高三数学(理)一轮复习双曲线

重难点13六种双曲线解题方法（核心考点讲与练）能力拓展题型一：待定系数法求双曲线方程一、单选题1．（2022·河南·模拟预测（文））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，一条渐近线方程为y =，过双曲线C 的右焦点2F 作倾斜角为3π的直线l 交双曲线的右支于A ，B 两点，若1AF B △的周长为36，则双曲线C 的标准方程为（）A ．22124x y -=B ．22142x y -=C ．2212y x -=D ．2212x y -=2．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））若等轴双曲线的焦距为4，则它的一个顶点到一条渐近线的距离为（）A ．1B ．32C ．2D ．33．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学三模（理））双曲线E 与椭圆22:162x y C +=焦点相同且离心率是椭圆C 离E 的标准方程为()A ．2213y x -=B ．2221yx -=C ．22122x y -=D ．2213x y -=4．（2022·内蒙古包头·二模（理））已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的两个焦点，R 是C 上的一点，且12120F RF =∠︒，1241::RF RF =，C 经过点2,3Q ⎛ ⎝⎭，则C 的实轴长为（）AB ．C ．6D ．3二、多选题5．（2022·江苏·扬州中学高三阶段练习）已知双曲线E ：()222210x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为()13,0F -，()23,0F ，两条渐近线的夹角正切值为直线l ：30kx y k --=与双曲线E 的右支交于A ，B 两点，设1F AB的内心为I ，则（）A ．双曲线E 的标准方程为22163x y -=B ．满足AB =l 有2条C ．2IF AB⊥D ．1F AB 与IAB △的面积的比值的取值范围是(]2,66．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线22:1C mx ny +=，其焦点()0,5到渐近线的距离为3，则下列说法正确的是（）A ．双曲线C 的方程为221169y x -=B ．双曲线C 的渐近线方程为34y x=±C ．双曲线C 的离心率为54D ．双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为17．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线1C ：2222111x y a b -=（10a >，10b >）的一条渐近线的方程为y =，且过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，椭圆2C ：22221x ya b+=（0a b >>）的焦距与双曲线1C 的焦距相同，且椭圆2C 的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线交2C 于()11,A y （10y >），B 两点，则下列叙述正确的是（）A ．双曲线的离心率为2B ．双曲线的实轴长为12C ．点B 的横坐标的取值范围为()2,1--D ．点B 的横坐标的取值范围为()3,1--三、填空题8．（2022·福建宁德·模拟预测）若过点)的双曲线的渐近线为2y x =±，则该双曲线的标准方程是___________.四、解答题9．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为30 ，点(在双曲线E 上.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)若动直线l 与双曲线E 相切，过点()2,0P 作直线l 的垂线，垂足为H ，试判断OH 是否为定值？如果是，请求出该值；如果不是，请说明理由.10．（2022·上海市七宝中学高三期中）双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）经过点)，且渐近线方程为y x =±．(1)求a ，b 的值；(2)点A ，B ，D 是双曲线C 上不同的三点，且B ，D 两点关于y 轴对称，ABD △的外接圆经过原点O ．求证：点A 与点B 的纵坐标互为倒数；(3)在（2）的条件下，试问是否存在一个定圆与直线AB 相切，若有，求出定圆方程，没有说明理由．11．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知双曲线C ：2221x y a-=（0a >）的右焦点F ，点,A B 分别在C 的两条渐近线上，AF x ⊥轴，,AB OB BF ⊥∥OA （O 为坐标原点）.(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点()()00,0o P x y y ≠的直线002:1x xl y y a -=与直线AF 相交于点M ，与直线32x =相交于点N ，证明：当点P 在C 上移动时，MFNF恒为定值，并求此定值.12．（2022·河北衡水中学一模）在平面直角坐标系xOy中，双曲线()2222:10,0y xC a b a b-=>>，实轴长为4.