2016年江苏省无锡市江阴市敔山湾实验学校九年级上学期数学期中试卷与解析

新九年级（上）期中考试数学试题(含答案)一、选择（共10小题，每小题3分，共30分）1．方程x（x+5）＝0化成一般形式后，它的常数项是（）A．﹣5B．5C．0D．12．抛物线y＝﹣5（x+2）2﹣6的对称轴和顶点分别是（）A．x＝2和（2，﹣6）B．x＝2和（﹣2，﹣6）C．x＝﹣2和（﹣2，﹣6）D．x＝﹣2和（2，﹣6）3．下列几何图形中不是中心对称图形的是（）A．圆B．平行四边形C．正三角形D．正方形4．不解方程，判断方程x2﹣4x+9＝0的根的情况是（）A．无实根B．有两个相等实根C．有两个不相等实根D．以上三种况都有可能5．抛物线y＝﹣x2向上平移2个单位，再向左平移3个单位得到的抛物线解析式为（）A．y＝﹣（x+3）2+2B．y＝﹣（x﹣3）2+2C．y＝﹣（x+3）2﹣2D．y＝﹣（x﹣3）2﹣26．青山村种的水稻2016年平均每公项产7500kg，2018年平均每公顷产8500kg，求每公顷产量的年平均增长率．设年平均增长率为x，则可列方程为（）A．7500（1﹣x）2＝8500B．7500（1+x）2＝8500C．8500（1﹣x）2＝7500D．8500（1+x）2＝75007．如图，点C是⊙O的劣弧AB上一点，∠AOB＝96°，则∠ACB的度数为（）A．192°B．120°C．132°D．l508．下列说法正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴C．相等的弧所对弦相等D．长度相等弧是等弧9．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，E是上一点，将沿BC翻折后E点的对称点F 落在OA中点处，则BC的长为（）A．B．2C．D．10．抛物线y＝ax2+bx+1的顶点为D，与x轴正半轴交于A、B两点，A在B左，与y轴正半轴交于点C，当△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点）时，b的值为（）A．2B．﹣2或﹣4C．﹣2D．﹣4二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分11．如果x＝2是方程x2﹣c＝0的一个根，那么c的值是．12．与点P（3，4）关于原点对称的点的坐标为．13．如果（m﹣1）x2+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值范围为．14．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝﹣6t2+15t，则汽午刹车后到停下来需要秒．15．二次函数y＝（x﹣2）2当2﹣a≤x≤4﹣a，最小值为4，则a的值为．16．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），B是x轴正半轴上一动点，将点A绕点B 顺时针旋转60°得点C，OB延长线上有一点D，满足∠BDC＝∠BAC，则线段BD长为．三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）解方程：x2﹣4x﹣4＝0．（用配方法解答）18．（8分）如图，在△AOB和△DOC中，AO＝BO，CO＝DO，∠AOB＝∠COD，连接AC、BD，求证：△AOC≌△BOD．19．（8分）如图，利用一面墙（墙的长度不限），另三边用20m长的篱笆围成一个面积为50m2的矩形场地，求矩形的长和宽各是多少．20．（8分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．21．（8分）如图，⊙O的半径OA⊥弦BC于H，D是⊙O上另一点，AD与BC相交于点E，若DC＝DE，OB＝，AB＝5．（1）求证：∠AOB＝2∠ADC．（2）求AE长．22．（10分）名闻遐迩的采花毛尖明前茶，成本每厅400元，某茶场今年春天试营销，每周的销售量y（斤）是销售单价x（元/斤）的一次函数，且满足如下关系：（1）请根据表中的数据求出y与x之间的函数关系式；（2）若销售每斤茶叶获利不能超过40%，该茶场每周获利不少于30000元，试确定销售单价x的取值范围．23．（10分）（1）如图1，△AEC中，∠E＝90°，将△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△ADB，AC与AB对应，AE与AD对应①请证明△ABC为等边三角形；②如图2，BD所在的直线为b，分别过点A、C作直线b的平行线a、c，直线a、b之间的距离为2，直线a、c之间的距离为7，则等边△ABC的边长为．（2）如图3，∠POQ＝60°，△ABC为等边三角形，点A为∠POQ内部一点，点B、C分别在射线OQ、OP上，AE⊥OP于E，OE＝5，AE＝2，求△ABC的边长．24．（12分）如图1，抛物线y＝ax2﹣2x﹣3与x轴交于点A、B（3，0），交y轴于点C（1）求a的值．（2）过点B的直线1与（1）中的抛物线有且只有一个公共点，则直线1的解析式为．（3）如图2，已知F（0，﹣7），过点F的直线m：y＝kx﹣7与抛物线y＝x2﹣2x﹣3交于M、N两点，当S＝4时，求k的值．△CMN2018-2019学年湖北省武汉市东湖高新区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择（共10小题，每小题3分，共30分）1．方程x（x+5）＝0化成一般形式后，它的常数项是（）A．﹣5B．5C．0D．1【分析】根据题目中的式子，将括号去掉化为一元二次方程的一般形式，从而可以解答本题．【解答】解：∵x（x+5）＝0∴x2+5x＝0，∴方程x（x+5）＝0化成一般形式后，它的常数项是0，故选：C．【点评】本题考查一元二次方程的一般形式，形式ax2+bx+c＝0（a≠0）这种形式的方程叫一元二次方程的一般形式．2．抛物线y＝﹣5（x+2）2﹣6的对称轴和顶点分别是（）A．x＝2和（2，﹣6）B．x＝2和（﹣2，﹣6）C．x＝﹣2和（﹣2，﹣6）D．x＝﹣2和（2，﹣6）【分析】根据题目中抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴和顶点坐标，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝﹣5（x+2）2﹣6，∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣6），故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3．下列几何图形中不是中心对称图形的是（）A．圆B．平行四边形C．正三角形D．正方形【分析】根据中心对称图形的概念结合圆、平行四边形、正三角形、正方形的特点求解．【解答】解：A、圆是中心对称图形，故本选项错误；B、平行四边形是中心对称图形，故本选项错误；C、正三角形不是中心对称图形，故本选项正确；D、正方形是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．不解方程，判断方程x2﹣4x+9＝0的根的情况是（）A．无实根B．有两个相等实根C．有两个不相等实根D．以上三种况都有可能【分析】找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣4，c＝9，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×9＝32﹣36＝﹣4＜0，则方程x2﹣4x+9＝0无实数根，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．5．抛物线y＝﹣x2向上平移2个单位，再向左平移3个单位得到的抛物线解析式为（）A．y＝﹣（x+3）2+2B．y＝﹣（x﹣3）2+2C．y＝﹣（x+3）2﹣2D．y＝﹣（x﹣3）2﹣2【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．【解答】解：抛物线y＝﹣x2先向上平移2个单位得到抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2，再向左平移3个单位得到解析式：y＝﹣（x+3）2+2；故选：A．【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律，解决本题的关键是熟记“左加右减，上加下减”．6．青山村种的水稻2016年平均每公项产7500kg，2018年平均每公顷产8500kg，求每公顷产量的年平均增长率．设年平均增长率为x，则可列方程为（）A．7500（1﹣x）2＝8500B．7500（1+x）2＝8500C．8500（1﹣x）2＝7500D．8500（1+x）2＝7500【分析】设年平均增长率为x，根据青山村种的水稻2016年及2018年平均每公项的产量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设年平均增长率为x，根据题意得：7500（1+x）2＝8500．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．如图，点C是⊙O的劣弧AB上一点，∠AOB＝96°，则∠ACB的度数为（）A．192°B．120°C．132°D．l50【分析】如图作圆周角∠ADB，根据圆周角定理求出∠D的度数，再根据圆内接四边形性质求出∠C即可．【解答】解：如图做圆周角∠ADB，使D在优弧上，∵∠AOB＝96°，∴∠D＝∠AOB＝48°，∵A、D、B、C四点共圆，∴∠ACB+∠D＝180°，∴∠ACB＝132°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形性质的应用，正确作辅助线是解此题的关键．8．下列说法正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴C．相等的弧所对弦相等D．长度相等弧是等弧【分析】根据垂径定理，等弧的定义，圆的性质一一判断即可；【解答】解：A、错误．需要添加此弦非直径的条件；B、错误．应该是圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；C、正确．D、错误．长度相等弧是不一定是等弧，等弧的长度相等；故选：C．【点评】本题考查垂径定理，等弧的定义，圆的有关性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，E是上一点，将沿BC翻折后E点的对称点F 落在OA中点处，则BC的长为（）A．B．2C．D．【分析】连接OC．由△AFC∽△ACO，推出AC2＝AF•OA，可得AC＝，再利用勾股定理求出BC即可解决问题；【解答】解：连接OC．由翻折不变性可知：EC＝CF，∠CBE＝∠CBA，∴＝，∴AC＝CE＝CF，∴∠A＝∠AFC，∵OA＝OC＝2，∴∠A＝∠ACO，∴∠AFC＝∠ACO，∵∠A＝∠A，∴△AFC∽△ACO，∴AC2＝AF•OA，∵AF＝OF＝1，∴AC2＝2，∵AC＞0，∴AC＝，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝，故选：D．【点评】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．10．抛物线y＝ax2+bx+1的顶点为D，与x轴正半轴交于A、B两点，A在B左，与y轴正半轴交于点C，当△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点）时，b的值为（）A．2B．﹣2或﹣4C．﹣2D．﹣4【分析】根据题意和函数图象，利用二次函数的性质和等腰三角形的性质，可以求得b的值，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+1，∴x＝0时，y＝1，∴点C的坐标为（0，1），∴OC＝1，∵△OBC为等腰直角三角形，∴OC＝OB，∴OB＝1，∴抛物线y＝ax2+bx+1与x轴的一个交点为（1，0），∴a+b+1＝0，得a＝﹣1﹣b，设抛物线y＝ax2+bx+1与x轴的另一个交点A为（x1，0），∴x1×1＝，∵△ABD为等腰直角三角形，∴点D的纵坐标的绝对值是AB的一半，∴，∴﹣，解得，b＝﹣2或b＝﹣4，当b＝﹣2时，a＝﹣1﹣（﹣2）＝1，此时y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，与x轴只有一个交点，故不符合题意，当b＝﹣4时，a＝﹣1﹣（﹣4）＝3，此时y＝3x2﹣4x+1，与x轴两个交点，符合题意，故选：D．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分11．如果x＝2是方程x2﹣c＝0的一个根，那么c的值是4．【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解，知x＝2是方程的根，代入方程即可求解．【解答】解：∵x＝2是方程的根，由一元二次方程的根的定义代入可得，4﹣c＝0，∴c＝4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．12．与点P（3，4）关于原点对称的点的坐标为（﹣3，﹣4）．【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．【解答】解：点P（3，4）关于中心对称的点的坐标为（﹣3，﹣4）．【点评】关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．13．如果（m﹣1）x2+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值范围为m≠1．【分析】一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．【解答】解：（m﹣1）x2+2x﹣3＝0是一元二次方程，得m≠1，故答案为：m≠1．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．14．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝﹣6t2+15t，则汽午刹车后到停下来需要秒．【分析】根据二次函数的解析式可得出汽车刹车时的初速度以及刹车时的加速度，由“刹车时间＝初速度÷刹车加速度”求出刹车后汽车行驶的时间．【解答】解：∵汽车刹车后行驶的距离s关于行驶的时间t的函数解析式是s＝15t﹣6t2，∴刹车前的初速度为15m/s，刹车的加速度为﹣12m/s2，∴汽车刹车后行驶的时间为：15÷12＝s，故答案为：．【点评】本题考查了二次函数的应用，根据二次函数关系式找出刹车的初速度以及加速度后计算出刹车时间是解题的关键．15．二次函数y＝（x﹣2）2当2﹣a≤x≤4﹣a，最小值为4，则a的值为4或﹣2．【分析】根据二次函数图象的开口方向知道，当x＝0或x＝4时，函数值的最小值是4，结合函数图象得到当x≤0或x≥4时，符合题意．【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣2）2当2﹣a≤x≤4﹣a，最小值为4，＝4．∴当x＝0或x＝4时，y最小值＝4．如图，当x≤0或x≥4时，y最小值∵2﹣a≤x≤4﹣a，∴a＝4或a＝﹣2．故答案是：4或﹣2．【点评】考查了二次函数的最值，解题时，采用了“数形结合”的数学思想，使问题变得直观化．16．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），B是x轴正半轴上一动点，将点A绕点B 顺时针旋转60°得点C，OB延长线上有一点D，满足∠BDC＝∠BAC，则线段BD长为2．【分析】如图，在DO上取一点H，使得DH＝CD．设AH交BC于点K．只要证明△ACH ≌△BCD（SAS），推出∠CAH＝∠CBD，AH＝BD，由∠AKC＝∠BKH，推出∠KHB＝∠ACB＝60°，求出AH即可解决问题；【解答】解：如图，在DO上取一点H，使得DH＝CD．设AH交BC于点K．∵BA＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵DC＝DH，∠CDH＝60°，∴△CDH是等边三角形，∴CA＝CB，CH＝CD，∠ACB＝∠HCD＝60°，∴∠ACH＝∠BCD，∴△ACH≌△BCD（SAS），∴∠CAH＝∠CBD，AH＝BD，∵∠AKC＝∠BKH，∴∠KHB＝∠ACB＝60°，在Rt△AOH中，∵OA＝3，∴AH＝＝2，∴BD＝AH＝2．故答案为2．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）解方程：x2﹣4x﹣4＝0．（用配方法解答）【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方后求解可得．【解答】解：∵x2﹣4x＝4，∴x2﹣4x+4＝4+4，即（x﹣2）2＝8，∴x﹣2＝±2，则x＝2±2．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18．（8分）如图，在△AOB和△DOC中，AO＝BO，CO＝DO，∠AOB＝∠COD，连接AC、BD，求证：△AOC≌△BOD．【分析】根据角的和差得到∠AOC＝∠BOD，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．【解答】证明：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC与△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练全等三角形的判定定理是解题的关键．19．（8分）如图，利用一面墙（墙的长度不限），另三边用20m长的篱笆围成一个面积为50m2的矩形场地，求矩形的长和宽各是多少．【分析】设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为（20﹣x）米，根据矩形面积的计算方法列出方程求解．【解答】解：设矩形与墙平行的一边长为xm，则另一边长为（20﹣x）m．根据题意，得（20﹣x）x＝50，解方程，得x＝10．当x＝10时，（20﹣x）＝5．答：矩形的长为10m，宽为5m．【点评】此题不仅是一道实际问题，考查了一元二次方程的应用，解答此题要注意以下问题：（1）矩形的一边为墙，且墙的长度不超过45米；（2）根据矩形的面积公式列一元二次方程并根据根的判别式来判断是否两边长相等．20．（8分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．【分析】（1）先计算判别式的值得到△＝（m+2）2﹣4m×2＝（m﹣2）2，再根据非负数的值得到△≥0，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根；（2）利用因式分解法解方程得到x1＝1，x2＝，然后利用整数的整除性确定正整数m的值．【解答】（1）证明：∵m≠0，△＝（m+2）2﹣4m×2＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2，而（m﹣2）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：（x﹣1）（mx﹣2）＝0，x﹣1＝0或mx﹣2＝0，∴x1＝1，x2＝，当m为正整数1或2时，x2为整数，即方程的两个实数根都是整数，∴正整数m的值为1或2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．21．（8分）如图，⊙O的半径OA⊥弦BC于H，D是⊙O上另一点，AD与BC相交于点E，若DC＝DE，OB＝，AB＝5．（1）求证：∠AOB＝2∠ADC．（2）求AE长．【分析】（1）根据垂径定理可得，可得∠AOC＝∠AOB，根据圆周角定理可得∠AOB＝2∠ADC；（2）由题意可证AB＝BE＝5，根据勾股定理可求AH＝3，即可求EH的长，根据勾股定理可得AE的长．【解答】证明：（1）如图，连接OC，∵OA⊥BC，∴，∴∠AOC＝∠AOB，∵∠AOC＝2∠ADC，∴∠AOB＝2∠ADC（2）∵DC＝DE∴∠DCE＝∠DEC∵∠DCE＝∠DAB，∠DEC＝∠AEB，∴∠AEB＝∠DAB，∴AB＝BE＝5∵AH2+BH2＝AB2，OH2+BH2＝OB2，∴AB2﹣AH2＝BH2＝OB2﹣（AO﹣AH）2，∴25﹣AH2＝﹣（﹣AH）2，∴AH＝3，∴BH＝4，∴EH＝BE﹣BH＝1，∴AE＝＝【点评】本题考查圆的有关知识、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．22．（10分）名闻遐迩的采花毛尖明前茶，成本每厅400元，某茶场今年春天试营销，每周的销售量y（斤）是销售单价x（元/斤）的一次函数，且满足如下关系：（1）请根据表中的数据求出y与x之间的函数关系式；（2）若销售每斤茶叶获利不能超过40%，该茶场每周获利不少于30000元，试确定销售单价x的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法求解可得依次函数解析式；（2）根据“总利润＝每斤的利润×周销售量”可得函数解析式，再利用二次函数的性质结合x的取值范围可得答案；【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，根据题意，得：，解得：，则y＝﹣x+800；（2）w＝（x﹣400）（﹣x+500）＝﹣x2+1200x﹣320000，令w＝30000得：30000＝﹣x2+1200x﹣320000，解得：x＝500或x＝700，∵a＝﹣1＜0，∴500≤x≤700时w不小于30000，∵x﹣400≤400×40%，∴x≤560，∴500≤x≤560．【点评】本题主要考查一次函数的应用及一元二次方程的应用的知识，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、理解题意找到相等关系并列出函数解析式．23．（10分）（1）如图1，△AEC中，∠E＝90°，将△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△ADB，AC与AB对应，AE与AD对应①请证明△ABC为等边三角形；②如图2，BD所在的直线为b，分别过点A、C作直线b的平行线a、c，直线a、b之间的距离为2，直线a、c之间的距离为7，则等边△ABC的边长为2．（2）如图3，∠POQ＝60°，△ABC为等边三角形，点A为∠POQ内部一点，点B、C分别在射线OQ、OP上，AE⊥OP于E，OE＝5，AE＝2，求△ABC的边长．【分析】（1）由旋转的性质可得：AB＝AC，∠BAC＝60°，即可证△ABC为等边三角形；（2）过点E作EG⊥直线a，延长GE交直线c于点H，可得GH＝7，AD＝2，由旋转的性质可得AD＝AE＝2，∠DAE＝60°，可求GE＝1，EH＝6，由锐角三角函数可求CE＝4，根据勾股定理可求等边△ABC的边AC的长；（3）过点A作∠AHO＝60°，交OQ于点G，交OP于点H，根据特殊三角函数值可求AH ＝4，通过证明△OBC≌△HCA，可求AH＝OC＝4，CE＝1，根据勾股定理可求△ABC 的边AC的长．【解答】解：（1）∵将△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△ADB，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形．（2）过点E作EG⊥直线a，延长GE交直线c于点H，∵a∥b∥c，∴EH⊥直线c，∵直线a、c之间的距离为7，∴GH＝7∵将△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△ADB，∴AD＝AE，∠ADB＝∠AEC＝90°，∠DAE＝60°，∵直线a、b之间的距离为2，∴AD＝2＝AE，∵∠GAE＝∠GAD﹣∠DAE＝90°﹣60°＝30°，∴GE＝AE＝1，∠AEG＝60°，∴EH＝7﹣1＝6，∵∠CEH＝180°﹣∠AEC﹣∠AEG，∴∠CEH＝30°，∴cos∠CEH＝∴CE＝4在Rt△ACE中，AC＝＝＝2，故答案为：2（3）过点A作∠AHO＝60°，交OQ于点G，交OP于点H，∵AE⊥OP，∠AHO＝60°∴sin∠AHO＝∴AH＝4∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ACB＝60°＝∠POQ，∵∠POQ+∠OBC+∠OCB＝180°，∠ACB+∠OCB+∠ACH＝180°，∴∠ACH＝∠OBC，且BC＝AC，∠O＝∠AHC＝60°，∴△OBC≌△HCA（AAS）∴AH＝OC＝4，∴CE＝OE﹣OC＝5﹣4＝1，在Rt△ACE中，AC＝＝＝，∴△ABC的边长为．【点评】本题是几何变换综合题，考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，本题的关键是添加恰当的辅助线构造全等三角形．24．（12分）如图1，抛物线y＝ax2﹣2x﹣3与x轴交于点A、B（3，0），交y轴于点C（1）求a的值．（2）过点B的直线1与（1）中的抛物线有且只有一个公共点，则直线1的解析式为x＝3或y＝4x﹣12．（3）如图2，已知F（0，﹣7），过点F的直线m：y＝kx﹣7与抛物线y＝x2﹣2x﹣3交于M、N两点，当S△CMN＝4时，求k的值．【分析】（1）把（3，0）代入y＝ax2﹣2x﹣3，即可求解；（2）当直线与y轴平行时，直线l的解析式为：x＝﹣3；当直线与y轴不平行时，设：直线1的解析式为：y＝kx+b，由△＝0即可求解；（3）联立得：x2﹣（2+k）x+4＝0，由S△CMN ＝|S△CFN﹣S△CFM|＝×CF×|x M﹣x N|＝4，即可求解．【解答】解：（1）把（3，0）代入y＝ax2﹣2x﹣3，得：0＝9a﹣6﹣3，∴a＝1；（2）当直线与y轴平行时，直线l的解析式为：x＝﹣3当直线与y轴不平行时，设：直线1的解析式为：y＝kx+b，将点B坐标代入上式，解得：b＝﹣3k则直线的表达式为：y＝kx﹣3k…①，抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…②，联立①②并整理得：x2﹣（k+2）x+（3k﹣3）＝0，△＝b2﹣4ac＝（k+2）2﹣4（3k﹣3）＝0，解得：k ＝4，故：直线的表达式为：x ＝3或y ＝4x ﹣12；（3）联立得：x 2﹣（2+k ）x +4＝0，x M +x N ＝k +2，x M •x N ＝4，∵S △CMN ＝|S △CFN ﹣S △CFM |＝×CF ×|x M ﹣x N |＝4，∴×4×＝4，即：（k +2）2＝20，解得：k ＝﹣2±2． 【点评】本题考查的是二次函数综合应用，涉及到一次函数、根的判别式、三角新人教版九年级数学上册期中考试试题(含答案)一.选择题（每小题3分，总分36分）1．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）A ．（x +1）2＝2（x +1）B ．C ．ax 2+bx +c ＝0D ．x 2+2x ＝x 2﹣12．若关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2﹣2x +1＝0有实根，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜3B ．m ≤3C ．m ＜3且m ≠2D ．m ≤3且m ≠23．方程x （x ﹣1）＝x 的根是（ ）A ．x ＝2B ．x ＝﹣2C ．x 1＝﹣2，x 2＝0D ．x 1＝2，x 2＝04．下列方程中以1，﹣2为根的一元二次方程是（ ）A ．（x +1）（x ﹣2）＝0B ．（x ﹣1）（x +2）＝1C ．（x +2）2＝1D ．5．把二次函数y ＝3x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ）A ．y ＝3（x ﹣2）2+1B ．y ＝3（x +2）2﹣1C ．y ＝3（x ﹣2）2﹣1D ．y ＝3（x +2）2+16．函数y ＝﹣x 2﹣4x +3图象顶点坐标是（ ）A ．（2，﹣7）B ．（2，7）C ．（﹣2，﹣7）D ．（﹣2，7）7．抛物线y ＝（x +2）2+1的顶点坐标是（ ）A ．（2，1）B ．（﹣2，1）C ．（2，﹣1）D ．（﹣2，﹣1）8．y ＝（x ﹣1）2+2的对称轴是直线（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ＝1C ．y ＝﹣1D ．y ＝19．如果x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，那么x 1+x 2的值为（ ）A ．﹣1B ．2C ．D ．10．当a ＞0，b ＜0，c ＞0时，下列图象有可能是抛物线y ＝ax 2+bx +c 的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．不论x 为何值，函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的值恒大于0的条件是（ ）A ．a ＞0，△＞0B ．a ＞0，△＜0C ．a ＜0，△＜0D ．a ＜0，△＞012．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为（ ）A ．x （x +1）＝1035B ．x （x ﹣1）＝1035×2C ．x （x ﹣1）＝1035D ．2x （x +1）＝1035二.填空题（每小题3分，总分18分）13．若关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m ＝0有实数根，则m 的取值范围是 ．14．方程x 2﹣3x +1＝0的解是 ．15．如图所示，在同一坐标系中，作出①y ＝3x 2②y ＝x 2③y ＝x 2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号） ．16．抛物线y ＝﹣x 2+15有最 点，其坐标是 ．17．水稻今年一季度增产a 吨，以后每季度比上一季度增产的百分率为x ，则第三季度化肥增产的吨数为 ．18．已知二次函数y ＝+5x ﹣10，设自变量的值分别为x 1，x 2，x 3，且﹣3＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系为三.解答题（本大题共8个小题，）19．（6分）解方程x 2﹣4x +1＝0x （x ﹣2）＝4﹣2x ；20．（6分）抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（2，4），且过（1，2）点，求抛物线的解析式．21．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m ＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2．（1）求m 的取值范围；（2）当x 1＝1时，求另一个根x 2的值．22．（8分）已知：抛物线y ＝﹣x 2+x ﹣（1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）求抛物线与坐标轴的交点坐标；（3）当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？23．（9分）百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？24．（9分）某广告公司要为客户设计一幅周长为12m 的矩形广告牌，广告牌的设计费为每平方米1000元．请你设计一个广告牌边长的方案，使得根据这个方案所确定的广告牌的长和宽能使获得的设计费最多，设计费最多为多少元？25．（10分）如图，对称轴为直线x ＝2的抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为（﹣1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）直接写出B、C两点的坐标；（3）求过O，B，C三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）26．（10分）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？参考答案一.选择题1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．（x+1）2＝2（x+1）B．C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．解：下列方程中，关于x的一元二次方程是（x+1）2＝2（x+1），故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．2．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，则m的取值范围是（）A．m＜3 B．m≤3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2 【分析】由于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，那么二次项系数不等于0，并且其判别式△是非负数，由此可以建立关于m的不等式组，解不等式组即可求出m的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，∴m﹣2≠0，并且△＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝12﹣4m≥0，∴m≤3且m≠2．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式的知识，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．此题切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．3．方程x（x﹣1）＝x的根是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝0【分析】先将原方程整理为一般形式，然后利用因式分解法解方程．解：由原方程，得x 2﹣2x ＝0，∴x （x ﹣2）＝0，∴x ﹣2＝0或x ＝0，解得，x 1＝2，x 2＝0；故选：D ．【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣﹣因式分解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．4．下列方程中以1，﹣2为根的一元二次方程是（ ）A ．（x +1）（x ﹣2）＝0B ．（x ﹣1）（x +2）＝1C ．（x +2）2＝1D ． 【分析】根据因式分解法解方程对A 进行判断；根据方程解的定义对B 进行判断；根据直接开平方法对C 、D 进行判断．解：A 、x +1＝0或x ﹣2＝0，则x 1＝﹣1，x 2＝2，所以A 选项错误；B 、x ＝1或x ＝﹣2不满足（x ﹣1）（x +2）＝1，所以B 选项错误；C 、x +2＝±1，则x 1＝﹣1，x 2＝﹣3，所以C 选项错误；D 、x +＝±，则x 1＝1，x 2＝﹣2，所以D 选项正确．故选：D ．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了直接开平方法解一元二次方程，5．把二次函数y ＝3x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ）A ．y ＝3（x ﹣2）2+1B ．y ＝3（x +2）2﹣1C ．y ＝3（x ﹣2）2﹣1D ．y ＝3（x +2）2+1【分析】变化规律：左加右减，上加下减．解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y ＝3x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y ＝3（x +2）2+1．故选D ．【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质．6．函数y ＝﹣x 2﹣4x +3图象顶点坐标是（ ）A ．（2，﹣7）B ．（2，7）C ．（﹣2，﹣7）D ．（﹣2，7）【分析】先把二次函数化为顶点式的形式，再得出其顶点坐标即可．解：∵原函数解析式可化为：y ＝﹣（x +2）2+7，∴函数图象的顶点坐标是（﹣2，7）．故选：D ．【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据题意把二次函数的解析式化为顶点式的形式是解答此题的关键．7．抛物线y ＝（x +2）2+1的顶点坐标是（ ）A ．（2，1）B ．（﹣2，1）C ．（2，﹣1）D ．（﹣2，﹣1）【分析】已知解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标． 解：因为y ＝（x +2）2+1是抛物线的顶点式，由顶点式的坐标特点知，顶点坐标为（﹣2，1）．故选：B ．【点评】考查顶点式y ＝a （x ﹣h ）2+k ，顶点坐标是（h ，k ），对称轴是x ＝h ．要掌握顶点式的性质．8．y ＝（x ﹣1）2+2的对称轴是直线（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ＝1C ．y ＝﹣1D ．y ＝1【分析】二次函数的一般形式中的顶点式是：y ＝a （x ﹣h ）2+k （a ≠0，且a ，h ，k 是常数），它的对称轴是x ＝h ，顶点坐标是（h ，k ）．解：y ＝（x ﹣1）2+2的对称轴是直线x ＝1．故选：B ．【点评】本题主要考查二次函数顶点式中对称轴的求法．9．如果x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，那么x 1+x 2的值为（ ）A ．﹣1B ．2C ．D ．【分析】可以直接利用两根之和得到所求的代数式的值．解：如果x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，那么x 1+x 2＝2．。

