高考知识点绝对值不等式

高考数学知识点：不等式1500字高考数学中的不等式是一个重要的知识点，几乎在每年的高考试卷中都会出现。

不等式在很多实际问题中都有重要的应用，如经济学中的利润最大化问题、几何学中的面积最大最小问题等。

下面将对高考数学中常见的不等式知识点进行详细介绍。

一、一元一次不等式一元一次不等式的形式为ax+b>0（或ax+b≥0）、ax+b<0（或ax+b≤0），其中a和b为已知实数，x为未知数。

要求解这类不等式，需要注意以下几点：1. 若a>0，则当a>0时，不等式两侧都乘以正数a；当a<0时，不等式两侧都乘以负数a，不等号方向不变。

2. 若a<0，则当a>0时，解的不等式两侧都乘以负数a，不等号方向相反；当a<0时，解的不等式两侧都乘以正数a，不等号方向不变。

3. 若a=0，则不等式只有在b>0（或b≥0）和b<0（或b≤0）时有解。

二、一元二次不等式一元二次不等式是形如ax²+bx+c>0（或ax²+bx+c≥0）、ax²+bx+c<0（或ax²+bx+c≤0）的不等式，其中a、b、c为已知实数，a≠0。

要求解一元二次不等式，需要经过以下几个步骤：1. 确定a的正负性，若a>0则为开口向上的抛物线，若a<0则为开口向下的抛物线。

2. 计算抛物线的顶点坐标，即x₀=-b/2a。

3. 根据a的正负性确定抛物线的上升段或下降段。

4. 根据a的正负性确定不等式的解集。

三、绝对值不等式绝对值不等式是形如|ax+b|>c（或|ax+b|≥c）、|ax+b<c（或|ax+b|≤c）的不等式，其中a、b、c为已知实数，a≠0且c>0。

要求解绝对值不等式，需要根据绝对值的定义和性质进行推导，具体步骤如下：1. 根据绝对值的定义，将不等式分为正数和负数两个部分。

2. 对于正数部分，去掉绝对值符号，并得到一个二次不等式。

高考必考！绝对值不等式的解法1.绝对值的定义（1）几何意义实数a 在数轴上所对应的点A 到原点O 的距离叫做数a 的绝对值，记作“|a|”。

（2）代数意义⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,0,00,a a a a a a 2.不等式的基本性质（1）对称性：如果b a >，那么a b <.（2）传递性：如果b a >且c b >，那么c a >.（3）同向可加性：如果b a >，那么c b c a +>+.（4）乘法单调性：如果b a >且0>c ，那么bc ac >；如果b a >且0<c ，那么bc ac <.3.绝对值三角不等式（1）如果b a ,是实数，那么||b a +≤||||b a +（当且仅当ab ≥0时，“=”成立）.（2）如果b a ,是实数，那么||||b a -≤||b a -≤||||b a +.（当且仅当左侧不等式中ab ≤0时，“=”成立；当且仅当右侧不等式中ab ≥0时，“=”成立）.（3）如果c b a ,,是实数，那么||c a -≤||||c b b a -+-（当且仅当))((c b b a --≥0时，“=”成立）.4.绝对值不等式的解法（1）a x ≤和a x ≥型该型不等式是解决其他绝对值不等式的基础，其他绝对值不等式的求解最终转化为该型不等式得解。

a x a a x <<-⇔≤a x a x ≥⇔≥或a x ≤（2）c b ax ≤+和c b ax ≥+型把b ax +看成一个整体X ，转化为a x ≤和a x ≥型去解。

【例】 解不等式312≤-x . 解：由312≤-x 得：3123≤-≤-x ,解得 21≤≤-x .所以原不等式的解集为}21|{≤≤-x x .（3）c b x a x ≤-+-和c b x a x ≥-+-型（★考点）该型绝对值不等式的解法概括为以下三种：①数形结合思想；②零点分段讨论法；③函数与方程思想。

绝对值不等式公式大全下面是一些常见的绝对值不等式及其推导和解法。

1.绝对值的定义：对于任意实数x，绝对值，x，定义如下：-当x≥0时，x，=x。

-当x<0时，x，=-x。

2.单个绝对值不等式：2.1，x，＞a时，有以下不等式：-方程的解集为：x＞a或x＜-a。

-解法：将，x，＞a拆解为x＞a或x＜-a，然后根据实际问题分析确定解集。

2.2，x，＜a时，有以下不等式：-方程的解集为：-a＜x＜a。

-解法：将，x，＜a拆解为x＞-a且x＜a，然后根据实际问题分析确定解集。

3.绝对值的性质：3.1，a+b，≤，a，+，b该性质成立是因为绝对值函数具有非负性质，并且，a+b，的取值范围比，a，+，b，的取值范围要小。

3.2，a-b，≥，a，-，b该性质成立是因为绝对值的定义在于，x，≥-x，同时采用了加法的逆运算。

3.3，a-b，≥，b，-，a该性质成立是因为绝对值的定义在于，x，≥-x，同时采用了减法的逆运算。

4.绝对值不等式的加法运算法则：若，a，≤，b，则有以下结论：-，a+x，≤，b+x-，x+a，≤，x+b解法：根据2.1的解法，将，x，≤a拆解为-a≤x≤a，根据性质3.1，可得，a+x，≤，a，+，x，≤，a，+，b。

5.绝对值不等式的乘法运算法则：若0≤a≤b-，a*x，≤，b*x，其中x可以是任意实数。

解法：对于给定的，x，≤a（根据2.2的解法得到），将其乘以非负的实数k，则有，k*x，≤a*k，根据性质3.1，可得，k*x，≤a*k≤b*k。

6.绝对值不等式的复合运算法则：若，a，≤b且，c，≤d，则有以下结论：-，a+c，≤，b+d-，a-c，≤，b-d解法：根据4的解法，分别将，a+c，和，a-c，展开为，a+x，的形式，并应用3.1的性质，可以得到上述结论。

