，原不等式化为23x 1 2x -3 - 2 . • x 6，故x ：6 .2综上，原不等式的解为*0 ：：：x ：：：说明：要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏.典型例题二例2求使不等式x -4 + x -3 va有解的a的取值范围.分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便.解法一：将数轴分为- ：：,3,[3,4],（4「：）三个区间7 — a 7 — a当x 3时，原不等式变为（4 -X）■ （3 -X）：：：a,x 有解的条件为3，即a 1 ;2 2当3 - x - 4时，得（4 -X）■ （x -3）：：：a，即a 1 ；+ 7 a+ 7a当x - 4时，得（x -4厂（x -3）：：： a，即x ，有解的条件为 4 • a 1 .2 2以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为解法二：设数X , 3, 4在数轴上对应的点分别为P , A , B ,如图，由绝对值的几何定义，原不等式PA +|PB va 的意义是P 到A 、B 的距离之和小于a .因为AB =1，故数轴上任一点到 A 、B 距离之和大于（等于 1）,即x-4 + x-3>1，故当a>1时,x - 4 +|x -3 <a 有解.典型例题三分析：根据条件凑x - a, y - b . 证明： xy _ab =|xy _ ya + ya _ab= |y(x —a)+a(y —b)勻y|x —a +|a ，y —b cM说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法.典型例题四2 ,2a — b例4求证 _ 曰a - b分析：使用分析法证明••• a| >0，二只需证明，两边同除b 2，即只需证明2 2a -ba 2(-)2 -1 > a 2(-)2 abbb2bba >1时， a 2 (—)2 -1 a 2=(—)2 -1 > (-)2 _a ;当 a bbbbbb :::1时,例3已知x -a c —2My -b| £ 打，y E (0,M )，求证 xy — ab2Mba b 0，原不等式显然成立.•••原不等式成立.说明：在绝对值不等式的证明，常用分析法•本例也可以一开始就用定理:a(1)如果—>1，则a-b 兰0，原不等式显然成立.b典型例题五分析：本题的证法很多，下面给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们 联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明.x 1 x -11 证明：设f (X )1 --1+x 1+x1+xf (x)分别在区间(」：，-1)，区间(-1, •：：)上是增函数. 又 0 _ a b _ a | " |b , • f(a b) _ f (a b) 即 a +b|兰 l a | +|b | _ |a | + |b | 兰 |a| 十 |b |1 +|a +b | _1 +同 +冋 _1 +|a | +|b | 1 +|a |+|b | _ 1 +|a | 1 +|b |•••原不等式成立.说明：在利用放缩法时常常会产生如下错误：••• a +b 兰 a +|b , 1 +a +b >0 ,...a +b 兰 l a [+|b [ _」a | _ + 川 兰」a l .忖_ .1+a+b 1+|a +b | 1+|a +b | 1+|a +b | 1+|a | 1 +|b |错误在不能保证1 +|a +b K 1 +a , 1 +|a +b K 1 + b .绝对值不等式 a ±b E|a +|b 在运用放缩法证明不等 式时有非常重要的作用，其形式转化比较灵活.放缩要适度，要根据题目的要求，及时调整放缩的形式结 构.典型例题六例5求证1b b a 2 -b 22—|b/ 一卩1 “laa ,b(2)如果b <1，则a l>|-b ，利用不等式的传递性知a_ £，b | >|a _ b ,•••原不等式也成立.定义域为{ x x E R ，且x 工一1},空0 JL 与x^3(a 1)x 2(3a 1) <0 (^ R)的解集依次为 _ 2 A 与B ，求使A 二B 的a 的取值范围.分析：分别求出集合A 、B ，然后再分类讨论.所以a 的取值范围是 A B 的a 时，要注意关于a 的不等式组中有没有等号，否则会导致误解.典型例题七例6已知数列通项公式 a^Sina - Sin2a -岂23翌亠'亠岂^匹 对于正整数 m 、n ,当m • n 时，求证:222 23 2n1am 一an 吒―.2n分析：已知数列的通项公式是数列的前n 项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再利用不等式印乜2 •…鸟| |印| "禺"，"总，问题便可解决.例6关于实数x 的不等式x_(a 1)2 解：解不等式x(a 1)2 ... (a-1)2 -2 ，(a -1)... (a -1)2— ,22a zx za 2 1, a 三 R 二解不等式 x 2 -3(a 1)x 2(3a 1) _0 , [x -(3a 1)](x -2) _0 .1当a 时（即3a 1 2时），得B =』x 2 兰 x 兰3a +1, a a 」>.1当a 时（即3a • 1乞2时）,得3B =』x 3a+1Wx^2,aE — >.1 当a •-时，要满足 3A -B ,必须2；二2,故1兰a 兰3 ;a 2 +1 兰 3a +1,1当匕时，要满足必须鮎 23a+1, 2 Ka 2 +1;a <-1, —1兰aM1,说明：在求满足条件1 1尹ORJ21 1 1 1-（1 二）n （o ：：：1 二门）• 2“ 』 2* 2皿』11 11 1说明： 一T—r一是以 一T 为首项，以-为公比，共有 m -n 项的等比数列的和，误认为2n12n*22 m 2-T 2共有m -n -1项是常见错误.正余弦函数的值域，即 sin 叫<1 , cosq <1，是解本题的关键•本题把不等式、三角函数、数列、 n 个变量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目•如果将本题中的正弦改为余弦，不等式同 样成立.典型例题八例 8 已知 f (x) =x 2 —x +13 , x —a c l ，求证：f (x) - f (a) v 2( a +1)分析：本题中给定函数f (x)和条件x-ac1 ,注意到要证的式子右边不含 x ,因此对条件x-ac1的 使用可有几种选择：(1)直接用；(2)打开绝对值用a -1 ：：： x ：：： a • 1 ,替出x ； (3)用绝对值的性质 x -a | |x -a | ；：1—x ::: a 1 进行替换.证明：T f (x) =x 2「x 13 f (a)二 a 2「a 13 ,T x —a| <1，二 x 一 a| 勻 x —a c l .••• x < a +1 ,f (x) _f (a) = x 2 _a 2+a _x = (x —a)(x a) 一(x —a) =(x -a)(x +a T)二am -a n =sin(n 1)a si n(n 2)a 2n 1.....込sin(n +1)asin(n +2)a2^2=x —a x +a -1c|x +a T v x +|a +1 £a +1 +|a +1 =2( a +1),解法一：不等式两边平方得：(3 -X )2(2 x)2 (3 x)2(2 -x)2 .• (x 2 _x _6)2 (x 2 x —6)2，即(x 2 _x _6 x 2 x _6)(x 2 _ x — 6 _x 2 _ x 6) 0 ,2• x(6 —x ) 0，又 0 ：： x ：：3 .解法二：•/ x 0 ,•可分成两种情况讨论：3 — x 2 — x(1)当0：：：x 乞2时，不等式组化为 (0：：：x 乞2 ).3+x 2+x解得0 ： x 岂2 .3 _x x_2⑵当心时，不等式组可化为乔=药(5)，综合(1)、(2)得，原不等式组的解为 0 ：：：x ：：：，选C .说明：本题是在x 0的条件下，解一个含绝对值的分式不等式，如何去绝对值是本题的关键所在, 必须注意，只有在保证两边均为非负数时，才能将不等式两边同时平方.另一种方法则是分区间讨论，从 而去掉绝对值符号.当然本即 f(x) —f (a) ：：：2(a 1).