7． （3 分）下列说法中，正确的是（
A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线 B．任何三角形有且只有一个内切圆 C．三点确定一个圆 D．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等
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8． （3 分）如图，在△ABC 中，点 O 为重心，则 S△DOE：S△BOC=（
）
A．1：4
B．1：3
18． （2 分）如图，△ABC 是等腰直角三角形，AC=BC=2a，以斜边 AB 上的点 O 为圆心的圆分别与 AC，BC 相切于点 E，F，与 AB 分别交于点 G，H，且 EH 的延 长线和 CB 的延长线交于点 D，则 CD 的长为 ．
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三、解答题（共 10 小题，满分 84 分） 19． （8 分）解方程： （1）x2﹣2x﹣4=0 （2） （x+3） （x﹣1）=12． 20． （6 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°． （1）先作∠ABC 的平分线交 AC 边于点 O，再以点 O 为圆心，OC 为半径作⊙O （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ； （2）请你判断（1）中 AB 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论．
C．1：2
D．2：3 ）
9． （3 分）如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，∠A=72°，则∠BCO 的度数为（
A．15° B．18° C．20° D．28° 10． （3 分）如图，将△ABC 沿着过 AB 中点 D 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上 的 A1 处，称为第 1 次操作，折痕 DE 到 BC 的距离记为 h1；还原纸片后，再将△ ADE 沿着过 AD 中点 D1 的直线折叠，使点 A 落在 DE 边上的 A2 处，称为第 2 次操 作，折痕 D1E1 到 BC 的距离记为 h2；按上述方法不断操作下去…，经过第 2016 次操作后得到的折痕 D2015E2015 到 BC 的距离记为 h2016， 到 BC 的距离记为 h2016． 若 h1=1，则 h2016 的值为（ ）

2015年秋学期期中考试试题初三数学一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）.1.关于x 的一元二次方程x 2＋px －2＝0的一个解为2，则p 的值……………………… （ ）. A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2 【答案】C. 【解析】试题分析：把x=2代入此方程得：4+2P-2=0，解得：P=-1.故选C. 考点：一元二次方程解的意义.2.已知 a 2＝b 5，则b －aa的值为……………………………………………………………… … （ ）.A ．32B ．23C ．25D ．52【答案】A. 【解析】试题分析：由已知得：5a=2b ，将所求式子分子分母扩大5倍得：b －a a =a a b 55-5=5-2b 322b b =.故选A.考点：求代数式的值.3.已知等腰三角形的底和腰是方程x 2－6x ＋8＝0的两根，则这个三角形的周长为…… （ ）.A ．8B ．10C ．8或10D ．无法确定 【答案】B. 【解析】试题分析：先解方程x 2－6x ＋8＝0得：（x-2)(x-4)=0,解得：x 1=2,x 2=4,因为2,2,4不符合三角形三边关系，所以三角形的三边应该是2,4,4，故周长为10.选B. 考点：1.三角形三边关系；2.解一元二次方程.4.如图，在△ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，EF ∥BC ，且AE EB ＝12，若△AEF 的面积为2，则四边形EBCF的面积为 ……………………………………………………………… （ ）. A ．4B ．6C ．16D ．185.如图，添加下列一个条件，不能．．使△ADE ∽△ACB 的是…………………………………（ ）. A ．DE ∥BC B ．∠AED ＝∠B C ．AD AC ＝AEABD ．∠ADE ＝∠C【答案】A. 【解析】试题分析：相似三角形的判定有三种方法：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似。

九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A. B.C. D.2.如图，CD是⊙O的直径，弦DE∥OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（）A.B.C.D.3.如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4．其中正确的有（）A. 0个B. 1个C. 2个D.3个4.如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A. 6B. 5C. 4D. 35.如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（）A. cmB.C. cmD. 1cm6.如图，在一幅长80cm，宽50cm的矩形树叶画四周镶一条金色的纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则满足的方程是（）A. B.C. D.7.下列命题是真命题的是（）A. 垂直于圆的半径的直线是圆的切线B. 经过半径外端的直线是圆的切线C. 直线上一点到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线D. 到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线8.如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，则DE的长等于（）A.B.C.D.9.如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为a（a≥3）的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）A.B.C.D.10.如图，在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD=2，线段CP的最小值是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.已知=，则= ______ ．12.近年来全国房价不断上涨，我市2013年的房价平均每平方米为7000元，经过两年的上涨，2015年房价平均每平方米为8500元，设这两年房价的年平均增长率均为x，则关于的方程为______ ．13.若关于x的一元二次方程（k-1）x2+2x-2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．14.如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA= ______ °．15.小红需要用扇形薄纸板制作成底面半径为9厘米，高为12厘米的圆锥形生日帽，如图所示，则该扇形薄纸板的圆心角为______ ．16.如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是______．17.如图，平面直角坐标系中，⊙A的圆心在x轴上，坐标为（a，0），半径为1，直线l为y=2x-2，若⊙A沿x轴向右运动，当⊙A与直线l有公共点时，点A横坐标a 的取值范围是______ ．18.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，点B落在点D的位置，且AD交y轴于点E，那么点D的坐标为______ ．三、解答题（本大题共10小题，共84.0分）19.（1）3y（y-1）=2（y-1）（2）（x-1）（x+2）=70（3）2y2-3=4y（配方法）20.小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米．请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米？（注意：根据光的反射定律：反射角等于入射角）．21.在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=5，若关于x的方程x2+（b+2）x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．22.如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C．（1）请找出该圆弧所在圆的圆心O的位置；（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：①⊙O的半径为______ （结果保留根号）；②的长为______ （结果保留π）；③试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．23.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AE交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE⊥CD；（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求⊙O的半径．24.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，以BC为直径的半圆交AB于点D，以A为圆心，AC为半径的扇形交AB 于点E．（1）以BC为直径的圆与AC所在的直线有何位置关系？请说明理由；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．25.某公司销售一种进价为20（元/个）的计算器，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）之间为一次函数关系，其变化如下表：40万元的净利润，且尽可能让顾客得到实惠，那么销售价格应定为多少？（注：净利润=总销售额-总进价-其他开支）26.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边长为AO=6，BO=8，（1）如图①，动点P以每秒2个单位的速度由点C向点A沿线段CA运动，同时点Q以每秒4个单位的速度由点O向点C沿线段OC运动，求当P、Q、C三点构成等腰三角形时点P的坐标．（2）如图②，E是OB的中点，将△AOE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形AOBC 内部，延长AF交BC于点G．求点G的坐标．27.如图1，小红将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=15，AD=12．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E 点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2）求FB的长度；（2）在（1）的条件下，小红想用△EFG包裹矩形ABCD，她想了两种包裹的方法如图3、图4，请问哪种包裹纸片的方法使得未包裹住的面积大？（纸片厚度忽略不计）请你通过计算说服小红．28.对于半径为r的⊙P及一个正方形给出如下定义：若⊙P上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称⊙P是该正方形的“等距圆”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C 在点D的左侧．（1）当r=4时，①在P1（0，-3），P2（4，6），P3（4，2）中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是______；②若点P在直线y=-x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，则点P的坐标为______；（2）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方．①若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P在y轴上截得的弦长；②将正方形ABCD绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，则r的取值范围是______．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、由原方程得到2x+1=0，即未知数的最高次数是1．故本选项错误；B、当a=0时．该方程不是一元二次方程．故本选项错误；C、由原方程得到x2-x-1=0，符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D、该方程中含有两个未知数．故本选项错误；故选C．本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．本题考查了利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2.【答案】A【解析】解：∵DE∥OA，∴∠AOD=∠D=50°，∴∠C=∠AOD=25°，故选：A．根据平行线的性质可得∠AOD=∠D，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得答案．此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.【答案】D【解析】解：∵等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，∴DE=1，DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴DE：AB=1：2，∴△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4．故选D．由题意即可推出DE∥AB，推出DE=1，△CDE∽△CAB，△CDE的面积与△CAB 的面积之比为相似比的平方，即为1：4．本题主要考查相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形中位线定理，关键在于推出DE∥AB．4.【答案】B【解析】解：过O作OC⊥AB于C，∵OC过O，∴AC=BC=AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5．故选：B．过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长．5.【答案】A【解析】解：连接AC，过B作BD⊥AC于D；∵AB=BC，∴△ABC是等腰三角形，∴AD=CD；∵此多边形为正六边形，∴∠ABC==120°，∴∠ABD=×120°=60°，∴∠BAD=30°，AD=AB•cos30°=2×=，∴a=2cm．故选A．连接AC，作BD⊥AC于D；根据正六边形的特点求出∠ABC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠BAD的度数，由特殊角的三角函数值求出AD的长，进而可求出AC的长．此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，根据等腰三角形及正六边形的性质求解．6.【答案】B【解析】解：依题意，设金色纸边的宽为xcm，则（80+2x）（50+2x）=5400．故选：B．根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（树叶画的长+2个纸边的宽度）×（树叶画的宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程．此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．7.【答案】D【解析】解：A、应经过此半径的外端，故本选项错误；B、应该垂直于此半径，故本选项错误．C、应是圆心到直线的距离等于圆的半径，故本选项错误；D、根据切线的判定方法，故本选项正确；故选D．要正确理解切线的定义：和圆有唯一公共点的直线是圆的切线．掌握切线的判定：①经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线，是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线．本题考查了命题和定理，知识点有：切线的判定方法．8.【答案】D【解析】解：∵∠C=∠E，且∠BDE=∠ADC，∴△BDE∽△ADC，∴=，∵BC=8，BD：DC=5：3，∴BD=5，DC=3，AD=4，∴=，解得DE=，故选：D．由条件可证明△BDE∽△ADC，且可求得BD和DC的长度，利用相似三角形的对应边的比相等可求得DE．本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题时注意：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．9.【答案】B【解析】解：小正方形的面积是：1；当圆运动到正方形的一个角上时，形成扇形BAO，它的面积是．则这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是4×（1-）=4-π．故选：B．这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是就是小正方形的面积与扇形的面积的差的4倍．本题主要考查了轨迹、正方形和圆的面积的计算公式，正确记忆公式是关键．10.【答案】B【解析】解：∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，∴DE=CF，在△ADE和△DCF中，，∴∠DAE=∠CDF，∵∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°，∴∠ADF+∠DAE=90°，∴∠APD=90°，取AD的中点O，连接OP，则OP=AD=×2=1（不变），根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，在Rt△COD中，根据勾股定理得，CO===，所以，CP=CO-OP=-1．故选B．根据点E、F的运动速度判断出DE=CF，然后利用“边角边”证明△ADE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAE=∠CDF，然后求出∠APD=90°，取AD的中点O，连接OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点P到AD的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，然后根据勾股定理列式求出CO，再求解即可．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，确定出点P到AD的中点的距离是定值是解题的关键，也是本题的难点．11.【答案】【解析】解；由=，得=．由合比性质，得=．=，故答案为：．根据比例的性质，可得y：x的值，再根据倒数的意义，可得答案．本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单12.【答案】7000（1+x）2=8500【解析】解：设这两年房价的年平均增长率均为x，根据题意，可列方程：7000（1+x）2=8500，故答案为：7000（1+x）2=8500．由于设这两年房价的平均增长率均为x，那么2014年房价平均每平方米为7000（1+x）元，2015年的房价平均每平方米为7000（1+x）（1+x）元，然后根据2015年房价平均每平方米为8500元即可列出方程．此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．13.【答案】k＞且k≠1【解析】解：根据题意得k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0，解得：k＞且k≠1．故答案为：k＞且k≠1．根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．14.【答案】67.5【解析】解：∵PD切⊙O于点C，∴∠OCD=90°；又∵CO=CD，∴∠COD=∠D=45°；∴∠A=∠COD=22.5°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∵OA=OC，∴∠A=∠ACO=22.5°（等边对等角），∴∠PCA=180°-∠ACO-∠OCD=67.5°．故答案是：67.5°．根据切线的性质知∠OCD=90°，然后在等腰直角三角形OCD中∠COD=∠D=45°；再由圆周角定理求得∠ACO=22.5°；最后由平角的定义即可求得∠PCA的度数．本题考查了圆的切线．解题的关键是根据切线的定义推知∠OCD=90°．15.【答案】216°【解析】解：母线长==15，设该扇形薄纸板的圆心角为n°，所以2π•9=，解得n=216，即该扇形薄纸板的圆心角为216°．故答案为216°．利用勾股定理计算出母线长=15，设该扇形薄纸板的圆心角为n°，利用弧长公式得到2π•9=，解得n=216．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．16.【答案】4π【解析】解：弧CD的长是=，弧DE的长是：=，弧EF的长是：=2π，则曲线CDEF的长是：++2π=4π．故答案为：4π．弧CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120度，半径分别是1，2，3，利用弧长的计算公式可以求得三条弧长，三条弧的和就是所求曲线的长．本题考查了弧长的计算公式，理解弧CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120度，半径分别是1，2，3是解题的关键．17.【答案】1-≤a≤1+【解析】解：如图：当⊙A在直线L的左侧，⊙A与直线L相切时，△BOD∽△ABC，∵直线l为y=2x-2，∴B（1，0），D（0，-2），∴OB=1，OD=2，∴，即，∴BC=，∴AB=，当⊙A在直线L的右侧，⊙A与直线L相切时，同理A′B=，∴A横坐标a的取值范围是1-≤a≤1+，故答案为：1-≤a≤1+．根据⊙A与L有公共点从左相切开始，到相交，到右相切，所以A移动的距离是左相切到右相切时的距离．此题主要考查了坐标与图形的性质和直线与圆的位置关系，关键是知道点A 移动距离．18.【答案】（-，）【解析】解：如图，过D作DF⊥AF于F，∵点B的坐标为（1，3），∴AO=1，AB=3，根据折叠可知：CD=OA，而∠D=∠AOE=90°，∠DEC=∠AEO，∴△CDE≌△AOE，∴OE=DE，OA=CD=1，设OE=x，那么CE=3-x，DE=x，∴在Rt△DCE中，CE2=DE2+CD2，∴（3-x）2=x2+12，∴x=．又DF⊥AF，∴DF∥EO，∴△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，∴AE=CE=3-=，∴==，即==．∴DF=，AF=．∴OF=-1=．∴点D的坐标为（-，）．故答案为：（-，）．如图，过D作DF⊥AF于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE=DE，OA=CD=1，设OE=x，那么CE=3-x，DE=x，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了D的坐标．此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．19.【答案】解：（1）∵3y（y-1）=2（y-1），∴（y-1）（3y-2）=0，∴y-1=0或3y-2=0，∴y1=1，y2=；（2）∵（x-1）（x+2）=70，∴x2+x-2=70，∴x2+x-72=0，∴（x+9）（x-8）=0，∴x+9=0或x-8=0，∴x1=-9，x2=8；（3）∵2y2-3=4y，∴2（y2-2y+1-1）-3=0，∴2（y-1）2=5，y=1±，y1=1+，y2=1-．【解析】（1）移项将方程右边化简为0，然后在提取公因式即可求解；（2）将方程左边去括号然后再化简成x2+x-72=0，利用因式分解即可求解；（3）移项然后在利用配方法即可求解．本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．20.【答案】解：根据题意可得：∠AEB=∠CED，∠BAE=∠DCE=90°，（2分）∴△ABE∽△CDE，（5分）∴，（7分）∴，（8分）∴AB=13.44（米）．（11分）答：教学大楼的高度AB是13.44米．（12分）【解析】根据反射定律，∠1=∠2，又因为FE⊥EC，所以∠3=∠4，再根据垂直定义得到∠BAE=∠DCE，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的性质解答．本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．21.【答案】解：∵关于x的方程x2+（b+2）x+6-b=0有两个相等的实数根，∴△=（b+2）2-4（6-b）=0，即b2+8b-20=0；解得b=2，b=-10（舍去）；①当a为底，b为腰时，则2+2＜5，构不成三角形，此种情况不成立；②当b为底，a为腰时，则5-2＜5＜5+2，能够构成三角形；此时△ABC的周长为：5+5+2=12；答：△ABC的周长是12．【解析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=0，据此可求出b的值；进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长．此题考查了根与系数的关系、等腰三角形的性质及三角形三边关系定理；在求三角形的周长时，不能盲目的将三边相加，而应在三角形三边关系定理为前提条件下分类讨论，以免造成多解、错解．22.【答案】2；π【解析】解：（1）如图所示：连接AC，作线段AC的垂线OE，交正方形网格于点O，则O点即为⊙O的圆心；（2）①在Rt△OCF中，∵CF=2，OF=4，∴OC===2；②在Rt△OAG与Rt△OCF中，AG=OF=4，OG=CF=2，OA=OC=2，∴∠OAG=∠COF，∠AOG=∠OCF，∵∠OAG+∠AOG=90°，∠OCF+∠COF=90°，∴∠AOG+∠COF=90°，∴∠AOC=90°，∴===π；③直线DC与⊙O相切．理由：∵连接CD，在△DCO中，CD=，CO=2，DO=5，∴CD2+CO2=25=DO2．∴∠DCO=90°，即CD⊥OC．∴CD与⊙O相切．（1）连接AC，作AC的垂直平分线，由垂径定理可知OE与网格的交点即为⊙O的圆心；（2）①直接根据正方形网格的特点及勾股定理求出OC的长即为⊙O的半径；②先根据直角三角形的性质得出∠AOC=90°，再根据弧长公式求出的度数；③连接CD，根据勾股定理得出CD、OD的长，由勾股定理的逆定理判断出△OCD的形状即可．本题考查的是垂径定理的应用、勾股定理、直线与圆的位置关系、勾股定理的逆定理及弧长的计算，在解答此题时要先根据垂径定理作出圆心，再根据勾股定理的相关知识进行解答．23.【答案】（1）证明：连接OA．∵AE是⊙O切线，∴OA⊥AE，∴∠OAE=90°，∴∠EAD+∠OAD=90°，∵∠ADO=∠ADE，OA=OD，∴∠OAD=∠ODA=∠ADE，∴∠EAD+∠ADE=90°，∴∠AED=90°，∴AE⊥CD；（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F．∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°，∴四边形AOFE是矩形．∴OF=AE=4cm．又∵OF⊥CD，∴DF=CD=3cm．在Rt△ODF中，OD==5cm，即⊙O的半径为5cm．【解析】（1）欲证明AE⊥CD，只要证明∠EAD+∠ADE=90°即可；（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F．从而证得四边形AOFE是矩形，得出OF=AE，根据垂径定理得出DF=CD，在Rt△ODF中，根据勾股定理即可求得⊙O的半径．本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．24.【答案】解：（1）相切，理由是：∵∠ACB=90°，BC为半圆的直径，∴以BC为直径的圆与AC所在的直线相切；（2）在Rt△ACB中，∠B=30°，∴∠A=90°-30°=60°，AC=AB=×4=2，由勾股定理得：BC==2，∴S阴影=S半圆-（S△ABC-S扇形AEC），=π-×2×+，=-2，答：图中阴影部分的面积是-2．【解析】（1）切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，满足这两个条件，则与圆相切；（2）先根据条件求直角三角形的各边长和锐角∠A的度数，再利用差求阴影部分的面积．本题考查了直线和圆的位置关系、勾股定理及扇形的面积，属于常考题型，难度不大；熟练掌握直线和圆的位置关系，在求阴影部分面积时，要注意利用和或差来求解．25.【答案】解：设y与x的解析式为：y=ax+b，则，解得：，∴y=-0.1x+8，根据题意，得：（x-20）（-0.1x+8）-40=40，∴x1=40，x2=60，∵尽可能让顾客得到实惠，∴价格应定为40元．答：价格应定为40元．【解析】设y与x的解析式为：y=ax+b，将表格中的数代入解析式，求出a、b的值，求出解析式，然后表示出利润，根据利润为40万元，求出销售价格．本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．26.【答案】解：（1）设运动的时间为t秒，由勾股定理得，OC==10，当CQ=CP时，2t=10-4t，解得，t=，此时CP=2×=，∴AP=8-=，P点坐标为（，6），当PC=PQ时，如图①，过点Q作AC的垂线交AC于点E，CQ=10-4t，CP=2t．∵△CEQ∽△CAO，∴EQ=CQ=（10-4t）=6-t，PE=（10-4t）-2t=8-t-2t=8-t，由勾股定理得，（6-t）2+（8-t）2=（2t）2，整理得：36t2-140t+125=0，解得，t1=，t2=（舍去），此时，AP=8××2=，∴P点坐标为（，6），当QC=PQ时，如图②，过点Q作AC的垂线交AC于点F，CQ=10-4t，CP=2t，∵△CFQ∽△CAO，∴QF═（10-4t）=6-t，PF=2t-（10-4t）=t-8，则（6-t）2+（t-8）2=（10-4t）2，整理得，21t2-40t=0，解得，t1=，t2=0（舍去），此时，AP=8-×2=，则P点坐标为（，6），综上所述，P点坐标为（，6），（，6），（，6）；（2））如图③，连接EG，由题意得：△AOE≌△AFE，∴∠EFG=∠OBC=90°，∵E是OB的中点，∴EG=EG，EF=EB=4，在Rt△EFG和Rt△EBG中，，∴Rt△EFG≌Rt△EBG（HL）∴∠FEG=∠BEG，∠AOB=∠AEG=90°，∴△AOE∽△AEG，∴AE2=AO•AG，即36+16=6×AG，解得，AG=，由勾股定理得，CG==，∴BG=6-=，G的坐标为（8，）．【解析】（1）分CQ=CP、PC=PQ和QC=PQ三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可；（2）连接EG，由翻转变换的性质得到△AOE≌△AFE，根据全等三角形的性质得到∠EFG=∠OBC=90°，证明Rt△EFG≌Rt△EBG得到∠FEG=∠BEG，∠AOB=∠AEG=90°，得到△AOE∽△AEG，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是翻转变换的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握翻转变换的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．27.【答案】解：（1）∵BE=AB=15，在直角△BCE中，CE===9∴DE =6，∵∠EAD +∠BAE =90°，∠BAE =∠BEF ，∴∠EAD +∠BEF =90°，∵∠BEF +∠F =90°，∴∠EAD =∠F∵∠ADE =∠FBE∴△ADE ∽△FBE ，∴ ，， ∴BF =30；（2）①如图1，将矩形ABCD 和直角△FBE 以CD 为轴翻折，则△AMH 即为未包裹住的面积，∵Rt △F ′HN ∽Rt △F ′EG ，∴ ′ ′ = ，即 ，解得：HN =3，∴S △AMH = •AM •MH = ×12×24=144； ②如图2，将矩形ABCD 和Rt △ECF 以AD 为轴翻折，∵Rt △GBE ∽Rt △GB ′C ′，∴ ′ ′ ′，即′ ′ ，解得：GB ′=24， ∴S △B ′C ′G = •B ′C ′•B ′G = ×12×24=144， ∴按照两种包裹方法的未包裹面积相等．【解析】（1）先证明△ADE ∽△FBE ，利用相似的性质得BF ；（2）①利用相似三角形的判定，证明Rt △F′HN ∽Rt △F′EG ，利用相似三角形的性质，求得HN ，利用三角形的面积公式得结果；②利用相似三角形的判定，证明Rt △F′HN ∽Rt △F′EG ，利用相似三角形的性质，求得HN ，利用三角形的面积公式得结果．本题主要考查了相似三角形的判定和性质及翻折变化，以动态（平移和旋转）的形式考查了分类讨论的思想、函数的知识和直角三角形是解答此题的关键．28.【答案】P 2，P 3；（4，-2）或P （-4，6）；0＜r ＜ 或r ＞2 +2【解析】解：（1）①连接AC和BD，交于点M，∵四边形ABCD是正方形，∴M到正方形ABCD四条边距离都相等∴⊙P一定通过点M，∵A（2，4）∴M（0，2）设⊙P的圆心坐标是（x，y），∴r=4时，∴x2+（y-2）2=（4）2，即，x2+（y-2）2=32，把P1（0，-3），P2（4，6），P3（4，2）代入，只有P2，P3成立，∴可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是P2，P3，故答案为：P2，P3；②∵点P在直线y=-x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，∴把y=-x+2代入x2+（y-2）2=32，得x2+x2=32，解得x=±4，∴y=-2或6，∴P（4，-2）或P（-4，6）．故答案为：（4，-2）或P（-4，6）．（2）如下图：①∵⊙P同时为正方形ABCD与正方形EFGH的“等距圆”，∴⊙P同时过正方形ABCD的对称中心E和正方形EFGH的对称中心I．∴点P在线段EI的中垂线上．∵A（2，4），正方形ABCD的边CD在x轴上；F（6，2），正方形EFGH的边HE 在y轴上，∴E（0，2），I（3，5）∴∠IEH=45°，设线段EI的中垂线与y轴交于点L，与x轴交于点M，∴△LIE为等腰直角三角形，LI⊥y轴，∴L（0，5），∴△LOM为等腰直角三角形，LO=OM∴M（5，0），∴P在直线y=-x+5上，∴设P（p，-p+5）过P作PQ⊥直线BC于Q，连结PE，∵⊙P与BC所在直线相切，∴PE=PQ，∴p2+（-p+5-2）2=（p+2）2，解得：P1=5+2，P2=5-2，∴P1（5+2，-2），P2（5-2，2），∵⊙P过点E，且E点在y轴上，∴⊙P在y轴上截得的弦长为2|-2-2|=4或2|2-2|=4-4．②如图2，连接DH，作DT⊥HF，以D为圆心，DE为半径作圆，交DT于点E1，交HD于E2，当0＜r＜DT-DE1时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．∵HF所在的直线为：y=-x+8，DT所在的直线为：y=x-2，∴T（5，3），∵D（2，0），∴DT==3，∵DE=DE1∴DT-DE=DT-DE=3-2=，1∴当0＜r＜时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．当r＞HE2时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．∵HE2=HD+DE2，DE2=DE，∴HE=HD+DE=+2=2+2，2∴当r＞2+2时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．综上可知当0＜r＜或r＞2+2时线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，故答案为：0＜r＜或r＞2+2．（1）①连接AC和BD，交于点M，设⊙P的圆心坐标是（x，y），列出圆心到M的关系式，把P1（0，-3），P2（4，6），P3（4，2）代入，看是否成立来逆定，②把y=-x+2代入x2+（y-2）2=32，求出x和y的值，再写出坐标．（2）①先求出△LIE为等腰直角三角形，得到L（0，5），进而得出△LOM为等腰直角三角形，设P（p，-p+5）据关系列出方程求了圆心，的坐标，最后得出弦长．②连接DH，作DT⊥HF，以D为圆心，DE为半径作圆，交DT于点E1，交HD于E2，当0＜r＜DT-DE1时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．当r＞HE2时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．据此求解．本题考查圆的综合题，解题的关键是明确题意，根据题目给出的条件，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．此外对本题中的“等距圆”的定义正确理解也是解题的关键．。