这些是常见的绝对值不等式及其推导和解法，通过这些公式和方法，我们可以更方便地求解一些数学问题。

但需要注意的是，在应用绝对值不等式时，需要根据具体问题来确定解集，并判断是否需要考虑特殊情况，提高解题的准确性和完整性。

第1节绝对值不等式最新考纲 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.知识梳理1.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a (－a，a)∅∅|x|>a (－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.2.含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.()(2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为∅.()(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立.()(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.()(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√2.不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是()A.(－∞，4)B.(－∞，1)C.(1，4)D.(1，5)解析①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.②当1<x<5时，原不等式可化为x－1－(5－x)<2，∴x<4，∴1<x<4，③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立.综上，原不等式的解集为(－∞，4).答案 A3.(选修4－5P19习题T9改编)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________.解析由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴|x＋1|＋|x－2|的最小值为3.要使原不等式有解，只需|a|≥3，则a≥3或a≤－3.答案(－∞，－3]∪[3，＋∞)4.若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.解析∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2. 答案 25.(2016·江苏卷)设a >0，|x －1|<a 3，|y －2|<a3，求证：|2x ＋y －4|<a . 证明 因为|x －1|<a 3，|y －2|<a 3， 所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)| ≤2|x －1|＋|y －2|<2a 3＋a3＝a . 故原不等式得证.考点一 绝对值不等式的解法【例1－1】 (2016·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)在图中画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤ 32，－x ＋4，x >32，故y ＝f (x )的图象如图所示.(2)由f (x )的解析式及图象知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5. 故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13，或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13，或1<x <3，或x >5. 【例1－2】 (2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，求a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝－x 2＋x ＋4， f (x )≥g (x )⇔x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. ①当x >1时，f (x )≥g (x )⇔x 2＋x －4≤0， 解之得1<x ≤17－12.②当－1≤x ≤1时，f (x )≥g (x )⇔(x －2)(x ＋1)≤0， 则－1≤x ≤1.③当x <－1时，f (x )≥g (x )⇔x 2－3x －4≤0，解得－1≤x ≤4， 又x <－1，∴不等式此时的解集为空集.综上所述，f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤17－12. (2)依题意得：－x 2＋ax ＋4≥2在[－1，1]上恒成立. 则x 2－ax －2≤0在[－1，1]上恒成立.则只需⎩⎨⎧12－a ·1－2≤0，（－1）2－a （－1）－2≤0，解之得－1≤a ≤1.故a 的取值范围是[－1，1].规律方法 1.本题利用分段函数的图形的几何直观性，求解不等式，体现了数形结合的思想.2.解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，常用的零点分段法的一般步骤：求零点；划分区间，去绝对值符号；分段解不等式；求各段的并集.此外，还常用绝对值的几何意义，结合数轴直观求解. 【训练1】 已知函数f (x )＝|x －2|. (1)求不等式f (x )＋x 2－4>0的解集；(2)设g (x )＝－|x ＋7|＋3m ，若关于x 的不等式f (x )<g (x )的解集非空，求实数m 的取值范围.解 (1)不等式f (x )＋x 2－4>0，即|x －2|>4－x 2. 当x >2时，不等式可化为x 2＋x －6>0，解得x >2； 当x <2时，不等式可化为x 2－x －2>0，解得x <－1. 所以原不等式的解集为{x |x >2或x <－1}. (2)依题意，|x －2|<3m －|x ＋7|解集非空， ∴3m >|x －2|＋|x ＋7|在x ∈R 上有解， 又|x －2|＋|x ＋7|≥|(x －2)－(x ＋7)|＝9， 所以3m >9，解得m >3.故实数m 的取值范围是(3，＋∞). 考点二 绝对值不等式性质的应用【例2－1】 设不等式－2<|x －1|－|x ＋2|<0的解集为M ，a ，b ∈M . (1)证明：⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b <14； (2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由.(1)证明设f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎨⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2<x <1，－3，x >1.由－2<－2x －1<0，解得－12<x <12. 因此集合M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，则|a |<12，|b |<12.所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |<13×12＋16×12＝14.(2)解 由(1)得a 2<14，b 2<14. 因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2) ＝16a 2b 2－4a 2－4b 2＋1＝(4a 2－1)(4b 2－1)>0， 所以|1－4ab |2>4|a －b |2， 故|1－4ab |>2|a －b |.【例2－2】 对于任意的实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥M ·|a |恒成立，记实数M 的最大值是m . (1)求m 的值；(2)(一题多解)解不等式|x －1|＋|x －2|≤m . 解 (1)不等式|a ＋b |＋|a －b |≥M ·|a |恒成立，即M ≤|a ＋b |＋|a －b ||a |对于任意的实数a (a ≠0)和b 恒成立，只要左边恒小于或等于右边的最小值.因为|a ＋b |＋|a －b |≥|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |， 当且仅当(a －b )(a ＋b )≥0时等号成立， 即|a |≥|b |时，|a ＋b |＋|a －b ||a |≥2成立，也就是|a ＋b |＋|a －b ||a |的最小值是2，所以M ≤2.因此m ＝2.(2)不等式|x －1|＋|x －2|≤m ，即|x －1|＋|x －2|≤2.法一 由于|x －1|＋|x －2|表示数轴上的x 对应点到1和2对应点的距离之和； 而数轴上12和52对应点到1和2对应点的距离之和正好等于2，故|x －1|＋|x －2|的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤52. 法二 ①当x <1时，不等式为－(x －1)－(x －2)≤2， 解得x ≥12，即12≤x <1.②当1≤x ≤2时，不等式为(x －1)－(x －2)≤2， 即1≤x ≤2.③当x >2时，不等式为(x －1)＋(x －2)≤2， 解得x ≤52，即2<x ≤52.综上可知，不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤52.规律方法 1.求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥|a |－|b |；(3)利用零点分区间法.2.含绝对值不等式的证明中，要注意绝对值三角不等式的灵活应用.【训练2】 对于任意实数a ，b ，已知|a －b |≤1，|2a －1|≤1，且恒有|4a －3b ＋2|≤m ，求实数m 的取值范围.解 因为|a －b |≤1，|2a －1|≤1， 所以|3a －3b |≤3，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －12≤12，所以|4a －3b ＋2|＝|(3a －3b )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12＋52|≤|3a －3b |＋|a －12|＋52≤3＋12＋52＝6， 则|4a －3b ＋2|的最大值为6，所以m ≥|4a －3b ＋2|max ＝6，m 的取值范围是[6，＋∞). 考点三 绝对值不等式的综合应用【例3】 (2017·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围.解(1)f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎨⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2.