一般形式的柯西不等式精品教案

选修4-5学案 §3.1.3柯西不等式 姓名☆学习目标： 1. 熟悉一般形式的柯西不等式，理解柯西不等式的证明; 2. 会应用柯西不等式解决函数最值、方程、不等式，等一些问题☻知识情景：1. 柯西主要贡献简介：柯西（Cauchy ），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定 了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值 定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等.2.二维形式的柯西不等式： 若,,,a b c d R ∈，则 .当且仅当 时, 等号成立.变式10. 若,,,a b c d R ∈，则||2222bd ac d c b a ++⋅+或bd ac d c b a ++⋅+2222；变式20. 若,,,a b c d R ∈，则222222()()a b c d a c b d +++-+- ；变式30.（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：222212122323()()()()x x y y x x y y -+-+-+-≥3. 一般形式的柯西不等式：设n 为大于1的自然数，,i ia b R ∈(=i 1,2,…,n )，则： .当且仅当 时, 等号成立.(若0=i a 时，约定0=i b ，=i 1,2,…,n ).变式10. 设,0(1,2,,),i i a R b i n ∈>= 则：∑∑∑≥=i i ni iib a b a 212)( . 当且仅当 时, 等号成立.变式20. 设0(1,2,,),i i a b i n ⋅>= 则：∑∑∑≥=ii i ni i i b a a b a 21)(. 当且仅当n b b b === 21时,等号成立. 变式30. (积分形式)设)(x f 与)(x g 都在],[b a 可积，则dx x g dx x f dx x g x f ba b a b a )()()()(222⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡，当且仅当)()(x g t x f ⋅=时,等号成立.如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重 要. 而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面 都有联系. 所以, 它的重要性是不容置疑的！☆ 柯西不等式的应用：例1. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=. 试求a 的最值例2 在实数集内 解方程22294862439x y z x y y ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩例3 设P 是三角形ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 外接圆的半径， 证明22212x y z a b c R ++≤++例4 (证明恒等式) 已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。

高二数学人教A版选修4-5教案：3.2一般形式的柯西不等式Word版含3.2 一般形式的柯西不等式一、教学目标1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式． 2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．二、课时安排 1课时三、教学重点1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式． 2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．四、教学难点1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．[来源学科网]2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．五、教学过程（一）导入新课已知实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，求t＝x2＋4y2＋z2的最小值．【解】由柯西不等式得(x2＋4y2＋z2)(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z)2. ∵x＋2y＋z＝1，1∴3(x2＋4y2＋z2)≥1，即x2＋4y2＋z2≥.311111当且仅当x＝2y＝z＝，即x＝，y＝，z＝时等号成立．故x2＋4y2＋z2的最小值为. 33633（二）讲授新课教材整理1 三维形式的柯西不等式2222设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a2(b21＋a2＋a3)・1＋b2＋b3)≥.当且仅当或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．教材整理2 一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则22222(a21＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥ .当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝ (i＝1,2，…，n)时，等号成立．（三）重难点精讲题型一、利用柯西不等式求最值123例1 已知a，b，c∈(0，＋∞)，＋＋＝2，求a＋2b＋3c的最小值及取得最小值时a， abcb，c的值．[来源学。