1第8题图 第9题图第10题图 161701学期江阴市南闸实验学校期中考试 初三数学试卷考试用时： 120分钟 满分：130分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．2-的绝对值是 （ ▲ ） A ．2- B ．2 C ．21-D ．212．下列计算正确的是 （ ▲ ）A. 21a a -=B. 2242a a a +=C. 235a a a ⋅= D. 222()ab a b -=-3．已知x ＝2是关于x 的一元二次方程x 2－x －2a ＝0的一个解，则a 的值为 （ ▲ ）A ．0B ．－1C ． 1D ． 2 4．将161000用科学记数法表示为 （ ▲ ） A ．0.161×106 B ．1.61×105 C ．16.1×104D ．161×1035．三角形的两边长分别为3米和6米，第三边的长是方程x 2－6x +8=0的一个根，则这个三角形的周长为 （ ▲ ） A ．11 B ．12 C ．11或 13 D ． 13 6．初三（2）班“环保小组”的5位同学在一次活动中捡废弃塑料袋的个数分别为：4，6，8，16，16．这组数据的中位数、众数分别为 （ ▲ ） A ．16，16 B ．10，16 C ．8，8 D ．8，167．已知圆锥的底面半径为4cm ，母线长为5cm ，则这个圆锥的侧面积是 （ ▲ ）A ．20 cmB ．20πcm 2C ．40πcm 2D ．40cm 28．如图，点D 是△ABC 的边AC 的上一点，且∠ABD ＝∠C ；如果CD AD ＝31，那么BC BD= （ ▲ ）A ．21B ． 31C ．41D ．432A B CD A ′B ′ E 第18题图 E DC BA 第14题图第15题图9．如图，已知⊙O 的半径OD 与弦AB 互相垂直，垂足为点C ，若AB ＝16cm ，CD ＝6cm ，则⊙O 的半径为 （ ▲ ）A ．253cmB ．10cmC ．8 cmD ．193cm10．如图，Rt △ABC 中，AC BC ⊥，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，DE AD ⊥交AB 于点E ，M 为AE 的中点，BF ⊥BC 交CM 的延长线于点F ，BD=4，CD=3．下列结论 ①AED ADC ∠=∠；②34DE DA =；③AC BE 12⋅=；④3BF 4AC =；其中结论正确的个数有 （ ▲ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 11．因式分解：a a 32-=____▲____．12．函数21-=x y 中，自变量x 的取值范围是____▲____．13．已知1x 、2x 是一元二次方程0232=--x x 的两根，则21x x +=____▲____．14．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝1，AB ＝3，DE ＝2，则BC ＝____▲____．15．如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的弦，点C 为圆上异于A 、B 的一点，∠OAB=25°，则∠ACB= ____▲____．16．某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为____▲____ . 17．一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πc m ，则这个扇形的半径为____▲____. 18．如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，将△ABC 绕点C 逆时针旋转，旋转后的图形是△A ′B ′C ，点A 的对应点A ′落在中线AD 上，且点A ′是△ABC 的重心，A ′B ′与BC 相交于点E ， 那么BE ：CE =____▲____．（三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心）3三、解答题（本大题共10小题，共84分） 19．（本题满分6分）解方程：（1）022=+x x （2）0342=+-x x 20．（本题满分8分）已知关于x 的一元二次方程0132=-++m x x 有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若m 为负．整数．．，求此时方程的根． 21．（本题满分6分）某市中小学全面开展“体艺2＋1”活动，某校根据学校实际，决定开设A ：篮球，B ：乒乓球，C ：声乐，D ：健美操等四中活动项目，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制了两幅不完整的统计图．请回答下列问题：(1)这次被调查的学生共有____▲____人． (2)请你将统计图1补充完整．(3)统计图2中D 项目对应的扇形的圆心角是____▲____度．(4)已知该校学生2400人，请根据调查结果估计该校最喜欢乒乓球的学生人数．BCA DMNCD22．（本题满分8分）如图矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．（1）求证：△ABE∽△DF A；（2）若AB=6，AD=12 ，BE=8，求DF的长．23．（本题满分8分）如图，已知AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M．过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN 与BN交于点N．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）求证：四边形BNCM是菱形．24．（本题满分8分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径．425．（本题满分10分）某大型水果超市销售无锡水蜜桃，根据前段时间的销售经验，每天的售价x(元y(箱)有如下表关系：/箱)与销售量（3）七月份连续阴雨，销售量减少，超市决定采取降价销售，所以从7月17号开始水蜜桃销售价格在（2）的条件下，下降了m%，同时水蜜桃的进货成本下降了10%，销售量也因此比原来每天获得1600元盈利时上涨了2m%(m<100)，7月份（按31天计算）降价销售后的水蜜桃销售总盈利比7月份降价销售前的销售总盈利少7120元，求m的值.5626．（本题满分10分）如图，△ABC 中，∠ACB =90°，BC =6，AB =10．点Q 与点B 在AC 的同侧，且AQ ⊥A C ．（1）如图1，点Q 不与点A 重合，连结CQ 交AB 于点P ．设AQ =x ，AP =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（2）是否存在点Q ，使△P AQ 与△ABC 相似，若存在，求AQ 的长；若不存在，请说明理由； （3）如图2，过点B 作BD ⊥AQ ，垂足为D ．将以点Q 为圆心，QD 为半径的圆记为⊙Q ．若点C 到⊙Q 上点的距离的最小值为8，求⊙Q 的半径．C B QAD图1图2727．（本题满分10分）如果一个三角形的三边a ，b ，c 能满足222nc b a =+（n 为正整数），那么这个三角形叫做“n 阶三形不一定是等边三角形．（1）在我们熟知的三角形中，何种三角形一定是3阶三角形？（2）若三边分别是a ，b ，c （a ＜b ＜c ）的直角三角形是一个2阶三角形，求a ：b ：c ．（3）如图1，直角△ABC 是2阶三角形，AC ＜BC ＜AB ，三条中线BD 、AE 、CF 所构成的三角形是何种三角形？四位同学作了猜想：A 同学：是2阶三角形但不是直角三角形；B 同学：是直角三角形但不是2阶三角形；C 同学：既是2阶三角形又是直角三角形；D 同学：既不是2阶三角形也不是直角三角形． 请你判断哪位同学猜想正确，并证明你的判断．（4）如图2，矩形OACB 中，O 为坐标原点，A 在y 轴上，B 在x 轴上，C 点坐标是（2，1），反出所有可能的k 的值．28．（本题满分10分）已知：如图1，菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°，点E是AB的中点，连接AC、EC．点Q从点A出发，沿折线A—D—C运动，同时点P从点A出发，沿射线AB运动，P、Q的速度均为每秒1个单位长度；以PQ为边在PQ的左侧作等边△PQF，△PQF与△AEC重叠部分的面积为S，当点Q运动到点C时P、Q同时停止运动，设运动的时间为t．（1）当等边△PQF的边PQ恰好经过点D时，求运动时间t的值；当等边△PQF的边QF恰好经过点E时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，请求出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）如图2，当点Q到达C点时，将等边△PQF绕点P旋转α ° (0<α<360°)，直线PF 分别与直线AC、直线CD交于点M、N．是否存在这样的α ，使△CMN为等腰三角形？若存在，请直接写出此时线段CM的长度；若不存在，请说明理由．C（FP（图2）89参考答案：1.B2.C3.C4.B5.D6.D7.B8.A9.A 10.C 11.()3-a a 12.2≠x 13.3 14.6 15.65° 16.10% 17.6cm 18.4:3 19. （1）2,021-==x x （2）3,121==x x 20. 解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根,∴94(1)m ∆=--450m =+>，即54m >-.------------ 4分（2）∵m 为负整数，∴1m =-. ∴方程为2320x x ++=，即(1)(2)0x x ++=. 解得2,121-=-=x x -------------------8分 21. （1）200；---------------------------------1分（2）根据喜欢C 音乐的人数＝200－20－80－40＝60，故C 对应60人，如图所示：-----------2分 （3）72；--------------------------4分(4)根据样本中最喜欢乒乓球的学生人数为80人，故该校学生2400人中最喜欢乒乓球的学生人数为：×2400＝960人．答：该校最喜欢乒乓球的学生人数大约为960人．---------------------6分22. 解：（1）∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∠B=90°， ∴∠AEB=∠DAE ，∵DF ⊥AE, ∴∠ADF=∠EAB,∴△ABE ∽△DFA ； ---------------------------------4分1023. 解：在△ABC 和△DCB 中，（1）∵AB = DC ，AC = DB ，BC=CB …………………2分∴△ABC ≌△DCB…………………………………3分 （2）∵CN ∥BD 、BN ∥AC∴四边形BNCM 是平行四边形……………………5分∵△ABC ≌△DCB ∴∠1=∠2 ………………………………………6分 ∴BM=CM …………………………………………7分 ∴四边形BNCM 是菱形． ………………………8分24. （1）证明：连结OA ．∵OA ＝OD ，∴∠ODA ＝∠OAD ． …………1分∵DA 平分∠BDE ， ∠ODA ＝∠EDA ．∴∠OAD ＝∠EDA ，∴EC ∥OA ． …………2分 ∵AE ⊥CD ， ∴OA ⊥AE ． …………3分 ∵点A 在⊙O 上，∴AE 是⊙O 的切线．………4分 （2）过点O 作OF ⊥CD ，垂足为点F ．∵∠OAE ＝∠AED ＝∠OFD ＝90°，∴四边形AOFE 是矩形． ………5分∴OF ＝AE ＝4cm ． …………6分又∵OF ⊥CD ，∴DF ＝ 12 CD ＝3cm ． …………7分在Rt △ODF 中， OD ＝22DF OF +＝5cm ， 即⊙O 的半径为5cm ． ……8分 25.（1）3805+-=x y -------------------------3分（2）()()1600380540=+--x x ，60,5621==x x ，顾客要得到实惠，售价低，所以60=x 舍去，所以56=x 。