①当x ≤－1时，f (x )＝－3≥1无解； ②当－1<x <2时，2x －1≥1， 解得x ≥1，则1≤x <2；③当x ≥2时，f (x )＝3≥1恒成立，∴x ≥2. 综上知f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}.(2)不等式f (x )≥x 2－x ＋m 等价于f (x )－x 2＋x ≥m ， 得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x 有解，又|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54.当且仅当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54. 故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54. 规律方法 1.第(1)问分段讨论，求得符合题意的x 取值范围，最后取并集. 2.(1)不等式恒成立问题，解集非空(不能成立)问题，转化为最值问题解决. (2)本题分离参数m ，利用绝对值不等式的性质求解，避免分类讨论，优化了解题过程.【训练3】 (2016·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求实数a 的取值范围. 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}. (2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ，当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解. 当a >1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞).基础巩固题组 (建议用时：50分钟)1.(1)求不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集； (2)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53<x <13，求a 的值.解 (1)当x <－2时，不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5，解得x ≤－3； 当－2≤x <1时，不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5，即3≥5，无解； 当x ≥1时，不等式等价于x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2. 综上，不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}. (2)∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5.当a >0时，－1a <x <5a ，－1a ＝－53，且5a ＝13无解； 当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符； 当a <0时，5a <x <－1a ，5a ＝－53，且－1a ＝13，解得a ＝－3.2.已知函数f (x )＝|ax －2|.(1)当a ＝2时，解不等式f (x )>x ＋1；(2)若关于x 的不等式f (x )＋f (－x )<1m 有实数解，求m 的取值范围.解 (1)当a ＝2时，不等式为|2x －2|>x ＋1，当x ≥1时，不等式化为2x －2>x ＋1，解得x >3.当x <1时，不等式化为2－2x >x ＋1，解得x <13.综上所述，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >3或x <13. (2)因为f (x )＋f (－x )＝|ax －2|＋|－ax －2| ≥|ax －2－ax －2|＝4， 所以f (x )＋f (－x )的最小值为4， 又f (x )＋f (－x )<1m 有实数解，所以1m >4.则m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.3.(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1； 当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2. 所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎨⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a＋1，0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积S ＝12|AB |·(a ＋1)＝23(a ＋1)2. 由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2. 所以a 的取值范围为(2，＋∞).4.(2018·石家庄三模)在平面直角坐标系中，定义点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)之间的“直角距离”为L (P ，Q )＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|，已知A (x ，1)，B (1，2)，C (5，2)三点. (1)若L (A ，B )>L (A ，C )，求x 的取值范围；(2)当x ∈R 时，不等式L (A ，B )≤t ＋L (A ，C )恒成立，求t 的最小值. 解 (1)由定义得|x －1|＋1>|x －5|＋1， 则|x －1|>|x －5|，两边平方得8x >24，解得x >3. 故x 的取值范围为(3，＋∞).(2)当x ∈R 时，不等式|x －1|≤|x －5|＋t 恒成立，也就是t ≥|x －1|－|x －5|恒成立， 因为|x －1|－|x －5|≤|(x －1)－(x －5)|＝4， 所以t ≥4，t min ＝4. 故t 的最小值为4.5.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x ＋1＋|x |(x ∈R )的最小值为a .(1)求a ；(2)已知两个正数m ，n 满足m 2＋n 2＝a ，求1m ＋1n 的最小值.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x －1，x <－2，－12x ＋1，－2≤x ≤0，32x ＋1，x >0.当x ∈(－∞，0)时，f (x )单调递减；当x ∈[0，＋∞)时，f (x )单调递增；∴当x ＝0时，f (x )的最小值a ＝1.(2)由(1)知m 2＋n 2＝1，则m 2＋n 2≥2mn ，得1mn ≥2，由于m >0，n >0，则1m ＋1n ≥21mn ≥22，当且仅当m ＝n ＝22时取等号. ∴1m ＋1n 的最小值为2 2.能力提升题组(建议用时：30分钟)6.已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2.(1)解不等式：|g (x )|＜5；(2)若对任意的x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)由||x －1|＋2|＜5，得－5＜|x －1|＋2＜5，所以－7＜|x －1|＜3，解不等式得－2＜x ＜4，所以原不等式的解集是{x |－2＜x ＜4}.(2)因为对任意的x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}，又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|2x －a －(2x ＋3)|＝|a ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2≥2， 所以|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5，所以实数a 的取值范围是{a |a ≥－1或a ≤－5}.7.(2018·西安模拟)已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝|x ＋1|－x .(1)解不等式f (x )>g (x )；(2)若存在实数x ，使不等式m －g (x )≥f (x )＋x (m ∈R )成立，求实数m 的最小值. 解 (1)原不等式f (x )>g (x )化为|x －2|＋x >|x ＋1|，当x <－1时，－(x －2)＋x >－(x ＋1)，解得x >－3，即－3<x <－1.当－1≤x ≤2时，－(x －2)＋x >x ＋1，解得x <1，即－1≤x <1.当x >2时，x －2＋x >x ＋1，解得x >3，即x >3.综上所述，不等式f (x )>g (x )的解集为{x |－3<x <1或x >3}.(2)由m －g (x )≥f (x )＋x (m ∈R )可得m ≥|x －2|＋|x ＋1|，由题意知m ≥(|x －2|＋|x ＋1|)min ，∵|x －2|＋|x ＋1|≥|x －2－(x ＋1)|＝3，∴m ≥3，故实数m 的最小值是3.8.(2018·郑州模拟)已知不等式|x －m |<|x |的解集为(1，＋∞).(1)求实数m 的值；(2)若不等式a －5x <⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1x －⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－m x <a ＋2x对x ∈(0，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围.解 (1)由|x －m |<|x |，得|x －m |2<|x |2，即2mx >m 2，又不等式|x －m |<|x |的解集为(1，＋∞)，则1是方程2mx ＝m 2的解，解得m ＝2(m ＝0舍去).(2)∵m ＝2，∴不等式a －5x <⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1x －⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－m x <a ＋2x 对x ∈(0，＋∞)恒成立等价于不等式a －5<|x ＋1|－|x －2|<a ＋2对x ∈(0，＋∞)恒成立.设f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎨⎧2x －1，0<x <2，3，x ≥2，当0<x <2时，f (x )在(0，2)上是增函数，则－1<f (x )<3，当x ≥2时，f (x )＝3.因此函数f (x )的值域为(－1，3].从而原不等式等价于⎩⎨⎧a －5≤－1，a ＋2>3，解得1<a ≤4. 所以实数a 的取值范围是(1，4].。

