高考文科数学一轮复习学案双曲线

双曲线的标准方程
【学习目标】
1．了解双曲线的标准方程的推导过程，能根据已知条件求双曲线的标准方程．
2．掌握双曲线两种标准方程的形式
【学习重难点】
重点：双曲线的标准方程的求解
难点：双曲线的标准方程的推导
【活动过程】
活动一、自主学习：
1、类比椭圆的定义，学习双曲线的定义（阅读课本第39页）
练习1、满足a PF PF 221=- （c a <）的点P 的轨迹是_______________；
2、如果点(,)M x y 2222(3)(3)4x y x y +++-=，则
点M 的轨迹是
2、推导双曲线的标准方程
思考：焦点在y 轴上的双曲线的标准方程如何推导？
活动二、求双曲线的标准方程
例1．已知双曲线的两个焦点分别为)0,10(1-F ，)0,10(2F ，双曲线上任意一点M ，满足1621=-MF MF ，求双曲线的标准方程.
例2.求适合下列条件的双曲线的标准方程.
（1）5=a ，过点)10,2(A ，焦点在y 轴上；
（2）4,3==b a ；
（3）过点()3,4,1,334-⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-.
活动三、由双曲线的标准方程求相关量
1、 双曲线22
121y x k k
-=--的一个焦点为)3,0(，则实数.________=k 2、 已知双曲线06442
2=+-y x 上一点M 到它的一个焦点的距离为1，则点M 到它的
另一个焦点的距离为___________________. 3、方程11
22
2=-+-k y k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是____________.。

