高三数学一轮复习 第2讲 双曲线教案

双曲线教案高三教案标题：双曲线教案（高三）教案目标：1. 介绍双曲线的基本概念和性质；2. 帮助学生理解双曲线的方程和图像；3. 培养学生解决与双曲线相关的数学问题的能力；4. 引导学生应用双曲线知识解决实际问题。

教学重点：1. 双曲线的基本定义和性质；2. 双曲线的标准方程和图像；3. 双曲线的焦点、准线和渐近线；4. 双曲线的参数方程和极坐标方程；5. 双曲线的应用。

教学难点：1. 理解双曲线的图像和性质；2. 掌握双曲线的参数方程和极坐标方程；3. 运用双曲线知识解决实际问题。

教学准备：1. 教师准备：教学课件、教学素材、相关教辅资料；2. 学生准备：教材、作业本、计算器。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入双曲线的概念，让学生回顾并复习椭圆和抛物线的知识，为引入双曲线做铺垫；2. 提问学生对双曲线的认识和了解程度，激发学生的学习兴趣。

二、知识讲解（25分钟）1. 介绍双曲线的定义和基本性质，包括焦点、准线和渐近线等；2. 讲解双曲线的标准方程和图像，引导学生理解双曲线的形状和特点；3. 解释双曲线的参数方程和极坐标方程，帮助学生掌握不同表示方式下的双曲线图像。

三、示例分析（15分钟）1. 给出一些具体的双曲线方程，引导学生通过计算和绘图来分析双曲线的特点；2. 解答学生在分析过程中遇到的问题，引导学生思考和发现解决问题的方法。

四、练习与讨论（20分钟）1. 分发练习题，让学生个别或小组合作完成；2. 引导学生讨论解题思路和方法，鼓励学生相互交流和合作，提高解题效率和质量；3. 对学生的解题过程和结果进行点评和总结，纠正错误和不足。

五、拓展应用（10分钟）1. 给出一些与双曲线相关的实际问题，引导学生运用所学知识解决问题；2. 帮助学生将数学知识与实际问题相结合，培养学生的应用能力和创新思维。

六、课堂总结（5分钟）1. 对本堂课的重点内容进行总结和回顾；2. 强调学生需要进一步巩固和拓展所学知识的重要性；3. 鼓励学生积极参与课后练习和自主学习，提高学习效果。

双曲线高中数学教案
教学目标：
1. 了解双曲线的定义和性质
2. 能够将双曲线的标准方程转化为一般方程
3. 能够根据给定的信息绘制双曲线的图像
4. 能够求解双曲线的焦点、直线渐近线等相关问题
教学重点：
1. 双曲线的定义
2. 双曲线的图像及性质
3. 双曲线的标准方程及一般方程的转化
4. 双曲线的焦点、渐近线等相关问题
教学过程：
一、导入：
通过展示一个双曲线的图像，引导学生了解什么是双曲线以及其特点。

二、讲解：
1. 双曲线的定义和性质
2. 双曲线的标准方程及一般方程的推导和转化
3. 双曲线的图像及相关参数的含义
三、练习：
1. 练习转化双曲线的标准方程为一般方程
2. 练习绘制双曲线的图像
3. 练习求解双曲线的焦点、渐近线等相关问题
四、总结：
总结本节课所学内容，强化学生对双曲线的理解。

