高三第一轮复习——双曲线篇(试题及答案)

第七节 双曲线一、基础知识1．双曲线的定义 平面内到两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ❶(2a ＜|F 1F 2|)的点P 的轨迹叫做双曲线❷.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．❶当|PF 1|－|PF 2|＝2a (2a ＜|F 1F 2|)时，点P 的轨迹为靠近F 2的双曲线的一支.当|PF 1|－|PF 2|＝－2a (2a ＜|F 1F 2|)时，点P 的轨迹为靠近F 1的双曲线的一支.❷若2a ＝2c ，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线；若2a ＞2c ，则轨迹不存在；若2a ＝0，则轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线.2.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．3．双曲线的几何性质二、常用结论(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a，也叫通径．(2)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(4)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .考点一 双曲线的标准方程[典例] (1)(2018·石家庄摸底)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( )A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x 223＝1 (2)(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1 [解析] (1)法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎨⎧4a 2－9b 2＝1，ba ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1；当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的标准方程是y 2a 2－x2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎨⎧9a 2－4b 2＝1，ab ＝3，无解．故该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，选C. 法二：当其中的一条渐近线方程y ＝3x 中的x ＝2时，y ＝23＞3，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎨⎧4a 2－9b 2＝1，ba ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C. 法三：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即y 3＝±x ，所以可设双曲线的方程是x 2－y 23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C. (2)法一：如图，不妨设A 在B 的上方，则A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a . 又双曲线的一条渐近线为bx －ay ＝0，则d 1＋d 2＝bc －b 2＋bc ＋b 2a 2＋b 2＝2bcc ＝2b ＝6，所以b ＝3.又由e ＝c a ＝2，知a 2＋b 2＝4a 2，所以a ＝ 3. 所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1.法二：由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C. [答案] (1)C (2)C[题组训练]1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，若|PF 1|－|PF 2|＝4b ，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 2＝1 B.x 23－y 22＝1 C ．x 2－y 24＝1 D.x 22－y 23＝1 解析：选A 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝4b ，c 2＝a 2＋b 2，2c ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，则该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，离心率为 5，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 216＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D ．x 2－y 26＝1 解析：选A 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，所以a ＝2，由离心率为5，可得ca ＝5，c ＝25，所以b ＝c 2－a 2＝20－4＝4，则双曲线的标准方程为x 24－y 216＝1.3．经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为____________．解析：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为所求双曲线经过点P (3,27)，Q (－62，7)，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝125.故所求双曲线方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝1考点二 双曲线定义的应用考法(一) 利用双曲线的定义求双曲线方程[典例] 已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 22－y 214＝1(x ≥ 2) B.x 22－y 214＝1(x ≤－2) C.x 22＋y 214＝1(x ≥ 2) D.x 22＋y 214＝1(x ≤－2) [解析] 设动圆的半径为r ，由题意可得|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2，所以|MC 1|－|MC 2|＝22＝2a ，故由双曲线的定义可知动点M 在以C 1(－4,0)，C 2(4,0)为焦点，实轴长为2a ＝22的双曲线的右支上，即a ＝2，c ＝4⇒b 2＝16－2＝14，故动圆圆心M 的轨迹方程为x 22－y 214＝1(x ≥ 2)．[答案] A[解题技法] 利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．考法(二) 焦点三角形问题[典例] 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 由双曲线的方程得a ＝1，c ＝2，由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，即(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|＝22＋|PF 1|·|PF 2|，解得|PF 1|·|PF 2|＝4. [答案] B [解题技法] 在双曲线中，有关焦点三角形的问题常用双曲线定义和解三角形的知识来解决，尤其是涉及|PF 1|，|PF 2|的问题，一般会用到双曲线定义．涉及焦点三角形的面积问题，若顶角θ已知，则用S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin θ，|||PF 1|－|PF 2|＝2a 及余弦定理等知识；若顶角θ未知，则用S △PF 1F 2＝12·2c ·|y 0|来解决．[题组训练]1．已知点F 1(－3,0)和F 2(3,0)，动点P 到F 1，F 2的距离之差为4，则点P 的轨迹方程为( ) A.x 24－y 25＝1(y >0) B.x 24－y 25＝1(x >0) C.y 24－x 25＝1(y >0) D.y 24－x 25＝1(x >0) 解析：选B 由题设知点P 的轨迹方程是焦点在x 轴上的双曲线的右支，设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(x >0，a >0，b >0)，由题设知c ＝3，a ＝2，b 2＝9－4＝5，所以点P 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x >0)．2．已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( )A ．48B ．24C ．12D ．6解析：选B 由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10，由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形，因此S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24.考点三 双曲线的几何性质考法(一) 求双曲线的离心率(或范围)[典例] (2018·长春二测)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤53，2B.⎝⎛⎦⎤1，53 C ．(1,2] D.⎣⎡⎭⎫53，＋∞[解析] 由双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，所以|PF 2|＝2a3，由双曲线上的点到焦点的最短距离为c －a ，可得2a 3≥c －a ，解得c a ≤53， 即e ≤53，又双曲线的离心率e ＞1，故该双曲线离心率的取值范围为⎝⎛⎦⎤1，53，故选B. [答案] B [解题技法] 1．求双曲线的离心率或其范围的方法 (1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2直接求e . (2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．2．求离心率的口诀归纳： 离心率，不用愁，寻找等式消b 求；几何图形寻迹踪，等式藏在图形中． 考法(二) 求双曲线的渐近线方程[典例] (2019·武汉部分学校调研)已知双曲线C ：x 2m 2－y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的离心率与椭圆x 225＋y 216＝1的离心率互为倒数，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±3y ＝0或3x ±4y ＝0D ．4x ±5y ＝0或5x ±4y ＝0 [解析] 由题意知，椭圆中a ＝5，b ＝4，∴椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝35，∴双曲线的离心率为 1＋n 2m 2＝53，∴n m ＝43，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.故选A. [答案] A [解题技法] 求双曲线的渐近线方程的方法：求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±ab x .反之，已知渐近线方程为y ＝±b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(a ＞0，b ＞0，λ≠0)．[题组训练]1．(2019·潍坊统一考试)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到渐近线的距离为3，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为( )A ．1 B. 3 C ．2D ．2 3解析：选C 由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为bca 2＋b2＝b ＝3，即c 2－a 2＝3，又e ＝ca＝2，所以a ＝1，该双曲线的实轴的长为2a ＝2.2．已知直线l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是直线l 上一点，F 1，F 2是双曲线C 的左、右焦点，若PF 1―→·PF 2―→＝0，则点P 到x 轴的距离为( )A.233B. 2 C ．2 D.263解析：选C 由题意知，双曲线的左、右焦点分别为F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设直线l 的方程为y ＝2x ，设P (x 0，2x 0)．由PF 1―→·PF 2―→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故点P 到x 轴的距离为|2x 0|＝2，故选C.3．(2019·成都一诊)如图，已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，长方形ABCD 的顶点A ，B 分别为双曲线E 的左、右焦点，且点C ，D 在双曲线E 上，若|AB |＝6，|BC |＝52，则双曲线E 的离心率为( )A. 2B.32C.52D. 5解析：选B 根据|AB |＝6可知c ＝3，又|BC |＝52，所以b 2a ＝52，b 2＝52a ，所以c 2＝a 2＋52a ＝9，解得a＝2(舍负)，所以e ＝c a ＝32.4．(2018·郴州二模)已知双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±34xB ．y ＝±43xC ．y ＝±223xD ．y ＝±324x解析：选B 由双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的焦点在y 轴上，且在直线x ＋y ＝5上，直线x ＋y ＝5与y轴的交点为(0,5)，有c ＝5，则m ＋9＝25，得m ＝16，所以双曲线的方程为y 216－x 29＝1，故双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .故选B.[课时跟踪检测]1．(2019·襄阳联考)直线l ：4x －5y ＝20经过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点和虚轴的一个端点，则双曲线C 的离心率为( )A.53B.35C.54D.45解析：选A 由题意知直线l 与两坐标轴分别交于点(5,0)，(0，－4)，从而c ＝5，b ＝4，∴a ＝3，双曲线C 的离心率e ＝c a ＝53.2．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且|PF 1|＝6，则|PF 2|＝( ) A ．6B ．4C ．8D ．4或8解析：选D 由双曲线的标准方程可得a ＝1，则||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，即|6－|PF 2||＝2，解得|PF 2|＝4或8.3．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( ) A. 2B ．2 C.322D ．2 2解析：选D ∵e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝2，∴ba＝1. ∴双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0. ∴点(4,0)到C 的渐近线的距离d ＝42＝2 2. 4．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析：选D 由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等．5．(2018·陕西部分学校摸底)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1，过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行直线，则该直线与另一条渐近线及x 轴所围成的三角形的面积为( )A.24B.22 C.28D.216解析：选C 设双曲线C 1的左顶点为A ，则A ⎝⎛⎭⎫－22，0，双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，不妨设题中过点A 的直线与渐近线y ＝2x 平行，则该直线的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.联立⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝－24，y ＝12.所以该直线与另一条渐近线及x 轴所围成的三角形的面积S ＝12·|OA |·12＝12×22×12＝28，故选C. 6．(2019·辽宁五校协作体模考)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为5，从双曲线C 的右焦点F 引渐近线的垂线，垂足为A ，若△AFO 的面积为1，则双曲线C 的方程为( )A.x 22－y 28＝1 B.x 24－y 2＝1 C.x 24－y 216＝1 D ．x 2－y 24＝1 解析：选D 因为双曲线C 的右焦点F 到渐近线的距离|F A |＝b ，|OA |＝a ，所以ab ＝2，又双曲线C 的离心率为5，所以 1＋b 2a 2＝5，即b 2＝4a 2，解得a 2＝1，b 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1，故选D.7．(2018·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离心率为52，则a ＝________.解析：由e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2，得a 2＋4a 2＝54，∴a 2＝16.∵a >0，∴a ＝4. 答案：4 8．过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝________. 解析：双曲线的右焦点为F (2,0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入x 2－y 23＝0，得y 2＝12，y ＝±23，故|AB |＝4 3. 答案：4 39．(2018·海淀期末)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，由已知可得两条渐近线互相垂直，由双曲线的对称性可得ba＝1.又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22，所以a 2＋b 2＝c 2＝(22)2，解得a ＝2.答案：210．(2018·南昌摸底调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 作圆(x －a )2＋y 2＝c 216的切线，若该切线恰好与C 的一条渐近线垂直，则双曲线C 的离心率为________．解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为y ＝b a x ，由题意可知该切线方程为y ＝－ab (x －c )，即ax ＋by －ac ＝0.圆(x －a )2＋y 2＝c 216的圆心为(a,0)，半径为c4，则圆心到切线的距离d ＝|a 2－ac |a 2＋b 2＝ac －a 2c ＝c 4，又e ＝ca，则e 2－4e ＋4＝0，解得e ＝2，所以双曲线C 的离心率e ＝2. 答案：2 11．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点 M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)求证：MF 1―→·MF 2―→＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．解：(1)∵e ＝2，∴双曲线的实轴、虚轴相等．则可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 26－y 26＝1.(2)证明：不妨设F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则MF 1―→＝(－23－3，－m )，MF 2―→＝(23－3，－m )．∴MF 1―→·MF 2―→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2，∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴MF 1―→·MF 2―→＝0. (3)△F 1MF 2的底边长|F 1F 2|＝4 3.由(2)知m ＝±3. ∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.12．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求椭圆和双曲线的方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解：(1)由题知c ＝13，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7·13a＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3.则b ＝6，n ＝2.故椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线为x 29－y 24＝1. (2)不妨设F 1，F 2分别为椭圆与双曲线的左、右焦点，P 是第一象限的交点， 则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4. 又|F 1F 2|＝213， 所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝102＋42－(213)22×10×4＝45.。

双曲线的标准方程及性质学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知双曲线的离心率为，则的值为（）A. 1B.C. 1或D. -12.设,分别为曲线:+=1的左、右焦点,P是曲线:-=1与的一个交点,则的值是( )A. B. C. D. -3.椭圆与双曲线共焦点，，它们的交点对两公共焦点，的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则（）A. B.C. D.4.已如双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=4，点P是C的右支上一点，且•=0，∠PF1F2=，则双曲线C的方程为（）.A. B.C. D.5.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为、,M、N为双曲线一条渐近线上的两点,A为双曲线的右顶点,若四边形为矩形,且MAN=,则双曲线C的离心率为( )A. B. C. D.6.古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线.现有方程m（x2+y2+2y+1）=（x-2y+3）2表示的曲线是双曲线，则m的取值范围为（）A. （0，1）B. （1，+∞）C. （0，5）D. （5，+∞）7.设O为坐标原点，是双曲线的左,右焦点，若在双曲线上存在点，满足，,则该双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D.8.已知,是椭圆与双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且,线段的垂直平分线过,若椭圆的离心率为,双曲线的离心率为,则的最小值为( )A. B. 3 C. 6 D.二、多选题（本大题共1小题，共5.0分。

高三数学双曲线试题答案及解析1.已知双曲线，分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为.设过右焦点的直线与双曲线C的右支交于两点，其中点位于第一象限内.（1）求双曲线的方程；（2）若直线分别与直线交于两点，求证：；（3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。

【答案】（1）；（2）见解析；（3）存在，，理由祥见解析．【解析】（1）由已知首先得到，再由离心率为２可求得的值，最后利用双曲线中基本量的关系求出值，从而就可写出所求双曲线的标准方程；（2）设直线的方程为：，与双曲线方程联立，消去得到关于的一个一元二次方程；再设，则由韦达定理就可用的式子表示出，再用点Ｐ，Ｑ的坐标表示出直线ＡＰ及ＡＱ的方程，再令就可写出点Ｍ，Ｎ的坐标，进而就可写出向量的坐标，再计算得，即证明得；（3）先取直线的斜率不存在的特列情形，研究出对应的的值，然后再对斜率存在的情形给予一般性的证明：不难获得，从而假设存在使得恒成立，然后证明即可．试题解析：（1）由题可知： 1分2分∴双曲线C的方程为： 3分（2）设直线的方程为：，另设：4分5分又直线AP的方程为，代入 6分同理，直线AQ的方程为，代入 7分9分（3）当直线的方程为时，解得. 易知此时为等腰直角三角形，其中，即，也即：. 10分下证：对直线存在斜率的情形也成立.11分12分13分∴结合正切函数在上的图像可知， 14分【考点】1．双曲线的标准方程；2．直线与双曲线的位置关系；３．探索性问题．2.已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线l：垂直，C的一个焦点到l的距离为1，则C的方程为__________________.【答案】x2－＝1【解析】由已知，一条渐近线方程为，即又，故c＝2，即a2＋b2＝4，解得a＝1，b＝3双曲线方程为x2－＝1考点:双曲线的渐近线，直线与直线的垂直关系，点到直线距离公式3.若点P在曲线C1：－＝1上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是________．【答案】10【解析】依题意得，点F1(－5,0)，F2(5,0)分别为双曲线C1的左、右焦点，因此有|PQ|－|PR|≤|(|PF2|＋1)－(|PF1|－1)|≤||PF2|－|PF1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ|－|PR|的最大值是10．4.（本小题满分13分）已知双曲线的两条渐近线分别为.（1）求双曲线的离心率；（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1) ;(2)存在【解析】(1) 已知双曲线的两条渐近线分别为,所以根据即可求得结论.(2)首先分类讨论直线的位置.由直线垂直于x轴可得到一个结论.再讨论直线不垂直于x轴,由的面积恒为8,则转化为.由直线与双曲线方程联立以及韦达定理,即可得到直线有且只有一个公共点.试题解析：(1)因为双曲线E的渐近线分别为和.所以,从而双曲线E的离心率.(2)由(1)知,双曲线E的方程为.设直线与x轴相交于点C.当轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,则,又因为的面积为8,所以.此时双曲线E的方程为.若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为.以下证明:当直线不与x轴垂直时，双曲线E：也满足条件.设直线的方程为,依题意,得k>2或k<-2.则，记.由,得,同理得.由得, 即. 由得, .因为,所以,又因为.所以,即与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为.【考点】1.双曲线的性质.2.直线与双曲线的位置关系.3. 三角形的面积的表示.5.设的离心率为,则的最小值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，所以.【考点】双曲线及重要不等式.6.设圆锥曲线I’的两个焦点分别为F1，F2，若曲线I’上存在点P满足：：= 4:3:2，则曲线I’的离心率等于( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由：：= 4:3:2，可设,,,若圆锥曲线为椭圆,则,,;若圆锥曲线为双曲线,则,,,故选A.7.已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右焦点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是() A．(1，＋∞)B．(1,2)C．D．【答案】B【解析】由AB⊥x轴，可知△ABE为等腰三角形，又△ABE是锐角三角形，所以∠AEB为锐角，即∠AEF<45°，于是|AF|<|EF|，，即，解得，又双曲线的离心率大于1，从而，故选B。

高考数学专题复习：双曲线(含解析)本文存在大量的格式错误和段落问题，需要进行修正和删减。

修正后的文章如下：研究目标：1.理解双曲线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质。

2.理解数形结合的思想。

3.了解双曲线的实际背景及其简单应用。

一、单选题1.设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $F_1P=F_2P=c$，则 $\frac{c^2}{a^2-b^2}$ 的值为：A。