科。

网Z。

X。

X。

K]123【精彩点拨】由于＋＋＝2，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不abc等式求解．【自主解答】∵a，b，c∈(0，＋∞)，2123??＋＋・∴?(a＋2b＋3c)＝[?abc??≥?1・a＋a2・2b＋b1??＋a??222??＋b??23?][(a)2＋(2b)2＋(3c)2] c??3?・3c c?＝(1＋2＋3)2＝36. 123又＋＋＝2，abc∴a＋2b＋3c≥18，当且仅当a＝b＝c＝3时等号成立，综上，当a＝b＝c＝3时， a＋2b＋3c取得最小值18.规律总结：利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．[再练一题]1．已知x＋4y＋9z＝1，求x2＋y2＋z2的最小值．【解】由柯西不等式，知 (x＋4y＋9z)2≤(12＋42＋92)(x2＋y2＋z2) ＝98(x2＋y2＋z2)．又x＋4y＋9z＝1， 1∴x2＋y2＋z2≥，(*)98yz当且仅当x＝＝时，等号成立，49129∴x＝，y＝，z＝时，(*)取等号．9849981因此，x2＋y2＋z2的最小值为.98题型二、运用柯西不等式求参数的取值范围例2已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式111＋＋≤λ恒成立，求λx＋yy＋zz＋x的取值范围．111【精彩点拨】“恒成立”问题需求＋＋的最大值，设法应用柯西不等式求x＋yy＋zz＋x最值．【自主解答】∵x>0，y>0，z>0. 且x＋y＋z＝xyz. 111∴＋＋＝1. yzxzxy又111＋＋ x＋yy＋zz＋x11?11＋＋≤? 2?xyyzzx?11?1?11・＋1・＋1・＝2?xyyzzx?≤错误!错误!＝错误!，当且仅当x＝y＝z，即x＝y＝z＝3时等号成立．∴故1113＋＋的最大值为.2x＋yy＋zz＋x111＋＋≤λ恒成立时， x＋yy＋zz＋x3. 23?，＋∞. ?2?12应有λ≥因此λ的取值范围是?规律总结：应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理．[再练一题]2．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求a的取值范围.【解】由a＋b＋c＋d＝3，得b＋c＋d＝3－a，由a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，得2b2＋3c2＋6d2＝5－a2， 111?＋＋≥(b＋c＋d)2， (2b2＋3c2＋6d2)??236?即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2.由条件可得，5－a2≥(3－a)2，解得1≤a≤2，所以实数a的取值范围是[1,2]．题型三、利用柯西不等式证明不等式abc?bca例3 已知a，b，c∈R＋，求证：??b＋c＋a?a＋b＋c≥9. 【精彩点拨】对应三维形式的柯西不等式，a1＝b2＝c，b3＝ba，a＝b2b，a＝c3c，b＝a1b，aa，而a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而得证． c【自主解答】∵a，b，c∈R＋，由柯西不等式，知22b??＋c??2≥?a? c?2c?]×[?a??2b?＋?a??2c??＋b??2a?] c??a＋b＋c??b＋c＋a?＝[??bca??abc??a×bb＋ab×cc＋ba??＋b??c×a?＝(1＋1＋1)2＝9，abc??bca?∴??b＋c＋a??a＋b＋c?≥9. 规律总结：1．当ai，bi是正数时，柯西不等式变形为(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.2．本题证明的关键在于构造两组数，创造使用柯西不等式的条件．在运用柯西不等式时，要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确配凑出公式两侧的数组．[再练一题]3．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m的值；111＋(2)若a，b，c∈R，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.a2b3c【解】 (1)因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m. 由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.111(2)证明：由(1)知＋＋＝1.又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2ba2b3c2111111??＋＋≥a・＋2b・＋3c・?＝9. ＋3c)??a2b3c??a2b3c?（四）归纳小结?一般形式的柯西不等式―?―一般形式?―一般形式的应用―三维形式（五）随堂检测1．设a＝(－2,1,2)，|b|＝6，则a・b的最小值为( ) A．18 B．6 C．－18 D.12 【解析】 |a・b|≤|a||b|，∴|a・b|≤18.∴－18≤a・b≤18，当a，b反向时，a・b最小，最小值为－18. 【答案】 C222222．若a21＋a2＋…＋an＝1，b1＋b2＋…＋bn＝4，则a1b1＋a2b2＋…＋anbn的取值范围是( )A．(－∞，2) B．[－2,2] C．(－∞，2] D.[－1,1]222222【解析】∵(a21＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)，∴(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2≤4，∴|a1b1＋a2b2＋…＋anbn|≤2，即－2≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤2，1当且仅当ai＝bi(i＝1,2，…，n)时，右边等号成立；21当且仅当ai＝－bi(i＝1,2，…，n)时，左边等号成立，故选B.2【答案】 B3．设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则m2＋n2的最小值为________．【解析】根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，m2＋n2的最小值为5. 【答案】5[来源学+科+网][来源:]六、板书设计3.2 一般形式的柯西不等式教材整理1 三维形式的柯西不等式教材整理2 一般形式的柯西不等式例3：例1：例2： [来源:Z#xx#] 学生板演练习七、作业布置同步练习：3.2 一般形式的柯西不等式八、教学反思感谢您的阅读，祝您生活愉快。

即： ，
即： ，
等号当且仅当 ，
即等号当且仅当 时成立（当 时，约定 ， 1，2，…， ）。
如果 （ ）全为0，结论显然成立。
三、应用举例：
例3已知a1,a2,…,an都是实数，求证：
分析：用n乘要证的式子，c，d是不全相等的实数，证明：a2+ b2+ c2+ d2> ab + bc + cd + da
3．已知a，b，c为正实数，且a+2b+3c=9，求 的最大值。
选做：4．已知a，b，c为正实数，且a2+2b2+3c2=6，求a+b+c的最小值。（08广一模）
5．已知a，b，c为正实数，且a+2b+c=1，求 的最小值。（08东莞二模）
6．已知x+y+z= ，则m=x2+2y2+z2的最小值是____________.(08惠州调研)
，其中等号当且仅当 时成立。
定理2：（柯西不等式的向量形式）设 ， 为平面上的两个向量，则 ，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
定理3：（三角形不等式）设 为任意实数，则：
二、讲授新课：
类似的，从空间向量的几何背景业能得到|α.β|≤|α||β|.将空间向量的坐标代入，可得到 这就是三维形式的柯西不等式.
五、课堂小结：重点掌握三维柯西不等式的运用。
六、布置作业：P41习题3.2 2，3，4，5
七、教学后记：
教学札记
对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？
定理4：（一般形式的柯西不等式）：设 为大于1的自然数， （ 1，2，…， ）为任意实数，则：