五、作业：
布置相关练习作业以加深学生对双曲线的理解，并要求学生在下节课前完成。

教学反思：
通过本节课的学习，学生能够对双曲线有一个初步的了解，并能够运用所学知识解决相关问题。

在教学中要注意引导学生从图像入手，帮助他们更好地理解双曲线的性质和特点。

第二讲双曲线一、考情分析解析几何是用代数的方法解决几何问题，体现了形数结合的思想，因而这一部分的题目的综合性 比较强，它要求学生既能分析图形，又能灵活地进行各种代数式和三角函数式的变形，这对学生能力 的要求较高．“圆锥曲线”是解析几何的重点内容，特别是在对学生掌握坐标法的训练方面有着不可替代的作 用．本讲主要是调动学生学习的主动性，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路，帮助 考生培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，培养 良好的个性品质，以及勇于探索、敢于创新的精神，进一步提高学生“应用数学”的水平．二、知识归纳（一）椭圆的定义（1）第一定义：平面内与两个定点 F 1、F 2的距离之差的绝对值等于常数 2a2a | F 1F 2 |的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．特征式： MF 1 MF 2 2a 2a |F 1F 2|． Ｐ注：①若2a | F 1F 2 |，则点的轨迹是以 F 1、F 2为端点的两条射线；Ｆ１Ｆ２②若2a | F 1F 2 |，则这样的点不存在； ③若 MF 1MF 22a2a|F 1F 2 |，则点的轨迹仅是双曲线的一支．（2）第二定义：平面内动点到定点的距离和它到一条定直线l 的距离的 比是常数e1，，那么这个点的轨迹叫做双曲线．其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率．ＰＦ特征式：MF e e 1， Fl ． d M l注：若 F l 时，表示过 F 与l 相交的两条直线（不含点 F ）．（二）双曲线的方程（1）双曲线的标准式方程： x m2yn 2① ② 1 a 0， b 0；（焦点在 x 轴的平行线上，中心在m ，n的双曲线方a2b2程）程）y n2xm 21 a 0， b 0．（焦点在 y 轴的平行线上，中心在m ，n的双曲线方a2 b2（2）双曲线的参数方程：x asec x 2 by 2 1 a 0， b0；2 2①y btanax m 2y n21a0，b 0． ②x m asec y n btana2 b2（3）双曲线的向量式方程： OM OF 1 OM OF 2a 2a |OF OF 2 |．2 1（三）性质：对于双曲线 x a 22 by 21a0，b而言， 2（1）范围及特征关系： xa ；a ．bc2 2 2（2）对称性：图象既关于 y 轴对称，又关于 x 轴对称，也关于原点对称．原点叫双曲线的对称中 心，简称中心． x 轴、 y 轴叫双曲线的对称轴．（3）顶点：双曲线和实轴的交点叫做双曲线的顶点． A (a ，0)，A 2(a ，0)；加两焦点F 1(c ，0)，F 2(c ，0)与 B 1(0，b)，B 20，b 共有六个特殊点． A 1A 2叫双曲线的实轴， B 1B 2叫双曲线的虚轴，长分别为2a 、2b ．a 、b 分别为双曲线的实半轴长和虚半轴长．（4）离心率：双曲线焦距与实轴长之比e c e 1(b)2e1．aa注：双曲线形状与e 的关系：e 1，b0，双曲线的开阔程度越小；e，b，双曲aa线的开阔程度越大．（5）双曲线的准线方程：对于 xa22 by 2 2 1，左准线l ：xa 2；右准线l ：x a 2； 12ccy 2 2bx 2 2 1，下准线l 1：ya2；上准线l 2：y a 2对于．c ac（6）焦准距：焦点到准线的距离 p ca2c 2 2a 2 b（焦参数）．c c c（7）通径：经过焦点且垂直于实轴的弦称之为通径，长度为 2ba2．（8）渐近线：双曲线的渐近线方程是 yb x （令 2 by 2 0即可）．x 2 2a a（9）焦半径公式：焦点在 x 轴上的双曲线的焦半径公式： MF 1a ex 0（左焦半径）； MF 2 a ex 0（右焦半径）；焦点在 y 轴上的双曲线的焦半径公式： MF 1a ey 0（下焦半径）； MF 2 a ey 0（上焦半径）；（规律：左加右减，上减下加．）Ｐ（10）焦点三角形：曲线上的点与焦点连线构成的三角形Ｆ１Ｆ２sin 称焦点三角形； Sb2 cot ； e ．（如何证明？） 2 2sin 2（四）等轴双曲线（1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线． （2）性质：①渐近线方程为： y x ；②渐近线互相垂直；③离心率 e 2． （3）方程： x y(0)，当0时交点在 x 轴，当0时焦点在 y 轴上．2 2（五）共轭双曲线 （1）定义：如果双曲线 C 1的实轴是双曲线C 2的虚轴，双曲线的虚轴 C 2是双曲线C 1的实轴，这 两个双曲线称为互为共轭双曲线．（2）求法： x a 22by 2 1x 2by 21；222a（3）性质：若共轭双曲线C 1、C 2的离心率分别为e 1、e 2，则：①1 2 e1 2 1；②e 1 e 22 2；③e 1e 22；④ 1 1 2．e e 21e 12（六）双曲线系方程（焦点在 x 轴的上，中心在原点）（1）共焦点的双曲线系： x ；22y 2 2 10 kck k c注：若k c2，则表示共焦点的椭圆系．（2）共渐进线的双曲线系： x a 2 2 by 20． 2注：若 x a 22 by 2，则表示离心率相同的椭圆系． 2三、精典例析（一）活用定义 例1：定点 A9，2，F 2是双曲线C ：xy 1的焦点，Ｐ是双曲线Ｃ的右支上的动点．2 29 16D HP（1）求 PA PF 2的最小值； A（2）求 PA3 PF 2的最小值． 5Ｆ1Ｆ2 解析：（1）双曲线C ：xy1的离心率为 e5，229 163PA PF 2 PA PF 1 2a PA PF 1 6FA 1 610 26； ，取等号时， P3 5（2） PA3 PF 2 PAPDAH36 5 ，2． 5 21引申： PAPF AP d P 准线 d A准线也适用于椭圆、抛物线． e例2：（1）方程 x 12y12x y 2表示什么曲线？（2）方程x 12y 1 2x y2表示什么曲线？x 1 2y1 2 解析：（1）设 Px ，y，则原方程等价于： 2，x y2 2 即： P x ，y 到定点 A 1，1的距离与它到定直线l ：x y 2 0的距离之比为32，故原方程表示以定点 A 1，1为焦点，以定直线l ：x y 20为准线的双曲线．（2）∵ A1，1l ：xy 2 0，∴原方程表示过定点 A 1，1，与定直线l ：x y 2 0相交的直线 x 1与 y1．例3：一炮弹在某处爆炸，在A 处听到爆炸声的时间比在B 处晚2s ． （1）爆炸点应在什么样的曲线上？（2）已知A 、B 两地相距800m ，并且此时声速为340m/ s ，求曲线的方程．分析：解应用题的关键是建立数学模型根据本题设和结论，注意到在A 处听到爆炸声的时间比B 处晚2s,这里声速取同一个值解析：（1）由声速及A 、B 两处听到爆炸声的时间差，可知A 、B 两处与爆炸点的距离的差，因此 爆炸点应位于以A 、B 为焦点的双曲线上．∵爆炸点离A 处比离B 处更远，∴爆炸点应在靠近B 处的一支上．（2）建立直角坐标系 xoy （如图），设爆炸点P 的坐标为 P(x ，y)，则：yPA PB 340 2 680，即 a340，P ∵ AB800，∴ c400，b 2 c 2 a244400，OxBAx2y 2 故所求双曲线的方程为：1x0．115600 44400 点评：利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置．如果再增设一个观测点C ，利用B 、C(或A 、C)两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置．这 是双曲线的一个重要应用，强化学生“应用数学”的意识．思考：如果A 、B 两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上．（爆炸点应在线段ＡＢ 的中垂线上）x 2 y2例4：方程k 表示什么曲线？25k k9解析：（1）当k 0时，表示焦点在 y 轴上的双曲线；（2）当k 0时，表示两条相交直线 y 3 x ； 5（3）当0 k 9时，表示焦点在 x 轴上的双曲线； （4）当9k25时，表示椭圆型曲线，①若9k 17时，表示焦点在 x 轴上的椭圆；②若k 17时，表示圆 x ③若17k25时，表示焦点在 y 轴上的椭圆；（5）当k 25时，表示焦点在 y 轴上的双曲线．y 2 2136； （二）活用性质例5：（1）（05湖南卷）已知双曲线 x a 22 by 21 a 0， b 0的右焦点为F ，右准线与一条渐近23a2线交于点A ，△OAF的面积为 （O 为原点），则两条渐近线的夹角为．2（2）（05福建卷）已知F 1、F 2是双曲线 2by 1(a0,b 0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正x 2 2a2三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是．解析：（1）∵右焦点为 F c ，0，右准线 xa ，渐近线 ybx ，2caa 2ab ，c ，S 1 cab c 1 ab ，∴ A c 2 2∵△OAF的面积为 a2，∴ 3ab e2，2 故两条渐近线的夹角为．3（2）运用正三角形的特性知：边MF 1的中点坐标是c ，3 c ，则：2 223 c 2 2c 2∵ 14a 4 8a 2 b2c 4e 4 8e 210，a 2 c a2 2∴e24 2 3e 31．