2015-2016学年江苏省无锡市江阴中学九年级（上）期中数学试卷一.选择题：（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）关于x的方程ax2﹣3x+1=0是一元二次方程，则（）A．a＞0 B．a≥0 C．a≠0 D．a=12．（3分）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA的值是（）A．B．C．D．3．（3分）已知一元二次方程的两根分别是3和﹣5，则这个一元二次方程是（）A．x2﹣2x+15=0 B．x2+2x﹣15=0 C．x2﹣x﹣6=0 D．x2﹣2x﹣15=04．（3分）如图，已知DE∥BC，AD=2，BD=3，则△ADE和△ABC的面积比是（）A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：255．（3分）已知方程x2﹣7x+12=0的两根恰好是一个直角三角形的两条直角边的长，则这个直角三角形的斜边上的高为（）A．12 B．6 C．5 D．6．（3分）如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=（）A．20°B．40°C．50°D．80°7．（3分）如图，△ABC的高CD和高BE相交于D，则与△DOB相似的三角形个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个8．（3分）如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定9．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是AB边上一点，BF=3AF，则下列四个结论：①△AEF∽△DCE；②CE平分∠DCF；③点B、C、E、F四个点在同一个圆上；④直线EF是△DCE的外接圆的切线；其中，正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（3分）如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A、D分别落在点A′、D′处，且A′D′经过点B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，的值为（）A．B．C．D．二．填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分）11．（2分）如图，在△ABC中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使△ADC ∽△ACB，那么可添加的条件是．12．（2分）若圆锥的底面半径为2，母线长为3，则圆锥的全面积等于．13．（2分）某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为%．14．（2分）在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且|tanA﹣1|+（﹣cosB）2=0，则∠C=°．15．（2分）如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=..16．（2分）当宽为2cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与图的两个交点处的度数如图，那么该圆的半径为cm．17．（2分）如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与⊙O相切于E点．若正方形ABCD的周长为28，且DE=4，则sin∠ODE=．18．（2分）直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，已知点C（0，﹣1）、D（0，k），以点D为圆心、DC为半径作⊙D，当⊙D与直线AB相切时，k的值为．三．解答题：（本大题共10小题，共84分）．19．（16分）（1）计算：（）2﹣4sin60°﹣tan45°（2）化简：（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）．（3）解方程：x2+4x﹣2=0；（4）解不等式组：．20．（6分）如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，A、B、C三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．（1）若D（2，3），请在网格图中画一个格点△DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比为2：1；（2）求∠D的正弦值；（3）若△ABC外接圆的圆心为P，则点P的坐标为．21．（6分）（1）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，利用直尺和圆规，按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）①作∠BAC的平分，交BC于点O；②以O为圆心，OC为半径作圆．（2）在你所作的图中，①AB与⊙O的位置关系是；（直接写出答案）②若AC=6，BC=8，求⊙O的半径．22．（6分）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k2+1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根x1，x2恰好是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为，求k．23．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）△ADF与△DEC相似吗？为什么？（2）若AB=4，AD=，AE=3，求AF的长．24．（6分）如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O与边BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，延长AB、ED交于点F，AD平分∠BAC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若CE=1，sinF=，求⊙O的半径．25．（8分）小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟．（1）求返回时A、B两地间的路程；（2）若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C 地共锻炼多少分钟？26．（10分）如图，已知线段AB长为6，点A在x轴负半轴，B在y轴正半轴，绕A点顺时针旋转60°，B点恰好落在x轴上D点处，点C在第一象限内且四边形ABCD是平行四边形．（1）求点C、点D的坐标；（2）若半径为1的⊙P从点A出发，沿A﹣B﹣D﹣C以每秒4个单位长的速度匀速移动，同时⊙P的半径以每秒0.4个单位长的速度增加，运动到点C时运动停止，当运动时间为t秒时，①t为何值时，⊙P与y轴相切？②在运动过程中，是否存在一个时刻，⊙P与四边形ABCD四边都相切？若存在，说出理由；若不存在，问题中⊙P的半径以每秒0.4个单位长速度增加改为多少时就存在．（3）若线段AB绕点O顺时针旋转180°，线段AB扫过的面积是多少．27．（10分）如图，点A（0，1）、B（2，0），点P从（4，0）出发，以每秒2个单位长度沿x轴向坐标原点O匀速运动，同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度沿x轴向坐标原点O匀速运动，过点P作x轴的垂线l，过点Q作AB 的垂线l2，它们的交点为M．设运动的时间为t（0＜t＜2）秒（1）写出点M的坐标（用含t的代数式表示）；（2）设△MPQ与△OAB重叠部分的面积为S，试求S关于t的函数关系式及t 的取值范围．28．（10分）如图1，矩形ABCD中，AB=10，AD=8．将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．已知折痕AO与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．（1）求OC的长；（2）若将△PCO沿着射线PA方向平移，设平移的距离为n（平移距离指点P沿PA方向所经过的线段长度）．当点C分别平移到线段PO、AO上时，直接写出相应的n的值；（3）如图2，将△PCO绕点O逆时针旋转一个角α，记旋转中的△PCO为△P′OC′．在旋转过程中，设P′O所在的直线与线段AP交于点Q，与射线AD交于点H．是否存在这样的Q、H两点，使△AQH为等腰三角形？若存在，求出此时AQ的长；若不存在，请说明理由．2015-2016学年江苏省无锡市江阴中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）关于x的方程ax2﹣3x+1=0是一元二次方程，则（）A．a＞0 B．a≥0 C．a≠0 D．a=1【解答】解：使x的方程ax2﹣3x﹣2=0是一元二次方程，根据一元二次方程的定义可知：二次项系数不为0，∴a≠0．故选：C．2．（3分）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵∠C=90°，AC=12，BC=5，∴AB===13，∴sinA==．故选：B．3．（3分）已知一元二次方程的两根分别是3和﹣5，则这个一元二次方程是（）A．x2﹣2x+15=0 B．x2+2x﹣15=0 C．x2﹣x﹣6=0 D．x2﹣2x﹣15=0【解答】解：设此一元二次方程为x2+px+q=0，∵二次项系数为1，两根分别为﹣5，3，∴p=﹣（﹣5+3）=2，q=（﹣5）×3=﹣15，∴这个方程为：x2+2x﹣15=0．故选：B．4．（3分）如图，已知DE∥BC，AD=2，BD=3，则△ADE和△ABC的面积比是（）A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：25【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE∽△ABC，∴=（）2，∵AD=2，BD=3，∴AB=5，∴=（）2=（）2=，故选：D．5．（3分）已知方程x2﹣7x+12=0的两根恰好是一个直角三角形的两条直角边的长，则这个直角三角形的斜边上的高为（）A．12 B．6 C．5 D．【解答】解：x2﹣7x+12=0，方程左边因式分解得：（x﹣3）（x﹣4）=0，解得：x=3或x=4，∵方程x2﹣7x+12=0的两根恰好是一个直角三角形的两条直角边的长，∴斜边长==5，设这个直角三角形的斜边上的高为h，根据题意得：×5×h=×3×4，解得：h=．故选：D．6．（3分）如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=（）A．20°B．40°C．50°D．80°【解答】解：∵弦AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD，∴∠BOD=2∠ABC=2×40°=80°．故选：D．7．（3分）如图，△ABC的高CD和高BE相交于D，则与△DOB相似的三角形个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：由∠DOB与∠EOC是对顶角，得∠DOB=∠EOC．由△ABC的高CD和高BE相交于D，得∠ODB=∠OEC=90°，∴△DOB∽△EOC；由∠DBO=∠EBA，∠ODB=AEO，得△DOB∽△EAO；由∠A+∠DBO=90°，∠A+∠ACD=90°，得∠DBO=∠ADC，又∠ODB=∠ADC，得△DBO∽△DCA；故选：B．8．（3分）如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【解答】解：过点A作AM⊥BC于点M，交DE于点N，∴AM×BC=AC×AB，∴AM==4.8，∵D、E分别是AC、AB的中点，∴DE∥BC，DE=BC=5，∴AN=MN=AM，∴MN=2.4，∵以DE为直径的圆半径为2.5，∴r=2.5＞2.4，∴以DE为直径的圆与BC的位置关系是：相交．故选：A．9．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是AB边上一点，BF=3AF，则下列四个结论：①△AEF∽△DCE；②CE平分∠DCF；③点B、C、E、F四个点在同一个圆上；④直线EF是△DCE的外接圆的切线；其中，正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠D=90°，∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵BF=3AF，设AF=a，则BF=3a，AB=BC=CD=AD=4a，∵AF：DE=1：2，AE：CD=1：2，∴AE：DE=AE：CD，∴△AEF∽△DCE，∴①正确；∠AEF=∠DCE，∵∠DEC+∠DCE=90°，∴∠AEF+∠DEC=90°，∴∠CEF=90°，∵EF==a，CE==2a，∴EF：CE=1：2=DE：CD，∴△CEF∽△CDE，∴∠FCE=∠DCE，∴CE平分∠DCF，∴②正确；∵∠B=90°，∠CEF=90°，∴∠B+∠CEF=180°，∴B、C、E、F四个点在同一个圆上，∴③正确；∵△DCE是直角三角形，∴外接圆的圆心是斜边CE的中点，CE是直径，∵∠CEF=90°，∴EF⊥CE，∴直线EF是△DCE的外接圆的切线，∴④正确，正确的结论有4个．故选：D．10．（3分）如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A、D分别落在点A′、D′处，且A′D′经过点B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，的值为（）A．B．C．D．【解答】解：延长DC与A′D′，交于点M，∵在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，∴∠DCB=∠A=60°，∵AB∥CD，∴∠D=180°﹣∠A=120°，根据折叠的性质，可得∠A′D′F=∠D=120°，∴∠FD′M=180°﹣∠A′D′F=60°，∵D′F⊥CD，∴∠D′FM=90°，∠M=90°﹣∠FD′M=30°，∵∠BCM=180°﹣∠BCD=120°，∴∠CBM=180°﹣∠BCM﹣∠M=30°，∴∠CBM=∠M=30°，∴BC=CM，设CF=x，D′F=DF=y，则BC=CM=CD=CF+DF=x+y，∴FM=CM+CF=2x+y，在Rt△D′FM中，tanM=tan30°==，∴x=y，∴==．故选：A．二．填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分）11．（2分）如图，在△ABC中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使△ADC ∽△ACB，那么可添加的条件是∠ADC=∠ACB或∠ACD=∠B或AC2=AD•AB．【解答】解：∵∠DAC=∠CAB，∴当∠ADC=∠ACB或∠ACD=∠B或AC2=AD•AB时，均可得出△ADC∽△ACB．故答案为：∠ADC=∠ACB或∠ACD=∠B或AC2=AD•AB12．（2分）若圆锥的底面半径为2，母线长为3，则圆锥的全面积等于10π．【解答】解：底面积是：4，底面周长是4π，则侧面积是：×4π×3=6π，则这个圆锥的全面积为：4π+6π=10．故答案是：10π．13．（2分）某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为10%．【解答】解：设四、五月份的月平均增长率为x，根据题意得，1000（1+x）2=1210，解得x1=0.1，x2=﹣2.1（负值舍去），所以该厂四、五月份的月平均增长率为10%．14．（2分）在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且|tanA﹣1|+（﹣cosB）2=0，则∠C=75°．【解答】解：由题意得，tanA=1，cosB=，则∠A=45°，∠B=60°，则∠C=180°﹣45°﹣60°=75°．故答案为：75．15．（2分）如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=..【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵AE：BE=4：3，∴BE：AB=3：7，∴BE：CD=3：7．∵AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴BF：DF=BE：CD=3：7，即2：DF=3：7，∴DF=．故答案为：．16．（2分）当宽为2cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与图的两个交点处的度数如图，那么该圆的半径为5cm．【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，∵OD⊥AB，∴AD=AB=（9﹣1）=4cm，设OA=r，则OD=r﹣3，在Rt△OAD中，OA2﹣OD2=AD2，即r2﹣（r﹣2）2=42，解得r=5．故答案是：5．17．（2分）如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与⊙O相切于E点．若正方形ABCD的周长为28，且DE=4，则sin∠ODE=．【解答】解：设切线AD的切点为M，切线AB的切点为N，连接OM、ON、OE，∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的周长为28，∴AD=AB=7，∠A=90°，∵圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，∴∠OMA=∠ONA=90°=∠A，∵OM=ON，∴四边形ANOM是正方形，∵AD和DE与圆O相切，∴OE⊥DE，DM=DE=4，∴AM=7﹣4=3，∴OM=ON=OE=3，在RT△ODM中，OD==5，∵OE=OM=5，∴sin∠ODE==．故答案为．18．（2分）直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，已知点C（0，﹣1）、D（0，k），以点D为圆心、DC为半径作⊙D，当⊙D与直线AB相切时，k的值为．【解答】解：如图所示：在y=﹣x+3 中，令x=0，得y=3；令y=0，得x=4，故A，B两点的坐标分别为A（4，0），B（0，3）．若动圆的圆心在E处时与直线l相切，设切点为E，如图所示，连接ED，则ED⊥AB．可知代入数据得k=故答案为：．三．解答题：（本大题共10小题，共84分）．19．（16分）（1）计算：（）2﹣4sin60°﹣tan45°（2）化简：（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）．（3）解方程：x2+4x﹣2=0；（4）解不等式组：．【解答】解：（1）（）2﹣4sin60°﹣tan45°=﹣4×﹣1=﹣﹣2；（2）（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）=x2+2x+1﹣x2+4=2x+5；（3）x2+4x﹣2=0b2﹣4ac=42﹣4×1×（﹣2）=24，x=，x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；（4）∵解不等式①得：x≥2，解不等式②得：x＞5，∴不等式组的解集为x＞5．20．（6分）如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，A、B、C三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．（1）若D（2，3），请在网格图中画一个格点△DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比为2：1；（2）求∠D的正弦值；（3）若△ABC外接圆的圆心为P，则点P的坐标为（2，6）．【解答】解：（1）如下图所示，△DEF即为所求；（2）如图，作FG⊥DE于G，∵在Rt△DFG中，FG=2，DG=6，∴DF===2，∴sin∠D===；（3）设点P的坐标为（x，y）；∵△ABC外接圆的圆心为P，∴PA=PB=PC，∵A（1，8），B（3，8），C（4，7），∴（1﹣x）2+（8﹣y）2=（3﹣x）2+（8﹣y）2=（4﹣x）2+（7﹣y）2，化简后得x=2，y=6，因此点P的坐标为（2，6）．故答案为（2，6）．21．（6分）（1）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，利用直尺和圆规，按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）①作∠BAC的平分，交BC于点O；②以O为圆心，OC为半径作圆．（2）在你所作的图中，①AB与⊙O的位置关系是相切；（直接写出答案）②若AC=6，BC=8，求⊙O的半径．【解答】解：（1）如图；（2）①作OD⊥AB于D，∵AO平分∠BAC，而OD⊥AB，OC⊥AC，∴OD=OC，∴AB为⊙O的切线；故答案为相切；②设⊙O 的半径为r ，则OC=OD=r ，在Rt △ABC 中，∵AC=6，BC=8，∴AB==10，∵S △AOB +S △AOC =S △ABC ， ∴•10•r +•6•r=•6•8，解得r=3，即⊙O 的半径为3．22．（6分）已知关于x 的方程x 2﹣（k +1）x +k 2+1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；（2）若方程的两根x 1，x 2恰好是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为，求k ．【解答】解：（1）依题意△=[﹣（k +1）]2﹣4×1×（k 2+1）=2k ﹣3≥0， ∴k ≥；（2）设方程的两根为x 1，x 2，依题意x 12+x 22=（）2，∵x 1+x 2=k +1，x 1•x 2=k 2+1，∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1•x 2=（k +1）2﹣2（k 2+1）=5，整理得：k 2+4k ﹣12=0，∴k=﹣6或k=2，当k=﹣6时，x 1+x 2=k +1=﹣5＜0，舍去，∴k=2．23．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）△ADF与△DEC相似吗？为什么？（2）若AB=4，AD=，AE=3，求AF的长．【解答】解：（1）△ADF∽△DEC；理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°，∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C，∴△ADF∽△DEC；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD=AB=4，又∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，在Rt△ADE中，DE===6，∵△ADF∽△DEC，∴=，∴=，解得：AF=2．24．（6分）如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O与边BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，延长AB、ED交于点F，AD平分∠BAC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若CE=1，sinF=，求⊙O的半径．【解答】解：（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠DAE，又∵∠OAD=∠ODA，∴∠ODA=∠DAE，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴EF⊥OD，∴EF是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为x．∵OD∥AE，OA=OB，∴BD=CD，∵EF是⊙O的切线；∴∠BDF=∠BAD，∵∠BAD=∠CAD，∠BDF=∠EDC，∴∠EDC=∠CAD，∵DE⊥AC，∴∠EDC+∠C=90°，∴∠CAD+∠C=90°，∴∠ADC=90°，∴AD⊥DB，∴AC=AB，∵sinF=，∴OF=OD=x，∴BF=x﹣x=x，AF=x+2x=x，∴AE=AF=×x=x，∵AC=AB，∴AE+EC=2x，即x+1=2x，解得：x=．∴⊙O的半径为．25．（8分）小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟．（1）求返回时A、B两地间的路程；（2）若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C 地共锻炼多少分钟？【解答】解：（1）设返回时A，B两地间的路程为x米，由题意得：=，解得x=1800．答：A、B两地间的路程为1800米；（2）设小明从A地到B地共锻炼了y分钟，由题意得：25×6+5×10+[10+（y﹣30）×1]（y﹣30）=904，整理得y2﹣50y﹣104=0，解得y1=52，y2=﹣2（舍去）．答：小明从A地到C地共锻炼52分钟．26．（10分）如图，已知线段AB长为6，点A在x轴负半轴，B在y轴正半轴，绕A点顺时针旋转60°，B点恰好落在x轴上D点处，点C在第一象限内且四边形ABCD是平行四边形．（1）求点C、点D的坐标；（2）若半径为1的⊙P从点A出发，沿A﹣B﹣D﹣C以每秒4个单位长的速度匀速移动，同时⊙P的半径以每秒0.4个单位长的速度增加，运动到点C时运动停止，当运动时间为t秒时，①t为何值时，⊙P与y轴相切？②在运动过程中，是否存在一个时刻，⊙P与四边形ABCD四边都相切？若存在，说出理由；若不存在，问题中⊙P的半径以每秒0.4个单位长速度增加改为多少时就存在．（3）若线段AB绕点O顺时针旋转180°，线段AB扫过的面积是多少．【解答】解（1）∵OB==3，∴点C的坐标是（6，3），∵AD=AB=6，∴点D的坐标是（3，0），（2）①当P在AB上时，若⊙P与y轴相切，则1+0.4t=3﹣2t，t=，当P在BD上时，若⊙P与y轴相切，则1+0.4t=2t﹣3，t=，②不存在设⊙P的半径以acm/s的速度增加，当点P在菱形ABCD的对角线交点时，到ABCD的距离相等，即与四边形ABCD 都相切，此时t=，⊙P的半径1+a，设BD的解析式为：y=kx+b，AC的解析式为：y=ax+c，解得：BD的解析式为：y=﹣x+3，AC的解析式为：y=x+，﹣x+3=x+，解得；x=，则y=1.5，若⊙P与四边形ABCD相切，则1+a=1.5，解得：a=，则⊙P的半径以cm/s的速度运动时就存在，（3）过O作OE⊥AB，则△BOA∽△OEA，=，解得；OE=1.5，S=[（3）2π﹣（1.5）2π]=π，则线段AB扫过的面积是π．27．（10分）如图，点A（0，1）、B（2，0），点P从（4，0）出发，以每秒2个单位长度沿x轴向坐标原点O匀速运动，同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度沿x轴向坐标原点O匀速运动，过点P作x轴的垂线l，过点Q作AB 的垂线l2，它们的交点为M．设运动的时间为t（0＜t＜2）秒（1）写出点M的坐标（用含t的代数式表示）；（2）设△MPQ与△OAB重叠部分的面积为S，试求S关于t的函数关系式及t 的取值范围．【解答】解：（1）由题意得：P（4﹣2t，0），Q（2﹣t，0），∴PQ=2﹣t，∵△OAB∽△QPM，∴=2，∴PM=2PQ=4﹣2t，∴M（4﹣2t，4﹣2t）；（2）设l2与AB的交点为C，l1与AB的交点为D，易得直线AB对应的解析式为y=﹣x+1，∴4﹣2t=﹣（4﹣2t）+1，解得：t=；（i）当0＜t≤1时，如图1所示，在Rt△OAB中，AB=，由△OAB∽△CQB，得到，∴S=S=××1×2=；△CQB（ii）当1＜t＜时，如图2所示，PD=2t﹣2，由△OAB∽△PDB，得到PB=t﹣1，∴S=S=S△CQB﹣S△PDB==•（2t﹣2）•（t﹣1）═﹣+2t 四边形CQPD﹣1；=PQ•PM=•（2﹣t）•（4﹣2t）=t2﹣4t+4．（iii）当≤t＜2时，S=S△PQM28．（10分）如图1，矩形ABCD中，AB=10，AD=8．将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．已知折痕AO与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．（1）求OC的长；（2）若将△PCO沿着射线PA方向平移，设平移的距离为n（平移距离指点P沿PA方向所经过的线段长度）．当点C分别平移到线段PO、AO上时，直接写出相应的n的值；（3）如图2，将△PCO绕点O逆时针旋转一个角α，记旋转中的△PCO为△P′OC′．在旋转过程中，设P′O所在的直线与线段AP交于点Q，与射线AD交于点H．是否存在这样的Q、H两点，使△AQH为等腰三角形？若存在，求出此时AQ的长；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵折叠，∴AP=AB=10，AD=8，∴DP==6，∴CP=4，设OC=x，在直角三角形中，（8﹣x）2=x2+42解得：x=3∴OC=3；（2）如图1，①过C作CC1∥PA，交PO于C2，∵AP⊥PO，∴CC1⊥PO，∴CC1===n；②作P2C2∥AB，则∠2=∠3，∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴AP2=P2C2=4，∴PP2=10﹣4=n．（3）①当QA=QH时，∠DAQ=∠AHQ，又∠AHQ=∠P′OC，∵∠POC＞∠DAP，∴不存在．②当AH=AQ时，如图，∵∠AQH=∠H，∠H=∠QOC，∴△EQO是等腰三角形，∵∠EAB=∠APO，∴tan∠EAB=，∴AE=，OE=﹣5=，AE=，∴AQ=﹣=．③当HA=HQ时，如图，∠2=∠3．又∵∠2=∠1，∴∠1=∠4，∵∠C=∠APO，∴△PCO∽△QPO，∴=，即PQ==，∴AQ=10﹣=．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

江苏省无锡市江阴市 2016-2017 学年九年级（上）月考数学试卷 （10 月份）（解析版）
一、选择题（ 30 分）
1．⊙ O 的半径为 6，点 P 在⊙ O 内，则 OP 的长可能是（
）
A ． 5 B． 6 C． 7 D． 8
2．一个圆心角为 36°，半径为 20 的扇形的面积为（
）
A ． 40π B． 20π C． 4π D． 2π
E=46 °，∠ DCF=32 °，则∠ A 的度数是
°．
16．如图，在直角坐标系中，点 则△ ABC 外接圆的圆心坐标为
A、B 、C 的坐标分别为（ 0，3）、（ 4，3）、（ 0，﹣ 1）， ．
17．如图，△ ABC 中，已知 AB=8 ， BC=5 ， AC=7 ，则它的内切圆的半径为
．
18．如图，圆心 O 恰好为正六边形 ABCDEF 的中心，已知 AB=2 ，⊙ O 的半径为 1，现
A ． 7 B． 6 C． 6.5 D． 5
5．如图，在⊙ O 中， AB 为直径， BC 为弦， CD 为切线，连接 OC．若∠ BCD=50 °，则∠
AOC 的度数为（
）
A ． 40° B． 50° C． 80° D． 100°
6．已知圆锥的母线长为 5cm，底面半径为 3cm，则此圆锥的侧面积为（
24．（ 8 分）如图，在⊙ O 的内接四边形 ABCD 中， AB=AD ，∠ C=120°，点 E 在 上． （1）求∠ AED 的度数； （2）若⊙ O 的半径为 2，则 的长为多少？ （3）连接 OD， OE，当∠ DOE=90 °时， AE 恰好是⊙ O 的内接正 n 边形的一边，求 n 的值．
） ）
）
A．
B．

江苏省无锡市新区2016届九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．方程x2+3=4x用配方法解时，应先化成（）A．（x﹣2）2=7 B．（x+2）2=1 C．（x+2）2=2 D．（x﹣2）2=12．下列说法正确的是（）A．经过三点可以作一个圆B．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等C．等弧所对的圆心角相等D．相等的圆心角所对的弧相等3．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2ax+1﹣a2=0有一个根是0，则a=（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．04．若圆的半径是5，圆心的坐标是（0，0），点P的坐标是（﹣4，3），则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内C．点P在⊙O上 D．点P在⊙O外或⊙O上5．如果关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜2 C．m＞2且m≠1 D．m＜2且m≠16．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50（1+x）2=182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2=182C．50（1+2x）=182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）2=1827．已知实数a、b满足（a2+b2）2﹣2（a2+b2）=8，则a2+b2的值为（）A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．﹣4或28．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A为圆心，1为半径画⊙A，E是圆⊙A上一动点，P 是BC上一动点，则PE+PD最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．2二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共24分）9．把方程3x（x﹣2）=4（x+1）化为一元二次方程的一般形式是，它的一次项系数是．10．若圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的全面积为cm2．（结果保留π）11．已知关于x的方程mx2﹣3x+6=0的一个根是﹣2，则m=，方程的另一个根是．12．网民小李的QQ群里共有若干个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条消息，这样共有90条消息，设小李的QQ群里共有好友x个，可列方程为：．13．如图，AB是⊙O直径，∠AOC=130°，则∠D=°．14．如图，一宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm），则该圆的半径为cm．15．某校五个绿化小组一天的植树的棵数如下：10，10，12，x，8．已知这组数据的平均数是10，那么这组数据的方差是．16．已知一个三角形的两边长分别为2和9，第三边的长为一元二次方程x2﹣14x+48=0的一个根，则这个三角形的周长为．17．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=2，点O为AB的中点，以点O为圆心作半圆与边AC相切于点D．则图中阴影部分的面积为．18．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE相交于点H．若BC=6，AH=4，则⊙O的半径为．三、解答题（本大题共7小题，共50分）19．解下列方程：（1）（x﹣2）2=3（x﹣2）（2）x（x﹣3）=10（3）4y2=8y+1．（用配方法解）（4）x2+3x﹣2=0．）甲队成绩的中位数是分，乙队成绩的众数是分；（2）计算乙队的平均成绩和方差；（3）已知甲队成绩的方差是1.4分2，则成绩较为整齐的是队．21．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．22．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C．（1）画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连接AD、CD．（2）请在（1）的基础上，以点O为原点、水平方向所在直线为x轴、竖直方向所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，完成下列问题：①（2，0）⊙D的半径为（结果保留根号）；②若用扇形ADC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是；③若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由．23．今年圣诞节前夕，小明、小丽两位同学到某超市调研一种袜子的销售情况，这种袜子的进价为每双1元，请根据小丽提供的信息解决小明提出的问题．24．如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s，问：（1）t为何值时，P、Q两点之间的距离为10cm？（2）t分别为何值时，直线PQ与⊙O相切？相离？相交？25．在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为5cm的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如下图所示：（1）通过计算（结果保留根号与π）．（Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为cm；（Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为cm；（Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为cm；（2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径．江苏省无锡市新区2016届九年级上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．方程x2+3=4x用配方法解时，应先化成（）A．（x﹣2）2=7 B．（x+2）2=1 C．（x+2）2=2 D．（x﹣2）2=1【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】在本题中，把一次项、常数项2分别移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．【解答】解：由原方程，得x2﹣4x=﹣3，配方，得x2﹣4x+4=﹣3+4，即（x﹣2）2=1故选：D．【点评】此题配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤是本题的关键，配方法的一般步骤是（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．2．下列说法正确的是（）A．经过三点可以作一个圆B．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等C．等弧所对的圆心角相等D．相等的圆心角所对的弧相等【考点】确定圆的条件；圆心角、弧、弦的关系；三角形的外接圆与外心．【分析】根据确定圆的条件对A进行判断；根据三角形外心的定义对B进行判断；根据圆心角、弦、弧的关系对C、D进行判断．【解答】解：A、经过不共线的三点可以作一个圆，所以A选项错误；B、三角形的外心到这个三角形的三个顶点的距离相等，所以B选项错误；C、等弧所对的圆心角相等，所以C选项正确；D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以D选项错误．故选C．【点评】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．原式考查了圆心角、弦、弧的关系和三角形的外接圆．3．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2ax+1﹣a2=0有一个根是0，则a=（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．0【考点】一元二次方程的解．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．【解答】解：把x=0代入原方程得到1﹣a2=0，解得：a=±1，∵a﹣1≠0，∴a≠1，故选B．【点评】本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．4．若圆的半径是5，圆心的坐标是（0，0），点P的坐标是（﹣4，3），则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内C．点P在⊙O上 D．点P在⊙O外或⊙O上【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质．【分析】求得OP的长，与圆的半径进行比较即可确定．【解答】解：OP==5，则OP等于圆的半径，则点P在⊙O上．故选C．【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．5．如果关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜2 C．m＞2且m≠1 D．m＜2且m≠1【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【专题】计算题．【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且△=22﹣4（m﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且△=22﹣4（m﹣1）＞0，解得m＜2且m≠1．故选D．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．6．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50（1+x）2=182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2=182C．50（1+2x）=182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）2=182【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题；压轴题．【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，∴50+50（1+x）+50（1+x）2=182．故选B．【点评】增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．7．已知实数a、b满足（a2+b2）2﹣2（a2+b2）=8，则a2+b2的值为（）A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．﹣4或2【考点】换元法解一元二次方程．【分析】设a2+b2=x，则原方程变为x2﹣2x=8，解这个方程即可求得的a2+b2值．【解答】解：设a2+b2=x，原方程变为：x2﹣2x=8，x2﹣2x﹣8=0，（x﹣4）（x+2）=0，解得：x1=4，x2=﹣2，因为平方和是非负数，所以a2+b2的值为4；故选B．【点评】考查了换元法解一元二次方程，换元法是解方程时常用方法之一，它能够把一些方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的方程的特点，寻找解题技巧．8．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A为圆心，1为半径画⊙A，E是圆⊙A上一动点，P 是BC上一动点，则PE+PD最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．2【考点】轴对称-最短路线问题．【分析】以BC为轴作矩形ABCD的对称图形A′BCD′以及对称圆A′，连接A′D交BC于P，则DE′就是PE+PD最小值；根据勾股定理求得A′D的长，即可求得PE+PD最小值．【解答】解：如图，以BC为轴作矩形ABCD的对称图形A′BCD′以及对称圆A′，连接A′D交BC 于P，则DE′就是PE+PD最小值；∵矩形ABCD中，AB=2，BC=3，圆A的半径为1，∴A′D′=BC=3，DD′=2DC=4，AE′=1，∴A′D=5，∴DE′=5﹣1=4∴PE+PD=PE′+PD=DE′=4，故答案为4．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理的应用等，作出对称图形是本题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共24分）9．把方程3x（x﹣2）=4（x+1）化为一元二次方程的一般形式是3x2﹣10x﹣4=0，它的一次项系数是﹣10．【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】首先把方程化成一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），再确定一次项系数．【解答】解：3x（x﹣2）=4（x+1），3x2﹣6x=4x+4，3x2﹣10x﹣4=0，一次项系数是﹣10，故答案为：3x2﹣10x﹣4=0；﹣10．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．10．若圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的全面积为24πcm2．（结果保留π）【考点】圆锥的计算．【专题】计算题．【分析】表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长÷2．【解答】解：底面圆的半径为3，则底面周长=6π，侧面面积=×6π×5=15π；底面积为=9π，全面积为：15π+9π=24π．故答案为24π．【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．11．已知关于x的方程mx2﹣3x+6=0的一个根是﹣2，则m=﹣3，方程的另一个根是1．【考点】一元二次方程的解．【分析】将方程的根代入求得m的值，然后代入求解方程即可求得另一根．【解答】解：∵关于x的方程mx2﹣3x+6=0的一个根是﹣2，∴4m+6+6=0解得：m=﹣3，∴方程变为x2+x﹣2=0，解得：x=﹣2或x=1，故答案为：﹣3，1．【点评】考查了一元二次方程的解的定义，解题的关键是能够将方程的解代入并求解m的值，也可利用根与系数的关系求解．12．网民小李的QQ群里共有若干个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条消息，这样共有90条消息，设小李的QQ群里共有好友x个，可列方程为：x（x﹣1）=90．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】每个好友都有一次发给QQ群其他好友消息的机会，即每两个好友之间要互发一次消息；设有x个好友，每人发x﹣1条消息，则发消息共有x（x﹣1）条．【解答】解：设有x个好友，依题意，x（x﹣1）=90，故答案为：x（x﹣1）=90．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，类似于几名同学互赠明信片，每两名同学之间会产生两张明信片，即：可重复；与每两名同学之间握手有区别．13．如图，AB是⊙O直径，∠AOC=130°，则∠D=25°°．【考点】圆周角定理．【分析】由AB是⊙O直径，∠AOC=130°，根据邻补角的定义，即可求得∠BOC的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠D的度数．【解答】解：∵AB是⊙O直径，∠AOC=130°，∴∠BOC=180°﹣∠AOC=50°，∴∠D=∠BOC=25°．故答案为：25．【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．14．如图，一宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm），则该圆的半径为cm．【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理．【分析】根据垂径定理得BE的长，再根据勾股定理列方程求解即可．【解答】解：作OE垂直AB于E，交⊙O于D，设OB=r，根据垂径定理，BE=AB=×6=3cm，根据题意列方程得：（r﹣2）2+9=r2，解得r=，∴该圆的半径为cm．【点评】此题很巧妙，将垂径定理和勾股定理不露痕迹的镶嵌在实际问题中，考查了同学们的转化能力．15．某校五个绿化小组一天的植树的棵数如下：10，10，12，x，8．已知这组数据的平均数是10，那么这组数据的方差是 1.6．【考点】方差．【专题】计算题．【分析】根据平均数的计算公式先求出x的值，再根据方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，代入计算即可．【解答】解：∵这组数据的平均数是10，∴（10+10+12+x+8）÷5=10，解得：x=10，∴这组数据的方差是×[3×（10﹣10）2+（12﹣10）2+（8﹣10）2]=1.6；故答案为：1.6．【点评】此题考查了方差，一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．16．已知一个三角形的两边长分别为2和9，第三边的长为一元二次方程x2﹣14x+48=0的一个根，则这个三角形的周长为19．【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．【专题】综合题．【分析】易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到符合题意的边，进而求得三角形周长即可．【解答】解：解方程x2﹣14x+48=0得第三边的边长为6或8，依据三角形三边关系，不难判定边长2，6，9不能构成三角形，2，8，9能构成三角形，∴三角形的周长=2+8+9=19．故答案为：19．【点评】综合考查了解一元二次方程﹣因式分解法和三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯．17．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=2，点O为AB的中点，以点O为圆心作半圆与边AC相切于点D．则图中阴影部分的面积为1﹣．【考点】切线的性质；扇形面积的计算．【分析】遇切线，想直角；根据切线，可得∠ADO=90°，根据AB的长，求出AO的长度；解直角三角形，求出半径OD的长度；根据阴影部分的面积=2×（三角形的面积减扇形的面积），计算即可．【解答】解：如右图，连接OD，∵AC与⊙O相切，∴∠ADO=90°，∵∠C=90°，CA=CB，∴∠A=∠B=45°，∴∠AOD=45°，∵O是AB的中点，AB=，∴OA=，在Rt△AOD中，∠A=45°，OA=，∴OD=cos45°•OA==1，∴．故答案为：1﹣．【点评】本题是切线的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、三角形的面积、扇形的面积的综合应用，根据已知条件求出圆的半径是解决此题的关键．18．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE相交于点H．若BC=6，AH=4，则⊙O的半径为．【考点】平行四边形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．【分析】作直径CM，连接MB、MA，做OF⊥BC于F，推出∠MAC=∠MBC=90°，求出平行四边形MBHA，求出BM，求出OF，根据垂径定理求出CF，根据勾股定理求出OC即可．【解答】解：作直径CM，连接MB、MA，作OF⊥BC于F，∵CM为直径，∴∠MBC=∠MAC=90°，又∵∠ADC=∠BEC=90°∴∠MBC=∠ADC，∠MAC=∠BEC，∴MB∥AD，MA∥BE，∴四边形MBHA为平行四边形，∴MB=AH=4，又∵OF⊥BC，OF过O，∴根据垂径定理：CF=FB=BC=3；又∵CO=OM，∴OF=MB=2，∴在Rt△COF中，OC2=OF2+CF2=22+32=13，∴OC=．故答案为：．【点评】本题考查的是平行四边形的判定与性质，涉及到圆周角定理，勾股定理，垂径定理，平行四边形的性质和判定等知识点的综合应用．三、解答题（本大题共7小题，共50分）19．解下列方程：（1）（x﹣2）2=3（x﹣2）（2）x（x﹣3）=10（3）4y2=8y+1．（用配方法解）（4）x2+3x﹣2=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法．【专题】计算题．【分析】（1）先把方程变形为（x﹣2）2﹣3（x﹣2）=0，再利用因式分解法解方程；（2）先把方程化为一般式为x2﹣3x﹣10=0，然后利用因式分解法解方程；（3）利用配方法得到（y﹣1）2=，然后利用直接开平方法解方程；（4）利用求根公式法解方程．【解答】解：（1）（x﹣2）2﹣3（x﹣2）=0，（x﹣2）（x﹣2﹣3）=0，x﹣2=0或x﹣2﹣3=0，所以x1=2，x2=5；（2）x2﹣3x﹣10=0，（x﹣5）（x+2）=0，x﹣5=0或x+2=0，所以x1=5，x2=﹣2；（3）y2﹣2y=，y2﹣2y+1=+1，（y﹣1）2=，y﹣1=±，所以y1=1+，y2=1﹣；（4）△=32﹣4×1×（﹣2）=17，x=，所以x1=，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法和公式法解一元二次方程．）甲队成绩的中位数是9.5分，乙队成绩的众数是10分；（2）计算乙队的平均成绩和方差；（3）已知甲队成绩的方差是1.4分2，则成绩较为整齐的是乙队．【考点】方差；加权平均数；中位数；众数．【专题】计算题；图表型．【分析】（1）根据中位数的定义求出最中间两个数的平均数；根据众数的定义找出出现次数最多的数即可；（2）先求出乙队的平均成绩，再根据方差公式进行计算；（3）先比较出甲队和乙队的方差，再根据方差的意义即可得出答案．【解答】解：（1）把甲队的成绩从小到大排列为：7，7，8，9，9，10，10，10，10，10，最中间两个数的平均数是（9+10）÷2=9.5（分），则中位数是9.5分；乙队成绩中10出现了4次，出现的次数最多，则乙队成绩的众数是10分；故答案为：9.5，10；（2）乙队的平均成绩是：×（10×4+8×2+7+9×3）=9，则方差是：×[4×（10﹣9）2+2×（8﹣9）2+（7﹣9）2+3×（9﹣9）2]=1；（3）∵甲队成绩的方差是1.4，乙队成绩的方差是1，∴成绩较为整齐的是乙队；故答案为：乙．【点评】本题考查方差、中位数和众数：中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．21．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．【考点】根的判别式；一元二次方程的解；勾股定理．【分析】（1）根据关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0的根的判别式的符号来证明结论；（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是2、3时，由勾股定理得斜边的长度为：；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是2、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；再根据三角形的周长公式进行计算．【解答】（1）证明：∵△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）=（m﹣2）2+4，∴在实数范围内，m无论取何值，（m﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0恒有两个不相等的实数根；（2）解：根据题意，得12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）=0，解得，m=2，则方程的另一根为：m+2﹣1=2+1=3；①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：；该直角三角形的周长为1+3+=4+；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2；则该直角三角形的周长为1+3+2=4+2．【点评】本题综合考查了勾股定理、根的判别式、一元二次方程解的定义．解答（2）时，采用了“分类讨论”的数学思想．22．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C．（1）画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连接AD、CD．（2）请在（1）的基础上，以点O为原点、水平方向所在直线为x轴、竖直方向所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，完成下列问题：①（2，0）⊙D的半径为2（结果保留根号）；②若用扇形ADC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是；③若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由．【考点】圆的综合题．【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，然后作出弦AB的垂直平分线，以及BC的垂直平分线，两直线的交点即为圆心D，连接AD，CD；（2）①根据第一问画出的图形即可得出C及D的坐标；②在直角三角形AOD中，由OA及OD的长，利用勾股定理求出AD的长，即为圆O的半径；③直线CE与圆O的位置关系是相切，理由为：由圆的半径得出DC的长，在直角三角形CEF中，由CF及FE的长，利用勾股定理求出CE的长，再由DE的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形DCE为直角三角形，即EC垂直于DC，可得出直线CE为圆O的切线．【解答】解：（1）根据题意画出相应的图形，如图所示：（2）①在Rt△AOD中，OA=4，OD=2，根据勾股定理得：AD==2，则⊙D的半径为2；②AC==2，CD=2，AD2+CD2=AC2，∴∠ADC=90°．扇形ADC的弧长==π，圆锥的底面的半径=；③直线EC与⊙D的位置关系为相切，理由为：在Rt△CEF中，CF=2，EF=1，根据勾股定理得：CE==，在△CDE中，CD=2，CE=，DE=5，∵CE2+CD2=（）2+（2）2=5+20=25，DE2=25，∴CE2+CD2=DE2，∴△CDE为直角三角形，即∠DCE=90°，则CE与圆D相切．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理及逆定理，切线的判定，利用了数形结合的思想，根据题意画出相应的图形是解本题的关键．23．今年圣诞节前夕，小明、小丽两位同学到某超市调研一种袜子的销售情况，这种袜子的进价为每双1元，请根据小丽提供的信息解决小明提出的问题．【考点】一元二次方程的应用．【专题】销售问题．【分析】设每双袜子的定价为x元，由于每天的利润为800元，根据利润=（定价﹣进价）×销售量，列出方程求解即可．【解答】解：设每双袜子的定价为x元时，每天的利润为800元．根据题意，得（x﹣1）（500﹣10×）=800，解得x1=3，x2=5．∵售价不能超过进价的300%，∴x≤1×300%．即x≤3．∴x=3．答：每双袜子的定价为3元时，每天的利润为800元．【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．24．如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s，问：（1）t为何值时，P、Q两点之间的距离为10cm？（2）t分别为何值时，直线PQ与⊙O相切？相离？相交？【考点】圆的综合题．【分析】（1）根据速度乘时间，可得AP，BQ，根据线段的和差，可得OE的长，根据勾股定理，可得答案；（2）根据PQ从相交到相切，由相切到相离，由相离到相切，再到相交，根据相切，可得PQ=AP+BQ，根据勾股定理，可得t值；根据小于第一次相切时相交，大于第一次相切的时间，小于第二次相切的时间时相离，根据大于第二次相切时再次相交，可得答案．【解答】解：（1）AP=t，BQ=26﹣3t，如图1：作PE⊥BC于E，．QE=26﹣4t．由勾股定理，得（26﹣4t）2+64=100，解得t=5或8；（2）当PQ与⊙O相切时，如图2，，由相切，得PQ=AP+BQ=26﹣2t，BE=26﹣4t，PE=8，（26﹣4t）2+64=（26﹣2t）2直线PQ与⊙O相切，t=8或；当26÷3=，当t=时运动停止，相交0≤t＜或8＜t≤；相离＜t＜8．【点评】本题考查了圆的综合题，利用了勾股定理，理解直线由相交到相切，再到相切，最后相交是解题关键．25．在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为5cm的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如下图所示：（1）通过计算（结果保留根号与π）．（Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为5cm；（Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为10cm；（Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为10cm；（2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径．【考点】正多边形和圆．【专题】压轴题；探究型．【分析】（1）（Ⅰ）连接正方形的对角线BD，利用勾股定理求出BD的长即可；（Ⅱ）利用勾股定理求出小正方形对角线的长即可；（Ⅲ）找出过A、B、C三点的圆的圆心及半径，利用勾股定理求解即可；（2）连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，设OG=x，则OP=10﹣x，再根据勾股定理解答．【解答】解：（1）（Ⅰ）连接BD，∵AD=3×5=15cm，AB=5cm，∴BD==cm；。

