2014年人教A版选修4-5教案 二 一般形式的柯西不等式

3.2 一般形式的柯西不等式【学习目标】1. 掌握一般形式的柯西不等式的判别式法证明，并掌握等号成立的充要条件2.基本会使用柯西不等式证明不等式、求最值 【自主学习】1. 三维柯西不等式可以对比二维柯西不等式来记忆和理解，你能写出来吗？2. 一般形式的柯西不等式是对二维、三维的推广，是归纳推理的典范，至少要会用判别式法完成证明，而且要理解等号成立的充要条件3. 结合二维柯西不等式的应用初步的体会一般形式的柯西不等式的应用. 【自主检测】1. 已知,,0a b c > ，且1a b c ++=，则222a b c ++的最小值为＿＿＿＿ A.1 B.4 C. 13 D. 142. 设12,,,,n a a a R ∈，则22212n a a a n+++与12na a a n+++的大小关系为＿＿＿3. 若111,,0,1a b c abc>++=，则a b c ++的最小值是＿＿＿＿ 【典型例题】例1. 已知,,0a b c >，求证：()1. 9b c a a b c a b c b c a ⎛⎫⎛⎫++++≥⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()2222. 9a b c a b c abc ++++≥ ()2222222.b c c a a b abc a b c++≥++例2.(1)已知12,,,n a a a R ∈.求证：2211n ni i i i a n a ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑（2）已知1212,,,0,1n n a a a a a a >+++=.求证：2222231121223341112n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a --+++++≥+++++（3）已知1212,,,,,,,0n n a a a R b b b ∈>.求证：()222221231212312n n n na a a a a a ab b b b b b b +++++++≥+++例3.（1）已知22222212121,1n n a a a x x x +++=+++=，求1122n n a x a x a x +++的最大值（2）设,,,1a b c R a b c +∈++=，求222111a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值（3）若19x y z ++=,求函数2224916u x y z =+++++的最小值【课堂检测】1. 设12,,,,n a a a R ∈，则12naa a P n+++=与12111nnQ a a a =+++的大小关系为( )A. P Q >B. P Q ≥C. P Q <D. P Q ≤2. 设a,b,c ，d R +∈，且()1111P a b c d ab c d ⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭，则P 的最小值为3. 已知491x y z ++=，则222x y z ++的最小值为4. 把一条长为m 的绳子截成四段，各围成一个正方形，怎样截法才能使这四个正方形的面积和最小？【总结提升】1.由二维形式的柯西不等式到一般形式的柯西不等式，是从特殊到一般的认识过程，其中三维形式的柯西不等式是过渡的桥梁，三维形式的柯西不等式可以对比二维形式的柯西不等式来理解和记忆，一般形式的柯西不等式又可以参照三维形式的柯西不等式来理解和推广，对不等式等号成立的条件更要对比来研究.2. 一般形式的柯西不等式注意整体的结构特征，形成一定的思维模式，在解决问题时才能灵活使用.。

选修4-5学案 §3.1.3柯西不等式 姓名☆学习目标： 1. 熟悉一般形式的柯西不等式，理解柯西不等式的证明; 2. 会应用柯西不等式解决函数最值、方程、不等式，等一些问题☻知识情景：1. 柯西主要贡献简介：柯西（Cauchy ），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定 了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值 定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等.2.二维形式的柯西不等式： 若,,,a b c d R ∈，则 .当且仅当 时, 等号成立.变式10. 若,,,a b c d R ∈，则||2222bd ac d c b a ++⋅+或bd ac d c b a ++⋅+2222；变式20. 若,,,a b c d R ∈，则222222()()a b c d a c b d +++-+- ；变式30.（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：222212122323()()()()x x y y x x y y -+-+-+-≥3. 一般形式的柯西不等式：设n 为大于1的自然数，,i ia b R ∈(=i 1,2,…,n )，则： .当且仅当 时, 等号成立.(若0=i a 时，约定0=i b ，=i 1,2,…,n ).变式10. 设,0(1,2,,),i i a R b i n ∈>= 则：∑∑∑≥=i i ni iib a b a 212)( . 当且仅当 时, 等号成立.变式20. 设0(1,2,,),i i a b i n ⋅>= 则：∑∑∑≥=ii i ni i i b a a b a 21)(. 当且仅当n b b b === 21时,等号成立. 变式30. (积分形式)设)(x f 与)(x g 都在],[b a 可积，则dx x g dx x f dx x g x f ba b a b a )()()()(222⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡，当且仅当)()(x g t x f ⋅=时,等号成立.如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重 要. 而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面 都有联系. 所以, 它的重要性是不容置疑的！☆ 柯西不等式的应用：例1. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=. 试求a 的最值例2 在实数集内 解方程22294862439x y z x y y ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩例3 设P 是三角形ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 外接圆的半径， 证明22212x y z a b c R ++≤++例4 (证明恒等式) 已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。