说明：这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运 用•分析中对条件 x —a <1使用时出现的三种可能是经常碰到的，要结合求证，灵活选用.典型例题九例9不等式组 x 0<3 —x 2 —x 的解集是(3 +x > 2 +x)•A .窗 0 : x ：：2 ?B. ： x 0 ：：： x ：：： 25分析：本题是考查含有绝对值不等式的解法,3-x 3 x3 _ x ,知 . 0 , - 3：：：x ：；3，又 x 0 ,• 0 :: x ：：3，解原不等式组实为解不等式 3-x 2-x3 + x 》2 +x(0 ：： x ：： 3 ).f 2X 2 -6 <0 0 <x c3• 0 ：：： x ：：： -. 6 .选 C.题还可用特殊值排除法求解.典型例题十例 10 设二次函数 f (X) =ax ?+bx +c (a 〉0，且 b^O )，已知 b 兰a , f (0) <1, f(—1)兰 1, f (1) <1 , 5 当x <1时，证明f (x)兰上.4分析：从a>0知，二次函数的图像是开口向上的抛物线；从 x|E1且f(-1)|兰1 , f (1) <1知，要求证的是f(x)兰工，所以抛物线的顶点一定在x 轴下方，取绝对值后，图像翻到x 轴上方•因此抛物线的顶点4的取值非常重要，也是解这道题的关键所在.证明：•/ 2b =|(a+b+c) _(a _b+c)_ a b c | _|a -b c二 f(1)| 屮(-1) <1 1=2 ,••• b <1 .又••• b <a , • b <1 .af (丄)卜c - b 2 兰c +2a 丨4a 1 14a11而f(x)的图像为开口向上的抛物线，且x <1 ,•••| fg , | …，f(£Wf(-*)2a 4ac -b 2 b 2 ——c ■4a ' 又 c = f(0) <1 ,• f (x)的最大值应在x =1 ,x = T 或x —处取得.2a2a 2ba5••• f（x）乞5.4说明：本题考查了绝对值不等式的性质、二次函数的最值及分类讨论的思想和逻辑思维的能力，关键是通过对参数a，b，c的分析，确定抛物线顶点的取值范围，然后通过比较求出函数在x乞1范围内的最大值.。

2014年12月28日高中数学不等式与绝对值不等式一．解答题（共30小题）1．（2015•开封模拟）已知a，b都是正实数，且a+b=1（Ⅰ）求证：≥4；（Ⅱ）求的最小值．2．（2014•河南）若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．3．（2014•广安一模）已知函数f（x）=m+log a x（a＞0且a≠1）的图象过点（8，2），点P（3，﹣1）关于直线x=2的对称点Q在f（x）的图象上．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）令g（x）=2f（x）﹣f（x﹣1），求g（x）的最小值及取得最小值时x的值．4．（2014•天津一模）若满足ab=a+b+3的任意正数a，b均有|x﹣6|≤ab，则实数x的取值范围是_________．5．（2014•望江县模拟）当a＞0，b＞0时，不等式+≥，则λ的最大值为_________．6．（2014•河南二模）若2x+y=2，则32x+3y的最小值为_________．7．（2014•宁波模拟）若x，y∈R，xy≠0且x2+my2=mxy，则实数m的取值范围是_________．8．（2014•呼和浩特二模）已知a∈R，设关于x的不等式|2x﹣a|+|x+3|≥2x+4的解集为A．（Ⅰ）若a=1，求A；（Ⅱ）若A=R，求a的取值范围．9．（2014•安阳一模）已知a和b是任意非零实数．（1）求的最小值．（2）若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，求实数x的取值范围．10．（2014•宜春模拟）若不等式|x﹣a|﹣|x|＜2﹣a2对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是_________．11．（2014•郑州一模）选修4﹣5：不等式选讲已知关于x的不等式|2x+1|﹣|x﹣1|≤log2a（其中a＞0）．（1）当a=4时，求不等式的解集；（2）若不等式有解，求实数a的取值范围．12．（2014•福建模拟）已知函数f（x）=log2（|x﹣1|+|x﹣5|﹣a）（Ⅰ）当a=5时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）当函数f（x）的定义域为R时，求实数a的取值范围．13．（2014•辽宁模拟）设函数f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|，x∈R．（1）解不等式f（x）≤5；（2）若的定义域为R，求实数m的取值范围．14．（2014•甘肃二模）设函数f（x）=|x﹣2a|，a∈R．（1）若不等式f（x）＜1的解集为{x|1＜x＜3}，求a的值；（2）若存在x∈R，使得f（x）+x＜3成立，求a的取值范围．15．（2014•洛阳一模）选修4﹣5：不等式选讲设函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤|a﹣2|的解集为R，求实数a的取值范围．16．（2014•河南二模）已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．17．（2014•洛阳二模）设f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当﹣1≤x≤3时，f（x）≤3，求a的取值范围；（Ⅱ）若对任意x∈R，f（x﹣a）+f（x+a）≥1﹣2a恒成立，求实数a的最小值．18．（2014•呼和浩特一模）选修4﹣5：不等式选讲设函数f（x）=|3x﹣1|+ax+3．（1）若a=1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．19．（2014•郑州一模）设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a＜4）．（Ⅰ）若f（x）的最小值为3，求a值；（Ⅱ）求不等式f（x）≥3﹣x的解集．20．（2014•银川模拟）已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x﹣1）+f（1﹣x）≤2；（Ⅱ）若a＜0，求证：f（ax）﹣af（x）≥f（a）．21．（2013•安阳模拟）设函数f（x）=|2x﹣a|+5x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=3时，求不等式f（x）≥5x+1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．22．（2014•吉林二模）已知关于x的不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1（a＞0）．（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．23．（2014•长葛市三模）已知函数f（x）=|x﹣3a|，（a∈R）（I）当a=1时，解不等式f（x）＞5﹣|2x﹣1|；（Ⅱ）若存在x0∈R，使f（x0）+x0＜6成立，求a的取值范围．24．（2014•葫芦岛二模）已知函数f（x）=|x﹣3|+|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=0时，解关于x的不等式f（x）＞4；（Ⅱ）若∃x∈R，使得不等式|x﹣3|+|x﹣a|＜4成立，求实数a的取值范围．25．（2014•兴安盟一模）设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a＞1）．（1）若f（x）的最小值为3，求a的值；（2）在（1）的条件下，求使得不等式f（x）≤5成立的x的取值集合．26．（2014•河南一模）设函数f（x）=|2x﹣1|+|ax﹣3|，x∈R（Ⅰ）若a=1时，解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）若a=2时，g（x）=的定义域为R，求实数m的取值范围．