$1$B。

$\frac{1}{2}$C。

$\frac{1}{3}$D。

$\frac{1}{4}$答案】B解析】根据双曲线的性质求出 $c$ 的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可。

点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键。

2.设 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，$A(0,b)$ 为左顶点，点$P$ 为双曲线右支上一点，且 $AP=\frac{a}{2}$，则$\frac{b^2}{a^2}$ 的值为：A。

$1$B。

$\frac{1}{2}$C。

$\frac{1}{3}$D。

$\frac{1}{4}$答案】D解析】先求出双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，再求出点 $P$ 的坐标，最后求$\frac{b^2}{a^2}$。

点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力。

双曲线的通径为 $2a$。

3.已知直线$l$ 的倾斜角为$\theta$，且$l: y=x\tan\theta$，直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点，$OA\perp$轴，$OB\perp$轴（其中 $O$、$F_1,F_2$ 分别为双曲线的坐标原点、左、右焦点），则该双曲线的离心率为：A。

9.4 双曲线（基础）一、单选题1．（2021·全国高三月考（文））双曲线的焦点坐标（ ）A ．B ．C ．D ．、【答案】C【解析】由知，，，且焦点在轴上，所以，所以所以焦点坐标为和.故选：C2．（2021·郸城县第一高级中学高三一模（文））若双曲线：（，）的一条渐近线过点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．CD【答案】C【解析】由已知得双曲线的一条渐近线的斜率为，则，所以，所以，解得，解得故选：．3．（2021·北京八中）已知直线与坐标轴分别交于A ，两点，若A ，的中点在曲线（，）的渐近线上，则曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】C【解析】因为直线与坐标轴分别交于A ，两点，所以，，所以点A 和点B 的中点坐标为，曲线（，）的其中一条渐近线为，22134y x -=()()5,0±(0,()0,5±22134y x -=23a =24b =y 222347c a b =+=+=c =(0,C 22221x y a b -=0a >0b >()2,4m m ()0m ≠C 42C 422m m =2b a =222224b c a a a -==2214-=c a 25e =e =C 240x y +-=B B 2222:1y x C a b -=0a >0b >C 240x y +-=B ()2,0A ()0,4B ()1,22222:1y x C a b-=0a >0b >a y x b =所以有，又，所以，所以，又，所以.故选：C .4．（2021·广东广州·高三月考）双曲线C：的一条渐近线方程为x +2y =0，则C 的离心率为（ ）ABC ．2D【答案】A【解析】双曲线C ：的一条渐近线方程为x +2y =0，即，因此有故选：A5．（2021·黑龙江大庆中学高三月考（文））已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则其顶点到渐近线的距离为（ ）ABCD【答案】B【解析】由双曲线的方程得，双曲线的虚轴长是实轴长的倍，，可得，则双曲线的顶点为，双曲线的渐近线方程为，不妨取渐近线，即，则顶点到渐近线的距离故选：B.6．（2021·河北邯郸·高三开学考试）已知双曲线（，）的离心率为，O 为坐标原点，右焦点为F ，过点F 作一条渐近线的垂线，垂足为P ，的周长为12，则双曲线的实轴长为（ ）A ．8B ．4C ．D ．2【答案】A【解析】因为双曲线（，）的渐近线方程为，右焦点为，2a b =222c a b =+2222524a c a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭22254c e a ==0e >e =22221x y a b -=22221x y a b-=12y x =-22222221244()542b c a b a b a c a a c e a a =⇒=⇒=⇒=-⇒=⇒==2221y x b-=21a = 2221y x b-=2244b a ∴==2b =()1,0A 2by x x a=±=±2y x =20x y -=d ==22221x y a b-=0a >0b >54OPF △22221x y a b-=0a >0b >b y x a =±(c,0)F不妨令点P位于第一象限，则的长度为点到直线的距离，，又的周长为12，所以得到，因为该双曲线的离心率为，即，得，又，即，解得，即双曲线的实轴长为8.故选：A.7．（2021·全国）惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名的建筑事务所steynstudio 完成的，建筑师的设计灵感源于圣经的经文“上帝啊，你永无止境的爱是多么的珍贵，人们在你雄伟的翅膀下避难”．若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的一部分，且，则此双曲线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】双曲线，由题意可得：∴双曲线为，即．故选：A ．8．（2021·全国高三模拟预测（理））将双曲线x 2﹣y 2＝2绕原点逆时针旋转45°后可得到双曲线y ，据此类推可求得双曲线y 的焦距为（ ）PF (c,0)F by x a=b a OPF △12a bc ++=5454c a =9124a b +=222c a b =+22916b a =4a =22221y x a b -=0a >0b >(1,2)-2222y x -=22235y x -=2224y x -=223y x -=22221y x a b -=222222222224111332c a b a b a b c c a⎧⎪=+⎧=⎪⎪⎪-=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=⎪⎩2212y x -=2222y x -=1x=31x =-A ．B ．C ．4D ．【答案】D 【解析】双曲线y 的图象可由y 进行形状不变的变换而得，∴双曲线y 的图象与双曲线y 的图象全等，它们的焦距相同，根据题意：“将双曲线x 2﹣y 2＝2绕原点逆时针旋转45°后可得到双曲线y”类比可得：将双曲线x 2﹣y 2＝6绕原点逆时针旋转45°后可得到双曲线y，而双曲线x 2﹣y 2＝6的a ＝b c ＝∴焦距为2c ＝故选：D ．9．（2021·湖南天心·长郡中学高三月考）已知双曲线的左，右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若，且双曲线C 的离心率为2．则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由双曲线的定义知，，∵，∴，即，∴，31x =-3x =31x =-3x =1x=3x==2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>1F 2F 2F θ1AB AF =cos θ=14132312122AF AF a -=1AB AF =212AF BF AF -=1222AF AF BF a -==1224BF BF a a =+=在中，由余弦定理知，，∵，故选A ．10．（2021·江西南昌·（文））已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且斜率为l 与C 在第一象限交于N 点，若，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】作出双曲线的大致图象，如图所示：由题意可知：，，，由余弦定理可得：即，整理得：，所以，解得或（舍），故选：B二、多选题11．（2021·山东青岛·高三开学考试）已知椭圆过双曲线的焦点，的焦点恰为的顶点，与的交点按逆时针方向分别为，，，，为坐标原点，则（ ）12BF F △2222121212||||||cos 2||||BF F F BF BF F F θ+-=⋅2222244163cos 2222a c a c a a c ac θ+--∴==⋅⋅4312,cos 44c e a θ-==∴==()2222:10,0x y C a b a b -=>>1F 2F 2F 17NF a =213F NF π∠=212725NF NF a a a a =-=-=122F F c =222212112212cos 2NF F F NF F N NF F F F +-=⨯⨯∠()()()22252712252a c a a c+-=⨯⨯2225120c ac a --=225120e e --=4e =32e =-221:14x C y +=22222:1(,0)x y C a b a b -=>1C 2C 1C 2C A B CD OA ．B ．的右焦点到C ．点到的两顶点的距离之和等于D ．四边形【答案】ACD【解析】如下图所示，设双曲线的焦距为，由题意可知：，，所以的离心率为，故A 正确；的右焦点，方程中，所以的渐近线方程为，不妨取渐近线，所以到B 错误；根据椭圆定义可知：，故C 正确；联立，所以，所以D 正确；故选：ACD.12．（2021·福建安溪·高三期中）设，是双曲线：的左､右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.）A ．B2C 1C 2C A 2C 4ABCD 2c 2c =a ==2C c e a ===1C )2C 1,b a ===2C y x =y =)y =214AF AF +=22221413x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩2224717x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22ABCD S ⎛== ⎝四边形1F 2F C 22221(0,0)x y a b a b -=>>O 2F C P 2F P b=C ．双曲线的渐近线方程为D ．点在直线上【答案】ABD【解析】由双曲线的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为，焦点，，以该渐近线为例，由，故A 正确，，则，则在三角形中，根据余弦定理：，得，则离心率，故B 正确；又，∴渐近线方程为，故C 错误；设，则，又，解得，即点在直线上，故D 正确.故选：ABD .13．（2021·广东盐田·深圳外国语学校高三月考）已知双曲线，（ ）A．B ．若的顶点坐标为，则C ．的焦点坐标为D ．若，则的渐近线方程为【答案】BD【解析】A项：因为方程表示双曲线，所以，解得或，A 错误；B 项：因为的顶点坐标为，所以，解得，B 正确；y =P x=by x a=()1,0F c -()2,0F c 2F b =a =122cos cos OPaF OP POF OF c∠=-∠=-=-1OPF 22222211115cos 22OP OF PF a c a a F OP OP OF ac c+-+-∠===-222c a =e =c e a ==1b a =y x =±()00,P x y 00y x =OP a =0x =P x =22:121x y W m m -=++(2,1)m ∈--W (0,3m =-W ()1,0±0m =W 0x ±=22121x y m m -=++()()210m m ++>1m >-2m <-W (0,21m --=3m =-C 项：当时，，当时，，C 错误；D 项：当时，双曲线的标准方程为，则渐近线方程为，D 正确，故选：BD.14．（2021·沙坪坝·重庆南开中学高三月考）抛物线与双曲线具有共同的焦点F ，过F 作的一条渐近线的垂线l ，垂足为H ，与交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则有（ ）A ．B ．的渐近线方程为C ．D ．若l 的倾斜角为锐角，则经过O 、F 且与直线l 相切的圆的标准方程为【答案】BCD【解析】双曲线的右焦点为，可得A 错误，双曲线的渐近线方程为，所以B 正确；由点到直线，所以C 正确，设所求圆的方程为，由题意可得，直线的方程为，解得，可得圆的方程为，所以D 正确，故选：BCD15．（2021·湖南长沙·高三模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，，过点的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于M ，N 两点，若，(点O 为坐1m >-()()22123c m m m =+++=+2m <-()()22123c m m m =-+-+=--0m =W 2212x y -=0x =21:2(0)C y px p =>222:193x y C -=2C 1C p =2C y =3OH =22((1)4x y +-=222:193x y C -=F 2p =p =222:193x y C -=y =F y =3=222()()x a y b r -+-=22222)a b a b r +=+=l y x =-r 1,2a b r ===22((1)4x y +-=2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>1F 2F 2F 12212NF F NF F ∠=∠22ON OF OM +=标原点)，则下列说法正确的是（ ）A ．双曲线CB ．C ．D．【答案】BC【解析】由于，故点M 为的中点，所以，所以，所以，所以，故，所以，所以，所以，故C 的离心率，故A 错误；因为，所以，所以的面积为，故，故B 正确；由于，所以，故C 正确；由于，故D 错误.故选：BC.16．（2021·辽宁铁岭·高三二模）设，分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与C 交于A ，B 两点，若为正三角形，则（ ）A ．B ．C 的焦距为C ．CD ．的面积为【答案】ACD【解析】设，则，离心率C 正确.，选项A 正确.12MF F △212tan MF F ∠12MF a=22ON OF OM +=2NF 1//NF OM 122NF F MOF ∠=∠222MOF MF O ∠=∠12222NOF MOF MF O MF O MNO ∠=∠=∠=∠+∠2MNO MF O ∠=∠OM ⊥2NF 12NF NF ⊥21260MOF NF F ︒∠=∠=tan 60b a ︒==2c a ==1224F F c a ==12|2,||NF a NF ==∣12NF F △2122a ⋅⋅=12MF F △211||tan MN NF M NF ∠==()121tan tan 60MF F NF M ︒∠=-∠=1||MF ==1F 2F 22:1y C x b-=2F x 1ABF V 2b =1ABF V 2AF t =12AF t =e =2b =B 错误.的面积为D 正确.故选：ACD .17．（2021·江苏南通·高三模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，，O 为坐标原点，圆，P 是双曲线C 与圆O 的一个交点，且，则下列结论中正确的有（ ）A ．双曲线CB ．点C ．的面积为D ．双曲线C 上任意一点到两条渐近线的距离之积为2【答案】ABD【解析】解：∵双曲线，∴，又圆，∴圆O 的半径为c ，∴为圆O 的直径，∴，故作图如下：对于A ，∵，∴，∴，令，则，12F F ==1ABF V 121221b F F =222:1(0)5x y C a a -=>1F 2F 222:5O x y a +=+21tan 3PF F ∠=1F 21PF F V 222:105()x y C a a -=＞225c a =+222:5O x y a +=+12||F F 122F PF π∠=21tan 3PF F ∠=1212tan 3PF PF F PF ∠==123||PF PF =20||()PF m m =>1||3PF m =∴，∴，又，∴双曲线C 的离心率，故A 正确；对于B ，由于到渐近线的距离，故B 正确；对于C ，由离心率得，，∴，∴，，∴的面积为，故C 错误；对于D ，由得双曲线C的方程为：，故其两条渐近线方程为，设为双曲线C 上任意一点，则，即①，到两条渐近线的距离，，∴，故D 正确；故选：ABD.18．（2021·全国（文））已知双曲线的左､右焦点分别是，，直线l 过交C的右支于A ，B 两点，A 在第一象限，若.且，，成等差数列，则以下正确的是（ ）A ．B ．l 的斜率为3C ．CD ．C 的两条渐近线互相垂直【答案】BC 【解析】如图所示：()22221231||0F F m m m =+=12||2F F c ==12||22m PF PF a -==22c e a ===()1,0F c -y =d =e =2103a =21025533c =+=122||F F c ===2||m PF ==1||3PF m ==21PF F V 152=2103a =2211053x y -=y x =0±=(),M p q 2211053q p -=223211010p q -=(),M p q 1d =2d =22123210255p q d d -====2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>1F 2F 2F 190ABF ∠=︒1AF AB 1BF 112AF BF =由于，，成等差数列，则， 由双曲线定义可知，，，所以，又，所以，设，所以，又，所以，即，所以，即，则，故A 错误；的斜率为，故B 正确；又在中，，所以，即，所以离心率，故C 正确；因为，故D 错误；故选：BC. 三、填空题19．（2021·上海高三模拟预测）已知双曲线的渐近线方程为，且___________.【答案】或【解析】因为双曲线的渐近线方程为，1AF AB 1BF 112A F AB F B =+122AF AF a -=122BF BF a -=121222AF AF a BF BF a =+=+，22AF F AB B =+4AB a =2AF x =111226AF x a BF AB AF a x =+=-=-，190ABF ∠=︒22211AF AB BF =+()()2222166x a a a x +=+-3x a =1125,3,AF a BF a BF a ===1153AF BF =l 122123tan tan 3BF aAF x BF F BF a∠=∠===12Rt BF F V 2221212BF BF F F +=()()()22232a a c +=22104a c =c e a ==b a ==312b b a a ⎛⎫⨯- =-≠-⎪⎝⎭320x y ±=c =221818x y -=320x y ±=则可设双曲线的方程为，即，因为所以，解得，所以双曲线的方程为或.故答案为：或.20．（2021·上海浦东新·上外浦东附中高三月考）若双曲线的一个焦点为，则实数__________．【答案】3【解析】双曲线的一个焦点为，所以且，所以.故答案为：321．（2021·上海普陀·曹杨二中）若双曲线的右焦点与圆的圆心重合，则___________.【解析】由可得，所以所以双曲线的右焦点坐标为，由可得，所以圆心坐标为，，解得22．（2021·全国高三月考）已知双曲线：，与共渐近线的双曲线过，则的方程是___________.【答案】2249x y λ-=()221049x y λλλ-=≠c =4926λλ+=2λ=±221818x y -=221188y x -=221818x y -=221188y x -=221x y m -=(2,0)F m =221x y m -=(2,0)F 0m >14m +=3m =2221(0)x y a a -=>2240x y x +-=a =2221x y a -=221c a =+c =)2240x y x +-=()2224x y -+=()2,02=a =a =1C 22148x y-=1C 2C ()2,42C 22184y x -=【解析】设双曲线的方程为：，由题得所以双曲线的方程为：即：.故答案为：23．（2021·全国高三专题练习）已知F 1,F 2是双曲线的左右焦点，若直线与双曲线C 交于P ,Q 两点，且四边形F 1PF 2Q 是矩形，则双曲线的离心率为___________【解析】由题意，矩形的对角线长相等，把代入，得 ，∴， 即4a 2b 2=(b 23a 2)c 2，∴4a 2(c 2a 2)=(c24a 2)c 2，可得e 48e 2+4=0，又e ＞1，∴.24．（2021·河北沧州·高三月考）双曲线的左右焦点分别为，，离心率为，过作直线的垂线交双曲线右支于点P ，若，则____________．2C 2248x y λ-=2224,121,48λλ-=∴=-=-2C 221,48x y -=-22184y x -=22184y x -=2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>y =1y =22221(0,0)x y a b a b -=>>x y ==2222243a b c b a=-----24e =+1e =+1()222210,0x y a b a b-=>>1F 2F e 1F b y x a =-123F PF π∠=2e =【解析】设作直线的垂线的垂足为，过点作于，，所以，所以，因为，所以，又因为，根据双曲线的定义得，在中，,所以，即四、解答题25．（2021·全国高三专题练习（文））在①，且的左支上的点与右焦点间的距离的最小值为②的焦距为6，③上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为4，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解问题．问题：已知双曲线，______，求的方程．1F by x a=-N 2F 21F M F P ⊥M ()()21,0,,0F c F c -1N b F ==12F M b =122F F c =22F M a =123F PF π∠=12222PF PF a a a ⎛=== ⎝+12F PF △22122211221cos 2PF PF P F F F PF F PF +-∠=⋅2212=22c =2e =0m >C 3C C 22:12x y C m m-=C【答案】答案见解析【解析】方案一 选择条件①．因为，所以，，，所以因为的左支上的点到右焦点的距离的最小值为，解得，故的方程为．方案二 选择条件②．因为的焦距为6，所以．若，则，，，所以，解得，则的方程为；若，则，，，所以，解得，则的方程为．综上，的方程为或．方案三 选择条件③．因为上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为4，所以，即．若，则，所以，解得，则的方程为；若，则，所以，解得，则的方程为．综上，的方程为或．26．（2021·湖南）已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为（1）求双曲线的标准方程；（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）由焦点可知，又一条渐近线方程为0m >2a m=22b m =2223c a b m =+=a =c =C a c +(13=+=3m =C 22136x y -=C 3c =0m >2a m =22b m =2223c a b m =+=3c ==3m =C 22136x y -=0m <22a m =-2b m =-2223c a b m =+=-3c =3m =-C 22163y x -=C 22136x y -=22163y x -=C 24a =2a =0m >2a m =2a ==4m =C 22148x y -=0m <22a m =-2a ==2m =-C 22142-=y x C 22148x y -=22142-=y x 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>)20x y -=C 34πl C ,A B AB l 2214y x -=30x y +-=c =20x y -=所以，由可得 ,解得，，故双曲线的标准方程为（2）设，AB 中点的坐标为则①，②，②①得：，即，又，所以，所以直线的方程为，即27．（2021·福建龙岩·高三三模）已知，曲线由曲线和曲线组成，其中曲线的右焦点为，曲线的左焦点.（1）求的值；（2）若直线过点交曲线于点，求面积的最大值.【答案】（1）（2.【解析】（1）由题意：，，解得即（2）由（1）知，曲线，点，设直线的方程为：，联立得：，，又，，设，，，2ba=222c a b =+2254a a =+21a =24b =C 2214y x -=1122(,),(,)A x y B x y 0(,4)x 221114y x -=222214y x -=-2222212144y y x x -=-0000444x x k x y ===3tan 14k π==-01x =-l 4(1)y x -=-+30x y +-=0a b >>Γ()22122:10x y C y a b +=≥22222:1(0)x y C y a b -=<1C ()12,0F 2C ()26,0F -,a b l 2F 1C ,A B 1ABF V 4a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩12(2,0),(6,0)F F - 2222364a b a b ⎧+=∴⎨-=⎩222016a b ⎧=⎨=⎩4a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩221:1(0)2016x y C y +=≥2(6,0)F -l 6(0)x my m =->22612016x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()225448640m y my +-+=22(48)464(54)0m m ∴∆=-⨯⨯+>0m >1m ∴>()()1122,,,A x y B x y 1224854m y y m ∴+=+1226454y y m =+，面积令，，，当且仅当，即所以. 28．（2021·全国（文））如图，若是双曲线的两个焦点.（1）若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；（2）若P 是双曲线左支上的点，且，试求的面积.【答案】（1）10或22；（2）.【解析】解：（1）是双曲线的两个焦点，则，点M 到它的一个焦点的距离等于16，设点到另一个焦点的距离为，则由双曲线定义可知，，解得或，即点到另一个焦点的距离为或；（2）P 是双曲线左支上的点，则，则，而，所以，即，12y y ∴=-=1ABF ∴V 212111822S F F y y =-=⨯=0t >221m t ∴=+S ∴==32t =m =1ABF V 12,F F 221916x y -=12|||3|2F PF P =⋅12F PF △1216F PF S =△12,F F 221916x y -=3,4,5a b c ===M m |16|26m a -==10m =22m =M 102221||||26PF PF a -==221221||2||||||36PF PF PF PF -⋅+=12|||3|2F PF P =⋅2212||||36232100PF PF +=+⨯=2221212||||||100PF PF F F +==所以为直角三角形，，所以.29．（2021·全国高三专题练习（理））已知双曲线，且其顶点到其渐.（1）求双曲线的标准方程；（2）直线：与双曲线交于，两点，若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题得顶点到渐近线，即离心率，则可解得，故双曲线方程为；（2）设，联立可得，则，解得，则，解得.30．（2021·新疆（文））已知椭圆且与双曲线有相同的焦点.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左焦点为，过的直线与椭圆相交于两点，若，求直线的方程.【答案】（1）；（2.12F PF △1290F PF ∠=︒121211||||321622F PF S PF PF =⋅=⨯=V ()222210,0x y a b a b -=>>l 3y x m =+A B AB =m 22143x y -=6±(),0a b y x a =0bx ay -=c e a ==222+=a b c 2,a b ==22143x y -=()()1122,,,A x y B x y 221433x y y x m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩2233244120x mx m +++=()()22244334120m m ∆=-⨯⨯+>233m >2121224412,3333m m x x x x ++=-=AB ==6m =±()2222:10x y C a b a b +=>>2212x y -=C C F F l C ,A B 1613AB =l 2214x y +=30y -+=30y ++=【解析】（1）由题意，双曲线的焦点为，所以依题意知椭圆中解得：所以椭圆的方程为（2）由（1）知椭圆的左焦点为为依题意可设为直线的方程为设将直线的方程代入椭圆方程整理得解得故直线()222c c e b a c a ===-224,1a b ==C 2214x y +=C F ()l x my =()()1122,,,A x y B x y l 2214x y +=()22410m y +--=1212214y y y y m ∴+==-+-1613==m =l 30y -+=30y ++=。