例6：双曲线的渐进线方程为 y 3 x ，求双曲线的离心率． 4解析：设 x24y 2 0，169 （1）当0时，a （2）当0时，a 2 2 16， b 9，c2 25，∴ e5 ； 4 9， b 16，c2 25，∴ e 5；3 故双曲线的离心率是 e 5 或 e 5．4 35的焦点，且sin B A 1 C cos ，求点C 的轨迹方程．2 2 2 例7：ABC 中， A 、B 是 x2 5y 2解析：∵ x 2 5y25x y221，∴ A 2，0、B 2，0，AB 4．5∵sin B A 1cos C 2sin B Acos B A C B A ，2 cos cos2 2 2 2 2 2∴sin B sin A 1sinC AC BC 1 AB 2，2 2故点C 的轨迹方程是 x2y1 x1．23（三）焦半径公式及焦点三角形例8：已知双曲线的左右两焦点分别为 F 1、F 2，点M 是双曲线上不重合于顶点的一点，点P 为MF 1F 2的内心，证明：点P 在 x 轴上的射影是双曲线的顶点．解析：（1）若点M 在双曲线右支上，过P 作PN 垂直 F 1F 2 于点N ，设右顶点为Ａ，则：NF 1 MF 1F 1F 2 MF 22c 2a ca ， Ｍ 2 2ＰNF 2 MF 2F 1F 2 MF 1 2a 2c ca ，Ｆ1 ＡＦ222∵ F 1 Ac a ，AF 2 a c ，∴右顶点Ａ与点N 重合．故点P 在 x 轴上的射影就是双曲线的右顶点．（2）若点M 在双曲线左支上，同理可证，点P 在 x 轴上的射影是双曲线的左顶点．例9：已知双曲线的左右两焦点分别为 F 1、F 2 ，点M 是双曲线右支上不重合于顶点的一点，设MF 1F 2，MF 2F 1 ，若 sin1cos 1．sin1cos3（1）求双曲线的离心率；（2）如果动点M 的坐标为x, y，且 4x2 2 5xy 4y2有最小值15时，求双曲线的方程． tansin 1cos sin 1cos 讲解：（1）如果对三角公式较为熟悉，不难发现：2． tan 2所以，要求双曲线的离心率，只需考虑如何用a 、b 、c 、e 来表达 tan tan2 即可．2法1：设双曲线的实轴长为2a ，焦距为 2c ，点P 为MF 1F 2的内心，过P 作PN 垂直 F 1F 2 于点N ，则：tan 2PN ，tanPN，NF 1 NF 2Ｍ 2 P又 NF 1MF 1F 1F 2 MF 22c 2a ca ，N2 2Ｆ2OＦ2NF 2 MF 2F 1F 2 MF 1 2a 2c ca ，22tan∴ sin 1cos 12＝ NF 2 c a e 1， NF 1 c a e 13 sin1costan 2∴ e 2．法2：直接利用正、余弦定理也可得出结论．tan2 1 sinsin sin cos cos sin tan2 2 2 2 2 2 2esin sin cos cos2．sinsin tan22 2 2 2 221 tan2（2）∵ e 2b 23a 2，∴M 的坐标x, y适合方程3x 2 y 23a ，2∵ 4x2 5xy4y223x 2 y 2 xy 2 5y 22 5xy15．（等号当且仅当 x5 y 5 42时取得）．3a223x 2y22x5y3x2214∴ a25,b 15，双曲线的方程为： x 2y 1．25 15（四）焦点弦：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦．例10：过双曲线 xy1的左焦点Ｆ1作倾斜角为的弦ＡＢ，求 AB 及F 2AB 的周长．22 36解析：设 A x 1，y 1，Bx 2，y 2，则：Ｂ3y x 2A8x 2 4x 13 0， 2 x 2y 13Ｆ1ＯＦ2显然，0，且 x 1 x 2 1，x 1x 213 8 ， 2 法1： AB 1k2x 1 x 2 3． 法2： ABBF 1 AF 112x 2 12x 1 12x 2 12x 1 2 2x 1 x 23．F 2AB 的周长为：3AF 2BF 2 312x 1 12x 2 312x 112x 232x 2x 133 3．引申：设两交点 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则： （1）当双曲线焦点在 x 轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关： ①过左焦点与左支交于两点时，此时， kb ， AB AF 1 BF 1 2a e(x 1x 2)；a②过左焦点与左、右两支交于两点时，此时， kb ， AB AF 1 BF 1 2a e(x 1 x 2)；a③过右焦点与右支交于两点时，此时， kb ， AB AF 1BF 1 2a e(x 1x 2)；a④过左焦点与左、右两支交于两点时，此时， kb ， AB AF 1 BF 1 2a e(x 1x 2)．a（2）当双曲线焦点在 y 轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关． （五）中点弦 例11：双曲线C ：x2y21上是否存在被点 B 1，1平分的弦？2解析：显然，点 B 1，1在双曲线外，若存在被点 B1，1平分的弦MN ，则弦的斜率必存在．设 Mx 1，y 1，Nx 2，y 2，则：2x 1 2 y 122 2y 1 y 22x 1 x 2 k2，故l ：y 1 2 x 1；x 1x 2 y 1y 22x 22 y22y 12x 1 2x24x3 0，8 0，2 x 2 y 12故双曲线C ：x2y2 1上不存在被点 B1，1平分的弦．2引申：（1）若点 B 在双曲线内，则以点 B 为中点的弦必存在；（2）若点 B 在双曲线外，则以点 B 为中点的弦可能存在，也可能不存在． （六）直线与双曲线相交问题例12：(05重庆卷)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为2，0，右顶点为，3 0．（1）求双曲线C 的方程； （2）若直线l ：y kx 2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA OB2 (O 为原点)，求k 的取值范围．解析：（1）设双曲线方程为 x a 22 by 2 1a 0， b0，则： 2∵ a3， c 2，a 2 b 2 2 2 ，∴ b 21，故双曲线C 的方程为 x2y21．3y kx 2 （2）设 A(x A ，y A )，B(x B ，y B )，则：(13k )x2 26 2kx 9 0，x 2y 123 ∵直线l ： y kx 2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，∴13k20 k(6 2k) 36(13k )36(1k )2 2 2 2 1且k 21，3 6 2k 2，x A x B 9且 x A x B 13k 13k2∵OA OB2，∴ x A x By A y B 2，∵ x A x By A y Bx A x B(kx A2)(kx B2) (k 2 1)x A x B2k(x A x B )21) 9 22k 1632kk 22 33kk213k27 1(k 2∴ 3k3k27 2 3k 1 3k29 0 1k 23，2 2 1 31 k21，∴3故k 的取值范围为(1，3)( 3，1)． 33Ｌ1 例13：（05北京卷）如图，直线l 1：ykxk与直线 l 2：y kx 之间的阴影区域（不含边界）记为W ，其左半W 2W 1Ｏ部分记为W 1，右半部分记为W 2．Ｌ2 （I ）分别用不等式组表示W 1和W 2； （II ）若区域W 中的动点 Px ，y到l 1、l 2的距离之积等于d 2，求点P 的轨迹C 的方程；（III ）设不过原点O 的直线l 与（II ）中的曲线C 相交于M 1，M 2两点，且与l 1，l 2分别交于M 3、 M 4两点．求证：△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心重合．解析：（I ）W 1 x ，y kx y kx ，x 0，W 2 x ，y kx ykx ，x 0； （II ）∵直线l 1：kx y 0，直线l 2：kx y 0，∴ | kxy || kx y |d | k2 x 2 y 12 | d2，22k21 k12k ∵ P x ，y W ，∴k 2x 2 y 20，k 2 x 2 y 12d 2 k 2 x 2 y 22(k 2 1)d20．∴ k 2∴动点P 的轨迹C 的方程为k2xy 2 (k2 1)d2 0；（III ）分为以下两种情形分别加以证明；①当直线l 与 x 轴垂直时，可设直线l 的方程为l ：xa a 0，由于直线l 、曲线C 关于 x 轴 对称，且l 1与l 2关于 x 轴对称，于是M 1M 2、M 3M 4的中点坐标都为a ，0，所以△OM 1M 2、△OM 3M 4的重心坐2标都为a ，0，即它们的重心重合；3②当直线l 1与 x 轴不垂直时，设直线l 的方程为l ：ymxnn，则：k2 x 2 y (k 1)d2 2 2(ky mx nm )x 2mnx n k d d0，2 2 2 2 2 2 2 ∵直线l 与曲线C 有两个不同交点，∴k 2 m 2 且(2mn) 2 4(k 2 m 2 )(n 2 k 2 d 2 d 2 ) 0，2mn 设 M 1x 1，y 1，M 2 x 2，y 2 ，则： x 1 x 2设 M 3x 3，y 3，M 4 x 4，y 4 ，则：， y 1 y 2 m(x 1 x 2)2n ， k 2 m 2 y kx n y kx y mx n n x 4 y mx n x 3； k m k m 2mn ∴ x 3x 4 x 1 x 2， k 2 m 2 ∴ y 3 y 4 m x 3 x 42n m x 1 x 22n y 1 y 2，故△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心重合．四、课后反思 ．。