27．（2014•海口二模）设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．28．（2014•福州模拟）已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x﹣1）≤2；（Ⅱ）当a＞0时，不等式2a﹣3≥f（ax）﹣af（x）恒成立，求实数a的取值范围．29．（2014•商丘三模）选修4﹣5：不等式选讲设函数f（x）=|x﹣3|+|x﹣2|+k．（1）若f（x）≥3恒成立，求k的取值范围；（2）当k=1时，解不等式：f（x）＜3x．30．（2014•邯郸一模）已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．2014年12月28日高中数学不等式与绝对值不等式参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2015•开封模拟）已知a，b都是正实数，且a+b=1（Ⅰ）求证：≥4；（Ⅱ）求的最小值．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（I）利用基本不等式的性质即可得出；（II）利用基本不等式的性质即可得出．解答：（I）证明：，（II）解：，即，又∵得，即，∴．∴当且仅当上式等号成立．点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．（2014•河南）若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．考点：基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥4，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（Ⅱ）根据ab≥4及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．解答：解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）由（1）可知，2a+3b≥2=2≥4＞6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．点评：本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．3．（2014•广安一模）已知函数f（x）=m+log a x（a＞0且a≠1）的图象过点（8，2），点P（3，﹣1）关于直线x=2的对称点Q在f（x）的图象上．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）令g（x）=2f（x）﹣f（x﹣1），求g（x）的最小值及取得最小值时x的值．考点：基本不等式；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）首先求出点P关于直线x=2的对称点，然后把点（8，2）和P的对称点的坐标代入函数f（x）的解析式联立解方程组可求f（x）的解析式；（Ⅱ）把f（x）的解析式代入函数g（x）=2f（x）﹣f（x﹣1），整理后把得到的函数中对数式的真数运用基本不等式求出最小值，然后借助于对数函数的单调性可求函数g（x）的最小值．解答：解析：（Ⅰ）点P（3，﹣1）关于直线x=2的对称点Q的坐标为Q（1，﹣1）结合题设知，可得，即，解得m=﹣1，a=2，故函数解析式为f（x）=﹣1+log2x．（Ⅱ）g（x）=2f（x）﹣f（x﹣1）=2（﹣1+log2x）﹣[﹣1+log2（x﹣1）]=（x＞1），∵，当且仅当即x=2时，“=”成立，而函数y=log2x在（0，+∞）上单调递增，则，故当x=2时，函数g（x）取得最小值1．点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了利用基本不等式求函数最小值，利用基本不等式求最值一定要注意应满足的条件，即“一正、二定、三相等”，是中档题．4．（2014•天津一模）若满足ab=a+b+3的任意正数a，b均有|x﹣6|≤ab，则实数x的取值范围是[﹣3，15]．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据基本不等式可将式子中的a+b用ab表示，代入题设等式中得关于的不等式方程，进而求得的范围，再解不等式求出范围，解答：解：∵正数a，b∴ab=a+b+3≥2+3∴ab≥2+3∴≥0∴≥3或≤﹣1，∴ab≥9则若满足ab=a+b+3的任意正数a，b均有|x﹣6|≤ab，必有|x﹣6|≤9，解得﹣3≤x≤15，则实数x的取值范围是[﹣3，15]．故答案为：[﹣3，15]．点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生对基本不等式的整体把握和灵活运用．5．（2014•望江县模拟）当a＞0，b＞0时，不等式+≥，则λ的最大值为8．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：根据基本不等式的性质a+b，化简计算即可．解答：解：∵+≥，a＞0，b＞0∴，∵，∴λ≤8，∴λ的最大值为8．故答案为：8．点评：本题主要考查了基本不等式的性质，属于基础题．6．（2014•河南二模）若2x+y=2，则32x+3y的最小值为6．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质、指数运算法则即可得出．解答：解：∵2x+y=2，则32x+3y≥==2=6，当且仅当2x=y=1时取等号．∴32x+3y的最小值为6．故答案为：6．点评：本题考查了基本不等式的性质、指数运算法则，属于基础题．7．（2014•宁波模拟）若x，y∈R，xy≠0且x2+my2=mxy，则实数m的取值范围是（﹣∞，0）∪[4，+∞）．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知变形利用二次函数的单调性即可得出．解答：解：∵x，y∈R，xy≠0且x2+my2=mxy，∴==，当分母大于0时，m≥4；当分母小于0时，m＜0．综上可得：m的取值范围是（﹣∞，0）∪[4，+∞）．故答案为：（﹣∞，0）∪[4，+∞）．点评：本题考查了二次函数的单调性、不等式的基本性质，属于中档题．8．（2014•呼和浩特二模）已知a∈R，设关于x的不等式|2x﹣a|+|x+3|≥2x+4的解集为A．（Ⅰ）若a=1，求A；（Ⅱ）若A=R，求a的取值范围．考点：绝对值三角不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（I）利用绝对值的几何意义，化去绝对值，解不等式，可得结论；（II）当x≤﹣2时，|2x﹣a|+|x+3|≥0≥2x+4成立，当x＞﹣2时，|2x﹣a|+|x+3|=|2x﹣a|+x+3≥2x+4，从而可求a 的取值范围．解答：解：（I）若a=1，则|2x﹣1|+|x+3|≥2x+4当x≤﹣3时，原不等式可化为﹣3x﹣2≥2x+4，可得x≤﹣3当﹣3＜x≤时，原不等式可化为4﹣x≥2x+4，可得3x≤0当x＞时，原不等式可化为3x+2≥2x+4，可得x≥2综上，A={x|x≤0，或x≥2}；（II）当x≤﹣2时，|2x﹣a|+|x+3|≥0≥2x+4成立当x＞﹣2时，|2x﹣a|+|x+3|=|2x﹣a|+x+3≥2x+4∴x≥a+1或x≤∴a+1≤﹣2或a+1≤∴a≤﹣2综上，a的取值范围为a≤﹣2．点评：本题考查绝对值不等式，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．9．（2014•安阳一模）已知a和b是任意非零实数．（1）求的最小值．（2）若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，求实数x的取值范围．考点：绝对值三角不等式．专题：计算题；压轴题．分析：（1）利用绝对值不等式的性质可得≥==4．（2）由题意可得|2+x|+|2﹣x|≤恒成立，由于的最小值为4，故有x的范围即为不等式|2+x|+|2﹣x|≤4的解集，解绝对值不等式求得实数x的取值范围．解答：解：（1）∵≥==4，故的最小值为4．