(1)求C 的方程；(2)如图，点A 为双曲线的下顶点，直线l 过点()0,P t 且垂直于y 轴（P 位于原点与上顶点之间），过P 的直线交C 于G ，H 两点，直线AG ，AH 分别与l 交于M ，N 两点，若O ，A ，N ，M 四点共圆，求点P 的坐标.13．（2022·河南·三模（理））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为(),0F c ，a ，b ，c 成等差数列，过F 的直线交双曲线C 于P ､Q 两点，若双曲线C 过点165,3T ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过双曲线C 的左顶点A 作直线AP ､AQ ，分别与直线x m =交于M ､N 两点，是否存在实数m ，使得以MN 为直径的圆恒过F ，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.题型二：相同渐近线双曲线方程求法一、单选题1．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知双曲线C 的渐近线方程为340x y ±=，且焦距为10，则双曲线C 的标准方程是（）A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．221169x y -=或221916y x -=D ．221916x y -=或221169y x -=2．（2020·全国·高三专题练习）已知双曲线C 与双曲线22126x y -=有公共的渐近线，且经过点(P -，则双曲线C 的离心率为（）．A BC ．4D ．23．（2020·全国·高三专题练习）已知双曲线C 的一个焦点为()0,5，且与双曲线2214x y -=的渐近线相同，则双曲线C 的标准方程为A ．2214y x -=B ．221520y x -=C ．221205x y -=D ．2214x y -=二、多选题4．（2020·全国·高三阶段练习）已知双曲线C 过点(且渐近线为y =，则下列结论正确的是（）A ．C 的方程为2213y x -=B ．C 的离心率为2C ．曲线2331x y e -=-经过C 的一个焦点D 10y --=与C 有两个公共点5．（2021·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，一条渐近线过点(，则下列结论正确的是（）A ．双曲线CB ．双曲线C 与双曲线22124y x -=有相同的渐近线C ．若F 到渐近线的距离为2，则双曲线C 的方程为22184x y -=D ．若直线2:a l xc=与渐近线围成的三角形面积为则焦距为三、填空题6．（2022·辽宁·模拟预测）焦点在x 轴上的双曲线C 与双曲线22149x y-=有共同的渐近线，且C 的焦点到一条渐近线的距离为C 的方程为______．7．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线2222:1y x C a b-=（0a >，0b >）与双曲线22:146x y D -=有相同的渐近线，且C 经过点()2,6，则C 的实轴长为_________四、解答题8．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>与222:193x x C -=有相同的渐近线，点()2,0F 为1C 的右焦点，,A B 为1C 的左，右顶点.（1）求双曲线1C 的标准方程；（2）若直线l 过点F 交双曲线1C 的右支于,M N 两点，设直线,AM BN 斜率分别为12,k k ，是否存在实数入使得12k k λ=?若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.题型三：直接法解决离心率问题一、单选题1．（2022·广东·佛山市南海区艺术高级中学模拟预测）已知双曲线的方程2214x y -=，则该双曲线的离心率为（）A BC ．2D 2．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，从2F 发出的光线经过图2中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D ．且3cos 5BAC ∠=-，AB BD ⊥，则E 的离心率为（）A B ．3C D ．33．（2022·浙江金华·三模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，O 为坐标原点，F 为双曲线C 的左焦点，若C 的右支上存在一点P ，使得OFP △外接圆M 的半径为1，且四边形MFOP 为菱形，则双曲线C 的离心率是（）A 1B 1C 1D ．24．（2022·重庆八中高三阶段练习）如图，已知1F ，2F 为双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过点1F ，2F 分别作直线1l ，2l 交双曲线E 于A ，B ，C ，D 四点，使得四边形ABCD 为平行四边形，且以AD 为直径的圆过1F ，11DF AF =，则双曲线E 的离心率为（）A BC ．52D ．25．（2022·贵州黔东南·一模（理））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，直线2x a =与C 交于A 、B 两点（A在B 的上方），DA AB = ，点E 在y 轴上，且EA x ∥轴．若BDE 的内心到y 轴的距离为43a，则C 的离心率为（）.A ．2B C D 二、多选题6．