第2讲双曲线及其性质考纲展示命题探究考点一双曲线的标准方程1双曲线的定义(1)定义：平面上，到两定点的距离之差的绝对值为常数(小于两定点间的距离)的动点的轨迹．两定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)符号语言：||MF1|－|MF2||＝2a(2a<|F1F2|)．2双曲线的标准方程根据双曲线的定义，通过建立适当的坐标系得出的，其形式为：(1)当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为x2 a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．(2)当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为y2 a2－x2b2＝1(a>0，b>0)．3双曲线方程的几种常见设法(1)与双曲线x2a2－y2b2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)若双曲线的渐近线方程为y＝±nm x，则双曲线方程可设为x2m2－y2n2＝λ(λ≠0)或n2x2－m2y2＝λ(λ≠0)．(3)与双曲线x2a2－y2b2＝1共焦点的双曲线方程可设为x2a2－k－y2b2＋k＝1(－b 2<k <a 2)．(4)过两个已知点的双曲线的标准方程可设为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)． (5)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有共同焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ＋y 2b 2－λ＝1(b 2<λ<a 2)． 注意点 双曲线定义的理解当|MF 1|－|MF 2|＝2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的双曲线的一支；当|MF 1|－|MF 2|＝－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的双曲线的一支；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹为分别以F 1，F 2为端点的两条射线；当2a >|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.1．思维辨析(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( )(2)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )(3)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( ) (4)x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线的充要条件是mn <0.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．与椭圆C ：y 216＋x 212＝1共焦点且过点(1，3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1B ．y 2－2x 2＝1 C.y 22－x 22＝1 D.y 23－x 2＝1答案 C解析 椭圆y 216＋x 212＝1的焦点坐标为(0，－2)，(0,2)，设双曲线的标准方程为y 2m －x 2n ＝1(m >0，n >0)，则⎩⎨⎧3m －1n ＝1，m ＋n ＝4，解得m ＝n ＝2，故选C.3．双曲线x 216－y 29＝1上的点P 到点(5,0)的距离是6，则点P 的坐标是________．答案 (8，±33)解析 F (5,0)为双曲线的右焦点，设P (x ，y )，则(x －5)2＋y 2＝36①，与x 216－y 29＝1②，联立①②解得：x ＝8，y ＝±3 3.∴P (8，±33)．[考法综述] 高考一般考查双曲线方程的求法和通过方程研究双曲线的性质．双曲线的定义的考查主要是利用定义求双曲线的方程，或者是与正余弦定理结合解决焦点三角形问题．命题法 双曲线的定义和方程典例 (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1(2)已知双曲线x 24－y 2＝1的左、右焦点为F 1，F 2，点P 为左支上一点，且满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．[解析] (1)由2c ＝10，得c ＝5，∵点P (2,1)在直线y ＝b a x 上，∴1＝2ba ，即a ＝2b . 又∵a 2＋b 2＝25，∴a 2＝20，b 2＝5. 故双曲线C 的方程为x 220－y 25＝1.(2)设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2－2mn cos60°＝(2c )2，n －m ＝2a ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2－mn ＝20，m 2＋n 2－2mn ＝16，所以mn ＝4，所以S △F 1PF 2＝12mn sin60°＝ 3. [答案] (1)A (2)3【解题法】 双曲线标准方程的求法 (1)一般步骤①判断：根据已知条件确定双曲线的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能．②设：根据①中判断设出所需的未知数或者标准方程． ③列：根据题意列关于a ，b ，c 的方程或者方程组． ④解：求解得到方程． (2)常见问题形式①如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．②当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是如果已知中心在原点，但不能确定焦点的具体位置，可以设双曲线的一般方程mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．1．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( )A ．x 2－y24＝1B.x 24－y 2＝1C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x24＝1答案 C解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1和y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线方程分别为x 2a 2－y 2b 2＝0和y 2a 2－x 2b 2＝0.A 、B 选项中双曲线的焦点在x 轴上，C 、D 选项中双曲线的焦点在y 轴上，又令y 24－x 2＝0，得y ＝±2x ，令y 2－x 24＝0，得y ＝±12x ，故选C.2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1答案 C解析 由题意得e ＝1＋b 2a 2＝54，又右焦点为F 2(5,0)，a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝16，b 2＝9，故双曲线C 的方程为x 216－y29＝1.3.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1答案 D解析 由题意可得b a ＝32，c ＝7，又c 2＝7＝a 2＋b 2，解得a 2＝4，b 2＝3，故双曲线的方程为x 24－y23＝1.4.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )A.14B.13C.24D.23答案 A解析 ∵双曲线的离心率为2，∴ca ＝2， ∴a ∶b ∶c ＝1∶3∶2.又∵⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|F 1A |＝2|F 2A |，∴|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ， ∴|F 1F 2|＝2c ＝4a ，∴cos ∠AF 2F 1＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2－|AF 1|22|AF 2||F 1F 2|＝4a 2＋16a 2－16a 22×2a ×4a＝4a 216a 2＝14，选A.5．设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．答案 x 23－y 212＝1 y ＝±2x解析 双曲线y 24－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±2x .设与双曲线y 24－x 2＝1有共同渐近线的方程为y 24－x 2＝λ(λ≠0)，又(2,2)在双曲线上，故224－22＝λ，解得λ＝－3.故所求双曲线方程为y 24－x 2＝－3，即x 23－y 212＝1. 所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .6．如图所示，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左、右焦点，且双曲线过C ，D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为________．答案 x 2－y23＝1解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意得B (2,0)，C (2,3)，∴⎩⎨⎧4＝a 2＋b 2，4a 2－9b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线的标准方程为x 2－y23＝1.7．已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且焦距是213，则双曲线方程为________．答案x 29－y 24＝1或y 24－x 29＝1解析 设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0)． 若λ>0，则a 2＝9λ，b 2＝4λ， c 2＝a 2＋b 2＝13λ.由题设知2c ＝213，∴λ＝1， 故所求双曲线方程为x 29－y 24＝1； 若λ<0，则a 2＝－4λ，b 2＝－9λ，c 2＝a 2＋b 2＝－13λ.由2c ＝213，∴λ＝－1， 故所求双曲线方程为y 24－x 29＝1.综上，所求双曲线方程为x 29－y 24＝1或y 24－x 29＝1.考点二 双曲线的几何性质1 双曲线的几何性质 标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形2等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．(2)等轴双曲线⇔离心率e＝2⇔两条渐近线y＝±x相互垂直．3点P(x0，y0)和双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的关系(1)P在双曲线内(含焦点部分)⇔x20a2－y20b2>1；(2)P在双曲线上⇔x20a2－y20b2＝1；(3)P在双曲线外(不含焦点部分)⇔x20a2－y20b2<1.注意点双曲线的离心率与曲线开口大小的关系离心率e的取值范围：e>1，当e越接近于1时，双曲线开口越小；e越接近于＋∞时，双曲线开口越大.1．思维辨析(1)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( )(2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) (3)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．( )(4)渐近线的斜率与双曲线的离心率的关系是k ＝±e 2＋1.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为x －2y ＝0，则它的离心率为( )A. 5B.52C. 3 D ．2答案 A解析 依题意设双曲线的方程是y 2a 2－x 2b 2＝1(其中a >0，b >0)，则其渐近线方程是y ＝±a b x x ，由题知a b ＝12，即b ＝2a ，因此其离心率e ＝a 2＋b 2a ＝5aa ＝ 5.3．以椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的渐近线方程为________．答案 y ＝±3x解析 椭圆x 24＋y 23＝1的焦点坐标为(1,0)，(－1,0)，顶点坐标为(2,0)，(－2,0)．则双曲线的顶点为(1,0)，(－1,0)，焦点为(2,0)，(－2,0)．则双曲线的标准方程为：x 2－y23＝1.其渐近线为y ＝±3x .[考法综述] 高考对于双曲线的几何性质的考查以理解和运用为主，双曲线独有的渐近线是高频考点，常与其他圆锥曲线综合考查，难度较大．命题法 双曲线的几何性质典例 (1)已知F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(2，＋∞)(2)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆O ：x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点为A ，B ，双曲线左顶点为C ，若∠ACB ＝120°，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±2xD ．y ＝±22x[解析] (1) 如图所示，过点F 2(c,0)且与渐近线y ＝ba x 平行的直线为y ＝b a (x －c )，与另一条渐近线y ＝－ba x 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a (x －c )，y ＝－ba x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c 2，y ＝－bc2a ，即点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，－bc 2a .∴|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a 2＝c 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. ∵点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外， ∴|OM |>c ， 即c21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>c ，得 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>2. ∴双曲线离心率e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>2. 故双曲线离心率的取值范围是(2，＋∞)．故选D.(2)如图所示，设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c (c >0)，则C (－a ，0)，F (－c,0)．由双曲线和圆的对称性知，点A与点B关于x轴对称，则∠ACO＝∠BCO＝12∠ACB＝12×120°＝60°.∵|OA|＝|OC|＝a，∴△ACO为等边三角形，∴∠AOC＝60°.∵F A切圆O于点A，∴OA⊥F A，在Rt△AOF中，∠AFO＝90°－∠AOF＝90°－60°＝30°，∴|OF|＝2|OA|，即c＝2a，∴b＝c2－a2＝(2a)2－a2＝3a，故双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±ba x，即y＝±3x.[答案](1)D(2)A【解题法】求双曲线离心率、渐近线问题的一般方法(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2＝c2－a2和e＝ca转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．(2)求渐近线时，利用c2＝a2＋b2转化为关于a，b的方程或不等式．双曲线渐近线的斜率与离心率的关系．1．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为()A. 5 B．2C. 3D.2答案 D解析 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，不妨设点M 在双曲线的右支上，如图，AB ＝BM ＝2a ，∠MBA ＝120°，作MH ⊥x 轴于H ，则∠MBH ＝60°，BH ＝a ，MH ＝3a ，所以M (2a ，3a )．将点M 的坐标代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1，得a ＝b ，所以e ＝ 2.故选D.2.若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3答案 B解析 解法一：依题意知，点P 在双曲线的左支上，根据双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2×3＝6，所以|PF 2|＝6＋3＝9，故选B.解法二：根据双曲线的定义，得||PF 2|－|PF 1||＝2×3＝6，所以||PF 2|－3|＝6，所以|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)，故选B.3．将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A ．对任意的a ，b ，e 1>e 2B ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2C ．对任意的a ，b ，e 1<e 2D ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2 答案 D解析 依题意，e 1＝a 2＋b 2a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，e 2＝(a ＋m )2＋(b ＋m )2a ＋m＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2 .因为b a －b ＋m a ＋m ＝ab ＋bm －ab －am a (a ＋m )＝m (b －a )a (a ＋m )，由于m >0，a >0，b >0，且a ≠b ，所以当a >b 时，0<b a <1,0<b ＋m a ＋m <1，b a <b ＋ma ＋m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2，所以e 1<e 2；当a <b 时，b a >1，b ＋m a ＋m >1，而b a >b ＋m a ＋m，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>⎝⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2，所以e 1>e 2.所以当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2，故选D.4．过双曲线x 2－y23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433 B ．23 C ．6 D ．43答案 D解析 由双曲线的标准方程x 2－y 23＝1得，右焦点F (2,0)，两条渐近线方程为y ＝±3x ，直线AB ：x ＝2，所以不妨取A (2，23)，B (2，－23)，则|AB |＝43，选D.5.已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A. 3 B ．3 C.3m D ．3m答案 A解析 由题意，可得双曲线C 为x 23m －y 23＝1，则双曲线的半焦距c＝3m＋3.不妨取右焦点(3m＋3，0)，其渐近线方程为y＝±1mx，即x±my＝0.所以由点到直线的距离公式得d＝3m＋31＋m＝ 3.故选A.6．若实数k满足0<k<9，则曲线x225－y29－k＝1与曲线x225－k－y2 9＝1的()A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等答案A解析因为0<k<9，所以方程x225－y29－k＝1与x225－k－y29＝1均表示焦点在x轴上的双曲线．