（2）若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，即|2+x|+|2﹣x|≤恒成立，故|2+x|+|2﹣x|不大于的最小值．（4分）由（1）可知，的最小值为4，当且仅当（2a+b）（2a﹣b）≥0时取等号，∴的最小值等于4．（8分）∴x的范围即为不等式|2+x|+|2﹣x|≤4的解集．解不等式得﹣2≤x≤2，故实数x的取值范围为[﹣2，2]．（10分）点评：本题考查查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想．10．（2014•宜春模拟）若不等式|x﹣a|﹣|x|＜2﹣a2对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（﹣1，1）．考点：绝对值三角不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由条件利用|x﹣a|﹣|x|≥|a|可得|a|＜2﹣a2，即（|a|+2）（|a|﹣1）＜0，求得|a|的范围，可得实数a的取值范围．解答：解：根据|x﹣a|﹣|x|≥|（x﹣a）﹣x|=|a|，不等式|x﹣a|﹣|x|＜2﹣a2对x∈R恒成立，可得|a|＜2﹣a2恒成立，（|a|+2）（|a|﹣1）＜0，解得|a|＜1，即﹣1＜a＜1，故答案为：（﹣1，1）．点评：本题主要考查绝对值不等式的性质，得到，（|a|+2）（|a|﹣1）＜0，是解题的关键，体现了转化的数学思想，属于中档题．11．（2014•郑州一模）选修4﹣5：不等式选讲已知关于x的不等式|2x+1|﹣|x﹣1|≤log2a（其中a＞0）．（1）当a=4时，求不等式的解集；（2）若不等式有解，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）当a=4时，不等式即|2x+1|﹣|x﹣1|≤2，分类讨论，去掉绝对值，分别求出解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简f（x）=|2x+1|﹣|x﹣1|的解析式，求出f（x）的最小值为，则由，解得实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）当a=4时，不等式即|2x+1|﹣|x﹣1|≤2，当时，不等式为﹣x﹣2≤2，解得．（1分）当时，不等式为3x≤2，解得．（2分）当x＞1时，不等式为x+2≤2，此时x不存在．（3分）综上，不等式的解集为．（5分）（Ⅱ）设f（x）=|2x+1|﹣|x﹣1|=，故，即f（x）的最小值为．（8分）所以，当f（x）≤log2a有解，则有，解得，即a的取值范围是．（10分）点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．12．（2014•福建模拟）已知函数f（x）=log2（|x﹣1|+|x﹣5|﹣a）（Ⅰ）当a=5时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）当函数f（x）的定义域为R时，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；函数的定义域及其求法；函数的值域．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：（1）a=5时，表达式中对数的真数大于0，即|x﹣1|+|x﹣5|﹣5＞0，分情况讨论不等式的解集，最后取并集即可得到函数f（x）的定义域．（2）函数f（x）的定义域为R，即不等式|x﹣1|+|x﹣5|＞a恒成立，根据绝对值不等式的性质求出左边的最小值，即可得到实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）当a=5时，要使函数f（x）有意义，即不等式|x﹣1|+|x﹣5|﹣5＞0成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①①当x≤1时，不等式①等价于﹣2x+1＞0，解之得x；②当1＜x≤5时，不等式①等价于﹣1＞0，无实数解；③当x＞5时，不等式①等价于2x﹣11＞0，解之得x综上所述，函数f（x）的定义域为（﹣∞，）∪（，+∞）．（Ⅱ）∵函数f（x）的定义域为R，∴不等式|x﹣1|+|x﹣5|﹣a＞0恒成立，∴只要a＜（|x﹣1|+|x﹣5|）min即可，又∵|x﹣1|+|x﹣5|≥|（x﹣1）+（x﹣5）|=4，（当且仅当1≤x≤5时取等号）∴a＜（|x﹣1|+|x﹣5|）min即a＜4，可得实数a的取值范围是（﹣∞，4）．点评：本题给出含有绝对值的对数形式的函数，求函数的定义域并讨论不等式恒成立．着重考查了函数的定义域及其求法和绝对值不等式的解法与性质等知识，属于中档题．13．（2014•辽宁模拟）设函数f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|，x∈R．（1）解不等式f（x）≤5；（2）若的定义域为R，求实数m的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；函数的值域．专题：计算题；压轴题；分类讨论；转化思想．分析：（1）对不等式）|2x﹣1|+|2x﹣3|≤5，分x≥，＜x＜和x＜三种情况进行讨论，转化为一元一次不等式求解，把求的结果求并集，就是原不等式的解集．（2）的定义域为R，转化为则f（x）+m≠0恒成立，即f（x）+m=0在R上无解，求函数f（x）的最小值．解答：解：（1）或或不等式的解集为（2）若的定义域为R，则f（x）+m≠0恒成立，即f（x）+m=0在R上无解又f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|≥|2x﹣1﹣2x+3|=2，f（x）的最小值为2，所以m＞﹣2．点评：问题（1）考查绝对值的代数意义，去绝对值的过程体现了分类讨论的思想方法，属中档题；问题（2）考查应用绝对值的几何意义求最值，体现了转化的思想，属中等题．14．（2014•甘肃二模）设函数f（x）=|x﹣2a|，a∈R．（1）若不等式f（x）＜1的解集为{x|1＜x＜3}，求a的值；（2）若存在x∈R，使得f（x）+x＜3成立，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）解不等式f（x）＜1，可得2a﹣1＜x＜2a+1．再由此不等式的解集为{x|1＜x＜3}，可得2a﹣1=1，且2a+1=3，由此解得a的值．（2）由题意可得不等式|x﹣2a|＜3﹣x有解，即x﹣3＜x﹣2a＜3﹣x有解，即有解，即有解，由此求得a的范围．解答：解：（1）由于函数f（x）=|x﹣2a|，由不等式f（x）＜1，可得﹣1＜x﹣2a＜1，解得2a﹣1＜x＜2a+1．再由此不等式的解集为{x|1＜x＜3}，可得2a﹣1=1，且2a+1=3，解得a=1．（2）若存在x∈R，使得f（x）+x＜3成立，即不等式|x﹣2a|＜3﹣x有解，即x﹣3＜x﹣2a＜3﹣x有解，即有解，即有解，故有a＜，即a的范围为（﹣∞，）．点评：本题主要考查绝对值不等式额解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．15．（2014•洛阳一模）选修4﹣5：不等式选讲设函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤|a﹣2|的解集为R，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由于函数f（x）=|x+l|﹣|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣1对应点的距离减去它到2对应点的距离，而对应点到﹣1对应点的距离减去它到2对应点的距离正好等于2，由此可得不等式f（x）≥2 的解集．（Ⅱ）先求得f（x）的最大值等于3，则由题意可得3≤|a﹣2|，由此求得实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由于函数f（x）=|x+l|﹣|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣1对应点的距离减去它到2对应点的距离，而对应点到﹣1对应点的距离减去它到2对应点的距离正好等于2，故不等式f（x）≥2 的解集为[，+∞）．