3．2一般形式的柯西不等式（一）教学目标1．知识与技能: 认识二维形式的柯西不等式，柯西不等式的一些简单应用。

2.过程与方法:让学生通过练习的方式体会：如何经过恰当变形，以经典不等式为依据得出具体问题中的不等关系。

3．情态与价值：通过学生在学习过程中的感受、体验、解决问题，体会柯西不等式的作用，让学生体会到成功的乐趣。

（二）教学重、难点重点：认识一般形式的柯西不等式，运用柯西不等式分析解决一些简单问题。

难点：体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的联系，经过恰当变形，以经典不等式为依据得出具体问题中的不等关系。

（三）教学设想[创设问题情境]一、类比：1、2、3、猜想柯西不等式的一般形式证明略二、1、2、.,:1221等号成立时当且仅当的柯西不等式化简后得二维形式将平面向量的坐标代入从平面向量的几何背景b a b a ，=≥2221122212221)()()(b a b a b b a a +≥++化简后得将空间向量的坐标代入也能得到从空间向量的几何背景类似地，,≥2332211232221232221)()()(b a b a b a b b b a a a ++≥++++.)3,2,1(,,0,,等号成立时使得或存在一个数即共线时当且仅当，i kb a k i i ===ββα222112222122221)())((b n n n b a b a b a b b b a a a ++≥+++++。

等号成立时使得或存在一个数当且仅当则是实数设一般形式的柯西不等式定理,),,2,1(,),,2,1(0,,,,,,,,,,)(321321n i kb a k n i b b b b b a a a a i i i n n ====222112222122221)())((b n n n b a b a b a b b b a a a ++≥+++++2222122121)(1,,,, 1nn n a a a a a a n a a a +++≤+++ 求证都是实数已知例3、4、5、三、补充例题四、小结练习da cd bc ab d c b a d c b a +++>+++2222,,,, 2证明是不全相等的正数已知例的最小值求已知例222,132 3z y x z y x ++=++1111x 1x :1,x x ,R x ,x , 6. 412222121n 21n 21+≥++++++=+++∈+n x x x x x x P n n 求证且设.,16a ,8,,,, 122222的取值范围求满足已知实数例e e d c b e d c b a e d c b a =++++=++++36941,1,,, 2≥++=++∈+z y x z y x R z y x 求证且已知例222222236)sin 1sin 1sin 1)((:,,,,,1R C B A c b a R c b a ABC ≥++++∆求证外接圆半径为设其各边长为中在3100)1()1()1(:,1,,,.2222≥+++++=++c c b b a a c b a c b a 求证且为正数设2221121413121174:,2.3<--++-+-<n n n 试证的正整数是不小于若23)(1)(1)(1:,1,,,.4333≥+++++=∈+b a c c a b c b a abc R c b a 试证明且满足设。

XX年选修4-5《一般形式的柯西不等式》参考教案2一般形式的柯西不等式教学目的：使学生认识二维柯西不等式及其证明；培养学生用维柯西不等式的技能，从而发展学生的思维能力。

教学重点：维柯西不等式的应用。

教学过程：一、温故1、定理1：若a,b,c,dR,则a2b2c2d2acbd，当且仅当bcad时取等号22、变式：若a,b,c,dR,则a2b2c2d2acbda2b2c2d2acbd显然当a2b21,c2d21时，acbd13、定理2：设,是两个向量，则当且仅当,中有一个是零向量或存在实数k使得k时，等号成立。

4、定理3、设x1,x2,x3,y1,y2,y3R，那么22x12y12x2y222x1x2y1y2 22x1x3y1y35、配凑的思想x2x3y2y322x1x2y1y222二、新课：推广柯西不等式1、柯西不等式的向量形式：设,是两个向量，则这里,是平面向量，若,为空间向量呢。

构造向量a1,a2,a3,b1,b2,b3,设,间的夹角为。

则仍有cos即a1b1a2b2a3b3a21a32a32b12b22b32 2所以a12a32a32b12b22b32a1b1a2b2a3b31 / 5当且仅当aikbii1,2,3时取等号 2、归纳推理：n维上的柯西不等式：a12a32an2b12b22bn2a1b1a2b2anbn2证明：回顾前面的证法视Aa12a32an2,Cb12b22bn2,Ba1b1a2b2anbn 则不等式为B2AC构造二次函数yAx22BxC即fxa12a22an2x22a1b1a2b2anbnx+b12b22bn2 当a1a2an0或b1b2bn0时不等式显然成立当a1,a2,,an至少有一个不等于0时，a12a22an20 而fxa1xb1a2xb2anxbn0恒成立。