双曲线x225－y29－k＝1中，其实轴长为10，虚轴长为29－k，焦距为225＋9－k＝234－k；双曲线x225－k－y2 9＝1中，其实轴长为225－k，虚轴长为6，焦距为225－k＋9＝234－k.因此两曲线的焦距相等，故选A.7．已知a>b>0，椭圆C1的方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1，C1与C2的离心率之积为32，则C2的渐近线方程为()A．x±2y＝0 B.2x±y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0答案A解析由题意，知椭圆C1的离心率e1＝a2－b2 a，双曲线C2的离心率为e2＝a2＋b2 a.因为e1·e2＝32，所以(a2－b2)(a2＋b2)a2＝32，即(a 2－b 2)(a 2＋b 2)a 4＝34， 整理可得a ＝2b .又双曲线C 2的渐近线方程为bx ±ay ＝0， 所以bx ±2by ＝0，即x ±2y ＝0.8.设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94 D ．3答案 B解析 根据双曲线的定义||PF 1|－|PF 2||＝2a ，可得|PF 1|2－2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝4a 2.而由已知可得|PF 1|2＋2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝9b 2，两式作差可得－4|PF 1||PF 2|＝4a 2－9b 2.又|PF 1||PF 2|＝94x a b ，所以有4a 2＋9ab －9b 2＝0，即(4a －3b )(a ＋3b )＝0，得4a ＝3b ，平方得16a 2＝9b 2，即16a 2＝9(c 2－a 2)，即25a 2＝9c 2，c 2a 2＝259，所以e ＝53，故选B.9．点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，∠F 1PF 2＝90°，且△F 1PF 2的三条边长之比为3∶4∶5.则双曲线的渐近线方程是( )A ．y ＝±23xB ．y ＝±4xC ．y ＝±25xD ．y ＝±26x答案 D解析 设△F 1PF 2的三条边长为|PF 1|＝3m ，|PF 2|＝4m ，|F 1F 2|＝5m ，m >0，则2a ＝|PF 2|－|PF 1|＝m,2c ＝|F 1F 2|＝5m ，所以b ＝6m ，所以b a＝6m12m＝26，所以双曲线的渐近线方程是y ＝±26x . 10．设实轴长为2的等轴双曲线的焦点为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆交双曲线于A 、B 、C 、D 四点，则|F 1A |＋|F 1B |＋|F 1C |＋|F 1D |＝( )A ．4 3B ．23 C. 3 D.32答案 A解析 依题意，设题中的双曲线方程是x 2－y 2＝1，不妨设点A 、B 、C 、D 依次位于第一、二、三、四象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|－|AF 2|＝2|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝8，由此解得|AF 1|＝3＋1，|AF 2|＝3－1，同理|DF 1|＝|AF 1|＝3＋1，|CF 1|＝|BF 1|＝|AF 2|＝3－1，|AF 1|＋|BF 1|＋|CF 1|＋|DF 1|＝43，选A.11．已知点P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右支上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若成立，则双曲线的离心率为( )A ．4 B.52 C ．2 D.53答案 C 解析12．设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点．若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________．答案5解析 由已知不妨设F (－c,0)，虚轴的一个端点为B (0，b )，B 恰为线段PF 的中点，故P (c,2b )，代入双曲线方程，由c 2a 2－(2b )2b 2＝1得c 2a2＝5，即e 2＝5，又e >1，故e ＝ 5. 13．已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.答案 33解析 因为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线为y ＝－3x ，即y ＝±1a x ，所以1a ＝3，故a ＝33.14．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．答案 52 解析由⎩⎨⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝b a x得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫am 3b －a ，bm 3b －a ，由⎩⎨⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝－b a x得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－am 3b ＋a ，bm 3b ＋a ， 则线段AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m 9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2.由题意得PM ⊥AB ，∴k PM ＝－3，得a 2＝4b 2＝4c 2－4a 2，故e 2＝54，∴e ＝52.15．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．答案3解析 不妨设点P 在双曲线C 的右支上，由双曲线定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，因为|PF 1|>|PF 2|，所以∠PF 1F 2为最小内角，因此∠PF 1F 2＝30°，在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos30°，即4a 2＝16a 2＋4c 2－83ac ，所以c 2－23ac ＋3a 2＝0，两边同除以a 2，得e 2－23e ＋3＝0，解得e ＝ 3.16．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线的离心率e 的最大值为________．答案 53解析 设∠F 1PF 2＝θ，由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4|PF 2|得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a ，由余弦定理得cos θ＝17a 2－9c 28a 2＝178－98e 2.∵θ∈(0，π]，∴cos θ∈[－1,1)，－1≤178－98e 2<1，又e >1，∴1<e ≤53.已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M同时与圆C 1及圆C 2外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．[错解][错因分析]在解答本题时，容易因错误运用双曲线的定义而出错．本题中，|MC2|－|MC1|＝2，与双曲线的定义相比，等式左边少了外层绝对值，因此只能表示双曲线的一支，如果不注意这一点，就会得出点M 的轨迹方程为x 2－y28＝1这一错误结果．[正解] 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B 两点．连接MC 1，MC 2.根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |.因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝3－1＝2.所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数．又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离比与C 1的距离大)，可设轨迹方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0，x <0)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y28＝1(x <0)．[心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：60分钟基础组1.[·武邑中学模拟]已知双曲线x 2a 2 －y 2b 2＝1的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为( )A ．5x 2－4y 25＝1B.x 25－y 24＝1C.y 25－x 24＝1 D ．5x 2－5y24＝1答案 D解析 ∵抛物线的焦点为F (1,0)，∴c ＝1. 又c a ＝5，∴a ＝15，∴b 2＝c 2－a 2＝1－15＝45.故所求方程为5x 2－5y 24＝1，故选D.2．[·枣强中学一轮检测]“m <8”是“方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线，则(m －8)(m －10)>0，解得m <8或m >10，故“m <8”是“方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.3. [·衡水中学周测]已知点M (－3,0)、N (3,0)、B (1,0)，动圆C 与直线MN 相切于点B ，分别过点M 、N 且与圆C 相切的两条直线相交于点P ，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2－y28＝1(x >1)B ．x 2－y210＝1(x >0)C ．x 2－y 28＝1(x >0)D ．x 2－y 210＝1(x >1)答案 A解析 如图所示，设两切线分别与圆相切于点S 、T ，则|PM |－|PN |＝(|PS |＋|SM |)－(|PT |＋|TN |)＝|SM |－|TN |＝|BM |－|BN |＝2＝2a ，所以所求曲线为双曲线的右支且不能与x 轴相交，a ＝1，c ＝3，所以b 2＝8，故点P 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x >1)．4．[·冀州中学月考]以正三角形ABC 的顶点A ，B 为焦点的双曲线恰好平分边AC ，BC ，则双曲线的离心率为( )A.3－1 B ．2 C.3＋1 D ．23答案 C解析 如图，设|AB |＝2c ，显然|AD |＝c ，|BD |＝3c ，即(3－1)c＝2a ，∴e ＝23－1＝3＋1，∴选C.5．[·武邑中学周测]已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±22x B ．y ＝±2x C ．y ＝±2x D ．y ＝±12x答案 A解析 由题意得，双曲线的离心率e ＝c a ＝3，故a b ＝22，故双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，选A.6. [·衡水中学月考]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，抛物线y ＝116x 2＋1与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为( )A.x 28－y 22＝1B.x 22－y 28＝1 C ．x 2－y24＝1D.x 24－y 2＝1答案 D解析 由对称性，取一条渐近线y ＝b a x 即可，把y ＝ba x 代入y ＝116x 2＋1，得116x 2－b a x ＋1＝0，由题意得Δ＝b 2a 2－4×116×1＝0，即a 2＝4b 2，又c ＝5，∴c 2＝a 2＋b 2＝5b 2＝5，∴b 2＝1，a 2＝4，选D.7．[·枣强中学猜题]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F 1，左、右顶点分别为A 1、A 2，P 为双曲线上任意一点，则分别以线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上情况都有可能答案 B解析 设以线段PF 1，A 1A 2为直径的两圆的半径分别为r 1，r 2，若P 在双曲线左支，如图所示，则|O 2O 1|＝12|PF 2|＝12(|PF 1|＋2a )＝12|PF 1|＋a ＝r 1＋r 2，即圆心距为半径之和，两圆外切，若P 在双曲线右支，同理求得|O 2O 1|＝r 1－r 2，故此时，两圆相内切，综上，两圆相切，故选B.8．[·衡水中学期中]已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45答案 C解析 由题意可知a ＝b ＝2，∴c ＝2. ∵|PF 1|＝2|PF 2|，又|PF 1|－|PF 2|＝22， ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，|F 1F 2|＝4.由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×22×42＝34，故选C.9．[·武邑中学期中]设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．83C ．24D ．48答案 C解析 双曲线的实轴长为2，焦距为|F 1F 2|＝2×5＝10.据题意和双曲线的定义知，2＝|PF 1|－|PF 2|＝43|PF 2|－|PF 2|＝13|PF 2|，∴|PF 2|＝6，|PF 1|＝8. ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， ∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6×8＝24，故选C.10．[·衡水中学期末]已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点F 2关于直线y ＝ba x 对称，则该双曲线的离心率为( )A.52B.5C.2 D ．2答案 B解析 由题意可知渐近线为PF 2的中垂线，设M 为PF 2的中点，所以OM ⊥PF 2.tan ∠MOF 2＝MF 2OM ＝ba ，因为OF 2＝c ，所以MF 2＝b ，OM ＝a .因此PF 2＝2b ，PF 1＝2a ，又因为PF 2－PF 1＝2a ，所以b ＝2a ，则c 2＝a 2＋b 2＝5a 2，即c ＝5a ，故e ＝ca ＝ 5.11．[·冀州中学期末]若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的离心率为________．答案233解析 双曲线的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，一个焦点坐标为(c,0)．根据题意：|bc －a ×0|b 2＋a 2＝14×2c ，所以c ＝2b ，a ＝c 2－b 2＝3b ，所以e ＝c a ＝23＝233.12．[·衡水中学预测]双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，左、右顶点分别为A 1和A 2，过焦点F 2与x 轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P ，若|P A 1→|是|F 1F 2→|和|A 1F 2→|的等比中项，则该双曲线的离心率为________．答案2解析 由题意可知|P A 1→ |2＝|F 1F 2→ |×|A 1F 2→ |，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＋(a ＋c )2＝2c (a ＋c )，又c 2＝a 2＋b 2，则a 2＝b 2，所以e ＝c a ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝ 2.能力组13.[·枣强中学热身]双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝2px (p >0)相交于A ，B 两点，公共弦AB 恰好过它们的公共焦点F ，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B ．1＋2C ．2 2D ．2＋2答案 B解析 抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，且c ＝p2，所以p ＝2c .根据对称性可知公共弦AB ⊥x 轴，且AB 的方程为x ＝p 2，当x ＝p2时，y A ＝p ，所以A ⎝⎛⎭⎪⎫p 2，p .又因为双曲线左焦点F 1的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－p 2，0，所以|AF 1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2－p 22＋p 2＝2p ，又|AF |＝p ，所以2p －p ＝2a ，即(2－1)×2c ＝2a ，所以c a ＝12－1＝2＋1，选B.14．[·衡水中学猜题]焦点为(0,6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 212－y 224＝1 B.y 212－x 224＝1 C.y 224－x 212＝1 D.x 224－y 212＝1答案 B解析 设所求双曲线方程为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，因为焦点为(0,6)，所以|3λ|＝36，又焦点在y 轴上，所以λ＝－12，选B.或利用排除法：因为焦点为(0,6)，故排除A 、D ，又x 22－y 2＝1的渐近线为y ＝±22x ，故选B.15．[·衡水中学一轮检测]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点O 为双曲线的中心，点P 在双曲线右支上，△PF 1F 2内切圆的圆心为Q ，圆Q 与x 轴相切于点A ，过F 2作直线PQ 的垂线，垂足为B ，则下列结论成立的是( )A ．|OA |>|OB |B．|OA|<|OB|C．|OA|＝|OB|D．|OA|与|OB|大小关系不确定答案C解析如图，由于点Q为三角形PF1F2内切圆的圆心，故过点F2作PQ的垂线并延长交PF1于点N，易知垂足B为F2N的中点，连接OB，则|OB|＝12|F1N|＝12(|F1P|－|F2P|)＝a，又设内切圆与PF1，PF2分别切于G，H，则由内切圆性质可得|PG|＝|PH|，|F1G|＝|F1A|，|F2A|＝|F2H|，故|F1P|－|F2P|＝|F1A|－|F2A|＝2a，设|OA|＝x，则有x＋c－(c－x)＝2a，解得|OA|＝a，故有|OA|＝|OB|＝a，故选C.16. [·冀州中学模拟]已知F1，F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q.且△F1PQ为正三角形，则双曲线的渐近线方程为________．答案y＝±2x解析 解法一：设F 2(c,0)(c >0)，P (c ，y 0)，代入方程得y 0＝±b 2a ，∵PQ ⊥x 轴，∴|PQ |＝2b 2a .在Rt △F 1F 2P 中，∠PF 1F 2＝30°，∴|F 1F 2|＝3|PF 2|，即2c ＝3·b 2a .又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝2a 2或2a 2＝－3b 2(舍去)，∵a >0，b >0，∴b a ＝ 2.故所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .解法二：∵在Rt △F 1F 2P 中，∠PF 1F 2＝30°，∴|PF 1|＝2|PF 2|. 由双曲线定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a ，由已知易得|F 1F 2|＝3|PF 2|，∴2c ＝23a ，∴c 2＝3a 2＝a 2＋b 2，∴2a 2＝b 2，∵a >0，b >0，∴b a ＝2，故所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .。