高三数学双曲线试题答案及解析1.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1【答案】A【解析】由x2＋y2－6x＋5＝0知圆心C(3,0)，半径r＝2．又－＝1的渐近线为bx±ay＝0，且与圆C相切．由直线与圆相切，得＝2，即5b2＝4a2，①因为双曲线右焦点为圆C的圆心，所以c＝3，从而9＝a2＋b2，②由①②联立，得a2＝5，b2＝4，故所求双曲线方程为－＝1，选A．2.若实数满足，则曲线与曲线的（）A．离心率相等B．虚半轴长相等C．实半轴长相等D．焦距相等【答案】D【解析】，则，，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，因此，两双曲线的焦距相等，故选D.【考点】本题考查双曲线的方程与基本几何性质，属于中等题.3.（本小题满分13分）已知双曲线的两条渐近线分别为.（1）求双曲线的离心率；（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1) ;(2)存在【解析】(1) 已知双曲线的两条渐近线分别为,所以根据即可求得结论.(2)首先分类讨论直线的位置.由直线垂直于x轴可得到一个结论.再讨论直线不垂直于x轴,由的面积恒为8,则转化为.由直线与双曲线方程联立以及韦达定理,即可得到直线有且只有一个公共点.试题解析：(1)因为双曲线E的渐近线分别为和.所以,从而双曲线E的离心率.(2)由(1)知,双曲线E的方程为.设直线与x轴相交于点C.当轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,则,又因为的面积为8,所以.此时双曲线E的方程为.若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为.以下证明:当直线不与x轴垂直时，双曲线E：也满足条件.设直线的方程为,依题意,得k>2或k<-2.则，记.由,得,同理得.由得, 即. 由得, .因为,所以,又因为.所以,即与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为.【考点】1.双曲线的性质.2.直线与双曲线的位置关系.3. 三角形的面积的表示.4.设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为A．B．C．D．3【答案】B【解析】因为是双曲线上一点，所以，又所以，，所以又因为，所以有，，即解得：（舍去），或；所以，所以故选B.【考点】1、双曲线的定义和标准方程；2、双曲线的简单几何性质.5.已知A1，A2双曲线的顶点，B为双曲线C的虚轴一个端点.若△A1BA2是等边三角形，则双曲线的离心率e等于．【答案】2【解析】由题意可知，解得，即，所以.则.【考点】双曲线的简单几何性质.6.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】抛物线的焦点坐标为，因此双曲线的右焦点的坐标也为，所以，解得，故双曲线的渐近线的方程为，即，因此双曲线的焦点到其渐近线的距离为，故选A.【考点】1.双曲线的几何性质；2.点到直线的距离7.已知双曲线="1" 的两个焦点为、，P是双曲线上的一点，且满足，（1）求的值；（2）抛物线的焦点F与该双曲线的右顶点重合，斜率为1的直线经过点F与该抛物线交于A、B两点，求弦长|AB|.【答案】(1) (2)16【解析】（1）根据题意，又，，，又|P F|•|PF|="|" F F|=， |P F|<4，得在区间（0,4）上有解，所以因此，又，所以（2）双曲线方程为=1，右顶点坐标为（2,0），即所以抛物线方程为直线方程为由（1）（2）两式联立，解得和所以弦长|AB|==168.设F是抛物线的焦点，点A是抛物线与双曲线的一条渐近线的一个公共点，且轴，则双曲线的离心率为_______.【答案】【解析】由抛物线方程，可得焦点为，不妨设点在第一象限，则有，代入双曲线渐近线方程，得，则，所以双曲线离率为.故正确答案为.【考点】1.抛物线；2.双曲线.9.已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为()A．B．C．D．【答案】A【解析】由于M(1，m)在抛物线上，∴m2＝2p，而M到抛物线的焦点的距离为5，根据抛物线的定义知点M到抛物线的准线x＝－的距离也为5，∴1＋＝5，∴p＝8，由此可以求得m＝4，＝，而双曲线的渐近线方程为y＝±，根据题意得，双曲线的左顶点为A(－，0)，∴kAM＝，∴a＝．10.设双曲线的渐近线方程为，则的值为（）A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。

专题9.4 双曲线1．（2021·江苏高考真题）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则该双曲线的离心率是（ ）ABC ．2D【答案】D 【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率【详解】双曲线的渐近线为b y x a =±，易知by x a=与直线230x y -+=平行，所以=2b e a ⇒==故选：D.2．（2021·北京高考真题）若双曲线2222:1x y C a b-=离心率为2，过点，则该双曲线的程为（）A ．2221x y -=B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得b =，再将点代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a == ，则2c a =，b =，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故b ，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B3．（2021·山东高考真题）已知1F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点，点P 在双曲线上，直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，那么双曲线的离心率是（）练基础A B C ．2D ．3【答案】A 【分析】易得1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，求得20by a=，由1PF a =可得a b =，然后由a ，b ，c 的关系求得222c a =，最后求得离心率即可.【详解】1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，易得()22221c y a b--=，解得20b y a =，因为直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，所以可得2b a a=，则22a b =，即a b =，所以22222c a b a =+=，离心率为e =故选：A .4．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D |AB ．则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2D ．3【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2b y a =±，所以22bAB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.5．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线2221x y a-=（a ＞0）a =（ ）AB ．4C ．2D ．12【答案】D 【解析】∵双曲线的离心率ce a==，c = ，=，解得12a = ，故选D.6．（全国高考真题（文））双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2，焦点到渐近线的，则C 的焦距等于（ ）．A.2B. C.4D.【答案】C 【解析】设双曲线的焦距为2c ，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C ．7.（2017·天津高考真题（文））已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】22221(0,0)x y a b a b -=>>F A OAF △O 221412x y -=221124x y -=2213x y -=2213y x -=由题意结合双曲线的渐近线方程可得：，解得：，双曲线方程为：.本题选择D选项.8．（2021·全国高考真题（理））已知双曲线22:1(0)xC y mm-=>的一条渐近线为my+=，则C的焦距为_________．【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b的关系，再结合双曲线中22,a b对应关系，联立求解m，再由关系式求得c，即可求解.【详解】my+=化简得y=，即ba，同时平方得2223ba m=，又双曲线中22,1a m b==，故231m m=，解得3,0m m==（舍去），2223142c a b c=+=+=⇒=，故焦距24c=.故答案为：4.9．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2221(0)yx bb-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y=.【解析】由已知得222431b-=，解得b=或b=，因为0b>，所以b=.因为1a=，所以双曲线的渐近线方程为y=.10.（2020·全国高考真题（文））设双曲线C：22221x ya b-= (a>0，b>0)的一条渐近线为y= 2222tan60cc a bba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩221,3a b==2213yx-=x ，则C 的离心率为_________．【解析】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为y =，所以b a =c e a ===1.（2018·全国高考真题（理））设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若则的离心率为( )ABC ．D【答案】B 【解析】由题可知在中，在中,故选B.2．（2020·云南文山·高三其他（理））已知双曲线2221(0)x y a a-=>上关于原点对称的两个点P ，Q ，右顶点为A ，线段AP 的中点为E ，直线QE 交x 轴于(1,0)M ，则双曲线的离心1F 2F 2222:1x y C a b-=O 2F C P 1PF =C222,PF b OF c==PO a∴=2Rt POF V 222cos P O PF b F OF c∠==12PF F △22221212212cos P O 2PF F F PF b F PF F F c+-∠==223bc a c=⇒=e ∴=练提升率为（ ）A B ．C D 【答案】D 【解析】由已知得M 为APQ V 的重心，∴3||3a OM ==，又1b =，∴c ==，即c e a ==.故选:D.3．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））已知平行于x 轴的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OPQ △为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．C D 【答案】A 【解析】因为OPQ △为等边三角形，所以渐近线的倾斜角为3π，所以22,3,bb b a a=∴=∴=所以2222223,4,4,2c a a c a e e -=∴=∴=∴=.故选：A4．（2021·广东广州市·高三月考）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：2213xy -=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段12F F 为直径的圆经过点P ，则点P 的横坐标为（ ）A ．±1B ．C ．D ．2±【答案】C 【分析】由题意可设00(,)P x ，根据圆的性质有120F P F P ⋅= ，利用向量垂直的坐标表示，列方程求0x 即可.【详解】由题设，渐近线为y =，可令00(,)P x x ，而1(2,0)F -，2(2,0)F ，∴100(2,)F P x x =+ ，200(2,)F P x =- ，又220120403x F P F P x ⋅=-+= ，∴0x =故选：C5.（2020·广西南宁三中其他（理））圆22:10160+-+=C x y y 上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．B ．55(,)32C ．55(,42D ．1)【答案】C 【解析】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=，圆22:10160C x y y +-+=，圆心()0,5，半径3因为圆C 上有且仅有两点到0bx ay -=的距离为1，所以圆心()0,5到0bx ay -=的距离d 的范围为24d <<即24<<，而222+=a b c 所以524a c <<，即5542e <<故选C 项.6．【多选题】（2021·湖南高三）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点为1F ，2F ，右顶点为A ，则下列结论中，正确的有（ ）A ．若a b =，则CB ．若以1F 为圆心，b 为半径作圆1F ，则圆1F 与C 的渐近线相切C ．若P 为C 上不与顶点重合的一点，则12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =D ．若M 为直线2a x c=（c =0的一点，则当M 的纵坐标为2MAF V 外接圆的面积最小【答案】ABD 【分析】由a b =，得到222a c =，利用离心率的定义，可判定A 正确；由双曲线的几何性质和点到直线的距离公式，可判定B 正确；由双曲线的定义和内心的性质，可判定C 不正确；由正弦定理得到2MAF V 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，得出2sin AMF ∠最大时，R 最小，只需2tan AMF ∠最大，设2,a M t c ⎛⎫⎪⎝⎭，得到22tan tan()AMF NMF NMA ∠=∠-∠，结合基本不等式，可判定D 正确．【详解】对于A 中，因为a b =，所以222a c =，故C 的离心率ce a==A 正确；对于B 中，因为()1,0F c -到渐近线0bx ay -=的距离为d b ==，所以B 正确；对于C 中，设内切圆与12PF F △的边1221,,FF F P FP 分别切于点1,,A B C ，设切点1A (,0)x ，当点P 在双曲线的右支上时，可得121212PF PF PC CF PB BF CF BF -=+--=-1112A F A F =-()()22c x c x x a =+--==，解得x a =，当点P 在双曲线的左支上时，可得x a =-，所以12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =±，所以C 不正确；对于D 中，由正弦定理，可知2MAF V 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，所以当2sin AMF ∠最大时，R 最小，因为2a a c<，所以2AMF ∠为锐角，故2sin AMF ∠最大，只需2tan AMF ∠最大．由对称性，不妨设2,a M t c ⎛⎫ ⎪⎝⎭（0t >），设直线2a x c =与x 轴的交点为N ，在直角2NMF △中，可得222=tan a c NF c NM t NMF -∠=，在直角NMA △中，可得2=tan a a NA c NM tMA N -∠=，又由22222222tan tan tan tan()1tan tan 1NMF NMA AMF NMF NMA NMF NMAa a c a c ct t a a c a c c t t--∠-∠∠=∠-∠==+∠∠--⨯+-⋅22()c a ab c a t c t-=≤-+当且仅当()22ab c a t c t -=，即t =2tan AMF ∠取最大值，由双曲线的对称性可知，当t =2tan AMF ∠也取得最大值，所以D 正确．故选：ABD ．7．【多选题】（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知点Q 是圆M ：()2224x y ++=上一动点，点()2,0N ，若线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，则下列结论正确的是（ ）A ．点P 的轨迹是椭圆B ．点P 的轨迹是双曲线C ．当点P 满足PM PN ⊥时，PMN V 的面积3PMN S =△D ．当点P 满足PM MN ⊥时，PMN V 的面积6PMN S =V 【答案】BCD 【分析】根据PM PN -的结果先判断出点P 的轨迹是双曲线，由此判断AB 选项；然后根据双曲线的定义以及垂直对应的勾股定理分别求解出PM PN ⋅的值，即可求解出PMN S △，据此可判断CD 选项.【详解】依题意，2MQ =，4MN =，因线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，于是得PQ PN =，当点P 在线段MQ 的延长线上时，2PM PN PM PQ MQ -=-==，当点P 在线段QM 的延长线上时，2PN PM PQ PM MQ -=-==，从而得24PM PN MN -=<=，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线，故A 错，B 对；选项C ，点P 的轨迹方程为2213y x -=，当PM PN ⊥时，2222616PM PN PM PN PM PN MN ⎧-=⎪⇒⋅=⎨+==⎪⎩，所以132PMN S PM PN ==△，故C 对；选项D ，当PM MN ⊥时，2222316PM PN PM PN PM MN ⎧-=-⎪⇒=⎨-==⎪⎩，所以162PMN S PM MN ==△，故D 对，故选：BCD.8．（2021·全国高二课时练习）双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，且其渐近线与圆()222:21C x y -+=相切，则双曲线1C 的标准方程为______．【答案】2213x y -=【分析】根据焦距，可求得c 值，根据渐近线与圆2C 相切，可得圆心到直线的距离等于半径1，根据a ，b ，c 的关系，即可求得a ，b 值，即可得答案.【详解】因为双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，所以2c =．由双曲线1C 的两条渐近线b y x a=±与圆()222:21C x y -+=相切，可得1=又224a b +=，所以1b =，a =所以双曲线1C 的标准方程为2213x y -=．故答案为：2213x y -=9．（2021·全国高二单元测试）已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，若双曲线上一点P 使2160PF F ∠=︒，则221F P F F ⋅的值为______．【答案】3【分析】在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．分别运用余弦定理可求得答案.【详解】解：由已知得2124F F c ==．在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．当12PF x =+时，由余弦定理，得()222124242x x x +=+-⨯⨯，解得32x =，所以221314322F P F F ⋅=⨯⨯= ．当12PF x =-时，由余弦定理，得()222124242x x x -=+-⨯⨯，无解．故2213F P F F ⋅=．故答案为：3.10．（2021·全国高二课时练习）如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且//AB CD ．若双曲线1C 以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线1C 的离心率为______．1【分析】连接AC ，设BAC θ∠=，将梯形的周长表示成关于θ的函数，求出当30θ=︒时，l 有最大值，即可得到答案；【详解】连接AC ，设BAC θ∠=，2AB R c R ==，，作CE AB ⊥于点E ，则||2sin BC R θ=，()2||||cos 902sin EB BC R θθ=︒-=，所以2||24sin CD R R θ=-，梯形的周长221||2||||24sin 24sin 4sin 52l AB BC CD R R R R R R θθθ⎛⎫=++=++-=--+ ⎪⎝⎭．当1sin 2θ=，即30θ=︒时，l 有最大值5R ，这时，||BC R =，||AC =，1(||||)2a AC BC =-=，1=c e a ．1+1. （2021·全国高考真题（理））已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（ ）ABCD【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos 60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即e =故选：A2．（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y=|OP |=（ ）ABCD【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P还在函数y =练真题由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==．故选：D.3.（2019·全国高考真题（理））设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ）ABC ．2D【答案】A 【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c == ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2c OA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==．e ∴=，故选A ．4.（2019·全国高考真题（理））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为（ ）A B C ．D ．【答案】A 【解析】由2,,,a b c ====．,P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在y x =上，1122PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ．5. （2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，3c ===，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===.6．（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB = ，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【答案】2.【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =g ，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 60ba==，所以该双曲线的离心率为2c e a ====．。