（2022·山东烟台·一模）已知双曲线C ：22145x y -=，1F ，2F 为C 的左、右焦点，则（）A ．双曲线()221045x y m m m-=>++和C 的离心率相等B ．若P 为C 上一点，且1290F PF ∠=︒，则12F PF △的周长为6+C ．若直线1y tx =-与C 没有公共点，则2t <-或2t >D ．在C 的左、右两支上分别存在点M ，N 使得114F M F N=三、填空题7．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（理））已知双曲线C ：22214x y b-=（0b >），以C 的焦点为圆心，3为半径的圆与C 的渐近线相交，则双曲线C 的离心率的取值范围是________________．8．（2022·山东日照·二模）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，从2F 发出的光线经过图2中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D ，且4cos 5BAC ∠=-，AB BD ⊥，则E 的离心率为___________.9．（2022·浙江·三模）已知双曲线222:1(0)4x y C b b-=>的两个焦点分别为12,F F ，点()00,P x y 是双曲线第一象限上一点，在点P 处作双曲线C 的切线l ，若点12,F F 到切线l 的距离之积为3，则双曲线C 的离心率为_______．四、解答题10．（2022·河北张家口·三模）已知0b a >>，点)A，2B b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，动点P满足||||PA PB =，点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)直线y kx m =+与曲线C 相切，与曲线2222:1x yE a b-=交于M ､N 两点，且π2MON ∠=（O 为坐标原点），求曲线E 的离心率.题型四：构造齐次方程法求离心率的值或范围一、单选题1．（2022·湖北省天门中学模拟预测）已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为1F ，2F ，记它们其中的一个交点为P ，且12120F PF ∠=︒，则该椭圆离心率1e 与双曲线离心率2e 必定满足的关系式为（）A ．1213e e 144+=B ．221231e e 144+=C ．22123114e 4e +=D ．22121314e 4e +=2．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 左、右支分别交于A ，B 两点，若2||AB BF =，12BF F △2，双曲线C的离心率为e ，则2e =（）AB ．2C．2D．5+3．（2022·浙江·模拟预测）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，M 为右支上一点，2112120,MF F MF F ∠=︒ 的内切圆圆心为Q ，直线MQ 交x 轴于点N ，||2||MQ QN =，则双曲线的离心率为（）A ．54B ．43CD二、多选题4．（2022·全国·模拟预测）已知O 为坐标原点，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，l 是C 的一条渐近线，以F 为圆心，a 为半径的圆与l 交于A ，B 两点，则（）A ．过点O 且与圆F 相切的直线与双曲线C 没有公共点B ．CC ．若0FA FB ⋅>，则C的离心率的取值范围是⎝D ．若OA AB =uu r uu u r，则C的离心率为3三、双空题5．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知1F ，2F ，是双曲线C ：22213x yb-=的左右焦点，过1F 的直线与双曲线左支交于点A ，与右支交于点B ，12AF F △与12BF F △内切圆的圆心分别为1I ，2I ，半径分别为1r ，2r ，则1I 的横坐标为__________；若12:1:3r r =，则双曲线离心率为__________.四、填空题6．（2022·河北·模拟预测）已知12,F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点，过点1F 的直线与双曲线C 的左､右两支分别交于,M N 两点，且()12112221sin 2,0sin 3NF F MF MN F F NF NF F ∠∠=++⋅= ，则双曲线C 的离心率是__________．7．（2022·福建三明·模拟预测）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，双曲线上一点A 关于原点O 对称的点为B ，且满足110AF BF ⋅= ，21tan 3ABF ∠=，则该双曲线的离心率为___________.8．（2022·安徽马鞍山·三模（文））已知双曲线E 的焦点在x 轴上，中心为坐标原点，F 为E 的右焦点，过点F 作直线1l 与E 的左右两支分别交于A ，B 两点，过点F 作直线2l 与E 的右支交于C ，D 两点，若点B 恰为ACD △的重心，且ACD △为等腰直角三角形，则双曲线E 的离心率为___________.五、解答题9．