所以其4a1b1a2b2anbn-4a1a2anb1b2bn22222222220得：a1a2anb1b2bn222222abab1122 ab2nn当且仅当fx 有唯一零点时，0以上不等式取等号。

柯西不等式教案
一､教学目标:
1､学问目标:
(1)熟悉二维柯西不等式的两种形式: O 1 代数形式: O2向量形式;
(2)学会二维柯西不等式的两种证明方法: O 1 代数方法: O2向量方法:
(3)明白一般形式的柯西不等式, 并学会应用及探究其证明过程:
2､才能目标:
(1)学会运用柯西不等式解决一些简洁问题:
(2)学会运用柯西不等式证明不等式:
(3) 培育同学学问迁移､自主探究才能:
3､情感､态度､价值观目标:
通过对柯西不等式的学习,使同学感受数学的精妙,提高数学素养, 激发学习爱好;
二､教学重点与难点:
1､教学重点:
(1)二维柯西不等式的两种形式及其证明: 0 1 代数形式: O2向量形式:
(2)探究一般的柯西不等式形式:
2､教学难点:
(1)柯西不等式的证明思路:
(2)运用柯西不等式解决问题: 三､教学方法:探究法､叙述法: 四､教学过程及内容:
五､板书设计。

2 2 2 2 2 2
∴( a b ) ≥ (2ab)
2 2
2
2
2
2
∴ a b ≥ 2ab ≥ 2ab,
∴ a b ≥ 2ab
等号成立时当且仅当a b
2
2
( 2 )证 明 : ∵ ( a b )( 1 1 ) ≥ ( a b ) ,
2 2 2 2 2
∴ 2(a b ) (a b)
2 2
∴a b c d
ab bc cd da
例 2：已知 a , b , c , d 是不全相等的实数， 2 2 2 2 证明： a b c d ≥ a b b c c d d a .
证明 ( a b c d )( b c d (ab bc cd da )
2 2 2 2 2 2 2
解疑：
令 ( x1 , x 2 , x 3 ), ( y 1 , y 2 , y 3 ) ,
由于空间向量中 ≥ 也成立 .所以
( x1 x 2 x 3 )
2 2 2
2
2
2
( y 1 y 2 y 3 ) ≥ x1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 ,
定理 4： （一般形式的柯西不等式） ： 设 n 为大于 1 的自然数， x i , y i R ( i 1, 2 , 3,
( x1 x 2
2 2
, n ) ,则：
xn yn )
2
x n )( y 1 y 2
2
2
2
y n ) ( x1 y 1 x 2 y 2
2 2 2
2
2
2
2

当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)
时等号成立.
题型探究
类型一 利用柯西不等式证明不等式 命题角度1 三维情势的柯西不等式的应用 例1 设a，b，c为正数，且不全相等. 求证：a＋2 b＋b＋2 c＋c＋2 a＞a＋9b＋c.
证明
反思与感悟 有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件，可以通过： (1)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以巧拆常数. (2)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以重新安排各项的次序. (3)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以改变式子的结构，从而到达使 用柯西不等式的目的. (4)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以添项.
∴a＋2b＋3c的最小值为9.
1234
解析 答案
3.设 a，b，c，d 均为正实数，则(a＋b＋c＋d)1a＋b1＋1c ＋1d的最小值为 __1_6_____.
解析 (a＋b＋c＋d)1a＋1b＋1c＋1d
＝[(
a)2＋(
b)2＋(
c)2＋(
d)2]·
1a2＋
1b2＋
1c2＋
1
2
d
≥
a·1a＋
a2b2＋a3b3)2 ，当且仅当 b1＝b2＝b3＝0或存在一个数 k，使得 ai＝kbi
(i＝1,2,3)时等号成立.
知识点二 一般情势的柯西不等式
1.一般形式的柯西不等式 设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21 ＋b22＋…＋b2n)≥ (a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2 . 2.柯西不等式等号成立的条件
b·1b＋
c·1c＋
d·1d2

3.2 一般形式的柯西不等式教学目的（要求）：使学生认识二维柯西不等式及其证明；培养学生用维柯西不等式的技能，从而发展学生的思维能力。

教学重点（难点）：维柯西不等式的应用。

教学过程： 一、温故1、定理1：（二维形式的柯西不等式）若,,,,a b c d R ∈则()()()22222ab c d ac bd ++≥+，当且仅当bc ad =时取等号2、变式：若,,,,a b c d R ∈ac bd ≥+ac bd +显然当22221,1a b c d +=+=时，1ac bd +≤3、定理2：（柯西不等式的向量形式）设,αβ 是两个向量，则αβαβ⋅≤当且仅当,αβ 中有一个是零向量或存在实数k 使得k αβ=时，等号成立。