高三数学双曲线试题答案及解析1.双曲线=1（a>0，b>0）的右焦点是抛物线y2=8x的焦点F，两曲线的一个公共点为P，且|PF| =5，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【答案】C【解析】,根据抛物线的焦半径公式知：,,代入得,代入双曲线方程,,解得：,,，故选C.【考点】双曲线与抛物线的性质2.已知双曲线的实轴长为2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】双曲线的实轴长为2，所以,此双曲线的为等轴双曲线，所以离心率为.【考点】1.双曲线的方程；2.双曲线的性质.3.是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值等于 .【答案】9【解析】两个圆心正好是双曲线的焦点，，，再根据双曲线的定义得的最大值为.【考点】双曲线的定义，距离的最值问题.4.设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为A．B．C．2D．3【答案】B【解析】通径|AB|=得，选B5.在平面直角坐标系中，曲线的离心率为,且过点,则曲线的标准方程为．【答案】【解析】因为曲线的离心率为，所以曲线为等轴双曲线，其方程可以设为．因为过点,所以标准方程为.【考点】双曲线的性质6.双曲线的渐近线方程为【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为，本题中，故渐近线方程为.【考点】双曲线的渐近线方程.7.已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的渐近线方程为________.【答案】【解析】此题主要考查双曲线的内容，难度不大.由条件得，，从而双曲线方程为，故渐近线方程为.【考点】双曲线.8.已知双曲线的左，右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的取值范围是________．【答案】 (1，]【解析】根据双曲线定义，设，则|，故3r＝2a，即，即．根据双曲线的几何性质，，即，即，即e≤．又e＞1，故双曲线的离心率e的取值范围是(1，] ．故填(1，]9.如图，动点与两定点、构成，且，设动点的轨迹为．（1）求轨迹的方程；（2）设直线与轴相交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）设M的坐标为（x，y），显然有x>0，．当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，±3）当∠MBA≠90°时，x≠2．由∠MBA=2∠MAB，有tan∠MBA=，即化简得：，而点（2，±3）在曲线上，综上可知，轨迹C的方程为．（2）由消去y，可得．（*）由题意，方程（*）有两根且均在（1，+）内，设，所以解得m>1，且m2．设Q、R的坐标分别为，由有，所以，由m>1，且m2，有所以的取值范围是．10.设、是双曲线：（，）的两个焦点，是上一点，若，且△最小内角的大小为，则双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】不妨设，则由已知，得，又，因此中最小角为，由余弦定理得，解得，所以，渐近线方程为，选B．【考点】双曲线的定义，余弦定理，渐近线方程．11.已知双曲线，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1：2的两部分，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，弦所对圆心角为所以圆心到弦即渐近线的距离为因此有【考点】点到直线距离，双曲线的渐近线12.双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】在直角三角形中，设则，因此离心率为【考点】双曲线定义13.双曲线的一个焦点到其渐近线的距离是，则；此双曲线的离心率为．【答案】2；．【解析】由方程可得右焦点为，一条渐近线为，由，可得，，故，双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．14.双曲线左支上一点到直线的距离为，则（）A．2B．-2C．4D．-4【答案】B【解析】利用点到直线的距离公式，得，即，因为双曲线左支上一点，故应在直线的上方区域，∴，∴.∵在双曲线上，∴，∴，∴.【考点】1.直线与双曲线的位置关系；2.点到直线的距离公式.15.在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程;(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.【答案】（1）y2-x2=1 （2）x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3【解析】解:(1)设P(x,y),圆P的半径为r.由题设y2+2=r2,x2+3=r2,从而y2+2=x2+3.故P点的轨迹方程为y2-x2=1.(2)设P(x0,y).由已知得=.又P点在双曲线y2-x2=1上,从而得由得此时,圆P的半径r=.由得此时,圆P的半径r=.故圆P的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.16. 点A 是抛物线C 1:y 2=2px(p>0)与双曲线C 2:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p,则双曲线C 2的离心率等于( ) A ． B ． C ．D ．【答案】C【解析】设A(x 0,y 0), ∵A 在抛物线上, ∴x 0+=p, ∴x 0=, 由=2px 0得y 0=p 或y 0=-p.∴双曲线渐近线的斜率==2.∴e===.故选C.17. 点A(x 0,y 0)在双曲线-=1的右支上,若点A 到右焦点的距离等于2x 0,则x 0= .【答案】2 【解析】由-=1可知,a 2=4,b 2=32,∴c 2=36,c=6,右焦点F(6,0), 由题意可得解方程组可得x 0=或x 0=2. ∵点A 在双曲线右支上, ∴x 0≥2,∴x 0=2.18. 已知双曲线C:-=1的焦距为10,点P(2,1)在C 的渐近线上,则C 的方程为( )A ．-=1B ．-=1C ．-=1D ．-=1【答案】A 【解析】-=1的焦距为10, ∴c=5=.①又双曲线渐近线方程为y=±x,且P(2,1)在渐近线上, ∴=1,即a=2b.②由①②解得a=2,b=,故选A.19. 已知双曲线-=1的离心率为2,焦点与椭圆+=1的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为;渐近线方程为.【答案】(±4,0)x±y=0【解析】∵双曲线的焦点与椭圆的焦点相同,∴c=4.∵e==2,∴a=2,∴b2=12,∴b=2.∵焦点在x轴上,∴焦点坐标为(±4,0),渐近线方程为y=±x,即y=±x,化为一般式为x±y=0.20.已知△ABC外接圆半径R=,且∠ABC=120°,BC=10,边BC在x轴上且y轴垂直平分BC边,则过点A且以B,C为焦点的双曲线方程为()A．-=1B．-=1C．-=1D．-=1【答案】D【解析】由正弦定理知sin∠BAC==,∴cos∠BAC=,|AC|=2Rsin∠ABC=2××=14,sin∠ACB=sin(60°-∠BAC)=sin60°cos∠BAC-cos60°sin∠BAC=×-×=,∴|AB|=2Rsin∠ACB=2××=6,∴2a=||AC|-|AB||=14-6=8,∴a=4,又c=5,∴b2=c2-a2=25-16=9,∴所求双曲线方程为-=1.故选D.21.已知m,n为两个不相等的非零实数,则方程mx-y+n=0与nx2+my2=mn所表示的曲线可能是()【答案】C【解析】通过直线斜率等于m,在y轴上的截距为n,从直线中可判断m,n的正负,从而确定nx2+my2=mn为椭圆还是双曲线,选项C中,从直线可以看出m>0,n<0,而nx2+my2=mn可化为+ =1,即焦点在x轴上的双曲线.22.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点P(4,-).(1)求双曲线的方程.(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:·=0.(3)求△F1MF2的面积.【答案】(1) x2-y2=6 (2)见解析 (3)6【解析】(1)∵e=,∴可设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0).∵过点P(4,-),∴16-10=λ,即λ=6.∴双曲线方程为x2-y2=6.(2)方法一:由(1)可知,双曲线中a=b=,∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0).∴=,=,·==-.∵点M(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3. 故·=-1,∴MF1⊥MF2.∴·=0.方法二:∵=(-3-2,-m),=(2-3,-m),∴·=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2. ∵M(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,即m2-3=0.∴·=0.(3)△F1MF2的底|F1F2|=4,△F1MF2的边F1F2上的高h=|m|=,∴=6.23.双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】把双曲线的方程化为标准形式：．故选B．【考点】双曲线的简单的几何性质．24.双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是()A．m>B．m≥1C．m>1D．m>2【答案】C【解析】依题意，e＝，e2＝>2，得1＋m>2，所以m>1.25.设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a且△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率为________．【答案】【解析】不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，求得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.又在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，所以∠PF2F1＝90°，求得|F1F2|＝2a，故双曲线C的离心率e＝＝.26.已知点F是双曲线＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．【答案】(1,2)【解析】由题意知，△ABE为等腰三角形．若△ABE是锐角三角形，则只需要∠AEB为锐角．根据对称性，只要∠AEF<即可．直线AB的方程为x＝－c，代入双曲线方程得y2＝，取点A，则|AF|＝，|EF|＝a＋c，只要|AF|<|EF|就能使∠AEF<，即<a＋c，即b2<a2＋ac，即c2－ac－2a2<0，即e2－e－2<0，即－1<e<2.又e>1，故1<e<2.27.已知点F是双曲线＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．【答案】(1,2)【解析】由题意知，△ABE为等腰三角形．若△ABE是锐角三角形，则只需要∠AEB为锐角．根据对称性，只要∠AEF< 即可．直线AB的方程为x＝－c，代入双曲线方程得y2＝，取点A，则|AF|＝，|EF|＝a＋c，只要|AF|<|EF|就能使∠AEF< ，即<a＋c，即b2<a2＋ac，即c2－ac－2a2<0，即e2－e－2<0，即－1<e<2.又e>1，故1<e<2.28.已知0＜θ<，则双曲线C1：＝1与C2：＝1的()．A．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等【答案】D【解析】对于C1：a＝cos θ，b＝sin θ，c＝1，e＝；对于C2：a＝sin θ，b＝sin θtan θ，c＝tan θ，e＝.∴C1与C2离心率相等．29.如图，、是双曲线，的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两个分支分别交于点、，若为等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】点是双曲线上的点，所以，是等边三角形，所以，,,,,所以根据余弦定理得：,将数据代入得：,整理得：即,,所以渐近线的斜率,故选D.【考点】1.双曲线的定义；2.渐近线方程；3.余弦定理.30.以双曲线＝1的右焦点为圆心，且被其中一条渐近线截得的弦长为6的圆的标准方程为________．【答案】(x－2)2＋y2＝25【解析】双曲线＝1的右焦点为(2，0)，渐近线方程为：y＝2x，则2＋32＝r2，解得r2＝25，故所求圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝25.31.已知分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，满足，直线与圆相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【答案】C【解析】因为过0作直线的垂线，垂足为A，则,过点作直线的垂线，垂足为B.由于点O为的中点. ,所以点B是线段的中点，.又因为，.所以.所以在直角三角形中可得.所以可得.故选C.【考点】1.圆锥曲线的定义.2.等腰三角形的性质.3.直线与圆相切的性质.4.方程的思想.32.已知双曲线C1：的离心率为2，若抛物线C2：的焦点到双曲线C1的渐近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】双曲线C1：的离心率为2．所以，即，所以；双曲线的渐近线方程为：，抛物线C2：的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，所以，所以．抛物线C的方程为．2故选D．【考点】双曲线、抛物线及其几何性质.33.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则m= .【答案】【解析】首先我们应该知道方程表示双曲线的条件是，因此本题中有，从而双曲线中，，条件虚轴长是实轴长的2倍即为，因此可得．【考点】双曲线的标准方程及双曲线的性质．34.已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得，双曲线的渐近线的倾斜角应大于或等于，，选D.【考点】双曲线的渐近线与离心率.35.已知双曲线的右焦点到其渐进线的距离为,则此双曲线的离心率为_____.【答案】【解析】依题意知，.设，且均为正数.则右焦点为，其渐进线的方程为：.即.右焦点到其渐进线的距离为,即，.又由.所以.所以，即.【考点】点到直线的距离公式、双曲线的几何性质36.与圆及圆都相外切的圆的圆心在( )A．一个椭圆上B．一支双曲线上C．一条抛物线上D．一个圆上【答案】B【解析】圆的圆心是，半径；圆的圆心是，半径是.根据题意可知，所求的圆的圆心到定点与的距离之差是，由双曲线的定义可知，所求圆的圆心的轨迹是双曲线的一支，即圆心在一支双曲线上.【考点】双曲线的定义及性质37.已知是双曲线的左焦点，是双曲线的右顶点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于为等腰三角形，可知只需即可，即，化简得．【考点】双曲线的离心率.38.若、为双曲线: 的左、右焦点，点在双曲线上，∠=，则到轴的距离为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】双曲线：，=4，=1，所以a=2，b=1。

《双曲线》练习题一、选择题：1．已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则该双曲线的离心率是(A)A.17B.15C.174 D.1542．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（B）A．x2﹣y2=1 B．x2﹣y2=2 C．x2﹣y2=D．x2﹣y2=3．在平面直角坐标系中，双曲线C过点P（1，1），且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x﹣y=0，则双曲线C的标准方程为（B）A．B．C．或D．4.1（a＞b＞01有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ A ）A B C D5．已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（A）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）6．设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（A）A．2 B．C．D．7的圆相切，则双曲线的离心率为（ A ）A B C D8．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为(B)A.3B.62 C.63D.339．已知双曲线221(0,0)x ym nm n-=>>的一个焦点到一条渐近线的距离是2，一个顶点到它的一条渐近线的，则m等于( D )A ．9B ．4C ．2D ．,310．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)、F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足12120,||||2,MF MF MF MF ==则该双曲线的方程是( A )A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 29＝1 C.x 23－y 27＝1D.x 27－y 23＝1 11．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( C )A ．4 2B ．83C ．24D ．4812．过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( C ) A ．28 B ．14－82 C ．14＋8 2D ．8 213．已知双曲线﹣=1（b ＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ D ） A ．﹣=1B ．﹣=1 C ．﹣=1 D ．﹣=114．设双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 2为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于A ，B 两点，若3|F 1B |=|F 2A |，则该双曲线的离心率是（ C ） A ． B ．C ．D ．215．过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，则这样的直线共有（ C ）条。

解析几何—双曲线一、学习目标知识与技能：了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在解决实际问题时的应用。