绝对值不等式绝对值不等式|a b^|a| |b|, |a - b卜|a | |b |基本的绝对值不等式：||a|-|b|| < |a ± b| < |a|+|b|y=|x-3|+|x+2| > |(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5所以函数的最小值是5,没有最大值|y|=||x-3卜|x+2|| < |(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5由|y| < 5 得-5 < y < 5即函数的最小值是-5 ,最大值是5也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2| 表示x到3, -2这两点的距离之和，显然当-2 < x < 3时，距离之和最小，最小值是5;而|x-3|-|x+2| 表示x到3, -2这两点的距离之差，当x< -2时，取最小值-5 ,当x> 3时，取最大值5［变题1 ］解下列不等式：(1)| x+1|>2 - x ；(2)| x2- 2x -6|<3 x ［思路］利用丨f(x) | <g(x) = -g(x)vf(x)vg(x) 和丨f(x)丨>g(x) = f(x)>g(x) 或f(x)v-g(x) 去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。

解：⑴原不等式等价于X+1>2—x或x+1<—(2 - x)1 1解得或无解，所以原不等式的解集是{ x | x>^}⑵原不等式等价于—3 X< X2—2x —6<3 X即『X2-2x-6>-3x (x2+ x-6>0 ”(x + 3)(x-2) > 0 xv-3 或x>2 { => { => 二*[x2-2x-6^3x l x2-5x-67 l(x + 1)(x-6) v 0 k-V： 62< X<6所以原不等式的解集是{ X|2< X<6}2 2I 3x I1 .解不等式(1 )1 x-x 2-2 | >X2-3X-4 ; (2) x2：4 <1解：(1)分析一可按解不等式的方法来解.原不等式等价于：x-x 2-2>x 2-3X-4①或x-x 2-2<-(x 2-3X-4)②解①得：1- - 2 v X<1+ 2解②得：x>-3故原不等式解集为{ x | x>-3 }分析二Tl x-x 2-2 | = | x2-x+2 |17而 x -x+2 = (x-) + . >04 4所以| x-x 2-2 |中的绝对值符号可直接去掉 .故原不等式等价于 x 2-x+2>x 2-3X -4 解得：x>-3•••原不等式解集为{ x>-3 }3x(2)分析不等式可转化为-1 w 二 < 1求解，但过x - 4程较繁，由于不等式| x^X 4 w 1两边均为正，所以可平方后 求解.二 9x 2w (x 2-4) 2 (x 工土 2)=x 4-17x 2+16> 0二 x 2w 1 或 x 2> 16 =-1 w x w 1 或 x > 4 或 x w -4注意：在解绝对值不等式时，若I f(x) |中的f(x)的值 的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正 )，就可直 接去掉绝对值符号，从而简化解题过程 .第2变含两个绝对值的不等式［变题 2］解不等式(1) | x - 1|<| x + a | ; (2) | x-2 | +I x+3 I >5.［思路］(1 )题由于两边均为非负数，因此可以利用丨 f(x) I 〈| g(x) |= f 2(x) 〈 g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。