3.1二维形式的柯西不等式一、教学目标1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义． 2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题． 二、课时安排 1课时 三、教学重点认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义． 四、教学难点通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题． 五、教学过程 （一）导入新课 复习基本不等式。

（二）讲授新课教材整理 二维形式的柯西不等式（三）重难点精讲题型一、二维柯西不等式的向量形式及应例1已知p ，q 均为正数，且p 3＋q 3＝2.求证：p ＋q ≤2.【精彩点拨】 为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量． 【自主解答】 设m ＝p 32，q 32，n ＝(p 12，q 12)，则 p 2＋q 2＝p 32p 12＋q 32q 12＝|m ·n |≤|m ||n | ＝p3＋q3·p ＋q ＝2p ＋q.又∵(p ＋q )2≤2(p 2＋q 2)，∴2()2p q +≤p 2＋q 2≤2p ＋q ，∴2()2p q +≤2·p ＋q ，则(p ＋q )4≤8(p ＋q )．又p ＋q >0，∴(p ＋q )3≤8，故p ＋q ≤2. 规律总结：使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合理构造出两个向量．同时，要注意向量模的计算公式|a |＝x2＋y2对数学式子变形的影响．[再练一题]1．若本例的条件中，把“p 3＋q 3＝2”改为“p 2＋q 2＝2”，试判断结论是否仍然成立？ 【解】 设m ＝(p ，q )，n ＝(1,1)，则p ＋q ＝p ·1＋q ·1＝|m ·n |≤|m |·|n |＝p2＋q2·12＋12. 又p 2＋q 2＝2. ∴p ＋q ≤2·2＝2. 故仍有结论p ＋q ≤2成立. 题型二、运用柯西不等式求最值例2 若2x ＋3y ＝1，求4x 2＋9y 2的最小值．【精彩点拨】 由2x ＋3y ＝1以及4x 2＋9y 2的形式，联系柯西不等式，可以通过构造(12＋12)作为一个因式而解决问题．【自主解答】 由柯西不等式得(4x 2＋9y 2)(12＋12)≥(2x ＋3y )2＝1. ∴4x 2＋9y 2≥12，当且仅当2x ×1＝3y ×1， 即x ＝14，y ＝16时取等号．∴4x 2＋9y 2的最小值为12.规律总结：1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于配凑，保证出现常数结果． 2．常用的配凑的技巧有：①巧拆常数；②重新安排某些项的次序；③适当添项；④适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值的目的．[再练一题]2．若3x ＋4y ＝2，试求x 2＋y 2的最小值及最小值点.【解】 由柯西不等式(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，得25(x 2＋y 2)≥4.所以x 2＋y 2≥425，当且仅当x 3＝y4时，“＝”成立．为求最小值点，需解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y4，∴⎩⎨⎧x ＝625，y ＝825.因此，当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为425，最小值点为⎝⎛⎭⎫625，825. 题型三、二维柯西不等式代数形式的应用 例3已知|3x ＋4y |＝5，求证：x 2＋y 2≥1.【精彩点拨】 探求已知条件与待证不等式之间的关系，设法构造柯西不等式进行证明． 【自主解答】 由柯西不等式可知(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，所以(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )232＋42.又因为|3x ＋4y |＝5， 所以(3x ＋4y )232＋42＝1，即x 2＋y 2≥1. 规律总结：1．利用二维形式的柯西不等式证明时，要抓住柯西不等式的结构特征，必要时，需要将数学表达式适当变形．2．变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．[再练一题]3．设a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝2.求证：a22－a ＋b22－b ≥2.【证明】 根据柯西不等式，有[(2－a )＋(2－b )]⎝⎛⎭⎫a22－a ＋b22－b ＝[(2－a)2＋(2－b)2]⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫2－a·a 2－a ＋2－b·b 2－b 2＝(a ＋b )2＝4. ∴a22－a ＋b22－b ≥4(2－a )＋(2－b )＝2， 当且仅当2－a·b 2－b ＝2－b·a2－a， 即a ＝b ＝1时等号成立． ∴a22－a ＋b22－b≥2. （四）归纳小结二维柯西不等式—⎪⎪⎪⎪—代数形式—向量形式—三角形式—柯西不等式求最值（五）随堂检测 1．设x ，y ∈R ，且2x ＋3y ＝13，则x 2＋y 2的最小值为()A.13B ．169C ．13D.0【解析】 (2x ＋3y )2≤(22＋32)(x 2＋y 2)， ∴x 2＋y 2≥13. 【答案】 C2．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则(4a ＋1＋4b ＋1)2的最大值是() A ．26B.6C ．6D.12 【解析】 (4a ＋1＋4b ＋1)2 ＝(1×4a ＋1＋1×4b ＋1)2≤(12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1)＝2[4(a ＋b )＋2] ＝2×(4×1＋2)＝12， 当且仅当4b ＋1＝4a ＋1， 即a ＝b ＝12时等号成立．故选D.【答案】 D3．平面向量a ，b 中，若a ＝(4，－3)，|b |＝1，且a ·b ＝5，则向量b ＝________.【解析】 |a |5，且 |b |＝1， ∴a ·b ＝|a |·|b |，因此，b 与a 共线，且方向相同， ∴b ＝⎝⎛⎭⎫45，－35. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫45，－35 六、板书设计七、作业布置同步练习：3.1二维形式的柯西不等式八、教学反思。