4、定理3、（二维形式的三角形不等式）设123123,,,,,x x x y y y R ∈，那么≥≥5、配凑的思想二、 新课：推广柯西不等式1、由柯西不等式的向量形式：设,αβ是两个向量，则αβαβ⋅≤这里,αβ 是平面向量，若,αβ为空间向量呢，构造向量()()123123,,,,,,a a a b b b αβ==设,αβ间的夹角为θ，则仍有cos αβαβθαβαβ⋅=⇒⋅≤即112233a b a b a b ++≤所以()()()2222222133123112233a a a b b b a b a b a b ++++≥++当且仅当()1,2,3i i a kb i ==时取等号 2、归纳推理：n 维上的柯西不等式：()()()222222213121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥++证明：回顾前面的证法视22222213121122,,n n n n A a a a C b b b B a b a b a b =+++=+++=++ 则不等式为2B AC ≤构造二次函数22y Ax Bx C =++即()()222212n f x a a a x =+++- ()x b a b a b a n n +++ 22112+()22212n b b b +++ 当120n a a a ==== 或120n b b b ==== 时不等式显然成立 当12,,,n a a a 至少有一个不等于0时，222120n a a a +++> 而()()()()22211220n n f x a x b a x b a x b =-+-++-≥ 恒成立。

一般形式的柯西-施瓦茨不等式教案简介柯西-施瓦茨不等式是线性代数中的一个重要定理，它在解决向量和长度、内积及其性质方面起着关键作用。

本教案将介绍柯西-施瓦茨不等式的一般形式，帮助学生理解这一定理的应用和证明过程。

教学目标通过本课程的研究，学生将能够：1. 理解柯西-施瓦茨不等式的定义和基本性质；2. 掌握柯西-施瓦茨不等式的一般形式；3. 应用柯西-施瓦茨不等式解决向量和长度、内积等问题；4. 理解柯西-施瓦茨不等式的证明过程。

教学内容1. 柯西-施瓦茨不等式的定义和基本性质- 介绍柯西-施瓦茨不等式的概念和意义；- 解释柯西-施瓦茨不等式的基本性质。

2. 柯西-施瓦茨不等式的一般形式- 引入向量的内积概念；- 推导柯西-施瓦茨不等式的一般形式。

3. 柯西-施瓦茨不等式的应用- 解决向量长度的问题；- 解决向量内积的问题；- 解决其他应用问题。

4. 柯西-施瓦茨不等式的证明- 分析柯西-施瓦茨不等式的证明过程；- 讨论柯西-施瓦茨不等式的证明思路和技巧。

教学方法1. 讲授：通过讲解理论和公式，介绍柯西-施瓦茨不等式的定义、性质和推导过程；2. 案例分析：以具体问题为例，引导学生应用柯西-施瓦茨不等式解决实际问题；3. 练：提供一系列练题，让学生巩固和应用所学知识；4. 讨论：引导学生自主讨论和验证柯西-施瓦茨不等式的证明过程。

教学评估1. 口头问答：针对柯西-施瓦茨不等式的定义、性质和应用进行口头问答；2. 练题：布置一些题，检验学生对柯西-施瓦茨不等式的掌握程度；3. 思考题：提出一些思考性问题，鼓励学生思考柯西-施瓦茨不等式的证明过程。

参考资料1. Gilbert Strang. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press, 2016.2. 杨??，朱迈达，吴连生. 线性代数学教程. 高等教育出版社, 2010.以上是一份关于一般形式的柯西-施瓦茨不等式的教案，希望对您有所帮助！。

澜沧拉祜族自治县第一中学教案【一般形式的柯西不等式】学科：数学 年级：高三 班级：202、203主备教师：沈良宏 参与教师：郭晓芳、龙新荣 审定教师：刘德清一、教材分析：柯西不等式是人教A 版选修 4-5不等式选讲中的内容，是学生继均值不等式后学习的又一个经典不等式，它在教材中起着承前启后的作用。

一方面可以巩固不等式的基本证明方法，和函数最值的求法，另一方面为后面学习三角不等式与排序不等式奠定基础。

本节课的核心内容是柯西不等式一般形式的推导及其简单应用。

二、教学目标：1、知识与技能：.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；2、过程与方法：通过柯西不等式与其它基本不等式的关系，感悟柯西不等式的美;3、情感、态度与价值观：在运用柯西不等式分析、解决问题的过程中，体会柯西不等式的应用方法.三、教学重点：柯西不等式的一般形式、变形以及它与一些基本不等式的关系，柯西不等式的使用方法．四、教学难点：在具体问题中怎样使用柯西不等式．五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：学生不仅已经掌握了不等式证明的基本方法，还具备了一定的观察、分析、逻辑推理的能力。