第一节 绝对值不等式预习设计 基础备考知识梳理1．绝对值三角不等式定理1；如果a ，b 是实数，则|,|||||b a b a +≤+当且仅当 时，等号成立．定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|,|||||c b b a c a -+-≤-当且仅当 时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式a x a x ><|||与的解集：)0(||)2(>≤+c c b ax 和)0(||>≥+c c b ax 型不等式的解法：;||c b ax c c b ax ≤+≤-⇔≤+①c b ax c b ax ≥+⇔≥+||②或.c b ax -≤+)0(||||)3(>≥-+-c c b x a x 和)0(||||>≤-+-c c b x a x 型不等式的解法，①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想，③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．典题热身1．(2011．玉溪模拟)设,,,0R b a ab ∈<那么正确的是( )||||.h a b a A ->+ ||||||.b a b a B +<- ||||.b a b a c -<+ ||||||||.b a b a D -<- 答案：C2．不等式3|1|1<+<x 的解集为 ( ))2,0.(A )4,2()0,2.( -B )0,4.(-c )2,0()2,4.( --D答案：D3．不等式x x 32|12|-<-的解集是 ( )}21|.{<x x A }5321|.{<≤x x B }53|.{<x x c }53|.{>x x D 答案：C4．若不等式4|3|<-b x 的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围为答案：(5，7)5．已知关于x 的不等式0|5||2|>----k x x 的解集为R ，则实数A 的范围是答案：)3,(--∞课堂设计 方法备考题型一 绝对值不等式性质定理的应用【例1】,||m a x <-“且”m a y <-||是,,2||y x m y x ”（“<-）R m a ∈,的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件答案：A题型二 绝对值不等式的解法【例2】（2011．江苏高考）解不等式.3|12|<-+x x题型三 含参数的绝对值不等式问题【例3】若关于x 的不等式a x x ≤-++|1||2|的解集为,∅求实数a 的取值范围．题型四 绝对值不等式的证明问题【例4】设,)(2c bx ax x f ++=当1||≤x 时，总有,1|)(|≤x f 求证：.8|)2(|≤f随堂反馈1．已知α、β是实数，给出下列四个论断：①；||||||βαβα+=+②|;|||βαβα+≤-③;22||,22||>>βα④.5||>+βα以其中的两个论断为条件，其余两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，2．已知.4|1|)(,2|3|)(++-=---x x g x x f(1)若函数）x f (的值不大于1，求x 的取值范围；(2)若不等式1)()(+≥-m x g x f 的解集为R ，求m 的取值范围．3．（2011．福建高考）设不等式1|12|<-x 的解集为M.(1)求集合M;(2)若,,M b a ∈试比较1+ab 与b a +的大小．4．(2011．课标全国卷)设函数.1|42|)(+-=x x f(1)画出函数)(x f y =的图像；(2)若不等式ax x f ≤)(的解集非空，求a 的取值范围．高效作业 技能备考1．(2011．陕西高考)若关于x 的不等式|2||1|||-++≥x x a 存在实数解，则实数a 的取值范围是 答案：),3(|3,(+∞---∞2．（2010．福建高考）已知函数.||)(a x x f -=(1)若不等式3)(≤x f 的解集为},51|{≤≤-x x 求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若m x f x f ≥++)5()(对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．3．(2011．吉林省质检)设函数.21)(a x x x f +-+=(1)当5-=a 时，求函数)(x f 的定义域；(2)若函数)(x f 的定义域为R ，试求a 的取值范围．4．(2011．沈阳市质检)已知函数).|5||1(|log )(2a x x x f --+-=(1)当a=2时，求函数)(x f 的最小值；(2)当函数)(x f 的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．5．（2011．银川一中月考）已知不等式.22|4||3|a x x <-+-(1)若,1=a 求x 的取值范围；(2)若已知不等式解集不是空集，求a 的取值范围．6．（2011．辽宁高考）已知函数.|5||2|)(---=x x x f(1)证明：;3)(3≤≤-x f(2)求不等式158)(2+-≥x x x f 的解集．7．（2011．常州模拟）设全集.R U =(1)解关于x 的不等式);(01|1|R a x ∈>-+-α(2)记A 为(1)中不等式的解集，集合+-=)3sin(|{ππx x B },0)3cos(3=-ππx 若B A C u )(恰有3个元素，求a 的取值范围，。

2.1 绝对值不等式1. 绝对值的定义和性质：⎩⎨⎧<-≥=∈0,0,a a a a a R a 则设()()""001==≥取当且仅当a a ; ()a a ±≥2 ()a a a ≤≤-3 ()24a a =()5,a a a b b a -=-=-2.绝对值的运算性质()b a b a b a +≤+≤-1（注意不等式成立的条件） ()b a b a b a +≤-≤-2（注意不等式成立的条件） ()b a b a ⋅=⋅3; ()ba b a=4 3. 解绝对值不等式的基本思想:去绝对值符号;具体方法有:()则设R x a ∈>,01x a a x a <⇔-<<, x a x a x a >⇔<->或一般地:()()()()()f x g x g x f x g x <⇔-<<()()()()()()x g x f x g x f x g x f -<>⇔>或()()()()()()()()()()22(2)0f xg x f x g x f x g x f x g x >⇔>⇔+->（3）分段去绝对值，找出零点,分段求解。

（4）数形结合.例1解关于x 的不等式：(1)392+≤-x x ; (2)()0922>≤-a a a x x 【解析】(1)法一：原不等式⇔229093x x x ⎧-≥⎨-≤+⎩①或⎩⎨⎧+≤-<-390922x x x ② 由①解得433≤≤-=x x 或，由②解得32<≤x ∴原不等式的解集是{}342-=≤≤x x x 或法二：原等式等价于39)3(2+≤-≤+-x x x ⎩⎨⎧≤≤-≥-≤⇔4323x x x 或423≤≤-=⇔x x 或∴原不等式的解集是{}342-=≤≤x x x 或法三：设)33,9221-≥+=-=x x y x y （，由392+=-x x 解得2,3,4321=-==x x x ，在同一坐标系下作出它们的图象，由图得使21y y ≤的x的范围是34x x =-≤≤或2，∴原不等式的解集是{}342-=≤≤x x x 或(2)当x ≥a 时,不等式可化为()222929920x a x ax x a a x ax a ≥≥⎧⎧⎨⎨-≤--≤⎩⎩即 a bx a 173+≤≤∴ 当x<a 时,不等式可化为222929920x a x ax(a x )a x ax a <<⎧⎧⎨⎨-≤-+≥⎩⎩即2332(,][]33a a x x aa a ∴≤≤<-∞⋃或故不等式的解集为。

高中数学不等式知识点总结
一、不等式的性质
1、非负性：对任意实数$a$，有 $a\geq0$；
2、对称性：对任意实数$a, b$，有 $a \gt b$ 等价于 $-a\lt -b$；
4、抽象性：不等式也是数的一种，即式子的值既可以是数，也可以是不等式；
1、绝对值不等式：$|x|\gt a$；
2、分组不等式：$\frac{x-a}{b} \gt c$；
1、速算不等式：
(3) $x-ay+by^2 \gt c$；
(1) 无穷不等式：$x \lt +\infty$；
(3) 大于等于零的不等式：$x \ge 0$；
(1) 确定不等式的种类；
(2) 求解出不等式的解集；
(3) 对不等式的解集进行分析。

(1) 速算不等式的解法：将不等式化简，然后在图表中求解；
(2) 特殊不等式的解法：如无穷不等式的解法为将不等式化简，根据此不等式轴线上的点，选择合适的区间，在该区间上求出不等式的解。