第六节双曲线[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．[探究] 1.与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？提示：只有当2a<|F1F2|且2a≠0时，轨迹才是双曲线；若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a>|F1F2|，则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质[探究] 2.双曲线的离心率的大小与双曲线“开口”大小有怎样的关系？提示：离心率越大，双曲线的“开口”越大．3．等轴双曲线实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，离心率e＝2，渐近线方程为y＝±x.[自测·牛刀小试]1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A．2B．2 2C．4 D．4 2解析：选C由题意知，a＝2，故长轴长为2a＝4.2．双曲线方程：x2|k|－2＋y25－k＝1，那么k的范围是()A．k>5 B．2<k<5C．－2<k<2 D．－2<k<2或k>5解析：选D由题意知，(|k|－2)(5－k)<0，解得－2<k<2或k>5.3．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则一条渐近线的方程为()A．y＝3x＋1 B．y＝3x C．y＝－3x＋1 D．y＝3x解析：选D 由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±c 2－a 2a2x ＝±e 2－1x ，故渐近线方程为y ＝±3x .4．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左，右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝( )A ．1或5B ．6C ．7D ．9解析：选C 由渐近线方程3x －2y ＝0，知b a ＝32.又b 2＝9，所以a ＝2，从而|PF 2|＝7.5．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为________． 解析：由已知可得c ＝4，a ＝2，所以b 2＝12，故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.答案：x 24－y 212＝1[例1] (1)(2012·大纲全国卷)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左，右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14 B.35 C.34D.45(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 [自主解答] (1)∵由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22，∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，cos ∠F 1PF 2＝(42)2＋(22)2－422×(42)×(22)＝34.(2)∵抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，则在双曲线中有a 2＋b 2＝(－6)2＝36.① 又∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为方程y ＝3x ，∴ba＝ 3.② 联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝27.所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1.[答案] (1)C (2)B ——————————————————— 双曲线定义运用中的两个注意点(1)在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时，通常考虑利用双曲线的定义；(2)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚指整条双曲线还是双曲线的一支．1．已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线x 216－y 29＝1的左，右焦点，顶点P 在双曲线上，则|sin A －sin B |sin P的值等于( )A.45B.74C.54D.7解析：选A 在△ABP 中，由正弦定理知|sin A －sin B |sin P ＝|PB －P A |AB ＝2a 2c ＝810＝45.2．设F 1，F 2是双曲线x 23－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，PF 1·PF 2的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选B 设点P (x 0，y 0)，依题意得，|F 1F 2|＝23＋1＝4，S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|×|y 0|＝2|y 0|＝2，∴|y 0|＝1.又∵P 在曲线上，∴x 203－y 20＝1，即x 20＝3(y 20＋1)＝6.∴PF 1·PF 2＝(－2－x 0，－y 0)·(2－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－4＝3.[例2] (1)(2012·福建高考)已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )A.31414B.324C.32D.43(2)(2012·新课标全国卷)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4D ．8[自主解答] (1)因为双曲线的右焦点坐标为(3,0)，所以c ＝3，b 2＝5，则a 2＝c 2－b 2＝9－5＝4，所以a ＝2.所以e ＝c a ＝32.(2)由题意可设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a >0)．易知抛物线y 2＝16x 的准线方程为x ＝－4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2a 2＝1，x ＝－4，得16－y 2＝a 2.(*)因为|AB |＝43，所以y ＝±2 3.代入(*)式，得16－(±23)2＝a 2，解得a ＝2(a >0)．所以双曲线C 的实轴长为2a ＝4. 答案：(1)C (2)C ——————————————————— 研究双曲线几何性质时的两个注意点(1)实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重点；(2)由于e ＝ca 是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形即可求e ，并注意e >1.3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则该双曲线的渐近线斜率为( )A ．±2B ．±43C ．±12D ．±34解析：选C b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1＝14，由此可得双曲线的渐近线的斜率为k ＝±b a ＝±12.[例3] 已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F (－2,0)． (1)求双曲线方程；(2)设Q 是双曲线上一点，且过点F ，Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若|MQ |＝2|QF |，求直线l 的方程．[自主解答] (1)由题意可设所求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有e ＝ca ＝2，c＝2，所以a ＝1，则b ＝ 3.所以所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)因为直线l 与y 轴相交于M 且过焦点F (－2,0)，所以l 的斜率一定存在，设为k ，则l ：y ＝k (x ＋2)，令x ＝0，得M (0,2k )，因为|MQ |＝2|QF |且M ，Q ，F 共线于l ， 所以MQ ＝2QF 或MQ ＝－2QF . 