过程与方法：掌握双曲线的定义、标准方程及简单的几何性质。

情感态度价值观：理解数形结合的思想，了解椭圆的简单应用。

二、学习重难点重点：双曲线的定义的灵活应用、利用标准方程研究几何性质，尤其是离心率求值问题。

难点：双曲线的综合问题三、考纲解读：掌握双曲线的定义、标准方程,能够根据条件利用待定系数法求双曲线方程. 四、知识链接1.共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线的双曲线系方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，若λ>0，则双曲线的焦点在 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在 轴上．2.双曲线的形状与e 的关系：∵双曲线渐近线的斜率k ＝ba ＝c 2－a 2a＝c 2a2－1＝e 2－1，∴e 越大，则渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔．故双曲线的离心率越大，它的开口就越宽阔．3. 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为 ，而双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为 应注意其区别与联系．4．平行于双曲线的渐近线的直线与双曲线有且仅有 个交点． 五、基础检测A1．已知()()3,0,3,0,6M N PM PN --=，则动点P 的轨迹是（ ） A ．一条射线B ．双曲线右支C ．双曲线D ．双曲线左支【答案】A 因为6PM PN MN -==，故动点P 的轨迹是一条射线：0,3y x =≥A2．若12,F F 分别是双曲线2211620x y-=的左、右焦点,P 为双曲线C 上一点,且19PF =,则2PF 的长为( )A ．1B ．17或1C ．17D ．12【答案】C 因为194610PF a c =<+=+=,所以P 必在双曲线左支上, :212248PF PF a -==⨯=,又19PF =,所以298PF -=,解得:217PF =,A3．若00(,)P x y 是双曲线22124x y -=左支上一点，则0x 的取值范围是_____【答案】(,-∞六、学习过程B1．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，P 是双曲线上在第一象限内的点，直线PO 、2PF 分别交双曲线C 左、右支于另一点M 、N ，122PF PF =，且260MF N ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）A B CD 【答案】B122PF PF =，122PF PF a -=，14PF a ∴=，22PF a =.连接1MF 、2MF ，根据双曲线的对称性可得12MF PF 为平行四边形，260MF N ∠=o Q ，1260F PF ∴∠=，由余弦定理可得2224164242cos60c a a a a =+-⋅⋅⋅o ，c ∴=，ce a∴== B2．已知△ABP 的顶点A 、B 分别为双曲线的左右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则sin sin sin A BP-的值等于（ ）AB C ．54D ．45【答案】D 由题意得双曲线22:1169x y C -=得4a =, 3b =,根据双曲线的定义得:28PB PA a -==‖,又210AB c ===, 从而由正弦定理,得sin sin 4sin 5PB PA A B P AB --==‖，B4．双曲线C 与双曲线2212y x -=有共同的渐近线，且过点．（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线:1l y kx =+与双曲线C 左支交于,A B 两点，求k 的取值范围；【答案】（1）2212y x -=；（2） （1）因为双曲线C 与双曲线2212y x -=有共同的渐近线，所以设双曲线C 的方程为222y x λ-=，把点代入C中，即(22λ-=，解得λ1=-，所以双曲线C 的方程为2212y x -=.（2）联立22112y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得：()222230k x kx ---=，①因为直线与双曲线左支有两个交点,A B ，设()()1122,,,A x y B x y ，且120,0x x <<，解不等式()2221221222041220202302k k k k x x k x x k ⎧-≠⎪+->⎪⎪⎨+=<⎪-⎪-⎪=>-⎩，解得：k k k ⎧<<⎪⎪≠⎨⎪>⎪⎩k <<B5．已知双曲线两个焦点分别是())12,F F，点)P在双曲线上.（1）求双曲线的标准方程;（2）过双曲线的右焦点2F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线交于,A B 两点，求1F AB ∆的周长.【答案】（1）221x y -=；（2）12 （1）()22,0F，)P2P F x∴⊥轴 221b PF a∴==且c =又222c a b =+，即220a a +-=，解得：1a = 21b ∴=∴双曲线的标准方程为：221x y -=（2）由（1）知，双曲线渐近线为y x =，倾斜角为45 直线AB 过2F 且倾斜角为60 ,A B ∴均在双曲线的右支上122BF BF ∴-=，122AF AF -= 112244AF BF AF BF AB ∴+=++=+设直线AB方程为：y x =代入双曲线方程得：2270x -+=4AB ∴== 1F AB ∴∆的周长为：114212AF BF AB AB ++=+=七、达标检测A1．设1k >，则关于,x y 的方程()22211k x y k -+=-所表示的曲线是（ ）A ．长轴在y 轴上的椭圆B ．长轴在x 轴上的椭圆C ．实轴在y 轴上的双曲线D ．实轴在x 轴上的双曲线【答案】C ∵k ＞1，∴1+k >0，k 2-1＞0，方程()22211k x y k -+=-，即222111y x k k -=-+，表示实轴在y 轴上的双曲线，A2．已知双曲线的渐近线为2y x =±，实轴长为4，则该双曲线的方程为（ ） A ．22142x y -=B ．22142x y -=或22148y x -=C ．22148y x -=D ．22142x y -=或22148y x -=【答案】D双曲线的渐近线方程为2y x =±，实轴长为4，24a ∴=，则2a =，∴当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为22214x y b -=，0b >，此时2b =b =∴双曲线方程为22142x y -=，当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线方程为22214y x b-=，0b >，此时22b =，解得b =22148x y -=． B3．已知双曲线22:1(04)4x y C m m m-=<<-的渐近线与圆22(2)3x y -+=相切，则m =（ ）A ．1B C ．2D ．3【答案】A 双曲线22:1(04)4x y C m m m-=<<-的渐近线方程为y =将y =0= 由双曲线的渐近线0±=与圆22(2)3x y -+==解得1m = C4．设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为( ) A ．B ．C ．D ．3【答案】B 因为是双曲线上一点，所以，又所以，，所以又因为，所以有，，即解得：（舍去），或；所以，所以B5．设双曲的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A B C ．12D ．12【答案】D设该双曲线方程为2222100x ya ba b-=（＞，＞），可得它的渐近线方程为by xa=±，焦点为F（c，0），点B（0，b）是虚轴的一个端点，∴直线FB的斜率为FBb bkc c-==--，∵直线FB与直线by xa=互相垂直，1b bc a∴-⨯=-,2b ac∴=,22222b c a c a ac=-∴-=，,210e e∴--=,e∴=,。

高三数学双曲线试题答案及解析1.已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为________．【答案】－2【解析】由题可知A1(－1,0)，F2(2,0)，设P(x，y)(x≥1)，则＝(－1－x，－y)，＝(2－x，－y)，·＝(－1－x)(2－x)＋y2＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5．∵x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图象的对称轴为x＝，∴当x＝1时，·取得最小值－2．2.设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】取，则，直线为，，即，∴，∴，∴，由，∴.【考点】双曲线的标准方程、两直线垂直的充要条件.3. [2014·大同模拟]设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为() A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】双曲线的渐近线y＝±x，所以a＝2，选C项．4.双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．【答案】【解析】由－y2＝1知顶点(2,0)，渐近线x±2y＝0，∴顶点到渐近线的距离d＝＝.5.若抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则实数等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】双曲线的焦点坐标是，，抛物线的焦点坐标是所以，或得故选【考点】抛物线和双曲线的焦点.6.等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设等轴双曲线方程为，抛物线的准线为，由|AB|=，则，把坐标代入双曲线方程得，所以双曲线方程为，即，所以a2=4，a=2，所以实轴长2a=4，选C.7.已知双曲线（），与抛物线的准线交于两点，为坐标原点，若的面积等于，则A．B．C．D．【答案】C【解析】抛物线的准线是，代入双曲线方程得，，所以，解得．【考点】曲线的交点，三角形的面积．8.已知圆：和圆：，动圆M同时与圆及圆相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】如图所示，设动圆M与圆及圆分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得，．因为，所以．这表明动点M到两定点、的距离的差是常数2，且小于．根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到的距离大，到的距离小)，这里a＝1，c＝3，则，设点M的坐标为(x，y)，其轨迹方程为．9.已知，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【答案】C【解析】双曲线方程可化为，即，因此双曲线的半实轴长为2，半虚轴长为1，所以半焦距为，所以离心率为.【考点】双曲线的标准方程及几何性质.10.的右焦点到直线的距离是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】双曲线的右焦点为，由点到直线的距离公式得右焦点到直线的距离为.【考点】双曲线的焦点及点到直线的距离.11.已知双曲线上一点，过双曲线中心的直线交双曲线于两点，记直线的斜率分别为，当最小时，双曲线离心率为( )A． B． C D【答案】B【解析】由题得,设点,由于点A,B为过原点的直线与双曲线的焦点,所以根据双曲线的对称性可得A,B关于原点对称,即.则,由于点A,C都在双曲线上,故有,两式相减得.则,对于函数利用导数法可以得到当时,函数取得最小值.故当取得最小值时, ,所以,故选B【考点】导数最值双曲线离心率12.过双曲线上任意一点P，作与实轴平行的直线，交两渐近线M,N两点，若，则该双曲线的离心率为____.【答案】【解析】依题意设，则.所以由.可得.即.所以离心率.【考点】1.圆锥曲线的性质.2.向量的数量积.3.方程的思想.13.已知抛物线的准线过双曲线的左焦点且与双曲线交于A、B两点，O 为坐标原点，且△AOB的面积为，则双曲线的离心率为（）A．B．4C．3D．2【答案】D【解析】解:抛物线的准线方程为:,由题意知,双曲线的左焦点坐标为,即且,因为△AOB的面积为，所以，，即：所以，，解得：，故应选D.【考点】1、抛物线的标准方程；2、双曲线的标准方程及简单几何性质.14.双曲线＝1上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则P点到左焦点的距离为________．【答案】13【解析】由a＝4，b＝3，得c＝5.设左焦点为F1，右焦点为F2，则|PF2|＝(a＋c＋c－a)＝c＝5，由双曲线的定义，得|PF1|＝2a＋|PF2|＝8＋5＝1315.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,且其渐近线的方程为,则该双曲线的标准方程为A．B．C．D．【答案】C【解析】由题可知双曲线的一个焦点坐标是（0,5），可设双曲线方程为，利用表示坐标，建立方程，解方程即可.【考点】（1）共渐近线的双曲线方程；（2）抛物线的几何性质.16.设F是双曲线的右焦点，双曲线两渐近线分另。

2021年高考数学一轮精选练习：51《双曲线》一、选择题1.已知F 为双曲线C ：x 2－my 2=3m(m ＞0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线距离为( )A. 3B.3C.3mD.3m2.设F 1、F 2分别为双曲线x 29－y 216=1的左、右焦点，过F 1引圆x 2＋y 2=9的切线F 1P 交双曲线的右支于点P ，T 为切点，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO|－|MT|等于( ) A.4 B.3 C.2 D.1 3.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y=52x ，且与椭圆x 212＋y23=1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210=1 B.x 24－y 25=1 C.x 25－y 24=1 D.x 24－y 23=1 4.已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2=16，则双曲线实轴长是( ) A.32 B.16 C.84 D.45.已知双曲线x 2－y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2=e ，则F 2P →·F 2F 1→的值为( )A.3B.2C.－3D.－26.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2=0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞ C.(1,2) D.(2，＋∞)7.焦点在x 轴上的双曲线C 1的离心率为e 1，焦点在y 轴上的双曲线C 2的离心率为e 2，已知C 1与C 2具有相同的渐近线，当e 21＋4e 22取最小值时，e 1的值为( )A.1B.62C. 3D.28.已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若|AF 1|=2a ，∠F 1AF 2=2π3，则S△AF 1F 2S△ABF2=( ) A.1 B.12 C.13 D.23二、填空题9.已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y24－m=1，它的焦点到渐近线的距离取值范围是 .10.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2=1(a>0，b>0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2=2py(p>0)交于A ，B 两点.若|AF|＋|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为 .11.已知F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 2b2=1(b ＞0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|=2且∠F 1AF 2=45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等 .12.已知F 1(－c,0)、F 2(c,0)为双曲线C ：x 2a 2－y2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过双曲线C 的左焦点的直线与双曲线C 的左支交于Q ，R 两点(Q 在第二象限内)，连接RO(O 为坐标原点)并延长交C 的右支于点P ，若|F 1P|=|F 1Q|，∠F 1PF 2=23π，则双曲线C 的离心率为 .13.已知双曲线x 2a 2－y2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|=4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为 .三、解答题14.已知双曲线C ：x 2－y 2=1及直线l ：y=kx －1.(1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值.15.已知双曲线x 2a 2－y2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F(c,0).(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率.16.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y=kx＋2与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围.答案解析1.答案为：A ；解析：由题意知，双曲线的标准方程为x 23m －y 23=1，其中a 2=3m ，b 2=3，故c=a 2＋b 2=3m ＋3，不妨取F(3m ＋3，0)，一条渐近线为y=1mx ，化成一般式即为x －my=0， 由点到直线的距离公式可得d=|3·m ＋1|1＋－m2=3，故选A.2.答案为：D ；解析：连接PF 2，OT ，则有|MO|=12|PF 2|=12(|PF 1|－2a)=12(|PF 1|－6)=12|PF 1|－3，|MT|=12·|PF 1|－|F 1T|=12|PF 1|－c 2－32=12|PF 1|－4， 于是有|MO|－|MT|=⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－4=1，故选D.3.答案为：B ；解析：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x 24－y 25=k(k ＞0)，即x 24k －y25k=1，∵双曲线与椭圆x 212＋y23=1有公共焦点，∴4k ＋5k=12－3，解得k=1，故双曲线C 的方程为x 24－y25=1，故选B.4.答案为：B ；解析：由题意知F 2(c,0)，不妨令点M 在渐近线y=bax 上，由题意可知|F 2M|=bc a 2＋b2=b ，所以|OM|=c 2－b 2=a. 由S △OMF 2=16，可得12ab=16，即ab=32，又a 2＋b 2=c 2，c a =52，所以a=8，b=4，c=45，所以双曲线C 的实轴长为16.故选B.5.答案为：B ；解析：由题意及正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2=|PF 1||PF 2|=e=2，∴|PF 1|=2|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|=2，∴|PF 1|=4，|PF 2|=2. 又|F 1F 2|=4，由余弦定理可知cos ∠PF 2F 1=|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|=4＋16－162×2×4=14，∴F 2P →·F 2F 1→=|F 2P →|·|F 2F 1→|cos ∠PF 2F 1=2×4×14=2.故选B.6.答案为：A ；解析：由双曲线方程可得其渐近线方程为y=±bax ，即bx ±ay=0，圆C 2：x 2＋y2－2ax ＋34a 2=0可化为(x －a)2＋y 2=14a 2，圆心C 2的坐标为(a,0)，半径r=12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得|ab|a 2＋b 2＜12a ，即c ＞2b ，即c 2＞4b 2，又知b 2=c 2－a 2，所以c 2＞4(c 2－a 2)，即c 2＜43a 2，所以e=c a ＜233，又知e ＞1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1，233，故选A.7.答案为：C ；解析：设双曲线的方程分别为C 1：x 2a 21－y 2b 21=1，C 2：y 2a 22－x2b 22=1，由题设b 1a 1=a 2b 2，则e 1=1＋b 21a 21，e 2=1＋b 22a 22，由此可得(e 21－1)(e 22－1)=1， 即e 21e 22=e 21＋e 22，故e 22=e 21e 21－1，所以e 21＋4e 22=e 21＋4e 21e 21－1=5＋e 21－1＋4e 21－1≥9(当且仅当e 21－1=4e 21－1时取等号)，e 21－1=2⇒e 1=3时取等号.8.答案为：B ；解析：如图所示，由双曲线定义可知|AF 2|－|AF 1|=2a.又|AF 1|=2a ，所以|AF 2|=4a ，因为∠F 1AF 2=23π，所以S △AF 1F 2=12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2=12×2a ×4a ×32=23a 2.设|BF 2|=m ，由双曲线定义可知|BF 1|－|BF 2|=2a ，所以|BF 1|=2a ＋|BF 2|， 又知|BF 1|=2a ＋|BA|，所以|BA|=|BF 2|.又知∠BAF 2=π3，所以△BAF 2为等边三角形，边长为4a ，所以S △ABF 2=34|AB|2=34×(4a)2=43a 2， 所以S △AF 1F 2S △ABF2=23a 243a 2=12，故选B.一、填空题9.答案为：(0,2)；解析：对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y2b2=1(a ＞0，b ＞0)，它的焦点(c,0)到渐近线bx －ay=0的距离为|bc|b 2＋a2=b.本题中，双曲线x 28－m ＋y 24－m =1即x 28－m －y2m －4=1，其焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧8－m ＞0，m －4＞0，解得4＜m ＜8，则焦点到渐近线的距离d=m －4∈(0,2).10.答案为：y=±22x ； 解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2).因为4|OF|=|AF|＋|BF|，所以4×p 2=y 1＋p 2＋y 2＋p2，即y 1＋y 2=p.①由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x 2a 2－y2b2＝1消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2=0，所以y 1＋y 2=2pb2a2.②由①②可得b a =22，故双曲线的渐近线方程为y=±22x.11.答案为：4；解析：由题意知a=1，如图，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|=2a=2，|BF 1|－|BF 2|=2a=2， ∴|AF 1|=2＋|AF 2|=4，|BF 1|=2＋|BF 2|. 由题意知|AB|=|AF 2|＋|BF 2|=2＋|BF 2|， ∴|BA|=|BF 1|，∴△BAF 1为等腰三角形，∵∠F 1AF 2=45°，∴∠ABF 1=90°，∴△BAF 1为等腰直角三角形.∴|BA|=|BF 1|=22|AF 1|=22×4=2 2.∴S △F 1AB=12|BA|·|BF 1|=12×22×22=4.12.答案为：576； 解析：设|PF 1|=x ，则|PF 2|=x －2a ，作Q 关于原点对称的点S ，如图，连接PS ，RS ，SF 1.因为双曲线关于原点中心对称，所以|PO|=|OR|，S 在双曲线上， 所以四边形PSRQ 是平行四边形，根据对称性知，F 2在线段PS 上，|F 2S|=|QF 1|=x ，则∠F 1PS=2π3，根据双曲线的定义，有|F 1S|=x ＋2a ，所以在△PF 1S 中，由余弦定理得(x ＋2a)2=x 2＋(2x －2a)2－2·x(2x －2a)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，解得x=73a ，所以|PF 2|=13a ，所以在△PF 1F 2中，由余弦定理得4c 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫73a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×73a ×13a ，整理可得e=c a =576.13.答案为：53；解析：由定义，知|PF 1|－|PF 2|=2a.又|PF 1|=4|PF 2|，∴|PF 1|=83a ，|PF 2|=23a.当P ，F 1，F 2三点不共线时，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22·|PF 1|·|PF 2|=649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a =178－98e 2，即e 2=179－89cos ∠F 1PF 2.∵cos ∠F 1PF 2∈(－1,1)，∴e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53.当P ，F 1，F 2三点共线时， ∵|PF 1|=4|PF 2|，∴e=c a =53，综上，e 的最大值为53.二、解答题14.解：(1)若双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2=0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋81－k 2＞0，解得－2＜k ＜2且k ≠±1. 即双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2).(2)设交点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线l 与y 轴交于点D(0，－1)，由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2=0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.当A ，B 在双曲线的一支上且|x 1|＞|x 2|时，S △OAB =S △OAD －S △OBD =12(|x 1|－|x 2|)=12|x 1－x 2|；当A ，B 在双曲线的两支上且x 1＞x 2时，S △OAB =S △ODA ＋S △OBD =12(|x 1|＋|x 2|)=12|x 1－x 2|.所以S △OAB =12|x 1－x 2|=2，所以(x 1－x 2)2=(x 1＋x 2)2－4x 1x 2=(22)2， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2=8，解得k=0或k=±62. 又因为－2＜k ＜2，且k ≠±1，所以当k=0或k=±62时，△AOB 的面积为 2.15.解：(1)∵双曲线的渐近线方程为y=±bax ，∴a=b ，∴c 2=a 2＋b 2=2a 2=4，∴a 2=b 2=2，∴双曲线方程为x 22－y22=1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)=－1，∴x 0=3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2=c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20=c 2，即y 0=12c ，∴x 0=32c ，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，12c ， 代入双曲线方程得34c 2a 2－14c 2b 2=1，即34b 2c 2－14a 2c 2=a 2b 2，②又∵a 2＋b 2=c 2，∴将b 2=c 2－a 2代入②式，整理得34c 4－2a 2c 2＋a 4=0，∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4=0，∴(3e 2－2)(e 2－2)=0， ∵e ＞1，∴e=2，∴双曲线的离心率为 2.16.解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y2b2=1(a ＞0，b ＞0).由已知得a=3，c=2，再由a 2＋b 2=c 2，得b 2=1，所以双曲线C 的方程为x 23－y 2=1.(2)设A(x A ，y A )，B(x B ，y B )，将y=kx ＋2代入x 23－y 2=1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9=0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝361－k 2＞0，x A＋x B＝62k1－3k 2＜0，x A x B＝－91－3k 2＞0，解得33＜k ＜1. 所以当l 与双曲线左支有两个交点时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1. (3)由(2)得x A ＋x B =62k1－3k2，所以y A ＋y B =(kx A ＋2)＋(kx B ＋2)=k(x A ＋x B )＋22=221－3k 2.所以AB 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32k1－3k 2，21－3k 2.设直线l 0的方程为y=－1k x ＋m ，将P 点坐标代入直线l 0的方程，得m=421－3k 2.因为33＜k ＜1，所以－2＜1－3k 2＜0.所以m ＜－2 2. 所以m 的取值范围为(－∞，－22).。