一般形式的柯西不等式一、教学目标．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．二、课时安排课时三、教学重点．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．四、教学难点．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．五、教学过程（一）导入新课已知实数，，满足＋＋＝，求＝＋＋的最小值．【解】由柯西不等式得(＋＋)(＋＋)≥(＋＋).∵＋＋＝，∴(＋＋)≥，即＋＋≥.当且仅当＝＝＝，即＝，＝，＝时等号成立．故＋＋的最小值为. （二）讲授新课教材整理三维形式的柯西不等式设，，，，，∈，则(＋＋)·(＋＋)≥.当且仅当或存在一个数，使得＝(＝)时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．教材整理一般形式的柯西不等式设，，，…，，，，，…，是实数，则(＋＋…＋)(＋＋…＋)≥.当且仅当＝(＝，…，)或存在一个数，使得＝(＝，…，)时，等号成立．（三）重难点精讲题型一、利用柯西不等式求最值例已知，，∈(，＋∞)，＋＋＝，求＋＋的最小值及取得最小值时，，的值．【精彩点拨】由于＋＋＝，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不等式求解．【自主解答】∵，，∈(，＋∞)，∴·(＋＋)＝[＋＋][()＋()＋()]≥＝(＋＋)＝.又＋＋＝，∴＋＋≥，当且仅当＝＝＝时等号成立，综上，当＝＝＝时，＋＋取得最小值.规律总结：利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．[再练一题]。

第二讲 柯西不等式一、 内容及其解析本节课要学习的内容是柯西不等式的内容及应用，其关键是柯西不等式的应用。

学生已经掌握了一些形式优美而且具有重要应用价值的不等式（称为经典不等式），柯西不等式就是这样的不等式，通过本讲的学习，可以让学生领略这些不等式的数学意义、几何背景、证明方法及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养。