当MQ ＝2QF 时，x Q ＝－43，y Q ＝23k ，所以Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫－43，23k . 因为Q 在双曲线x 2－y 23＝1上，所以169－4k 227＝1，解得k ＝±212.所以直线l 的方程为y ＝±212(x ＋2)．当MQ ＝－2QF 时，同理求得Q (－4，－2k )代入双曲线方程得， 16－4k 23＝1，解得k ＝±352.所以直线l 的方程为y ＝±352(x ＋2)．综上：所求的直线l 的方程为y ＝±212(x ＋2)或y ＝±352(x ＋2)． ——————————————————— 求解双曲线综合问题的主要方法双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系．解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．设直线与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，直线的斜率为k ，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|.4．如图，P 是以F 1、F 2为焦点的双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1上的一点，已知PF 1·PF 2＝0，且|PF 1|＝2|PF 2|. (1)求双曲线的离心率e ； (2)过点P 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于P 1，P 2两点，若OP 1·OP 2＝－274，2PP 1＋PP 2＝0.求双曲线C 的方程．解：(1)由PF 1·PF 2＝0，得PF 1⊥PF 2，即△F 1PF 2为直角三角形．设|PF 2|＝r ，|PF 1|＝2r ，所以(2r )2＋r 2＝4c 2，2r －r ＝2a ，即5×(2a )2＝4c 2.所以e ＝ 5. (2)b a＝e 2－1＝2，可设P 1(x 1,2x 1)，P 2(x 2，－2x 2)，P (x ，y )，则OP 1·OP 2＝x 1x 2－4x 1x 2＝－274， 所以x 1x 2＝94.①由2PP 1＋PP 2＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＝－2(x 1－x )，－2x 2－y ＝－2(2x 1－y )，即x ＝2x 1＋x 23，y ＝2(2x 1－x 2)3.又因为点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，所以(2x 1＋x 2)29a 2－4(2x 1－x 2)29b 2＝1.又b 2＝4a 2，代入上式整理得x 1x 2＝98a 2.②由①②得a 2＝2，b 2＝8. 故所求双曲线方程为x 22－y 28＝1.1个规律——等轴双曲线的离心率及渐近线的关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．2种方法——求双曲线标准方程的两种方法(1)定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a ，b ，c 即可求得方程． (2)待定系数法①②待定系数法求双曲线方程的常用方法⎩⎪⎨⎪⎧与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)；若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)；若过两个已知点则设为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0).3个关注点——双曲线几何性质的关注点 双曲线的几何性质从以下三点关注：(1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点； (2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)，两渐近线；(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形，双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形．3个防范——双曲线问题的三个易混点(1)区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.(2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．(3)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±abx .易误警示——双曲线几何性质的解题误区[典例] (2012·湖南高考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 [解析] 由已知可得双曲线的焦距2c ＝10，a 2＋b 2＝52＝25，排除C ，D ，又由渐近线方程为y ＝b a x ＝12x ，得12＝ba，解得a 2＝20，b 2＝5.[答案] A [易误辨析]1．因对双曲线的几何性质不清，误以为c ＝10，错选C ；2．因对双曲线渐近线理解不清而出现渐近线求解错误，错解成12＝ab ，从而错选B.3．解决与双曲线性质有关的问题时，还易出现对a ，b ，c 之间的关系式c 2＝a 2＋b 2与椭圆中a ，b ，c 之间的关系式a 2＝c 2＋b 2的混淆，从而出现解题错误等．[变式训练]已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．解析：法一：点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1上，则4a 2－9b 2＝1，又由于2c ＝4，所以a 2＋b 2＝4.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－9b 2＝1，a 2＋b 2＝4， 得a ＝1或a ＝4.由于a <c ，故a ＝1.所以离心率为e ＝ca＝2.法二：∵双曲线的焦距为4，∴双曲线的两焦点分别为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，点(2,3)到两焦点的距离之差的绝对值为2，即2a ＝2，∴a ＝1，离心率e ＝ca＝2.答案：2一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．若k ∈R 则“k >5”是“方程x 2k －5－y 2k ＋2＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当k >5时，方程表示双曲线；反之，方程表示双曲线时，有k >5或k <－2.故选A.2．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1解析：选B 椭圆的焦点坐标为(±3，0)，四个选项中，只有x 22－y 2＝1的焦点为(±3，0)，且经过点P (2,1)．3．(2013·惠州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1， 5 )B ．(1， 5 ]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：选C ∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则由题意得b a >2.∴e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2>1＋4＝ 5.4．(2012·浙江高考)如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )A ．3B ．2 C. 3D. 2解析：选B 设焦点为F (±c,0)，双曲线的实半轴长为a ，则双曲线的离心率e 1＝ca ，椭圆的离心率e 2＝c 2a ，所以e 1e 2＝2.5．已知双曲线x 22－y 2b2＝1(b >0)的左，右焦点分别是F 1，F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在双曲线上．则PF 1·PF 2＝( ) A ．－12 B ．－2 C ．0D ．4解析：选C ∵由渐近线方程为y ＝x 知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是x 2－y 2＝2，于是两焦点坐标分别是(－2,0)和(2,0)，且P (3，1)或P (3，－1)．不妨取P (3，1)，则PF 1＝(－2－3，－1)，PF 2＝(2－3，－1)．