通过对两种方法的证明，让学生体会对柯西不等式的向量形式和代数法证明的不同之处.3、教具选择：多媒体 实物展台六、教学方法：启发引导、讲练结合法七、教学过程1、自主导学：一、创设问题情境，检查课后学习情况：问题1：你知道二维形式的柯西不等式吗？有几种形式？定理1：（二维柯西不等式）设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++，等号当且仅当bc ad =时成立．定理2：（向量形式）设α ，β 为平面上的两个向量，则αβαβ⋅ ≥，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立．定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+-问题2：你会用柯西不等式证明下面的两个不等式吗？（１）222a b ab +≥ （２）2221()2a b a b ++≥ 解析： (1)2222222222))()(2),)(2)a b a b ab ab ab a b ab +++=+∵((≥∴(≥222222, 2a b ab ab a b ab ++∴≥≥∴≥(2) 222222(11(11)()a b a b a b ++⨯+⨯=+∵)()≥,2221a b ()2a b ++∴≥ 问题3:已知,,1a b R a b +∈+=且 ,你能求出11a b+的最小值吗？ 解析：21111111, ()()()4a b a b a b a b a b a b+=+=++⨯+⨯= ∴≥ 即12a b ==时，11a b +取得最小值4.二、类比猜想，进行新课问题4:类比二维空间的柯西不等式，你能提出三维柯西不等式吗？会证明吗？猜想：,(1,2,3)i i x x R i ∈=设，则2222222123123112233()()()x x x y y y x y x y x y ++++++≥解疑：123123(,,),(,,)x x x y y y αβ== 令,由于空间向量中αβαβ⋅ ≥也成立 .所以222222123123112233()()x x x y y y x y x y x y ++++++≥,2222222123123112233()()()x x x y y y x y x y x y ++++++∴≥,其中等号当且仅当,αβ 共线时等号成立；即0β= ,或存在一个实数k ,使得i i a kb =(1,2,3i =)时，等号成立.2、合作探究（1）分组探究：问题5：你会用柯西不等式证明下面的不等式吗？等号成立的条件呢？（1）(,)2a b ab a b R ++∈≥ （2） 22221()3a b c a b c ++++≥ (3) 222a b c ab bc ca ++++≥解析： (1)220,0,()()()(2),a b a b a b ab ab ab >>∴++≥+= 22)2), 2a b ab a b ab ++∴(≥(∴≥ ,即2a b ab +≥. (2) 22222222()(111)(111)()a b c a b c a b c ++++≥⨯+⨯+⨯=++ ,22221()3a b c a b c ∴++≥++ (3) 2222222()()()a b c b c a ab bc ca ++++≥++ 22222222()(),a b c ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca ++≥++++≥++≥++∴∴问题6:已知,,,1a b c R a b c +∈++=且 ,你能求出111a b c++的最小值吗？ 解析：1, a b c ++=2111111111()()()9a b c a b c a b c a b c a b c++=++++⨯+⨯+⨯=∴≥ 即13a b c ===时，111a b c++取得最小值9. 问题7:类比二维、三维空间的柯西不等式，猜一猜n 维空间的柯西不等式，即一般式．（2）教师点拨： 定理4：（一般形式的柯西不等式）：设n 为大于1的自然数，,(1,2,3,,)i i x y R i n ∈= ,则：222222212121122()()()n n n n x x x y y y x y x y x y ++++++≥+++ ,其中等号当且仅当 存在实数k ,使得1122,,,n n y kx y kx y kx === 时成立.证明：构造二次函数：2221122()()()()n n f x x x y x x y x x y =-+-++- ,则22222212112212()()2()()n n n n f x x x x x x y x y x y x y y y=+++++++++++ 是二次 函数,因为对任意的实数,(1,2,3,,)i i x y i n = ,都有()0f x ≥成立，0△∴≤2221114()4()()0n n ni i i i i i i x y x y ====-≤∑∑∑△∴， 222222212121122()()()n n n n x x x y y y x y x y x y ++++++≥+++ ∴其中等号当且仅当存在实数k ,使得1122,,,n n y kx y kx y kx === 时成立. 即当且仅当1212n ny y y x x x === 时成立（当0i x =时，约定0i y =，=i 1，2，…，n ）. 如果i x （n i ≤≤1）全为0，结论显然成立.3、巩固训练：应用举例，深化理解：例1：已知12,n a a a R ∈ ,求证：222212121()n n a a a a a a n++++++ ≥ 证明：22222221212()(111)(111)n n a a a a a a ++++++≥⨯+⨯++⨯ ∵,22221212()()n n a a a n a a a +++≥+++ ∴ 222212121()n n a a a a a a n++++++ ∴≥ 例2：已知,,,a b c d 是不全相等的实数，证明：2222a b c d ab bc cd da ++++++≥.证明：222222222()()()a b c d b c d a ab bc cd da ++++++≥+++222222()()a b c d ab bc cd da +++≥+++∴ 2222a b c d ab bc cd da ab bc cd da +++≥++++++∴≥例3：已知231x y z ++=,求222x y z ++的最小值.解：231x y z ++=∵,2222222)(123)(23)1x y z x y z ++++++=∴(≥ 222114x y z ++∴≥,即当123,,141414x y z ===时取得最小值114. 4、拓展延伸：（1）.已知,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求z y x 941++的最小值. (2).已知1a b c d +++=，求2222a b c d +++的最小值.5、师生合作总结： （1）柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明.（2）设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn 都是实数，则(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2) ≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k ，使得ai=kbi(i=1,2,…,n ）时，等号成立.（3）一般形式的柯西不等式的应用.对于许多不等式问题，应用柯西不等式往往简明。