学习的重点是柯西不等式的内容及应用，解决重点的关键是认识柯西不等式的内容，并能将相关式子转化成柯西不等式的结构形式。

二、目标及其解析目标定位：1.理解掌握柯西不等式的内容与意义；2.会用柯西不等式证明不等式关系，求相关函数的最值。

目标解析：目标定位1就是指掌握不等式22222()()()a b c d ac bd ++≥+的结构特征与几何意义、向量意义。

目标定位2就是指能将要证不等式转化为柯西不等式的结构，从而能用柯西不等式证明不等式和求函数的最值。

三、教学过程设计问题1.什么是二维形式的柯西不等式？ 设计意图：让学生通过类比方法理解二维形式的柯西不等式的内容与意义，并能利用它证明不等式式、求函数的最值。

师生活动：1.探究：222(,)a b ab a b +≥为实数是我们非常熟悉的不等式，它反映了两个实数的平方和与乘积的大小关系。

现在考虑乘积2222()()(,,,)a b c d a b c d ++为实数，它涉及到4个实数，并且形式上也和平方和有关。

你能类比222(,)a b ab a b +≥为实数的推导过程，研究一下关于它的不等关系吗？2.总结：二维形式的柯西不等式是： 22222()()()a b c d ac bd ≥+++（a,b,c,d 都是实数，当且仅当ad=bc 时，等号成立）3.二维形式的柯西不等式的几何意义是什么？设(,),(,)OM a b ON c d ==，则由OM ON OM ON ⋅≥⋅可得： 2222a b c c dd a b +++≥； 即 22222()()()a b c d ac bd ≥+++ 4.推论：（12222a bc cd d a b +++≥；（22222a b c c d d a b +++≥5.应用：例1.已知,a b 为实数，证明4422332()()()a b a b a b ++≥+ 例2.求函数()51102f x x x =-+-的最大值。