∴PF 1·PF 2＝(－2－3，－1)·(2－3，－1)＝－(2＋3)·(2－3)＋1＝0.6．(2012·皖南八校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点且斜率为33的直线与双曲线渐近线平行，则此双曲线离心率是( ) A.233B. 3 C ．2D ．2 3解析：选A 依题意，应有b a ＝33，又ba ＝e 2－1，即e 2－1＝33，解得e ＝233. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．解析：由题意得m >0，a ＝m ，b ＝m 2＋4，所以c ＝m 2＋m ＋4.由e ＝ca＝5得m 2＋m ＋4m＝5，解得m ＝2. 答案：28．P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为________．解析：双曲线的两个焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为r 1＝2，r 2＝1，|PM |max ＝|PF 1|＋2，|PN |min ＝|PF 2|－1，故|PM |－|PN |的最大值为(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝5.答案：59．(2012·辽宁高考)已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，因为PF 1⊥PF 2，所以(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，又因为|PF 1|－|PF 2|＝2，所以(|PF 1|－|PF 2|)2＝4，可得2|PF 1|·|PF 2|＝4，则(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2 3.答案：2 3三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．双曲线C 与椭圆x 227＋y 236＝1有相同焦点，且经过点(15，4)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，点P 在双曲线C 上，且∠F 1PF 2＝120°，求△F 1PF 2的面积．解：(1)椭圆的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)． 设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a 2＋b 2＝32＝9.①又双曲线经过点(15，4)，所以16a 2－15b 2＝1，② 解①②得a 2＝4，b 2＝5或a 2＝36，b 2＝－27(舍去)， 所以所求双曲线C 的方程为y 24－x 25＝1.(2)由双曲线C 的方程，知a ＝2，b ＝5，c ＝3.设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则|m －n |＝2a ＝4， 平方得m 2－2mn ＋n 2＝16.① 在△F 1PF 2中，由余弦定理得(2c )2＝m 2＋n 2－2mn cos 120°＝m 2＋n 2＋mn ＝36.② 由①②得mn ＝203.所以△F 1PF 2的面积为S ＝12mn sin 120°＝533.11．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ＋ON ＝t OD ，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)∵由题意知a ＝23，∴一条渐近线为y ＝b23x ，即bx －23y ＝0.∴|bc |b 2＋12＝3，解得b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12. ∴⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y203＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝43，y 0＝3.∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．12．设双曲线y 2a 2－x 23＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，离心率为2.(1)求此双曲线的渐近线l 1，l 2的方程；(2)若A ，B 分别为l 1，l 2上的点，且2|AB |＝5|F 1F 2|，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：(1)∵e ＝2，∴c 2＝4a 2.∵c 2＝a 2＋3，∴a ＝1，c ＝2. ∴双曲线方程为y 2－x 23＝1，渐近线方程为y ＝±33x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x ，y )． ∵2|AB |＝5|F 1F 2|，∴|AB |＝52|F 1F 2|＝52×2c ＝10.∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝10.又y 1＝33x 1，y 2＝－33x 2,2x ＝x 1＋x 2,2y ＝y 1＋y 2， ∴y 1＋y 2＝33(x 1－x 2)，y 1－y 2＝33(x 1＋x 2)， ∴[3(y 1＋y 2)]2＋⎣⎡⎦⎤33(x 1＋x 2)2＝10， ∴3(2y )2＋13(2x )2＝100，即x 275＋3y 225＝1.则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆．1．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线的方程是( )A.x 23－y 24＝1 B.x 24－y 23＝1 C.x 25－y 22－1 D.x 22－y 25＝1 解析：选D ∵中点⎝⎛⎭⎫－23，－53，设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与y ＝x －1的两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2a 2x 1＋x 2y 1＋y 2＝2b 25a2＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5a 2＝2b 2，a 2＋b 2＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝5.∴方程为x 22－y 25＝1.2．(2013·揭阳模拟)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为________．解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则b a ＝12，故离心率e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝52.答案：523．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．解析：由题意知，椭圆的焦点坐标是(±7，0)离心率是74.故在双曲线中，c ＝7，e ＝274＝c a ，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，故所求双曲线的方程是x 24－y 23＝1. 答案：x 24－y 23＝14．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞1，b ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围．解：直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b (a －1)a 2＋b2.同理得到点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝b (a ＋1)a 2＋b2.所以s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b 2＝2ab c. 由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5ac 2－a 2≥2c 2.于是得5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0.解不等式，得54≤e 2≤5.由于e ＞1，故e 的取值范围是⎣⎡⎦⎤52，5.。