（Ⅱ）由不等式f（x）≤|a﹣2|的解集为R，可得f（x）的最大值小于或等于|a﹣2|．而f（x）的最大值等于3，∴3≤|a﹣2|，∴a﹣2≤﹣3，或a﹣2≥3．解得a≤﹣1，或a≥5，故实数a的取值范围为{a|a≤﹣1，或a≥5}．点评：本题主要考查绝对值的意义．绝对值不等式的解法，属于中档题．16．（2014•河南二模）已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．考点：绝对值不等式的解法；不等式的证明．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）根据f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，分类讨论求得不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集．（Ⅱ）要证的不等式即|ab﹣1|＞|a﹣b|，根据|a|＜1，|b|＜1，可得|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2 ＞0，从而得到所证不等式成立．解答：解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5；当﹣3≤x≤1时，f（x）≤8不成立；当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．所以，不等式f（x）≤4的解集为{x|x≤﹣5，或x≥3}．（Ⅱ）f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|．因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，所以|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所证不等式成立．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．17．（2014•洛阳二模）设f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当﹣1≤x≤3时，f（x）≤3，求a的取值范围；（Ⅱ）若对任意x∈R，f（x﹣a）+f（x+a）≥1﹣2a恒成立，求实数a的最小值．考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当﹣1≤x≤3时，f（x）=|x﹣a|≤3，即a﹣3≤x≤a+3．由此建立关于a的不等关系能求出a的取值范围．（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质得|x﹣2a|+|x|最小值就是2|a|，若f（x﹣a）+f（x+a）≥1﹣2a对x∈R恒成立，则只要满足2|a|≥1﹣2a，由此能求出实数a的最小值．解答：解：（Ⅰ）f（x）=|x﹣a|≤3，即a﹣3≤x≤a+3．依题意，由此得a的取值范围是[0，2]．…（4分）（Ⅱ）f（x﹣a）+f（x+a）=|x﹣2a|+|x|≥|（x﹣2a）﹣x|=2|a|．…（6分）当且仅当（x﹣2a）x≤0时取等号．解不等式2|a|≥1﹣2a，得a≥．故a的最小值为．…（10分）点评：本题考查不等式的解集的求法，考查满足条件的实数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意零点分段讨论法和绝对值不等式性质的合理运用．18．（2014•呼和浩特一模）选修4﹣5：不等式选讲设函数f（x）=|3x﹣1|+ax+3．（1）若a=1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；函数的值域．专题：压轴题；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）a=1时，f（x）=|3x﹣1|+x+3，分当时和当时两种情况，分别求出不等式的解集，再取并集即得所求．（Ⅱ）化简函数f（x）的解析式，为f（x）═，f（x）有最小值的充要条件为，由此求得实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=|3x﹣1|+x+3．当时，f（x）≤5可化为3x﹣1+x+3≤5，解之得；当时，f（x）≤5可化为﹣3x+1+x+3≤5，解之得．综上可得，原不等式的解集为．…（5分）（Ⅱ）函数f（x）有最小值的充要条件为，即﹣3≤a≤3，故实数a的取值范围是[﹣3，3]．…（10分）点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．19．（2014•郑州一模）设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a＜4）．（Ⅰ）若f（x）的最小值为3，求a值；（Ⅱ）求不等式f（x）≥3﹣x的解集．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）因为函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|≥|a﹣4|，由题意可得|a﹣4|=3，由此求得a的值．（2）不等式即|x﹣4|+|x﹣a|≥3﹣x，a＜4，分①当x＜a时、②当a≤x≤4时、③当x＞4时三种情况，去掉绝对值，求得不等式f（x）≥3﹣x的解集．解答：解：（1）因为函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|≥|（x﹣4）﹣（x﹣a）|=|a﹣4|，因为a＜4，所以当且仅当a≤x≤4时等号成立，故|a﹣4|=3，即a=1．（2）不等式f（x）≥3﹣x，即不等式|x﹣4|+|x﹣a|≥3﹣x，a＜4，①当x＜a时，原不等式可化为4﹣x+a﹣x≥3﹣x，x≤a+1．所以，当x＜a时，原不等式成立．②当a≤x≤4时，原不等式可化为4﹣x+x﹣a≥3﹣x，即x≥a﹣1，所以，当a≤x≤4时，原不等式成立．③当x＞4时，原不等式可化为x﹣4+x﹣a≥3﹣x，即x≥由于a＜4时4＞．所以，当x＞4时，原不等式成立．综合①②③可知：不等式f（x）≥3﹣x的解集为R．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论以及等价转化的数学思想，属于中档题．20．（2014•银川模拟）已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x﹣1）+f（1﹣x）≤2；（Ⅱ）若a＜0，求证：f（ax）﹣af（x）≥f（a）．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）依题意，f（x﹣1）+f（1﹣x）≤2⇔|x﹣2|+|x|≤2，通过对x范围的讨论，去掉式中的绝对值符号，解得每个不等式的解，最后取其并集即可；（Ⅱ）f（ax）﹣af（x）=|ax﹣1|﹣a|x﹣1|，a＜0时，|利用绝对值不等式|ax﹣1|﹣a|x﹣1|=|ax﹣1|+|﹣ax+a|≥|ax ﹣1﹣ax+a|=|a﹣1|=f（a）即可证得结论．解答：选修4﹣5：不等式选讲（Ⅰ）∵f（x﹣1）+f（1﹣x）=|x﹣2|+|x|．因此只须解不等式|x﹣2|+|x|≤2．当x≤0时，原不式等价于2﹣x﹣x≤2，即x=0．当0＜x＜2时，原不式等价于2≤2，即0＜x＜2．当x≥2时，原不式等价于x﹣2+x≤2，即x=2．综上，原不等式的解集为{x|0≤x≤2}．…（5分）（Ⅱ）∵f（ax）﹣af（x）=|ax﹣1|﹣a|x﹣1|，又a＜0时，|ax﹣1|﹣a|x﹣1|=|ax﹣1|+|﹣ax+a|≥|ax﹣1﹣ax+a|=|a﹣1|=f（a），∴a＜0时，f（ax）﹣af（x）≥f（a）．…（10分）点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查等价转化思想与分类讨论思想的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．21．（2013•安阳模拟）设函数f（x）=|2x﹣a|+5x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=3时，求不等式f（x）≥5x+1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当a=3时，f（x）≥5x+1可化为|2x﹣3|≥1，由此求得不等式f（x）≥5x+1的解集．