高三绝对值不等式的知识点在高三数学学科中，绝对值不等式是一个重要的知识点。

绝对值不仅在数学中有着重要的应用，也在现实生活中扮演着重要的角色。

本文将介绍高三绝对值不等式相关的知识点，并对其应用进行一些讨论。

一、绝对值的定义和性质绝对值是一个实数的非负数表示，可以用符号“|a|”表示。

如果a是一个实数，那么|a|的值是a的绝对值。

在讨论绝对值不等式之前，我们要了解绝对值的一些基本性质。

1. |a| ≥ 0：绝对值的值永远是非负的。

2. 当a ≥ 0时，有|a| = a；当a < 0时，有|a| = -a。

即绝对值表示这个数的距离与零的距离，如果这个数是非负的，则绝对值等于其本身；如果这个数是负数，则绝对值等于其相反数。

3. |a-b| 表示a与b之间的距离。

4. |a| + |b| ≥ |a+b|：这是绝对值的三角不等式，用来计算两个数绝对值之和与它们的和的绝对值之间的关系。

二、绝对值不等式的形式及求解方法绝对值不等式是用“≥”或“≤”表示的不等式，其解集是满足不等式条件的实数的集合。

对于一元绝对值不等式，我们可以通过以下两个步骤来求解。

步骤一：消去绝对值符号当绝对值不等式中只有绝对值的时候，可以根据绝对值的定义，列出两个不等式，分别求解。

例如对于|2x-3| ≥ 5，可以列出以下两个不等式：2x-3 ≥ 5 或者 2x-3 ≤ -5。

步骤二：求解不等式通过解第一步得到的两个不等式，可以得到解集。

对于每个不等式，可使用解二元一次不等式的方法求解。

三、绝对值不等式的应用举例1. 绝对值不等式在数轴上的表示考虑一个绝对值不等式|x-3| < 2，我们可以使用数轴来表示它的解集。

首先，在数轴上找到数值为3的点，然后从这个点开始向左右两侧延伸2个单位长度。

最终，我们得到的区间[-1, 5]表示满足这个绝对值不等式的实数。

2. 绝对值不等式在几何中的应用绝对值不等式在几何中也有一些应用。

例如，在平面几何中，我们可以利用绝对值不等式来证明三角形中的一些性质。

2. | x | < a(a>0)的解集是{ x | — av xv a}.I x | > a( a>0)的解集是{ x | xv — a 或 x>a}.【思考导学】1 . | ax+ b| v b (b>0)转化成一bv ax+bv b 的根据是什么答：含绝对值白不等式| ax+ b | <b 转化—b< ax+ bv b 的根据是由绝对值的意义确定.2 .解含有绝对值符号的不等式的根本思想是什么答：解含有绝对值符号的不等式的根本思想是去掉绝对值符号,使不等式变为不含绝对值符号的一般不 等式,而后,其解法就与解一般不等式或不等式组相同.【典例剖析】［例1］解不等式2V | 2x-5 | & 7.,原不等式的解集为{ x 1 — 1Wxv 0或7 vxW6}2 2解法二：原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集不等式组(I )的解集为{ x I 7<x<6}2不等式组(n)的解集是{ x | - 1<x< - }2,原不等式的解集是{ x 1 — 1Wxv 0或7 vxW6}2 2解法三：原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集.(I )2 < 2x-5< 7(n)2 V 5-2x< 7不等式(I )的解集为{ x | -<x<6}23不等式(n )的解集是{ x | - 1<x< -}2,原不等式的解集是{ x 1 — 1Wxv °或7 vxW6}.2 2点评：这是含多重绝对值符号的不等式,可以从“外〞向“里〞方法,去掉绝对值的符号,逐次化解. 【随堂练习】1 .不等式|8 — 3x | >0的解集是〔〕A. B . R 1.绝对值的意义是: x(x 0) x(x 0)含绝对值的不等式 解法一：原不等式等价于 |2x 5| 2 |2x 5| 7.2x 5|2 或 2x 5 7 2x 5| 7 7一或x 21 x 6 (I) 2x 52 2x(n) 2x 5 02 5 2x点评：含绝对值的双向不等式的解法,关键是去绝对值号.其方法一是转化为单向不等式组如解法一,再就是利用绝对值的定义如解法二、解法三.［例2］解关于x的不等式：（1）I 2x+3 | — 1<a(a€ R)；（2） | 2x+ 1 | > x+ 1 .解：〔1〕原不等式可化为I 2x+3|va+1当a+1 >0,即a>—1时,由原不等式得一 〔a+1〕 v 2x+3va+1a 4 a 2- .............. v x< ---------当a+1w0,即aw — 1时,原不等式的解集为综上,当a>- 1时,原不等式的解集是{ x 当aw — 1时,原不等式的解集是〔2〕原不等式可化为下面两个不等式组来解不等式组〔I 〕的解为x>02不等式组〔n 〕的解为x<- 23点评：由于无论x 取何值,关于x 的代数式的绝对值均大于或等于 0,即不可能小于0,故I f 〔x 〕 I < a 〔a< 0〕的解集为 .解不等式分情况讨论时,一定要注意是对参数分类还是对变量分类,对参数分类的解集一般不合并,如(1)对变量分类,解集必须合并如 (2).例3］解不等式| x — |2 x+ 1|| > 1.解：二.由 |x —|2x+1|| >1 等价于(x —|2x+1|) >1 或 x —|2x+1|v —1(1)由 x — |2 x+ 1| > 1 得 |2 x+ 1| vx — 12x 1 0 32x 1 0 或 2x 1 x 1 (2x 1) x 11 1 x _ . x _ ..即 2或 2均无解x 2 x 0(2)由 x — |2 x+ 1| v — 1 得|2 x+ 1| >x+ 12x 1 0 - 2x 1 0或2x 1 x 1 (2x 1) x 1答案：C2.以下不等式中,解集为 R 的是〔〕A. | x+2 | > 1 B . | x+2 | + 1 >1C. 〔x- 78〕2>- 1 D . 〔x+78〕2-1>0答案：C3 .在数轴上与原点距离不大于 2的点的坐标的集合是〔〕A. {x | - 2<x< 2}B. {x I 0<x<2}C. {x I — 2<x<2}D. {x | x > 2 或 x w — 2}解析：所求点的集合即不等式I x | < 2的解集.