一、复习目标：掌握双曲线的定义、标准方程和简单的几何性质，能利用双曲线的标准方程和几何性质解决一些简单的问题二、知识梳理：1、双曲线的第一定义：平面内动点P 与两个定点)02(,2121c F F F F 的为常数)(2c a a ，则点P 的轨迹叫双曲线，这两个定点叫双曲线的_____________，两焦点间的距离叫双曲线的____________。

①对于动点P 定点,,21F F 如果2121F F PF PF ,那么动点P 的轨迹_________________. ②如果2121F F PF PF ,那么动点P 无轨迹.2、双曲线的第二定义：3、标准方程：),0,0(,1,122222222222b a c b a b x a yb y a x 4、双曲线的几何性质三、基础训练：1、已知双曲线22221(0b 0)x y a a b ＞，＞和椭圆22x y =1169有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为.2、双曲线221mx y 的虚轴长是实轴长的2倍，则m3、已知方程22132x y k k 表示焦点在y 轴上的双曲线，则k 的取值范围为____________4、设双曲线的左准线与两条渐近线交于,A B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为___________5、已知双曲线4x 2– y 2 + 64 = 0上一点M 到它的一个焦点的距离等于1，点M 到另一个焦点的距离。

6、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b 的左、右焦点分别为12,,F F P 是双曲线上的点，I 圆是12PF F 的内切圆，I 圆与12F F 切于点A ，则切点A 的坐标为_________。

7、已知F 是双曲线224121y x 的左焦点，A(1,4), P 为右支上的动点，则PA PF 的最小值为。

四、例题讲解：1、（1）过点（3，–2），且与椭圆4x 2 + 9y 2 = 36有相同焦点的双曲线方程（2）若双曲线经过点（3，6），且它的两条渐近线方程是y =±3x ，则双曲线的方程是（3）焦点在坐标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为30x y ，焦点到渐近线的.距离为3，求此双曲线的方程。

第50讲 双曲线（解析版）考点内容解读要求 常考题型 1．双曲线的定义掌握双曲线的定义，标准方程，几何性质，离心率，通径，最值。

Ⅰ选择题，填空题，大题 2．双曲线的性质 能利用双曲线的简单性质求双曲线的方程．能用双曲线的简单性质分析解决一些简单的问题．Ⅱ选择题，填空题，大题一、双曲线的简单几何性质双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的简单几何性质1． 范围22221x x a ax a x a 即或≥≥∴≥≤-双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a 和x=a 的两侧，是无限延伸的。

因此双曲线上点的横坐标满足x ≤-a 或x ≥a ． 2．对称性对于双曲线标准方程12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0），把x 换成-x ，或把y 换成-y ，或把x 、y同时换成-x 、-y ，方程都不变，所以双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。

3．顶点①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。

②双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A 1（-a ，0），A 2（a ，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。

③两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴；设B 1（0，-b ），B 2（0，b ）为y 轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。