双曲线试题及答案1. 已知双曲线的方程为 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1\)，其中 \(a = 3\)，\(b = 4\)，求双曲线的焦点坐标。

答案：双曲线的焦点坐标为 \((\pm\sqrt{a^2 + b^2}, 0)\)，代入 \(a = 3\) 和 \(b = 4\)，得到焦点坐标为 \((\pm 5, 0)\)。

2. 双曲线 \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\) 的渐近线方程是什么？答案：双曲线的渐近线方程为 \(y = \pm\frac{b}{a}x\)，代入\(a = 3\) 和 \(b = 4\)，得到渐近线方程为 \(y =\pm\frac{4}{3}x\)。

3. 如果一个双曲线的中心在原点，且通过点 \((2, 3)\)，并且其一条渐近线方程为 \(y = 2x\)，求双曲线的方程。

答案：设双曲线方程为 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}= 1\)，由于渐近线方程为 \(y = 2x\)，可知 \(\frac{b}{a} = 2\)。

将点 \((2, 3)\) 代入方程得 \(\frac{4}{a^2} - \frac{9}{b^2} =1\)。

联立 \(b = 2a\) 解得 \(a = 1\)，\(b = 2\)，因此双曲线方程为 \(x^2 - \frac{y^2}{4} = 1\)。

4. 已知双曲线 \(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\) 与直线\(y = mx + 1\) 相交，求直线的斜率 \(m\) 的取值范围。

答案：将直线方程代入双曲线方程，得到 \(\frac{x^2}{16} -\frac{(mx + 1)^2}{9} = 1\)。

整理得 \((9 - 16m^2)x^2 - 32mx -70 = 0\)。

高三数学双曲线试题答案及解析1.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为( )A．B．2C．4D．8【答案】C【解析】设C：－＝1．∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4得A(－4，)，B(－4，－)，∴|AB|＝2＝4，∴a＝2，∴2a＝4．∴C的实轴长为4．2.已知双曲线左、右焦点分别为，若双曲线右支上存在点P 使得，则该双曲线离心率的取值范围为（）A．(0，)B．(，1)C．D．(，)【答案】【解析】由已知及正弦定理知，即.设点的横坐标为，则，所以，，，即，解得，选.【考点】双曲线的几何性质，正弦定理，双曲线的第二定义.3.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，P是双曲线右支上的一点，轴交于点A，的内切圆在上的切点为Q，若，则双曲线的离心率是A．3B．2C．D．【答案】B【解析】设，由图形的对称性及圆的切线的性质得，因为,所以,所以，所以又，所以，，所以故选B.【考点】1、双曲线的标准方程；2、双曲线的简单几何性质；3、圆的切线的性质.4. (2014·咸宁模拟)双曲线-=1的渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,则双曲线离心率为() A．B．C．2D．3【答案】C【解析】因为双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为bx±ay=0,依题意,直线bx±ay=0与圆x2+(y-2)2=1相切,设圆心(0,2)到直线bx±ay=0的距离为d,则d===1,所以双曲线离心率e==2.5.双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．【答案】【解析】由－y2＝1知顶点(2,0)，渐近线x±2y＝0，∴顶点到渐近线的距离d＝＝.6.已知双曲线：的焦距为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为( )A．2B．C．D．【答案】D【解析】双曲线焦点到渐近线的距离为，即，又，代入得，解得，即，故选．【考点】双曲线的标准方程与几何性质.7.已知，则双曲线：与：的（）A．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等【答案】D【解析】双曲线的离心率是，双曲线的离心率是，故选D8.已知双曲线的两个焦点分别为，以线段直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为.则此双曲线的方程为A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，，∴①，又双曲线的渐近线为，因此②，则①②解得，∴双曲线方程为，选A．【考点】双曲线的标准方程与性质．9.在平面直角坐标系中，定点，两动点在双曲线的右支上，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由图可知，当直线MA、MB与双曲线相切时，∠AMB最大，此时最小，设过点M的双曲线切线方程为：代入整理得，，则△==0，解得=，即=，∴==，故选D.【考点】1.直线与双曲线的位置关系；2.二倍角公式；3.数形结合思想；4.转化与化归思想10.双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】在直角三角形中，设则，因此离心率为【考点】双曲线定义11.已知双曲线C1：＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________．【答案】x2＝16y【解析】∵双曲线C1：＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴＝2，∴b＝a，∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0，∴抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.12.已知双曲线C：＝1的焦距为10，P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为________．【答案】＝1【解析】∵＝1的焦距为10，∴c＝5＝.①又双曲线渐近线方程为y＝±x，且P(2，1)在渐近线上，∴＝1，即a＝2b.②由①②解得a＝2，b＝.＝113.根据下列条件，求双曲线方程．(1)与双曲线＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)；(2)与双曲线＝1有公共焦点，且过点(3，2)．【答案】（1）＝1.（2）＝1【解析】解法1：(1)设双曲线的方程为＝1，由题意，得解得a2＝，b2＝4.所以双曲线的方程为＝1.(2)设双曲线方程为＝1.由题意易求得c＝2.又双曲线过点(3，2)，∴＝1.又∵a2＋b2＝(2)2，∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线的方程为＝1.解法2：(1)设所求双曲线方程为＝λ(λ≠0)，将点(－3，2)代入得λ＝，所以双曲线方程为＝.(2)设双曲线方程为＝1，将点(3，2)代入得k＝4，所以双曲线方程为＝1.14.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为()A．2B．2C．4D．4【答案】B【解析】双曲线左顶点为A(-a,0),1渐近线为y=±x,抛物线y2=2px(p>0)焦点为F（,0）,准线为直线x=-.由题意知-=-2,∴p=4,由题意知2+a=4,∴a=2.∴双曲线渐近线y=±x中与准线x=-交于(-2,-1)的渐近线为y=x,∴-1=×(-2),∴b=1.∴c2=a2+b2=5,∴c=,∴2c=2.故选B.15.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同,则双曲线的方程为 .【答案】 -=1【解析】由双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x得=,∴b= a.∵抛物线y2=16x的焦点为F(4,0),∴c=4.又∵c2=a2+b2,∴16=a2+(a)2,∴a2=4,b2=12.∴所求双曲线的方程为-=1.16.已知抛物线y2=8x的准线过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为.【答案】x2-=1【解析】由y2=8x准线为x=-2.则双曲线中c=2,==2,a=1,b=.所以双曲线方程为x2-=1.17.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A、B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为()(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1【答案】B==1,【解析】∵kAB∴直线AB的方程为y=x-3.由于双曲线的焦点为F(3,0),∴c=3,c2=9.设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0), 则-=1.整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2==2×(-12),∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.又a2+b2=9,∴a2=4,b2=5.∴双曲线E的方程为-=1.故选B.18.若双曲线-=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被抛物线x=y2的焦点分成3∶2的两段,则此双曲线的离心率为()A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得F1(-c,0),F2(c,0),抛物线x=y2,即y2=2bx的焦点F(,0),依题意=.即=,得:5b=2c⇒25b2=4c2,又b2=c2-a2,∴25(c2-a2)=4c2,解得c= a.故双曲线的离心率为=.19.若双曲线-=1的左焦点与抛物线y2=-8x的焦点重合,则m的值为()A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】【思路点拨】实数m(m-2)>0还不足以确定m的值,还要确定抛物线的焦点(双曲线的左焦点).解:抛物线y2=-8x的焦点(-2,0)也是双曲线-=1的左焦点,则c=2,a2=m,b2=m-2,m+m-2=4即m=3.20.如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M, N是双曲线的两顶点,若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A．3B．2C．D．【答案】B【解析】设双曲线的方程为-=1(a1>0,b1>0),椭圆的方程为+=1(a2>0,b2>0),由于M,O,N将椭圆长轴四等分,所以a2=2a1,又e1=,e2=,所以==2.21.P(x0,y)(x≠±a)是双曲线E:-=1(a>0,b>0)上一点,M,N分别是双曲线E的左,右顶点,直线PM,PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率.(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足=λ+,求λ的值.【答案】(1)(2) λ=0或λ=-4【解析】【思路点拨】(1)代入P点坐标,利用斜率之积为列方程求解.(2)联立方程,设出A,B,的坐标,代入=λ+求解.解：(1)由点P(x0,y)(x≠±a)在双曲线-=1上,有-=1.由题意又有·=,可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,则e==.(2)联立方程得得4x2-10cx+35b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则设=(x3,y3),=λ+,即又C为双曲线E上一点,即-5=5b2,有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2,化简得:λ2(-5)+(-5)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2,又A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线E上,所以-5=5b2,-5=5b2.又x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2,得:λ2+4λ=0,解出λ=0或λ=-4.22.双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】把双曲线的方程化为标准形式：．故选B．【考点】双曲线的简单的几何性质．23.已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为________．【答案】-2【解析】由题可知A1(－1,0)，F2(2,0)，设P(x，y)(x≥1)，则＝(－1－x，－y)，＝(2－x，－y)，＝(－1－x)(2－x)＋y2＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5，∵x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图象的对称轴为x＝，∴当x＝1时，取最小值－2.24.点到双曲线的渐近线的距离为______________.【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为：，点到渐近线的距离.【考点】双曲线的标准方程.25.已知双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，则它的离心率为________．【答案】2【解析】由题意，得e＝＝＝＝226.若双曲线＝1(a>0，b>0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是________．【答案】(1,2]【解析】因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1<e≤2.27.P为双曲线＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则PM－PN的最大值为________．【答案】9【解析】设双曲线的两个焦点分别是F1(－5,0)与F2(5,0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时PM－PN＝(PF1＋2)－(PF2－1)＝6＋3＝928.双曲线＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1,2)在“上”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是________．【答案】(1，)【解析】双曲线＝1的一条渐近线为y＝x，点(1,2)在该直线的上方，由线性规划知识，知：2＞，所以e2＝1＋2＜5，故e∈(1，)．29.已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的右顶点、右焦点分别为A、F，它的左准线与x轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为________．【答案】＋1【解析】由题意知：B，A(a,0)，F(c,0)，则2a＝c－，即e2－2e－1＝0，解得e＝＋1.30.若双曲线＝1(a>0，b>0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是()．A．(1,2)B．(1,2]C．(1，)D．(1，]【答案】B【解析】因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1<e≤2.31.已知双曲线＝1(a>0，b>0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为()．A．5x2－y2＝1B．＝1C．＝1D．5x2－y2＝1【答案】D【解析】由于抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，即c＝1，又e＝＝，可得a＝，结合条件有a2＋b2＝c2＝1，可得b2＝，又焦点在x轴上，则所求的双曲线的方程为5x2－y2＝132.抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝()．A．B．C．D．【答案】D【解析】抛物线C1：y＝x2的标准方程为x2＝2py，其焦点为F；双曲线C2：－y2＝1的右焦点F′为(2,0)，其渐近线方程为y＝±x.由y′＝x，所以x＝，得x＝p，所以点M的坐标为.由点F，F′，M三点共线可求p＝.33.双曲线＝1(m>0)的离心率为，则m等于________．【答案】9【解析】由题意得c＝，所以＝，解得m＝9.34.分别是双曲线的左右焦点，是虚轴的端点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若，则双曲线的离心率为_________.【答案】【解析】直线的方程为，由得：；由得：，的中点为.据题意得，所以.【考点】直线与圆锥曲线.35.已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为()．A．＝1B．＝1C．＝1D．＝1【答案】D【解析】双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦点在x轴上．设双曲线方程为x2－＝λ(λ≠0)，即＝1，则a2＝λ，b2＝3λ，∵焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，∴c＝4，∴c2＝a2＋b2＝4λ＝16，解得λ＝4，∴双曲线方程为＝136.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为．【答案】【解析】根据双曲线的渐近线的方程知即，所以此双曲线的离心率.【考点】双曲线的标准方程、渐近线方程和离心率.37.已知双曲线，过其右焦点作圆的两条切线，切点记作，双曲线的右顶点为，，则双曲线的离心率为 .【答案】【解析】∵，∴，而∵，∴，∴，∴，∴，在中，，，，即.【考点】1.平面几何中角度的换算；2.双曲线的离心率.38.点P是双曲线左支上的一点，其右焦点为，若为线段的中点, 且到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率的取值范围是 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】设左焦点为，则，设，则有，即，由定义有：，∴，由得.【考点】1.双曲线的定义；2.焦点三角形求离心率的方法.39.设双曲线的左、右焦点分别为是双曲线渐近线上的一点，，原点到直线的距离为，则渐近线的斜率为（）A．或B．或C．1或D．或【答案】D【解析】如图所示，，又即，即，所以渐近线的斜率为或.【考点】双曲线的定义、渐近线等基础知识.40.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为．【答案】6【解析】双曲线的右焦点是抛物线的焦点，所以，，.【考点】双曲线的焦点.41.已知实数,,构成一个等比数列,则圆锥曲线的离心率为( ) A．B．C．D．【答案】B【解析】,,构成一个等比数列，双曲线为，【考点】等比数列及双曲线性质点评：若成等比数列，则，在双曲线中有，离心率42.设双曲线的焦点为，则该双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为双曲线双曲线的焦点为，所以，又，所以，由得所求选A.【考点】双曲线的性质点评：主要是考查了双曲线的渐近线方程的求解，属于基础题。