答案：C4 .不等式| 1—2*|<3的解集是〔〕 <x<(I) 2x 2x 2x 1 0(2x 1),原不等式的解集为{ , 2… … x | x<--或 x>0}3 ,反复应用解答绝对值根本不等式类型的x 1A.{x | x< 1}B.{x | - 1<x< 2}C.{x | x>2}D.{x | xv — 1 或x>2}解析：由I 1 —2x|v3 得—3v2x— 1v3,,— 1vxv 2答案：B5.不等式| x + 4 | > 9的解集是 .解析：由原不等式得x+ 4>9或x+4v —9, x> 5或xv—13答案：{x [ x>5 或xv—13}6.当a>0时,关于x的不等式| b— ax | < a的解集是. 解析：由原不等式得I ax— b I v a,,一a〈ax—bvab-1<x<b+1b-1<x< b + 1} a a答案：{x| b - 1< x< — + 1} a a【强化练习】1.不等式I x+a | v 1的解集是〔〕A.{x | — 1 + avxv 1+ aB.{x | - 1 -a<x< 1- a}C.{x| — 1 — I al〈x<1 — I a I }D.{x|x<—1— I al 或x>1— |a|}解析：由I x+ a | < 1 得一1 vx+ a< 1答案：B2.不等式1 w | x— 3 | w 6的解集是〔〕A.{x | — 3<x<2 或4<x<9}B.{x | — 3<x<9}C.{x | — 1<x<2}D.{x | 4<x<9}x 3 0 3 x 3 0解析: 不等式等价于或1x36 13x6解得：4WxW9 或—3<x<2. 答案：A3.以下不等式中,解集为{ x | x< 1或x>3}的不等式是〔〕A.| x-2 | >5B.| 2x —4 | > 3C. 1 - | - - 1 | < 12 2D. 1 — | x-1\ < 12 2解析：A中,由 | x-2 | > 5得x—2>5或x—2v —5x> 7 或x< — 3同理,B的解集为{ x | x> 7或xv —1}2C的解集为{ x | xw 1或x> 3}D的解集为{ x | xv 1或x> 3}答案：D4.集合A= {x|| x-1|<2} , B= {x|| x-1| >1},那么An B等于〔〕A.{x| - 1 <x< 3}B.{x| xv 0 或x>3}C.{x| -1<x< 0}D.{x| —1 vxv 0 或2vx<3}解析：| x — 1| V 2 的解为一1 vxv 3, | x- 1| >1 的解为x<0 或x>2.・•.An B= {x| —1 v xv 0 或2v x v 3}.答案：D5.不等式I x -2 | < a〔a>0〕的解集是{ x | — 1 vxv b},那么a+ 2b= 解析：不等式I x-2 | < a的解集为{ x I 2-a<x<2+a}由题意知：{x| 2— avxv2+a} = {x| —1vxvb}2 a 1 a 32 a c c 5. ・a+ 2b=3+2X5=13答案：136.不等式|x+2| >x+2的解集是.解析：:当x+2>0 时,|x+2| =x+2, x+2>x+2 无解.当x+2<0 时,|x+2| =—(x+2) >0>x+ 2・••当xv— 2 时,| x + 2 | >x+2答案：{x | xv— 2}7.解以下不等式：(1)|2 — 3x| W2; (2)|3 x-2| >2.解：(1)由原不等式得一2<2-3x<2,各加上一2得一4W —3xW0,各除以一3得f >x>0,解集为{x|03一一4、v xw — }.3(2)由原不等式得3x-2<- 2或3x—2>2,解得x<0^x>4,故解集为"|*<0或*>£}.3 38.解以下不等式：(1)3 w |x—2| <9; (2)|3 x-4| >1 + 2x.解：(1)原不等式等价于不等式组由①得xW — 1或x>5;由②得一7vxv 11,把①、②的解表示在数轴上(如图),・,・原不等式的解集为{x| — 7vxw — 1或5W xv 11}.(2)原不等式等价于下面两个不等式组,即原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集：D 3x 4 0,② 3x 4°’3x 4 1 2x; (3x 4) 1 2x.3由不等式组①解得x>5;由不等式组②解得x<3.5,原不等式的解集为{x| x< 3或x>5}.59.设A= {x | | 2x-1 | < 3}, B= { x | |x+2 | < 1},求集合M使其同时满足以下三个条件：(1)M [(AU E)nz】；(2)M中有三个元素；(3)MA Bw解：: A= { x | | 2x- 1 | <3} = { x | - 1<x< 2}B= {x | | x+2 | < 1} = { x | - 3<x<- 1}M [(AU B) AZ] = { x | — 1 wxw 2} U { x | — 3vxv —1} n Z= { x | - 3<x<2} n Z= {—1,0,1, 2}又「MP Bw , •. 一2C M又M中有三个元素・♦・同时满足三个条件的M为：{— 2, — 1, 0}, {— 2, — 1, 1}, {— 2, — 1, 2}, {— 2, 0, 1}, {— 2, 0, 2}, {— 2, 1 , 2}.【学后反思】解绝对值不等式,关键在于“转化〞.根据绝对值的意义,把绝对值不等式转化为一次不等式(组)I x | v a与| x | > a(a>0)型的不等式的解法及利用数轴表示其解集.不等式| x | va(a>0)的解集是{x | —avxva}.其解集在数轴上表示为(见图1 -不等式| x | > a(a>0)的解集是{ x | x>a或xv —a},其解集在数轴上表示为(见图1—8)：把不等式I x I < a与I x I > a(a>0)中的x替换成ax+ b,就可以得到I ax+ b I v b与I ax+ b I>0)型的不等式的解法.12 2,• ' x> 0 或xv ——2 332 ,综上讨论,原不等式的斛集为{x|x< ------------ 或x>0}.3C. {x| xw 1 2 3 * * * * 8 , xC F} D . { 8} 3 32,一7)：> b(b。