实轴和虚轴的长度分别为|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b 。

a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长。

①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。

②双曲线的焦点总在实轴上。

③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。

4．离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e 表示，记作aca c e ==22。

第六节双曲线课程标准解读1．了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.3.通过双曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.[知识排查·微点淘金]知识点一双曲线的定义一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a<|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距.[微提醒](1)当|PF1|－|PF2|＝2a(2a<|F1F2|)时，点P的轨迹为靠近F2的双曲线的一支；当|PF1|－|PF2|＝－2a(2a<|F1F2|)时，点P的轨迹为靠近F1的双曲线的一支．(2)若2a＝2c，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a>2c，则轨迹不存在；若2a ＝0，则轨迹是线段F1F2的垂直平分线．知识点二双曲线的标准方程1．中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．2．中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．知识点三双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称性对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b离心率e＝ca＝1＋b2a2∈(1，＋∞)；e是表示双曲线开口大小的一个量，e越大开口越大渐近线 y ＝±b axy ＝±a bxa ，b ，c 的关系a 2＝c 2－b 2[微思考]已知双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，如何求其他具有共同渐近线的双曲线方程？提示：可设方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．常用结论1．过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a ，也叫通径．2．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .3．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .[小试牛刀·自我诊断]1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( ) (2)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ) (3)方程x 2m －y 2n＝1(mn ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(4)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m ＞0，n ＞0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．(链接人B 选择性必修第一册P 141AT 1)已知点M 为双曲线C ：x 2－y 28＝1的左支上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，则|MF 1|＋|F 1F 2|－|MF 2|＝( )A ．1B ．4C ．6D ．8解析：选B 由a 2＝1，b 2＝8， 得a ＝1，c ＝3，则|MF 1|＋|F 1F 2|－|MF 2|＝|MF 1|－|MF 2|＋|F 1F 2|＝－2a ＋2c ＝4. 故选B ．3．(链接人B 选择性必修第一册P 146例2)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A ．5B ．5C ． 2D ．2解析：选A 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a ±yb ＝0，即bx ±ay ＝0，∴2a ＝bc a 2＋b 2＝b .又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2. ∴e 2＝c 2a 2＝5，∴e ＝ 5. 4．(忽视双曲线上的点到焦点的最小距离)已知双曲线x 2－y 216＝1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离等于__________.解析：设双曲线的焦点为F 1，F 2，|PF 1|＝4， 则||PF 1|－|PF 2||＝2，故|PF 2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c －a ＝17－1，故|PF 2|＝6. 答案：65．(忽视焦点的位置)以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为π3，则双曲线的离心率为__________.解析：若双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则渐近线的方程为y＝±b a x ，由题意可得b a ＝tan π3＝3，b ＝3a ，可得c ＝2a ，则e ＝ca ＝2；若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1，则渐近线的方程为y ＝±a b x ，由题意可得a b ＝tan π3＝3，a ＝3b ，可得c ＝233a ，则e ＝233.综上可得e ＝2或e ＝233.答案：2或233一、基础探究点——双曲线的标准方程(题组练透)1．(多选题)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为( )A ．x 24－y 22＝1B ．y 24－x 28＝1C ．x 24－y 28＝1D ．y 24－x 22＝1解析：选AB 设双曲线方程为x 22m －y 2m ＝1(m ≠0)，又2a ＝4，∴a 2＝4， 当m ＞0时，2m ＝4，m ＝2； 当m ＜0时，－m ＝4，m ＝－4.故所求双曲线的标准方程为x 24－y 22＝1或y 24－x 28＝1.2．经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为________.解析：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为所求双曲线经过点P (3,27)，Q (－62，7)，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝125，故所求双曲线标准方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝13．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (2， 3 )在双曲线上，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则该双曲线的标准方程为________.解析：∵|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝4c .∵点P 位于第一象限，∴|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＝2c ＋a ，|PF 2|＝2c －a ，∴cos ∠PF 2F 1＝4c 2＋(2c －a )2－(2c ＋a )24c (2c －a )＝c －2a2c －a，又点P (2，3)在双曲线上，∴sin ∠PF 2F 1＝32c －a ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c －2a 2c －a 2＋3(2c －a )2＝1，化简得(c －2a )2＋3＝(2c －a )2，即c 2－a 2＝b 2＝1，又4a 2－3b2＝1，∴a 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 2－y 2＝1.答案：x 2－y 2＝1求双曲线标准方程的常用方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据 已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值；(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值． 提醒：求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，需注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(m ·n ＜0)求解．二、应用探究点——双曲线的定义及其应用(思维拓展)[典例剖析][例1] (1)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y 23＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP |＝2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．72B ．3C ．52D ．2[解析] 选B 设F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，则由题意可知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，又|OP |＝2，所以|OP |＝|OF 1|＝|OF 2|，所以△PF 1F 2是直角三角形，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝16.不妨令点P 在双曲线C 的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2，两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝16，所以|PF 1|·|PF 2|＝6，则S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6＝3，故选B ．