（2022·全国·高三专题练习）设A ，B 为双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左、右顶点，直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于M ，N 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形.（1）求双曲线C 的离心率；（2）已知直线AM ，AN 分别交直线2ax =于,P Q 两点，当直线l 的倾斜角变化时，以PQ 为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.10．（2021·全国·高三专题练习）设双曲线1C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，A 、B 为其左､右两个顶点，P 是双曲线1C 上的任意一点，引QB PB ⊥，QA PA ⊥，AQ 与BQ 交于点Q .（1）求Q 点的轨迹方程；（2）设（1）中所求轨迹为2C ，1C 、2C 的离心率分别为1e 、2e ，当1e ≥2e 的取值范围.题型五：渐近线综合问题一、单选题1．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（文））已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为(),0F c ，离心率3e =，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,,A B OAB 为直角三角形，3AB =，则C 的方程为（）A ．22142x y -=B ．2213x y -=C ．22163x y -=D ．22184x y -=2．（2022·山西吕梁·三模（文））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率e 是它的一条渐近线斜率的2倍，则e =（）AB C D ．23．（2022·江西宜春·模拟预测（文））若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个顶点为A ，过点A 的直线330x y --=与双曲线只有一个公共点，则该双曲线的焦距为()A ．B ．C ．D ．4．（2022·四川遂宁·模拟预测（文））设双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点是1F ，2F ，O为原点，若以12F F 为直径的圆与C 的渐近线的一个交点为P ，且1=F P ，则C 的渐近线方程为（）A ．y =B ．y x=±C ．y =D ．y =5．（2022·海南·模拟预测）已知双曲线222:1(0)y E x b b-=>的一条渐近线与直线20x y +=垂直，则E 的焦点坐标为（）A ．⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．(D ．(二、多选题6．（2022·福建南平·三模）已知双曲线C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，1F ，2F 分别为双曲线C 的左､右焦点，过2F 且与x 轴垂直的直线交双曲线C 于M ，N 两点，又8MN a =，则（）A ．双曲线C 的渐近线方程为2y x=±B ．双曲线C 的顶点到两渐近线距离的积的5倍等于焦点到渐近线距离的平方C ．双曲线C 的实轴长､虚轴长､焦距成等比数列D ．双曲线C 上存在点P ，满足213PF PF =7．（2022·湖南·一模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，过点F 作C 的一条渐近线的平行线交C 于点A ，交另一条渐近线于点B ．若2=FA AB ，则下列说法正确的是（）A ．双曲线C 的渐近线方程为2y x =±B ．双曲线CC ．点A 到两渐近线的距离的乘积为23b D ．O 为坐标原点，则tan AOB ∠=8．（2022·全国·高三专题练习）下列双曲线的渐近线方程为12y x =±的是（）A ．2214x y -=B ．22142x y -=C ．2214y x -=D ．221416y x -=三、填空题9．（2022·全国·模拟预测）已知1F ，2F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左､右焦点，则下列说法正确的序号是___________.①122a F F >；②若a b =，则双曲线C ；③若点P 在双曲线C 的右支上，1PF 与y 轴交于M ，112PM F P =-，则22bPF a =；④若双曲线C 35.四、解答题10．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线()22220,0:1T a x y b b a >->=的一条渐近线1l 的方程为3y x =，且右焦点F 到1l 的距离为1．(1)求双曲线T 的标准方程；(2)若点P 为直线1l 上一点，倾斜角为60︒的直线l '与双曲线T 的右支交于M ，N 两点，且PMN 为等边三角形，求直线l '在x 轴上的截距．题型六：利用自变量范围求离心率范围一、单选题1．（2022·山西太原·二模（理））已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为()F ，点Q 为双曲线左支上一动点，圆221x y +=与y 轴的一个交点为P ，若8PQ QF +≥，则双曲线离心率的最大值为（）AB C D ．