同学们，今天是展示你才能的时候，只要你仔细审题，认真答题，把平常的水平发挥出来，你就会有满意的收获. 放松一点，相信自己的实力. 祝你成功！注意事项：1．本试卷满分130分，考试时间为120分钟．2．所有的试题都必须在答题纸上作答，在试卷或草稿纸上答题无效．一、选择题（本大题共有10小题，每题3分，共30分。

每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项前的字母代号写在答题．．卷的．．相应位置．．．．上。

） 1. 下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是 ( )A ．ax 2＋bx ＋c ＝0B ．x 2－2＝(x ＋3)2C ．x 2＋3x－5＝0 D ．x 2－1＝0 【答案】D【解析】试题分析：一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．A 答案没有a ≠0的条件，B 化简后没有二次项，C 是分式方程，D 符合条件.故选D考点：一元二次方程的概念2. 如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是( )A ．∠ABP =∠CB ．∠APB =∠ABC C ．AC AB AB AP =D ．CB AC BP AB =【答案】D【解析】试题分析：用相似三角形的判定方法判断：A 、当∠ABP=∠C 时，又∵∠A=∠A ，∴△ABP ∽△ACB ，故此选项错误；B 、当∠APB=∠ABC 时，又∵∠A=∠A ，∴△ABP ∽△ACB ，故此选项错误；C 、当AP AB AB AC=时，又∵∠A=∠A ，∴△ABP ∽△ACB ，故此选项错误； D 、无法得到△ABP ∽△ACB ，故此选项正确．故选：D ．考点：相似三角形的判定3. 已知三角形两边的长分别为3米和6米，第三边的长是方程01582=+-x x 的一个根，则这个三角形的周长为 ( )A ．12B ．12或 14C ．14D ．13【答案】C【解析】试题分析： 解方程x 2－6x ＋8＝0得x=3或x=5，当x=3时，三边长为3、3、6，而3+3=6，此时无法构成三角形；当x=5时，三边长为5、3、6，此时可以构成三角形，周长=5+3+6=14.故选C.考点：解一元二次方程，三角形的三边关系 4．下列说法中，正确的是 ( )A ．等弦所对的弧相等B ．等弧所对的弦相等C ．圆心角相等，所对的弦相等D ．弦相等所对的圆心角相等 【答案】B【解析】试题分析： A 中，等弦所对应的弧可以相等也可以互补构成新圆，故不正确；B 中，等弧所对应的弦相等，故正确；C 中，圆心角相等所对应的弦可能不一定相等，故不正确；D 中，弦相等，圆心角可能互补，故不正确.故选B考点：弧与圆心角的关系5．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BOD ＝100°，则∠BCD 的度数为：( )A ．50°B ．80°C ． 100°D ．130° 【答案】D【解析】试题分析：根据圆内接四边形的对角互补，可由四边形ABCD 内接于⊙O 知∠A+∠C=180°，然后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可知∠C=12∠COD=50°，因此可求得∠A=180°-∠C=130°． 故选D ．考点：圆内接四边形，圆周角定理6．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ：FC= ( )A ．1︰3B ．1︰4C ．2︰3D ．1︰2【答案】D【解析】试题分析：首先证明△DFE ∽△BAE ，然后利用对应变成比例，E 为OD 的中点，求出DF ：AB=1:3，又知AB=DC ，即可得出DF ：FC=1:2．故选D考点：相似三角形的判定与性质7．如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O 为位似中心，位似比为31，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为 ( )A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1) 【答案】A【解析】试题分析：根据位似变换的位似比13，可知C点的横坐标为6×13，纵坐标为3×13=1，可知C为（2,1）.故选A考点：位似变换8. 某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是( )A．中位数是4，平均数是3.75 B．众数是4，平均数是3.75C．中位数是4，平均数是3.8 D．众数是2，平均数是3.8【答案】C【解析】试题分析：根据出现次数最多的为众数，可得众数为4小时，根据中位数的意义知中位数为4，根据平均数的公式15x （3+3.5+4×2+4.5）=3.8.故选C考点：中位数，众数，平均数9．如图4，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动，设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是( )考点：圆周角定理，动点函数问题10．股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再张，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x ，则x 满足的方程是 ( )A ． 1011)1(2=+x B ． 910)1(2=+x C ．101121=+x D ．91021=+x 【答案】B【解析】 试题分析：根据跌停可知跌后的价格为910，然后可知两年的增长可知9102(1)1x +=，化简可得210(1)9x +=. 故选B 考点：一元二次方程的应用——增长率问题二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共20分。

的度数为（ ）
A．70°
B．35°
C．20°
D．40°
7．在同一坐标系中，一次函数 y=Ⅰ mx+n2 与二次函数 y=x2+m 的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为 x=Ⅰ 1 则下列式子正确的个 数是（1）abc＞0（2）2a+b=0（3）4a+2b+c＜0（4）b2Ⅰ 4ac＜0 （）
（）
A．k＞Ⅰ 1
B．k≥Ⅰ 1
C．k≠0
D．k＜1 且 k≠0
3．初三（1）班 12 名同学练习定点投篮，每人各投 10 次，进球数统计如下：
进球数（个）
1
2
3
4
5
7
人数（人）
1
1
4
2
3
1
这 12 名同学进球数的众数是（ ）
A．3.75
B．3
C．3.5
D．7
4．已知圆锥的底面半径为 4cm，母线长为 6cm，则它的侧面展开图的面积等于（ ）
×2
10．如图，⊙P 在第一象限，半径为 3．动点 A 沿着ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱP 运动一周，在点 A 运动的同时，
作点 A 关于原点 O 的对称点 B，再以 AB 为边作等边三角形△ABC，点 C 在第二象限，点
C 随点 A 运动所形成的图形的面积为（ ）
A．24 cm2
B．48 cm2
C．24π cm2
D．12π cm2
5．有下列四个命题：
①直径是弦；
②经过三个点一定可以作圆；
③三角形的外心到三角形各边的距离相等；

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2015-2016学年江苏省无锡市江阴市敔山湾实验学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（每小题3分，共30分）1．（3分）已知cosB=，则∠B的值为（）A．30°B．60°C．45°D．90°2．（3分）抛物线y=（x+2）2﹣1的顶点坐标是（）A．（2，1） B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，﹣1）3．（3分）△ABC中，DE∥BC，AD=5，BA=15，DE=4，则BC的值为（）A．12 B．10 C．8 D．64．（3分）两个相似三角形周长之比为9：5，则面积比为（）A．9：5 B．81：25 C．3：D．不能确定5．（3分）若关于x的方程（x+1）2=k﹣1没有实数根，则k的取值范围是（）A．k≤1 B．k＜1 C．k≥1 D．k＞16．（3分）下列命题是正确的有（）A．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧B．三角形的内心到三角形各顶点的距离都相等C．过同一平面内的任意三点有且仅有一个圆D．半径相等的两个半圆是等弧7．（3分）已知x=1是方程x2+bx+b﹣3=0的一个根，那么此方程的另一个根为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．28．（3分）如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（）A．6πB．5πC．4πD．3π9．（3分）在矩形ABCD中，BC=4，BG与对角线AC垂直且分别交AC，AD及射线CD于点E，F，G，当点F为AD中点时，∠ECF的正切值是（）A．B．C．D．10．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE 相交于点H．若BC=6，AH=4，则⊙O的半径为（）A．5 B．2C． D．5.5二、填空题：（每空2分，共16分）11．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则sinB的值为．12．（2分）已知（m﹣2）x2﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是．13．（2分）已知二次函数y=2x2+1，若点（﹣2，y1）与（3，y2）在此二次函数的图象上，则y1y2．（填“＞”、“=”或“＜”）．14．（2分）已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则此扇形的弧长是cm．15．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=140°，则∠AOC的度数为．16．（2分）如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC 于点D，则AD的长是，cosA的值是．（结果保留根号）17．（2分）在△ABC中，E、F分别是AC、BC边上的点，P1、P2、P3、…、P n﹣1是AB边的n等分点，CE=AC，CF=BC．如图1，若∠B=40°，AB=BC，则∠EP1F+∠EP2F+∠EP3F+…+∠EP n﹣1F=度；如图2，若∠A=α，∠B=β，则∠EP1F+∠EP2F+∠EP3F+…+∠EP n﹣1F=（用含α，β的式子表示）．18．（2分）已知：如图，在半径为8的⊙O中，AB为直径，以弦AC（非直径）为对称轴将折叠后与AB相交于点D，如果AD=3DB，那么AC的长为．三、解答题：（本大题共10小题，共84分）19．（8分）（1）计算：+sin45°•cos45°（2）解方程：x2﹣5x﹣6=0．20．（6分）如图，D为等边△ABC边BC上一点，DE⊥AB于E，若BD：CD=2：1，DE=2，求AE．21．（8分）如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A与y轴相切于点，与x轴相交于M、N两点．如果点M的坐标为，求点N的坐标．23．（8分）如图，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，小桌板的支架底端与桌面顶端的距离OA=75厘米．展开小桌板使桌面保持水平，此时CB⊥AO，∠AOB=∠ACB=37°，且支架长OB与桌面宽BC的长度之和等于OA 的长度．求小桌板桌面的宽度BC．（参考数据sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）24．（8分）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2，求BC的长．25．（8分）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？26．（10分）如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．（1）弦长AB等于（结果保留根号）；（2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数；（3）当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、0为顶点的三角形相似？请写出解答过程．27．（10分）已知：关于x的方程（a﹣1）x2﹣（a+1）x+2=0．（1）当a取何值时，方程（a﹣1）x2﹣（a+1）x+2=0有两个不相等的实数根；（2）当整数a取何值时，方程（a﹣1）x2﹣（a+1）x+2=0的根都是正整数．28．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知动点P在正比例函数y=x的图象上，点P的横坐标为m（m＞0），以点P为圆心，m为半径的圆交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C、D两点（点D在点C的上方）．点E为平行四边形DOPE的顶点（如图）．（1）写出点B、E的坐标（用含m的代数式表示）；（2）连接DB、BE，设△BDE的外接圆交y轴于点Q（点Q异于点D），连接EQ、BQ，试问线段BQ与线段EQ的长是否相等？为什么？（3）连接BC，求∠DBC﹣∠DBE的度数．2015-2016学年江苏省无锡市江阴市敔山湾实验学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题3分，共30分）1．（3分）已知cosB=，则∠B的值为（）A．30°B．60°C．45°D．90°【解答】解：∵cosB=，∴∠B=30°．故选：A．2．（3分）抛物线y=（x+2）2﹣1的顶点坐标是（）A．（2，1） B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，﹣1）【解答】解：∵y=（x+2）2﹣1是抛物线的顶点式，∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣1）．故选：B．3．（3分）△ABC中，DE∥BC，AD=5，BA=15，DE=4，则BC的值为（）A．12 B．10 C．8 D．6【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，∵AD=5，BA=15，DE=4，∴=，解得BC=12．故选：A．4．（3分）两个相似三角形周长之比为9：5，则面积比为（）A．9：5 B．81：25 C．3：D．不能确定【解答】解：∵两个相似三角形周长之比为9：5，∴它们的相似比是9：5：∴它们的面积的比是81：25．故选：B．5．（3分）若关于x的方程（x+1）2=k﹣1没有实数根，则k的取值范围是（）A．k≤1 B．k＜1 C．k≥1 D．k＞1【解答】解：解方程（x+1）2=k﹣1得到：x+1=±，∵关于x的方程（x+1）2=k﹣1没有实数根，∴k﹣1＜0，解得，k＜1．故选：B．6．（3分）下列命题是正确的有（）A．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧B．三角形的内心到三角形各顶点的距离都相等C．过同一平面内的任意三点有且仅有一个圆D．半径相等的两个半圆是等弧【解答】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故错误；B、三角形的内心到三角形各边的距离都相等，故错误；C、过同一平面内的不在同一直线上的三点有且仅有一个圆，故错误；D、半径相等的两个半圆是等弧，正确；故选：D．7．（3分）已知x=1是方程x2+bx+b﹣3=0的一个根，那么此方程的另一个根为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：∵x=1是方程x2+bx+b﹣3=0的一个根，∴1+b+b﹣3=0，∴b=1，∴x2+x+1﹣3=0，解得：x1=﹣2，x2=1，∴此方程的另一个根为﹣2，A答案正确．故选：A．8．（3分）如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（）A．6πB．5πC．4πD．3π【解答】解：阴影部分面积==6π．故选：A．9．（3分）在矩形ABCD中，BC=4，BG与对角线AC垂直且分别交AC，AD及射线CD于点E，F，G，当点F为AD中点时，∠ECF的正切值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵点F为AD中点，且AD=BC=4，∴AF=AD=2，∵矩形ABCD中，AD∥BC，∴△AEF∽△CEB，∴====，∴CE=2AE，BE=2FE，∴AC=3AE，BF=3FE，∵F为AD的中点，由对称性，得到BF=CF，∴==∴CF=3EF∴EC2=FC2﹣EF2=9EF2﹣EF2=8EF2∴EC=2EF∴tan∠ECF===．故选：C．10．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE 相交于点H．若BC=6，AH=4，则⊙O的半径为（）A．5 B．2C． D．5.5【解答】证明：作直径CM，连接MB、MA，作OF⊥BC于F，∵CM为直径，∴∠MBC=∠MAC=90°，又∵∠ADC=∠BEC=90°∴∠MBC=∠ADC，∠MAC=∠BEC，∴MB∥AD，MA∥BE，∴四边形MBHA为平行四边形，∴MB=AH=4，又∵OF⊥BC，OF过O，∴根据垂径定理：CF=FB=BC=3；又∵CO=OM，∴OF=MB=2，∴在Rt△COF中，OC2=OF2+CF2=22+32=13，∴OC=，故选：C．二、填空题：（每空2分，共16分）11．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则sinB的值为．【解答】解：∵AB=2BC，∴AC==BC，∴sinB===．故答案为．12．（2分）已知（m﹣2）x2﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是m≠2．【解答】解：根据题意得m﹣2≠0，所以m≠2．故答案为：m≠2．13．（2分）已知二次函数y=2x2+1，若点（﹣2，y1）与（3，y2）在此二次函数的图象上，则y1＜y2．（填“＞”、“=”或“＜”）．【解答】解：∵二次函数y=2x2+1，∴该抛物线开口向上，且对称轴为y轴．∵点（﹣2，y1）与（3，y2）在二次函数y=2x2+1的图象上，点（﹣2，y1）横坐标离对称轴的距离小于点（3，y2）横坐标离对称轴的距离，∴y1＜y2．故答案为：＜．14．（2分）已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则此扇形的弧长是2πcm．【解答】解：∵L=，扇形的半径为3cm，圆心角为120°，∴扇形的弧长L==2π．故答案为：2π．15．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=140°，则∠AOC的度数为80°．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=140°，∴∠D=180°﹣∠ABC=40°，∴∠AOC=2∠D=80°．故答案为：80°．16．（2分）如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是，cosA的值是．（结果保留根号）【解答】解：∵△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB==72°．∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°．∴∠A=∠DBC=36°，又∵∠C=∠C∴△ABC∽△BDC，∴=，设AD=x，则BD=BC=x．则=，解得：x=（舍去）或．故x=．如右图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD=BD，∴E为AB中点，即AE=AB=．在Rt△AED中，cosA==．故答案是：；．17．（2分）在△ABC中，E、F分别是AC、BC边上的点，P1、P2、P3、…、P n﹣1是AB边的n等分点，CE=AC，CF=BC．如图1，若∠B=40°，AB=BC，则∠EP 1F+∠EP2F+∠EP3F+…+∠EP n﹣1F=70度；如图2，若∠A=α，∠B=β，则∠EP1F+∠EP2F+∠EP3F+…+∠EP n﹣1F=180°﹣α﹣β（用含α，β的式子表示）．【解答】解：∵P1、P2、P3、…、P n﹣1是AB边的n等分点，CE=AC，CF=BC．∴EP1∥FB，EP2∥FP1，EP3∥FP2，…EP n﹣1∥FP n﹣2，∴∠EP1F=∠BFP1，∠EP2F=∠P1FP2，∠EP3F=∠P2FP3，…∠EP n﹣1F=∠P n﹣2FP n﹣1，∴∠EP1F+∠EP2F+∠EP3F+…+∠EP n﹣1F=∠BFP n﹣1，∵∠B=40°，AB=BC，FP n﹣1∥AC，∴∠BFP n﹣1，=∠C=70°，同理可证：∠EP1F+∠EP2F+∠EP3F+…+∠EP n﹣1F=BFP n﹣1=∠C=180°﹣α﹣β．18．（2分）已知：如图，在半径为8的⊙O中，AB为直径，以弦AC（非直径）为对称轴将折叠后与AB相交于点D，如果AD=3DB，那么AC的长为4．【解答】解：连接CD、CB，作CE⊥AB于E，∵弧AC沿弦AC折叠交直径AB于点D，∴∠ABC=∠ACD+∠CAD，在△BCD中，∠BDC=∠ACD+∠CAD，∴∠ABC=∠BDC，∴BC=CD，又CE⊥AB，∴BE=DE=BD，∵AD=3DB，AD+BD=16，∴BD=4，AD=12，∴AE=AD+DE=12+2=14，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACE+∠CAD=∠ACB=90°，∵∠ACE+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE，又∵∠AEC=∠BEC=90°，∴△ACE∽△CBE，∴=，∴CE=2，∴AC==4，故答案为：4．三、解答题：（本大题共10小题，共84分）19．（8分）（1）计算：+sin45°•cos45°（2）解方程：x2﹣5x﹣6=0．【解答】解：（1）+s in45°•cos45°=+（）2=1+=；（2）x2﹣5x﹣6=0（x﹣6）（x+1）=0解得x1=6，x2=﹣1．20．（6分）如图，D为等边△ABC边BC上一点，DE⊥AB于E，若BD：CD=2：1，DE=2，求AE．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠B=60°，∵DE⊥AB于E，∴∠DEB=90°，∴∠BDE=30°，∴BD=2BE，在Rt△BDE中，设BE=x，则BD=2x，∵DE=2，由勾股定理得：（2x）2﹣x2=（2）2，解得：x=2，所以BE=2，BD=4，∵BD：CD=2：1，∴CD=2，∴BC=BD+CD=6，∵AB=BC，∴AB=6，∵AE=AB﹣BE∴AE=6﹣2=4．21．（8分）如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．【解答】（1）证明：∵CD是边AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵=．∴△ACD∽△CBD；（2）解：∵△ACD∽△CBD，∴∠A=∠BCD，在△ACD中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A与y轴相切于点，与x轴相交于M、N两点．如果点M的坐标为，求点N的坐标．【解答】解：连接AB、AM、过A作AC⊥MN于C，设⊙A的半径是R，∵⊙A与y轴相切于B，∴AB⊥y轴，∵点，与x轴相交于M、N两点，点M的坐标为，∴AB=AM=R，CM=R﹣，AC=，MN=2CM，由勾股定理得：R2=（R﹣）2+（）2，R=2.5，∴CM=CN=2.5﹣=2，∴ON=+2+2=4，即N的坐标是（4，0）．23．（8分）如图，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，小桌板的支架底端与桌面顶端的距离OA=75厘米．展开小桌板使桌面保持水平，此时CB⊥AO，∠AOB=∠ACB=37°，且支架长OB与桌面宽BC的长度之和等于OA 的长度．求小桌板桌面的宽度BC．（参考数据sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）【解答】解：延长CB交AO于点D．∴CD⊥OA，设BC=x，则OB=75﹣x，在Rt△OBD中，OD=OB•cos∠AOB，BD=OB•sin∠AOB，∴OD=（75﹣x）•cos37°=0.8（75﹣x）=60﹣0.8x，BD=（75﹣x）sin37°=0.6（75﹣x）=45﹣0.6x，在Rt△ACD中，AD=DC•tan∠ACB，∴AD=（x+45﹣0.6x）tan37°=0.75（0.4x+45）=0.3x+33.75，∵AD+OD=OA=75，∴0.3x+33.75+60﹣0.8x=75，解得x=37.5．∴BC=37.5；故小桌板桌面的宽度BC约为37.5cm．24．（8分）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2，求BC的长．【解答】（1）证明：连接OB，如图所示：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∴∠C+∠BAC=90°，∵OA=OB，∴∠BAC=∠OBA，∵∠PBA=∠C，∴∠PBA+∠OBA=90°，即PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线；（2）解：∵⊙O的半径为2，∴OB=2，AC=4，∵OP∥BC，∴∠CBO=∠BOP，∵OC=OB，∴∠C=∠CBO，∴∠C=∠BOP，又∵∠ABC=∠PBO=90°，∴△ABC∽△PBO，∴，即，∴BC=2．25．（8分）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，由题意得x（25﹣2x+1）=80，化简，得x2﹣13x+40=0，解得：x1=5，x2=8，当x=5时，26﹣2x=16＞12（舍去），当x=8时，26﹣2x=10＜12，答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．26．（10分）如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．（1）弦长AB等于2（结果保留根号）；（2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数；（3）当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、0为顶点的三角形相似？请写出解答过程．【解答】解：（1）过点O作OE⊥AB于E，则AE=BE=AB，∠OEB=90°，∵OB=2，∠B=30°，∴BE=OB•cos∠B=2×=，∴AB=2；故答案为：2；（2）连接OA，∵OA=OB，OA=OD，∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D，又∵∠B=30°，∠D=20°，∴∠DAB=50°，∴∠BOD=2∠DAB=100°；（3）∵∠BCO=∠A+∠D，∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，此时∠BOC=60°，∠BOD=120°，∴∠DAC=60°，∴△DAC∽△BOC，∵∠BCO=90°，即OC⊥AB，∴AC=AB=．∴当AC的长度为时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、0为顶点的三角形相似．27．（10分）已知：关于x的方程（a﹣1）x2﹣（a+1）x+2=0．（1）当a取何值时，方程（a﹣1）x2﹣（a+1）x+2=0有两个不相等的实数根；（2）当整数a取何值时，方程（a﹣1）x2﹣（a+1）x+2=0的根都是正整数．【解答】解：（1）∵方程（a﹣1）x2﹣（a+1）x+2=0有两个不相等的实数根，∴，即，∴a≠1且a≠3．（2）①当a﹣1=0时，即a=1时，原方程变为﹣2x+2=0．方程的解为x=1；②当a﹣1≠0时，原方程为一元二次方程（a﹣1）x2﹣（a+1）x+2=0．△=b2﹣4ac=[﹣（a+1）]2﹣4（a﹣1）•2=（a﹣3）2≥0．x=，解得x1=1，x2=．∵方程（a﹣1）x2﹣（a+1）x+2=0都是正整数根．∴只需为正整数．∴当a﹣1=1时，即a=2时，x2=2；当a﹣1=2时，即a=3时，x2=1；∴a取1，2，3时，方程（a﹣1）x2﹣（a+1）x+2=0的根都是正整数．28．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知动点P在正比例函数y=x的图象上，点P的横坐标为m（m＞0），以点P为圆心，m为半径的圆交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C、D两点（点D在点C的上方）．点E为平行四边形DOPE的顶点（如图）．（1）写出点B、E的坐标（用含m的代数式表示）；（2）连接DB、BE，设△BDE的外接圆交y轴于点Q（点Q异于点D），连接EQ、BQ，试问线段BQ与线段EQ的长是否相等？为什么？（3）连接BC，求∠DBC﹣∠DBE的度数．【解答】解：（1）如图①，连接PB，过点P作PM⊥x轴于点M．由题意可知，OM=PM=m，PB=m．在Rt△PBM中，由勾股定理得：BM===2m，∴OB=OM+BM=m+2m=3m，∴B（3m，0）；连接PD，过点P作PN⊥y轴于点N，同理可求得DN=2m，OD=3m．过点D作DR⊥PE于点R，∵平行四边形DOPE，∴∠ODE+∠DOP=180°；由题意可知，∠DOP=45°，∴∠ODE=135°，∴∠EDR=45°，即△EDR为等腰直角三角形，∴ER=DR=OM=m，EM=ER+RM=ER+OD=m+3m=4m，∴E（m，4m）．（2）相等．理由如下：依题意画出图形，如图②所示．由（1）知，∠ODE=∠BDO+∠BDE=135°，又OB=OD=3m，即△OBD为等腰直角三角形，∴∠BDO=45°，∴∠BDE=90°，即△BDE为直角三角形．由圆周角定理可知，BE为△BDE外接圆的直径，∴∠BQE=90°．过点E作EK⊥y轴于点K，则有EK=m，OK=4m．∵∠BQE=90°，∴∠EQK+∠BQO=90°，又∠BQO+∠QBO=90°，∴∠EQK=∠QBO．∴Rt△EQK∽Rt△QBO，∴，即，解得OQ=m或OQ=3m，∵点Q与点D不重合，∴OQ=m，∴OQ=EK，即相似比为1，此时两个三角形全等，∴BQ=EQ．（3）如图②所示，连接BC．由（1）可知，如图①，CD=2DQ=4m，∴OC=CD﹣OD=m．由（2）可知，△BDE为直角三角形，△EDK与△BDO均为等腰直角三角形，∴DE=EK=m，BD=OB=3m．在Rt△BDE与Rt△BOC中，OC=m，OB=3m，DE=m，BD=3m，∴，∴Rt△BDE∽Rt△BOC，∴∠OBC=∠DBE，∴∠DBC﹣∠DBE=（∠OBD+∠OBC）﹣∠DBE=∠OBD=45°．。