(2)(2021·福建四校联考)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________.[解析] 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2 3.[答案] 2 3 [拓展变式][变条件]本例(2)中，“∠F 1PF 2＝60°”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积为________.解析：不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝4， ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝2.答案：21．利用双曲线定义解决的2类问题(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线；(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题． 2．利用双曲线的定义解决问题时的3个注意点 (1)距离之差的绝对值； (2)2a ＜|F 1F 2|；(3)焦点所在坐标轴的位置．[学会用活]1．(2021·河南安阳模拟)设双曲线C ：x 28－y 2m ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，N 在右支上．若∠F 2MN ＝∠F 2NM ，则|MN |＝( )A ．8B ．4C ．8 2D ．4 2解析：选C 由∠F 2MN ＝∠F 2NM 可知，|F 2M |＝|F 2N |，由双曲线定义可知，|MF 2|－|MF 1|＝42，|NF 1|－|NF 2|＝42，两式相加得，|NF 1|－|MF 1|＝|MN |＝8 2.三、综合探究点——双曲线的几何性质(多向思维)[典例剖析]思维点1 双曲线的渐近线问题[例2] (1)(2021·全国甲卷)点(3,0)到双曲线x 216－y 29＝1的一条渐近线的距离为( )A ．95B ．85C ．65D ．45[解析] 选A 双曲线x 216－y 29＝1的渐近线方程是x 4±y3＝0，即3x ±4y ＝0.由点到直线的距离公式，得点(3,0)到渐近线3x ±4y ＝0的距离为|3×3|32＋42＝95.故选A ． (2)(2021·全国乙卷)已知双曲线C ：x 2m －y 2＝1(m ＞0)的一条渐近线为3x ＋my ＝0，则C的焦距为________.[解析] 易得双曲线C 的渐近线方程为y ＝±1mx ，又知C 的一条渐近线方程为y ＝－3m x ，则3m ＝1m，解得m ＝3.故C 的方程为x 23－y 2＝1.所以C 的焦距为4.[答案] 4思维点2 双曲线的离心率问题[例3] (1)(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为( )A ．72B ．132C ．7D ．13[解析] 选A 由题意，得|PF 1|－|PF 2|＝2|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a .在△PF 1F 2中，由余弦定理，可得a 2＋9a 2－4c 22a ×3a＝12，所以c 2a 2＝74，所以双曲线C 的离心率为72.故选A ．(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，在双曲线上存在点P满足2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________.[解析] 当P 不是双曲线与x 轴的交点时，连接OP ，因为OP 为△PF 1F 2的边F 1F 2上的中线，所以PO →＝12(PF 1→＋PF 2→)；当P 是双曲线与x 轴的交点时，同样满足上述等式．因为双曲线上存在点P 满足2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|，所以4|PO →|≤2c ，由|PO →|≥a ，可知4a ≤2c ，则e ≥2. [答案] [2，＋∞)思维点3 双曲线的几何性质的综合应用[例4] 已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→＜0，则y 0的取值范围是________.[解析] 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， 设F 1(－3，0)，F 2(3，0)．则MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1→·MF 2→＜0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20＜0，即x 20－3＋y 20＜0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线C 上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20＜0，∴－33＜y 0＜33. [答案] ⎝⎛⎭⎫－33，33(1)求双曲线的渐近线或离心率的方法①求出a ，b ，c 直接求离心率，写渐近线方程．②列出a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后解方程或不等式．(2)双曲线性质的综合应用要充分注意与平面几何知识的联系，善于发现条件中的相等或不等关系．[学会用活]2．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A ．2B ． 3C ．2D ． 5解析：选D 由题意，可得F (1,0)，直线l 的方程为x ＝－1， 双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x .将x ＝－1代入y ＝±b a x ，得y ＝±ba ，所以点A ，B 的纵坐标的绝对值均为ba .由|AB |＝4|OF |可得2ba＝4，即b ＝2a ，b 2＝4a 2， 故双曲线的离心率e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝ 5. 四、应用探究点——直线与双曲线的位置关系(师生共研)[典例剖析][例5] (2021·新高考卷Ⅰ)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(－17，0)，F 2(17，0)，点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝2.记M 的轨迹为C ．(1)求C 的方程；(2)设点T 在直线x ＝12上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．[解] (1)因为|MF 1|－|MF 2|＝2＜|F 1F 2|，根据双曲线的定义知，点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支．由题意，得c ＝17，|MF 1|－|MF 2|＝2a ＝2，所以a ＝1. 又c 2＝a 2＋b 2，所以17＝1＋b 2，则b 2＝16. 所以C 的方程为x 2－y 216＝1(x ≥1)． (2)设T ⎝⎛⎭⎫12，t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12＋t (k ≠0)， 将此方程代入x 2－y 216＝1(x ≥1)，得(k 2－16)x 2＋(2kt －k 2)x ＋14k 2－kt ＋t 2＋16＝0，又直线AB 与曲线C 必有两个不同交点，则k 2－16≠0. 所以x 1＋x 2＝k 2－2kt k 2－16，x 1x 2＝14k 2－kt ＋t 2＋16k 2－16.①|TA |·|TB |＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪x 1－12·1＋k 2⎪⎪⎪⎪x 2－12 ＝(1＋k 2)⎝⎛⎭⎫x 1－12⎝⎛⎭⎫x 2－12 设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，直线PQ 的方程为y ＝k ′⎝⎛⎭⎫x －12＋t (k ′≠0)， 将此方程代入x 2－y 216＝1，得(k ′2－16)x 2＋(2k ′t －k ′2)x ＋14k ′2－k ′t ＋t 2＋16＝0，所以x 3＋x 4＝k ′2－2k ′tk ′2－16，x 3x 4＝14k ′2－k ′t ＋t 2＋16k ′2－16.② |TP |·|TQ |＝(1＋k ′2)⎝⎛⎭⎫x 3－12⎝⎛⎭⎫x 4－12， 由|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |， 得(1＋k 2)⎝⎛⎭⎫x 1－12⎝⎛⎭⎫x 2－12 ＝(1＋k ′2)⎝⎛⎭⎫x 3－12⎝⎛⎭⎫x 4－12， 即(1＋k 2)⎣⎡⎦⎤x 1x 2－12(x 1＋x 2)＋14 ＝(1＋k ′2)⎣⎡⎦⎤x 3x 4－12(x 3＋x 4)＋14.③ 将①②代入③并整理，得k 2＝k ′2. 因为k ≠k ′且k ，k ′≠0，所以k ＋k ′＝0. 故直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0.解决直线与双曲线的位置关系问题的策略(1)解题“步骤” 第一步―联立直线方程与双曲线方程↓第二步―消元转化成关于x 或y 的一元二次方程(或一元一次方程)↓ 第三步―利用根与系数的关系(或方程的解)判断它们的位置关系(2)解题“关键”联立直线方程与双曲线方程，消元后一定要注意判断二次项系数是否为零．当二次项系数为0时，直线与双曲线最多只有一个交点；当二次项系数不为0时，利用判别式Δ求解：Δ＞0⇔有两个交点⇔相交；Δ＝0⇔有一个交点⇔相切；Δ＜0⇔无交点⇔相离．[学会用活] 3．(2021·吉安一模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，点P (x 0，y 0)是直线bx －ay ＋4a ＝0上任意一点，若圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝1与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(1,4]C ．[2，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：选B 由题意，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0，∵P (x 0，y 0)是直线bx －ay ＋4a ＝0上任意一点，则直线bx －ay ＋4a ＝0与直线bx －ay ＝0的距离d ＝4aa 2＋b 2＝4a c，∵圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝1与双曲线C 的右支没有公共点，则d ≥1，∴4a c ≥1，即e ＝c a≤4，故e 的取值范围为(1,4]，故选B ．。