9.4 双曲线（提升）一、单选题1．（2021·天津市第七中学高三月考）已知Q 为双曲线(，)的右顶点，M 为双曲线右支上一点，若点M 关于双曲线中心O 的对称点为N ，设直线QM ，QN 的倾斜角分别为，且，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】B【解析】依题意，设，则，又，即直线QM ，QN 的斜率乘积为，而Q (a ，0)，于是得，又M 为双曲线右支上一点，即，，因此，，化简得，则，故选：B2．（2021·全国高三专题练习）已知双曲线（，）的离心率为2，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，点，，点P 为线段MN 上的动点，当取得最小值和最大值时，△PF 1F 2的面积分别为S 1，S 2，则（ ）A ．B ．4C ．D ．8【答案】B【解析】由于双曲线的离心率为，故所以直线的方程为，设，，焦点坐标为，22221x y a b -=0a >0b>αβ1tan tan 4αβ=()00,M x y ()00,N x y --1tan tan 4αβ=142000220000014y y y x a x a x a ---⋅==----2200221x y a b -=()2222002b y x a a=-()2220222014b x a a x a -=-2214b a =e ===22221x y a b-=0a >0b >(,0)M a -(0,)N b 12PF PF ⋅21S S =2==c a b a =MN )y x a =+()P t +[],0t a ∈-()()12,0,,0F c F c -则，则，由于，故当时取得最小值，此时；当时取得最大值，此时.则.故选：B.3．（2021·全国高三专题练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线交双曲线的右支于，两点，且．过双曲线的右顶点作平行于双曲线的一条渐近线的直线，若直线交线段于点，且，则双曲线的离心率（ ）A ．2BC ．D ．1(,)c F P t =--2(,)c t PF =-222123()PF PF t c t a =-++⋅ 22243()t a t a =-++2246t at a =+-22313=444t a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭[],0t a ∈-34t a =-34P y a ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭0t =P y =124S S ==1F 2F 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>2F C P Q ()120+⋅=F P F Q PQ C C l l PQ M 3Q M P M =C e =5332【答案】C【解析】因为，取为中点，是以为顶点的等腰三角形所以，因为，所以是线段的中点．又直线过双曲线的右顶点且平行于双曲线的一条渐近线，由于，代入双曲线方程可得，，，右顶点坐标为化简可得，所以，所以，结合解得．故选：C4．（2021·四川省内江市第六中学高三月考（文））双曲线：（）的左、右焦点分别为、，过的直线与圆相切于点，与的右支交于点，若，则的离心率为（ ）A ．B ．CD【答案】C11()0F P F Q PQ +⋅=T PQ 1120F PQ FT P T Q∴⋅=∴⊥1PF Q ∴V 1F 12F F PQ ⊥22||||PF QF =||3||QM PM =M 2PF l C C P x c =2P b y a =2(,)b Pc a ∴2(,)2b M c a ∴(,0)a 22b b a c a a-∴=-2()b c a =-2224()c a c a -=-23850e e -+=1e >53e =C 22221x y a b -=0a b >>1F 2F 1F 222x y a +=A C B 2AB BF =C 35【解析】如图，由题得.因为,所以.故选：C5．（2021·全国高三模拟预测（理））已知双曲线的右焦点为，且双曲线的一条渐过双曲线左焦点且垂直于轴的直线交双曲线左支于，两点，双曲线上任意一点满足，则下列说法正确的是（ ）A ．有最小值B ．有最小值C ．有最大值D ．有最大值【答案】D【解析】依题意，，解得，显然直线AB ：，则有点，又，因此有点，因点P 在双曲线上，于是得，即，而，当且仅当时取“=”，从而得，即，所以当或时，取最大值.故选：D6．（2021·抚顺市第二中学高三模拟预测）在抚顺二中运动会开幕式中，某班级的“蝴蝶振翅”节目获得一致称赞，其形状近似于双曲线，在“振翅”过程中，双曲线的渐近线与对称轴的夹角为某一范围内变动，，则该双曲线的离心率取值范围是（ ）12121||||2,||||||2,||=2BF BF a AF AB BF a AF a -=∴+-=∴1OA AF ⊥1||,OF c e ===∴==22221(0,0)x y a b a b-=>>(2,0)x A B P OP mOA nOB =+mn 18mn 116mn 18mn 116b a =224a b +=1,a b ==2213y x -=2x =-(2,3),(2,3)A B ---OP mOA nOB =+(22,33)P m n m n ---2213y x -=224()3()1m n m n +--=22141m n mn ++=222m n mn +≥m n =2141mn mn +≤116mn ≤41m n ==14m n ==-mn 116αππ63α≤≤A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】双曲线的渐近线为，由题可知双曲线的渐进线方程倾斜角的范围是，，即故选：C7．（2021·五华·云南师大附中（理））双曲线，已知O 是坐标原点，A 是双曲线C 的斜率为正的渐近线与直线的交点，F 是双曲线C 的右焦点，D 是线段OF 的中点，若B 是圆上的一点，则的面积的最小值为（ ）ABC ．2D【答案】A【解析】根据题意，双曲线斜率为正的渐近线方程为，因此点A 的坐标是，点D 是线段OF 的中点，则直线AD 的方程为，点B 是圆上的一点，点B 到直线AD 距离的最小值也就是圆心O 到直线AD 的距离d 减去半径，即，则故选：A8．（2021·全州县第二中学高三月考）已知双曲线的左顶点与右焦点分别为，.若点为的右支上（不包括的右顶点）的动点，且满足恒成立，则的离心率为（）4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦4⎤⎥⎦2⎤⎥⎦423⎡⎤⎢⎥⎣⎦b yx a=±ππ63α≤≤b a ≤≤222133c a a -∴≤≤2423e ≤≤2e ≤≤22:148x y C -=x =221x y +=ABD △y =F ||D AD ∴=y x =-221x y +=min d 1d -min 1d d =-1==min 1122ABD S AD d =⋅⋅==V ()2222:10,0x y a b a b Γ-=>>A 2F P ΓΓ223πPAF APF ∠+∠=ΓA ．2BC ．D【答案】A【解析】为右支上动点，且满足恒成立，不妨取轴，则，，解得：，，又为双曲线半通径，，且，，即，，，解得：.当时，，设，又故，故得证故选：32P 223PAF APF π∠+∠=∴2PF x ⊥222PAF APF π∠=-∠22332APF APF ππ∴-∠+∠=24APF π∠=22||||AF PF ∴=2PF 22||b PF a ∴=2||AF a c =+2b ac a∴+=2222a ac b c a +==-2220c ac a ∴--=220e e ∴--=2e =2e =22,cc a b a=∴==00(,)P x y 223πPAF APF ∠+∠=222πPF A PAF APF ∠+∠+∠=22222222cos cos 2cos 2cos 1A PF PAF PF PAF PF PAF A A ∴∠=∠⇔∠=∠⇔∠=∠-22222222202000002||()()()(2)b x cPF x c y x c b x a x a a a=-+=-+-=-=-2222222220000002||()()422b x PA x a y x a b x ax a a=++=++-=+-2||3AF a c a=+=22202222202||||||cos 2||||2a x PF AF PA PF PF AF x aA -+-∠==-222220222202||||||2cos 12[]12||||2a x PA AF PF PAF PA AF x a-+-∠-=⨯-=-A9．（2021·浙江高三专题练习）已知椭圆C 1：=1（a ＞b ＞0）与双曲线C 2：x 2﹣=1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A，B 两点.若C 1恰好将线段AB 三等分，则（ ）A ．a 2=B ．a 2=3C ．b 2=D ．b 2=2【答案】C【解析】由题意, C 2的焦点为，一条渐近线方程为y =2x ，根据对称性易知AB 为圆的直径且AB =2a ，∴C 1的半焦距,于是得 ①设C 1与y =2x 在第一象限的交点的坐标为(m ,2m ),代入C 1的方程得：②，由对称性知直线y =2x 被C 1截得的弦长，由题得：,所以 ③由②③得 ④由①④得故选：C.10．（2021·贵州高三月考（文））已知双曲线C ：（a >0，b >0）的左右焦点分别为F1，F 2，直线x -c =0与双曲线C 的一个交点为点P ，与双曲线C的一条渐近线交于点Q ，O 为坐标原点，若，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D 【答案】B【解析】因为，2222x y a b +24y 13212(c =225a b -=222224a b m b a =+CD =23a=m =2211a b =225.5,0.5a b ==22221x y a b-=212OP OF OQ 33=+21233OF OP OQ =+所以，所以，所以，得，故.故选：B.二、多选题11．（2021·湖南湘潭·高三一模）已知双曲线（，）的左，右焦点为，，右顶点为，则下列结论中，正确的有（ ）A ．若，则B ．若以为圆心，为半径作圆，则圆与的渐近线相切C ．若为上不与顶点重合的一点，则的内切圆圆心的横坐标D ．若为直线（0的一点，则当的纵坐标为外接圆的面积最小【答案】ABD【解析】对于A 中，因为，所以，故的离心率A 正确；对于B 中，因为到渐近线的距离为，所以B 正确；对于C 中，设内切圆与的边分别切于点，设切点，当点在双曲线的右支上时，可得，解得，当点在双曲线的左支上时，可得，所以的内切圆圆心的横坐标，所以C 不正确；对于D 中，由正弦定理，可知外接圆的半径为，22F P PQ =2223F P Q F = 223b bc a a =⨯23c b =c e a ==2222:1x y C a b -=0a >0b >1F 2F A a b =C 1F b 1F 1F C P C 12PF F △x a=M 2a x c =c M 2MAF V a b =222a c =C ce a==()1,0F c -0bx ay -=d b ==12PF F △1221,,FF F P FP 1,,A B C 1A (,0)x P 121212PF PF PC CF PB BF CF BF -=+--=-1112A F A F =-()()22c x c x x a =+--==x a =P x a =-12PF F △x a =±2MAF V 222sin AF R AMF =∠所以当最大时，最小，因为，所以为锐角，故最大，只需最大．由对称性，不妨设（），设直线与轴的交点为，在直角中，可得，在直角中，可得，又由，当且仅当，即取最大值，由双曲线的对称性可知，当时，也取得最大值，所以D 正确．故选：ABD ．12．（2021·江苏海安高级中学）已知中心在原点，坐标轴为对称轴的双曲线过点，顶点分别为，，焦点分别为，，一条渐近线方程为，则下列说法正确的是（ ）A ．该双曲线的方程为或B ．若点为双曲线上任意一点（顶点除外），则C ．若直线过点且与双曲线只有一个公共点，则这样的直线只有2条D ．若点为双曲线右支上的任意一点（顶点除外），则双曲线在点处的切线平分【答案】BD2sin AMF ∠R 2a a c<2AMF ∠2sin AMF ∠2tan AMF ∠2,a M t c ⎛⎫ ⎪⎝⎭0t >2a x c =x N 2NMF △222=tan a c NF c NM t NMF -∠=NMA △2=tan a a NA c NM tMA N -∠=22222222tan tan tan tan()1tan tan 1NMF NMA AMF NMF NMA NMF NMAa a c a c ct t a a c a c c t t--∠-∠∠=∠-∠==+∠∠--⨯+-⋅22()c a ab c a t c t-=-+()22ab c a t c t -=t =2tan AMF ∠t =2tan AMF ∠C (A B 1F 2F 340x y -=C 221169x y -=221169y x -=P C 916PA PB k k =l (4,1)P C l P C C P PT 12F PF ∠【解析】依题意，设双曲线，因双曲线过点，则，于是有双曲线的方程为，其渐近线方程为，A 不正确；由双曲线对称性知，不妨设，，令，，B 正确；显然直线与双曲线相切，过点平行于直线的直线及过点平行于直线的直线与双曲线都各有一个公共点，即这样的直线至少有3条，C 不正确；令双曲线上点，显然切线PT 的斜率存在，设其方程为，由消去y 得：，，整理得，而，即，，则有，解得，切线PT 与x 轴交于点，则，于是得，即，不妨设点，，，则，，，又， ，则是的内角平分线，即切线平分，D 正确. 故选：BD13．（2021·全国）已知双曲线：（，）的一条渐近线的方程为，且过点，椭圆：（）的焦距与双曲线的焦距相同，且椭圆的左右焦点分别为，过的直线交于（），两点，则下列叙述正确的是（ ）A ．双曲线的离心率为222:(3)(4)C x y m -=C (144m =C 221169x y -=340±=x y (4,0)A -(4,0)B 000(,)(4)P x y x ≠±2020002200009(1)91644161616PA PBx y y y k k x x x x -=⋅===+---4x =C (4,1)P 340x y -=3480x y --=(4,1)P 340x y +=34160x y +-=C C (,)(4)P t s t >()y kx kt s =--22()916144y kx kt s x y =--⎧⎨-=⎩222(916)32()16[()9]0-k x k kt s x kt s -+--+=222222232()64(169)[()9]64[1449()81]0k kt s k kt s k kt s ∆=----+=----=222(16)2(9)0t k tsk s --++=221169t s -=2216169s t -=229916t s +=243()034sk t -=916t k s=1(,0)Q x 1kx kt s =-2221161616(9169s s t s x t t k t t t=-=-=-=16(,0)Q t 1(5,0)F -2(5,0)F 4t >1165F Q t =+2165F Q t=-12516516F Q t F Q t +=-12PF PF ==516516t t +==-1122PF F QPF F Q=PQ 12PF F △PT 12F PF ∠1C 2222111x y a b -=10a >10b >y =31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭2C 22221x ya b+=0a b >>1C 2C 12,F F 1F 2C ()11,A y 10y >BB ．双曲线的实轴长为C ．点的横坐标的取值范围为D ．点的横坐标的取值范围为【答案】AD【解析】双曲线：（，）的一条渐近线的方程为，则设双曲线的方程为（），由双曲线且过点，得，得，∴双曲线的方程为，即，∴双曲线的离心率，实轴的长为1，故选项A 正确，选项B 错误；易知椭圆的两焦点为，，将（）代入（）得，∴，∴直线的方程为，联立整理得，，根据根与系数的关系得，则．由得，则，∴，故选项C 错误，选项D 正确，故选：AD ．14．（2021·江苏省如皋中学高三开学考试）下列说法正确的是（ ）A ．方程能表示平面内的任意直线；12B ()2,1--B ()3,1--1C 2222111x y a b -=10a >10b >y =223y x λ-=0λ≠31,2⎛⎫⎪⎝⎭314λ-=14λ=1C 22443x y -1=2211344x y -=1212e ==2C ()11,0F -()21,0F ()11,A y 10y >22221x y a b +=0a b >>212211y a b+=21b y a =AB ()212b y x a=+()222221,21,b y x a x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()()222321a x a x ++--2310a -=()()()22222243310a a a +∆=-++>221313B a a x +-=+⋅B x =222318333a a a +-=-+++21a >234a +>28023a <<+31B x -<<-()()()()211211x x y y y y x x --=--B ．直线（）的倾斜角为；C ．“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件；D ．“直线与垂直”是“直线和的斜率之积为”的必要不充分条件【答案】AD【解析】对于选项A ，若直线不平行于坐标轴，则原方程可化为，为直线的两点式方程；当直线平行于x 轴，则原方程可化为；当直线平行于y 轴，则原方程可化为；综上所述，可表示平面内任意直线，故选项A 正确；对于选项B ，直线l 的斜率，当时，其倾斜角为，当时，其倾斜角不等于，故选项B 不正确；对于选项C ，方程表示双曲线，则，解得或，则是方程表示双曲线的充分不必要条件，故选项C 错误；对于选项D ，当一条直线斜率不存在，一条直线斜率为0，可以满足两直线垂直，则选项D 正确；故选：AD .15．（2021·江苏如皋·高三模拟预测）如果双曲线的离心率.有以下几个命题，其中正确命题的有（ ）A ．双曲线是黄金双曲线B ．双曲线是黄金双曲线C ．在双曲线中，为左焦点，为右顶点，，若，则该双曲线是黄金双曲线D ．在双曲线中，过焦点作实轴的垂线交双曲线于，两点，为坐标原点，若，则该双曲线是黄金双曲线【答案】BC【解析】对于A 选项，双曲线中，，，所以不是黄金双曲线；对于B 选项，双曲线中，，:cos sin 1l x y αα+=0απ<<2πα+9k >22194x y k k -=--1l 2l 1l 2l 1-112121y y x xy y x x --=--1y y =1x x =cos 1sin tan k ααα=-=-02πα<<2πα+2παπ<<2πα+22194x y k k -=--0(4)()9k k -<-9k >4k <9k >22194x y k k -=--e =212x =21y =22221x y a b -=1F 2A ()10,B b 11290F B A ∠=︒22221x y a b-=2F M N O 120MON ∠=︒22a =21b =2e =21a =2b =2e =e =对于C 选项，双曲线中，由得是直角三角形，所以，则曲线；对于D 选项，双曲线中，可得点，因为点在双曲线上，代入双曲线方程有，所以.故选：BC.16．（2021·山东菏泽·高三二模）已知，为双曲线C ：x 2–=1的左、右焦点，在双曲线右支上取一点P ，使得PF 1⊥PF 2，直线PF 2与y 轴交于点Q ，连接QF 1，△PQF 1，的内切圆圆心为I ，则下列结论正确的有（ ）A ．F 1，F 2，P ，I 四点共圆B ．△PQF 1的内切圆半径为1C ．I 为线段OQ 的三等分点D ．PF 1与其中一条渐近线垂直【答案】ABD【解析】解析：由勾股定理及双曲线的定义可得：，对于A ：易知在轴上，由对称性可得，则，可知，，，四点共于以为直径的圆上；A 正确对于B ：，正确对于C ：，故为中点，C 错误．D 显然正确．故选：ABD12110B AB F →→⋅=112F B A △2b ac =e =()M c M 422450c a c a -+=2e =1F 2F 24y 1||4PF =2||2PF =I y 112GF I EF I IF Q ∠=∠=∠1290F IF ∠=︒1F 2F P I 12F F 11||||||2PF PQ F Q r +-=1212||||||||||122PF PQ F Q PF PF a +--====121222||||Rt Rt ||2||||||F P PF F PF QOF QO OI QO OF ⇒=⇒==∽△△I QO17．（2021·江苏南通·高三模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，那么下列说法中正确的有（ ）A ．若点在双曲线上，则B ．双曲线的焦点均在以为直径的圆上C ．