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方程为
.
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解析:(1)设双曲线的右焦点为 F, 则 F(c,0)(其中 c= a2 b2 ), 且 c=|OF|=r=4,
不妨将直线 x=a 代入双曲线的一条渐近线方程 y= b x,得 y=b, a
则 A(a,b).Fra bibliotek由|FA|=r=4,得 (a 4)2 b2 =4,即 a2-8a+16+b2=16,
( 2 ,0),一个顶点是(1,0),则 C 的方程为
.
解析:根据已知条件可判断双曲线的中心在坐标原点,焦点在 x 轴 上,所以 a=1,c= 2 ,于是 b2=c2-a2=1,所以双曲线 C 的方程为 x2-y2=1. 答案:x2-y2=1
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考点突破
剖典例 找规律
考点一 双曲线的定义及标准方程
所以 c2-8a=0,所以 8a=c2=42, 所以 b2=c2-a2=16-4=12,
解得 a=2,
所以所求双曲线 C 的方程为 x2 y2 =1. 4 12
故选 A.
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(2)由题意知 a=1,b=1,c= 2 ,∴|F1F2|=2 2 ,
在△PF1F2 中,由余弦定理得
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°=|F1F2|2=8, 即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=8,① 由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a=2, 两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4,② ①-②得|PF1||PF2|=4.
4 12
79
88
(D) x2 y2 =1 12 4
(2)(2014 合肥模拟)已知 F1、F2 分别为双曲线 C:x2-y2=1 的左、右焦点,点 P 在双曲线 C
上,且∠F1PF2=60°,则|PF1||PF2|=
.
(3)已知圆 C:(x-3)2+y2=4,定点 A(-3,0),求过定点 A 且和圆 C 外切的动圆圆心 M 的轨迹
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3.等轴双曲线的定义及性质 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其标准方程为 x2-y2=λ(λ≠
0),离心率 e= 2 .渐近线方程为 y=±x .它们互相 垂直 ,并且平分实
轴和虚轴所成的角.
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基础自测
1.已知方程 x2 + y2 =1 表示双曲线,则 k 的取值范围为( B )
【例 1】 (1)(2014 高考江西卷)过双曲线 C: x2 - y 2 =1 的右顶点作 x 轴的垂线,与 C a2 b2
的一条渐近线相交于点 A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A,O 两点(O 为坐 标原点),则双曲线 C 的方程为( )
(A) x2 y2 =1 (B) x2 y2 =1(C) x2 y2 =1
k 3 k 5
(A)(-∞,3)∪(5,+∞) (B)(3,5)
(C)(3,4)∪(4,5)
(D)(4,5)
解析:由方程表示双曲线可知(k-3)(k-5)<0, 解得3<k<5. 故选B.
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2.(2014
高考重庆卷)设
F1、F2 分别为双曲线
x2 a2
-
y2 b2
=1(a>0,b>0)的左、
第4节 双曲线
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最新考纲 1.了解双曲线的定义、几何图形 和标准方程、知道它的简单几
何性质(范围、对称性、顶 点、离心率、渐近线). 2.理解数形结合思想的应用.
编写意图 双曲线是历年高考命题的重点热点,多与圆、椭圆、抛物 线等综合命题,常以选择题、填空题形式呈现,本节围绕双曲线的定 义及标准方程,双曲线的几何性质(离心率和渐近线等)以及直线与双 曲线的位置关系三个重点精心选题,重在巩固基础知识和基本方法, 突出方程思想、数形结合思想的应用.
(提示:只有当0<2a<|F1F2|时,动点的轨迹才是双曲线,当2a=0时,动 点的轨迹是线段F1F2的中垂线;当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是以F1、 F2为端点的两条射线;当2a>|F1F2|时,动点的轨迹不存在)
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2.双曲线的标准方程及简单几何性质 见附表
质疑探究2:方程Ax2+By2=1表示双曲线的条件是什么? (提示:若A>0,B<0表示焦点在x轴上的双曲线;若A<0,B>0表示焦点 在y轴上的双曲线,当上述两种条件都不满足时,不表示双曲线,所以 Ax2+By2=1表示双曲线的条件是AB<0)
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2
夯基固本
考点突破
思想方法
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3
夯基固本
知识梳理
抓主干 固双基
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的 差的绝对值 等于常数(小于 |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的 焦点 , 两焦点间的距离叫做双曲线的 焦距 .
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4
质疑探究1:平面内与两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2a的 动点的轨迹一定为双曲线吗?
a2 b2 = 17 , a2
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3.(2014 高考广东卷)若实数 k 满足 0<k<5,则曲线 x2 - y2 =1 与曲线 16 5 k
x2 - y 2 =1 的( A )
16 k 5
(A)焦距相等
(B)离心率相等
(C)虚半轴长相等 (D)实半轴长相等
解析:因为 0<k<5,所以 5-k>0,16-k>0,这两个方程表示的是双曲线.焦距 都是 2 21 k .故选 A.
(3)设动圆 M 的半径为 R,则|MC|=2+R,|MA|=R, ∴|MC|-|MA|=2, 由双曲线的定义知,M 点的轨迹是以 A,C 为焦点的双曲线的左支, 且 a=1,c=3,∴b2=8,
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4.已知双曲线 x2 - y 2 =1 的一个焦点坐标为(- 3 ,0),则其渐近线 a2
方程为
.
解析:由 a+2=3,可得 a=1,
∴双曲线方程为 x2- y 2 =1, 2
∴其渐近线方程为 y=± 2 x.
答案:y=± 2 x
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5.(2014 高考北京卷)设双曲线 C 的两个焦点为(- 2 ,0),
右焦点,双曲线上存在一点 P 使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离
心率为( D )
(A) 2 (B) 15 (C)4 (D) 17
解析:根据已知条件,知||PF1|-|PF2||=2a, 所以 4a2=b2-3ab, 所以 b=4a,
双曲线的离心率 e= c = a
故选 D.