高三数学复习教案：双曲线教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书，包括教材简析和学生分析、教学目的、重难点、教学准备、教学过程及练习设计等，下面是由小编为大家整理的范文模板,仅供参考,欢迎大家阅读.【考纲要求】了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，知道它的简单性质。

【自学质疑】1.双曲线的轴在轴上，轴在轴上，实轴长等于，虚轴长等于，焦距等于，顶点坐标是，焦点坐标是，渐近线方程是，离心率，若点是双曲线上的点，则，。

2.又曲线的左支上一点到左焦点的距离是7，则这点到双曲线的右焦点的距离是3.经过两点的双曲线的标准方程是。

4.双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于。

5.与双曲线有公共的渐近线，且经过点的双曲线的方程为【例题精讲】1.双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，求该双曲线的方程。

2.已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为时，那么之积是与点位置无关的定值，试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明。

3.设双曲线的半焦距为，直线过两点，已知原点到直线的距离为，求双曲线的离心率。

【矫正巩固】1.双曲线上一点到一个焦点的距离为，则它到另一个焦点的距离为。

2.与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是。

3.若双曲线上一点到它的右焦点的距离是，则点到轴的距离是4.过双曲线的左焦点的直线交双曲线于两点，若。

则这样的直线一共有条。

【迁移应用】1. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的2倍，则该双曲线的离心率2. 已知双曲线的焦点为，点在双曲线上，且，则点到轴的距离为。

3. 双曲线的焦距为4. 已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则5. 设是等腰三角形，，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为 .6. 已知圆。

双曲线【知识要点】1.双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值是常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.第二定义：平面内到定点F 的距离和到定直线的距离的比等于常数(大于1)的点的轨迹叫做双曲线，即dMF ||=e(e>1). F 为直线l 外一定点，动点到定直线的距离为d ，e 为大于1的常数.3.焦半径公式M(x 0,y 0)为22a x -22b y =1右支上的点，则|MF 1|=ex 0+a ，|MF 2|=ex 0-a.(1)当M(x,y)为22a x -22by =1左支上的点时,|MF 1|=-(a+ex),|MF 2|=ex-a.(2)当M(x,y)为22a y -22bx =1上支上的点时，|MF 1|=ey 0+a ，|MF 2|=ey 0-a.【基础训练】1.（2004年春季北京）双曲线42x －92y =1的渐近线方程是 ( )A.y =±23xB.y =±32xC.y =±49x D.y =±94x 2.过点（2，－2）且与双曲线22x －y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是( )A.22y －42x =1B.42x －22y =1C.42y －22x =1D.22x －42y =13.如果双曲线642x －362y ＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的右准线距离是（ ）A.10B.7732 C.27 D.5324.已知圆C 过双曲线92x －162y =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________.5.求与圆A ：（x +5）2+y 2=49和圆B ：（x －5）2+y 2=1都外切的圆的圆心P 的轨迹方程为________________.【典型例题】题型一:求双曲线的标准方程例1、 根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1）与双曲线92x －162y =1有共同的渐近线，且过点（－3，23）；（2）与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.（3）实轴长为16，离心率为45=e （4）经过两点P )7,26()72,3(---Q 题型二:双曲线的定义及应用例2、（2002年全国，19）设点P 到点M （－1，0）、N （1，0）距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围.例3、如下图，在双曲线122y －132x =1的上支上有三点A （x 1，y 1），B （x 2，6），C （x 3，y 3），它们与点F （0，5）的距离成等差数列. （1）求y 1+y 3的值；（2）证明：线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标.变式：、已知(2,1),A F ，P 是曲线221(0)x y x -=>上一点，当||||2PA PF +取最小值时，P 的坐标是 ，||||2PA PF +最小值是 ．题型三:双曲线的性质及应用例4、 已知双曲线22a x －22by =1的离心率e >1+2，左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为l ，能否在双曲线的左支上找一点P ，使得|PF 1|是P 到l 的距离d 与|PF 2|的等比中项?变式：过双曲线22a x －22by =1.的右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M ，交双曲线的左右两支于A 、B 两点，求双曲线离心率的取值范围。

新高考数学大一轮复习第2讲 双曲线的定义及其应用一．问题综述本讲梳理双曲线的定义及其应用． （一）双曲线的定义：平面内到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于定值2a ()1202a F F <<的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．（二）双曲线定义的应用主要有下面几方面的应用：1．判断轨迹形状；2．求标准方程；3．求最值或范围． 二．典例分析类型一：判断轨迹形状【例1】已知12,F F 是定点，动点M 满足12||||8MF MF -=，且12||10F F =则点M 的轨迹为（ ）A ．双曲线B ．直线C ．圆D ．射线 【解析】由题意得12||||8MF MF -=<12||10F F =，所以点M 的轨迹为双曲线。

【方法小结】紧扣椭圆的定义进行判断：设平面内动点M 到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于定值2a ()0a >，即12||||2MF MF a -=， （1）若1202a F F <<，则点M 的轨迹是双曲线（包括两支）．（2）若12||||2MF MF a -=，则点M 的轨迹是双曲线的一支；若21||||2MF MF a -=，则点M 的轨迹是双曲线的另一支．（3）若122a F F =，则点M 的轨迹是两条射线． （4）若122a F F >，则点M 的轨迹不存在． 【变式训练】18表示的曲线是 ，其标准方程是 ．212表示的曲线是 ，其方程是 ．314表示的曲线 ． 【答案】1．双曲线的左支，()22141620x y x -=-≤；2．两条射线，()044y x x =-或≥≤； 3．不存在．类型二：利用双曲线的定义求轨迹方程【例1】ABC △中，()5,0B -，()5,0C ，且3sin sin sin 5C B A -=，求点A 的轨迹方程．【解析】由3sin sin sin 5C B A -=，得32sin 2sin 2sin 5R C R B R A -=⋅，∴35AB AC BC -=，即6AB AC -=， ∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）， ∵26a =，210c =，∴3a =，5c =，4b =， 所求轨迹方程为()2213916x y x -=>．【方法小结】由于sin A ，sin B ，sin C 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为ABC △外接圆半径），可转化为边长的关系．再根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后求椭圆的标准方程．结合定义求轨迹方程是一种重要的思想方法．【例2】已知双曲线224199x y -=的左右焦点分别是12,F F ，Q 是双曲线右支上的动点，过1F 作12F QF ∠的平分线的垂线，求垂足M 的轨迹．【解析】设点M 的坐标为(),x y ， 延长2QF 与1F M 交于点T ，连接OM ． ∵QM 平分12F QF ∠，且QM ⊥1F M ， ∴ 1QF QT =，1F M MT =． 又∵点Q 是双曲线右支上的动点， ∴ 1222QF QF QT QF a -=-=，∴ 22F T a =，∴ OM a =，即点M 在以O 为圆心，a 为半径的圆上． ∵ 当点Q 沿双曲线右支运动到无穷远处时，QM 趋近于双曲线的渐近线， ∴ 点M 的轨迹是圆弧CBD ，除去点C 和D ，方程为226593x y x ⎛⎫+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭． 【方法小结】求轨迹与轨迹方程的注意事项（1）求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变．（2）求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)．检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形． 【变式训练】ABC △的顶点()5,0A -、()5,0B ，ABC △的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是（ ）A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．()2213916x y x -=>D ．()2214169x y x -=>【解析】如图8AD AE ==，2BF BE ==，CD CF =， 所以82610CA CB AB -=-=<=．根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支， 方程为()2213916x y x -=>．类型三：焦点三角形中的计算问题【例1】已知P 是双曲线2216436x y -=上一点，1F ，2F 是双曲线的两个焦点，若117PF =，则2PF 的值为________．【解析】由双曲线方程2216436x y -=知，8, 6a b ==，则2210c a b =+=．∵P 是双曲线上一点，∴12216PF PF a -==，又117PF =，∴21PF =或233PF =． 又22PF a c -=≥，∴233PF =．【例2】已知双曲线22:1916x y C -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为C 右支上的一点，且212PF F F =， 则12PF F △的面积等于（ ）A ．24B ．36C ．48D ．96【解析】依题意得21210PF F F ==，由双曲线的定义，得1226PF PF a -==，∴116PF =．∴122211616104822PF F S ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭△，故选C ． 【方法小结】关键抓住点P 为双曲线C 右支上的一点，从而有122PF PF a -=，再利用212PF F F =，进而得解．双曲线上一点P 与双曲线的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求12PF PF ⋅；通过整体代入可求其面积等． 【变式训练】1．设椭圆2212x y m +=和双曲线2213y x -=的公共焦点分别为1F 、2F ，P 为这两条曲线的一个交点，则12PF PF ⋅的值等于__________．【答案】3．【解析】焦点坐标为()0,2±，由此得24m -=，故6m =.根据椭圆与双曲线的定义可得12PF PF +=12PF PF -=．两式平方相减，得12412PF PF ⋅=，123PF PF ⋅=.2．设1F 、2F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线C 在第二象限的交点为P ，若双曲线C 的离心率为5，则12cos PF F ∠=( )A ．35B ．34C ．45D ．56【答案】C ．【解析】依题意可知12PF PF ⊥，设21, PF m PF n ==， 由双曲线定义知：2m n a -= ①； 由勾股定理得：2224m n c += ②； 又由离心率：5ce a ==③， 三式联立解得8m a =，故2121284cos 255PF a PF F F F a ∠===⨯. 3．已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，122PF PF =，则12cos F PF ∠= ( )A ．14B ．35C ．34D ．45【答案】C ．【解析】由双曲线的定义有122PF PF a -==，∴122PF PF ==则2222221212121243cos 24PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===⋅. 4．已知ABP △的顶点A ，B 分别为双曲线221169x y -=左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则sin sin sin A B P -的值等于( )A．45 BC ．54D【答案】A ．【解析】在ABP △中，由正弦定理知sin sin 284sin 2105PB PA A B a PABc --====. 5．已知P 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>上的点，1F 、2F 是其焦点，双曲线的离心率是54，且120PF PF ⋅=，若12PF F △面积为9，则a b +的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C ．【解析】由120PF PF ⋅=，得12PF PF ⊥，设设1PF m =，2PF n =，不妨设设m n >，则2224m n c +=，2m n a -=，192mn =，54c a =，解得45a c =⎧⎨=⎩，∴223b c a =-=，∴7a b +=. 类型四：利用双曲线的定义求离心率【例1】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与圆222x y a +=相切，与C 的左、右两支分别交于点A ，B ，若2AB BF =，则C 的离心率为( )A 523+B ．523+C 3D 5 【解析】依题意2AB BF =，则11122AF BF BA BF BF a =-=-=，所以2124AF AF a a =+=，又直线1BF 与圆222x y a +=相切，故1sin AF a O c ∠=，所以1cos AF b O c∠=， 在12AF F △中，由余弦定理得()()()221222c s 222o 4AF a c a bO a cc+-==⋅⋅∠， 化简得2232c a ab -=，所以22220b a ab --=，即2220b b a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以13b a =+21523c b e a a ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭【变式训练】已知1F ，2F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 为双曲线C 上一点，且12PF PF ⊥，1230F P F ∠=︒，则双曲线的离心率为 ．【解析】依题意可得12, 3PF PF c c ==，所以12223123PF P c c e a c cF ====--． 类型五：利用双曲线的定义求范围或最值【例1】如图，M 是以A 、B 为焦点的双曲线222x y -=右支上任一点，若点M 到点()3,1C 与点B 的距离之和为s ，则s 的取值范围是（ ）A ．)262,⎡+∞⎣B ．)2622,⎡+∞⎣ C ．2622,2622⎡⎣ D ．)262,⎡+∞⎣【解析】连结MA ，由双曲线的第一定义可得：222222622MB MC MA a MC MA MC AC +=-+=+--=-≥当且仅当,,A M C 三点共线时取得最小值．故选B ．【例2】如图，点A 的坐标为()50-，，B 是圆()2251x y +-=上的点，点M 在双曲线2214y x -=右支上，求MA MB +的最小值，并求此时M 点的坐标．【解析】设点D 的坐标为)5，，则点A ，D 为双曲线的焦点，22MA MD a -==，所以2+2MA MB MB MD BD +=+≥，B 是圆(2251x y +=上的点，其圆心为(5C ，半径为1，故1101BD CD -=≥，1101BD CD -=≥， 从而2101MA MB BD ++=≥，当,M B 在线段CD 上时取等号，此时MA MB +101． 直线CD 的方程为5y x =-+，因点M 在双曲线右支上，故0x >， 由方程组22445x y y x ⎧-=⎪⎨=-+⎪⎩ 解得5424542x y ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩所以M 点的坐标为5424542-+-⎝⎭． 【方法小结】在求解有关圆锥曲线的最值问题时,如果用函数观点求解会困难重重．利用定义进行转化，则势如破竹, 能起到出奇制胜的效果。