二一般形式的柯西不等式第10课时一般形式的柯西不等式1．三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥(a1b1＋a 2b2＋a3b3)2，当且仅当b i＝0(i＝1,2,3)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1,2,3)时等号成立．2．一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)·(b21＋b2n＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2.当且仅当b i＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1,2，…，n)时，等号成立．知识点一三维形式的柯西不等式的应用1．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最大值是( ) A．1 B. 3C．3 D．9解析：由柯西不等式，得(12＋12＋12)[(a)2＋(b)2＋(c)2]≥(a＋b＋c)2，∴(a＋b＋c)2≤3(a＋b＋c)＝3×1＝3，当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立．∴a＋b＋c的最大值为 3.答案：B2．(2019·安徽合肥一中月考)设a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋4c2＝1，则a＋b＋2c的最大值为( )A．5 B.10 2C．8 D.13 2解析：由柯西不等式，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫122(a ＋b ＋4c 2)≥(a ＋b ＋2c )2，∴a ＋b ＋2c ≤52，当且仅当a ＝25，b ＝25，c ＝510时，等号成立，∴a ＋b ＋2c 的最大值为102，故选B.答案：B3．(2019·全国卷Ⅲ)设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1. (1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1.解：(1)[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2](12＋12＋12)≥[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x ＋y ＋z ＋1)2＝4，故(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43等号成立，当且仅当x －1＝y ＋1＝z ＋1，而又因x ＋y ＋z ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝－13，时等号成立z ＝－13.所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43.(2)证明：证法一：因为(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13，所以[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2](12＋12＋12)≥1.根据柯西不等式等号成立条件，当x －2＝y －1＝z －a ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－a ＋23，y ＝1－a ＋23，z ＝a －a ＋23时有[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2](12＋12＋12)＝(x －2＋y －1＋z －a )2＝(a ＋2)2成立．所以(a ＋2)2≥1成立，所以有a ≤－3或a ≥－1.证法二：若a ≤－3或a ≥－1不成立，那么－3<a <－1成立，则(a ＋2)2<1，而[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]·(12＋12＋12)＝(x －2＋y －1＋z －a )2左面等号成立，当且仅当x －2＝y －1＝z －a ，又因为x ＋y ＋z ＝1，所以x －2＝y －1＝z －a ＝－a ＋23.故此时[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2](12＋12＋12)＝(x －2＋y －1＋z －a )2＝(a ＋2)2<1，即(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2<13，与原命题矛盾．故假设错误，即a ≤－3或a ≥－1.知识点二 一般形式的柯西不等式的应用4．(2019·广东梅州检测)已知a ，b ，c 均大于0，A ＝a 2＋b 2＋c 23，B＝a ＋b ＋c 3，则A ，B 的大小关系是( )A ．A ＞B B ．A ≥BC ．A ＜BD ．A ≤B解析：因为(12＋12＋12)·(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2，所以a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c29，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立，又a ，b ，c 均大于0，所以a ＋b ＋c >0，所以a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3，即A ≥B ，故选B.答案：B5．实数a i (i ＝1,2,3,4,5,6)满足(a 2－a 1)2＋(a 3－a 2)2＋(a 4－a 3)2＋(a 5－a 4)2＋(a 6－a 5)2＝1，则(a 5＋a 6)－(a 1＋a 4)的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 6D ．1解析：因为[(a 2－a 1)2＋(a 3－a 2)2＋(a 4－a 3)2＋(a 5－a 4)2＋(a 6－a 5)2](1＋1＋1＋4＋1)≥[(a 2－a 1)×1＋(a 3－a 2)×1＋(a 4－a 3)×1＋(a 5－a 4)×2＋(a 6－a 5)×1]2＝[(a 6＋a 5)－(a 1＋a 4)]2，所以[(a 6＋a 5)－(a 1＋a 4)]2≤8，即(a 6＋a 5)－(a 1＋a 4)≤2 2.答案：B6．设x 1，x 2，…，x n 都是正数，求证： 1x 1＋1x 2＋…＋1x n ≥n 2x 1＋x 2＋…＋x n.证明：∵x 1，x 2，…，x n 都是正数， ∴(x 1＋x 2＋…＋x n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x n＝[(x 1)2＋(x 2)2＋…＋(x n )2]· ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1x 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 22＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1·1x 1＋x 2·1x 2＋…＋x n·1x n 2＝n 2， ∴1x 1＋1x 2＋…＋1x n ≥n 2x 1＋x 2＋…＋x n.一、选择题1．已知4x2＋5y2＝1，则2x＋5y的最大值是( )A. 2 B．1C．3 D．9解析：∵2x＋5y＝2x·1＋5y·1≤2x2＋5y2·12＋12＝1·2＝2，∴2x＋5y的最大值为 2.答案：A2．设a＝(1,0，－2)，b＝(x，y，z)，若x2＋y2＋z2＝16，则a·b的最大值为( )A．5 B．4C．4 5 D．－4 5解析：a·b＝(1,0，－2)·(x，y，z)＝x－2z，由柯西不等式，得[12＋02＋(－2)2](x2＋y2＋z2)≥[1×x＋0×y＋(－2)×z]2＝(x－2z)2，当a 与b共线时，等号成立．∴(x－2z)2≤5×16，∴－45≤x－2z≤45，即－45≤a·b≤4 5.∴a·b的最大值为4 5.答案：C3．若2x＋3y＋5z＝29，则函数u＝2x＋1＋3y＋4＋5z＋6的最大值为( )A. 5 B．215C．230 D.30解析：由柯西不等式得u2＝(2x＋1＋3y＋4＋5z＋6)2＝(1×2x＋1＋1×3y＋4＋1×5z＋6)2≤(12＋12＋12)(2x＋1＋3y＋4＋5z＋6)＝3(2x ＋3y＋5z＋11)＝3×(29＋11)＝120，∴u≤230，故选C.答案：C4．(2019·山东武城期中)已知a，b，c，d，e是满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16的实数，则e的最大值为( )A．3 B．4C．5 D.16 5解析：因为(a＋b＋c＋d)2≤4(a2＋b2＋c2＋d2)，所以(8－e)2≤4(16－e2)，解得0≤e≤165，所以e的最大值为165，故选D.答案：D5．(2019·辽宁沈阳二阶考试)已知a2＋b2＋c2＝1，若a＋b＋2c≤|x ＋1|对任意实数a，b，c恒成立，则实数x的取值范围是( ) A．x≥1或x≤－3 B．－3≤x≤1C．x≥－1或x≤3 D．－1≤x≤3解析：由柯西不等式，得(a2＋b2＋c2)[12＋12＋(2)2]≥(a＋b＋2c)2，∵a 2＋b 2＋c 2＝1，∴(a ＋b ＋2c )2≤4，∴a ＋b ＋2c ≤2，又a ＋b ＋2c ≤|x ＋1|对任意实数a ，b ，c 恒成立，∴|x ＋1|≥2，解得x ≤－3或x ≥1，故选A. 答案：A 二、填空题6．设x ，y ，z 为正数，且x ＋2y ＋3z ＝7，则4x ＋2y ＋3z的最小值是__________．解析：∵(x ＋2y ＋3z )⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2y ＋3z ≥(2＋2＋3)2＝49，∴4x ＋2y ＋3z ≥7.当x ＝2，y ＝z ＝1时取等号．答案：77．已知x 2＋y 2＋z 2＝14，则|x ＋2y ＋3z |的最大值是________． 解析：∵(x ＋2y ＋3z )2≤(12＋22＋32)(x 2＋y 2＋z 2)＝142，当且仅当x 1＝y 2＝z3时取等号．∴|x ＋2y ＋3z |≤14.答案：148．(2019·河北邢台训练)设a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝25，x 2＋y 2＋z 2＝36，ax ＋by ＋cz ＝30，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝________.解析：由柯西不等式知，25×36＝(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝302＝25×36.当且仅当a x ＝b y ＝cz ＝k 时取等号，∴a ＝kx ，b ＝ky ，c ＝kz ，∴a 2＋b 2＋c 2＝k 2(x 2＋y 2＋z 2)，即25＝36k 2，∴k ＝56，∴a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝k x ＋y ＋zx ＋y ＋z＝k ＝56.`答案：56三、解答题9．设x ，y ，z ∈R ，且x 216＋y 25＋z 24＝1，求x ＋y ＋z 的取值范围．解：由柯西不等式，得[42＋(5)2＋22]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 22≥⎝⎛⎭⎪⎫4×x 4＋5×y 5＋2×z 22， 即25×1≥(x ＋y ＋z )2.∴|x ＋y ＋z |≤5，∴－5≤x ＋y ＋z ≤5， 即x ＋y ＋z 的取值范围是[－5,5]．10．(2019·皖江八校联考)若n 是不小于2的正整数，求证：47<1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n <22. 证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋14＋…＋12n －1＋12n －2⎝ ⎛ 12＋14＋⎭⎪⎫ (12)＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 所求证不等式转化为47<1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <22. 由柯西不等式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n [(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(2n )]≥n 2，所以1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n≥n 2n ＋1＋n ＋2＋ (2)＝n 2n 3n ＋12＝2n 3n ＋1＝23＋1n ≥23＋12＝47.又由柯西不等式，得 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n < 12＋12＋…＋12]n 项⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ＋12＋1n ＋22＋…＋12n2) <n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －12n ＝22. 综上所述，原不等式成立．。