绝对值不等式
1．绝对值不等式
【知识点的认识】
绝对值不等式的解法
1、绝对值不等式|x|＞a 与|x|＜a 的解集
不等式a＞0 a＝0 a＜0
|x|＜a {x|﹣a＜x＜a} ∅∅
|x|＞a {x|x＞a，或x＜﹣a} {x|x≠0} R
2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法：
（1）|ax+b|≤c⇔﹣c≤ax+b≤c；
（2）|ax+b|≥c⇔ax+b≥c 或ax+b≤﹣c；
（3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
【解题方法点拨】
1．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c 的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c 的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．
2．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0 且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0 且|a|≥|b|．
3、解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m 或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m 为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．
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绝对值不等式和基本本不等式一、五种绝对值不等式题型（1）c b ax >+ ； c b ax <+ （2）)()(x g x f > ；)()(x g x f <（3）|()f x |<|()g x | （4）零点分段法： f d cx b ax >+++二、绝对值得几何意义：（1）a x -表示数轴上动点x 到定点a 的距离（2）b x a x -+-表示数轴上点x 到点a 和到点b 的距离之和（3）b x a x ---表示数轴上点x 到点a 与到点b 的距离之差三、绝对值的性质：1、b a b a b a +≤±≤-2、b a b a +≤±典型例题：例1、解下列不等式：（1）4|23|7x <-≤； （2）|2x －2x －6|<3x（3）|21||2|4x x ++->变式练习：（1）2|55|1x x -+<．（2）234x x -≤1（3）｜x-2｜+｜x+3｜>5.例2、（1）对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是 ；（2）若关于x 的不等式a x x ≥+--+14的解集是空集，则a ∈ ；（3）若关于x的不等式2x+ax恒成立，求a的取值范围；1>-+变式练习：（1）对任意实数x，|1||3|x x a--+<恒成立，则a的取值范围是．（2）若关于x的不等式|4||3|-++<的解集不是空集，则a∈；x x a（3）若关于x的不等式4ax恒成立，求a的取值范围；-+x-1-≥例3、已知a，b，c是实数，函数f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，当－1≤x≤1时|f(x)|≤1(1)证明 |c|≤1；(2)证明当－1 ≤x≤1时，|g(x)|≤2；变式：设12(,)A x y ，22(,)B x y 是平面直角坐标系xOy 上的两点，现定义由点A 到点B 的一种折线距离(,)p A B 为2121(,)||||.p A B x x y y =-+- 对于平面xOy 上给定的不同的两点12(,)A x y ，22(,)B x y ,若点(,)C x y 是平面xOy 上的点，试证明(,)(,)(,p A C p C B p A B +≥基本不等式1、基本不等式： 2a b+≥ab （0,0>>b a ）2、基本不等式成立的条件：一正，二定，三相等。

秒杀秘籍:()bx naxmxf-+-=绝对值不等式（二）例1：解不等式；例3：（2016•池州二模）设函数f （x ）=|2x ﹣1|+|x ﹣3|．（Ⅰ）求函数f （x ）的最小值；（Ⅱ）若任意x ，y ∈R ，不等式f （x ）＞m （|y+1|﹣|y ﹣1|）恒成立，求m 的取值范围．例4：设函数f （x ）=2|x ﹣1|+|x+2|．（Ⅰ）求不等式f （x ）≥4的解集；（Ⅱ）若不等式f （x ）＜|m ﹣2|的解集是非空集合，求实数m 的取值范围．（Ⅱ）f（x ）在（﹣∞，1]上递减，[1，+∞）上递增，所以，f （x ）≥f （1）=3，由于不等式f （x ）＜|m ﹣2|的解集是非空的集合，所以，|m ﹣2|＞3，解之，m ＜﹣1或m ＞5，即实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）． 例5：关于x 的二次方程x 2＋6x ＋|a ＋2|＋|2a －1|＝0有实根，求a 的取值范围． 解：∵原方程有实根，Δ＝36－4[|a ＋2|＋|2a －1|]≥0，∴|a ＋2|＋|2a －1|≤9. ①当a ≥12时，∵a ＋2＋2a －1≤9，∴12≤a ≤83.②当－2≤a ＜12时，∵a ＋2＋1－2a ≤9，∴－2≤a ＜12.③当a ＜－2时，∵－a －2＋1－2a ≤9，∴－103≤a ＜－2.综上所述，由①②③得a的取值范围为108,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。

秒杀秘籍:()b x n a x m x f ---=结论：系数大的决定最值，类似于二次函数，系数大的为正，开口向上，有最小值；系数大的为负，开口向下，有最大值。

例6：已知函数f(x)＝|3x －6|－|x －4|. (1)作出函数y ＝f(x)的图象； (2)解不等式|3x －6|－|x －4|＞2x.(1)f(x)＝|3x －6|－|x －4|＝22x x 24x 10 2x 42x 2 x 4-<⎧⎪-≤≤⎨⎪->⎩.此函数有最小值f(2)=—2,再求出另一个零点对应的值f(4)=6，连接两点，中间段斜率为4，根据异号相减原理，左边为减函数，斜率为—2，右边为增函数，斜率为2。

绝对值不等式（一） 秒杀秘籍：绝对值不等式c b x a x cb x a x ≤-+-≥-+- 绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离；b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离。

b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离。

x a x b -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故b a b x a x -≥-+- 利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集。

分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22c b ax ≤-的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤- II.当0＜c 时，不等式解集为：空集 c b ax ≥+的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或 II.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数例1：若不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a ≤3即可．若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 成立为假命题”，求a 的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x ∈R ，|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，故a ≤(|x ＋1|＋|x －2|)min ，又|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴a ≤3.例2：不等式log3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.例3：不等式|x ＋1|＋|x －1|<3的实数解为________．解：当x >1时，原不等式等价于2x <3⇒x <32，∴1<x <32；当－1≤x ≤1时，原不等式等价于x ＋1－x ＋1<3，此不等式恒成立，∴－1≤x ≤1；当x <－1时，原不等式等价于－2x <3⇒x >－32，∴－32<x <－1.综上可得：－32<x <32。