（Ⅱ）由f（x）≤0 得|2x﹣a|+5x≤0，此不等式化为不等式组，或．分别求得这两个不等式组的解集，再取并集，即得所求．解答：解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）≥5x+1可化为|2x﹣3|≥1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由此可得x≥2 或x≤1．故不等式f（x）≥5x+1的解集为{x|x≥2 或x≤1{．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）由f（x）≤0 得|2x﹣a|+5x≤0，此不等式化为不等式组，或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）即，或．因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x≤﹣}，由题设可得﹣=﹣1，故a=3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）点评：本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．22．（2014•吉林二模）已知关于x的不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1（a＞0）．（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：（1）当a=1时，可得2|x﹣1|≥1，即，由此求得不等式的解集．（2）不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1解集为R，等价于|a﹣1|≥1，由此求得实数a的取值范围．解答：解：（1）当a=1时，可得2|x﹣1|≥1，即，解得，∴不等式的解集为．…（5分）（2）∵|ax﹣1|+|ax﹣a|≥|a﹣1|，不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1解集为R，等价于|a﹣1|≥1．解得a≥2，或a≤0．又∵a＞0，∴a≥2．∴实数a的取值范围为[2，+∞）．…（10分）点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．23．（2014•长葛市三模）已知函数f（x）=|x﹣3a|，（a∈R）（I）当a=1时，解不等式f（x）＞5﹣|2x﹣1|；（Ⅱ）若存在x0∈R，使f（x0）+x0＜6成立，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（I）当a=1时，原不等式可化为|x﹣3|+|2x﹣1|＞5，通过对x取值范围的讨论，去掉式中的绝对值符号，解相应的不等式，最后取并即可；（Ⅱ）构造函数g（x）=f（x）+x=|x﹣3a|+x，则g（x）=，易知函数g（x）=f（x）+x最小值为3a，依题意，解不等式3a＜6即可求a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞5﹣|2x﹣1|可化为|x﹣3|+|2x﹣1|＞5，当时，不等式为3﹣x+1﹣2x＞5，∴，当时，不等式即3﹣x+2x﹣1＞5，∴x＞3，所以x∈∅，当x＞3时，不等式即x﹣3+2x﹣1＞5，∴x＞3，综上所述不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞3}．…（5分）（Ⅱ）令g（x）=f（x）+x=|x﹣3a|+x，则g（x）=，所以函数g（x）=f（x）+x最小值为3a，根据题意可得3a＜6，即a＜2，所以a的取值范围为（﹣∞，2）．…（10分）点评：本题考查绝对值不等式的解法，通过对x取值范围的讨论，去掉式中的绝对值符号是关键，考查构造函数思想与运算求解能力，属于中档题．24．（2014•葫芦岛二模）已知函数f（x）=|x﹣3|+|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=0时，解关于x的不等式f（x）＞4；（Ⅱ）若∃x∈R，使得不等式|x﹣3|+|x﹣a|＜4成立，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由a=0知原不等式为|x﹣3|+|x﹣a|＞4，分x≥3、0≤x＜3、x＜0 三种情况，分别求出解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由题意可得|x﹣3|+|x﹣a|的最小值小于4，再由绝对值的意义可得|x﹣3|+|x﹣a|的最小值等于|a﹣3|，故有|a﹣3|＜4，由此求得实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由a=0知原不等式为|x﹣3|+|x﹣a|＞4，当x≥3时，有2x﹣3＞4，解得x＞．当0≤x＜3 时，3＞4，无解．当x＜0时，﹣2x+3＞4，解得x＜﹣．故解集为{x|x＞，或x＜﹣}．（Ⅱ）由∃x∈R，使得不等式|x﹣3|+|x﹣a|＜4成立，可得|x﹣3|+|x﹣a|的最小值小于4．又|x﹣3|+|x﹣a|≥|（x﹣3）﹣（x﹣a）|=|a﹣3|，∴|a﹣3|＜4，∴﹣4＜a﹣3＜4，即﹣1＜a＜7，故实数a的取值范围为（﹣1，7）．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．25．（2014•兴安盟一模）设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a＞1）．（1）若f（x）的最小值为3，求a的值；（2）在（1）的条件下，求使得不等式f（x）≤5成立的x的取值集合．考点：绝对值不等式的解法；函数最值的应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由|x﹣4|+|x﹣a|≥|a﹣4|结合题意可得|a﹣4|=3，由此求得a的值．（2）分当x≤4时、当4＜x＜7时、当x≥7时，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．解答：解：（1）因为|x﹣4|+|x﹣a|≥|x﹣4﹣（x﹣a）|=|a﹣4|，…（3分）所以|a﹣4|=3，即a=7，或a=1．…（5分）由a＞1知a=7．…（6分）（2）当x≤4时，不等式化为﹣2x+11≤5解得：3≤x≤4．…（7分）当4＜x＜7时，不等式化为3≤5，恒成立，所以：4＜x＜7．…（8分）当x≥7时，不等式化为2x﹣11≤5，解得：7≤x≤8．…（9分）综上，不等式f（x）≤5 的解集为{x|3≤x≤8}．…（10分）点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．26．（2014•河南一模）设函数f（x）=|2x﹣1|+|ax﹣3|，x∈R（Ⅰ）若a=1时，解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）若a=2时，g（x）=的定义域为R，求实数m的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）通过对x取值范围的分类讨论，去掉绝对值符号，转化为一次不等式，解之取并即可；（Ⅱ）依题意知，f（x）+m=0在R上无解；利用绝对值不等式可求得f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|≥|2x﹣1﹣2x+3|=2，从而可得实数m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=|2x﹣1|+|x﹣3|，∵f（x）≤5，∴或或，解得﹣≤x＜，或≤x≤3，或x∈∅，∴﹣≤x≤3．∴不等式的解集为[﹣，3]…5分（Ⅱ）g（x）=的定义域为R，则f（x）+m≠0，即f（x）+m=0在R上无解；又a=2时，f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|≥|2x﹣1﹣2x+3|=2，即f（x）min=2，∴m＞﹣2…10分点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．