二一般形式的柯西不等式1.理解三维形式的柯西不等式，在此基础上，过渡到柯西不等式的一般形式．2．会用三维形式及一般形式的柯西不等式证明有关不等式和求函数的最值等问题．1．三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，b i＝0(i＝1，2，3)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1，2，3)时，等号成立．2设a1，a2，a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2，当且仅当b i＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1，2，…，n)时，等号成立．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二维形式的柯西不等式是一般形式的柯西不等式的特殊情况．( ) (2)三维形式的柯西不等式可以由空间向量的几何意义推导出来．( )(3)柯西不等式中的字母a ，b ，c ，…具有轮换对称性，按照一定顺序轮换，式子不变．( )(4)在应用柯西不等式时，不需要验证等号成立的条件．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．已知x ，y ，z ＞0，且x ＋y ＋z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( )A ．1B ．13C ．12D ．3答案：B3．设a ，b ，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值是( ) A ．1B ． 3C ．3D ．9 答案：B4．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________． 解析：由柯西不等式，得(12＋12＋12)(a 2＋4b 2＋9c 2)≥(a ＋2b ＋3c )2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12，当a ＝2b ＝3c ＝2时，等号成立，所以a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12.答案：12利用柯西不等式证明不等式(1)设a ，b ，c 为正数，求证a 2b ＋b 2c＋c 2a≥a ＋b ＋c . (2)设a 1，a 2，…，a n 为实数，b 1，b 2，…，b n 为正实数，求证：a 21b 1＋a 22b 2＋…＋a 2n b n ≥（a 1＋a 2＋…＋a n ）2b 1＋b 2＋…＋b n. 【证明】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2c ＋c 2a (a ＋b ＋c )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2[(b )2＋(c )2＋(a )2]≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ·b ＋b c ·c ＋c a ·a 2＝(a ＋b ＋c )2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2c ＋c 2a (a ＋b ＋c )≥(a ＋b ＋c )2. 因为a ，b ，c ∈R ＋，所以a ＋b ＋c ＞0，所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 21b 1＋a 22b 2＋…＋a 2n b n (b 1＋b 2＋…＋b n )≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1·b 1＋a 2b 2·b 2＋…＋a n b n ·b n 2＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2.因为b 1，b 2，…，b n 为正实数， 所以b 1＋b 2＋…＋b n >0.所以a 21b 1＋a 22b 2＋…＋a 2n b n ≥（a 1＋a 2＋…＋a n ）2b 1＋b 2＋…＋b n.当且仅当a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a nb n时，等号成立．利用柯西不等式证明不等式时常用的技巧(1)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以巧拆常数．(2)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以重新安排各项的次序．(3)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以改变式子的结构，从而达到使用柯西不等式的目的．(4)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以添项.1.已知正数a ，b ，c ，求证：b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc .证明：构造两组数ab ，bc ，ca ；ca ，ab ，bc ， 则由柯西不等式得a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2·c 2a 2＋a 2b 2＋b 2c 2≥ab ·ca ＋bc ·ab ＋ca ·bc ，即b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2≥abc (a ＋b ＋c )．于是b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc .2．已知a ，b ，c ∈R ，a 2＋b 2＋c 2＝1. 求证：|a ＋b ＋c |≤ 3.证明：由柯西不等式，得(a ＋b ＋c )2≤(12＋12＋12)(a 2＋b 2＋c 2)＝3. 所以－3≤a ＋b ＋c ≤3， 所以|a ＋b ＋c |≤ 3.用三维形式柯西不等式求最值设a ，b ，c 为正数，且a ＋2b ＋3c＝13，求3a ＋2b ＋c 的最大值．【解】 因为(a ＋2b ＋3c )⎣⎢⎡⎦⎥⎤（3）2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥⎝⎛⎭⎪⎫a ×3＋2b ×1＋3c ×132＝(3a ＋2b ＋c )2，所以(3a ＋2b ＋c )2≤13×⎝⎛⎭⎪⎫3＋1＋13＝1323.所以3a ＋2b ＋c ≤1333， 当且仅当a3＝2b 1＝3c 13时，等号成立．又a ＋2b ＋3c ＝13，所以当a ＝9，b ＝32，c ＝13时，(3a ＋2b ＋c )max ＝1333.利用柯西不等式求最值的方法技巧利用柯西不等式可求某些含有约束条件的多变量函数的最值问题，其关键是对原目标函数通过巧变结构、巧拆常数、巧换位置、巧添项等技巧以保证柯西不等式的结构特征且出现常数结果，同时要注意等号成立的条件．设2x ＋3y ＋5z ＝29，求函数μ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值． 解：根据柯西不等式，有(2x ＋1·1＋3y ＋4·1＋5z ＋6·1)2 ≤[(2x ＋1)＋(3y ＋4)＋(5z ＋6)]·(1＋1＋1) ＝3×(2x ＋3y ＋5z ＋11) ＝3×40 ＝120.故2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6≤230， 当且仅当2x ＋1＝3y ＋4＝5z ＋6， 即x ＝376，y ＝289，z ＝2215时等号成立．此时μmax ＝230.1．对柯西不等式一般形式的说明一般形式的柯西不等式是二维形式 、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．运用时的关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．2．一般形式柯西不等式成立的条件由柯西不等式的证明过程可知Δ＝0⇔f (x )min ＝0⇔a 1x －b 1＝a 2x －b 2＝…＝a n x －b n ＝0⇔b 1＝b 2＝…＝b n ＝0，或a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a nb n. 【规范解答】 构造三维柯西不等式求最值(本题满分7分)已知a >0，b >0，c >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值；(2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．【解】 (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ， 当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立． 又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ， 所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c .又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4.(3分) (2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式，得(14a 2＋19b 2＋c 2)(4＋9＋1)≥(a 2×2＋b 3×3＋c ×1)2＝(a ＋b ＋c )2＝16，即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. (5分)当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立，故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值是87.(7分)(1)结合本题特征，用绝对值三角不等式求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值简单快捷非常方便，此外本题也可作出函数f (x )的图象，利用数形结合思想方法求解．(2)本题第(2)问的求解显然需要构造三维形式柯西不等式的条件及结构特点，因为现有的两组数为⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2，19b 2，c 2和(a ，b ，c )，因此需构造一组常数(4，9，1)才能符合三维柯西不等式的条件．1．若x ，y ，z ∈R ，x 2＋y 2＋z 2＝1，求m ＝2x ＋2y ＋5z 的最大值． 解：由柯西不等式得(x 2＋y 2＋z 2)[(2)2＋(2)2＋(5)2]≥(2x ＋2y ＋5z )2， 当且仅当x2＝y 2＝z5时，等号成立，所以－3≤2x ＋2y ＋5z ≤3， 因此m 的最大值为3.2．已知α1，α2，…，αn是平面凸n边形的内角的弧度数，求证：1α1＋1α2＋…＋1αn≥n2（n－2）π.证明：由柯西不等式，得(α1＋α2＋…＋αn)(1α1＋1α2＋…＋1αn)≥(α1·1α1＋α2·1α2＋…＋αn·1αn)2＝n2.因为α1＋α2＋…＋αn＝(n－2)π，所以1α1＋1α2＋…＋1αn≥n2（n－2）π，当且仅当α1＝α2＝…＝αn＝n－2nπ时，等号成立．。