(1)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线
平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( ) A.x 25－y 2
20＝1 B.x 220－y 2
5＝1 C.3x 225－3y 2
100＝1
D.3x 2100－3y 2
25＝1
(2)设椭圆C 1的离心率为5
13，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( ) A.x 242－y 2
32＝1 B.x 2132－y 2
52＝1 C.x 232－y 2
42＝1
D.x 2132－y 2
122＝1
题型二 双曲线的几何性质
例2 (1)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2
＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( ) A. 2 B. 3 C.32 D.6
2
(2)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 2
9＝1的( )
A ．焦距相等
B ．实半轴长相等
C ．虚半轴长相等
D ．离心率相等 思维升华 (1)求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e 的关系式求e 或e 的范围；另一种是建立a ，b ，c 的齐次关系式，将b 用a ，e 表示，令两边同除以a 或。

双曲线（2）一、学习目标：进一步巩固双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质二、自主学习：【课前检测】1.双曲线1162522=-y x 上一点P 的两条焦半径夹角为60 ，12,F F 为焦点，则12PF F ∆的面积为 ．2．与圆22(3)1x y ++=及圆22(3)9x y -+=都外切的圆的圆心轨迹方程为 ．3．过点(0,3)作直线l ，如果它与双曲线13422=-y x 有且只有一个公共点，则直线l 的条数是____________________．4．双曲线12222=-by a x 的一条准线被它的两条渐进线所截得的线段长度恰好等于它的一个焦点到一条渐进线的距离，则该双曲线的离心率为 ．【考点梳理】1．标准方程： ；与22221x y a b-=共渐进线的双曲线方程 ． 2．性质： 。

3．等轴双曲线的性质:三、合作探究：例1：一椭圆其中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为132，一双曲线和这椭圆有公共焦点,且双曲线的半实轴比椭圆的长半轴长小4，且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为7:3，求椭圆和双曲线的方程．例2:设双曲线12222=-by a x 两焦点12(,0),(,0)F c F c -，点P 为双曲线右支上除顶点外的任一点，1221,PF F PF F αβ∠=∠=，求证：tancot 22c a c aαβ-⋅=+．例3:已知双曲线C 的两个焦点为12,F F线l 过点2F ，且与线段12F F 的夹角为α，tan 2α=，直线l 与线段12F F 的垂直平分线的交点为P ，线段2PF 与双曲线的交点为Q ，且22PQ QF = ，求双曲线方程．四、课堂总结： 知识:方法:能力:五、检测巩固：完成《优化设计之课时训练》六、学习反思：。

高中数学双曲线的教案
教学目标：学生能够理解双曲线的定义、性质和方程，掌握双曲线的图像和基本变换规律。

教学重点：双曲线的定义、性质和方程。

教学难点：双曲线的基本变换规律和图像的绘制。

教学准备：教材、教具、黑板、彩色粉笔、实例习题。

教学过程：
第一步：导入
1. 导入双曲线的概念，引导学生思考什么是双曲线。

2. 引出本节课的主要内容和目标。

第二步：概念讲解
1. 讲解双曲线的定义和性质。

2. 介绍双曲线的标准方程及其特征。

第三步：例题讲解
1. 通过例题引导学生理解双曲线的方程和图像。

2. 讲解双曲线的标准方程与图像之间的关系。

第四步：练习训练
1. 放置几道练习题，让学生巩固理论知识。

2. 指导学生独立解题，然后进行讲评。

第五步：拓展延伸
1. 提供一些拓展题目，让学生进一步探索双曲线的特性。

2. 引导学生探讨双曲线在实际生活中的应用。

第六步：课堂总结
1. 总结本节课的内容和重点。

2. 提醒学生复习和练习重点知识。

教学反馈：布置相关练习题，鼓励学生在课后进行复习和巩固。

教学辅导：提供学生在学习过程中遇到的问题进行辅导和帮助。

教学延伸：引导学生通过互联网等多种途径学习双曲线的相关知识，拓展课外学习。

教学评价：在课堂结束时对学生学习情况进行评价，评估学生对双曲线知识的掌握情况。

以上就是本次双曲线教学内容，希望学生们能够在学习过程中认真思考，积极提问，希望大家能够充实自己的数学知识，提高自己的数学能力。

教学目标：1. 让学生理解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程。

2. 培养学生运用双曲线的知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生的逻辑思维能力、空间想象能力和数学素养。

教学重点：1. 双曲线的定义及标准方程。

2. 双曲线的简单几何性质。

教学难点：1. 双曲线的定义及标准方程的理解和应用。

2. 双曲线的简单几何性质的应用。

教学过程：一、导入新课1. 复习椭圆的定义及标准方程，引出双曲线的定义。

2. 通过实例让学生感受双曲线在实际生活中的应用。

二、新课讲解1. 双曲线的定义：平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数2a（小于这两个定点间的距离）的点的轨迹称为双曲线。

定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为焦距，用2c表示。

2. 双曲线的标准方程：（1）焦点在x轴上的双曲线标准方程：x²/a² - y²/b² = 1（a > 0，b > 0）（2）焦点在y轴上的双曲线标准方程：y²/a² - x²/b² = 1（a > 0，b > 0）3. 双曲线的简单几何性质：（1）对称性：双曲线关于其对称轴对称。