(1)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线
平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( ) A.x 25－y 2
20＝1 B.x 220－y 2
5＝1 C.3x 225－3y 2
100＝1
D.3x 2100－3y 2
25＝1
(2)设椭圆C 1的离心率为5
13，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( ) A.x 242－y 2
32＝1 B.x 2132－y 2
52＝1 C.x 232－y 2
42＝1
D.x 2132－y 2
122＝1
题型二 双曲线的几何性质
例2 (1)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2
＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( ) A. 2 B. 3 C.32 D.6
2
(2)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 2
9＝1的( )
A ．焦距相等
B ．实半轴长相等
C ．虚半轴长相等
D ．离心率相等 思维升华 (1)求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e 的关系式求e 或e 的范围；另一种是建立a ，b ，c 的齐次关系式，将b 用a ，e 表示，令两边同除以a 或。

高三数学第一轮复习讲义（51）双曲线一．复习目标：熟练掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质． 二．知识要点：1．双曲线的定义（1）第一定义： ． （2）第二定义： ．2．标准方程： ；与22221x y a b-=共渐进线的双曲线方程 ．3．性质： ． 4．共轭双曲线方程： ．三．课前预习：1．平面内有两个定点12,F F 和一动点M ，设命题甲，12||||||MF MF -是定值，命题乙：点M 的轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的（）()A 充分但不必要条件 ()B 必要不充分条件()C 充要条件 ()D 既不充分也不必要条件2．双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为12,e e ，则12,e e 应满足的关系是 （）()A 22121e e += ()B 22121e e -= ()C 1112221=-e e ()D 1112221=+e e3．直线y ax =与双曲线(1)(1)2(0)x y x --=<有公共点时，a 的取值范围是（）()A 30a -+< ()B 3a ≥-+()C 33a --≤-+()D 以上都不正确4．已知(2,1),A F ，P 是曲线221(0)x y x -=>上一点，当|||PA PF 取最小值时，P 的坐标是 ，||||PA PF 最小值是 ． 5．如果12,F F 分别是双曲线191622=-y x 的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点1F 的弦，且||6AB =，则2ABF ∆的周长是 ． 四．例题分析：例1．已知双曲线22125144x y -=的左右焦点分别为12,F F ，左准线为l ，能否在双曲线的左支上求一点P ，使1||PF 是P 到l 的距离d 与2||PF 的等比中项？若能，求出P 的坐标，若不能，说明理由．例2．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线在第一、第三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P ，l 与双曲线的左、右支的交点分别为,A B ．（1）求证：P 在双曲线的右准线上；（2）求双曲线离心率的取值范围．例3．是否同时存在满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由． （1）渐近线方程为20,20x y x y +=-=；（2）点(5,0)A 到双曲线上动点P五．课后作业： 班级 学号 姓名1．双曲线的渐进线方程为x y 21±=，且焦距为10，则双曲线方程为 （ ）()A 152022=-y x ()B 120522=-y x 或152022=-y x ()C 120522=-y x ()D 1|520|22=-y x 2．双曲线1422=+ky x 的离心率(1,2)e ∈，则k 的取值范围是 （ ） ()A (,0)-∞ ()B (3,0)- ()C (12,0)- ()D (60,12)-- 3．双曲线1162522=-y x 上一点P 的两条焦半径夹角为60，12,F F 为焦点，则12PF F ∆的面积为 ．4．与圆22(3)1x y ++=及圆22(3)9x y -+=都外切的圆的圆心轨迹方程为 ．5．过点(0,3)作直线l ，如果它与双曲线13422=-y x 有且只有一个公共点，则直线l 的条数是____________________．6．双曲线12222=-by a x 的一条准线被它的两条渐进线所截得的线段长度恰好等于它的一个焦点到一条渐进线的距离，则该双曲线的离心率为 ．7．过双曲线的一个焦点1F 且垂直于实轴的弦PQ ，若2F 为另一个焦点，且有902=∠Q PF ，则此双曲线的离心率为 ．8．一椭圆其中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为132，一双曲线和这椭圆有公共焦点,且双曲线的半实轴比椭圆的长半轴长小4，且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为7:3，求椭圆和双曲线的方程．9．设双曲线12222=-by a x 两焦点12(,0),(,0)F c F c -，点P 为双曲线右支上除顶点外的任一点，1221,PF F PF F αβ∠=∠=，求证：tan cot 22c a c aαβ-⋅=+．10．已知双曲线C 的两个焦点为12,F F l 过点2F ，且与线段12F F 的夹角为α，tan α=l 与线段12F F 的垂直平分线的交点为P ，线段2PF 与双曲线的交点为Q ，且22PQ QF =，求双曲线方程．经典语录1、最疼的疼是原谅，最黑的黑是背叛。

第八课时 双曲线教学目标：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质 一、教材复习： 1、 双曲线的定义：（1） 第一定义：平面内到两定点F 1，F 2的距离差的绝对值等于常数2a （122a F F <）的点的轨迹是双曲线。

（2） 第二定义：平面内到一定点F 和一定直线l 的距离之比为常数(1)e e >的点的轨迹是双曲线。

23__________________等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为：22(0)x y λλ-=≠，离心率为__________，渐近线方程为____________二、基础自测1、双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴的2倍，则m ＝____________2、已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0),(4,0)-，则双曲线的方程为__________3、双曲线的渐近线方程为34y x =±，则双曲线的离心率为_______________4、若双曲线2214x y m-=的渐近线方程为2y x =±，则双曲线的焦点坐标是______________ 三、典型例析例1 已知动圆M 与圆221:(4)2C x y ++=外切，与圆222:(4)2C x y -+=内切，求动圆圆心M 的轨迹方程.变式1：已知定点(0,7),(0,7),(12,2)A B C -，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，求另一焦点F 的轨迹方程. 例2 根据下列条件，求双曲线的方程（1） 与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(3,-（2） 与双曲线221164x y -=有公共焦点，且过点2)变式2 已知双曲线的离心率e =221133x y +=有共同焦点，求该双曲线的方程例3 已知双曲线的中心在原点，焦点12,F F 在坐标轴上，，且过点(4,, 点(3,)M m 在双曲线上（1） 求双曲线的方程； （2） 求证：120MF MF ⋅=； （3） 求12F MF ∆的面积。