双曲线上存在点，使得D ．双曲线上有个点，使得是直角三角形【答案】BD【解析】对于A 选项，设点，则，所以，，A 选项错误；对于B 选项，双曲线的焦点为，易知、，以为直径的圆的方程为，则点在圆上，B 选项正确；对于C 选项，若双曲线上存在点，使得，由双曲线的定义可得，不妨设，解得，，C 选项错误；对于D 选项，以为直径的圆与双曲线有个交点，过点且垂直于轴的直线与双曲线有个交点，过点且垂直于轴的直线与双曲线有个交点.综上所述，双曲线上有个点，使得是直角三角形，D 选项正确.()2222:10,0x y C a b a b-=>>1F 2F P C 1222PF PF b k k a⋅=22221y x a b -=12F F C P 122PF PF a +=C 8P 12PF F △()00,P x y 2200221x y a b-=()122220222000222220000PF PF b x a y y y b a k k x c x c x c x c a-⋅=⋅==≠+---22221y x a b-=()0,c ±()1,0F c -()20,F c 12F F 222x y c +=()0,c ±222x y c +=C P 122PF PF a +=122PF PF a -=122PF PF a -=12PF a =20PF =12F F 222x y c +=C 41F x C 22F x C 2C 8P 12PF F △故选：BD.18．（2021·全国高三专题练习（理））已知双曲线的上下两个顶点分别是，上下两个焦点分别是，P 是双曲线上异于的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（ ）A ．渐近线方程为B ．直线的斜率之积等于定值C ．使为等腰三角形的点P 有且仅有4个D ．焦点到渐近线的距离等于b 【答案】BD【解析】对A ：因为双曲线方程为，所以焦点在轴上，所以渐近线方程为，所以选项A 错误；对B ：设，则，所以，所以选项B 正确；对C ：若点在第一象限，可以分别以焦点，为顶点构成等腰三角形，根据对称性，点有且仅有8个，故选项C 错误；对D ：设焦点坐标为，渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离，故选项D 正确；22221(0,0)y x a b a b -=>>12,A A 12,F F 12,A A b y x a=±12,PA PA 22a b12PF F △22221(0,0)y xa b a b-=>>y ay x b =±()00,P x y 2200221y x a b -=122222200002222200002()PA PA y a y a y a y a a k k x x x b b y a a -+--⋅=⋅===-P 1F 2F P 2(0,)F c 0ax by -=d b ==故选：BD.19．（2021·全国高三专题练习（文））已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点，，为双曲线的左、右焦点，则下列说法中正确的有（ ）A ．若双曲线上一点到它的焦点的距离等于16，则点到另一个焦点的距离为10B ．若是双曲线左支上的点，且，则的面积为16C ．过点的直线与双曲线有唯一公共点，则直线的方程为或D ．过点的直线与双曲线相交于，两点，且为弦的中点，则直线的方程为【答案】BD【解析】A ，设双曲线，把点的坐标代入得则双曲线，则.所以所以或10.所以该选项错误；B ，由题得，所以所以是直角三角形，所以,所以该选项正确；C ，点为双曲线的右顶点，当直线垂直轴时，满足题意，此时直线方程为；当直线有斜率时，此时直线与渐近线平行，则直线方程为即直线的方程为或，所以直线的方程为或或，所以该选项错误；D，由题得双曲线方程为双曲线，设,则两式相减得，又，所以所以.所以直线AB 的方程为,所以该选项正确.故选：BD20．（2021·江苏海安·高三模拟预测）已知双曲线，为双曲线上一点，过点的切线为，双曲线的左右焦点，到直线的距离分别为，，则（ ）A ．2222:1x y C a b -=22:11832x y Ω-=(6,P 1F 2F C C M 1F M 2F N C 1232NF NF ⋅=12F NF △()3,0l C l 43120x y --=43120x y +-=()2,2Q 2222178x ya b -=--A B ()2,2Q AB AB460x y --=22:(0)1832x y C k k -=>(6,P 1,2k =22:1916x y C -=3,4,5a b c ===2|16|||6,MF -=2||=22MF 21||||6,NF NF -=1232NF NF ⋅=2222112||+||100=||,NF NF F F =12NF F △12132162NF F S =⨯=V ()3,0l x 3x =4(3),3y x =±-l 43120x y --=43120x y +-=l 43120x y --=43120x y +-=3x =22128x y -=1122(,),(,)A x y B x y 22221122112828x y x y -=-=，，12121212))))028x x x x y y y y +-+--=（（（（1212))=2222x x y y ++=（（，121212))0,2x x y y ---=（（4AB k =460x y --=22145x y -=)(00,P x y P l 1F 2F l 1d 2d 125d d =B ．直线与双曲线渐近线的交点为，，则，，，四点共圆C ．该双曲线的共轭双曲线的方程为D ．过的弦长为5的直线有且只有1条【答案】AB【解析】由题意，双曲线的焦点坐标为，，对于A 中，由双曲线的性质，可得切线的方程为，即， 则，所以A 正确对于B 中，联立方程组，可得，又由，可得，，则l M N M N 1F 2F 22145y x -=2F 22145x y -=)(13,0F -)(23,0F l 00145x x y y-=005420x x y y -=)()()(220012222200259162591652516255204x x d d x y xx--====++-⋅005420x x y y y -=⎧⎪⎨=⎪⎩M005420x x y yy -=⎧⎪⎨=⎪⎩N 1MF k ==2MF k =12tan F MF ∠==1NF k =2NF k ==12tan F NF ∠==1212tan tan F MF F NF ∠+∠，∴，，∴，，，四点共圆，B 正确.对于C中，双曲线的共轭双曲线为，所以C 错误对于D 中，由双曲线，可得，可得，且通经长，所以过的弦长为5的直线有3条，所以D 错误.故选：AB. 三、填空题21．（2021·济南市历城第二中学高三开学考试）已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是△的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有=))))220000000060218092218092y y y y ⎧⎫⎡⎡⎪⎤⎤=--+++--⎨⎬⎢⎢⎥⎥⎦⎦⎣⎣⎪⎭⎩))))220000000054022022202y y y y ⎧⎫⎡⎡⎪⎤⎤=--+++--⎨⎬⎢⎢⎥⎥⎦⎦⎣⎣⎪⎭⎩)())()22220000000000005404054240542y x y y y x y y ⎡⎤=---+++---⎥⎢⎦⎣))000005402022020y y ⎡⎤=-+--=⎢⎥⎦⎣1222tan tan 0F MF F NF ∠+∠=1222180F MF F NF ∠+∠=︒M N 1F 2F 22145x y -=22154y x -=22145x y -=2,a b =3c ==245a =<225b a =2F P 22221(0,0)x y a b a b-=>>1F 2F I 12PF F 1212IPF IPF IF F S S -≤△△△成立，则双曲线的离心率取值范围是________．【答案】【解析】设的内切圆的半径为，由双曲线的定义可得，则，因为，所以，，故故答案为：.22．（2021·孟津县第一高级中学高三月考（理））设为坐标原点，双曲线的右焦点为，点是上在第一象限的点，点满足，且线段，互相垂直平分，则的离心率为___________.【解析】由于线段，互相垂直平分故，即，又解得故的中点坐标为，从而，代入中，)+∞12PF F △r 12122,2PF PF a F F c -==121212111,,2222IPF IPF IF F S PF r S PF r S c r ===⋅⋅V V V 1212IPF IPF IF F S S -≤△△△121122PF r PF r c r -≤⋅122PF PF a ≥-=ce a=≥)+∞O 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>F P C ()00,Q x y 000bx ay +=OP QF C 1OP QF ||||QO FO c ==22200x y c +=000bx ay +=00,x a y b =-=(,)Q a b ∴-QF ,22c a b -⎛⎫⎪⎝⎭(,)P c a b -2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>有可得，即.23．（2021·洛阳市第一高级中学高三月考（文））已知双曲线的右焦点为，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则该双曲线的离心率为______.【解析】由双曲线方程可得渐近线方程为，设在上，在上，，，又，，，，又，，，解得：，2222()()1c a b a b--=1)c a =1c e a==1()2222:10,0x y E a b a b-=>>F F P Q 53PF FQ =E by x a=±P b y x a =Q by x a=-(),0F c b =53PF FQ = 53bFQ ∴=tan bPOF a ∠= 22222tan tan 1tan 1bPOF a POQ b POF a∠∴∠==-∠-OP PF ⊥83tan b PQ POQ OP a ∴∠==228231b ba b a a∴=-2214b a =e ∴===. 24．（2021·重庆北碚·西南大学附中高三月考）已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，圆、的面积为、，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由双曲线的方程可知，实半轴长，虚半轴长，且，设圆与分别切于，，，连接，如下图所示：由圆的切线性质可知，，，，有双曲线定义可知，，即，设，故，解得，，由切线性质可知，与点坐标都为，同理可知，圆也与轴也切于点，故轴，且、、三点共线，又由三角形内切圆的性质可知，、分别为和的角平分线，易得，，12,FF 2213y x -=2F ,A B 12AF F △1O 1r 12BF F △2O 2r 1O 2O 1S 2S 12S S +102,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭2213y x -=1a =b =2(,0)F c 2c =1O 12AF F △M N E 12O O ||||AN AM =11||||F N F E =22||||F M F E =1212||||2||||AF AF a F N F M -==-12||||2F E F E -=00(,)E x 00()2x c c x a +--=0x a =1O E a 2O x E 12O O x ⊥1O 2O E 12O F 22O F 21AF F ∠21BF F ∠1222O F O π∠=从而可得，，故，因为，所以，，因为双曲线的渐近线：，所以其倾斜角分别为和，又因为直线与双曲线的右支交于，两点，所以直线的倾斜角范围为，易得所以，由，不妨令，，易知，在上单调递减，在上单调递增，故的最小值为，又因为，从而在上的值域为，所以的取值范围为，又因为，所以的取值范围为.故答案为：.25．（2021·全国高三专题练习）过双曲线1（a ＞b ＞0）右焦点F 的直线交两渐近线于A ，B 两点，∠OAB ＝90°，O 为坐标原点，且△OAB 内切圆半径为，则双曲线的离心率为_____.【解析】由，则双曲线的渐近线如图所示，1222O EF O EF :△△1222||||||||O E EF EF O E =2||1EF c a =-=1122111r r r r =⇒=211r r =2213y x -=y =3π23πAB A B AB (,33π2π12(,)63O F E ππ∠∈11212||tan ||O E O F E r EF ∠==∈222121211r r r r +=+211(,3)3t r =∈1y t t=+1y t t=+1(,1)3(1,3)1y t t =+|12t y ==110333t t y ==⇒=，1y t t =+1(,3)310[2,32212r r +10[2,)3221212()S S r r π+=+12S S +102,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭102,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭2222x y a b-=3a 0ab >>设内切圆圆心为，则在平分线上，过点分别作于，于，由得：四边形为正方形，由焦点到渐近线的距离为得：，又，∴，则，则，∴，得26．（2021·广东罗湖·深圳第三高中高三月考）已知两点、分别是焦距为C ：的右焦点及左支上一动点，单位圆与轴的交点为，且，则双曲线的离心率的最大值为________．【解析】设双曲线的左焦点为，则，即，故.由题意可得，，，则双曲线的离心率M M AOB ∠Ox M MN OA ⊥N MT AB ⊥T FA OA ⊥MTAN b FA b =OF c =OA a =13NA MN a ==23NO a =1tan 2MN b AOF a NO =∠==e ==F Q 2222:1x y C a b-=()0,0a b >>y P 13PQ QF PF ++≥C C F '||2QF QF a '-=||2QF QF a '=+22QF PQ QF PQ a PF a ''+=++≥+|5PF =||||||13PQ QF PF ++≥ 32a ∴≥C c e a ==≤27．（2021·合肥一六八中学（文））过双曲线的右焦点作直线，使垂直于x 轴且交C 于M 、N 两点，双曲线C 虚轴的一个端点为A ，若是锐角三角形，则双曲线C 的离心率的取值范围___________．【答案】【解析】由题意知：，，不妨假设，∵是锐角三角形，∴，即，且，∴，整理得，解得，故答案为： 28．（2021·中区·山东省实验中学高三二模）已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，过坐标原点的直线与双曲线交于，两点，点是双曲线上一点，且直线，的斜率分别为，，若不等式恒成立，则双曲线的离心率为________.【解析】解：由恒成立，2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>l l AMN V 2(,)b M c a 2(,)b N c a-(0,)A b AMN V 2MAN π∠<2242222()()0b b b AM AN c b b c b a a a ⋅=+---=+-> 2b b a <42242222222201c a c a c a a c a a ⎧-+-->⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩422420{2e e e -+<>e ∈2y x =F A B O 22221(0,0)x y a b a b-=>>M N P PM PN 1k 2k ()124(||||)||||k k AF BF AF BF +⋅≥+()124(||||)||||k k AF BF AF BF +⋅≥+可得，因为，所以，则设直线为，设，令，由，得，则，，，所以恒成立，因为直线过原点，所以，关于原点对称，设，，因为点在双曲线上，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，所以，所以，所以，即，所以离心率为29．（2021·千阳县中学高三模拟预测（文））设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的最大值是__________．12114AF BF k k AF BF BF AF++≥=+⋅2y x =1(,0)4F AB 14x my =+1122(,),(,)A x y B x y 120,0y y ><214x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩2104y my --=12121,4y y m y y +==-121y y y +=-=4==1244k k +≥MN M N 0000(,),(,)M x y N x y --33(,)P x y 33(,)P x y 2233221x y a b-=223030301222303030y y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅=-+-222223022222301[(1)(1)]x x b b b x x a a a=---=-1244b k k a+≥⨯124k k =44b a⨯=b a =22222c b a a =+=c =c e a ==1F 2F 224x y -=P 1F 12F PF ∠M M 0x y +-=【答案】【解析】由题意，延长交于一点，由于，且为平分线,所以，且点为线段的中点，不妨假设点在双曲线的左支上，由于，故,由于分别为的中点，所以 故点的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆周，轨迹方程为：，点到直线的距离的最大值为原点到直线的距离加上半径2，，故答案为：4.30．（2021·全国高三专题练习）在中，，以为焦点的双曲线的一支经过顶点，另一支交线段于点，，为双曲线的离心率.设，当时，的取值范围是___________.【答案】.421,PF F M N 1F M PM ⊥PM 12F PF ∠1PF PN =M 1F N P 1224PF PF a -==1224PN PF F N -==,O M 121,F F F N 2122OM F N ==M 224x y +=M 0x y +-=4=ABC V tan :tan 1:3B C =,B C A AB M BM MA λ=e 2BC c =()2,3e ∈λ143,271⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】以所在的直线为横轴，以的垂直平分线为纵轴建立如下图所示的直角坐标系，过做，垂足为，因为，所以 ，因为，所以，所以的横坐标为，设直线的斜率为，因此直线的方程为：，把代入，得，即，设双曲线的方程为：，把代入双曲线方程中得：，设， ，，因为，所以，解得，直线方程与双曲线的方程联立得：，则有且，因此有，所以，BC BC A AD BC ⊥D 2BC c =(,0),(,0)B c C c -tan :tan 1:3B C =1:1:33AD AD CD BD DC BD =⇒=A 2c AB (0)k k >AB ()y k x c =+2x c =32y kc =3(,)22c A kc 22221(0,0)x y a b a b -=>>3(,)22c A kc 222222222222944194(1)c k c b c k c a a b a b -=⇒-=(,)M x y (,)BM x c y =+ 3(,)22c MA x kc y =-- BM MA λ= 3(,)(,)22c x c y x kc y λ+=--22322(,)3222222c c x c c kc M kc y λλλλλλλλ-⎧=⎪-⎪+⇒⎨++⎪=⎪+⎩()y k x c =+22221x y a b-=222222222222222()()201y k x c b a k x a k x a k c a b x y ab =+⎧⎪⇒----=⎨-=⎪⎩2220b a k -≠22222222222(2)4()()0a kc b a k a k c a b ∆=-+-+>222222A M a k c x x b a k +=-222222322M a k c b c x b a k -=-因此有，由得：代入中得：，显然有，因为，所以，即因为，所以，因此，因为， 所以由，解得，故答案为：.22222222232(42)(82)(2)2222a k c b c c c b a k b a k λλλλ--=⇒-=+-+(1)222222249b c a b k a c -=(2)222(41)57c a λλ+=-2(41)1505747λλλ+>⇒-<<-BM MA λ= 0λ>507λ<<()2,3e ∈()24,9e ∈2(41)4957λλ+<<-507λ<<2(41)494(57)2(41)9(57)57λλλλλ+<<⇒-<+<--143271λ<<143(,)271。