九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.方程x2-2x=0的解为（）A. x=0B. x=2C. x1=0，x2=2D. x1=0，x2=−22.下列一元二次方程中，两根之和为-1的是（）A. x2+x+2=0B. x2−x−5=0C. x2+x−3=0D. 2x2−x−1=03.已知xy=52，那么下列等式中不一定正确的是（）A. 2x=5yB. x2x+y=512C. x+yy=72D. x+2y+2=744.若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠C=110°，则∠B′等于（）A. 30∘B. 50∘C. 40∘D. 70∘5.为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行了调查，下表是这10户居民2014年4月份用电量的调查结果：那么关于这户居民月用电量（单位：度），下列说法错误的是（）A. 中位数是55B. 众数是60C. 方差是29D. 平均数是546.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且AEAB=ADAC=13，则S△ADE：S四边形BCED的值为（）A. 1：3B. 1：3C. 1：8D. 1：97.如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函数y=1x的图象上．若点B在反比例函数y=kx的图象上，则k的值为（）A. −4B. 4C. −2D. 28.如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AB=3，则AD的值为（）A. 6B. 35C. 5D. 339.如图，在△ABC中，AC=BC，CD是AB边上的高线，且有2CD=3AB，又E，F为CD的三等分点，则∠ACB和∠AEB之和为（）A. 45∘B. 90∘C. 60∘D. 75∘10.如图，已知AB=12，点C、D在AB上，且AC=DB=2，点P从点C沿线段CD向点D运动（运动到点D停止），以AP、BP为斜边在AB的同侧画等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，连接EF，取EF的中点G，下列说法中正确的有（）①△EFP的外接圆的圆心为点G；②四边形AEFB的面积不变；③EF的中点G移动的路径长为4．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.（1）直接写出解：y2-2y+1=0______；（2）若x−yy=53，则xy=______．12.若方程（n-1）x2-3x+1=0是关于x的一元二次方程，则n______．13.在比例尺为1：5000的江阴市城区地图上，某段路的长度约为25厘米，则它的实际长度约为______米．14.用一个圆心角为120°，半径为9的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径是______．15.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，若以点C为圆心，AC为半径作圆，则AB边的中点E与⊙C的位置关系为______．16.如图，将含60°角的直角三角形ABC绕顶点A顺时针旋转45°度后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′．若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是______．17.如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，点F是△ABC的重心（即点F是△ABC的两条中线AD、BE的交点），BF=6，则DF=______．18.如图，在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P 也随之运动，若AD=2，线段CP的最小值是___________.三、计算题（本大题共1小题，共16.0分）19.解方程：（1）x2-4x+1=0（用配方法）（2）3x（x-1）=2-2x（3）（x-2）（x-3）=12（4）x2-3x=2四、解答题（本大题共9小题，共68.0分）20.已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是______；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是______；（画出图形）（3）△A2B2C2的面积是______平方单位．21.已知关于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2=0有两个实数根x1、x2，并且满足x12+x22=1，求m的值．22.（1）如图①，请用尺规作图作出圆的一条直径EF（不写作法，保留作图痕迹）；（2）如图②，A、B、C、D为圆上四点，AB∥CD，AB＜CD，请只用无刻度的直尺，画出圆的一条直径EF（不写画法，保留画图痕迹）．23.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积.（结果保留根号和π）24.在“全民阅读”活动中，某中学社团“海伦读书社”对全校学生的人数及纸质图书阅读量（单位：本）进行了调查，2013年全校有1000名学生，2014年全校学生人数比2013年增加10%，2015年全校学生人数比2014年增加100人．（1）求2015年全校学生人数；（2）2014年全校学生人均阅读量比2013年多1本，阅读总量比2013年增加1700本（注：阅读总量=人均阅读量×人数）①求2013年全校学生人均阅读量；②2013年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍，如果2014年、2015年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a，2015年全校学生人均阅读量比2013年增加的百分数也是a，那么2015年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%，求a的值．25.我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题，并说明理由；（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆弧ADB的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O 内存在点E，使AE=AD，CB=CE．试说明△ACE是奇异三角形．26.阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，CD：BD=1：2，AD与BE相交于点P，求APPD的值．小昊发现，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，通过构造△AEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：APPD的值为______．参考小昊思考问题的方法，解决问题：如图 3，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，DC：BC：AC=1：2：3．（1）求APPD的值；（2）若CD=2，则BP=______．27.将一块含有45°的三角板ABC的顶点A放在⊙O上，且AC与⊙O相切于点A（如图1），将△ABC从点A开始，绕着点A顺时针旋转，设旋转角为α（0°＜α＜135°），旋转后，AC、AB分别与⊙O交于点E，F，连接EF（如图2）．已知AC=8，⊙O 的半径为4．（1）在旋转过程中，有以下几个量：①弦EF的长；②EF的长；③∠AFE的度数；④点O到EF的距离．其中不变的量是______（填序号）；（2）当α=______°时，BC与⊙O相切（直接写出答案）；（3）当BC与⊙O相切时，求△AEF的面积．28.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．动点P从点A开始沿折线AC-CB-BA运动，点P在AC，CB，BA边上运动的速度分别为每秒3，4，5个单位．直线l 从与AC重合的位置开始，以每秒43个单位的速度沿CB方向移动，移动过程中保持l∥AC，且分别与CB，AB边交于E，F两点，点P与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点P第一次回到点A时，点P和直线l同时停止运动．（1）当t=5秒时，点P走过的路径长为______；当t=______秒时，点P与点E重合；（2）当点P在AC边上运动时，连结PE，并过点E作AB的垂线，垂足为H．若以C、P、E为顶点的三角形与△EFH相似，试求线段EH的值；（3）当点P在折线AC-CB-BA上运动时，作点P关于直线EF的对称点Q．在运动过程中，若形成的四边形PEQF为菱形，求t的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：x2-2x=0，x（x-2）=0，x=0或x-2=0，x1=0或x2=2．故选：C．把方程的左边分解因式得x（x-2）=0，得到x=0或x-2=0，求出方程的解即可．本题主要考查对解一元二次方程-因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．2.【答案】C【解析】解：A、∵x2+x+2=0，∴△=b2-4ac=-7＜0，∴此方程没有实数根，故此选项错误；B、∵x2-x-5=0，∴△=b2-4ac=21＞0，∴此方程有实数根，x1+x2=1，故此选项错误；C、∵x2+x-3=0，∴△=b2-4ac=10＞0，∴此方程有实数根，根据根与系数的关系可求x1+x2=-1，故此选项正确；D、∵2x2-x-1=0，∴△=b2-4ac=9＞0，∴此方程有实数根，根据根与系数的关系可求x1+x2==，故此选项错误．故选：C．先根据根的判别式，判断有无实数根的情况，再根据根与系数的关系，利用x1+x2=-计算即可．此题考查了根与系数的关系．x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．以及根的判别式的运用，注意若△＜0，则方程没有实数根；若△≥0，则方程有实数根．3.【答案】D【解析】解：∵=，∴2x=5y，，，∴A、B、C正确，D不一定正确；故选：D．根据已知条件和比例的性质得出A、B、C正确，D不一定正确，即可得出结论．本题考查了比例的性质；此题比较简单，解题的关键是掌握比例的性质与变形．4.【答案】A【解析】解：∵∠A=40°，∠C=110°，∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-40°-110°=30°，∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B′=∠B=30°．故选：A．根据三角形的内角和定理求出∠B，再根据相似三角形对应角相等解答．本题考查了相似三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，是基础题，熟记性质是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：用电量从大到小排列顺序为：60，60，60，60，55，55，50，50，50，40．A、月用电量的中位数是55度，故A正确；B、用电量的众数是60度，故B正确；C、用电量的方差是39度，故C错误；D、用电量的平均数是54度，故D正确．故选：C．根据中位数、众数、平均数和方差的概念分别求得这组数据的中位数、众数、平均数和方差，即可判断四个选项的正确与否．考查了中位数、众数、平均数和方差的概念．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．6.【答案】C【解析】解：∵==，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC=1：9，∴S△ADE：S=1：8，四边形BCED故选：C．易证△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，继而的值．求得S△ADE：S四边形BCED此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．7.【答案】A【解析】解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．设点A的坐标是（m，n），则AC=n，OC=m，∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，∵∠DBO+∠BOD=90°，∴∠DBO=∠AOC，∵∠BDO=∠ACO=90°，∴△BDO∽△OCA，∴==，∵OB=2OA，∴BD=2m，OD=2n，因为点A在反比例函数y=的图象上，则mn=1，∵点B在反比例函数y=的图象上，B点的坐标是（-2n，2m），∴k=-2n•2m=-4mn=-4．故选：A．要求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x 轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到：===2，然后用待定系数法即可．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是圆周角定理，即同弧所对的圆周角相等．先根据∠BAC=120°，AB=AC求出∠ACB的度数，再根据圆周角定理得出∠ADB的度数，由于BD是⊙O的直径，故∠BAD=90°，在Rt△ABD中，AB=3，利用锐角三角函数的定义即可求出AD的值．【解答】解：∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠ACB=30°，∴∠ACB=∠ADB=30°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°，∵AB=3，∴AD===3．故选D．9.【答案】B【解析】解：如右图所示，先设AD=x，∵AC=BC，CD是AB边上的高线，∴BD=AD=x，CD是AB的垂直平分线，又∵2CD=3AB，AE=BE，AF=BF，∴CD=3x，∠ACB=2∠BCE，∠AEB=2∠BEF，又∵E、F是三等分点，∴CE=EF=DF=x，∴DF=DB，又∵∠CDB=90°，∴△DBF是等腰直角三角形，∴∠DFB=45°，BF=x，∴=，==，∴=，又∵∠EFB=∠BFC，∴△EFB∽△BFC，∴∠FBE=∠BCF，∠FEB=∠FBC，又∵∠DFB=∠FBE+∠FEB=∠FCB+∠FBC，∴45°=∠FBE+∠FEB，∴90°=2∠FBE+2∠FEB=2∠BCF+2∠FBC，∴∠ACB+∠AEB=90°．故选：B．先设AD=x，由于AC=BC，CD是AB边上的高线，可知BD=x，且CD是AB 的垂直平分线，利用2CD=3AB，易求CD=3x，再利用垂直平分线的定理易求∠ACB=2∠BCE，∠AEB=2∠BEF，而E、F是三等分点，那么CE=EF=DF=x，易证△DBF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求BF=x，可求=，而夹角相等易证△EFB∽△BFC，那么有∠FBE=∠BCF，∠FEB=∠FBC，结合三角形外角的性质易证∠ACB+∠AEB=90°．本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形外角的性质、线段垂直平分线的定理．关键是证明△EFB∽△BFC．10.【答案】C【解析】【分析】分别延长AE、BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出G为PH 的中点，则G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN，再求出CD的长，运用中位线的性质求出MN的长度即可得③EF的中点G移动的路径长；又由G为EF的中点，∠EPF=90°，可知①△EFP的外接圆的圆心为点G正确；由点P 从点C沿线段CD向点D运动（运动到点D停止），易证∠EPF=90°，四边形面积是三个直角三角形的面积和，设CP=x，则四边形面积S=，故可求得②四边形的面积S也会随之变化，可得结论．本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形外接圆的知识以及三角形中位线的性质等知识，注意数形结合思想的应用是解答此题的关键．【解答】解：如图，分别延长AE、BF交于点H．∵等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，∴∠A=∠FPB=45°，∠B=∠EPA=45°，∴AH∥PF，BH∥PE，∠EPF=180°-∠EPA-∠FPB=90°，∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分，∵G为EF的中点，∴G也为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，∴G的运行轨迹为△HCD的中位线MN，∵CD=12-2-2=8，∴MN=4，即G的移动路径长为4，EF的中点G移动的路径长为4，故③正确；∵G为EF的中点，∠EPF=90°，∴△EFP的外接圆的圆心为点G，故①正确；∵点P从点C沿线段CD向点D运动（运动到点D停止），易证∠EPF=90°，∴四边形面积是三个直角三角形的面积和，设CP=x，则四边形面积S=，∵CP不断增大，∴四边形的面积S也会随之变化，故②错误．故选：C．11.【答案】y1=y2=1 83【解析】解：（1）由原方程，得（y-1）2=0，则y1=y2=1．故答案是：y1=y2=1；（2）由=，得3x-3y=5y，则3x=8y，所以=．故答案是：．（1）利用完全平方差公式进行变形，然后直接开平方即可解答；（2）根据比例的性质可以求得3x=8y，则易求x与y的比值．本题考查了配方法解一元二次方程和比例的性质．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．12.【答案】≠1【解析】解：∵方程（n-1）x2-3x+1=0是一元二次方程，∴n-1≠0，即n≠1．故答案为：n≠1．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），把方程化为一般形式，根据二次项系数不等于0，即可求得n的值．本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．13.【答案】1250【解析】解：设它的实际长度为x厘米，则：1：5000=25：x，解得x=125000．125000厘米=1250米．故答案为：1250．根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离．本题考查了比例尺的定义．要求能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离，注意单位的换算．14.【答案】3【解析】解：设这个圆锥的底面圆半径为r，根据题意得2πr=，解得r=3，即这个圆锥的底面圆半径是3．故答案为3．设这个圆锥的底面圆半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr=，然后解方程即可．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．15.【答案】点E在⊙C外【解析】解：连接CE，如图所示：∵∠C=90°，∴AB===2，∵E为AB的中点，∴CE=AB=＞AC，∴点E在⊙C外；故答案为：点E在⊙C外．连接CE，由勾股定理求出AB=2，由直角三角形斜边上的中线性质得出CE=AB=＞AC，即d＞r，即可得出结果．本题考查了点与圆的位置关系、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质；熟记d与r的数量关系与点与圆的位置关系是解决问题的关键．16.【答案】π2【解析】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=1，∴BC=ACtan60°=1×=，AB=2，∴S△ABC=AC•BC=．根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则S△ABC=S△AB′C′，AB=AB′．∴S阴影=S扇形ABB′+S△AB′C′-S△ABC==．答案为．图中S阴影=S扇形ABB′+S△AB′C′-S△ABC．本题考查了扇形面积的计算、旋转的性质．求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．17.【答案】52【解析】解：∵点F是△ABC的重心，∴EF=BF=×6=3，∵AB=BC，BE是中线，∴AE=AC=×8=4，BE⊥AC，在Rt△AEF中，由勾股定理得，AF===5，∴DF=AF=．故答案为：．根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的一半求出EF，再根据等腰三角形三线合一的性质求出AE，BE⊥AC，然后利用利用勾股定理列式求出AF，再次利用三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的一半求解即可．本题考查了三角形的重心，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的一半是解题的关键，此内容已经不作要求，此题可斟酌使用．18.【答案】5-1【解析】解：如图：在△ADE和△DCF中，，∴∠DAE≌∠CDF（SAS），∴∠DAE=∠CDF，∵∠DAE+∠AED=90°，∴∠CDF+∠AED=90°，∴∠DPE=∠APD=90°，由于点P在运动中保持∠APD=90°，∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△QDC中，QC=，∴CP=QC-QP=．故答案为-1．先证得点P在运动中保持∠APD=90°，从而得出点P的路径是一段以AD为直径的弧，连接AD的中点和C的连线交弧于点P，此时CP的长度最小，然后根据勾股定理求得QC，即可求得CP的长．本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．19.【答案】解：（1）∵x2-4x+1=0，∴x2-4x=-1，∴x2-4x+4=-1+4，即（x-2）2=3，则x-2=±3，∴x1=2+3，x2=2-3；（2）∵3x（x-1）=-2（x-1），∴3x（x-1）+2（x-1）=0，则（x-1）（3x+2）=0，∴x-1=0或3x+2=0，解得：x1=1，x2=-32；（3）方程整理为一般式得x2-5x-6=0，则（x-6）（x+1）=0，∴x-6=0或x+1=0，解得：x1=6，x2=-1；（4）整理，得：x2-3x-2=0，∵a=1，b=-3，c=-2，∴△=9-4×1×（-2）=17＞0，则x=3±172．【解析】（1）根据配方法的运算步骤依次计算可得；（2）利用因式分解法求解可得；（3）先整理成一般式，再利用因式分解法求解可得；（4）先整理成一般式，再利用公式法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20.【答案】（2，-2）（1，0）10【解析】解：（1）在直角坐标系中，图形沿平行于y轴的方向平移，图形上对应点的横坐标不变，纵坐标减去平移的单位长度∴点C1的坐标为（2，-2）故答案为：（2，-2）（2）所求图形如下图所示：即：△A2B2C2为所求作的图形．点C2的坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）（3）S△A 2B2C2的面积=S-S-S△B2NC2=（2+4）×6-×2×4-×2×4=18-4-4=10（平方单位）故答案为：10平方单位（1）在直角坐标系中，图形沿平行于y轴的方向平移，图形上对应点的横坐标不变，纵坐标减去平移的单位长度．（2）画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形（3）将△A2B2C2的面积看作是梯形的面积减去两个直角三角形的面积．本题考查了作图-平移变换、作图-位似变换，关键是掌握平移变换与位似变换的特点．21.【答案】解：∵原方程有实数根，∴△=（2m-1）2-4m2≥0，解得m≤14，故m的取值范围是m≤14，又∵方程两实数根分别为x1、x2，则x1+x2=-（2m-1），x1x2=m2，由x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=2m2-4m+1=1，解得m=0或m=2，由于m≤14，故实数m的值为0．【解析】先根据方程有实数根求出m的取值范围，根据根与系数的关系得到x1+x2=-（2m-1），x1•x2=m2，再把x12+x22=1变形得到x12+x22=（x1+x2）2-2xx2=2m2-4m+1=1，然后解方程，再确定满足条件的m的值．1本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-，x1•x2=．也考查了一元二次方程的根的判别式．22.【答案】解：（1）（2）如图所示．【解析】（1）利用垂径定理的推论作出一条弦的垂直平分线，必过圆心；（2）连接梯形对角线，并延长CA，DB，进而得出两交点，连线即为所求．此题主要考查了应用设计与作图，正确利用垂径定理推论得出是解题关键．23.【答案】（1）证明：连接OD，∵OD=OB，∴∠1=∠ODB，∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，而∠A=2∠1，∴∠DOC=∠A，∵∠A+∠C=90°，∴∠DOC+∠C=90°，∴OD⊥DC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵∠A=60°，∴∠C=30°，∠DOC=60°，在Rt△DOC中，OD=2，∴CD=3OD=23，∴阴影部分的面积=S△COD-S扇形DOE=12×2×23-60⋅π⋅22360=23-2π3．【解析】（1）由OD=OB得∠1=∠ODB，则根据三角形外角性质得∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，而∠A=2∠1，所以∠DOC=∠A，由于∠A+∠C=90°，所以∠DOC+∠C=90°，则可根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；（2）由∠A=60°得到∠C=30°，∠DOC=60°，根据含30度的直角三角形三边的关系得CD=OD=2，然后利用阴影部分的面积=S△COD-S扇形DOE和扇形的面积公式求解．本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了扇形面积的计算．24.【答案】解：（1）由题意，得2015年全校学生人数为：1000×（1+10%）=1100人，故2015年全校学生人数为：1100+100=1200人；（2）①设2013人均阅读量为x本，则2014年的人均阅读量为（x+1）本，由题意，得1100（x+1）=1000x+1700，解得：x=6．答：2013年全校学生人均阅读量为6本；②由题意，得2013年读书社的人均读书量为：2.5×6=15本，2015年读书社人均读书量为15（1+a）2本，2015年全校学生的人均读书量为6（1+a）本，80×15（1+a）2=1200×6（1+a）×25%2（1+a）2=3（1+a），∴a1=-1（舍去），a2=0.5．答：a的值为0.5．【解析】（1）根据题意，先求出2014年全校的学生人数就可以求出2015年的学生人数；（2）①设2013人均阅读量为x本，则2014年的人均阅读量为（x+1）本，根据阅读总量之间的数量关系建立方程就可以得出结论；②由①的结论就可以求出2013年读书社的人均读书量，2015年读书社的人均读书量，全校的人均读书量，由2015年读书社的读书量与全校读书量之间的关系建立方程求出其解即可．本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，增长率问题的数量关系的运用，解答时根据阅读总量之间的关系建立方程是关键．25.【答案】解：（1）命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题，理由是：∵设等边三角形的一边为a，则a2+a2=2a2，∴符合“奇异三角形”的定义得出：命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题；（2）∵∠C=90°，∴a2+b2=c2①，∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，∴a2+c2=2b2②，由①②得：b=2a，c=3a，∴a：b：c=1：2：3；（3）∵①AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2，∵点D是半圆弧ADB的中点，∴弧AD=弧DB，∴AD=BD，∴AB2=AD2+BD2=2AD2，∴AC2+CB2=2AD2，又∵CB=CE，AE=AD，∴AC2+CE2=2AE2，∴△ACE是奇异三角形．【解析】（1）设等边三角形ABC饿边长是a，则a2+a2=2a2，根据“奇异三角形”的定义推出即可；（2）根据勾股定理得出a2+b2=c2①，根据奇异三角形得出a2+c2=2b2②，由①②求出b=a，c=a，代入即可求出答案；（3）根据勾股定理得出AC2+BC2=AB2，AD2+BD2=AB2，求出AD=BD，求出AC2+CB2=2AD2，把CB=CE，AE=AD代入求出AC2+CE2=2AE2即可．本题考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，命题与定理等知识点的综合运用．26.【答案】32 6【解析】解：的值为．提示：易证△AEF≌△CEB，则有AF=BC．设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，由AF∥BC可得△APF∽△DPB，即可得到==．故答案为：；解决问题：（1）过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，如图，设DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．∵E是AC中点，∴AE=CE．∵AF∥DB，∴∠F=∠1．在△AEF和△CEB中，，∴△AEF≌△CEB，∴EF=BE，AF=BC=2k．∵AF∥DB，∴△AFP∽△DBP，∴====．∴的值为；（2）当CD=2时，BC=4，AC=6，∴EC=AC=3，EB==5，∴EF=BE=5，BF=10．∵=（已证），∴=，∴BP=BF=×10=6．故答案为6．易证△AEF≌△CEB，则有AF=BC．设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，由AF∥BC可得△APF∽△DPB，然后根据相似三角形的性质就可求出的值；解决问题：（1）过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，设DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．易证△AEF≌△CEB，则有EF=BE，AF=BC=2k．易证△AFP∽△DBP，然后根据相似三角形的性质就可求出的值；（2）当CD=2时，可依次求出BC、AC、EC、EB、EF、BF的值，然后根据的值求出，就可求出BP的值．本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，结合中点，作平行线构造全等三角形是解决本题的关键．27.【答案】①②④90【解析】解：（1）①②④，理由是：如图1，连接OE、OF、过O作OD⊥EF于D，∵∠A=45°，∴∠EOF=2∠A=90°，∵OE=OF=4，∴由勾股定理得：EF==4，∵OD⊥EF，OE=OF，∴ED=DE=EF，∵∠EOF=90°，∴OD=EF=2，所以①②④是不不变量，∠AFE的值随着运动而不断变化的，不能确定，故答案为：①②④；（2）当α=90°时，BC与⊙O相切，理由是：连接OA，∵已知AC和⊙O相切，如图2，∴∠OAC=90°，△ACB绕A点运动到BC和⊙O相切时，如图3，∠ACB=90°，即图2中的AC和图3中的BC互相平行，所以α=∠ACB=90°，故答案为：90；（3）如图3，当BC与⊙O相切时，依题意可知，△ACB旋转90°后AC为⊙O直径，且点C与点E重合，∵AC为⊙O直径，∴∠AFE=90°，又∵∠BAC=45°，∴∠FCA=45°．∴∠BAC=∠FCA，∴AF=EF，∵AC=8，∴AF=EF=4，∴S△AEF=×（4）2=16．（1）连接OE、OF、过O作OD⊥EF于D，根据圆周角定理求出∠EOF，解直角三角形求出EF，根据直角三角形的性质求出OD即可；（2）根据题意得出旋转后的α=∠ACB，即可得出答案；（3）解直角三角形求出AF和EF，根据三角形的面积公式求出即可．本题考查了切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，旋转的性质的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，综合性比较强，有一定的难度．28.【答案】19 3【解析】解：（1）∵AC=6，点P在AC上运动的速度为每秒3个单位，∴6÷3=2秒．∵BC=8，点P在CB上运动的速度为每秒4个单位，∴8÷4=2秒．当t=5秒时，点P运动的路程=6+8+5=19．当运动时间为t秒时，点P与点E重合．根据题意得：4（t-2）=．解得：t=3．故答案为：19；3．（2）∵l∥AC，∴∠A=∠EFH．∴tan∠EFH=tan∠A=．∵△CPE∽EFH，∴或∵CP=6-3t，CE=t，∴=或=．解得：t=或t=．∵当t=时，CE===2．∴BE=BC-EC=8-2=6．在Rt△EHB中，EH=EB×=6×=．∴EH=．∵当t=时，EC===，∴EB=8-=．在Rt△EHB中，EH=EB×=×=．∴EH=．（3）如图1所示：当点P在AC上时，连结PQ．∵四边形PEQF为菱形，∴PQ垂直平分EF．∴∠EOP=90°．∵l∥AC，∠C=90°，∴∠CEO=90°∵∠C=∠CEO=∠EOP=90°，∴四边形CEOP为矩形．∴PC=EO．∴EF=2CP．∵CE=，∴EB=8-．∵在△EFB中，tan∠B=，∴EF=BE=．∵AP=3t，AC=6，∴PC=6-3t．∴（8-t）=2（6-3t）．解得t=＜2，符合题意．当点 P在CB上运动时，点P、Q、E在一条直线上，点P、Q、E、F不能构成四边形．如图2所示：当点 P在BA上运动时．∵四边形PEQF为菱形，∴PE=PF．∴∠PFE=∠PEF．∵∠EFP+∠B=90°，∠FEP+∠PEB=90°，∴∠PEB=∠PBE．∴PB=PE．∴BF=2BP．∵CE=，BC=8，∴BE=8-．在Rt△EFB中，FB==（8-）．由题意可知：PB=5（t-4）．∴（8-t）=2×5（t-4），解得t=．综上所述，当t=秒或t=秒时，四边形PEQF为菱形．（1）由题意可知点P从A到C需要2秒，从C到B需要2秒，从而可求得t=5时，点P运动的路程，点P与点重合，则点P运动的距离-点E运动的距离=AC，从而可求得点t=3；（2）由l∥AC可知∠A=∠EFH，故tan∠EFH=，由相似三角形的性质可知或，从而求得t=或t=，然后由t的值可求得CE的长，从而可求得BE的长，最后在Rt△EHB中由EH=EB×可求得EH的长；（3）当点P在AC上时，连结PQ．由菱形的性质可知PQ垂直平分EF，从而得到EF=2CP，由题意可知PC=6-3t，在△EFB中，tan∠B=，于是可求得EF=BE=，可求得t=＜2，符合题意；当点P在CB上运动时，点P、Q、E在一条直线上，点P、Q、E、F不能构成四边形；当点P在BA上运动时，由菱形的性质可知PE=PF，然后根据等角的余角相等可知PB=PE，故此可知BF=2BP，由题意可知PB=5（t-4）在Rt△EFB中，FB==（8-），故此可解得t=．本题主要考查的是一次函数的综合应用、相似三角形的性质、轴对称图形的性质、菱形的性质、锐角三角函数的定义，依据点P运动的速度以及特殊锐角三角函数值表示相关线段的长度是解题的关键．。