2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点F （0），点Q 是双曲线C 的左支上一动点，圆E ：221x y +=与y 轴的一个交点为P ，若13PQ QF PF ++≥，则双曲线C 的离心率的最大值为（）A ．3B ．3C ．5D ．3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知点F 为双曲线2222:1(,0)x y C a b a b -=>的右焦点，直线y kx =，k ∈⎣与双曲线C 交于A ，B 两点，若AF BF ⊥，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A ．+B ．1⎤⎦C ．1⎡⎤⎣⎦D ．2⎡⎣4．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，若双曲线不存在以点()2,a a 为中点的弦，则双曲线离心率e 的取值范围是（）A ．1,3⎛ ⎝⎦B ．23⎣⎦C ．3⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭D ．2⎫+∞⎪⎪⎣⎭二、多选题5．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线C ：()22142x y m R m m +=∈--，则下列说法正确的是（）A ．若24m <<，则曲线C 为椭圆B ．若4m >，则曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线C ．若曲线C 为双曲线，则其焦距是定值D ．若曲线C 为焦点在x三、填空题6．（2021·重庆一中高三阶段练习）已知椭圆C ：()222124x y a a +=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若C 上存在点P 使得12PF PF ⊥，则双曲线Γ：22218x y a -=的离心率的取值范围是______.7．（2022·浙江绍兴·高三期末）已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>.左，右焦点，若C 上存在一点M ，使得123MF MF MO +=成立，其中O 是坐标原点，则C 的离心率的取值范围是__________.四、解答题8．（2021·新疆昌吉·高三阶段练习（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12F F 、，点P 在双曲线的右支上（点P 不在x 轴上），且125PF PF =.(1)用a 表示12,PF PF ；(2)若12F PF ∠是钝角，求双曲线离心率e 的取值范围.9．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知梯形ABCD 中2AB CD =，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点当2334λ≤≤时，求双曲线离心率e 的取值范围.高考一轮复习专项。

高三数学第一轮复习：双曲线的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】双曲线的定义、性质及标准方程双曲线的定义及相关概念、双曲线的标准方程、双曲线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1. 双曲线的定义：（1）第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。

（2）第二定义：平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离的比等于常数（e>1）的点的轨迹叫做双曲线，定点F为焦点，定直线l称为准线，常数e称为离心率。

说明：（1）若2a等于2c，则动点的轨迹是射线（即F1F2、F2F1的延长线）；（2）若2a大于2c，则动点轨迹不存在。

2. 双曲线的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0b,0a(1byax2222>>=-中心在原点，焦点在x轴上yaxba b2222100-=>>(,)中心在原点，焦点在y轴上图形几何性质X围x a≤-或x a≥y a≤-或y a≥对称性关于x轴、y轴、原点对称（原点为中心）顶点()()1200A a A a-，、，()()1200A a A a-，、，轴实轴长122A A a=，虚轴长122B B b=离心率ecae=>()1准线2212:,:a al x l xc c=-=2212:,:a al y l yc c=-=实轴、虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，焦点在x 轴上，标准方程为()2220x y a a -=≠；焦点在y 轴上，标准方程为()2220y x a a -=≠。

其渐近线方程为y＝±x 。

等轴双曲线的离心率为e =4. 基础三角形：如图所示，△AOB 中，,,,tan b OA a AB b OB c AOB a===∠=。

5. 共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x a y b22221-=（a>0，b>0）有相同渐近线的双曲线系可设为()22220x y a b λλ-=≠，若λ>0，则双曲线的焦点在x 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在y 轴上。