【设计意图】了解三维的柯西不等式，注意理解取等条件．
●活动②一般形式的柯西不等式
对比二维形式和三维形式的柯西不等式，容易猜出一般形式的柯西不等式：
定理设 时实数，则
，当且仅当 或存在一个数 ，使得 时，等号成立
证明：设 ，则要证的不等式就是 ，这正好与二次函数 的判别式 密切相关
当 ，不等式显然成立；
【思路点拨】利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件这个函数的解析式是两部分的和，若能化为 的形式，就能利用柯西不等式求其最大值
【答案】见解析
同类训练求函数 的最大值
【解题过程】函数的定义域为 , ，即 ，即 ，
即 ，当 时函数最大为
【思路点拨】利用柯西不等式求其最大值时，设法在不等式一边得到一个常数
【答案】见解析
例2设 求证
【知识点】柯西不等式
【解题过程】由于 ，由柯西不等式，得
【思路点拨】问题中由 这个条件，由于常数1的特殊性，用 去乘任何数或式子，都不会改变他们的值，根据证明的需要可以应用这个条件在本例中，注意到 ，有了上式就可以使用柯西不等式了
【答案】见解析
同类训练已知 ,且 ，求证：
【知识点】柯西不等式
（4）定理3（二维形式的三角不等式）设 ，那么
证明：
所以
【设计意图】熟练掌握柯西不等式的变形及使用
探究二一般形式的柯西不等式
●活动①三维形式的柯西不等式
类比二维形式的柯西不等式，我们猜想三维形式的柯西不等式如下：
，当且仅当 ，或存在一个数 ，使得 时，等号成立
证明：我们知道，平面上向量的坐标 是二维形式，空间向量的坐标 是三维形式，从平面向量的几何背景能得到 将平面向量的坐标代入，化简后可得二维形式的柯西不等式类似的，从空间向量的几何背景也能得到 ，将空间向量的坐标代入，即可得到三维的柯西不等式