敔山湾实验学校第一学期期中考试九年级数学试卷一．选择题（每小题3分，共30分）1.若34yx=，则x yx+的值为A. 1B. 47C.74D.54【答案】C 【解析】因为34yx=,所以371144x y x y yx x x x+=+=+=+=,故选C.点睛:本题考查分式的条件求值,解决本题的关键是掌握分式的基本性质进行变形.2.已知⊙O的直径为13cm，圆心O到直线l的距离为8cm，则直线l与⊙O的位置关系是（）A. 相交B. 相切C. 相离D. 相交或相切【答案】C【解析】【分析】根据直径长可得半径为132cm，圆心O到直线l的距离为8cm，由此可得直线l与⊙O的位置关系.【详解】解：∵⊙O的直径为13cm，∴⊙O的半径13r 6.52cm ==，∵圆心O到直线l的距离d为8cm，∴d r>，∴直线l与⊙O的位置关系是相离，故答案为：C.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系.直线与圆的位置关系有三种：直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离.（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点，d r<；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点，d r =；（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离，d r >.（d 为圆心到直线的距离）3.圆锥的底面半径为2，母线长为6，则侧面积为( )A. 4πB. 6πC. 12πD. 16π【答案】C【解析】【分析】 根据圆锥的底面半径为2，母线长为6，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面积．【详解】根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×2×6=12π，故选：C ．【点睛】本题考查了圆锥侧面积公式．熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键．4.如图，△ABC 中，∠B=90°，BC=2AB ，则cos A=()A. B. 12C.D. 【答案】D【解析】试题分析：∵∠B=90°，BC=2AB ，∴=， ∴cosA=AB AC == 故选：D ．考点：锐角三角函数的定义5.如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，DE：EC=2:3，则S△DEF:S△ABF=（）A. 2：3B. 4：9C. 2：5D. 4：25【答案】D【解析】试题分析：先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，从而DE：AB=DE：DC=2：5，所以S△DEF:S△ABF=4：25试题解析:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，BA=DC∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∴DE：AB=DE：DC=2：5，∴S△DEF：S△ABF=4：25，考点：1.相似三角形的判定与性质；2.三角形的面积；3.平行四边形的性质．6. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是A. 50（1+x2）=196B. 50+50（1+x2）=196C. 50+50（1+x）+50（1+x2）=196D. 50+50（1+x）+50（1+2x）=196【答案】C【解析】试题分析：一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量：八、九月份的产量分别为50（1+x）、50（1+x）2，从而根据题意得出方程：50+50（1+x）+50（1+x2）=196。

一．选择题1.一元二次方程x 2＋x －2＝0的根的情况是(▲)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根【答案】A考点：根的判别式2.某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x ，则可列方程为（▲）A.482(1)x -=36B.482(1)x +=36C.362(1)x -=48D.362(1)x +=48【答案】D【解析】试题分析：对于增长率的问题的通用公式为：增长前的数量×(1)+增长次数增长率=增长后的数量. 考点：一元二次方程的应用3.已知一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0有一个根为2，则另一根为（▲）A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】C【解析】试题分析：对于一元二次方程20ax bx c ++=的两根为12,x x ，则有12b x x a+=-，本题中两根之和为6，则另一个根为4.考点：韦达定理4.用半径为3cm ，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥底面半径为（▲）【答案】D【解析】试题分析：圆锥展开图的圆心角=底面半径÷母线长×360°，本题中母线长为3cm，则底面半径为1cm. 考点：圆锥的性质5.如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（▲）A.(6,0)B.(6,3)C.(6,5)D.(4,2)【答案】B【解析】试题分析：当点E的坐标为(6,3)时，△CDE为等腰直角三角形，则和△ABC不相似.考点：三角形相似6.如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，则BC的长是（▲）A.12B.32C.52D.72【答案】C 【解析】试题分析：根据题意可得：AB=AD+BD=5，△ADE∽△ABC，则AD DEAB BC=，即215BC=，∴BC=52.考点：三角形相似7.如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（▲）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】C【解析】试题分析：设圆心为O，过O作OC⊥AB，连接OB，设半径为r，则OC=r－2，BC=4，则根据Rt△OBC的勾股定理可得r=5.考点：垂径定理8.如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB=80°，则∠ACB等于（▲）A．100° B．80° C．50°D．40°OABC【答案】D【解析】试题分析：在同圆中，同弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半，则∠ACB=12∠AOB=40°.考点：圆心角与圆周角9.某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知CD＝6米，则旗杆AB的高度为(▲)A．9米 B．9（1）米 C．12米 D．18米【答案】A【解析】试题分析：首先设AC=x，根据∠ACB=60°可得x；过点D作DE⊥AB，则DE=AC=x，则x，则AE=AB－x，根据AE=CD=6，求出x的值，然后计算AB的值.考点：直角三角形锐角三角函数的应用.10.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，对称轴为直线x＝1．有位学生写出了以下五个结论：(1)ac>0； (2)方程ax2＋bx＋c＝0的两根是x1＝－1，x2＝3；(3)2a－b＝0；(4)当x>1时，y随x的增大而减小；(5)3a＋2b＋c>0则以上结论中不正确的有(▲)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B考点：二次函数图象的性质.二、填空题11.cos30°的值为▲．【解析】试题分析：根据锐角三角函数的计算方法可进行计算.考点：三角函数的计算.12.正方体的表面积S(cm2)与正方体的棱长a(cm)之间的函数关系式为▲．【答案】S=62a【解析】试题分析：正方体每个面的面积为2a ，则表面积等于每个面的面积×6.考点：函数关系式的求法.13.如图，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点B ，PB ＝4，OB ＝6，则tan ∠APO 的值是 ▲ ．【答案】34【解析】试题分析：根据题意可得：OA=OB=6，OP=OB+PB=10，∠OAP=90°，根据勾股定理可得AP=8，则tan ∠APO=63==84OA AP . 考点：三角函数的计算.14.圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为 ▲ ．【答案】18【解析】试题分析：根据题意可得：12π=120180180n r r p p =，解得：r=18. 考点：弧长的计算公式.15.点A(2，y 1)、B(3，y 2)是二次函数y ＝x 2－2x ＋1的图像上两点，则y 1与y 2的大小关系为y 1 ▲ y 2(填“>”、“<”、“＝”).【答案】＜【解析】试题分析：当x=2时，1y =1；当x=3时，2y =4，则1y ＜2y .考点：二次函数值的大小比较.16.某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为 ▲ ．【答案】10%【解析】试题分析：设月平均增长率为x ，则10002(1+)x =1210 解得：1x =－2.1(舍去)，2x =0.1考点：一元二次方程的应用.17.如图，⊙O 与正方形ABCD 的两边AB 、AD 相切，且DE 与⊙O 相切于E 点．若正方形ABCD 的周长为44，且DE ＝6，则sin ∠ODE ＝___▲ ．考点：锐角三角函数的计算.18.如图，直线y ＝x －2与x 轴、y 轴分别交于M 、N 两点，现有半径为1的动圆圆心位于原点处，并以每秒1个单位的速度向右作平移运动．已知动圆在移动过程中与直线MN 有公共点产生，当第一次出现公共点到最后一次出现公共点，这样一次过程中该动圆一共移动 ▲ 秒．【答案】【解析】试题分析：当圆与直线第一次相切的时候移动了(2)秒，第二次相切的时候移动了)秒，则移动的时间为：)－(2秒.考点：切线的性质.三、解答题19.解方程：x 2－6x －7＝0．【答案】1x =7 2x =－1.【解析】试题分析：首先将方程进行因式分解，然后进行求解.试题解析：方程可变形为：(x －7)(x+1)=0 解得：1x =7 2x =－1.考点：解一元二次方程.20.计算：2sin60°＋cos60°－3tan30°. 【答案】12【解析】试题分析：分别求出各三角函数的值，然后进行计算.试题解析：原式12－312. 考点：三角函数的计算.21.如图，AC 是△ABD 的高，∠D ＝45°，∠B ＝60°，AD ＝10.求AB 的长．【解析】试题分析：首先根据Rt △ACD 的三角函数求出AC 的长度，然后根据Rt △ABC 的三角形函数求出AB 的长度. 试题解析：在Rt △ACD 中，AC=10×sin ∠D=10×sin45°在Rt △ABC 中，AB=sin AC B ∠. 考点：锐角三角函数的应用.22.已知关于x 的方程x 2－6x ＋m 2－3m ＝0的一根为2．(1)求5m 2－15m －100的值； (2)求方程的另一根．【答案】(1)、－60；(2)、x=4.【解析】试题分析：首先将x=2代入方程，然后利用整体思想进行求解；根据解方程的方法进行求解.试题解析：把x=2代入方程可得：2m －3m=8(1)、52m －15m －100=5(2m －3m)－100=40－100=－60.(2)、根据题意得：方程为2x －6x －8=0 ∴方程的另一个根为x=4.考点：整体思想求代数式的值，解一元二次方程.23.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的图像经过(1，2)，(2，4)两点．(1)求a 、b 值；(2)试判断该函数图像与x 轴的交点情况，并说明理由．【答案】(1)、a=12，b=12；(2)、没有交点. 【解析】试题分析：(1)、分别将两点代入解析式列出关于a 和b 的二元一次方程组，然后进行求解；(2)、求出△的值，然后进行判断与x 轴是否有交点. 试题解析：(1)、将(1,2)和(2,4)代入函数解析式得：1423a b a b ì+=ïí+=ïî 解得：a=12，b=12 (2)、由(1)得函数解析式为：y=122x +12x+1 ∵△=14－4×12×1=－74∴函数与x 轴没有交点. 考点：待定系数法求函数解析式，二次函数的交点问题.24.如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AE 是⊙O 的直径，AF 是⊙O 的弦，且AF ⊥BC 于D 点．求证：(1)△ADC ∽△ABE ； (2)BE ＝CF.【答案】略【解析】试题分析：根据垂直和直径所对的圆周角为直角可得∠ADC=∠ABE=90°，根据同弧所对的圆周角相等可得∠E=∠ACB，从而得到三角形相似，根据三角形相似可得∠CAD=∠BAE，从而说明BE=CF.试题解析：(1)、∵AF⊥BC ∴∠ADC=90°∵AE是圆的直径∴∠ABE=90°∴∠ADC=∠ABE根据同弧所对的圆周角相等可得∠E=∠ACB ∴△ADC∽△ABE(2)、∵△ADC∽△ABE ∴∠CAD=∠BAE ∴弧BE=弧CF ∴BE=CF.考点：三角形相似的判定，圆的基本性质.25.在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机地摸取一个小球后放回，再随机地摸出一个小球，请用列举法（画树状图或列表）求下列事件的概率：(1)两次取得小球的标号相同；(2)两次取得小球的标号的和等于4．【答案】(1)、14；(2)、316.【解析】试题分析：首先根据题意进行列表，然后求出各事件的概率. 试题解析：(1)、P(两次取得小球的标号相同)=41 164=；(2)、P(两次取得小球的标号的和等于4)=3 16.考点：概率的计算.26.已知关于x的一元二次方程x2－x＋m＝0有两个不相等的实数根．(1)求实数m的最大整数值；(2)在(1)的条件下，方程的实数根是x1，x2（x1>x2），求代数式x1＋2x2的值．【答案】(1)、m=1；(2)、 1.【解析】试题分析：(1)、根据方程有两个不相等的实数根求出m的取值范围，然后求出m的值；(2)、将m的值代入方程求出方程的解，然后进行计算.试题解析：(1)、由题意得：△＞0，即2(4m --＞0 ∴m ＜2∴m 的最大整数为m=1.(2)、把m=1代入210x -+= ∵1x ＞2x ∴解得：1x 2x =－∴1x +22x )+2×(－－－1.考点：根的判别式、一元二次方程的解法.27.如图，折叠矩形ABCD 的一边AD 使点D 落在BC 边上的E 处，已知折痕AF ＝10cm ，且tan ∠FEC ＝34. (1)求矩形ABCD 的面积；(2)利用尺规作图求作与四边形AEFD 各边都相切的⊙O 的圆心O （只须保留作图痕迹），并求出⊙O 的半径．【答案】(1)、64；(2) 【解析】试题分析：(1)、根据折叠图形的性质得出∠AEF=∠D=90°，DF=EF ，根据∠FEC 的正切值设CF=3k ，分别求出EC 和EF 与k 的关系，根据角度的关系得出∠BAE=∠FEC 求出AB=CD=8k ，∴BE=6k ，AE=10k ，根据Rt △AEF 的勾股定理求出k 的值，然后计算面积；(2)、根据三角形相似的应用求出圆的半径.试题解析：(1)、根据折叠图形可得：△ADF ≌△AEF ∠AEF=∠D=90° DF=EF∵tan ∠FEC=34 设CF=3k ，EC=4k ，EF=5k ∴tan ∠BAE=tan ∠FEC=34∴AB=CD=8k ∴BE=6k AE=10k 在Rt △AEF 中，222AE EF AF += 解得： ∴S=802k =64(2)、做∠ADF 的角平分线与AF 的交点，该交点即为所求圆心O设圆O 的半径为r ，则5105r k r k k -= ∴r=103k =即圆O . 考点：勾股定理、三角函数的应用.28.如图，在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 经过点O ，交x 轴的正半轴于点B (2，0)，P 是 OwB上的一个动点，且∠OPB ＝30°.设P 点坐标为(m ，n)．(1)当n ＝，求m 的值；(2)设图中阴影部分的面积为S ，求S 与n 之间的函数关系式，并求S 的最大值；(3)试探索动点P 在运动过程中，是否存在整点P(m ，n)（横、纵坐标都为整数的点叫整点）?若存在，请求出；若不存在，请说明理由．【答案】(1)、m=0或2；(2)、S=n+23p -，最大值为：2+23p ；(3)、不存在. 【解析】试题分析：(1)、根据角度的关系得出△OCB 为等边三角形，从而求出OD 和CD 的长度，然后根据圆的轴对称性求出m 的值；(2)、阴影部分的面积等于三角形的面积加上扇弧的面积；(3)、根据题意求出m 的值，然后分别计算出n 的值，看是否有符合条件的. 试题解析：(1)、过点C 作CD ⊥OB ∵∠OPB=30° ∴∠OCB=60° ∴△OCB 为等边三角形 ∴OC=OB=2∴OD=1， ∴当时，根据圆的对称性 得m=0或2.(2)、S=12×2n+(240360p )=n+23p∴当S 最大值为2+23p . (3)、动点P 在运动过程中，不存在整点.∵－1≤m ≤3，横坐标可取整数为－1,0,1,2,3当m=－1,3时，当m=0,2时， 当m=1时，以上对应的纵坐标n 均不是整数 ∴动点P 在弧OwB 运动过程中，不存在整点.考点：圆的基本性质.29.如图，二次函数y＝－x2＋nx＋n2－9（n为常数）的图像经过坐标原点和x轴上另一点A，顶点在第一象限．(1)求n的值和点A坐标；(2)已知一次函数y＝－2x＋b(b >0)分别交x轴、y轴于M、N两点．点P是二次函数图像的y轴右侧部分上的一个动点，若PN⊥NM于N点，且△PMN与△OMN相似，求点P坐标．【答案】(1)、A(3,0)；(2)、P(12，54)和P(2,2)【解析】试题分析：(1)、将点(0,0)代入求出n的值，从而得到函数解析式，得出点A的坐标；(2)、首先求出M和N的坐标，然后分两种情况进行讨论得到答案.试题解析：(1)、∵图像经过坐标原点∴2n－9=0 ∴n=3或－3∵顶点在第一象限∴n=3 ∴y=－2x+3x ∴点A的坐标为(3,0)(2)、过P作PB⊥y轴于B，设P(x，－2x+3x) ∵PN⊥MN ∠NOM=90°∴要使△PMN与△OMN相似则分两种情况：①、△PMN∽△MNO ②、△PMN∽△NMO.∵一次函数y=－2x+b分别交x轴、y轴于点M、N∴OM=12b ON=b ∴12OMON=①、当△PMN∽△MNO(如图1)，得12PN MOMN NO==∵PN⊥NM，PB⊥y轴∴△PNB∽△MNO ∴231122x x x bb b-+-==∴x=12，x=0(舍去) ∴点P的坐标为(12，54)②、当△PMN∽△NMO时(如图2)，得：21PN NOMN MO==解法同上，得x=2，x=0(舍去)∴点P的坐标为(2,2)综上所述：满足条件的点有2个：P(12，54)和P(2,2).考点：三角形相似的应用、求二次函数解析式.高考一轮复习：。