27．（2014•海口二模）设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当a=﹣时，根据f（x）=的最小值为3，可得lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，不等式得证．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得f（x）≥|a﹣|，可得|a﹣|≥a，由此解得a的范围．解答：解：（Ⅰ）证明：∵当a=﹣时，f（x）=|x﹣|+|x+|=的最小值为3，∴lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，∴lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得f（x）=|x﹣|+|x﹣a|≥|（x﹣）﹣（x﹣a）|=|a﹣|，再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，可得|a﹣|≥a，∴a﹣≥a，或a﹣≤﹣a，解得a≤，故a的最大值为．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，函数的恒成立问题，属于基础题．28．（2014•福州模拟）已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x﹣1）≤2；（Ⅱ）当a＞0时，不等式2a﹣3≥f（ax）﹣af（x）恒成立，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）分当x≤1时、当1＜x≤2时、当x＞2时三种情况，分别求得原不等式的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）当a＞0时，利用绝对值三角不等式可得f（ax）﹣af（x）≤|a﹣1|，结合题意可得2a﹣3≥|a﹣1|，由此解得a的范围．解答：解：（Ⅰ）原不等式等价于：当x≤1时，﹣2x+3≤2，即≤x≤1．当1＜x≤2时，1≤2，即1＜x≤2．当x＞2时，2x﹣3≤2，即2＜x≤．综上所述，原不等式的解集为{x|≤x≤}．（Ⅱ）当a＞0时，f（ax）﹣af（x）=|ax﹣1|﹣|ax﹣a|=|ax﹣1|﹣|a﹣ax|≤|ax﹣1+a﹣ax|=|a﹣1|，所以，2a﹣3≥|a﹣1|，解得a≥2．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．29．（2014•商丘三模）选修4﹣5：不等式选讲设函数f（x）=|x﹣3|+|x﹣2|+k．（1）若f（x）≥3恒成立，求k的取值范围；（2）当k=1时，解不等式：f（x）＜3x．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：（1）利用绝对值不等式的几何意义可求得（|x﹣3|+|x﹣2|）min=1，从而可求得k的取值范围；（2）当k=1时，对x分类讨论后去掉绝对值符号，从而可求得每部分的解集，最后取各种情况之并即可．解答：解：（1）|x﹣3|+|x﹣2|+k≥3，∀x∈R恒成立即（|x﹣3|+|x﹣2|）min≥3﹣k，又|x﹣3|+|x﹣2|≥|x﹣3﹣x+2|=1，∴（|x﹣3|+|x﹣2|）min=1≥3﹣k，∴k≥2；…5分（2）当k=1时，若x≤2，f（x）＜3x⇔2﹣x+3﹣x+1＜3x，∴5x＞6，解得x＞，∴＜x≤2；当2＜x＜3时，同理可得3x＞2，解得x＞，∴2＜x＜3当x≥3时，x＞﹣4，∴x≥3综上所述，不等式的解集为（，+∞）…10分．点评：本题考查绝对值不等式的解法，通过分类讨论去掉绝对值符号是关键，考查分析转化与解决问题的能力，属于中档题．30．（2014•邯郸一模）已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）依题意知，a=3时，f（x）=，通过对x范围的分类讨论，解不等式f（x）＞0即可；（2）利用等价转化的思想，通过分离参数a，可知当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2或a＞x+2恒成立，从而可求得a的取值范围．解答：解：（1）f（x）=，…（2分）当x＞2时，1﹣x＞0，即x＜1，解得x∈∅；当≤x≤2时，5﹣3x＞0，即x＜，解得≤x＜；当x＜时，x﹣1＞0，即x＞1，解得1＜x＜；综上所述，不等式的解集为{x|1＜x＜}．…（5分）（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立⇔2﹣x﹣|2x﹣a|＜0⇔2﹣x＜|2x﹣a|恒成立⇔2﹣x＜2x﹣a或2x﹣a＜x﹣2恒成立⇔x＞或x＜a﹣2恒成立，∴当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2①或a＞x+2②恒成立，解①，a不存在；解②得：a≥4．综上知，a≥4．…（10分）点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，考查运算求解能力，属于难题．。

专题13 绝对值不等式1．不等式()2152≥-+x x 的解集是 .【难度】★【答案】(]31121，， ⎪⎭⎫⎢⎣⎡- 【解析】由原不等式移项得()02152≥--+x x ，通分()()0112522≥---+x x x ，即()0135222≥-++-x x x ，所以()()()013122≤--+x x x ，所以()()⎩⎨⎧≠≤-+10312x x x ，解得321≤≤-x 且1≠x2．不等式()()032432≤+---x x x x x 的解集为 . 【难度】★★ 【答案】【解析】原不等式等价转化为不等式热身练习()()()032432≤+---x x x x x，且3-≠x 、0≠x 、2≠x ，即()()()()03241≤+--+x x x x x 且3-≠x 、0≠x 、2≠x ，用“数轴标根法”如图，所以原不等式的解集是()[)(]4,20,13, --∞-.3．若不等式()()2221219401m x m x m x x -+-++>++对一切实数x 都成立，则实数m 的取值范围是_________. 【难度】★★★ 【答案】[1,)+∞绝对值不等式：1、解绝对值不等式的思想是化去绝对值符号，转化为整式不等式（主要是一次、二次不等式）解之。

知识梳理【注意】去绝对值符号，化绝对值不等式为整式不等式时要保持同解性。

2、绝对值不等式，关键在于去掉绝对值符号，一般有三种方法：①几何含义；①两边平方；①分段讨论。

模块一：利用绝对值的含义解不等式绝对值的实际含义，就是数轴上两点之间的距离。

所以，利用这一点，就可以解决一些简单的绝对值不等式问题；也可以直接利用分类讨论将绝对值符号去掉进行求解。

()()()()()()()00f x a a a f x af x a a f x a or f x a<>⇔-<<>>⇔<->【例1】不等式324x ->的解集是（ ）A ．()2,+∞B ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．()2,2,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭D ．2,23⎛⎫- ⎪⎝⎭【难度】① 【答案】C【例2】解不等式2112210x x --< 【难度】① 【答案】{}1010x x x ><-或【解析】这个绝对值不等式的绝对值符号内是一个分式，若先去绝对值符号，就变成一个形式上是分式的不等式：210.10.122x x --<-<，这样就为解题制造了障碍，但是如果我们不急于典例剖析去绝对值符号，而是先将绝对值符号内的表达式进行化简，就可以得到212212222x x x x x x x-----===-。