一 二维形式的柯西不等式（1）教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式.教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.教学难点：理解几何意义.教学过程：一、复习准备：1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？答案：(0,0)2a b a b +>>及几种变式. 2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥二、讲授新课：1. 教学柯西不等式：① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+.→ 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. （要点：展开→配方） 证法三：（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则2||m a =+2||n c d =+∵ m n ac bd ∙=+，且||||cos ,m n m n m n =<>，则||||||m n m n ≤. ∴ ….. 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立.∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++≤0，即…..③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？22||c d ac bd +≥+ 或 22||||c d ac bd +≥+22c d ac bd +≥+.④ 提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤.即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ）→ 讨论：上面时候等号成立？（β是零向量，或者,αβ共线）⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形）2. 教学三角不等式：① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明→ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）三、巩固练习：1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式2. 作业：教材P 37 4、5题.二维形式的柯西不等式（二）教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系. 教学重点：利用二维柯西不等式解决问题.教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式.教学过程：一、复习准备：1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3. 如何利用二维柯西不等式求函数y =?要点：利用变式22||ac bd c d ++. 二、讲授新课：1. 教学最大（小）值：① 出示例1：求函数y =分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演→ 变式：y → 推广：(,,,,,)y b c d e f x a b c d e f R +=-∈ ② 练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值.解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313x y x y x y +=++≥+=. 讨论：其它方法 （数形结合法）2. 教学不等式的证明：① 出示例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y+≥. 分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）要点：2222111111()()]22x y x y x y +=++=++≥… 讨论：其它证法（利用基本不等式）② 练习：已知a 、b R +∈，求证：11()()4a b a b ++≥.3. 练习：① 已知,,,x y a b R +∈，且1a b x y+=，则x y +的最小值. 要点：()()a b x y x y x y+=++=…. → 其它证法 ② 若,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求222x y z ++的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）变式：若,,x y z R +∈，且1x y z ++=的最大值.3. 小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧.三、巩固练习：1. 练习：教材P 37 8、9题2. 作业：教材P 37 1、6、7题。