（满分130分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共10小题,每小题3分,共30分）1.tan45°的值为 （ ）A ．B ． 1C ．D ．【答案】B.考点：特殊角的三角函数值. 2.若，则的值为 （ ）A ．1B ．C ．D ．【答案】D. 【解析】 试题分析：已知43=x y 根据比例的性质可得47434=+=+x y x ，故答案选D. 考点：比例的性质．3.三角形两边长分别为3和6，第三边是方程的根，则三角形的周长为( )A.13B.15C.18D.13或18 【答案】A. 【解析】试题分析：：解方程得，x=9或4，即第三边长为9或4．当边长为9，3，6不能构成三角形；而4，3，6能构成三角形，所以三角形的周长为3+4+6=13，故答案选A ． 考点：一元二次方程的解法；三角形三边关系．4．已知一元二次方程02=++c bx x 的两根分别是3232-+和，则b 、c 的值为（ ） A ．4 、1 B ．-4、1C ．-4、-1D ．4、-1【答案】B.试题分析：已知一元二次方程02=++c bx x 的两根分别是3232-+和，根据根与系数的关系可得-b=3-232++，c=））（（3-232+，解得b=-4，c=1，故答案选B. 考点：根与系数的关系．5.如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则cosA 的值为 （ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D.考点：勾股定理；锐角三角函数的定义.6.如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是 ( )A ． ∠ABP=∠CB ． ∠APB=∠ABCC ．=D ．=【答案】D.试题分析：选项A ，当∠ABP=∠C 时，又∵∠A=∠A ，∴△ABP ∽△ACB ，选项A 错误；选项B,当∠APB=∠ABC 时，又∵∠A=∠A ，∴△ABP ∽△ACB ，选项B 错误；选项C 、当=时，又∵∠A=∠A ，∴△ABP ∽△ACB ，选项C 错误；选项D,无法得到△ABP ∽△ACB ，选项D 正确．故答案选D. 考点：相似三角形的判定．7．如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且AB ＝1，CD ＝3，那么EF 的长是 ( ) A ．13B ．23 C ．34 D ．45第7题图【答案】C.考点：相似三角形的判定与性质．8.若关于x 的一元二次方程2210x x kb -++=有两个不相等的实数根,则一次函数y kx b =+的大致图象可能是 ( )DC BA【答案】B. 【解析】试题分析：根据一元二次方程2210x x kb -++=有两个不相等的实数根，可得△=4﹣4（kb+1）＞0，解得kb ＜0，由图象可知选项A ，由图象可知k ＞0，b ＞0，即kb ＞0，故A 不正确；选项B ，由图象可知k ＞0，b＜0，即kb ＜0，故B 正确；选项C ，由图象可知k ＜0，b ＜0，即kb ＞0，故C 不正确；选项D ，由图象可知k ＞0，b=0，即kb=0，故D 不正确；故答案选B. 考点：根的判别式；一次函数的图象．9.在直角坐标系中，已知O(0,0),A(2,0),B(0,4),C(0,3)，D 为x 轴上一点．若以D 、O 、C 为顶点的三角形与△AOB 相似，这样的D 点有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 【答案】C. 【解析】 试题分析：如图：若△OCD ∽△OBA ，则需OA OD OB OC =,即，443OD =解得23=OD , ∴D 与D ′的坐标分别为（23，0），（-23，0）;若△OCD ∽△OAB ，则需OB OD OA OC =,即，423OD=解得6=OD ， ∴D ″与D ′″的坐标分别为（6，0），（-6，0）．∴若以D 、O 、C 为顶点的三角形与△AOB 相似，这样的D 点有4个． 故答案选C ．考点：相似三角形的性质；坐标与图形性质．10．如图 ，在矩形ABCD 中 ，AB=10 , BC=5 ． 若点M 、N 分别是线段ACAB 上的两个动点 ，则BM+MN 的最小值为 （ ）A ． 10B ． 8C ． 53D ． 6【答案】B.∵AB=10，BC=5，在Rt △BCD 中，由勾股定理得：BD=22CD BC +=55， ∵S △BCD=21•BC •CD=21BD •CE ， ∴CE=55510⨯=⋅BD CD BC =25， ∵CC ′=2CE ， ∴CC ′=45，∵NC ′⊥BC ，DC ⊥BC ，CE ⊥BD ， ∴∠BNC ′=∠BCD=∠BEC=∠BEC ′=90° ∴∠CC ′N+∠NCC ′=∠CBD+∠NCC ′=90°， ∴∠CC ′N=∠CBD ， ∴△BCD ∽△C ′NC ，∴BC NC BD CC ''=， 即105554'NC =， ∴NC ′=8，即BM+MN 的最小值为8． 故答案选B.考点：轴对称-最短路线问题．二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共20分）11.在比例尺为1∶50000的地图上，量得A 、B 两地的图上距离AB ＝3 cm ，则A 、B 两地的实际距离为 km. 【答案】1.5km ． 【解析】试题分析：已知比例尺为1：50000，量得两地的距离是3厘米，可得A 、B 两地的实际距离=150000cm=1.5km ．考点：比例尺的性质．12.若m ，n 是方程x 2+x ﹣1=0的两个实数根，则m 2+2m+n 的值为 ． 【答案】0.考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．13．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，设平均每次提价的百分率都是x ．根据题意，可列出方程___________________ 【答案】121)1(1002=+x . 【解析】试题分析：：设平均每次提价的百分率为x ，根据原价为100元，表示出第一次提价后的价钱为100（1+x ）元，第二次提价的价钱为100（1+x ）2元，根据两次提价后的价钱为121元，列出关于x 的方程121)1(1002=+x .考点：一元二次方程的应用.14.如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，△COD 与△AOB 的周长比为1：2，则CD ：AB= ，S △COB ：S △COD = .【答案】1：2；2：1．考点：相似三角形的性质.15．已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣|+ =0，则α+β= ．【答案】75°. 【解析】试题分析：已知|sin α﹣|+=0，可得sin α=21，tan β=1，据特殊角三角函数值可得α=30°，β=45°，所以α+β=75°.考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根． 16.在Rt △ABC 中，∠ACB=900，sinB=72，则cosB=；若21θ=，则θ=【答案】753；15°. 【解析】试题分析：根据sin 2α+cos 2α=1，sinB=72可得cosB=75321θ=可得33312tan ==θ，根据特殊角三角函数值可得0302=θ，所以θ=15°. 考点：同角三角函数的关系；特殊角的三角函数值．17.已知线段AB ＝10，点C 是线段AB 上的一个黄金分割点(AC ＞BC )，则AC 长是________(精确到0.01)．第14题【答案】6.18. 【解析】试题分析：根据黄金分割的定义，知AC 为较长线段；则AC=21-5AB ≈0.618AB=10×0.618=6.18． 考点：黄金分割．18 .已知正方形ABC 1D 1的边长为1，延长C 1D 1到A 1，以A 1C 1为边向右作正方形A 1C 1C 2D 2，延长C 2D 2到A 2，以A 2C 2为边向右作正方形A 2C 2C 3D 3(如图所示)，以此类推…，若A 1C 1=2，且点A ，D 2， D 3，…，D 10都在同一直线上，则正方形A 9C 9C 10D 10的边长是__________________________【答案】8736561(2128或写成）. 【解析】试题分析：设AD 10与A 1D 1的交点为M,可证△AD 1M ∽△D 2A 1M ，根据相似三角形的对应边的比相等可求得A 1M=23，根据题意，还可证△A 1MD 2∽△A 2D 2D 3，所以1122223A M A DA D A D =,设A 2C 2=x ，则2232x x =-，解得x=3，即A 2C 2=3，同理可求得A 3C 3=92，A 4C 4=274，A 5C 5=818，由此规律可得A n C n =1232n n --，把n=9代入可得A 9C 9=8732，即正方形A 9C 9C 10D 10的边长是8732.考点：正方形的性质；相似三角形的判定及性质；规律探究题.三、解答题（本大题共9小题，共80分）19.计算或解下列方程：（每题4分，共16分） （1）sin 245°- cos60°+ tan60°·cos 230° （2）11|1|2sin 45---+︒第18题(3)05222=--x x ； (4)0)12(2)12(2=+--x x【答案】(1)433；（2）23；（3）2111,211121-=+=x x ；（4）252,25221-=+=x x .试题解析：解：（1）原式=（22）2-21+3×（23）2==21-21+433=433； （2）原式=232112221)12(221=++-=+--；（3）05222=--x x a=2，b=﹣2，c=﹣5， △=4+40=44＞041122±=x ∴2111,211121-=+=x x ； （4）0)12(2)12(2=+--x x01842=--x xa=4，b=﹣8，c=﹣1， △=64+16=80＞0，8548±=x ∴252,25221-=+=x x .考点：特殊角的三角函数值；一元二次方程的解法．20.(本题6分）关于x 的一元二次方程x 2+(2k+1)x+k 2+1=0有两个不等实根.（1）（3分）求实数k 的取值范围．（2）（3分）若方程两实根满足｜x 1｜+｜x 2｜=x 1·x 2，求k 的值．【答案】(1)k ﹥43；(2)k=2. 【解析】试题分析：：（1）根据方程有两个不相等的实数根可得△＞0，代入求得k 的取值范围即可；（2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到2k+1=k 2+1，结合k 的取值范围解方程即可． 试题解析：（1）∵原方程有两个不相等的实数根 ∴ Δ＝（2k+1）2－4（k 2+1)=4k 2+4k+1－4k 2－4=4k －3﹥0解得：k ﹥43； (2)∵k ﹥43，∴x 1+x 2 =－(2k+1)＜0 又∵x 1·x 2=k 2+1﹥0 ∴x 1＜0，x 2＜0，∴｜x 1｜+｜x 2｜=－x 1－x 2 =－(x 1+x 2)=2k+1 ∵｜x 1｜+｜x 2｜=x 1·x 2 ∴2k+1=k 2+1， ∴k 1=0,k 2=2 又 ∵k ﹥43∴k=2.考点：根的判别式；根与系数的关系．21.（本小题满分6分）如图，在边长为1个单位长、度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC （顶点是网格线的交点）．（1）将△ABC 向左平移1个单位，再向上平移5个单位得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1；（2）请在网格中将△ABC 以A 为位似中心放大 3倍，得△AB 2C 2，请画出△AB 2C 2【答案】详见解析.试题解析：解：如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△AB2C2，即为所求．考点：作图-平移变换；作图-位似变换．22.（6分）由下列条件解直角三角形：在Rt △ABC 中，∠C=90°：（1） 已知c=20，∠A=45°； （2） 已知a+c=12，∠B=60°【答案】（1）∠B=45°，a=b=210;(2)∠A=30°，a=4，c=8,b=43.试题解析：(1)∵∠A=45°，∴∠B=90°-45°=45°，∴a=b=2102022=⨯. （2）∵∠C=90°，∠B=60°，∴∠A=30°∴a=21c ． 又∵a+c=12，∴a=4，c=8,由勾股定理可得b=43.考点：解直角三角形.23.（6分）如图在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 是边AB 的中点，BE ⊥CD ，垂足为点E ．已知AC=15，cosA=35．（1）求线段CD 的长；（2）求sin ∠DBE 的值．【答案】(1)CD=225（或12.5）；(2)sin ∠DBE=257.试题解析：：解：（1）∵AC=15，cosA=35， ∴cosA=5315=AB , ∴AB=25，∵△ACB 为直角三角形，D 是边AB 的中点，∴CD=225（或12.5）； （2）∵BC 2=AB 2-AC 2=400 AD=BD=CD=225， ∴设DE=x ，EB=y ，∴y 2+x 2=225,(x+225)2+y 2=400， 解得x=27， ∴sin ∠DBE=25722527==BD DE . 考点：锐角三角函数；勾股定理.24．（本小题满分8分）如图，已知锐角△ABC （1）过点A 作BC 边的垂线MN ，交BC 于点D （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）条件下，若BC=5，AD=4， tan ∠BAD=34，求DC 的长.【答案】（1）详见解析；（2）DC=2.【解析】试题分析：（1）根据经过直线外一点作已知直线的垂线的做法作图即可；（2）在Rt △ABD 中，根据锐角三角函数可求得BD=3，所以DC=BC ﹣BD=5﹣3=2.试题解析：解：（1）作图如答图所示，AD 为所作.（2）在Rt △ABD 中，AD=4，tan ∠BAD=34=BD AD ， ∴344=BD ，解得BD=3. ∵BC=5，∴DC=BC ﹣BD=5﹣3=2.考点：作图；锐角三角函数.25.（本小题满分6分）如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且BDCD CD AD =． (1）求证：△ACD ∽△CBD ； (2）求∠ACB 的大小．【答案】(1)详见解析；（2）∠ACB=90°.【解析】试题分析：（1）根据CD 是斜边AB 上的高，且BDCD CD AD =,即可求证△ACD ∽△CBD ．利用直角三角形两锐角互余的性质求证（2）由（1）得△ACD ∽△CBD ，根据相似三角形的性质可得∠A=∠BCD ，又因∠A+∠ACD=90°，可得∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°.试题解析：(1)证明：∵CD 是边AB 上的高，且BD CD CD AD ， ∴△ACD ∽△CBD ；（2）由（1）得△ACD ∽△CBD ，∴∠A=∠BCD ，又∵∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°.考点：相似三角形的判定及性质.26.（本小题满分8分）如图，点P 是正方形ABCD 内一点，点P 到点A ，B 和D 的距离分别为1，，．△ADP 沿点A旋转至△ABP’，连结PP’，并延长AP 与BC 相交于点Q ．（1）求证：△APP’是等腰直角三角形；（2）求∠BPQ 的大小；（3）求CQ 的长．【答案】(1)详见解析；（2）45°；（3）313.(2)在Rt △APP ′中，AP=1，∴BP ′=DP=22，BP=10,∴2'22BP BP PP =+,∴△BPP ′是等腰直角三角形.∴∠BPP ′=90°，又∠APP ′=45°，∴∠BPQ=180°-∠BPP ′-∠APP ′=45°.(3)、过点B 作BM ⊥AQ 于M∵∠BPQ=45°∴△PMB 为等腰直角三角形由已知，BP=22∴BM=PM=2,∴AM=AP+PM=3在Rt △ABM 中，AB=13∵△ABM ∽△AQB ∴AQAB AB AM = ∴AQ=313 在Rt △ABO 中，BQ=133222=-AB AQ , ∴QC=BC －BQ=313133213=-.考点：旋转的性质；正方形的性质；勾股定理；相似三角形的判定及性质.27、（本题满分10分）如图，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ． (1)若AB ＝16，CD ＝9，BD ＝15，请问在BD 上是否存在P 点，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP 的长；若不存在，请说明理由； (2) 若AB ＝16，CD ＝9， BD ＝24，请问在BD 上存在多少个P 点，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似？并求BP 的长； (3) 若AB ＝m ，CD ＝n ，BD ＝l ，请问在m 、n 、l 满足什么关系时，存在以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似的三个P 点?【答案】（1）BP=9.6;（2）BP=12或15.36;（3）存在以P 、A 、B 为顶点的三角形与以P 、C 、D 为顶点的三角形相似的3个点P.（2）存在P 点，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似，设BP=x ，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出CD BP PD AB =或DPBP CD AB =时，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似，代入求出即可。

学校________________ 班级____________ 姓名____________ 考试号____________…………………………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………………………初三年级数学学科期中试卷时间：120分钟 总分：130分 2015.11一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，请将正确结论代号填在对应题号内） 1、-5的倒数是（ ） A 、5 B 、51-C 、 51D 、5-2、下列一元二次方程中，两根之和为-1的是（ ）A ．x 2+x+2=0 B ．x 2－x －5=0 C ．x 2+x －3=0 D ．2 x 2－x －1=0 3、已知25=yx ，那么下列等式中不一定正确的是（ ）A 、y x 52=B 、1252=+y x x C 、27=+y y x D 、4722=++y x 4、一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x ，根据题意，下面列出的方程正确的是 （ ）A ．100（1＋x ）=121B ． 100（1－x ）=121C ． 100（1＋x ）2=121 D ． 100（1－x ）2=1215、如图△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，31==ACAD ABAE ,则BCED ADE S S 四边形△:的值为（ ）A 、3:1B 、1:3C 、1:8D 、1:96、下列说法正确的是( )A 、平分弦的直径垂直于弦B 、三角形的外心到这个三角形的三边距离相等C 、相等的圆心角所对的弧相等D 、等弧所对的圆心角相等7、如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，已知CD=12，BE=3，则⊙O 的直径为（ ） A. 8 B. 10 C.15 D.208、如图，□ABCD的顶点A 、B 、D 在⊙O 上，顶点C 在⊙O 的直径BE 上，∠ADC ＝70°，连接AE ，则∠AEB 的度数为（ ）A ．20°B ．24°C ．25°D ．26°9、如图，在△ABC 中，AC=BC ，CD 是AB 边上的高线，且有2CD=3AB ，又E ，F 为CD 的三等分点，则∠ACB 与∠AEB 和为 （ ）A 、45 ° 8、75° C 、90 ° D 、135°10、如图，已知AB=12，点C 、D 在AB 上，且AC=DB=2，点P 从点C 沿线段CD 向点D 运动（运动到点D 停止），以AP 、BP 为斜边在AB 的同侧画等腰Rt △APE 和等腰Rt △PBF ，连接EF ，取EF 的中点G ，下列说法A B CE D第5题第7题第8题A BCD O E第9题第10题中正确的有（ ）①△EFP 的外接圆的圆心为点G ；②四边形AEFB 的面积不变；③EF 的中点G 移动的路径长为4．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 二、填空题 （本大题共8小题，每空2分，共16分） 11、方程x 2=2的根是_____________12、在比例尺为1:5000的江阴市城区地图上，某段路的长度约为25厘米，则它的实际长度约为________米 13、如果点O 为△ABC 的外心，∠BOC=70°，那么∠BAC 等于_____________14、如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判定△ADB 与△ABC 相似，可添加一个条件________15、将一副三角板按图叠放，∠A=45°，∠D=60°，∠ABC=∠DCB=90°，则△AOB 与△DOC 的面积之比为__________16、如图，点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，∠ABC=90°，AD=3，CD=2，则⊙O 的直径长为_______17、如图是一个汽油桶的截面图，其上方有一个进油孔，该汽油桶的截面直径为50dm ，此时汽油桶内液面宽度AB=40dm ，现在从进油孔处倒油，当液面AB=48dm 时，液面上升了__________dm ．18、如图，已知△ABC,外心为O ，BC=6，∠BAC=60°，分别以AB 、AC 为腰向形外作等腰直角三角形△ABD 与△ACE ，连接BE 、CD 交于点P ，则OP 的最小值是_________ 三、解答题19、解下列方程（每题4分,共12分）（1）0652=--x x （2）()()3332-=-x x x （3）0522=--x x （配方法）20、（本题5分）先化简，再计算：)12(122x x x xx x --÷+-，其中x 是方程0222=--x x 的正数根．21、（本题共6分）如图，每个小方格都是边长为1个单位 的小正方形，A 、B 、C 三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A （1，8），B （3，8），C （4，7）． （1）若D （2，3），请在网格图中画一个格点△DEF ，使△DEF ∽△ABC ，且相似比为2∶1； （2）求△ABC 中AC 边上的高；（3）若△ABC 外接圆的圆心为P ，则点P 的坐标为 .O y xABCD第14题A D O CB 第15题第16题第17题第18题O A DBCEP O22、（本题共6分）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，△ACD 沿AD 折叠，使得点C 落在斜边AB 上的点E 处．（1）求证：△BDE ∽△BAC ；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD 的长度．23、（本题共6分）2013年，江阴市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方米5265元． （1）求平均每年下调的百分率；（2）假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算） 24、（本题共7分）如果一个点与另外两个点能构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．例如：矩形ABCD 中，点C 与A 、B 两点可构成直角三角形ABC ，则称点C 为A 、B 两点的勾股点，同样，点D 也是A 、B 两点的勾股点．(1)如图①，矩形ABCD 中，AB =2，BC =1，请在边CD 上作出A 、 B 两点的勾股点（点C 和点D 除外）．（要求：尺规作图，保留作 图痕迹，不要求写作法）(2)如图②，矩形ABCD 中，若AB =3，BC =1，点P 在边CD 上 （点C 和点D 除外），且点P 为A 、B 两点的勾股点，求DP 的长． 25、（本题共10分）如图，⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于E ，AM ⊥BC 于M ，交CD 于N ，连AD. （1）求证：AD=AN ；ACE B D（2）若AB=24，ON=1，求⊙O 的半径． （3）若，：△△8:1 AD N CMN S S 且AE=4，求CM26、（本题共8分）阅读下列材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，∠ACB=90°，BE 是AC 边上的中线，点D 在BC 边上，CD ：BD=1：2，AD 与BE 相交于点P ，求PDAP 的值..小昊发现，过点A 作AF ∥BC ，交BE 的延长线于点F ，通过构造△AEF ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）.请回答：PDAP 的值为__________参考小昊思考问题的方法，解决问题：如图 3，在△ABC 中，∠ACB=90°，点D 在BC 的延长线上，AD 与AC 边上的中线BE 的延长线交于点P ，DC ：BC ：AC=1：2：3 . （1）求PDAP 的值；（2）若CD=2，则BP=_________________ 27、（本题共12分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，AB ＝10cm ，AC ∶BC ＝4∶3，点P 从点A 出发沿AB方向向点B 运动，速度为1cm/s ，同时点Q 从点B 出发沿B →C →A 方向向点A 运动，速度为2cm/s ，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．（1）设点P 的运动时间为x （秒），△PBQ 的面积为y （cm 2），当△PBQ 存在时，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；A（2）当x ＝5秒时，在直线PQ 上是否存在一点M ，使△BCM 得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．（3）当点Q 在BC 边上运动时，是否存在x ，使得以△PBQ 的一个顶点为圆心作圆时，另外两个顶点均在这个圆上，若存在，求出 x 的值；不存在，说明理由.28、（本题共12分）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法． 我们有多种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）（2）△ABC 中，∠B=30°，AD 和DE 是△ABC 的三分线，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD=BD ，DE=CE ，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x 所有可能的值；（3）如图3，△ABC 中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B ，请画出△ABC 的三分线，并求出三分线的长．ACQBP..初三数学期中试卷答案2015.11一、选择（每题3分）BCDCC DCACB二、填空（每空2分）2± , 1250米 35°或145°略1:313 8或22 33-三、解答题19、每题4分（1）1,621-==xx（2）32,321==xx（3）611+=x，612-=x20、化简求值（共5分）化简得原式=11-x ----------------2分解方程得311>+=x，311<-=x-------------4分所以原式=33-------------------5分21、（共6分）（1）如图……………………(2分)（2）高510………(4分)（3）（2,6）；…………………(6分)22、（1）证明略----------------2分（2）DE=3-------------4分AD=53--------------6分23、（1）设平均每年下调的百分率为x，根据题意得：5265)1(65002=-x------------------------2分解得：x1=0.1，x2=1.9(舍去)---------------------3分答：平均每年下调率为10%------------------------------4分（2）2016年房价为：385.47%)101(5265100=-⨯⨯万元 -----------------5分∵20+30＞47.385，∴张强的愿望可以实现------------------------6分24、（1）以线段AB为直径的圆与线段CD的交点，或线段CD的中点-------3分（2）DP=253±-----------------------7分25、（1）证明略----------------------3分OyxA BCDEF（2）∵AB=24，AE ⊥CD ，∴AE=22，-------4分又∵ON=1，∴设NE=x ，则OE=x-1，NE=ED=x ， r=OD=OE+ED=2x-1连结AO ，则AO=OD=2x-1，∵△AOE 是直角三角形，AE=22，OE=x-1，AO=2x-1，∴222)12()1()22(-=-+x x ----------------------6分解得x=2，∴r=2x-1=3．---------------------------- 7分（3）∵AD=AN,AB ⊥CD ，∴AE 平分ND ，∴S △ANE=S △ADE∵S △CMN ：S △AND=1:8，∴S △CMN ：S △ANE=1:4，---------------------------8分 又∵△CMN ∽△AEN ，∴41)(2=AE CM ------------------------------------------9分∵AE=4，∴CM=2--------------------------------------10分2分 3分4分6分8分27、解：（1）①当点Q 在边BC 上运动时．y ＝―45x2＋8x （0＜x≤3）， ……………（2分）②当点Q 在边CA 上运动时，y ＝)214(53)10(21x x -⋅-=42551532+-x x （3＜x ＜7）；………（4分） （2）存在．理由：∵AQ ＝14﹣2x ＝14﹣10＝4，AP ＝x ＝5， ∵AC ＝8，AB ＝10，∴PQ 是△ABC 的中位线，∴PQ ∥AB ，∴PQ ⊥AC ，……………………（5分）∴PQ 是AC 的垂直平分线， ∴PC ＝AP ＝5，∴当点M 与P 重合时，△BCM 的周长最小，…………………………………（6分） ∴△BCM 的周长为： MB ＋BC ＋MC ＝PB ＋BC ＋PC ＝5＋6＋5＝16．∴△BCM 的周长最小值为16．…………………………………………………（7分） (3)由题意得△PBQ 为等腰三角形。