（2）渐近线：双曲线的渐近线方程为y = ±(b/a)x。

（3）焦点距离：双曲线的焦点距离为2c。

（4）离心率：双曲线的离心率为e = c/a。

三、课堂练习1. 完成教材中的例题，巩固所学知识。

2. 解决一些实际问题，提高学生的应用能力。

四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调重点和难点。

2. 布置课后作业，巩固所学知识。

五、课后作业1. 完成教材中的练习题。

2. 查阅资料，了解双曲线在实际生活中的应用。

教学反思：1. 关注学生的个体差异，因材施教。

2. 营造良好的课堂氛围，激发学生的学习兴趣。

3. 注重培养学生的数学思维能力和实践能力。

4. 及时总结教学经验，不断提高教学质量。

第6课时双曲线考纲传真1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质．3．了解双曲线的简单应用．4．理解数形结合的思想.1．双曲线定义平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a＜2c) ，则点P的轨迹叫做双曲线．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0.(1)当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a＞|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a，0)，A2(a，0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y ＝±b axy ＝±a b x离心率 e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 a 、b 、c 间的关系 c 2＝a 2＋b 2(c ＞a ＞0，c ＞b ＞0)3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y ＝±x ，离心率为e ＝2．1．(人教A 版教材习题改编)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A ．(22，0) B ．(52，0) C ．(62，0) D ．(3，0) 『解析』 双曲线的方程可化为x 2－y 212＝1， ∴a 2＝1，b 2＝12，c 2＝a 2＋b 2＝32，∴c ＝62，∴右焦点为(62，0)． 『答案』 C2．(2013·长沙调研)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1『解析』 渐近线方程可化为y ＝±32x .∵双曲线的焦点在x 轴上，∴9a 2＝(±32)2，解得a ＝±2.由题意知a ＞0，∴a ＝2. 『答案』 C3．(2012·福建高考)已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于( )A.31414B.324C.32D.43『解析』 由双曲线中a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2，得32＝a 2＋5，∴a 2＝4.∴e ＝c a ＝32.『答案』 C4．(2012·辽宁高考)已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．『解析』 设P 在双曲线的右支上，|PF 1|＝2＋x ，|PF 2|＝x (x >0)，因为PF 1⊥PF 2，所以(x ＋2)2＋x 2＝(2c )2＝8，所以x ＝3－1，x ＋2＝3＋1，所以|PF 2|＋|PF 1|＝2 3. 『答案』 235．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C 的方程为________．『解析』 依题意c －a ＝1，①又e ＝ca ＝2，即c ＝2a ②由①②联立，得a ＝1，c ＝2. ∴b 2＝c 2－a 2＝3，故双曲线C 为x 2－y 23＝1. 『答案』x 2－y 23＝1双曲线的定义及应用 (1)(2012·大纲全国卷)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45(2)已知定点A (0，7)，B (0，－7)，C (12，2)；以点C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，求另一个焦点F 的轨迹方程．『思路点拨』 (1)由双曲线定义，求△PF 1F 2的边长，根据余弦定理可解．(2)探求|F A |与|FB |间的关系，借助双曲线定义求轨迹方程．『尝试解答』 (1)由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2. 由双曲线定义，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22， 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34，选C.『答案』 C(2)设F (x ，y )为轨迹上的任意一点，依题意，得|F A |＋|CA |＝|FB |＋|CB |＝2a (a 表示椭圆的长半轴长)． ∴|F A |－|FB |＝|CB |－|CA |＝122＋92－122＋（－5）2＝2， ∴|F A |－|FB |＝2＜14.由双曲线的定义知，F 点在以A 、B 为焦点，2为实轴长的双曲线的下支上，∴点F 的轨迹方程是y 2－x 248＝1(y ≤－1)．,1．(1)抓住“焦点三角形PF 1F 2”中的数量关系是求解第(1)题的关键．(2)第(2)小题中，点F 的轨迹是双曲线的下支，一定分清是差的绝对值为常数，还是差为常数．2．利用双曲线定义求方程，要注意三点：(1)距离之差的绝对值，(2)2a ＜|F 1F 2|，(3)焦点所在坐标轴的位置．(1)(2013·潍坊模拟)已知双曲线C ：x 24－y 25＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则PF 1→·PF 2→等于( )A ．24B ．48C ．50D ．56(2)已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．『解析』 (1)由已知得|PF 2|＝|F 1F 2|＝6，根据双曲线的定义可得|PF 1|＝10，在△F 1PF 2中，根据余弦定理可得cos ∠F 1PF 2＝56，所以PF 1→·PF 2→＝10×6×56＝50.『答案』 C(2)设动圆M 的半径为r ，则由已知|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2， ∴|MC 1|－|MC 2|＝22， 又C 1(－4，0)，C 2(4，0)， ∴|C 1C 2|＝8，∴22＜|C 1C 2|.根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以C 1(－4，0)、C 2(4，0) 为焦点的双曲线的右支． 又a ＝2，c ＝4， ∴b 2＝c 2－a 2＝14，∴点M 的轨迹方程是x 22－y 214＝1(x ≥2).双曲线的标准方程已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．『思路点拨』 由已知椭圆的焦点和离心率得a ，b 满足的方程．『尝试解答』 由x 216＋y 29＝1，知c ＝16－9＝7，∴焦点F 1(－7，0)，F 2(7，0)，且离心率e ′＝74.又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点．∴a 2＋b 2＝(7)2＝7，∵双曲线的离心率e ＝c a ＝7a ，∴7a ＝274，则a ＝2. 从而b 2＝c 2－a 2＝7－22＝3. 故所求的双曲线的方程为x 24－y 23＝1.『答案』 x 24－y 23＝1,1．确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a ，b 的值，常用待定系数法．2．利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论． (1)若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)．(2)若已知渐近线方程为mx ＋ny ＝0，则双曲线方程可设为m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0)．(2012·天津高考改编)已知双曲线C 的右焦点为(5，0)，且双曲线C 与双曲线C ′：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，求双曲线C 的标准方程．『解』 ∵双曲线C 与双曲线x 24－y 216＝1有相同的渐近线，∴设双曲线C 的方程为x 24－y 216＝λ(λ≠0)．则双曲线C ：x 24λ－y 216λ＝1，又双曲线C 的右焦点为(5，0)，∴c ＝5，则4λ＋16λ＝5，∴λ＝14.故所求双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1.双曲线的简单几何性质(2013·宁波模拟)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2『思路点拨』 取一条C 2的渐近线，将其与C 1联立求得弦长|AB |，令|AB |＝23a ，方可得出结论．『尝试解答』 由题意知b 2＝a 2－5，则椭圆方程可化为(a 2－5)x 2＋a 2y 2＋5a 2－a 4＝0，取双曲线的一条渐近线y ＝2x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x （a 2－5）x 2＋a 2y 2＋5a 2－a 4＝0， 得(5a 2－5)x 2＋5a 2－a 4＝0， ∴x ＝±a 4－5a 25a 2－5， ∴渐近线被椭圆截得的弦长为25·a 4－5a 25a 2－5， 又椭圆C 1把AB 三等分， ∴25·a 4－5a 25a 2－5＝2a 3，解得a2＝112， ∴b 2＝a 2－5＝12.『答案』 C1．本题涉及到三种曲线，较复杂，可采用数形结合，寻找解题的突破口，关键是发现曲线C 1截直线AB 所得弦长为13|AB |.2．双曲线中c 2＝a 2＋b 2，双曲线渐近线的斜率与离心率的关系b a ＝e 2－1(e ＝ca )．抓住双曲线中“六点”、“四线”、“两三角形”，研究a ，b ，c ，e 间相互关系及转化，简化解题过程．图8－6－1(2012·湖北高考改编)如图8－6－1，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D .则双曲线的离心率e ＝________．『解析』 由题设|OB 2|＝b ，|OF 1|＝c ，∵点B 是以A 1A 2为直径的圆与菱形F 1B 1F 2B 2的切点，∴OB ⊥B 2F 1，在Rt △F 1OB 2中，易知|F 1B 2|＝b 2＋c 2，∴由等面积法，|OB |＝bcb 2＋c2，因此bcb 2＋c 2＝a ，∴b 2c 2＝a 2(b 2＋c 2)(*)又b 2＝c 2－a 2，将(*)化为c 4－3a 2c 2＋a 4＝0，∴e 4－3e 2＋1＝0，又e ＞1，∴e 2＝3＋52，则e ＝1＋52.『答案』 1＋52一条规律双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．两种方法求双曲线的标准方程：(1)定义法，由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a 2，b 2，写出方程．(2)待定系数法，即“先定型，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论．三个防范1.区分双曲线中a ，b ，c 的大小关系与椭圆a ，b ，c 的关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b2.2．双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e ∈(0，1)．3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是y ＝±ab x .从近两年的高考看，双曲线的标准方程及几何性质是高考的热点，特别是双曲线的几何性质，几乎每年均有涉及，且主要以选择题和填空题为主，属中低档题目，在解答过程中，为了挖掘题目的隐含条件，应充分利用数形结合的思想．易错辨析之十四 双曲线几何性质的求解误区(2011·山东高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 『错解』 由x 2＋y 2－6x ＋5＝0，知圆心C (3，0)，半径r ＝2， 又x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为ax ±by ＝0，且与圆C 相切， ∴|3a |a 2＋b2＝2，即5a 2＝4b 2① ∵双曲线的右焦点为圆C 的圆心 ∴c ＝3，从而9＝a 2＋b 2，② 由①②联立，得a 2＝4，b 2＝5， 所以该曲线的方程为x 24－y 25＝1，选B.『答案』 B错因分析：(1)错求双曲线的渐近线方程，导致方程①错误；致使误得a 2＝4，b 2＝5, (2)概念不清误以为焦点为(2c ，0)或混淆a ，b ，c 间的关系，错认为a 2＝b 2＋c 2，导致无果而终．防范措施：(1)双曲线的渐近线方程，只需将双曲线方程右端的常数“1”变为“0”即可． (2)区别好椭圆与双曲线中“a ，b ，c 之间关系”，双曲线中a ，b ，c 三者之间，c 最大，应为c 2＝a 2＋b 2.『正解』 将错解中双曲线的渐近线改为bx ±ay ＝0. 由直线与圆相切，得|3b |a 2＋b2＝2，即5b 2＝4a 2①由①②联立，得a 2＝5，b 2＝4， 故所求双曲线方程为x 25－y 24＝1，选A.『答案』 A)图8－6－21．(2012·浙江高考)如图8－6－2，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )A ．3B ．2 C.3 D.2 『解析』 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，半焦距为c 1，则椭圆的离心率为e 1＝c 1a.设双曲线的标准方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)，半焦距为c 2，则双曲线的离心率为e 2＝c 2m .由双曲线与椭圆共焦点知c 1＝c 2.由点M ，O ，N 将椭圆长轴四等分可知m ＝a －m ，即2m ＝a .∴e 2e 1＝c 2m c 1a ＝am＝2. 『答案』 B2．(2012·福建高考)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A. 5 B ．4 2 C ．3 D ．5 『解析』 抛物线y 2＝12x的焦点坐标为(3，0)，故双曲线x 24－y 2b2＝1的半焦距c ＝3.由9＝4＋b 2得b ＝5，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±52x .由点到直线的距离公式，得双曲线焦点到其渐近线的距离d ＝|352|54＋1＝ 5.『答案』 A。