专题解含绝对值符号的不等式1．阅读：我们知道，00a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩于是要解不等式|3|4x -≤，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：解：（1）当30x -≥，即3x ≥时：34x -≤解这个不等式，得：7x ≤由条件3x ≥，有：37x ≤≤（2）当30x -<，即3x <时，(3)4x --≤解这个不等式，得：1x ≥-由条件3x <，有：13x -≤<∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为17x -≤≤根据以上思想，请探究完成下列2个小题：（1）|1|2x +≤；（2）|2|1x -≥． 【答案】（1）-3≤x≤1；（2）x≥3或x≤1．【分析】（1）分①x+1≥0，即x≥-1，②x+1＜0，即x ＜-1，两种情况分别求解可得；（2）分①x -2≥0，即x≥2，②x -2＜0，即x ＜2，两种情况分别求解可得．【详解】解：（1）|x+1|≤2，①当x+1≥0，即x≥-1时：x+1≤2，解这个不等式，得：x≤1由条件x≥-1，有：-1≤x≤1；②当x+1＜0，即 x ＜-1时：-（x+1）≤2解这个不等式，得：x≥-3由条件x ＜-1，有：-3≤x ＜-1∴综合①、②，原不等式的解为：-3≤x≤1．（2）|x-2|≥1①当x-2≥0，即x≥2时：x-2≥1解这个不等式，得：x≥3由条件x≥2，有：x≥3；②当x-2＜0，即 x ＜2时：-（x-2）≥1，解这个不等式，得：x≤1，对于含绝对值的不等式3x <，从图1的数轴上看：大于－3而小于3的数的绝对值小于3，所以3x <的解集为33x -<<；对于含绝对值的不等式3x >，从图2的数轴上看：小于－3或大于3的数的绝对值大于3，所以3x >的解集为3x <-或3x >．(1)含绝对值的不等式2x 的解集为______；(2)已知含绝对值的不等式1x a -<的解集为3b x <<，求实数a ，b 的值；(3)已知关于x ，y 的二元一次方程1x y m +=--的解满足2x y +≤，其中m 是正数，求m 的取值范围．【答案】11x -<<##11x >>-【答案】3x >或3x <-【分析】首先算出|x |=3的解，然后根据“大于取两边”的口诀得解 ．【详解】解：由绝对值的意义可得：x =3或x =-3时，|x |=3，∴根据“大于取两边”即可得到｜x ｜＞3的解集为：x >3或 x <−3（如图），故答案为：x >3或 x <−3．【点睛】本题考查绝对值的意义及不等式的求解，熟练掌握有关不等式的求解方法是解题关键．5．若|2a﹣6|＞6﹣2a，则实数a的取值范围是_____．__________.8．不等式组25x ⎧⎨-≤⎩的解集是（ ） A ．52x >- B ．37x -≤≤ C ．572x -<≤ D ．572x -≤≤ 【答案】x ＜0或x ＞4【详解】试题分析：此题是一个带绝对值的复合不等式，应分为x≤1，1＜x≤3，x ＞3，三种情况，再根据绝对值的性质化简原式，解不等式即可.试题解析：当x≤1时，原式可变形为1－x ＋3－x ＝4－2x ＞4，解得x ＜0.注意最后要合并解集．11．解不等式：（1）||2x <（2）|21|3x -≥ 【答案】（1）22x -<<；（2）2x ≥或1x ≤-．【分析】（1）根据绝对值的意义，即可求出不等式的解集；（2）根据绝对值的意义，即可求出不等式的解集.【详解】解：（1）∵||2x <，∴22x -<<．（2）∵|21|3x -≥，原不等式变形为：213x -≥或213x -≤-，解得：2x ≥或1x ≤-．【点睛】本题考查了解不等式，解题的关键是掌握绝对值的意义进行解题.12．解下列不等式：（1）|2|30x +->（2）35572x -+<问题的重要思想方法.例如，代数式2x -的几何意义是数轴上x 所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为()+=--x 1x 1，所以1x +的几何意义就是数轴上x 所对应的点与1-所对应的点之间的距离．⑴. 发现问题：代数式12x x ++-的最小值是多少？⑵. 探究问题：如图，点,,A B P 分别表示的是-1,2,x ，3AB =．∵12x x ++-的几何意义是线段PA 与PB 的长度之和∴当点P 在线段AB 上时，+=PA PB 3;当点点P 在点A 的左侧或点B 的右侧时 +>PA PB 3 ∴12x x ++-的最小值是3．⑶.解决问题：①.-++x 4x 2的最小值是 ；②.利用上述思想方法解不等式：314x x ++->③.当a 为何值时，代数式++-x a x 3的最小值是2． 【答案】①6；②3x <-或1x >；③1a =-或5a =-【分析】(3)①根据绝对值的几何意义可知，变成数轴上的点到-2的距离和到4的距离之和的最小值；②根据题意画出相应的图形，确定出所求不等式的解集即可；③根据原式的最小值为2，得到3左边和右边，且到3距离为2的点即可．【详解】解：(3)①设A 表示的数为4，B 表示的数为-2，P 表示的数为x ，∴|4|x -表示数轴上的点P 到4的距离，用线段PA 表示，|2||(2)|+=--x x 表示数轴上的点P 到-2的距离，用线段PB 表示，∴|4||2|x x -++的几何意义表示为PA+PB ，当P 在线段AB 上时取得最小值为AB ， 且线段AB 的长度为6，∴|4||2|x x -++的最小值为6.故答案为：6.②设A 表示-3，B 表示1，P 表示x ，小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式（含有不等号的式子）中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式.求绝对值不等式3x >的解集（满足不等式的所有解）.小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出x 恰好是3时x 的值，并在数轴上表示为点A ，B ，如图所示.观察数轴发现，以点A ，B 为分界点把数轴分为三部分：点A 左边的点表示的数的绝对值大于3；点A ，B 之间的点表示的数的绝对值小于3；点B 右边的点表示的数的绝对值大于3.因此，小明得出结论，绝对值不等式3x >的解集为：3x <-或3x >.参照小明的思路，解决下列问题：（1）请你直接写出下列绝对值不等式的解集.①1x >的解集是；x<的解集是.② 2.5x-+>的解集. （2）求绝对值不等式359（3）直接写出不等式24x>的解集是．∴|x|＞1的解集是x＞1或x＜-1；∴|x|＜2.5的解集是-2.5＜x＜2.5；x-+>的解集为：x＞7或x＜-1；可知：359可知：不等式x2＞4的解集是x＞2或x＜-2．对于绝对值不等式||3x <，从图1的数轴上看：大于3-而小于3的数的绝对值小于3，所以||3x <的解集为33x -<<；对于绝对值不等式||3x >，从图2的数轴上看：小于3-或大于3的数的绝对值大于3，所以||3x >的解集为3x <-或3x >．(1)求绝对值不等式|3|2x ->的解集；(2)已知绝对值不等式|21|x a -<的解集为3b x <<，求2a b -的值；|21|x -<2a x ∴-<解得12a -解集为1a -⎧我们知道x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离：0x x =-，也就是说，x 表示在数轴上数x 与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为12x x -表示在数轴上数1x 和数2x 对应的点之间的距离；例1解方程2x =，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为2±，即该方程的解为2x =±．例2解不等式12x ->，如图，在数轴上找出12x -=的解，即到1的距离为2的点对应的数为1-，3，则12x ->的解集为1x <-或3x >．例3解方程125x x -++=由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和2-的距离之和为5的对应的x 的值.在数轴上，1和2-的距离为3，满足方程的x 对应的点在1的右边或2-的左边，若x 对应的点在1的右边，由下图可以看出2x =；同理，若x 对应的点在2-的左边，可得3x =-，故原方程的解是2x =或3x =-．回答问题：（只需直接写出答案）①解方程34x +=②解不等式34x -≥③解方程328x x -++=③328x x -++=，。